□먼저 수험생이 선택한 계열의 문제인지 확인하시오.

수리영역

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수리영역

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□문제지에 수험번호와 성명을 정확하게 기입하시오.

□답안지에 수험번호, 응시계열, 답을 표기할 때에는 반드시 □수험생이 지켜야 할 일□에 따라 표기하시오.

□주관식 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR답안지에 반드시 표기해야 합니다.

□문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점 또는 3점입니다.

□계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

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1. [eqn: 4`log_2 `root 2 `+` 1 over 2 log_2 `3 `-` log_2 `root 6 `]을 간단히 하면? [2점]

①  [eqn: 1 over 2 `]	②  [eqn: 1 over 2 + log_2 `3 `]

③ [eqn: - 1 over 2 `]	④ [eqn: - 1 over 2 + log_2 `3 `]

⑤  [eqn: 3 over 2 `]

2. 공집합이 아닌 세 집합[eqn: rm A,~ B,~ C`]가 전체집합[eqn: rm U`]의 부분집합일 때, 다음 중 [eqn: rm (A `∪` B) `∩` (C `∩` B^c``)^c `] 와 항상 같은 집합은? [2점]

① [eqn: rm B`-`(A`-`C) `]	② [eqn: rm B `∩` (A`-` C )`]

③ [eqn: rm B `∪` (A `∩` C ) `]	④ [eqn: rm B `∪` (A `-` C ) `]

⑤ [eqn: rm (A `∪` B ) `∩` C^c `]

3. 부등식 [eqn: { x^2 `-`5x`-`6} over { LEFT vert x`-`4 RIGHT vert } `＠`0`]을 만족하는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [2점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 5`]	⑤ [eqn: 6`]

4. 부등식 [eqn: x^2 + vert x vert -2 ~＠~0 `]의 해를 구하면? [3점]

① [eqn: -2~＠~x~＠~2 `]	② [eqn: -1~＠~x~＠~2 `]

③ [eqn: -2~＠~x~＠~1`]	④ [eqn: -1~＠~x~＠~1 `]

⑤  [eqn: 0~＠~x~＠~2`]

5. 복소평면에서 점 [eqn: rm P_1, ~ P_2`]는 각각 복소수 [eqn: z_1, ~z_2 `]를 나타내는 점이고, 점 [eqn: rm P_3`]는 점 [eqn: rm P_2 `]를 원점 [eqn: rm O`]에 대하여 대칭이동 시킨 점이다. [eqn: rm OP_1 `], [eqn: rm OP_3 `]를 두 변으로 하는 평행사변형의 제 [eqn: 4`] 꼭지점을 [eqn: rm P`]라 할 때, 점 [eqn: rm P`]를 나타내는 복소수는? [2점]

①  [eqn: z_1 `-` z_2 `]	②  [eqn: z_1 `+` z_2 `]

③ [eqn: -z_1 `+` z_2 `]	④ [eqn: -z_1 `-` z_2 `]

⑤ [eqn: -z_1 `]

6. 지난 해 세 학생이 [eqn: 3`]회의 수학 시험에서 얻은 성적은 표와 같다.

월 학생	[eqn: 5`]월	[eqn: 7`]월	[eqn: 9`]월
혜연	[eqn: a_1]	[eqn: b_1]	[eqn: c_1]
선영	[eqn: a_2]	[eqn: b_2]	[eqn: c_2]
인희	[eqn: a_3]	[eqn: b_3]	[eqn: c_3]

이 자료를 행렬 [eqn: A = PMATRIX { {a_1 }& {b_1 }& {c_1 }`` # {a_2 }& {b_2 }& {c_2 }`` # {a_3 }& {b_3 }& {c_3 }`` } `]로 나타내고, 행렬 [eqn: B= 1 over 3 PMATRIX { {1 }& {1 }& {1 }``} `], [eqn: C= PMATRIX { {0 }``# { 0}``# { 1}`` } `]라 할 때, 행렬 [eqn: BAC`]의  계산 결과로 얻을 수 있는 것은? [2점]

① [eqn: 5`]월 세 학생의 수학 평균 점수

② [eqn: 7`]월 세 학생의 수학 평균 점수

③ [eqn: 9`]월 세 학생의 수학 평균 점수

④ 혜연이의 [eqn: 3`]개월 수학 평균 점수

⑤ 인희의 [eqn: 3`]개월 수학 평균 점수

7. [eqn: 12`×`12`]의 모든 칸에 아래와 같은 규칙에 따라 수가 배열되어 있다.

1	2	3	4	5							12
2	2	3	4	5							12
3	3	3	4	5			…				12
4	4	4	4	5							12
5	5	5	5	5							12
											12
											12
		□					□				12
											12
											12
										11	12
12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12	12

이 수들의 총합은? [3점]

① [eqn: 1064`]	② [eqn: 1118`]

③ [eqn: 1222`]	④ [eqn: 1274`]

⑤ [eqn: 1326`]

8. 집합[eqn: {rm A}_n `]을 다음과 같이 정의한다.

[eqn: {rm A}_n `=` LEFT {m`` LEFT | ``LEFT [ { m} over {n } RIGHT ] =0 , ~m,``n` 은~ 서로소인 ~자연수} RIGHT}`]

다음 중 옳지 않은 것은?

(단, [eqn: LEFT [ x`` RIGHT ] `]는 [eqn: x`]를 넘지 않는 최대 정수이다.) [3점]

①[eqn: {rm A }_{1 } `=` phi `]	②[eqn: rm {A }_{2 }` CAP ` {A }_{3 } `=` {A }_{2 }`]

③[eqn: rm {A }_{2 }` CUP ` {A }_{3 } `=` {A }_{3 }`]	④[eqn: rm {A }_{3 }``` CUP {A }_{4 } `=` {A }_{4 }`]

⑤[eqn: rm {A }_{3 }` CAP `{A }_{4 } `=` {A }_{2 }`]

9. [eqn: 0`] 이 아닌 세 실수 [eqn: a,~b,~c `]는 아래 두 조건 (가)와 (나)를 모두 만족한다.

(가) [eqn: (a-2)(b-2)(c-2)`=` 0`]

(나) [eqn: 1 over a + 1 over b + 1 over c `=` 1 over 2 `]

이 때, [eqn: a`+`b`+`c `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over 3 `]	② [eqn: 1 over 2`]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 3`]

10. 수직선 위의 두 점 [eqn: rm A,~B `]에 대하여 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 1``:``2`]로 내분하는 점을 [eqn: rm A` ◎` B`]로 나타내기로 한다.

서로 다른 세 점 [eqn: rm A,~B,~C `]에 대하여[eqn: rm (A `◎ `B) `◎ `C`]와[eqn: rm (B `◎` C) `◎` A`]가 일치할 때, 다음 중 세 점의 위치 관계로 옳은 것은? [3점]

① 점 [eqn: rm A`]는 선분 [eqn: rm BC`]의 중점이다.

② 점 [eqn: rm B`]는 선분 [eqn: rm AC`]의 중점이다.

③ 점 [eqn: rm C`]는 선분 [eqn: rm AB`]의 중점이다.

④ 점 [eqn: rm A`]는 선분 [eqn: rm BC`]를 [eqn: 2``:``1`]로 내분하는 점이다.

⑤ 점 [eqn: rm C`]는 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 2``:``1`]로 내분하는 점이다.

11. 이차방정식 [eqn: x^2 -x-1=0`]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta `]라 할 때, [eqn: 1 over {1+ alpha ^3 } + 1 over {1+ beta ^3 }`]의 값은? [3점]

① [eqn: 0 `]	② [eqn: 1 over 4 `]	③ [eqn: 1 over 2 `]	④ [eqn: 1 `]	⑤ [eqn: 3 over 2 `]

12. 실수 [eqn: x`]에 대하여 정의된 두 함수 [eqn: f``(x)`=`x-[`x`]`]와 [eqn: g`(x)`=`[`x`]+1`]에 대하여 다음 중 [eqn: y `=` (g CIRC f``)(x)`]의 그래프의 개형은? (단, [eqn: [`x`]`]는 [eqn: x`]를 넘지 않는 최대정수이다.) [3점]

①	②

③	④

⑤

13. 자연수 전체의 집합 [eqn: N`]에서 [eqn: N`]으로의 함수 [eqn: f`] 를

[eqn: f`(n) `=`(`n`의~ 모든~ 양의~ 약수의~ 곱)`]

으로 정의할 때, <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

	< 보 기 >
ㄱ. [eqn: p`]가 소수이면 [eqn: f`(p)`=`p`] ㄴ. [eqn: m`＠`n`]이면 [eqn: f`(m)`＠`f`(n)`] ㄷ. [eqn: m`,~n`]이 서로소이면 [eqn: f`(m`n) = f`(m)``f`(n)`]

① □	② □	③ □	④ □, □	⑤ □, □

14. 어떤 농장에서 현재 토끼를 [eqn: 200`]마리 사육하고 있다. 매달마다 전 달에 비하여 그 수가 [eqn: 20`%`]씩 증가할 때, 토끼 수가 처음으로 [eqn: 3000`]마리 이상 되는 것은 몇 개월 후인가?  (단, [eqn: log_10 ` 1.2`=`0.08 `], [eqn: log_10 ` 1`.`5`=`0`.`18 `]로 계산한다.) [3점]

① [eqn: 13`]	② [eqn: 15`]	③ [eqn: 17`]	④ [eqn: 19`]	⑤ [eqn: 21`]

15. 다음 함수 중 주기함수가 아닌 것은? [3점]

① [eqn: y=vert sin x vert `]	② [eqn: y=vert cos x vert `]

③ [eqn: y=vert tan x vert `]	④ [eqn: y=sin vert x vert `]

⑤ [eqn: y=cos vert x vert `]

16. 이차 정사각행렬 [eqn: A, ~B`]에 대하여 <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: O`]는 영행렬이고 [eqn: E `]는 단위행렬이다.) [2점]

	< 보 기 >
□. [eqn: A^2 -B^2 `=` O`]이면 [eqn: A`=`B`] 또는 [eqn: A`=`-B`] □. [eqn: A^2 - A - 2E `=` O`]일 때, [eqn: A`]의 역행렬은 [eqn: A-E`]이다. □. [eqn: A`]의 역행렬이 존재할 때, [eqn: AB`=`O`]이면 [eqn: B`=`O`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ	④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

17. 이차방정식 [eqn: x^2 `-`x`-`5 `=`0`]의 두 근을 [eqn: alpha, ~beta`]라 할 때, 분수방정식 [eqn: 1 over {x`-` alpha } `+` 1 over { x`-` beta } `=` 3 over 2 `]의 두 근의 곱은?

[3점]

① [eqn: -5``]	② [eqn: - 13 over 3]	③ [eqn: 2 over 3]	④ [eqn: 7 over 3]	⑤ [eqn: 9 over 2]

18. [eqn: 23p+1`]이 완전제곱수가 되는 소수 [eqn: p`]가 존재하지 않음을 증명한 과정이다.

<증명>

[eqn: 23p+1`]이 완전제곱수가 되는 소수[eqn: p`] 가 존재한다면

어떤 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 23 p+1=n^2 `]꼴로 나타낼 수 있다.

[eqn: 23p=(n-1)(n+1) `]	……………………… ①

[eqn: 23`]이 소수이므로 [eqn: n-1`]과 [eqn: n+1`]중 적어도 하나는 [eqn: 23]의 배수이다.

ⅰ) [eqn: n-1`]이 [eqn: 23`]의 배수일 때,

[eqn: n-1`=`23s`] ([eqn: s`]는 자연수)로 놓고 이 식을 ①에 대입하면

[eqn: p`=`s`(23s+2)`]	………………………	②

그런데 [eqn: p`]가 소수이므로 [eqn: s `=`]

이 값을 ②에 대입하면, [eqn: p `=`]

∴ [eqn: p`]는 소수가 아니다.

ⅱ) [eqn: n+1`]이 [eqn: 23]의 배수일 때,

[eqn: n+1`=`23t`] ([eqn: t`]는 자연수)로 놓고 이 식을 ①에 대입하면

[eqn: p`=`t`(23t-2)`]	……………………… ③

그런데 [eqn: p`]가 소수이므로 [eqn: t `=`]

이 값을  ③에 대입하면, [eqn: p `=`]

∴ [eqn: p`]는 소수가 아니다.

따라서, [eqn: 23p+1`]이 완전제곱수가 되는 소수 [eqn: p`]가 존재하지 않는다.

위의 <증명>과정에서 [eqn: rm A+B+C`]의 값은? [3점]

① [eqn: 43`]	② [eqn: 44`]	③ [eqn: 45`]	④ [eqn: 46 `]	⑤ [eqn: 47`]

19. 수열 [eqn: 1 over 1 `], [eqn: 1 over {1+2}`], [eqn: 1 over {1+2+3}`], [eqn: …`], [eqn: 1 over {1+2+ cdots +10}`]의 합을 구하는 순서도이다.

다음 중 (가), (나)에 알맞은 것은? [2점]

(가)	(나)

① [eqn: A`←`A`+`n`]	[eqn: S`←`S `+` 1 over A `]

② [eqn: S`←`S `+` 1 over A `]	[eqn: A`←`A`+`n`]

③ [eqn: S`←`S `+` A`]	[eqn: A`←`A `+` n`]

④ [eqn: A`←`A `+` 1 over n `]	[eqn: S`←`S `+` A`]

⑤ [eqn: A`←`A `+` 1 over n `]	[eqn: S`←`S `+` 1 over A `]

20. [eqn: 100`rm km`] 떨어진 목적지를 향하여 [eqn: rm A`] 버스가 먼저 출발하고, [eqn: 20`]분 뒤에 같은 장소에서 [eqn: rm B`] 버스가 출발하여 목적지에 동시에 도착하였다. [eqn: rm B`] 버스가 [eqn: rm A`] 버스보다 시속 [eqn: 10`rm km`] 더 빠르다고 할 때, [eqn: rm B`]버스의 속력은? [3점]

① 시속 [eqn: 50`rm km`]	② 시속 [eqn: 60`rm km`]

③ 시속 [eqn: 70`rm km`]	④ 시속 [eqn: 80`rm km`]

⑤ 시속 [eqn: 90`rm km`]

21.[eqn: rm angle C `]가 직각이고 [eqn: RM □B`=`theta`]인 직각삼각형 [eqn: RM ABC`]가 있다.

점 [eqn: rm A`]에서 [eqn: RM □BAD`=`theta over 2`]가 되게 선을 그어 선분 [eqn: RM BC`]

와 만나는 점을 [eqn: RM D`]라 하자. 다음 중 [eqn: RM bar AD over bar BD`]를 [eqn: theta`]의 식으로 나타낸 것은? (단, [eqn: RM 0 ``＠``theta ``＠`` pi over 3`]) [3점]

① [eqn: sin theta`]	② [eqn: costheta`]

③ [eqn: 2cos theta over 2`]	④ [eqn: sin { theta over 2 } + cos {theta over 2}`]

⑤ [eqn: sin {theta over 2} - cos{theta over 2}`]

22. 다음은 점[eqn: {rm P}( x,``y)``]를 원점을 중심으로 [eqn: theta ``]만큼 회전이동 시키는 일차변환을 나타내는 행렬이 [eqn: PMATRIX { {cos theta }& {-sin theta``` }# {sin theta }& {````````cos theta``` } }`]임을 증명하는 과정이다.

<증명>

그림에서 직사각형 [eqn: rm OAPB``]를 원점 [eqn: rm O``]를 중심으로 [eqn: theta]만큼 회전시킨 직사각형을 [eqn: rm OA` prime rm P` prime rm B` prime`]라 하면

[eqn: ANGLE rm AOA` prime`=ANGLE rm POP` prime=ANGLE rm BOB` prime`= theta ``]

점[eqn: rm A` prime`]의 좌표는[eqn: {rm A}` prime` (x cos theta],  [eqn: )`]

점[eqn: rm B` prime`]의 좌표는 [eqn: rm B` prime` (]  , [eqn: y sin LEFT ( pi over 2 + theta RIGHT )`][eqn: )`]

이 때, 직사각형[eqn: rm OA` prime rmP` prime rm B` prime``]에서

두 대각선[eqn: rm OP` prime``]과 [eqn: rm A` prime rmB` prime`]의 중점은 일치하므로

[eqn: x` prime`=x cos theta -y sin theta``]

[eqn: y` prime`=x sin theta +y cos theta ``]

따라서, 이 변환은 일차변환이고, 행렬로 나타내면

[eqn: PMATRIX { {x` prime }`# {y` prime }` } ` = PMATRIX { {cos theta }& {-sin theta``` }# {sin theta }& {````````cos theta``` } }` `PMATRIX { {x ``}# {y ``}}`]이다.

위의 <증명>과정에서 다음 중 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점]

(가)                   (나)

① [eqn: y` costheta`]	[eqn: y` cos LEFT ( pi over 2 + theta RIGHT )`]

② [eqn: x` sintheta`]	[eqn: y` cos LEFT ( pi over 2 + theta RIGHT )`]

③ [eqn: x` costheta`]	[eqn: x` cos LEFT ( pi over 2 + theta RIGHT )`]

④ [eqn: y` sintheta`]	[eqn: y` sin LEFT ( pi over 2 + theta RIGHT )`]

⑤ [eqn: x` sintheta`]	[eqn: x` sin LEFT ( pi over 2 + theta RIGHT )`]

23. 두 일차변환 [eqn: f, ~g`]를 나타내는 행렬이 각각 [eqn: PMATRIX { { 3}&``{1``}# {0 }&{3`}} `],

[eqn: PMATRIX { { `````````1}&{-1 ```} # {-2}& {```````2```}} `]일 때, 합성변환 [eqn: g`□`f`]에 의하여  직선

[eqn: 3x`-`2y`-`1`=`0`]은 어떤 도형으로 옮겨지는가? [3점]

① [eqn: (0,~~0)`]	② [eqn: (１2, ~4)`]

③ [eqn: (1,`-2)`]	④ [eqn: 2x`+`y`=`0`]

⑤ [eqn: 6x`+`y`=`0`]

24. 그림과 같이 지점 [eqn: rm O`]에서 해안선 [eqn: rm A`]를 따라 동쪽으로 [eqn: 30` rm km`]떨어진 지점 [eqn: rm H`]에서 북쪽으로 [eqn: 10 `rm km`]떨어진 곳에 섬이 있다. 이 섬을 출발하여 해안선 [eqn: rm A`]에 있는 선착장을 거쳐 해안선 [eqn: rm B`]에 있는 선착장을 경유하여 되돌아오는 유람선을 운행하려고 한다. 유람선의 항해거리가 최소가 되도록 해안선 [eqn: rm A`]와 해안선 [eqn: rm B`]에 선착장을 만들려고 할 때, 해안선 [eqn: rm A`]에 있는 선착장은 [eqn: rm O`]에서 얼마나 떨어진 지점에 만들어야 하는가? (단, 해안선 [eqn: rm A`]와 해안선 [eqn: rm B`]가 이루는 각은 [eqn: 45 DEG]이다.) [3점]

① [eqn: 15` rm km`]	② [eqn: 17` rm km`]

③ [eqn: 20` rm km`]	④ [eqn: 23` rm km`]

⑤ [eqn: 25` rm km`]

25. 양수 [eqn: a,~b`]에 대하여  [eqn: f`(a,~b`)= SQRT { a+b+2 SQRT { ab`} } `]라 할 때,

26. 행렬 [eqn: PMATRIX { { a}& { 1``}# {0 }& {1`` }} `]로 나타내어지는 일차변환 [eqn: f``]에 의하여

[eqn: triangle rm OAB`]가 [eqn: triangle rm OA prime ``B prime `]로 옮겨진다. [eqn: triangle rm OA prime ``B prime `]의 넓이가 [eqn: 3`]이 될 때, 양수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [2점]

27. 그림과 같이 두 변의 길이가 각각 [eqn: 10,~ 8`]인 직사각형 [eqn: rm ABCD`]가 있다. 점 [eqn: rm B`]가 중심이고 선분 [eqn: rm AB`]를 반지름으로 하는 사분원을 그린 후, 점 [eqn: rm C`]에서 이 사분원에 접선을 그어 선분 [eqn: rm AD `]와 만난 점을 [eqn: rm E`]라 할 때, [eqn: rm bar AE `]의 길이를 구하시오. [2점]

28. [eqn: a, ~b, ~c `]가 정수인 이차 정사각행렬 [eqn: A= PMATRIX { {0 }& {a }`# {b }& {c }` } `]의 역행렬이 존재한다. [eqn: A`=`A^-1 `]를 만족시키는 행렬 [eqn: A `]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: A^-1 `]은 [eqn: A`]의 역행렬이다.) [3점]

29. 아래 두 조건 (가)와 (나)를 모두 만족하는 복소수를[eqn: z_1, ~z_2`]라고 하자.

(가) [eqn: vert `z` vert `=` 2 `]

(나) [eqn: vert `z+1` vert `=` vert `z+2i` vert `]

[eqn: z_1 `]과 [eqn: z_2 `]의 편각을 각각 [eqn: theta_1, ~theta_2 `]라 할 때,

[eqn: tan left({theta_1 +theta_2} over 2 right) `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i `=` sqrt { -1 }``]이다.)

[3점]

30. 삼각형의 세 꼭지점에서 각각의 대변 또는 그 연장선에 내린 수선의 길이의 비가 [eqn: 2``:``3``:``4`]이다. 이 삼각형의 내각 중 최대각을 [eqn: theta `]라 할 때, [eqn: 1 over {cos theta `}`]의 값을 반올림하여 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오. [3점]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지

확인하시오.