수학 나형 정답

1	④	2	②	3	④	4	②	5	③
6	③	7	④	8	④	9	①	10	⑤
11	③	12	③	13	⑤	14	①	15	②
16	③	17	⑤	18	①	19	①	20	②
21	②	22	[eqn: 128]	23	[eqn: 2]	24	[eqn: 33]	25	[eqn: 4]
26	[eqn: 20]	27	[eqn: 256]	28	[eqn: 4]	29	[eqn: 336]	30	[eqn: 16]

해 설

1. [출제의도] 지수를 계산하여 값을 구한다.

[eqn: left(4^{` 3 over 4 } right)^{`2 over 3} `][eqn: =4 ^{`3over4`times`2over3}`][eqn: =4 ^{`{3times2}over4times3}}`][eqn: =4 ^{{6} over {12}}]

[eqn: =4 ^{`{1} over {2}}`][eqn: =left(`2 ^{`2} right) ^{`{1} over {2}}`][eqn: =2 ^{`2 TIMES ` {1} over {2}}`][eqn: =2 ^{1}][eqn: =2`]

2. [출제의도] 수열의 극한을 계산한다.

[eqn: lim _{n` -> `inf} {} {sqrt{4n ^{2} +4n+3}} over {n}`]의 분모와 분자를 [eqn: n]으로 나누면

[eqn: lim _{n` -> `inf} {} {sqrt{4n ^{2} +4n+3}} over {n}`][eqn: =lim _{n` -> ` INF } {} {sqrt {4n ^{2} +4n+3}overn} over {n overn}`]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {sqrt {{4n ^{2} +4n+3} over {n ^{2}}`]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} sqrt {4+`4overn`+ {3} over {n ^{2}}}`]

[eqn: = sqrt {4+`0`+0}`][eqn: =2`]

3. [출제의도] 등비중항의 성질을 이용하여 특정항을 계산한다.

수열 [eqn: left{ a_{`n} right} `]이 등비수열이므로 [eqn: a_{`4} ^{`2} = a_{`2} cdot a_{`6}`]

즉, [eqn: 8^{`2} = 4 a_{`6} `]

따라서 [eqn: a_{`6} = 16`]

4. [출제의도] 드모르간의 법칙을 활용하여 원소의 개수를 계산한다.

전체집합 [eqn: U`][eqn: = left{x`|`x는~ 10`이하의~자연수 right}`]이므로

[eqn: U`][eqn: = LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8,~9,~10 RIGHT }`]

드모르간의 법칙에 의해서 [eqn: A ^{`C} cap``B ^{`C}`][eqn: =left(A`cup`B`right) ^{`C}`]

[eqn: A`cup``B]	[eqn: =`left{1,~2,~3,~4,~5,~6,~7`right}`cup``left{1,~3,~5,~7,~9`right}`]

[eqn: =` LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7` ,~9` RIGHT }`]

그러므로

[eqn: (A CUP B) ^{`C}`][eqn: = LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~9 RIGHT } ^{`C}`]

[eqn: = LEFT { 8,~10 RIGHT }`]

따라서 집합 [eqn: A ^{`C} `cap`B ^{`C} `]의 원소의 개수는 [eqn: 2`]이다.

5. [출제의도] 로그의 정의를 이해하여 식의 값을 구한다.

[eqn: {log _{`2} `a over 4} = b`]에서 [eqn: a over 4 = 2^{`b}`]

즉, [eqn: a = 4 times 2^{`b}`]

따라서 [eqn: 2^{`b} over a = {2^{`b}} over { 4 times 2^{`b} } = 1 over 4`]

6. [출제의도] 일대일함수의 정의를 이해하여 조건에 맞는 함숫값을 구한다.

함수 [eqn: f(x)`]가 일대일함수이고 [eqn: f(2)`][eqn: =4`]이므로 [eqn: 4`]가 아닌 집합 [eqn: Y`]의 서로 다른 두 원소 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: f(1)`][eqn: = a`], [eqn: f(3)`][eqn: =b`]로 놓을 수 있다.

[eqn: f(1)+f(3) `]의 최댓값은 [eqn: a+b `]의 최댓값과 같다.

그런데 [eqn: a`][eqn: =2`], [eqn: b`][eqn: =3`] 또는 [eqn: a`][eqn: =3`], [eqn: b`][eqn: =2`]일 때 [eqn: a+b`]가 최대이다.

따라서 [eqn: f(1)+f(3) `]의 최댓값은 [eqn: 5`]이다.

7. [출제의도] 주변에서 일어나는 상황을 집합의 포함관계로 나타내어 원소의 개수를 구한다.

전체 학생의 집합을 [eqn: U`], 책 [eqn: rm A`]를 읽은 학생의 집합을 책 [eqn: A`], 책 [eqn: rm B`]를 읽은 학생의 집합을 [eqn: B`]라 하자.

[eqn: rm A`]를 읽지 않고 [eqn: rm B`]만 읽은 학생의 집합은 [eqn: A ^{`C} SMALLINTER B `]

[eqn: n(`U`)`][eqn: =33`], [eqn: n(`A ^{`C} SMALLINTER B` } )`][eqn: = 15`]

[eqn: U`][eqn: =`(A ^{`C}` SMALLINTER `B `) CUP (A ^{`C}` SMALLINTER `B`) ^{`C}`]

이고 두 집합 [eqn: A ^{`C} SMALLINTER B `]와 [eqn: (A ^{`C} SMALLINTER B `) ^{`C} `][eqn: =A ` CUP B ^{`C}`]은  서로소이다.

[eqn: n(U`)`][eqn: =n(A` ^{`C} ` cap B`) + n(A cup B` ^{`C} `)]

[eqn: =15 + n(A` ` CUP B^{`C} `) `]

그러므로 [eqn: n(A CUP B ^{`C} `)`][eqn: =18`]

그런데 [eqn: LEFT ( A` SMALLINTER `B`right) SUBSET left( A CUP B ^{`C}` right)`]이므로

[eqn: n(A` SMALLINTER B`) LEQ `n(A` ` CUP `B ^{`C}`)`]

따라서 [eqn: n(A` SMALLINTER B`)]의 최댓값은 [eqn: 18]이다.

[다른풀이]

책 [eqn: rm A`]를 읽지 않고 책 [eqn: rm B`]만 읽은 학생 [eqn: 15`]명은 책 [eqn: rm A`]와 책 [eqn: rm B`]를 모두 읽은 학생의 집합에 속하지 않는다. 전체 학생수가 [eqn: 33`]명이므로 책 [eqn: rm A`]와 책 [eqn: rm B`]를 모두 읽은 학생의 최댓값은 [eqn: 33-15`][eqn: =18`]

8. [출제의도] 밑변환 공식을 이해하여 식의 값을 구한다.

[eqn: 7` log `a = 2` log `b`]에서 [eqn: 7 over 2 = {log `b }over{ log `a}= log_{`a}`b`]

따라서 [eqn: 8 over 21` log _{`a} `b = 8 over 21 times 7 over 2 = 4 over 3`]

9. [출제의도] 유리함수의 그래프의 성질을 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.

주어진 함수의 그래프는 함수 [eqn: y`][eqn: = {5} over {x}`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: p`], [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 평행 이동한 그래프이므로 점근선의 방정식은 [eqn: x`][eqn: =p`], [eqn: y`][eqn: =2`]이다.

[eqn: p LEQ 0`]이면 곡선 [eqn: y`][eqn: = {5} over {x-p}+2`]는 반드시 제[eqn: 3`]사분면을 지나므로 [eqn: p>0`]이다.

[eqn: x>p`]인 범위에서 함수의 그래프는 제[eqn: 1`]사분면만을 지난다.

[eqn: x<p`]일 때 주어진 함수의 그래프가 제[eqn: 3`]사분면을 지나지 않기 위해서는 [eqn: x`][eqn: =0`]일 때 [eqn: y`]의 값은 0이상이 되어야 한다.

그러므로 [eqn: {````5} over {-p} +2 GEQ 0`]이다.

따라서 조건을 만족시키는 최소의 정수 [eqn: p`]는 [eqn: 3`]이다.

10. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해하여 수열의 합을 구한다.

이차방정식의 두 근의 합 [eqn: a_{`n}`]은 근과 계수의 관계에 의해 [eqn: a _{`n}`][eqn: = {2n ^{`2} -n} over {n}`][eqn: =2n-1`]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{`k}`][eqn: = sum _{k=1} ^{10} (2k-1)`][eqn: = sum _{k=1} ^{10} 2k- sum _{k=1} ^{10} 1`][eqn: = 2 sum _{k=1} ^{10} k`-10`]

[eqn: =2` TIMES {10 TIMES 11} over {2} - 10`][eqn: =100 `]

11. [출제의도] 합성함수의 정의를 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.

함수 [eqn: g(x) `]는 자연수 [eqn: x`]를 [eqn: 4`]로 나눈 나머지이므로 함수 [eqn: g(x) `]의 치역은 [eqn: left{ 0,~1,~2,~3 right} `]이다.

ⅰ) [eqn: m`][eqn: =1`]인 경우, 함수 [eqn: f(x)=x`]이므로

합성함수 [eqn: (g CIRC f)(x)=g(x)`]이다.

그러므로 합성함수 [eqn: (g CIRC f)(x)`]의 치역은

[eqn: left{ 0,~1,~2,~3 right} `]이다.

ⅱ) [eqn: m`][eqn: =2`]인 경우, 함수 [eqn: f(x)=2x`]이므로

합성함수 [eqn: (g CIRC f)(x)= (2x를~ 4로~ 나눈~ 나머지)]      이다.

그런데 [eqn: 2x`]가 [eqn: 2`]의 배수이고 [eqn: 2`]의 배수를 [eqn: 4`]로 나눈 나머지는 [eqn: 0`] 또는 [eqn: 2`]이므로

합성함수 [eqn: (g CIRC f)(x)`]의 치역은 [eqn: left{ 0,~2right} `]이다.

ⅲ) [eqn: m`][eqn: =3`]인 경우, 함수 [eqn: f(x)=3x`]이므로

합성함수 [eqn: (g CIRC f)(x)= (3x를~ 4로~ 나눈~ 나머지)]

이다.

그런데 [eqn: 3x`]는 [eqn: 3`]의 배수이고 [eqn: 3`]의 배수를 [eqn: 4`]로 나눈 나머지는 [eqn: 0`], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`]이므로 합성함수

[eqn: (g CIRC f)(x)`]의 치역은 [eqn: left{ 0,~1,~2,~3 right} `]이다.

ⅳ) [eqn: m`][eqn: =4`]인 경우, 함수 [eqn: f(x)=4x`]이므로

합성함수 [eqn: (g CIRC f)(x)= (4x를~ 4로~ 나눈~ 나머지)]

이다.

그런데 [eqn: 4x`]가 항상 [eqn: 4`]의 배수이므로 [eqn: 4`]로 나눈 나머지는 [eqn: 0`]이다. 즉, 합성함수 [eqn: (g CIRC f)(x)`]의 치역은 [eqn: left{ 0right} `]이다.

이처럼 [eqn: m`]이 [eqn: 4`]의 배수가 아닌 경우에는 치역의 원소의 개수가 [eqn: 2`]이상이다.

하지만 [eqn: m=4,~8,~12,~16,~ cdots `]과 같이 [eqn: m`]이 [eqn: 4`]의 배수인 경우에는 합성함수 [eqn: (g CIRC f)(x)`]의 치역은 [eqn: left{ 0right} `]이다.

따라서 치역의 원소의 개수가 [eqn: 1`]이 되도록 하는 자연수 [eqn: m`]의 최솟값은 [eqn: 4`]이다.

12. [출제의도] 수열의 극한값을 구하는 방법을 이해하여 그 값을 구한다.

직선 [eqn: y=`g(x)``]는 원점과 점 [eqn: (3,~3)`]을 지나므로 직선의 방정식은 [eqn: y =x`]이다.

문제에서 [eqn: f(2) = 4`], [eqn: g(2) = 2`]이므로

[eqn: h(2)`][eqn: = lim _{n -> INF } {{LEFT { f(2) RIGHT } ^{`n+1} +5 LEFT { g(2) RIGHT } ^{`n}} over {LEFT { f(2) RIGHT } ^{`n} + LEFT { `g(2)` RIGHT } ^{`n}}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{4 ^{`n+1} +5 TIMES 2 ^{`n}} over {4 ^{`n} +2 ^{`n}}}`]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{4+5 TIMES LEFT ( {2} over {4} ` RIGHT ) ^{`n}} over {1+ LEFT ( 2 over 4` RIGHT ) ` ^{`n} `}} `][eqn: =4`]

마찬가지로 문제에서 [eqn: f(3)=3`], [eqn: g(3) =3`]이므로

[eqn: h(3)`][eqn: = lim _{n -> INF } {{LEFT { f(3) RIGHT } ^{`n+1} +5 LEFT { g(3) RIGHT } ^{`n}} over {LEFT { f(3) RIGHT } ^{`n} + LEFT { `g(3)` RIGHT } ^{`n}}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{3 ^{`n+1} +5 TIMES 3 ^{`n}} over {3 ^{`n} +3 ^{`n}}} `]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{8TIMES 3 ^{`n}} over {2 times 3 ^{`n}} `][eqn: =4`]

따라서 [eqn: h(2) + h(3) = 8`]

13. [출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이해하여 식의 값을 구한다.

점 [eqn: rmQ _{ it `n}`]의 [eqn: y`]좌표는 점 [eqn: rm P_{` it n}`]의 [eqn: y`]좌표와 같다.

[eqn: a _{`n} `][eqn: =3n+1`]이므로 [eqn: a _{`2}`][eqn: =7`], [eqn: a _{`9} `][eqn: = 28 `]

[eqn: y`][eqn: =x ^{`2} (x GEQ 0)`]의 역함수는 [eqn: f^{`-1} (x)`][eqn: = sqrt {{x}} `][eqn: LEFT ( x geq 0 RIGHT ) `]이다.

그러므로 [eqn: f ^{`-1} (a _{`2} )`][eqn: = sqrt {7} `], [eqn: f ^{`-1} (a _{`9} )`][eqn: = sqrt {28} `]

따라서 [eqn: f ^{`-1} (a _{`2} )f ^{`-1} (a _{`9} )`][eqn: = sqrt { 7} times root {28}`]

[eqn: = sqrt { 7 times28}`][eqn: = sqrt {196} `][eqn: =14`]

14. [출제의도] 수열의 극한값을 구하는 방법을 이해하여 그 값을 구한다.

삼각형 [eqn: rm `P _{it `n rm} OQ _{it `n rm}`]의 넓이 [eqn: S_{`n} `]은

[eqn: S _{`n}`][eqn: = {1} over {2} {bar{rm `OP _{it n rm} it}} CDOT {bar{rm `P _{it n } rm Q _{it `n rm } it}}`][eqn: = {1} over {2} (3n+1) sqrt {3n+1}`]이다.

점 [eqn: rm R`_{it n}`]은 곡선 위의 점이고 [eqn: y`]의 좌표가 자연수이므로 자연수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: (sqrta ,~ a)`]로 놓을 수 있다.

그런데 직선 [eqn: rm`P_{it n`}R_{it` n}`]의 기울기가 음수이므로
[eqn: a < 3n+1`]

삼각형 [eqn: rm `P _{it n rm} OR _{it `n }]의 넓이가 최대가 되기 위해서는 [eqn: rm R_{`it n} `]의 [eqn: x`]좌표 [eqn: root a`]가 최대일 때이다. 그러므로 [eqn: a`][eqn: = 3n`]인 경우이고, 이때 점 [eqn: rm R`_{it n}`]의 좌표는 [eqn: (sqrt3n , ~3n )`]이다.

즉, 삼각형 [eqn: rm `P _{it n rm} OR _{it `n }]의 넓이는

[eqn: T _{`n}`][eqn: = {1} over {2} bar{rm `OP _{it n} } cdot sqrt3n `][eqn: = {1} over {2} (3n+1) sqrt {3n}`]이다.

따라서

[eqn: lim _{n -> INF } {} {S _{`n} -T _{n} `} over {sqrt {n}} `]

[eqn: = lim _{n -> INF } {1oversqrtn`} LEFT { {1} over {2} (3n+1) sqrt {3n+1} - {1} over {2} (3n+1) sqrt {3n} RIGHT }`][eqn: = lim_{n -> INF } {} {3n+1} over {2 sqrt {n}} LEFT ( sqrt {3n+1} - sqrt {3n} RIGHT )]

[eqn: = lim_{n -> INF } {3n+1} over {2 sqrt {n}} {( sqrt {3n+1} - sqrt {3n} )( sqrt {3n+1} + sqrt {3n} )} over {sqrt {3n+1} + sqrt {3n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {3n+1} over {2( sqrt {3n ^{`2} +n} + sqrt {3``n} )}]

[eqn: = lim_{n -> INF } {3+` {1} over {n}} over {2left( sqrt {3+` {1} over {n }}} + sqrt {3}right )}][eqn: = {3} over {4 sqrt {3}}][eqn: = {sqrt {3}} over {4}]

15. [출제의도] 평행이동한 무리함수의 역함수의 그래프를 추측하여 문제를 해결한다.

그림과 같이 [eqn: k`]의 값이 증가하면 곡선 [eqn: y=rootx-k`]는 점 [eqn: rm B `]를 지난 이후에 삼각형과 만나지 않고 곡선 [eqn: y=f(x) `]가 점 [eqn: rm B `]를 지날 때 [eqn: 1= root{ 7-k}`]이므로 [eqn: k`]는 [eqn: 6`]이다.

즉, [eqn: k>6]이면 곡선 [eqn: y=f(x) `]와 삼각형은 만나지 않는다.

또, [eqn: y= root{x-k}`]의 역함수를 구하면 [eqn: y= x^{`2} + k`] ([eqn: x ge 0 `])이다.

[eqn: k`]의 값이 증가하면 곡선 [eqn: y= x^{`2} + k`]가 점 [eqn: rm A`]를 지난 이후 삼각형과 만나지 않고 곡선 [eqn: y= x^{`2} + k`]가 점 [eqn: rm A`]를 지날 때 [eqn: 6 = 1^{`2} +k `]이므로 [eqn: k`]는 [eqn: 5`]이다.

즉, [eqn: k>5`]이면 곡선 [eqn: y= x^{`2} + k`]와 삼각형은 만나지 않는다.

따라서 함수 [eqn: y=f(x) `]의 그래프와 역함수의 그래프가 삼각형과 동시에 만나도록 하는 실수 [eqn: k`]의 최댓값은 [eqn: 5`]이다.

16. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 등식을 증명한다.

수학적 귀납법에 의한 증명이므로 [eqn: n=1`]일 때 성립함을 증명하고 [eqn: n=m`]일 때 성립함을 가정하여
[eqn: n=m+1`]일 때도 성립함을 증명한다.

문제에서 [eqn: n=m`]일 때 (*)이 성립한다고 가정하였으므로

[eqn: sum _{k=1} ^{m} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k+1} `k ^{2} `=` LEFT ( -1 RIGHT ) ^{m+1} CDOT {m` LEFT ( m+1 RIGHT )} over {2} `] … ㉠

또, [eqn: sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{`k+1} `k ^{`2}]은 [eqn: k=1]부터 [eqn: k=m`+1`]까지 [eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{`k+1} `k ^{`2}`]의 합이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{m} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{`k+1} `k ^{`2}`]에  [eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{`m+2} `(m+1) ^{`2} `]을 합한 것과 같다. 즉,

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{`k+1} `k ^{`2} = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k+1} `k ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{`m+2} `(m+1) ^{`2} `]

그러므로 [eqn: {BOX{``(가)``}}`]는 [eqn: ` LEFT ( -1 RIGHT ) ^{`m+2} `(m+1) ^{`2}`]이다.

또, 등식 [eqn: sum _{k=1} ^{m} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k+1} `k ^{2} `+` {BOX{``(가)``}}][eqn: `=` {BOX{``(나)``}} +` {BOX{``(가)``}} `]와

㉠에서 [eqn: {BOX{``(나)``}}`]는 [eqn: ` LEFT ( -1 RIGHT ) ^{`m+1} CDOT {m` LEFT ( m+1 RIGHT )} over {`2} `]

그러므로 [eqn: f(m) `][eqn: = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{`m+2} `(m+1) ^{`2}`],

[eqn: g(m)`][eqn: = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{`m+1} CDOT {m` LEFT ( m+1 RIGHT )} over {2} `]이므로

[eqn: f(5)`][eqn: = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{`5+2} `(5+1) ^{`2} `][eqn: =-36`]

[eqn: g(2)`][eqn: = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{`2+1} CDOT {2 LEFT ( 2+1 RIGHT )} over {2} `][eqn: =`-3`]이다.

따라서 [eqn: {f(5)} over {g(2)} `][eqn: = {-36} over {-3} `][eqn: =12`]

17. [출제의도] 절대부등식을 이용하여 도형의 성질을 추론한다.

ㄱ. 삼각형 [eqn: rm GDH`]와 삼각형 [eqn: rm FCG`]는 직각이등변삼각형이므로 각 [eqn: rm FGH`]는 직각이다. 또, 문제에서 점 [eqn: rm M`]은 선분 [eqn: rm FH`]의 중점이므로 세 점 [eqn: rm F`], [eqn: rm G`], [eqn: rm H`]는 중심이 [eqn: rm M`]인 한 원 위에 있다.

그러므로 [eqn: rm {bar{FM}} `][eqn: rm = {bar{GM}} `]이다. (참)

ㄴ. 삼각형 [eqn: rm AEH`]와 삼각형 [eqn: rm BFE`]가 합동이므로 [eqn: rm ANGLE AEH + ANGLE BEF`][eqn: =90 DEG `]이고, 삼각형 [eqn: rm EFH`]는 직각이등변삼각형이다. 즉, [eqn: bar {rm EF}`][eqn: = bar {rm EH}`][eqn: = sqrt {a ^{`2} +b ^{`2}} `]

그러므로 삼각형 [eqn: rm EFH`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} LEFT ( a ^{`2} +b ^{`2} RIGHT ) `]이다.

선분 [eqn: rm EM `]은 삼각형 [eqn: rm EFH`]를 이등분하므로 삼각형 [eqn: rm EFM`]의 넓이는 [eqn: {1} over {4} LEFT ( a ^{`2} +b ^{`2} RIGHT ) `]이다. 또한 삼각형 [eqn: rm FGH`]는 직각삼각형이므로 넓이는 [eqn: ab`]이고 삼각형 [eqn: rm FGM`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} ab`]이다.

그러므로 [eqn: {1} over {4} LEFT ( a ^{`2} +b ^{`2} RIGHT ) GEQ {1} over {4} LEFT ( 2ab RIGHT )`][eqn: = {1} over {2} ab`] (참)

ㄷ. 선분 [eqn: rm FH`]는 직각이등변삼각형 [eqn: rmEFH`]의 빗변이므로 길이는 [eqn: sqrt {2} times sqrt {a ^{`2} +b ^{`2}} `]

문제에서 [eqn: bar {rm FH}`][eqn: = 6 root 2`]이므로[eqn: sqrt {2} times sqrt {a ^{`2} +b ^{`2}} `]
[eqn: = 6 root 2`]에서 [eqn: a ^{`2} +b ^{`2}`][eqn: =36`]이다.

그런데 삼각형 [eqn: rm FGM`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} ab`]이고

[eqn: 36`][eqn: =a ^{`2} +b ^{`2} GEQ 2ab`]이므로 [eqn: {1} over {2} ab` LEQ `9`]

그러므로 삼각형 [eqn: rm FGM`]의 넓이의 최댓값은 [eqn: 9`]이다. (참)

18. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 등비급수의 합을 구하는 문제를 해결한다.

정사각형 [eqn: R_{`1}`]의 한 변의 길이를 구하기 위해 점 [eqn: rm P{`_1}`]에서 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형의 한 변에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H_{`1}`]이라 하면, [eqn: bar{ rm P_{`1} H_{`1} } `][eqn: =1`]이므로 [eqn: bar{ rm P_{`1} Q_{`1} } `][eqn: =3`]이다.

이때, 피타고라스의 정리에 의해 정사각형 [eqn: R_{`1}`]의 한 변의 길이는 [eqn: {3 root 2} over 2 `]이다.

(최초의 정사각형의 한 변의 길이) : (정사각형 [eqn: R_{`1}`]의 한 변의 길이) [eqn: =4`:`{3 sqrt {2}} over 2`]이므로

수열 [eqn: left{l`_n right} `]의 공비는 [eqn: {3 root 2} over 8 `]，정사각형 [eqn: R _{`1} `]의 한 변의 길이는 [eqn: {3 root 2} over 2 `]이므로 [eqn: l`_1 = { 3root2} over { 2}`]이다.

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } sum _{ k=1} ^{n } } {l`_k} `][eqn: = {{3root2} over 2} over {1- {3 sqrt {2} } over {8}} `][eqn: = {12 root2 } over {8-3 sqrt {2}} `]

[eqn: = {12( 3+ 4 root2 )} over 23]

19. [출제의도] 함수의 그래프와 방정식의 관계를 이해하여 실근의 곱을 구하는 문제를 해결한다.

조건 (가)에 의해

이차함수 [eqn: f(x)`][eqn: =a`x(x-2)] ([eqn: a`]는 상수)꼴이다.

조건 (나)에 의해 [eqn: ax(x-2)`][eqn: -6(x-2)=0`]이므로
[eqn: (ax-6)(x-2)`][eqn: =0`]이다.

이차방정식의 실근의 개수가 [eqn: 1`]이므로 [eqn: ax-6`][eqn: =0`]의  근도 [eqn: x`][eqn: =2`]이다. 즉, [eqn: a`][eqn: =3`]이다.

[eqn: f(x)`][eqn: =3x(x-2)`][eqn: =3(x-1) ^{2} -3`]이므로

이차함수 [eqn: f(x)`]의 꼭짓점은 [eqn: (1,~-3)`]이다.

[eqn: f left( f(x) right) `][eqn: =`-3`]을 만족하기 위해서는 [eqn: f(x) =1`]이 되어야 함을 그래프에서 알 수 있다.

그러므로 [eqn: 3x^{`2} -6x=1`]에서 [eqn: 3x^{`2} -6x-1=0`]이다.

따라서 서로 다른 두 실근의 곱은 근과 계수의 관계에서 [eqn: - 1 over 3 `]이다.

20. [출제의도] 절댓값의 성질을 활용하여 수열의 합을  구하는 문제를 해결한다.

[eqn: LEFT | LEFT ( n+ {1} over {2} RIGHT ) ^{2} -m RIGHT | < {1} over {2}]

[eqn: - 1 over 2 < LEFT ( n+ {1} over {2} RIGHT ) ^{2} -m < {1} over {2}]

[eqn: LEFT ( n+ {1} over {2} RIGHT ) ^{`2`][eqn: =n ^{`2} +n+ {1} over {4} `]에서

[eqn: - 3 over 4 < n ^{`2} +n -m < 1 over 4 `]

[eqn: m`], [eqn: n`]은 정수이므로 [eqn: n`^2 +n-m=0`]이다.

[eqn: m`]은 [eqn: n^{`2}+n`]이다. 즉, [eqn: a _{`n} `][eqn: =n ^{`2} +n`]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{`k} `][eqn: = sum _{k=1} ^{5} LEFT ( k ^{`2} +k RIGHT )`][eqn: = {5 TIMES 6` TIMES 11} over {6} + {5 TIMES 6`} over {2} `]

[eqn: =55+15 `][eqn: =70`]이다.

21. [출제의도] 집합으로 정의된 부등식의 성질을 이용하여 급수 문제를 해결한다.

두 함수 [eqn: y=x ^{2} +2x`], [eqn: y=x ^{2} -1`]의 그래프는 그림과 같다.

자연수 [eqn: 1,~2`]는 [eqn: x=1`]일 때 [eqn: 1 ^{2} -1=0`]과

[eqn: 1 ^{2} +2 TIMES 1=3`] 사이의 수이다. 이때 [eqn: 1 IN A`]이므로  [eqn: A != EMPTYSET `]이다.

그러므로 [eqn: 1,~2`]는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항이 될 수 없다.

그런데 [eqn: a=3`]일 때, 부등식 [eqn: x ^{2} -1<a<x ^{2} +2x`]를 만족시키는 자연수 [eqn: x`]가 존재하지 않으므로 [eqn: rm A= EMPTYSET`]이다. 즉, [eqn: a`_1 =3`]

자연수 [eqn: 4], [eqn: 5`], [eqn: 6`], [eqn: 7`]은 [eqn: x`][eqn: =2`]일 때 [eqn: 2 ^{`2} -1=3`]과 [eqn: 2 ^{`2} +2 TIMES 2=8`] 사이의 수이다. 이 때 [eqn: 2 IN A`]이므로  [eqn: A != EMPTYSET `]이다. 따라서 [eqn: 4], [eqn: 5`], [eqn: 6`], [eqn: 7`]은 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의

둘째 항이 될 수 없다.

그런데 위 그림에서 [eqn: x ^{2} -1<8<x ^{2} +2x`]를 만족시키는 자연수 [eqn: x`]가 존재하지 않으므로 [eqn: a _{2} `][eqn: =8`]이다.

마찬가지로 자연수 [eqn: 9`], [eqn: 10`], [eqn: 11`], [eqn: 12`], [eqn: 13`], [eqn: 14`]는

[eqn: x`][eqn: =3`]일 때 [eqn: 3 ^{`2} -1=8`]과 [eqn: 3 ^{`2} +2 TIMES 3=15`] 사이의 수이다. 이 때 [eqn: 3 IN A`]이므로 [eqn: A != EMPTYSET `]이다.

따라서 [eqn: 9`], [eqn: 10`], [eqn: 11`], [eqn: 12`], [eqn: 13`], [eqn: 14`]는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의

셋째 항이 될 수 없다.

그런데 위 그림에서 [eqn: x ^{2} -1<15<x ^{2} +2x`]를 만족시키는 자연수 [eqn: x`]가 존재하지 않으므로 [eqn: a _{3} `][eqn: =15`]이다.

⋮

위의 과정을 통해 집합 [eqn: A`]를 공집합이 되도록 하는 자연수 [eqn: a`]는 [eqn: k ^{`2} -1`] 또는 [eqn: k ^{`2} +2k`] ([eqn: k`]는 자연수)의 값임을 알 수 있다.

그런데 [eqn: x`][eqn: =k`]([eqn: k`]는 자연수)일 때 [eqn: k ^{`2} +2k`]의 값은

[eqn: x`][eqn: =k+1`]([eqn: k`]는 자연수)일 때 [eqn: (k+1)^{`2} -1`]의 값과

같고, [eqn: x`][eqn: =1`]일 때, [eqn: 1^2 -1`][eqn: =0`]은 자연수가 아니므로 [eqn: x`][eqn: =k`]([eqn: k`]는 자연수)일 때 [eqn: k^{`2} +2k`]인 자연수를 나열하면 된다.

따라서 [eqn: n`]번째 나열된 수는 [eqn: n^{`2} + 2n`]이므로

[eqn: a_{`n}`][eqn: = n^{`2} +2n`]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n}}`][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } {1} over {n(n+2)}`][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } {1} over {2} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT )`][eqn: = lim _{n -> INF } {{1} over {2} left{ LEFT ( {1} over {1} - {1} over {3} right) + left( {1} over {2} - {1} over {4} right) + left( {1} over {3} - {1} over {5} right) + CDOTS `]

[eqn: + left( {1} over {n-1} - {1} over {n+1} right) + left( {1} over {n} - {1} over {n+2} right) RIGHT } ``}`][eqn: = lim _{n -> INF } {{1} over {2} LEFT ( {1} over {1} + {1} over {2} - {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT ) ``} `]

[eqn: = {{1} over {2} LEFT ( {1} over {1} + {1} over {2} -0-0 RIGHT ) ``} `][eqn: = 3 over 4`]

[다른풀이]

[eqn: x^2 -1 <a<x^2 +2x]를 정리하면

[eqn: x^2 <a+1<x^2 +2x+1]

[eqn: x^2 <a+1<(x+1)^2]

[eqn: a+1`]이 자연수 [eqn: x`]에 대해 [eqn: x ^{2} `] 또는 [eqn: (x+1) ^{2} `]이면 부등식 [eqn: x^2 -1 <a<x^2 +2x]의 해 중 자연수는 존재하지 않으므로 [eqn: A`]가 공집합이다.

이 때, [eqn: a+1=k ^{2} `]([eqn: k`]는 [eqn: 2`] 이상의 자연수)를 만족시키는 자연수 [eqn: a`]를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것이 수열 [eqn: left{ a_{`n} right} `]이다.

따라서　[eqn: sum _{n=1`} ^{INF } {1} over {a _{n}}`][eqn: = sum _{k=2} ^{INF } {1} over {k^{`2} -1}`]

[eqn: = sum _{k=2} ^{INF } 1 over 2 left( 1 over{k-1} - 1 over k+1 right)][eqn: = 3 over 4`]

22. [출제의도] 로그의 정의를 알고 진수를 계산한다.

로그의 정의에 의해 [eqn: a`][eqn: =4 ^{{7} over {2}}`][eqn: = LEFT ( 2 ^{`2} RIGHT ) ^{`{7} over {2}} `][eqn: =2 ^{`7}`][eqn: =128`]이다.

23. [출제의도] 시그마의 정의를 이해하여 일반항을 구한다.

[eqn: a _{`10} `][eqn: = sum _{k=1} ^{10} a _{`k} - sum _{k=1} ^{9} a _{`k}`][eqn: =19-17`][eqn: =2`]

따라서 [eqn: a _{`10}`][eqn: =2`]

24. [출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이해하여 조건을 만족시키는 지수를 구한다.

[eqn: root {3} of {4 ^{`n}}`][eqn: =4 ^{`{n} over {3}}`][eqn: =2 ^{`{2n} over {3}} `]이 정수가 되기 위해서는 [eqn: {2n} over {3} `]이 자연수이어야 하므로 [eqn: n`]은 [eqn: 3`]의 배수이다. [eqn: n`]은 [eqn: 100`] 이하의 자연수이고, [eqn: 100`] 이하의 자연수 중 [eqn: 3`]의 배수의 개수는 [eqn: 33`]이다.

따라서 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 33`]이다.

25. [출제의도] 집합을 이해하여 부등식의 해를 구한다.

[eqn: x ^{`2} -x-12 LEQ 0`]에서 [eqn: (x+3)(x-4) LEQ 0`]이므로

[eqn: -3 LEQ x LEQ 4`]

그러므로 [eqn: A`][eqn: = LEFT { x`|`-3 LEQ x LEQ 4 RIGHT } `]

조건 (가)에서 [eqn: A CUP B=R`]이므로

[eqn: a ge `-3 `]이고 [eqn: b LEQ 4`]이다.

또, [eqn: A-B=A SMALLINTER B ^{C} `]이고 [eqn: B ^{C} = LEFT { x`|`a LEQ x LEQ b RIGHT } `]이다.

ⅰ) [eqn: a> `-3 `]인 경우 집합 [eqn: A SMALLINTER B ^{C} `]의 원소 중 가장 작은 수는 [eqn: a`]이므로 [eqn: A-B = left{ x``|``-3 LEQ x LEQ 1 right}]을 만족시키지 않는다.

그러므로 [eqn: a=`-3`]이다.

ⅱ) [eqn: b LEQ 4`]인 경우 집합 [eqn: A SMALLINTER B ^{C} `]의 원소 중 가장 큰 수는 [eqn: b`]이므로 [eqn: A-B = left{ x``|``-3 LEQ x LEQ 1 right}]을 만족시키기 위한 [eqn: b`]의 값은 [eqn: 1`]이다.

두 조건을 만족시키는 두 집합의 관계를 수직선 위에 나타내면 그림과 같다.

따라서 [eqn: a`][eqn: =`-3`], [eqn: b`][eqn: =1`]이므로 [eqn: b-a`][eqn: =4`]이다.

26. [출제의도] 꼭짓점의 위치가 변함에 따라 무게중심이 수렴할 좌표를 추론한다.

두 실수 [eqn: alpha,~beta`]에 대해 [eqn: rm `P _{it `n rm} LEFT ( alpha ,~ {alpha } over {it n} +1 RIGHT )`],

[eqn: rm `Q _{it `n rm} LEFT ( beta ,~ {beta } over {it n rm} +1 RIGHT )`]이라 하면 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]는

방정식 [eqn: x ^{`2} - LEFT ( 4+ {1} over {n} RIGHT ) x+ {4} over {n}`][eqn: = {1} over {n} x+1`]의 두 근이다.

[eqn: x ^{`2} - LEFT ( 4+ {2} over {n} RIGHT ) x+ {4} over {n} -1`][eqn: =0`]이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 [eqn: alpha+beta`][eqn: =4+ { 2} over { n}`]이다.

한편 삼각형 [eqn: rm OP_{it `n} Q_{`it n}`]의 무게중심의 [eqn: y`]좌표

[eqn: a _{`n}`][eqn: = {1} over {3} ` LEFT ( 0+ {alpha } over {n} +1+ {beta } over {n} +1 RIGHT ) `]

[eqn: = {1} over {3} LEFT ( {alpha + beta } over {n} +2 RIGHT )`]

[eqn: = {1} over {3} LEFT ( {4+ {2} over {n}} over {n} +2 RIGHT ) `][eqn: = {1} over {3} LEFT ( {4} over {n} + {2} over {n ^{`2}} +2 RIGHT )`]

따라서

[eqn: 30` lim _{n -> INF } {} a _{`n} `][eqn: =30 lim _{n -> INF } {} {1} over {3} LEFT ( {4} over {n} + {2} over {n ^{`2}} +2 RIGHT ) `]

[eqn: =10(0+0+2)`][eqn: =20`]이다.

27. [출제의도] 명제와 진리집합의 관계를 이해하여 두 진리집합의 개수를 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: x ^{`2} LEQ 2x+8]에서 [eqn: (x+2)(x-4) LEQ 0`]이므로
[eqn: -2 LEQ x LEQ 4`]

[eqn: P SUBSET U`]이므로 [eqn: P`][eqn: = LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT } `]

명제 [eqn: SIM p`` -> ``r`]가 참이므로 대우명제인 [eqn: SIM r`` -> ``p`]도 참이다. 그러므로
[eqn: SIM r`` RARROW ``p`]에서 [eqn: R ^{C} SUBSET P`],  [eqn: p`` RARROW ``q`]에서 [eqn: P SUBSET Q`]

집합 [eqn: Q`]는 집합 [eqn: P`]를 포함하므로 가능한 집합 [eqn: Q`]의 개수는 [eqn: 2^{`4}`]이다.

ⅰ) [eqn: n LEFT ( R ^{C} ` RIGHT ) `][eqn: =0`]인 경우

[eqn: R ^{C}`][eqn: = EMPTYSET `]이므로 [eqn: R`][eqn: =U`]이다.

그러므로 순서쌍 ([eqn: Q,`R`])의 개수는 [eqn: 2 ^{`4} ` TIMES `1`]이다.

ⅱ) [eqn: n LEFT ( R ^{C} ` RIGHT ) `][eqn: =1`]인 경우

[eqn: R ^{C}`][eqn: = LEFT { 1 RIGHT } `]이면 [eqn: R`][eqn: = LEFT { 2,~3,~4,~5,~6,~7,~8 RIGHT } `]이다.

이때 순서쌍 ([eqn: Q,`R`])의 개수는 [eqn: 2 ^{`4} ` TIMES `1`]이다.

[eqn: R ^{C} `]이 [eqn: LEFT { 2 RIGHT }`], [eqn: LEFT { 3 RIGHT } `], [eqn: LEFT { 4 RIGHT } `]인 경우도 가능한 집합 [eqn: Q`]의 개수는 각각 [eqn: 2^{`4}`]씩 이다.

그러므로 순서쌍 ([eqn: Q,`R`])의 개수는 [eqn: 2 ^{`4} times4`]이다.

ⅲ) [eqn: n LEFT ( R ^{C} ` RIGHT )`][eqn: =2`]인 경우

[eqn: R ^{C} `][eqn: = LEFT { 1,~2 RIGHT } `]이면 [eqn: R`][eqn: = LEFT { 3,~4,~5,~6,~7,~8 RIGHT } `]이다.

이때 순서쌍 ([eqn: Q,`R`])의 개수는 [eqn: 2 ^{`4} ` TIMES `1`]이다.

[eqn: R ^{C} `]이 [eqn: LEFT { 1,~3 RIGHT } ,~ LEFT { 1,~4 RIGHT } ,~ LEFT { 2,~3 RIGHT } ,~ LEFT { 2,~4 RIGHT } ,~ LEFT { 3,~4 RIGHT } `]인 경우도 가능한 집합 [eqn: Q`]의 개수는 각각 [eqn: 2^{`4}`]씩 이다.

그러므로 순서쌍 ([eqn: Q,`R`])의 개수는 [eqn: 2 ^{`4} `times 6`]이다.

ⅳ) [eqn: n LEFT ( R ^{C} ` RIGHT ) =3`]인 경우

[eqn: R ^{C} = LEFT { 1,~2,~3 RIGHT } `]이면 [eqn: R= LEFT { 4,~5,~6,~7,~8 RIGHT } `]이다.

이때 순서쌍 ([eqn: Q,`R`])의 개수는 [eqn: 2 ^{`4} ` TIMES `1`]이다.

[eqn: R ^{C} `]이 [eqn: LEFT { 1,~2,~4 RIGHT } ,~ LEFT { 1,~3,~4 RIGHT } ,~ LEFT { 2,~3,~4 RIGHT } `]인 경우도 가능한 집합 [eqn: Q`]의 개수는 각각 [eqn: 2^{`4}`]씩 이다.

그러므로 순서쌍 ([eqn: Q,`R`])의 개수는  [eqn: 2 ^{`4} times4`]이다.

ⅴ) [eqn: n LEFT ( R ^{C} ` RIGHT ) =4`]인 경우

[eqn: R ^{C} = LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT } `]이면 [eqn: R= LEFT { 5,~6,~7,~8 RIGHT } `]이다.

이때 순서쌍 ([eqn: Q,`R`])의 개수는 [eqn: 2 ^{`4} ` TIMES `1`]이다.

ⅰ) ∼ ⅴ)에 의해서 순서쌍 ([eqn: Q,`R`])의 개수는

[eqn: 2 ^{4} `+4 TIMES 2 ^{4} +6 TIMES 2 ^{4} +4 TIMES 2 ^{4} +2 ^{4}][eqn: =16 TIMES 2 ^{4} =256`]이다.

28. [출제의도] 합성함수의 성질을 이해하여 주어진 식의 미정계수의 값을 구하는 문제를 해결한다.

합성함수 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`x ^{2} +2ax+16&`(x<0)#`x+16&`(x GEQ 0)}} ``]이다.

[eqn: a LEQ 0`]이면
합성함수 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) (x)`]의 치역이 [eqn: LEFT { y``|``y GEQ 16 RIGHT } `]이므로 문제의 치역과 달라 [eqn: a>0`]이어야 한다.

[eqn: y=`x ^{2} +2ax+16`]의 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표가 음수이므로

합성함수 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) (x)`]의 치역이 [eqn: LEFT { y``|``y GEQ 0 RIGHT } `]이기 위해서는 꼭짓점의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: 0`]이다.

[eqn: y=`x ^{2} +2ax+16=(x+a) ^{2} +16-a ^{2} ``]에서

[eqn: 16-a ^{2} =0`], [eqn: a=±4`]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a=4`]

29. [출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 집합의 원소를 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: n LEFT ( P SMALLINTER A RIGHT ) =2`]에서 집합 [eqn: A`]에 속한 [eqn: 4`]개의 원소 중 오직 [eqn: 2`]개만 집합 [eqn: P`]에 속한다. 즉, 집합 [eqn: A`]의 원소 중 집합 [eqn: P`]에 속하는 원소들의 합의 최댓값은 [eqn: 3+4=7`], 최솟값은 [eqn: 1+2=3`]이다.

그러므로 집합 [eqn: A`]에 속하지 않는 원소들의 합은 [eqn: 21`]이상 [eqn: 25`]이하이다. … ㉠

[eqn: P-B= EMPTYSET `]에서 [eqn: P SUBSET B `]이고 집합 [eqn: B`]의 원소 중 집합 [eqn: A`]에 속하는 원소를 제외한 나머지 원소들의 집합은 [eqn: left{5, ~6, ~7,~8right}`]이다.

ⅰ) [eqn: left{5, ~6, ~7,~8right}`]이 집합 [eqn: P`]에 포함되는 경우 원소의 합은 [eqn: 26`]이므로 ㉠을 만족시키지 않는다.

ⅱ) [eqn: left{5, ~6, ~7,~8right}`]의 부분집합 중 세 원소로 이루어진 집합이 집합 [eqn: P`]에 포함되는 경우 원소의 합의 최솟값은 [eqn: 5+6+7=18`], 최댓값은 [eqn: 6+7+8=21`]
이므로 ㉠을 만족시키는 집합은 [eqn: left{6, ~7, ~8right}`]이고
(다)에 의해 [eqn: left{3, ~4, ~6, ~7, ~8 right}`]는 집합 [eqn: P`]가 될 수 있다.

ⅲ) [eqn: left{5, ~6, ~7,~8right}`]의 부분집합 중 두 원소로 이루어진 집합은 ㉠을 만족시키지 않는다.

ⅰ) ~ ⅲ)에 의해 [eqn: P=left{3, ~4, ~6, ~7, ~8 right}`]이고

[eqn: P-A= LEFT { 6,~7,~8 RIGHT } `]이다.

따라서 [eqn: P-A`]의 모든 원소의 곱은 [eqn: 336`]이다.

30. [출제의도] 유리함수의 그래프를 활용하여 주어진 수열의 합을 구하는 문제를 해결한다.

곡선 [eqn: f(x)`=`4+`60over{2x-15} `]의 그래프는 그림과 같다.

곡선 [eqn: y = f(x)`]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( {15} over {2} ,~4 RIGHT ) `]에 대해 대칭이므로

[eqn: f(7)+f(8)= 8`], [eqn: f(6)+f(9)= 8`],

[eqn: f(5)+f(10)= 8`], [eqn: f(4)+f(11)= 8`],

[eqn: f(3)+f(12)= 8`], [eqn: f(2)+f(13)= 8`],

[eqn: f(1)+f(14)= 8`]

에서 [eqn: sum _{n=1} ^{14} a _{n} =f(1)+f(2)+f(3)+ `CDOTS` +f(14)=56`]

또, [eqn: a_15 = f(15)=8`]

[eqn: a_16 = f(16) = 4+ 60 over {2 times 16 - 15 } = 7 + 9 over17 <8`]

[eqn: a_17 = f(17) >4`]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{16} a _{n} <73< sum _{n=1} ^{17} a _{n} `]이다.

따라서 [eqn: m`]의 최댓값은 [eqn: 16`]이다.