(홀수형)

2006학년도 대학수학능력시험 (수리영역-가형)  정답 및 해설

1. [eqn: 5^{2 over 3} times 25^{ - 5 over 6} = 5^{2 over 3} times (5^2 )^{ - 5 over 6} =][eqn: 5^{2over3}×5^{- 5 over3}]

[eqn: =5^{2over 3 - 5over 3 } = 5^-1 = 1over 5]

ꂼ ②

2. [eqn: 2A+X=AB]에서

[eqn: X=AB-2A]

[eqn: =AB-2AE]

[eqn: =A(B-2E)]

[eqn: =pmatrix{ 1& 1# 1&0 } left{ pmatrix{ 1& 2# 3& 4}-2pmatrix{ 1&0 #0 & 1}right}]

[eqn: =pmatrix{ 1& 1# 1&0 } pmatrix{ -1& 2# 3& 2}][eqn: =pmatrix{ 2& 4#-1 &2 }]

ꂼ ②

3. [eqn: lim_x->2 {x^2 -(a+2)x +2a} over {x^2 - b } = 3]에서

[eqn: x~->~2]일 때 (분자)→0이므로 (분모)→0이어야 한다.

따라서 [eqn: lim_x->2 left( x^2 -b right) = 4-b=0]에서 [eqn: b=4]

∴ [eqn: lim_x->2 {x^2 -(a+2)x +2a} over {x^2 - b }]

[eqn: = lim_x->2 {(x-2)(x-a)} over {(x-2)(x+2) }]

[eqn: = lim_x->2 {x-a} over {x+2 }]

[eqn: = 2-a over 2+2 = 3]

∴ [eqn: a=-10]

∴ [eqn: a+b=-10+4=-6]

ꂼ ①

4. 벡터 [eqn: rm vec OP = it (a, ~b) , rm ~vec OQ = it (c , d)]라 하면

[eqn: rm vec OP' = it (a+3, ~b+1) , rm ~vec OQ' = it (c+3 , d+1)]

ㄱ. [eqn: rm vec OP - vec OP' = it (a,b)- (a+3, b+1)]

[eqn: =(-3,- 1)]

이므로

[eqn: rm |vec OP - vec OP' | = root {(-3)^2 +(-1)^2 } = root 10] (참)

ㄴ.

[eqn: rm vec OP - vec OQ = it (a, b)-(c, d) = (a-c, b-d)]

[eqn: rm vec OP' - vec OQ' = it (a+3, b+1)-(c+3, d+1)]

[eqn: =(a-c, b-d)]

이므로 [eqn: rm vec OP - vec OQ =][eqn: rm vec OP' - vec OQ']

∴ [eqn: rm | vec OP - vec OQ | =][eqn: rm |vec OP' - vec OQ' |] (참)

ㄷ. (반례)

[eqn: rm vec OP = (1, 1) , ~vec OQ = (1, 2)]일 때,

[eqn: rm vec OP ․ vec OQ = 1․1+1․2 = 3]이다.

그런데, [eqn: rm vec OP' = (4, 2) , ~vec OQ' = (4, 5)]이므로

[eqn: rm vec OP' ․ vec OQ' = 4․4 + 2․5 = 26]

∴ [eqn: rm vec OP ․ vec OQ ≠][eqn: rm vec OP' ․ vec OQ'] (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

ꂼ ③

5. 점 [eqn: (a, b)]는 쌍곡선 [eqn: x^2 over 5 - y^2 over 4 = 1] 위의 점이므로 [eqn: a^2 over 5 - b^2 over 4 = 1] … ㉠

쌍곡선 [eqn: x^2 over 5 - y^2 over 4 = 1]의 두 초점의 좌표는

F(3, 0), F'(-3, 0)이다.

이 때, 사각형 F'QFP의 넓이는 합동인 두 삼각형 F'QF, FPF'의 넓이와 같으므로

[eqn: □F'QFP = 2×△FPF']

[eqn: = 2× 1over 2 × bar FF' × |b|]

[eqn: =6|b| = 24]

∴ [eqn: |b|= 4] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a^2 = 25]이므로 [eqn: |a|=5]

∴ [eqn: |a|+|b|=5+4=9]

ꂼ ①

6. i) [eqn: F(x) = xg_1 (x)]라 하면

[eqn: F(x) = cases{ |x| ~~(x≠0)#0~~(x=0)}]

에서 [eqn: lim_x->0 F(x) =F(0)=0]이므로

[eqn: F(x) = xg_1 (x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

∴ [eqn: a_1 = N(g_1 ) = 1]

ii) [eqn: F(x) = xg_2 (x)]라 하면

[eqn: F(x) = cases{ -x^3 +x ~~(x≠0)#0~~~~~~~~(x=0)}]

에서 [eqn: lim_x->0 F(x) =F(0)=0]이므로

[eqn: F(x) = xg_2 (x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

∴ [eqn: a_2 = N(g_2 ) = 1]

iii) [eqn: F(x) = xg_3 (x)]라 하면

[eqn: F(x) = cases{ 1over x ~~(x≠0)#0~~~~(x=0)}]

에서 [eqn: lim_x->0 F (x) = (발산)]이므로 [eqn: F(x) = xg_3 (x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이다.

또, [eqn: F(x) = x^2 g_3 (x)]라 하면

[eqn: F(x) = cases{ 1 ~~(x≠0)#0~~(x=0)}]

에서 [eqn: lim_x->0 F (x)=1 ≠0=F(0)]이므로

[eqn: F(x) = x^2 g_3 (x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이다.

[eqn: F(x) = x^3 g_3 (x)]라 하면

[eqn: F(x) = cases{ x ~~(x≠0)#0~~(x=0)}]

에서 [eqn: lim_x->0 F(x) =F(0)=0]이므로

[eqn: F(x) = x^3 g_3 (x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

∴ [eqn: a_3 = N(g_3 ) = 3]

∴ [eqn: a_1 = a_2 <a_3]

ꂼ ①

7. 정육각형의 한 내각의 크기는 120〬이므로 색칠한 이등변삼각형에서 길이가 같은 두 변의 길이를 [eqn: a]라 하면 6개의 삼각형의 넓이의 합은

[eqn: 6× 1over 2 × a^2 sin120〬 = {3root3} over 2 a^2][eqn: =6root3]

∴ [eqn: a=2] (∵ [eqn: a>0])

따라서 주어진 타원의 장축의 길이는 10이고 두 초점 사이의 거리는 [eqn: 10-2․2=6]이다.

따라서 이 타원과 합동이고 중심이 원점이고 장축이 [eqn: x]축 위에 있는 타원의 방정식은

[eqn: x^2 over 5^2 + y^2 over b^2 = 1]

이 때, 초점의 좌표는 [eqn: (+- 3, 0)]이어야 하므로

[eqn: 5^2 - b^2 = 3^2]

∴ [eqn: b^2 = 16]

따라서 구하는 타원의 단축의 길이는

[eqn: 2×|b| = 2×4=8]

ꂼ ④

8. 분수부등식 [eqn: x over x-a + x over x-b ≦0]의 좌변을 통분하면

[eqn: x(x-b) over x-a + x(x-a) over x-b ≦0]

[eqn: x(2x-a-b) over {(x-a)(x-b)}≦0] … ㉠

㉠의 양변에 [eqn: (x-a)^2 (x-b)^2]을 곱하면

[eqn: x(2x-a-b)(x-a)(x-b)≦0],

[eqn: (단, ~x≠a, ~x≠b)]

이 때, [eqn: a< a+b over 2 < b]이므로 주어진 분수부등식의 해는

[eqn: 0≦x<a] 또는 [eqn: a+b over 2 ≦ x<b]

[eqn: a=1, b=2]일 때 정수인 해가 존재하지 않는다.

[eqn: a=1, b=3]일 때 [eqn: a+b over 2 = 2]이므로 정수인 해는 [eqn: x=0], [eqn: x=2]의 2개이다.

[eqn: a=1, b=4]일 때 [eqn: a+b over 2 = 5over2]이므로 정수인 해는 [eqn: x=0], [eqn: x=3]의 2개이다.

[eqn: a=1, b≧5]일 때 정수인 해는 세 개 이상이다.

[eqn: a=2, b=3]일 때 [eqn: a+b over 2 = 5over2]이므로 정수인 해는 [eqn: x=0], [eqn: x=1]의 2개이다.

[eqn: a=2, b≧4]일 때 정수인 해는 3개 이상이다.

[eqn: a≧3]이면 정수인 해는 3개 이상이다.

따라서 구하는 순서쌍 [eqn: (a, b)]의 개수는

[eqn: (1, 3), ~(1, 4), ~(2, 3)]의 3개이다.

ꂼ ③

9. 도함수 [eqn: y=f`'(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: y=f`'(x)]

[eqn: -1]

따라서 연속함수 [eqn: f(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: y=f(x)]

[eqn: x=-1]

[eqn: x=1]

ㄱ. [eqn: lim_x->-1-0 f``'(x) =-1<0],

[eqn: lim_x->-1+0 f``'(x) =1>0]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 감소상태에서 증가상태로 바뀐다.

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극소값을 갖는다. (참)

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이 아니므로 [eqn: f(x)=f(-x)]가 성립하지 않는다. (거짓)

ㄷ. [eqn: y=f(x)]의 그래프에서 [eqn: f(1)>f(0)]이므로

[eqn: f(0)=0]이면 [eqn: f(1)>0]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ꂼ ④

10. 좌표공간은 [eqn: xy]평면, [eqn: yz~]평면, [eqn: zx]평면에 의해 다음과 같이 8개의 영역으로 나누어진다.

① [eqn: x>0, ~y>0, ~z>0]인 영역,

② [eqn: x>0, ~y>0, ~z<0]인 영역,

③ [eqn: x>0, ~y<0, ~z>0]인 영역,

④ [eqn: x>0, ~y<0, ~z<0]인 영역,

⑤ [eqn: x<0, ~y>0, ~z>0]인 영역,

⑥ [eqn: x<0, ~y>0, ~z<0]인 영역,

⑦ [eqn: x<0, ~y<0, ~z>0]인 영역,

⑧ [eqn: x<0, ~y<0, ~z<0]인 영역,

한편, 주어진 구

[eqn: C ~:][eqn: (x+2)^2 +(y-3)^2 +(z-4)^2 = 24]

의 중심은 [eqn: (-2, 3, 4)]이므로 구 [eqn: C]의 중심은 ⑤의 영역에 있다.

따라서 구 [eqn: C]는 ⑤의 영역을 지난다.

또, 구의 반지름의 길이 [eqn: r]는 [eqn: r=][eqn: root 24 = 2root6]이고, [eqn: |-2|<r, ~3<r, ~4<r]이므로 구 [eqn: C]는 [eqn: yz~]평면, [eqn: zx]평면, [eqn: xy]평면에 의하여 두 부분으로 나누어진다. 따라서 구 [eqn: C]는 ①, ⑦, ⑥의 영역을 지난다.

한편, [eqn: root{(-2)^2 +3^2 }<r]이므로 구 [eqn: C]는 [eqn: z]축과 서로 다른 두 점에서 만난다.

따라서 ③의 영역을 지난다.

또, [eqn: root{(-2)^2 +4^2 }<r]이므로 구 [eqn: C]는 [eqn: y]축과 서로 다른 두 점에서 만난다.

따라서 ②의 영역을 지난다.

하지만, [eqn: root{3^2 +4^2 }>r]이므로 구 [eqn: C]는 [eqn: x]축과 만나지 않는다.

따라서 ⑧의 영역을 지나지 않는다.

또, [eqn: root{(-2)^2 +3^2 +4^2} >r]이므로 원점의 구 [eqn: C]의 외부에 있다.

따라서 ④의 영역을 지나지 않는다.

따라서 구 [eqn: C]가 지나는 영역은 ①, ②, ③, ⑤, ⑥, ⑦의 6개이다.

ꂼ ③

11. ㄱ. 2006은 4자리의 자연수이므로 [eqn: log2006]의 지표는 3이다.

∴ [eqn: f(2006)=3] (참)

ㄴ. [eqn: log2 , ~log6]의 가수는 각각 [eqn: log2 , ~log6]이므로 [eqn: g(2)=log2 , ~g(6)=log6]이다.

또, [eqn: 12=1.2×10^1]이므로 [eqn: log12]의 가수는 [eqn: log1.2]이다.

∴ [eqn: g(12)=log1.2]

∴ [eqn: g(2)+g(6)=log2+log6]

[eqn: =log12=log1.2+1=g(12)+1] (참)

ㄷ. 임의의 양수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: log x = (지표)+(가수)=f(x)+g(x)]이므로

[eqn: log a = f(a)+g(a)], [eqn: logb = f(b)+g(b)]이고 [eqn: log a b = f(a b )+g(a b)]이다.

그런데, [eqn: log a b = log a + log b]이므로

[eqn: f(a b )+g(a b ) = f(a) +g(a) + f(b)+g(b)]이다.

따라서 [eqn: f(ab)=f(a)+f(b)]이면

[eqn: g(ab)=g(a)+g(b)]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

12. 행렬 [eqn: pmatrix{x &y #1 &a }]가 역행렬을 가질 조건은

[eqn: ax-y≠0] 즉, [eqn: y≠ax]이다.

따라서 점 [eqn: \P(x, y)]는 원점을 지나고 기울기가 [eqn: a]인 직선 [eqn: y=ax] 위에 있지 않은 점이다.

따라서 점 [eqn: \P(x, y)]가 나타내는 도형은 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 2이고 중심각의 크기가 60〬인 2개의 호이다.

[eqn: (1,root3 )]

[eqn: (-1,root3 )]

[eqn: \O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: y=ax]

60〬

따라서 구하는 도형의 길이는

[eqn: 2× 60〬 over 360〬 × 4pi = 4 over 3 pi]

ꂼ ④

13. ㄱ. (반례) [eqn: a_3k = 1over {2^3k-1} cos {{(3k-1)pi} over 2}]에

[eqn: k=2]를 대입하면

[eqn: a_6 = 1over {2^5} cos {{5pi} over 2} = 1 over 2^5 ․0 = 0] (거짓)

ㄴ. [eqn: a_4k-1 = 1over 2^{4k-2} cos {{(4k-2)pi} over 2}]

[eqn: = 1over 2^{4k-2} cos {{(2k-1)pi}} = - 1over 2^4k-2],

[eqn: b_4k-1 = {1+(-1)^{4k-2}}over 2^{4k-1}]

[eqn: = 2 over 2^{4k-1} = 1 over 2^{4k-2}]

이므로 [eqn: a_4k-1 +b_4k-1 = 0] (참)

ㄷ. {[eqn: a_n]} : 1, 0, [eqn: - 1over 4], 0, [eqn: 1over 16], 0, …이므로

[eqn: sum_n=1^inf a_n = 1 over { 1- left(- 1over 4 right)}][eqn: = 4 over 5]

{[eqn: b_n]} : 1, 0, [eqn: 1over 4], 0, [eqn: 1over 16], 0, …이므로

[eqn: sum_n=1^inf b_n = 1 over { 1- 1over 4} = 4 over 3]

따라서 [eqn: 4 over 5 = 3over 5 ․ 4over 3]이므로

[eqn: sum_n=1^inf a_n = 3over 5 sum_n=1^inf b_n] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

14. 크기가 4인 표본의 표본평균 [eqn: bar X]는 정규분포 [eqn: rm N left( 11, left( 2over root 4 right)^2 right)] 즉, [eqn: rm N left( 11, 1^2 right)]을 따른다.

∴ [eqn: \P left( 10≦ bar X ≦ 14 right)]

[eqn: rm = P it left( 10-11 over 1 ≦ {bar X -11 }over 1 ≦ 14-11 over 1 right)]

[eqn: = rm P it ( -1 ≦Z ≦ 3 )]

[eqn: =rm P it ( 0≦ Z≦ 1 )+rm P it left( 0≦ Z≦ 3 )]

[eqn: =0.3413 + 0.4987 = 0.84]

이 때, [eqn: A], [eqn: B] 두 사람이 각각 독립적인 표본을 임의추출하였으므로 두 사람이 뽑은 표본의 표본평균이 10 이상 14 이하일 확률은 모두 0.84로 같고, 두 사건은 서로 독립이다.

따라서 두 표본평균이 모두 10 이상 14 이하일 확률은 [eqn: 0.84× 0.84 = 0.7056]이다.

ꂼ ②

15. [eqn: l_1]은 반지름의 길이가 8, 중심각의 크기가 θ인 호의 길이이므로 [eqn: l_1 = 8 θ]이다.

또, [eqn: l_2]는 반지름의 길이가 [eqn: 8 sin θ], 중심각의 크기가 θ인 호의 길이이므로 [eqn: l_2 = 8θ sin θ]이다.

마찬가지로 [eqn: l_3 = 8θ sin^2 θ , ~l_4 = 8θ sin^3 θ , ~…]이다.

따라서 수열 {[eqn: l_n]}은 첫째항이 [eqn: 8θ]이고 공비가 [eqn: sinθ]인 무한등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf l_n = 8θ over { 1- sinθ} = 12θ]

∴ [eqn: sinθ = 1over3]

ꂼ ⑤

16. [eqn: sum_k=1^m+1 (5k-3) left( 1OVER k + 1over k+1 + …+ 1over m+1 right)]

[eqn: =sum_k=1^m (5k-3) left( 1OVER k + 1over k+1 + …+ 1over m+1 right)]

[eqn: + left{5(m+1)-3right} 1 over m+1]

[eqn: =sum_k=1^m (5k-3) left( 1OVER k + 1over k+1 + …+ 1over m+1 right)]

[eqn: + 5m+2 over m+1]

[eqn: =sum_k=1^m (5k-3) left{ left( 1OVER k + 1over k+1 + …+ 1over m right)+ 1over m+1 right}]

[eqn: + 5m+2 over m+1]

[eqn: =sum_k=1^m (5k-3) left( 1OVER k + 1over k+1 + …+ 1over m right)]

[eqn: +sum_k=1^m (5k-3) 1over m+1][eqn: + 5m+2 over m+1]

[eqn: =sum_k=1^m (5k-3) left( 1OVER k + 1over k+1 + …+ 1over m right)]

[eqn: + 1over m+1 sum_k=1^m (5k-3)][eqn: + 5m+2 over m+1]

[eqn: = m(5m+3) over 4 + 1over m+1 sum_k=1^m+1 (5k-3 )]

[eqn: = {(m+1)(5m+8)} over 4]

따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은 차례로

[eqn: 5m+2, ~ m , ~5k-3]이다.

ꂼ ③

17. 주어진 조건을 만족하려면 3개의 가로 행에는 각각 적어도 하나의 검은 색 유리상자가 들어가야 하고, 4개의 세로 열에도 각각 적어도 하나의 검은 상자가 들어가야 한다.

따라서 3개의 가로 행 중에서 2개의 검은 색 유리상자가 포함될 1개의 행을 택하는 방법의 수는 3가지이고, 이 행의 4개의 유리 상자 중에서 검은 색 유리상자로 바뀔 2개의 상자를 택하는 경우는 수는 [eqn: `_ 4 C_2 = 6](가지)이다.

이제 위의 3×6=18가지 경우의 수 중의 하나가 아래의 그림과 같다고 하자.

	[eqn: a]		[eqn: c]
	[eqn: b]		[eqn: d]

이제 [eqn: a, ~b] 중에서 한 행을 택하고 [eqn: c, ~d] 중에서 나머지 한 행을 택하는 방법의 수는

2×1=2(가지)이다.

따라서 구하는 방법의 수는

18×2=36

ꂼ ④

18. [eqn: f`'(x) = 4x^3 +8x]이므로

[eqn: lim_h->0 {f(1+2h)-f(1)} over h]

[eqn: =lim_h->0 {f(1+2h)-f(1)} over 2h ․2]

[eqn: = 2 f`'(1)][eqn: =24]

ꂼ 24

19. 곡선 [eqn: y=a(1-x^2 )]이 [eqn: y]축과 만나는 점의 좌표는 [eqn: (0, a)]이므로 구하는 회전체의 부피 V는

[eqn: V= pi int_0^a x^2 d y][eqn: =pi int_0^a left(1- y over a right) d y]

[eqn: = pi left[ y - y^2 over 2a right]_0^a]

[eqn: =pi left( a - a over 2 right) = a over 2 pi][eqn: =16pi]

∴ [eqn: a=32]

ꂼ 32

20. [eqn: f(x)=x^3]의 그래프를 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동시키면

[eqn: g(x)=(x-a)^3 +b]의 그래프가 된다.

[eqn: g(0)=-a^3 +b=0]이므로

[eqn: b=a^3]　… ㉠

한편, 그래프의 평행이동에 의해

[eqn: int_a^b g(x) dx = int_a-c^b-c g(x+c) dx]

가 성립함을 이용하면

[eqn: int_a^3a g(x) dx = int_a^3a left{ (x-a)^3 +b right}d x]

[eqn: = int_0^2a left( x^3 +b right)d x]

∴ [eqn: int_0^2a left( x^3 +b right)d x - int_0^2a x^3 dx = int_0^2a b dx]

[eqn: =2a b=32] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 2a b = 2a^4 = 32]이므로

[eqn: a^4 = 16]

ꂼ 16

21. [eqn: x^2 +y^2 +z^2 = 81] … ㉠

[eqn: x^2 +(y-5)^2 +z^2 =56] … ㉡

에서 ㉠ - ㉡을 계산하여 정리하면

[eqn: y=5]

따라서 두 구가 만나는 원은 평면 [eqn: y=5] 위에 있다. 구의 방정식 ㉠에 [eqn: y=5]를 대입하면

[eqn: x^2 +z^2 =56] … ㉢

따라서 두 구가 만나서 생기는 원의 방정식은

[eqn: x^2 +z^2 =56], [eqn: y=5]

이 원 위의 점 [eqn: \P (x, 0, z)]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영은 [eqn: \P' ( x, 5, 0)]이고, 두 점 Q, R의 좌표는 각각 (0, 9, 0), (0, -9, 0)이므로 삼각형 QP'R의 넓이 S는

[eqn: S= 1 over 2 ․bar QR ․ |x| = 9|x|]

이 때, 사면체 PQP'R의 높이는 [eqn: |z|]이므로 이 사면체의 부피 V는

[eqn: V= 1over 3 ․ S ․|z| = 3|xz|]

그런데, 산술평균과 기하평균의 대소 관계에 의해

[eqn: x^2 +z^2 = 56≧ 2 root {x^2 z^2 } = 2|xz|]

이므로 [eqn: |xz|≦ 28]

∴ [eqn: V =3|xz| ≦ 3․28 = 84]

따라서 구하는 사면체의 부피의 최대값은 84이다.

ꂼ 84

22. 확률의 합은 1이므로

[eqn: 4 over 7 + a +b = 1] … ㉠

[eqn: 4 over 7 , ~a , ~b]가 이 순서로 등비수열을 이루므로

[eqn: a^2 = 4 over 7 b] …  ㉡

[eqn: E(X)= k ․ 4 over 7 + 2k ․ a + 4k ․ b]

[eqn: = k over 7 left( 4+ 14a + 28 b ) = 24] … ㉢

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: a= 2 over 7], [eqn: b= 1over 7] (∵ [eqn: a>0])

이것을 ㉢에 대입하면

[eqn: k=14]

ꂼ 14

23. A영역에 색을 칠하게 될 확률은 [eqn: 3over 4],

B영역에 색을 칠하게 될 확률은 [eqn: 1over 4]이다.

이 때, 3번째 시행에서 마치는 경우는

A, A, B의 순서로 칠하거나,

B, B, A의 순서로 칠하게 되는 경우이다.

이 때, 위의 각 경우의 확률은 각각

[eqn: 3 over 4 ․ 3over 4 ․ 1 over 4 = 9 over 64],

[eqn: 1 over 4 ․ 1over 4 ․ 3 over 4 = 3 over 64]

이므로 구하는 확률은

[eqn: 9 over 64 + 3 over 64 = 12 over 64 = 3 over 16]

∴ [eqn: p+q = 16+3 = 19]

ꂼ 19

24. 구의 방정식 [eqn: x^2 +y^2 +z^2 = 4]에 [eqn: z=-1]을 대입하면 [eqn: x^2 +y^2 = 3]이므로 원 [eqn: C]는 중심이 (0, 0, -1), 반지름의 길이가 [eqn: root3]이고 평면 [eqn: z=-1]에 놓인 원이다.

이 때, [eqn: x]축을 포함하고 이 원과 오직 한 점에서 만나는 평면 [eqn: α]는 두 점 O(0, 0, 0), A(0, [eqn: root 3], -1) (또는 B(0, [eqn: -root3], 0))을 지나야 한다.

따라서 평면 [eqn: α]는 [eqn: x]축과 직선 OA (또는 OB)를 포함한다.

이 때, [eqn: x]축의 방향벡터는

[eqn: vec x = (1, 0, 0)]

이고 직선 OA의 방향벡터 (또는 직선 OB의 방향벡터)는

[eqn: vec a = (0, root3 , -1)] (또는 [eqn: vec b = (0, -root3 , -1)])

이므로 평면 [eqn: α]의 법선벡터 [eqn: vec n]은 벡터 [eqn: vec x]와 벡터 [eqn: vec a] (또는 [eqn: vec b])와 각각 수직이어야 한다.

그런데 한 법선벡터가 [eqn: vec n][eqn: =(a, 3, b)]이므로

[eqn: vec n ․ vec x = (a, 3, b)․(1, 0, 0)=0]에서 [eqn: a=0]이고,

[eqn: vec n ․ vec a = (a, 3, b)․(0, root3 , -1)=0]에서

[eqn: 3root3 -b = 0] ∴ [eqn: b=3root3]

∴ [eqn: a^2 +b^2 = 0+27=27]

ꂼ 27

참고)

[eqn: vec n ․ vec b = (a, 3, b)․(0,- root3 , -1)=0]일 경우에도 [eqn: 3root3 +b = 0]이므로 [eqn: b=-3root3]이다.

∴ [eqn: a^2 +b^2 = 0+27=27]

25. [eqn: log C over C_0 = -kt]에

[eqn: C_0 = 8×10^5], [eqn: t=3], [eqn: C=2×10^5]을 대입하면

[eqn: log 1over 4 = -3k] ∴ [eqn: k = log4 over 3][eqn: = 2 over 3 log2]

따라서 [eqn: log C over C_0 = -kt]에

[eqn: C_0 = 8×10^5], [eqn: t=a], [eqn: C=8×10^3]을 대입하면

[eqn: log 1over 100 =- 2a over 3 log2]

∴ [eqn: -2= - 2a over 3 ×0.3]

∴ [eqn: a=10]

ꂼ 10

<미분과 적분>

26. [eqn: lim_θ->0 {sec2θ-1} over secθ-1][eqn: = lim_θ->0 {1over cos2θ -1} over { 1over cosθ -1}]

[eqn: = lim_θ->0 {{1-cos2θ }over cos2θ } over { {1-cosθ}over cosθ }]

[eqn: = lim_θ->0 {{1-cos2θ }over {1-cosθ} ․ cosθ over cos2θ }]

[eqn: = lim_θ->0 {{1-cos2θ }over {1-cosθ} ․ lim_θ->0 cosθ over cos2θ }]

[eqn: = lim_θ->0 {{1-cos2θ }over {1-cosθ} }] (∵ [eqn: lim_θ->0 cosθ over cos2θ = 1over 1 = 1])

[eqn: = lim_θ->0 {{2-2cos^2 θ }over {1-cosθ} }] (∵ [eqn: cos2 θ = 2cos^2 θ -1])

[eqn: =2 lim_θ->0 {{(1-cosθ)(1+cosθ) }over {1-cosθ} }]

[eqn: =2 lim_θ->0 ({1+cosθ }) = 2(1+1)=4]

ꂼ ④

27. 직선 [eqn: l]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 [eqn: θ]이므로 다음 그림에서

B([eqn: 2root3],0)

A(0,2)

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: l]

[eqn: O]

[eqn: θ]

A'

B'

[eqn: bar OA' = bar OA cos left( pi over 2 - θ right) = 2 sin θ],

[eqn: bar OB' = bar OB cosθ = 2root3 cosθ]

∴ [eqn: bar OA' + bar OB'][eqn: = 2sinθ+2root3 cosθ]

[eqn: = root{2^2 +(2root3 )^2 } sin left(θ+ pi over 3 right)]

[eqn: =4 sin left( θ+ pi over 3 right)][eqn: ≦4]

(단, 등호는 [eqn: θ+ pi over 3 = pi over 2] 즉, [eqn: θ = pi over 6]일 때 성립한다.)

따라서 [eqn: bar OA' + bar OB']이 최대가 되는 θ의 값은 [eqn: pi over 6]이다.

ꂼ ②

28. ㄱ. [eqn: f(x)>0]이므로 [eqn: int_n^n+1 f(x) dx]는 곡선 n[eqn: y=f(x)]와 두 직선 [eqn: x=n, ~x=n+1] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

두 점 [eqn: P_n , ~Q_n]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: P'_n , ~Q'_n]이라 하면 직사각형 [eqn: P_n P'_n Q'_n Q_n]의 넓이는

[eqn: (n+1-n)×f(n) = f(n)]

이다.

∴ [eqn: int_n^n+1 f(x) dx][eqn: =f(n)-(A_n +B_n )] (참)

ㄴ. [eqn: A_n = 1 over 2 ․ 1․ left{ f(n)-f(n+1)right}]

[eqn: = 1over 2 left(e^-n - e^-n-1 )]

[eqn: = e^-n-1 over 2 (e-1)]

[eqn: = e-1 over 2 ․ 1over e^n+1]

따라서 수열 {[eqn: A_n]}은 첫째항이 [eqn: e-1 over 2e^2], 공비가 [eqn: 1over e]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf A_n = {e-1 over 2e^2 } over {1 - 1overe }][eqn: = 1 over 2e] (참)

ㄷ. [eqn: int_n^n+1 f(x) dx = int_n^n+1 e^-x dx]

[eqn: =left[ -e^-x right]_n^n+1]

[eqn: =-e^-n-1 +e^-n = 2 A_n]

이므로 ㄱ에서

[eqn: B_n = f(n)- 3 A_n]

그런데,

[eqn: sum_n=1^inf f(n) = sum_n=1^inf e^-n]

[eqn: = {1over e } over { 1- 1over e }][eqn: = 1 over e-1]

이므로

[eqn: sum_n=1^inf B_n = sum_n=1^inf f(n) - 3 sum_n=1^inf A_n]

[eqn: = 1over e-1 - 3over 2e]

[eqn: ={2e-3(e-1)} over {2e(e-1)}= 3-e over {2e(e-1)}] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

29. 지점 O로부터 갑이 출발한 지 [eqn: t]초가 지난 후 갑과 을의 위치를 각각 A, B라 하면

[eqn: bar OA = 3t , ~bar OB = 4(t-10)]이다.

B

C

A

θ

θ

[eqn: 4(t-10)]

[eqn: 3t]

40

O

E

따라서 위의 그림에서

[eqn: bar BC = 7t-40], [eqn: bar AC = 40]

이므로

[eqn: tanθ = bar BC over bar AC][eqn: = 7t-40 over 40] … ㉠

양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: sec^2 θ dθ over dt = 7 over 40]

∴ [eqn: dθ over dt = 7 over 40 ․ 1over {sec^2 θ}]

[eqn: = 7 over 40 ․ 1 over { 1+ tan^2 θ}] … ㉡

㉠에 [eqn: t=20]을 대입하면

[eqn: tanθ = 5 over 2]이므로 이를 ㉡에 대입하면

[eqn: dθ over dt = 7 over 40 ․ 1over { 1+ 25 over 4 } = 7 over 40 ․ 4 over 29]

[eqn: = 7 over 290] (라디안/초)

ꂼ ③

30. 폐구간 [eqn: [-a, ~a]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= x-5 over {(x-5)^2 +36}]에서 [eqn: x-5=t]로 놓으면

구하는 함수의 최대값과 최소값은

폐구간 [eqn: [-a-5, ~a-5]]에서 정의된 함수

[eqn: f(t)= t over {t^2 +36}]의 최대값과 최소값과 같다.

이제 함수 [eqn: f(t)= t over {t^2 +36}]의 그래프의 개형을 그려보자.

i) [eqn: lim_t->inf f(t) = lim_t->-inf f(t)= 0]이므로 함수 [eqn: y=f(t)]의 그래프의 점근선은 [eqn: x]축이다.

ii) [eqn: t>0]일 때 [eqn: f(t)>0]이고, [eqn: t<0]일 때 [eqn: f(t)<0]이다.

iii) [eqn: f(-t)=-f(t)]이므로 [eqn: y=f(t)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

iv)

[eqn: f`'(t)= {1(t^2 +36) - t ․2t } over {(t^2 +36)^2} = {36- t^2} over {(t^2 +36)^2}][eqn: =0]

에서 [eqn: t=6] 또는 [eqn: t=-6]이고 [eqn: f`'(t)]의 분모는 항상 0보다 크므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: t=-6]에서 극소이고 [eqn: t=6]에서 극대이다.

따라서 함수 [eqn: y=f(t)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: t]

6

[eqn: y]

-6

O

[eqn: 1over12]

[eqn: - 1over12]

[eqn: y=f(t)]

[eqn: -a-5]

[eqn: a-5]

[eqn: -5]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: t]

이 때, 폐구간 [eqn: [-a-5, ~a-5]]은 [eqn: t=-5]에 대하여 대칭인 구간이므로 함수 [eqn: y=f(t)]의  최대값 [eqn: M]과 최소값 [eqn: m]에 대하여 [eqn: M+m=0] 즉, [eqn: m=-M]을 만족하려면 폐구간 [eqn: [-a-5, ~a-5]]은 [eqn: t=-6]과 [eqn: t=6]을 모두 포함해야 한다.

∴ [eqn: -a-5≦-6]이고 [eqn: a-5≧6]

∴ [eqn: a≧1] 이고 [eqn: a≧11]

∴ [eqn: a≧11]

따라서 구하는 [eqn: a]의 최소값은 [eqn: 11]이다.

ꂼ 11

<확률과 통계>

26. 주어진 줄기와 잎 그림에서 자료를 나열하면 다음과 같다.

[eqn: 5, ~10,~10, ~15, ~20,~20,~20,~25,~25,~30]

따라서 평균 [eqn: m`]과 중앙값 [eqn: M`]은

[eqn: m= {5+10+10+15+20+20+20+25+25+30} over 10 = 18]

[eqn: M= 20]

[eqn: SUM_i=1 ^10 (x_i - m )^2 = SUM_i=1 ^10 \{x_i - M- (m-M) \}^2]

[eqn: = SUM_i=1 ^10 \{ (x_i - M)^2 -2 (x_i - M) (m-M)+ (m-M)^2 \}]

[eqn: = SUM_i=1 ^10 (x_i - M)^2 - SUM_i=1 ^10 \{ 2(x_i - M) (m-M)- (m-M)^2 \}]

[eqn: = SUM_i=1 ^10 (x_i - M)^2 - SUM_i=1 ^10 \{ 2(x_i - 20) cdot (-2)- (-2)^2 \}]

[eqn: = SUM_i=1 ^10 (x_i - M)^2 - SUM_i=1 ^10 ( -4x_i +76 )]

[eqn: = SUM_i=1 ^10 (x_i - M)^2 - ( -4 times 180 + 760)]

[eqn: = SUM_i=1 ^10 (x_i - M)^2 - 40]

[eqn: therefore~(가) = 40]

ꂼ ⑤

27. 이산확률변수 [eqn: X`]의 확률질량함수가

[eqn: \P(X=x) = x over 15 ~(x= 1,2,3,4,5)]

이므로 확률분포는 다음과 같다.

[eqn: X]	1	2	3	4	5	계
[eqn: \P(X=x)]	[eqn: 1 over 15]	[eqn: 2 over 15]	[eqn: 3 over 15]	[eqn: 4 over 15]	[eqn: 5 over 15]	[eqn: 1`]

이 때,

[eqn: therefore ~\E(X) = 1 over 15 + 4over 15 + 9over 15 + 16over 15 + 25 over 15 = 11over 3]

한편,

[eqn: g(t)= SUM_x=1 ^5 \P(X=x) cdot t^x]

[eqn: = 1 over15 ( t+ 2t^2 + 3t^3 + 4t^4 + 5 t^5 )]

[eqn: g``'``(t) = 1 over15 ( 1+ 4t + 9t^2 + 16t^3 + 25 t^4 )]

[eqn: g``'``(1) = 1 over15 ( 1+ 4 + 9 + 16 + 25 )][eqn: = 11over 3]

[eqn: therefore ~ \E(2X) - g``'``(1) = 2 \E(X) - g``'``(1)]

[eqn: = 11 over 3]

ꂼ ②

28. ㄱ. [eqn: n=100, ~~hat p = 1over 5]일 때, 비율 [eqn: p`]를 신뢰도 [eqn: 95%]로 추정하면 신뢰구간은

[eqn: 1over 5 - 1. 96 root{ 1over 100 cdot 1over 5 cdot 4 over 5 }≦ p]

[eqn: ≦ 1over 5 + 1.96 root{ 1over 100 cdot 1over 5 cdot 4 over 5 }]

[eqn: therefore ~ 0.1216≦ p ≦0.2784] (참)

ㄴ. 표본의 크기가 [eqn: n`]이고

[eqn: \P left( hat p - k root{ {hat p `` hat q} over n} ≦p ≦ hat p + k root{ { hat p`` hat q} over n} right)]

인 경우에 신뢰도 [eqn: (a times 100)%]에 대한 최대 허용 표본오차는 [eqn: k root { 1over 4n }]이므로

신뢰도 [eqn: 95%]일 때,

[eqn: n=400]인 경우 최대 허용 표본오차 [eqn: l``]은

[eqn: l=1.96 root { 1over 1600 } = 1.96 times 1 over 40]

[eqn: n=100]인 경우 최대 허용 표본오차 [eqn: l``'``]는

[eqn: l``'``= 1.96 root { 1over 400 } = 1.96 times 1 over 20]

따라서  [eqn: l``]은 [eqn: l``']의 [eqn: 1 over 2]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: n=50]인 표본을 [eqn: 100`]번 임의추출하여 비율 [eqn: p`]의 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간 [eqn: 100`]개를 구해보면 이 중 약 [eqn: 95`]개는 비율 [eqn: p`]를 포함한다. 이는 신뢰구간의 의미를 설명하는 옳은 내용이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ꂼ ④

29. 갑이 상자 [eqn: \B`]를 선택하였을 때, 을의 판단이 틀리는 경우는 을이 (가)를 판단하는 경우이다. 즉, 을의 판단이 틀릴 확률은 갑이 상자 [eqn: \B]를 선택하여 주어진 조건의 시행을 할 때, 빨간 공이 [eqn: 3`]회 이하 나오는 경우이다.

따라서 구하는 확률은 여사건의 확률을 이용하면

[eqn: 1- left { `_5 \C_4 left( 1over 3 right)^4 left( 2over 3 right) + `_5 \C_5 left( 1over 3 right)^5 right}][eqn: = 131 over 3^5]

ꂼ ③

30. 네 사람을 세 명과 한 명의 두 조로 나누고 다섯 곳이 휴양지에서 두 곳을 선택하여 배치하는 방법의 수이므로

[eqn: `_4 \C_3 times `_1 \C_1 times `_5 \P_2 = 80] (가지)

ꂼ [eqn: 80]

<이산수학>

26. 주어진 그래프의 꼭지점을 적절하게 색칠하는 최소의 색의 수는 4가지이다.

이 때, 보기의 그래프의 꼭지점을 적절하게 색칠하는 최소의 색의 수는 각각 다음과 같다.

① : 4가지

② : 3가지

③ : 2가지

④ : 2가지

⑤ : 5가지

ꂼ ①

27. 상수도관을 설치하는 데 필요한 비용이 최소가 되도록 하는 수형도는 다음과 같다.

A

B

E

F

G

D

C

4

2

1

2

1

3

따라서 구하는 최소비용은

4+1+2+2+1+3=13(억원)이다.

ꂼ ⑤

28. [eqn: L_n - L_n-1 = L_n-2]에 [eqn: n=3, 4, 5, …]을 차례로 대입하면

[eqn: L_3 - L_2 = L_1],

[eqn: L_4 - L_3 = L_2],

[eqn: L_5 - L_4 = L_3],

…

[eqn: L_12 - L_11 = L_10]

각 변끼리 더하여 정리하면

[eqn: L_12 - L_2 = L_1 +L_2 +…+L_10] … ㉠

한편,

[eqn: L_n = L_n-1 + L_n-2],

[eqn: F_n = F_n-1 + F_n-2]

의 각 변끼리 빼면

[eqn: L_n -F_n = (L_n-1 - F_n-1 )+(L_n-2 - F_n-2 )]

… ㉡

㉡에 [eqn: n=3, 4, 5, …]을 차례로 대입하면

[eqn: L_3 - F_3 = (L_2 - F_2 )+(L_1 - F_1 ) =F_1]

[eqn: L_4 - F_4 = (L_3 - F_3 )+(L_2 - F_2 )][eqn: =F_1][eqn: =F_2][eqn: L_5 - F_5 = (L_4 - F_4 )+(L_3 - F_3 )]

[eqn: =F_2 + F_1 = F_3]

[eqn: L_6 - F_6 = (L_5 - F_5 )+(L_4 - F_4 )]

[eqn: =F_3 + F_2 = F_4]

…

[eqn: L_12 - F_12 = F_10]

∴ [eqn: L_12 = F_12 +F_10]… ㉢

㉠, ㉢에서

[eqn: L_1 +L_2 +…+L_10 = L_12 - L_2]

[eqn: =F_12 +F_10 - 1] (∵ [eqn: L_2 = 1])

ꂼ ②

29. 주어진 조건을 만족하도록 각 경우의 회로를 연결된 꼭지점의 순서대로 나열하면 다음과 같다.

① [eqn: a-b-f-e, ~c-d-h-g,]

[eqn: i-j-n-m, ~k-l-p-o]

와 같이 꼭지점의 개수가 4개인 회로 4개로 분할하는 방법의 수는 1개이다.

② [eqn: a-b-f-e, ~c-d-h-g,]

[eqn: i-j-k-l-p-o-n-m]

와 같이 꼭지점의 개수가 4개인 회로 2개와 꼭지점의 개수가 8개인 1개의 회로로 분할하는 방법의 수는 4가지이다.

③ [eqn: a-b-f-e],

[eqn: c-d-h-l-p-o-n-m-i-j-k-g]

와 같이 꼭지점의 개수는 4개인 회로 1개와 꼭지점의 개수가 12개인 1개의 회로로 분할하는 방법의 수는 4가지이다.

④ [eqn: a-b-f-j-n-m-i-e],

[eqn: c-d-h-l-p-o-k-g]

와 같이 꼭지점의 개수가 각각 8개인 2개의 회로로 분할하는 방법의 수는 2가지이다.

⑤ [eqn: a-b-c-d-h-l-p-o-n-m-i-e],

[eqn: f-g-k-j]

와 같이 분할하는 경우의 수는 1가지이다.

이상에서 구하는 방법의 수는

1+4+4+2+1=12

ꂼ ③

30. i) 초콜릿사탕 4개를 택할 때,

박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕을 각각 3개, 2개, 1개씩 택한 후, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕 중에서 중복을 허락하여 나머지 5개의 사탕을 추가로 택하면 된다.

이 때, 이 경우의 수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 5개를 뽑는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: `_3+5-1 C_5 = _7 C_2 = 21]

ii) 초콜릿사탕 3개를 택할 때,

박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕을 각각 3개, 2개, 1개씩 택한 후, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕 중에서 중복을 허락하여 나머지 6개의 사탕을 추가로 택하면 되므로 이 경우의 수는

[eqn: `_3+6-1 C_6 = _8 C_2 = 28]

iii) 초콜릿사탕 2개를 택할 때,

박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕을 각각 3개, 2개, 1개씩 택한 후, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕 중에서 중복을 허락하여 나머지 7개의 사탕을 추가로 택하면 되므로 이 경우의 수는

[eqn: `_3+7-1 C_7 = _9 C_2 = 36]

iv) 초콜릿사탕 1개를 택할 때,

박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕을 각각 3개, 2개, 1개씩 택한 후, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕 중에서 중복을 허락하여 나머지 8개의 사탕을 추가로 택하면 되므로 이 경우의 수는

[eqn: `_3+8-1 C_8 = _10 C_2 = 45]

v) 초콜릿사탕 0개를 택할 때,

박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕을 각각 3개, 2개, 1개씩 택한 후, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕 중에서 중복을 허락하여 나머지 9개의 사탕을 추가로 택하면 되므로 이 경우의 수는

[eqn: `_3+9-1 C_9 = _11 C_2 = 55]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 21+28+36+45+55=185]

ꂼ 185