□□□ 분수방정식과 무리방정식의 해법

(1) 분수방정식의 풀이

□ 분모의 최소공배수를 양변에 곱하여 정방정식으로 고친 다음 정방정식을 푼다.

□ 정방정식의 근 중에서 무연근을 버리고 처음 방정식의 분모를 0으로 하지 않는 것만을 근으로 취한다.

(2) 무리방정식의 풀이

□ 적당히 이항하고 양변을 제곱하여 정방정식으로 고친 다음 정방정식을 푼다.

□ 정방정식의 근 중에서 무연근이 아닌 것을 택한다.

□□□ 고차부등식의 해법

(1) 모든 항을 좌변으로 이항해서

[eqn: f``(x)>0`````` 또는```````f``(x)<0# f``(x) >= 0`````` 또는```````f``(x) <= 0] 의 꼴로 고친다.

이 때, [eqn: f``(x)``]의 최고차 항의 계수는 양이 되도록 한다.

(2) 계수가 실수인 범위에서 [eqn: f``(x)``]를 인수분해 한다.

(3) [eqn: y=f``(x)``]의 그래프를 그린다.

(4) [eqn: f``(x)>0``]은 그래프가 [eqn: x``]축의 위쪽에, [eqn: f``(x)<0``]은 그래프가 [eqn: x``]축의 아래쪽에 있는 [eqn: x``]의 범위이다.

□□□ 분수부등식의 해법

(1) 부등식을 이항하고 통분하여

[eqn: {f``(x)} over {g``(x)}``>0``,``{f``(x)} over {g``(x)}``<0`,``{f``(x)} over {g``(x)}`` >= 0``,``{f``(x)} over {g``(x)}`` <= 0``]

의 꼴로 정리한다.

(2) 동치관계를 써서 분모를 없앤 정부등식으로 고쳐 푼다.

[eqn: {f``(x)} over {g``(x)}>0````` LRARROW `````f``(x)``g``(x)>0#{f``(x)} over {g``(x)}<0````` LRARROW `````f``(x)``g``(x)<0]

□ 분수부등식에서는 분모를 0으로 하는 값은 제외한다.

□□□ 무리부등식 [eqn: A> SQRT { B``}]의 해법

(1) [eqn: B >= 0``]이고 [eqn: A>0``]을 동시에 만족하는 범위를 구한다.

(2) 양변을 제곱하여 [eqn: A^2``>B``]의 범위를 구한다.

(3) 위의 범위의 공통부분이 구하는 답이다.

□□□ 무리부등식 [eqn: A< SQRT { B``}]의 해법

(1) [eqn: B > 0``,``A >= 0``,``A^2``<B``]이고 [eqn: A>0``]을 동시에 만족하는 범위를 구한다.

(2) [eqn: B^2` >= 0``,``A<0``]의 범위를 구한다.

(3) 위의 범위를 합한 범위가 구하는 답이다.

□□□ 일차변환

좌표평면 위의 점 [eqn: P``(x,y`)``]를 점 [eqn: P``'``(x``',y``'`)``]으로 옮기는 변환

[eqn: f`````:`````(x``,``y`)````` -> `(x``'``,``y``'`)```]

에서 대응하는 점의 사이에

[eqn: cases {x``'``=a``x``+``b``y``#y``'``=c``x``+``d``y``}``](단, [eqn: a,b,c,d] 는 상수)

와 같이 상수항이 없는 일차식으로 표시될 때 변환 [eqn: f``]를 일차변환이라 하고, 행렬 [eqn: PMATRIX { { a}& {b }# {c }& {d } }]로 나타낸다.

□□□ 일차변환의 성질

일차변환 [eqn: f``]와 임의의 두 점 [eqn: P``,``Q``]에 대하여

[eqn: f``(kP+lQ)=k``f``(P)+l``(f``(Q)`````(단, k``,``l``은 실수)``]

□□□ 여러 가지 일차변환

(1) 닮음 변환 : [eqn: PMATRIX { { k}& {0 }# {0 }& {k } }]

(2) 대칭변환

대칭이동	[eqn: x]축	[eqn: y]축	원점	[eqn: y=x]	[eqn: y=-x]
변환의 행렬	[eqn: PMATRIX { { 1}& {0 }# { 0}& {-1 }}]	[eqn: PMATRIX { {- 1}& {0 }# { 0}& {1 }}]	[eqn: PMATRIX { {- 1}& {0 }# { 0}& {-1 }}]	[eqn: PMATRIX { { 0}& {1 }# { 1}& {0 }}]	[eqn: PMATRIX { {0}& {-1 }# { -1}& {0 }}]

(3) 회전변환 : 원점을 중심으로 [eqn: theta] 만큼 회전이동 시킨 변환

[eqn: PMATRIX { { cos theta }& { -sin theta }# { sin theta }& {cos theta } }]

□□□ 합성변환과 역변환

일차변환 [eqn: f``,``g``]의 행렬이 각각 [eqn: A``,``B``]일 때, 합성변환 [eqn: g CIRC f] 와 역변환 [eqn: f``^-1``]의 행렬은 각각 [eqn: BA``,``A``^-1``]이다.

□□□ 일차변환에 의한 좌표평면의 상

일차변환 [eqn: f``]를 나타내는 행렬을 [eqn: A= PMATRIX { { a}& {b }# {c }& {d } }]라고 할 때

(1) [eqn: A=0``]이면 좌표평면 위의 모든 점은 원점 [eqn: (0,0)``]으로 옮겨진다.

(2) [eqn: A != 0``]이고 [eqn: ad-bc=0``]이면 좌표평면 위의 모든 점은 원점을 지나는 하나의 직선으로 옮겨진다.

(3) [eqn: A != 0``]이고 [eqn: ad-bc != 0``]이면 좌표평면은 좌표평면으로 옮겨진다.

□□□ 일차변환에 의한 직선의 상

(1) [eqn: A=0``]이면 일차변환 [eqn: f``]는 직선을 원점에 옮긴다.

(2) [eqn: A != 0``]이고 [eqn: ad-bc=0``]이면 일차변환 [eqn: f``]는 직선을 점 또는 원점을 지나는 직선으로 옮긴다.

(3) [eqn: A != 0``]이고 [eqn: ad-bc != 0``]이면 일차변환 [eqn: f``]는 직선을 직선에 옮긴다.

□□□ 좌표축의 회전과 일차변환

원점 [eqn: O``] 둘레로 좌표축 [eqn: O-xy``]를 각 [eqn: theta]만큼 회전시켜 옮겨진 새로웅 좌표축을 [eqn: O-XY``]라고 하면 다음이 성립 한다.

[eqn: PMATRIX { { X}# {Y } } ``= PMATRIX { { cos theta }& {sin theta }# {-sin theta }& {cos theta } } PMATRIX { { x}# {y } } ``]

□□□ 포물선의 방정식

포물선의 정의 : 평면 위의 한 정점 [eqn: F``]와 그 점을 지나지 않는 정직선 [eqn: l``](준선)에 이르는 거리가 같은 점의 자취

포물선의 방정식 [eqn: y^2``=4px``(p != 0)``]에서

(1) 초점 : [eqn: F``( p ,0 )``]   준선 : [eqn: x=-p``]

(2) 접선의 방정식

□ 포물선 위의 점 [eqn: (x_1``,``y_1``)``]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y_1``y``=2p``(``x+x_1``)]

□ 기울기가 [eqn: m``]인 접선의 방정식은 [eqn: y=mx+ p over m``(m != 0)``]

□□□ 타원의 방정식

타원의 정의 : 두 정점 [eqn: F``,``F'``]으로 부터의 거리의 합이 일정한 점의 집합,  타원의 방정식 [eqn: x^2 over a^2``+``y^2 over b^2``=1``(a>b>0)]에서

(1) 장축의 길이 : [eqn: 2a``] ,  단축의 길이 : [eqn: 2b``]

초점 : [eqn: ( +- c,0)``] (단, [eqn: c= SQRT { a^2``-b^2} ``])

(2) 접선의 방정식

□ 타원 위의 점 [eqn: (x_1``,``y_1``)``]에서의 접선의 방정식은

[eqn: {x_1`x} over a^2``+``{y_1`y} over b^2``=1]

□ 기울기가 [eqn: m``]인 접선의 방정식은 [eqn: y=mx+- SQRT {a^2`m^2`+b^2 } ``]

□□□ 쌍곡선의 방정식

쌍곡선의 정의 : 두 정점 [eqn: F``,``F'``]으로 부터의 거리의 차가 일정한 점의 집합,  타원의 방정식 [eqn: x^2 over a^2``-``y^2 over b^2``=1``]에서

(1) 주축의 길이 : [eqn: 2a``] ,  초점 : [eqn: ( +- c,0)``] (단, [eqn: c= SQRT { a^2`+b^2} ``])

(2) 접선의 방정식

□ 타원 위의 점 [eqn: (x_1``,``y_1``)``]에서의 접선의 방정식은

[eqn: {x_1`x} over a^2``-``{y_1`y} over b^2``=1]

□ 기울기가 [eqn: m``]인 접선의 방정식은 [eqn: y=mx+- SQRT {a^2`m^2`-b^2 } ``]

□□□ 삼각함수의 덧셈정리

(1) [eqn: cases{sin( alpha + beta )=sin alpha cos beta +cos alpha sin beta# sin( alpha - beta )=sin alpha cos beta -cos alpha sin beta}]

(2) [eqn: cases{cos( alpha + beta )=cos alpha cos beta -sin alpha sin beta# cos( alpha - beta )=cos alpha cos beta +sin alpha sin beta}]

(3) [eqn: cases{tan( alpha + beta )={ tan alpha +tan beta }over {1-tan alpha tan beta }# tan( alpha - beta )={ tan alpha -tan beta }over {1+tan alpha tan beta} }]

□□□ 삼각함수의 합성

(1) [eqn: a``sin theta + b``cos theta = SQRT { a^2`+b^2} sin( theta + alpha )]

[eqn: `(단,`````cos alpha = a over SQRT {a^2`+b^2 } ,````sin alpha = b over SQRT {a^2`+b^2 })]

(2) [eqn: a``sin theta + b``cos theta = SQRT { a^2`+b^2} cos( theta - alpha )]

[eqn: `(단,`````cos alpha = b over SQRT {a^2`+b^2 } ,````sin alpha = a over SQRT {a^2`+b^2 })]

□□□ 삼각함수의 공식

(1) 배각의 공식

[eqn: □`````sin2 alpha = 2sin alpha cos alpha]

[eqn: □````` cos2 alpha = cos^2` alpha - sin^2` alpha =2cos^2` alpha -1 =1-2sin^2 alpha]

[eqn: □`````tan2 alpha = {2tan alpha } over {1-tan^2` alpha }]

(2) 반각의 공식

[eqn: □`````sin^2`` alpha over 2 ={1-cos alpha } over 2]    [eqn: □`````cos^2`` alpha over 2 ={1+cos alpha } over 2]

[eqn: □`````tan^2`` alpha over 2 ={1-cos alpha } over {1+cos alpha }]

□□□ 합·차를 곱으로 고치는 공식

[eqn: □`````sinA+sinB=2sin{A+B} over 2 cos{A-B} over 2#]

[eqn: □`````sinA-sinB=2cos{A+B} over 2 sin{A-B} over 2#]

[eqn: □`````cosA+cosB=2cos{A+B} over 2 cos{A-B} over 2#]

[eqn: □`````cosA-cosB=-2sin{A+B} over 2 sin{A-B} over 2]

□□□ 곱을 합·차로 고치는 공식

[eqn: □`````sin alpha cos beta = 1 over 2 LEFT { sin( alpha+ beta )+sin(alpha- beta) RIGHT }]

[eqn: □`````cos alpha sin beta = 1 over 2 LEFT { sin( alpha+ beta )-sin(alpha- beta) RIGHT }]

[eqn: □`````cos alpha cos beta = 1 over 2 LEFT { cos( alpha+ beta )+cos(alpha- beta) RIGHT }]

[eqn: □`````sin alpha sin beta = - 1 over 2 LEFT { cos( alpha+ beta )-cos(alpha- beta) RIGHT }]

□□□ [eqn: tan alpha over 2 =t] 일 때 [eqn: t] 에 대한 삼각함수의 값

[eqn: sin alpha = 2t over 1+t^2`````,`````cos alpha = 1-t^2 over 1+t^2`````,`````tan alpha = 2t over 1-t^2]

□□□ 삼각방정식의 일반해

삼각방정식 특수해가 [eqn: alpha ``]일 때, [eqn: n``]이 임의의 정수이면

(1) [eqn: sin x = a `````( LEFT | a RIGHT | <= 1)]의 일반해는 [eqn: x=n pi +(-1)^n alpha]

(2) [eqn: cos x = a`````( LEFT | a RIGHT | <= 1)]의 일반해는 [eqn: x=2n pi +- alpha]

(3) [eqn: tan x = a]의 일반해는 [eqn: x=n pi + alpha]

□□□ 복소수의 상등

(1) [eqn: a``,b``]가 실수일 때 [eqn: a+bi=0````` LRARROW `````a=0``,``b=0``]

(2) [eqn: a``,``b``,``c,``d``]가 실수일 때 [eqn: a+bi=c+d i````` LRARROW `````a=c``,``b=d]

□□□ 복소수의 절대값

(1) [eqn: LEFT | z RIGHT | = LEFT | barz RIGHT |]                   (2) [eqn: z barz = LEFT | z RIGHT | ^2``= LEFT | barz RIGHT | ^2``= LEFT | z^2 RIGHT |]

(3) [eqn: LEFT | z- alpha RIGHT | ^2``= (z- alpha )``(barz - bar alpha )``]

□□□ 복소수의 극형식

복소수 [eqn: z=a+bi]를 나타

내는 점을 [eqn: p(a,b)], 선분

[eqn: OP``]의 길이를 [eqn: r``], [eqn: overlineOP``]가

[eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는

각의 크기를 [eqn: theta ``]라 할 때

(1) 극형식

[eqn: z = a + b``i``=``r``(cos theta +i``sin theta )``]

(2) 절대값 : [eqn: r = LEFT | z RIGHT | = SQRT { a^2`+b^2}]

(3) 편각 : [eqn: theta = arg (z) (```단, 0 <= theta < 2 pi )]

□□□ 복소수의 연산과 도형의 이동

(1) 복소수의 곱셈과 나눗셈

[eqn: z_1``=r_1`(cos theta _1`+i`sin theta _1`),``z_2``=r_2`(cos theta _2`+i`sin theta _2`)] 일 때

① [eqn: z_1`z_2`=r_1`r_2` LEFT { cos( theta _1`+ theta _2`)+i`sin( theta _1`+ theta _2`)RIGHT }]

② [eqn: z_1 over z_2`= r_1 over r_2 LEFT { cos( theta _1`- theta _2`) +i`sin( theta _1`- theta _2`)RIGHT } (`z_2` != 0)]

(2) 도형의 이동

① 평행이동 : 점 [eqn: z``]를 [eqn: alpha ``]만큼 평행이동한 점 [eqn: z'``]은 [eqn: z'``=z+ alpha ``]

② 회전이동 점 [eqn: z``]를 원점을 중심으로 :[eqn: theta ``]만큼 회전이동한 점         [eqn: z'``]은 [eqn: z'``=z``(cos theta + i`sin theta )]

③ 회전이동 점 [eqn: z``]를 [eqn: alpha ``]를 중심으로 :[eqn: theta ``]만큼 회전이동한 점         [eqn: z'``]은 [eqn: z'``=(z- alpha )(cos theta +i`sin theta )+ alpha]

□□□ 드 무아브르의 정리

[eqn: n``]이 정수일 때 [eqn: (cos theta +i`sin theta )^n``= cos n theta +i`sin n theta]

□□□ 이항방정식

[eqn: z=r``(cos theta +i`sin theta )``]라 놓으면

[eqn: z^n``= r^n (cos n theta +i`sin n theta )``= a``(cos alpha + i` sin alpha )]

[eqn: THEREFORE r = `^{ n} SQRT {a } ``,``n theta = 2k pi + alpha ``(`` 단,``k``는 정수)]

□□□ 복소수와 도형

(1) 복소평면 위의 두 점 [eqn: P_1`(z_1`)``,```P_2`(z_2`)``]에 대하여 두 점을 잇는 선분 [eqn: P_1`P_2``]의 길이는 [eqn: overline {P_1`P_2}``= LEFT | z_1`-z_2` RIGHT |]

(2) 복소평면 위의 두 점 [eqn: P_1`(z_1`)``,```P_2`(z_2`)``]에 대하여

① [eqn: overline{P_1`P_2`}``] 를 [eqn: m``:``n``]으로 내분하는 점을 [eqn: P``(z)``]라고 하면

[eqn: z= {mz_2`+nz_1`} over m+n ``````(``m>0``,``n>0`)]

② [eqn: overline{P_1`P_2`}``] 를 [eqn: m``:``n``]으로 외분하는 점을 [eqn: Q``(z')``]라고 하면

[eqn: z'= {mz_2`-nz_1`} over m-n ``````(``m>0``,``n>0```,``m != n)]

(3) [eqn: LEFT | z- alpha RIGHT | =r``]를 만족하는 점 [eqn: z``]의 자취는

∀ 중심이 [eqn: alpha]이고 반지름이 [eqn: r``]인 원이다.

(4) [eqn: LEFT | z-z_1 RIGHT | = LEFT | z-z_2 RIGHT |]를 만족하는 점 [eqn: z``]의 자취는

∀ 두 점 [eqn: z_1```,``z_2``]를 이은 선분의 수직이등분선이다.

(5) [eqn: LEFT | z-z_1 RIGHT | + LEFT | z-z_2 RIGHT | =r``] ∀ [eqn: z``]의 자취는 타원

□□□ 복소수와 도형의 성질

(1) 두 직선이 이루는 각 : 복소수 [eqn: z_1``,``z_2``,``z_3``,`z_4``]를 나타내는 점을 각각 [eqn: A,B,C,D``]라고 할 때

① [eqn: arg(`z_2`-z_1`)``]은 [eqn: dyadAB``]가 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각

② [eqn: arg({z_4`-z_3`} over {z_2`-z_1`})``]의 절대값은 [eqn: dyadAB``]와  [eqn: dyadCD``]의 사잇각

③ [eqn: arg({z_3`-z_1`} over {z_2`-z_1`})``]의 절대값은 [eqn: ANGLE BAC``,`` ANGLE CAB``] 또는 [eqn: angleA]

(2) 세 점 [eqn: A``(z_1`)``,``B``(z_2`)``,``C``(z_3`)``]가 일직선 위에 있을 조건

∀ [eqn: {z_3`-z_1`} over {z_2`-z_1`}``]이 [eqn: 0``]이 아닌 실수값을 갖는 것

(3) 복소평면에서 네 점 [eqn: A``(z_1`)``,``B``(z_2`)``,``C``(z_3`)``,`D(z_4`)``]에 대하여

① [eqn: barAB` BOT barCD````` LRARROW `````{z_4`-z_3} over {z_2`-z_1`}=(순허수)]

② [eqn: barAB```□□```barCD````` LRARROW `````{z_4`-z_3`} over {z_2`-z_1`}``=(0이 ````아닌````실수``)]

□□□ 공간도형의 기본 성질

(1) 한 평면 위의 서로 다른 두 점을 지나는 직선 위에 있는 모든 점은 그 평면 위에 있다. 이 때, 평면은 직선을 품는다고 한다.

(2) 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점을 지나는 평면은 오직 하나 뿐이다.

(3) 두 평면이 한 점을 공유하면 이 두 평면은 그 점을 지나는 한 직선을 공유한다.

□□□ 평면의 결정 조건

(1) 한 직선 위에 있지 않은 세 점

(2) 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점

(3) 한 점에서 만나는 두 직선

(4) 평행한 두 직선

□□□ 삼수선의 정리

평면 [eqn: alpha]위에 있지 않은 한 점 [eqn: A``]와 평면 [eqn: alpha]위에 있는 직선 [eqn: l``]에 대하여

(1) 점 [eqn: A``]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: O``]라 하고, [eqn: O``]에서 직선 [eqn: l``]에 그은 수선의 발을 [eqn: B``]라고 하면 [eqn: barAB`` BOT ``l]

(2) 점 [eqn: A``]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: O``]라 하고, [eqn: A``]에서 직선 [eqn: l``]에 그은 수선의 발을 [eqn: B``]라고 하면 [eqn: barOB`` BOT ``l]

(3) 점 [eqn: A``]에서 직선 [eqn: l``]에 내린 수선의 발을 [eqn: B``]라 하고, 평면 [eqn: alpha] 위에서 점 [eqn: B``]를 지나고 [eqn: l``]과 수직인 직선을 긋고 점 [eqn: A``]에서 이 직선에 내린 수선의 발을 [eqn: O``]라고 하면 [eqn: barAO`` BOT `` alpha]

□□□ 정사영

(1) 선분 [eqn: AB``]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영을 선분 [eqn: A'`B'`]이라 하고, 직선 [eqn: AB``]와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta ``]라고 하면

[eqn: barA'B'``=``barAB `cos` theta]

(2) 평면 [eqn: alpha] 위의 도형 [eqn: F``]의 평면 [eqn: alpha '`] 위로의 정사영을 [eqn: F`'`]이라 할 때, [eqn: F``,``F`'`]의 넓이를 각각 [eqn: S``,``S`'`]이라 하고, [eqn: alpha]와 [eqn: alpha '`]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta ``]라고 하면

[eqn: S`'`=S``cos` theta]

□□□ 공간좌표

두 점 [eqn: A`(x_1`,y_1`,z_1`)``,``B`(`x_2`,y_2`,z_2`)``]에 대하여

(1) [eqn: barAB`= SQRT { (x_2`-x_1`)^2`+(y_2`-y_1`)^2`+(z_2`-z_1`)^2} ``]

특히, 원점 [eqn: O``]와 점 [eqn: A`(x_1`,y_1`,z_1`)``]사이의 거리는

[eqn: barOA`= SQRT { x_1`^2`+y_1`^2`+z_1`^2} ``]

(2) [eqn: barAB``]를 [eqn: m``:``n``(m>0``,``n>0)``]으로 내분, 외분하는 점을 [eqn: P``,``Q``]라 하면  [eqn: P``({mx_2`+nx_1} over m+n``,``{my_2`+ny_1} over m+n``,``{mz_2`+nz_1} over m+n )]

[eqn: Q``({mx_2`-nx_1} over m-n``,``{my_2`-ny_1} over m-n``,``{mz_2`-nz_1} over m-n )``(m != n)]

□□□ 구의 방정식

중심의 좌표가 [eqn: C``(a`,`b`,`c)``]이고, 반지름의 길이가 [eqn: r``]인 구의 방정식은 [eqn: (x-a)^2`+(y-b)^2`+(z-c)^2``=``r^2``]

특히, 중심이 원점이고 반지름이 [eqn: r``]인 구의 방정식은

[eqn: x^2`+y^2`+c^2`=r^2``]

□□□ 구의 방정식의 일반형

[eqn: x^2`+y^2`+z^2`+Ax+By+Cz+D=0``(``단``,``A^2`+B^2`+C^2`-4D>0``)]

□□□ 벡터의 연산

(1) 벡터의 합 : [eqn: vecAB`+vecBC`=vecAC``]

(2) 벡터의 차 : [eqn: vecCA`-vecCB`=vecBA``]

(3) 벡터의 덧셈에 관한 성질

□ [eqn: veca`+vecb`=vecb`+veca`````(교환법칙)]

□ [eqn: veca`+(vecb`+vecc`)= (veca`+vecb`)+vecc`````(결합법칙)]

□ [eqn: veca`+vec0`=vec0`+veca`=veca`````(항등원)]

□ [eqn: veca`+(-veca`)=(-veca`)+veca`=vec0`````(역원)]

(4) 벡터의 스칼라배

두 벡터 [eqn: veca`,vecb``]와 실수 [eqn: k``,``l``]에 대하여

□ [eqn: k(l``veca`)=(k``l)`veca`=k``l``veca``````(결합법칙)]

② [eqn: (k+l``)`veca`=k veca`+l`veca`````(분배법칙)]

③ [eqn: k`(veca`+vecb`)=k`veca`+k`vecb`````(분배법칙)]

(5) 벡터의 평행

[eqn: veca` != vec0``,``vecb` != vec0``,``k``]는 [eqn: 0``]이 아닌 실수 일 때 [eqn: veca`=k`vecb`` LRARROW veca`//vecb]

(6) 세 점이 일직선 위에 있을 조건

실수 [eqn: k``]에 대하여 세 점 [eqn: A``,``B``,``P``]가 일직선 위에 있으면

[eqn: vecAP`=k`vecAB````(k != 0)]

□□□ 중점과 내분점·외분점의 위치벡터

평면 또는 공간에서 선분 [eqn: AB``]의 중점을 [eqn: M``]이라고 하자.

또, [eqn: barAB``]를 [eqn: m`` :``n``(m>0``,``n>0)``]으로 내분하는 점을 [eqn: P``], 외분하는 점을 [eqn: Q``]라하고 점 [eqn: A``,``B``,``M``,``P``,``Q``]의 위치벡터를 각각 [eqn: veca``,``vecb``,``vecm``,``vecp``,``vecq``]라고 할 때

[eqn: vecm`={veca`+vecb} over 2``,``vecp`={m vecb`+n veca`} over m+n``,``vecq`={m vecb`-n veca`} over m-n``(단``,``m != n)]

□□□ 벡터의 내적

91) 내적 : 두 벡터 [eqn: veca`=(a_1`,a_2`)``,``vecb`=(b_1`,b_2`)``]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면 [eqn: veca` CDOT vecb`= LEFT | veca RIGHT | LEFT | vecb RIGHT | cos theta ``=a_1`b_1`+a_2`b_2]

(2) 내적의 연산

① [eqn: veca` CDOT vecb`=vecb`+veca````,````veca` CDOT veca`= LEFT | veca` RIGHT | ^2]

② [eqn: (k``veca`) CDOT vecb`=veca` CDOT (k`vecb`)=k`(veca` CDOT vecb`)````(단``,``k``는````실수``)]

③ [eqn: veca` CDOT (vecb`+vecc`)=veca` CDOT vecb`+veca` CDOT vecc``]

(3) 두 벡터의 평행과 수직

① 평행 : [eqn: veca`// vecb``` LRARROW veca` CDOT vecb`= +- LEFT | veca`` RIGHT | LEFT | vecb`` RIGHT |]

② 수직 :  [eqn: veca` BOT vecb``` LRARROW ```````veca CDOT vecb`=0``` LRARROW ```````a_1`b_1`+a_2`b_2`=0]

(4) 내적의 곱셈공식

① [eqn: LEFT | veca`+vecb`` RIGHT | ^2`= LEFT | veca`` RIGHT | ^2`+2``veca` CDOT vecb`+ LEFT | vecb`` RIGHT | ^2``]

② [eqn: LEFT | veca`-vecb`` RIGHT | ^2`= LEFT | veca`` RIGHT | ^2`-2``veca` CDOT vecb`+ LEFT | vecb`` RIGHT | ^2``]

③ [eqn: (veca`+vecb`) CDOT (veca`-vecb`)= LEFT | veca`` RIGHT | ^2`- LEFT | vecb`` RIGHT | ^2]

□□□ 공간벡터의 성분

벡터 [eqn: veca`=(a_1`,a_2`,a_3`)``,``vecb`=(b_1`,b_2`,b_3`)``]일 때

(1) 벡터의 크기 : [eqn: LEFT | veca`` RIGHT | = SQRT { a_1`^2`+a_2`^2`+a_3`^2`}]

(2) 벡터 [eqn: veca``]와 같은 방향의 단위 벡터

[eqn: a over{ LEFT | veca`` RIGHT | }=`(`a_1 over { LEFT | veca`` RIGHT | }``,```a_2 over { LEFT | veca`` RIGHT | }``,```a_3 over { LEFT | veca`` RIGHT | })]

(3) 방향코사인 : 벡터 [eqn: veca``]가 [eqn: x``]축, [eqn: y``]축, [eqn: z``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 [eqn: alpha ``,`` beta ``,`` gamma ``]라고 할 때

① [eqn: cos alpha = a_1 over {LEFT | veca`` RIGHT | }``,``cos beta = a_2 over {LEFT | veca`` RIGHT | }``,``cos gamma = a_3 over {LEFT | veca`` RIGHT | }```]

② [eqn: cos^2` alpha +cos^2` beta +cos^2` gamma =1]

(4) [eqn: veca` CDOT vecb`= LEFT | veca`` RIGHT | LEFT | vecb`` RIGHT | cos theta =a_1`b_1`+a_2`b_2`+a_3`b_3]

(단, [eqn: theta ``]는 [eqn: veca``,``vecb``]가 이루는 각의 크기)

□□□ 직선의 방정식

(1) 점 [eqn: A``(x_1`,x_2`,x_3`)``]을 지나고, 벡터 [eqn: vecu`=(l`,m`,n`)``]에 평행한 직선의 방정식 [eqn: {x-x_1`} over l`={y-y_1`}over m`={z-z_1} over n``(``단``,``l`m`n != ``0``)]

(2) 두 점 [eqn: A``(x_1`,y_1`,z_1`)``,``B``(x_2`,y_2`,z_2`)``]를 지나는 직선의 방정식

[eqn: x-x_1 over {x_2`-x_1`}={y-y_1} over {y_2`-y_1`}={z-z_1} over {z_2`-z_1}]

(단, 분모가 [eqn: 0``]이면 그 분수의 분자도 [eqn: 0``]이다.)

□□□ 두 직선의 평행·수직 조건

두 직선 [eqn: cases{g ``:``x-x_1 over l = y-y_1 over m = z-z_1 over n #h``:``x-x_2 over l' = y-y_2 over m' = z-z_2 over n' }] 에 대하여

(1) [eqn: g``//``h````` LRARROW `````l``:``l`'``=m``:``m'``=n``:``n']

(2) [eqn: g`` BOT `h````` LRARROW `````l``l`'``+m``m`'``+n``n`'``=0]

□□□ 좌표축과 평행한 직선의 방정식

공간에서 점 [eqn: (a`,b`,c)``]를 지나고

(1) [eqn: x``]축과 평행한 직선의 방정식 ∀ [eqn: y=b``,```z=c]

(2) [eqn: y``]축과 평행한 직선의 방정식 ∀ [eqn: x=a``,``z=c]

(3) [eqn: z`]축과 평행한 직선의 방정식 ∀ [eqn: x=a``,``y=b]

□□□ 평면의 방정식

(1) 점 [eqn: A``(x_1`,y_1`,z_1`)``]을 지나고 벡터 [eqn: vecu =(a`,b`,c`)]와 수직인 평면의 방정식은 [eqn: a``(x-x_1`)+b``(y-y_1`)+c``(z-z_1`)``=0]

(2) 법선벡터 [eqn: vecu =(a`,b`,c`)]인 평면의 방정식은

[eqn: a`x+b`y`+c`z`+d`=0]

(3) 원점에서의 거리가 [eqn: p``]이고 단위벡터 [eqn: vece``=(l`,m`,n)``]이 법선 벡터인 평면의 방정식의 표준형은

[eqn: l`x+m`y+n`z=p````````(단,``l``^2``+m``^2``+n``^2``=1``,``p>0)]

(4) [eqn: A``(x_1`,y_1`,z_1`)``]과 평면 [eqn: a`x+b`y`+c`z`+d`=0] 사이의 거리는

[eqn: { LEFT | a`x_1`+b`y_1`+c`z_1`+d`` RIGHT |} over SQRT { a^2`+b^2`+c^2}]

□□□ 좌표평면과 평행한 평면의 방정식

한 점 [eqn: (a`,b`,c)]를 지나고

(1) [eqn: x``y``]평면과 평행한 평면의 방정식 ∃ [eqn: z=c]

(2) [eqn: y``z``]평면과 평행한 평면의 방정식 ∃ [eqn: x=a]

(3) [eqn: z``x``]평면과 평행한 평면의 방정식 ∃ [eqn: y=b]

□□□ 두 평면이 이루는 각

두 평면 [eqn: a_1``x+b_1`y`+c_1`z`+d_1`=0``,``a_2``x+b_2`y`+c_2`z`+d_2`=0``]이 이루는 각을 [eqn: theta ``(0 DEG □ ``theta ``□90 DEG )``]라고 하면

[eqn: cos theta = { LEFT | a_1`a_2`+b_1`b_2`+c_1`c_2`` RIGHT | } over {SQRT { a_1`^2`+b_1`^2`+c_1`^2}```` SQRT {a_2`^2`+b_2`^2`+c_2`^2 } }]

□□□ 두평면의 평행·수직 조건

두평면

[eqn: alpha _1``:``a_1``x+b_1`y`+c_1`z`+d_1`=0``,`` alpha _2``:``a_2``x+b_2`y`+c_2`z`+d_2`=0``]에 대하여 다음이 성립한다.

(1) 평행 조건 : [eqn: alpha _1`//` alpha _2``````` LRARROW ````a_1 over a_2``=``b_1 over b_2``=``c_1 over c_2`` != d_1 over d_2]

(2) 일치 조건 : [eqn: alpha _1` == ` alpha _2``````` LRARROW ````a_1 over a_2``=``b_1 over b_2``=``c_1 over c_2`` = d_1 over d_2]

(3) 수직 조건 : [eqn: alpha _1`` BOT `` alpha _2`````` LRARROW `````a_1`a_2`+b_1`b_2`+c_1`c_2``=0]

□□□ 두 평면의 교선을 품는 평면의 방정식

두 평면 [eqn: a_1``x+b_1`y`+c_1`z`+d_1`=0``,`` a_2``x+b_2`y`+c_2`z`+d_2`=0``]의 교선을 품는 평면의 방정식은

[eqn: a_1`x+b_1`y+c_1`z+d_1`+k``(a_2`x+b_2`y+c_2`z+d_2`)=0]

□□□ 직선과 평면이 이루는 각

직선 [eqn: {x-x_1`} over l`={y-y_1`}over m`={z-z_1} over n``]과 평면 [eqn: a`x+b`y`+c`z`+d`=0]이 이루는 각을 [eqn: theta ``]라고 하면

[eqn: cos ( theta - pi over 2 )=cos( pi over 2 - theta )=sin theta = { LEFT | al+bm+ cn RIGHT | } over {SQRT { a^2`+b^2`+c^2`} ```` SQRT { l^2`+m^2`+n^2`} }]

□□□ 직선의 방정식 [eqn: {x-x_1`} over l`={y-y_1`}over m`={z-z_1} over n``]은

∀ 두 평면 [eqn: {x-x_1`} over l`={y-y_1`}over m``,````{y-y_1`}over m`= {z-z_1} over n``]의 교선의 방정식이다.

□□□ 구에 접하는 평면의 방정식

구 [eqn: x^2`+y^2`+z^2`=r^2``]위의 점 [eqn: A``(x_1`,y_1`,z_1`)``]에서 구에 접하는 평면의 방정식은 [eqn: x_1`x+y_1`y+z_1`z=r^2``]

□□□ 함수의 극한

(1) 함수의 수렴

[eqn: lim from { x ->a+0 } f``(x)``=`` lim from { x ->a-0 } f``(x)``= alpha `` LRARROW `` lim from { x ->a } f``(x)= alpha ``]

(2) 극한값의 성질

[eqn: lim from { x ->a } f``(x)``= alpha ``,`` lim from { x ->a } g``(x)``= beta ``(`` alpha ``,`` beta ``는 ````상수``)``일````때``]

① [eqn: lim from { x -> a} ``k``f``(x)``=k`` alpha ``(``단,````k````는 `````상수`)]

② [eqn: lim from { x ->``a } LEFT { f``(x)`` +- ``g``(x)RIGHT } = alpha `` +- `` beta ``(복부호````` 동순``)``]

③ [eqn: lim from { x ->``a } f``(x)``g``(x)``=`` alpha `` beta]

④ [eqn: lim from { x ->``a } {f``(x)} over {g``(x)}``= alpha over beta ``(``단,``g``(x)`` != 0``,`` beta `` != 0``)]

⑤ [eqn: f``(x)``□g``(x)````이면```` lim from { x ->``a } f``(x)``□`` lim from { x ->``a } g``(x)````즉``,`` alpha`` □ ``beta]

⑥ [eqn: f``(x)□h``(x)□g``(x)```이고```` alpha = beta ```이면`` lim from { x ->``a } h``(x)``= alpha]

□□□ 지수함수의 극한값

(1) [eqn: a``>``1`````일```` 때````` lim from { x -> inf } a^x``=inf``,`` lim from { x -> -inf } a^x``=0]

(2) [eqn: 0``<a``<1```일 `````때````` lim from { x -> inf } a^x``=0``,`` lim from { x -> -inf } a^x``=inf]

□□□ 로그함수의 극한값

(1) [eqn: a``>``1````일````때```` lim from { x -> inf } log_a`x`=inf``,`` lim from { x -> +0 } log_a`x`=-inf]

(2) [eqn: 0``<a``<1````일````때```` lim from { x -> inf } log_a`x`=-inf``,`` lim from { x ->+0 } log_a`x`=inf]

□□□ 초월함수의 극한값

(1) [eqn: lim from { x ->``0 } {sin x} over x =1``,`` lim from { x ->``0 }{tan x} over x =1``(단``,``x``는````` 라디안``) ``]

(2) [eqn: lim from { x -> inf } (1+ 1 over x )^x``=e````,```` lim from { x ->``0 } (1+x)^{1 over x`}=e]

(3) [eqn: lim from { x ->``0 } {e^x`-1} over x =1````,```` lim from { x ->``0 } {a^x`-1} over x =ln``a````,```` lim from { x ->``0 } ln(1+x) over x =1]

□□□ 미정계수의 결정

[eqn: lim from { x ->``a } {f``(x)} over {g``(x)}= alpha ``(``유한확정값)```일````때]

(1) [eqn: lim from { x ->``a } g``(x)=0``이면```` lim from { x ->``a } f``(x)=0]

(2) [eqn: alpha ``!=`` 0``이고```` lim from { x ->``a } f``(x)=0``이면```` lim from { x ->``a } g``(x)=0]

□□□ 함수의 연속

함수 [eqn: f``(x)``]가 [eqn: x=a``]에서 연속이려면

(1) [eqn: x=a``]에서 정의되어 있고

(2) [eqn: lim from { x ->``a } f``(x)``]가 존재하며

(3) [eqn: lim from { x ->``a } f``(x)=f``(a)]

□□□ 중간값의 정리

함수 [eqn: f``(x)``]가 구간 [eqn: LEFT [ a``,``b`` RIGHT ]]에서 연속이고 [eqn: f``(a) != f``(b)``]일 때, [eqn: f``(a)``]와 [eqn: f``(b)``]사이에 있는 임의의 값 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: f``(c)=k``]를 만족하는 [eqn: c``]가 개구간 [eqn: (a,b`)]안에 적어도 하나 존재한다.

□□□ 여러 가지 함수의 미분법(1)

(1) [eqn: (sin x)``'=cos x``,``(cos x)``'=-sin x``,``(tan x)``'=sec^2`x]

[eqn: (sec x)``'=sec x``tan x``,``(cot x)``'=-cosec^2`x``]

[eqn: (cosec x)``'=-cosec x ``cot x]

(2) [eqn: (e^x`)``'=e^x``,``(a^x`)``'=a^x`ln`a````(단`,`a>0``,``a != 1)]

(3) [eqn: (log_a`x)``'= 1 over {x`ln a}````(단`,`a>0``,``a != 1``,``x>0)]

[eqn: (ln`x)``'= 1 over x````(단`,`x>0`)]

□□□ 여러 가지 함수의 미분법(2)

(1) [eqn: f``(x)``,``g(x)``(g(x) != 0)``]가 미분가능한 함수일 때

[eqn: y= {f``(x)} over {g``(x)}````이면````y`'`={f``'`(x)``g``(x)-f``(x)``g`'`(x)} over { LEFT { g``(x)``RIGHT } ^2}]

(2) 함수 [eqn: y=f``(u)``,``u=g``(x)``]가 각각 미분가능하면 합성함수

[eqn: y=f``(g``(x))``]의 도함수는

[eqn: {d y} over dx``={d y} over du CDOT {d u} over dx``=f`'`(u) CDOT g`'`(x)=f`'`(g`(x))g`'`(x)]

(3) [eqn: x``]의 함수 [eqn: y``]가 음함수 [eqn: f``(x,y)=0``]의 꼴로 주어질 때, [eqn: y``]를 [eqn: x``]의 함수로 보고 각 항을 [eqn: x``]에 대하여 마분하여 구한다.

(4) [eqn: y=f``(x)``]의 역함수 [eqn: x=g``(y)``]가 미분가능할 때

[eqn: {d y} over dx``=``1 over {{d x} over dy}`````또는`````f`'`(x)```= 1 over {g`'`(y)}````(단`,``{d y} over dx != 0)]

(5) [eqn: x=f``(t`)``,``y=g``(t`)]가 [eqn: t``]에 대하여 미분 가능하면

[eqn: {d y} over dx = {{d y} over dt} over {{d x} over dt} = {g`'`(t)} over {f``'`(t)}`````(단``,``{d x} over dt != 0)]

□□□ 접선의 방정식

곡선 [eqn: y=f``(x)``]위의 점 [eqn: (x_1`,`y_1`)``]에서의

접선의 방정식은 [eqn: y-y_1`=f`'`(x_1`)(x-x_1`)]

법선의 방정식은 [eqn: y-y_1`=- 1 over{ f`'`(x_1`)}(x-x_1`)`````````` (`단``,``f`'`(x_1`) != 0````)]

□□□ 롤의 정리

함수 [eqn: y=f``(x)``]가 폐구간 [eqn: LEFT [ a,b RIGHT ]]에서 연속이고 개구간 [eqn: (a,b)``]에서 미분가능할 때 [eqn: f`(a)=f`(b)````이면````f`'`(c)=0```(a<c<b)``]이 되는 [eqn: c``]가 적어도 하나 존재한다.

□□□ 평균값의 정리

함수 [eqn: y=f``(x)``]가 폐구간 [eqn: LEFT [ a,b RIGHT ]]에서 연속이고 개구간 [eqn: (a,b)``]에서 미분가능하면 [eqn: {f``(b)-f``(a)} over {b-a}=f`'`(c)````(a<c<b)``]가 되는 [eqn: c``]가 적어도 하나 존재한다.

□□□ 코시의 정리

두 함수 [eqn: f``(x)``,``g``(x)``]가 폐구간 [eqn: LEFT [ a,b RIGHT ]]에서 연속이고 개구간 [eqn: (a,b)``]에서 미분가능하며 [eqn: g`'`(x) != 0``]이면

[eqn: {f``(b)-f``(a)} over {g``(b)-g``(a)} = {f`'`(c)} over {g`'`(c)}`````(a<c<b)``]인 [eqn: c``]가 적어도 하나 존재한다.

□□□ 로피탈의 정리

두 함수 [eqn: f``(x)``,``g``(x)``]가 [eqn: a``]를 포함하는  구간에서 미분가능하고

[eqn: f``(a)=0``,``g``(a)=0``,``g`'`(x) != 0````이고```` lim from { x ->a`` } {f`'`(x)} over {g`'`(x)}``]의 극한값이 존재하면 다음이 성립한다.

[eqn: lim from { x ->``a } {f``(x)} over {g``(x)} = lim from { x ->``a } {f`'`(x)} over {g`'`(x)}= lim from { x ->``a } {f`''`(x)} over {g`''`(x)}=…]

□□□ 함수의 증감

(1) [eqn: f`'`(x)>0``]이면 [eqn: y=f``(x)``]는 그 구간에서 증가한다.

(2) [eqn: f`'(x)<0``]이면 [eqn: y=f``(x)``]는 그 구간에서 감소한다.

(3) [eqn: f`'`(x)=0``]이면 [eqn: y=f``(x)``]는 그 구간에서 상수함수 이다.

□□□ 함수의 극대·극소의 판정

연속함수 [eqn: y=f``(x)``]에 대하여

(1) [eqn: x<a``]일 때 [eqn: f`'`(x)>0``,``x>a``]일 때 [eqn: f`'`(x)<0``]이면

[eqn: f``(x)``]는 [eqn: x=a``]에서 극대이고 극대값은 [eqn: f``(a)``]이다.

(2) [eqn: x<a``]일 때 [eqn: f`'`(x)<0``], [eqn: x>a``]일 때 [eqn: f`'`(x)>0``]이면

[eqn: f``(x)``]는 [eqn: x=a``]에서 극소이고 극소값은 [eqn: f``(a)``]이다.

(3) [eqn: f`'`(a)=0``]이고 [eqn: f`''`(a)<0``]이면

[eqn: f``(x)``]는 [eqn: x=a``]에서 극대이고 극대값은 [eqn: f``(a)``]이다.

(4) [eqn: f`'`(a)=0``]이고 [eqn: f`''`(a)>0``]이면

[eqn: f``(x)``]는 [eqn: x=a``]에서 극소이고 극소값은 [eqn: f``(a)``]이다.

□□□ 곡선의 오목·볼록과 변곡점

함수 [eqn: y=f``(x)``]가 어떤 구간에서 항상

(1) [eqn: f`''`(x)>0``]이면 곡선 [eqn: y=f``(x)``]는 이 구간에서 아래로 볼록하다.

(2) [eqn: f`''`(x)<0``]이면 곡선 [eqn: y=f``(x)``]는 이 구간에서 위로 볼록하다.

(3) [eqn: f`''`(a)=0``]인 [eqn: x=a``]의 좌우에서 [eqn: f`''`(x)``]의 부호가 바뀌면,

점 [eqn: (a``,``f``(a)`)``]는 곡선 [eqn: y=f``(x)``]의 변곡점이다.

□□□ 곡선의 개형

(1) 곡선이 존재하는 [eqn: x``,``y``]의 범위

(2) 곡선의 대칭성 및 주기성

(3) 좌표축과의 교점

(4) 함수의 증감, 극값, 곡선의 오목·볼록과 변곡점

(5) 점근선 및 정의역의 끝에서의 곡선의 상태

□□□ 점근선을 구하는 방법

함수 [eqn: y=f``(x)``]의 그래프에서

(1) [eqn: lim from { x ->``a+0 } f``(x)``,`` lim from { x ->``a-0 } f``(x)``]가 [eqn: +inf`````또는`````-inf]이면

∀ 직선 [eqn: x=a``]는 [eqn: y``]축과 평행한 점근선이다.

(2) [eqn: lim from { x -> +- inf } {f``(x)} over x =a``,`` lim from { x -> +- inf } LEFT { {f``(x)}-ax RIGHT } =b``]이면

∀ 직선 [eqn: y=ax+b``]는 점근선

□□□ 속도와 가속도

좌표평면 위의 점 [eqn: P``]의 좌표 [eqn: (x,y)``]가 시각 [eqn: t``]의 함수로서

[eqn: x=f``(t)``,``y=g``(t)``]로 주어질 때

(1) 속도 : [eqn: vecv``=(v_x`,v_y`)=( dx over dt``,``{d y} over dt )``]

(2) 속력 : [eqn: LEFT | vecv`` RIGHT | = SQRT { v_x`^2`+v_y`^2} `= SQRT { ( dx over dt )^2`+( dy over dt )^2`} ``]

(3) 가속도 : [eqn: veca``= (a_x ``,``a_y``)``=( {d``^2`x} over {d``t^2`}``,``{d``^2`y} over {d``t^2`}`)]

□□□ 여러 가지 함수의 부정적분

(1) [eqn: INT sin x`` dx =-cos`x`+c]

(2) [eqn: INT cos`x``dx =sin`x+c]

(3) [eqn: INT sec^2`x``dx=tan`x+c]

(4) [eqn: INT cosec^2`x``dx=-cot`x+c]

(5) [eqn: INT tan`x``dx=-ln LEFT | cos`x`` RIGHT | +c]

(6) [eqn: INT cot`x= ln LEFT | sin`x`` RIGHT | +c]

(7) [eqn: INT sec`x```tan`x``dx=sec`x+c]

(80 [eqn: INT cosec`x``cot`x``dx=-cosec`x+c]

(9) [eqn: INT sin`a`x``dx= - 1 over a cos a x+c]

(10) [eqn: INT cos`a`x``dx= 1 over a sin`a`x+c]

(11) [eqn: INT 1 over x dx =ln LEFT |x`` RIGHT | +c]

(12) [eqn: INT e^x``dx=e^x`+c]

(13) [eqn: INT a^x``dx= a^x over lna +c````(단``,``a>0``,``a != 1)]

(14) [eqn: INT {f``'`(x)} over {f``(x)}dx =ln LEFT | f``(x)`` RIGHT | +c]

□□□ 치환적분법

(1) [eqn: INT f``(g``(x))g``'(x)``dx= INT f``(t)``dt`````(단``,``g``(x)=t``)]

(2) [eqn: F``'(x)=f``(x)````일``` 때``,]

[eqn: INT f``(ax+b)``dx= 1 over a F``(ax+b)+c````(단``,`a`!= 0)]

(3) 피적분 함수가 [eqn: SQRT { a^2`-x^2`} ``,``x^2`+a^2``]의 꼴을 포함할 때,

[eqn: SQRT { a^2`-x^2`} ``]꼴은 ∀ [eqn: x=a`sin` theta `````````( - pi over 2 □ theta □ pi over 2 )``]로 치환하고

[eqn: SQRT { x^2`+a^2`} ``,```1 over {x^2`+a^2`}``]꼴은 ∀ [eqn: x=a`tan theta `````( - pi over 2 < theta < pi over 2``)``]로

치환한다.

□□□ 부분적분법

[eqn: INT f``(x)``g``'(x)``dx= f``(x)``g`(x)- INT f``'(x)``g`(x)``dx]

□□□ 정적분으로 표현된 함수의 미분

[eqn: d over dx INT _{ a}^{x } f``(t)``dt``=f``(x)]

□□□ 정적분의 치환적분법과 부분적분법

(1) 치환적분법

[eqn: INT _{ a}^{b } f``(x) dx = INT _{ alpha }^{ beta } f``(g``(t))g`'`(t) dt``]

[eqn: (``단``,``x=g``(t)``,``a=g``( alpha )``,``b=g``( beta )``)]

(2) 부분적분법

[eqn: INT _{ a}^{b } f``(x)``g``'`(x) dx= LEFT [ f``(x)``g``(x) RIGHT ] _{ a}^{b }- INT _{ a}^{b } f``'`(x)``g``(x) dx``]

□□□ 넓이

(1) [eqn: x``]축과 곡선 사이의 넓이

[eqn: S= INT _{ a}^{c } f``(x) dx+ INT _{ c}^{b } LEFT { -f``(x)RIGHT } dx]

[eqn: = INT _{ a}^{b } LEFT | f``(x)`` RIGHT | dx]

(2) [eqn: y``]축과 곡선 사이의 넓이

[eqn: S= INT _{ a}^{c } g``(y) d y + INT _{ c}^{b } LEFT { -g``(y)RIGHT } d y]

[eqn: = INT _{ a}^{b } LEFT | g``(y)`` RIGHT | d y]

(3) 두 곡선 사이의 넓이

[eqn: S= INT _{ a}^{b } LEFT | f``(x)-g``(x) RIGHT | dx]

□□□ 부피

(1) 입체의 부피

구간 [eqn: LEFT [ a``,b`` RIGHT ] ``]에서 [eqn: x``]축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 [eqn: S(x)``]이면 입체의 부피 [eqn: V``]는 [eqn: V= INT _{ a}^{b } S(x) dx````(단``,``a<b)]

(2) 회전체의 부피

① [eqn: x``]축 둘레로 회전시킨 입체의 부피

[eqn: V= pi INT _{ a}^{b } y^2`dx = pi INT _{ a}^{b } LEFT { f``(x)RIGHT } ^2`dx]

② [eqn: y``]축 둘레로 회전시킨 입체의 부피

[eqn: V= pi INT _{ c}^{d } x^2`d y = pi INT _{ c}^{d } LEFT { g``(y)RIGHT } ^2``d y]

□□□ 속도와 거리

(1) 직선 위의 점의 운동

직선 위를 움직이는 점 [eqn: P``]의 시각 [eqn: t``]에서의 속도를 [eqn: v``(t)``]라고 하면 점 [eqn: P``]가 [eqn: t=a``]에서 [eqn: t=b``]까지 움직일 때

① 점 [eqn: P``]의 위치의 변화량 : [eqn: INT _{ a}^{b } v``(t)``d`t``]

② 점 [eqn: P``]가 실제로 움직인 거리 : [eqn: INT _{ a}^{b } LEFT | v``(t)`` RIGHT |```` d`t``]

(2)  평면 위의 운동

평면 위를 움직이는 점 [eqn: P``]의 시각 [eqn: t``]에서의 위치가

[eqn: x=f``(t)``,``y=g``(t)``]일 때, [eqn: t=a``]에서 [eqn: t=b``] 사이에 점 [eqn: P``]가 움직인 거리 [eqn: l``]은 [eqn: l= INT _{ a}^{b } SQRT { LEFT { f``'`(t)`RIGHT }^2`+{ LEFT { g``'`(t)`RIGHT }^2` } } d``t]

(3) 곡선의 길이

곡선 [eqn: y=f``(x)````(``a``□``x``□``b``)``]의 길이를 [eqn: l``]이라 하면

[eqn: l= INT _{ a}^{b } SQRT { 1+ ({dy} over dx )^2`` } dx = INT _{ a}^{b } SQRT { 1+ LEFT { f``'`(x)RIGHT }^2`` } dx]

평면도형의 성질

1. 직각삼각형

[eqn: ANGLE B``= ANGLE CAD``]

[eqn: ANGLE C`` = ANGLE BAD``]

[eqn: barAB` CDOT barAC``=``barBC` CDOT barAD``]

[eqn: barAD`^2``=barBD` CDOT barDC]     [eqn: barAB`^2``=barBD` CDOT barBC]      [eqn: barAC`^2``=barCD` CDOT barCB]

[eqn: barAM`=barBM`=barCM]

∀ [eqn: ANGLE BAC`=``90 DEG]

[eqn: ANGLE A`=90 DEG]

∃ [eqn: a^2`=b^2`+c^2``]

(피타고라스의 정리)

2. 평행선에 관한 성질

[eqn: m``//n`` RARROW `` alpha = beta = gamma]             [eqn: barDE``//``barBC```` RARROW ``barAD over barAB =barAE over barAC = barDE over bar BC]

[eqn: barED``//``barBC`` RARROW ``barAD over barAB = barAE over barAC = barED over barBC]

3. 평행사변형의 성질, 평행사변형을 이룰 조건

[eqn: □ABCD`` LRARROW ``barAD``//``barBC``,``barAD = barBC]

[eqn: □ABCD`` LRARROW]

[eqn: barAB = barDC``,``barAD = barBC]

[eqn: ANGLE A = ANGLE C````( ANGLE B = ANGLE D`` )]

[eqn: □ABCD`` LRARROW ``]

[eqn: barAO = barOC``,``barBO``=``barOD]

4. 중점에 관한 성질

[eqn: barAD = barDB``,``barAE = barEC]

[eqn: RARROW ``barBE``//``barBC]

[eqn: barDE = 1 over 2 barBC]

[eqn: barAD``//``barBC]

[eqn: barAM = barMB``,``barDN = barBC]

[eqn: RARROW ``barMN``//``barBC]

[eqn: barMN = { barAD + bar BC } over 2]

[eqn: barBM = barMC```` RARROW ``]

[eqn: barAB`` ^2 + barAC``^2`=2( barAM``^2 + barBM``^2`)]

( 파푸스의 정리)

5. 삼각형의 무게중심 [eqn: G``]

세 중선의 교점

[eqn: barAG```` :`` barGL =barBG````:``barGM]

[eqn: = bar{C``G}````:``barGN = 2``:``1]

삼각형의 내심 [eqn: I]

세 내각의 이등분선의 교점

[eqn: barID = barIE = bar IF]

삼각형의 외심 [eqn: O]

세 변의 수직이등분선의 교점

[eqn: barOA = barOB = barOC]

6. 각의 이등분선에 관한 성질

[eqn: ANGLE BAD = ANGLE CAD ```` LRARROW]

[eqn: barAB````:``barAC``=``barBD````:``barDC]

[eqn: ANGLE CAE = ANGLE DAE```` LRARROW ``]

[eqn: barAB````:``barAC = barBE```:``barEC]

[eqn: ANGLE POM = ANGLE PON]

[eqn: LRARROW ````barPM = barPN]

7. 원과 원주각

[eqn: ANGLE AOB = 2 ANGLE P]

[eqn: ANGLE P = ANGLE Q]

호 위의 점 [eqn: P``], 외부의

점 [eqn: Q``], 내부의 점 [eqn: M``] [eqn: RARROW]

[eqn: ANGLE AQB < ANGLE APB < ANGLE AMB]

[eqn: barAB``]가 지름 [eqn: RARROW]

[eqn: ANGLE P``=90 DEG ``,`` ANGLE Q``=](예각)

[eqn: ANGLE M``=](둔각)

8. 원과 사각형에 관한 성질

[eqn: ANGLE A``+`` ANGLE BCD``=2`` ANGLE R]

[eqn: ANGLE A``=` ANGLE DCE]

[eqn: barPA CDOT barPB = barPD CDOT barPC]

원에 외접 [eqn: RARROW]

[eqn: barAB + bar CD = barAD + barBC]

9. 원과 접선

[eqn: XY``]가 접선

[eqn: LRARROW ````barOT BOT barXY]

[eqn: CT```]가 접선

[eqn: LRARROW ```` ANGLE A = ANGLE BCT]

[eqn: PT``]가 접선

[eqn: LRARROW ````barPT``^2`=barPA CDOT barPB]

10. 닮음비 : [eqn: k``]

둘레의 비 : [eqn: k``]

넓이의 비 : [eqn: k^2``]

부피의 비 : [eqn: k^3``]

11. [eqn: n``]각형의 대각선의 수 : [eqn: `_n`C_2`-n`={n``(n-3)} over 2]

[eqn: n``]각형의 내각의 합 : [eqn: (2n-4)`` ANGLE R]

[eqn: n``]각형의 외각의 합 : [eqn: 4 ANGLE R]

정[eqn: n``]각형의 한 내각의 크기 : [eqn: n-2 over n `` pi]