Do your best ♥ Be the best ★★                                            수학연구소/數/理/院/

수학연구소 /數/理/院/

수능기출

년도	1996년 11월 13일
대상	고3 인문, 예체능 A형

1997학년도 수능《인문, 예체능계》

[eqn: (125` ^{2} `-`75` ^{2} `)`÷` LEFT { 5`+`(30`-`50)`÷`(-4)` RIGHT }]의 값은?

정답 ④

[eqn: 125^2 - 75^2 = (125+75)(125-75)][eqn: = 200×50=10000]

[eqn: 5+(30-50)÷(-4)=10]

주어진 식[eqn: =10000÷10=1000]

[2점][1997학년도 수능]

①　[eqn: 75]	②　[eqn: 125]	③　[eqn: 900]

④　[eqn: 1000]	⑤　[eqn: 1225]

[eqn: alpha`=`-2`+`i`,~beta`=`1`-`2`i``]일 때,

[eqn: alpha`bar alpha`+`bar alpha`beta`+`alpha`bar beta`+`beta`bar beta``]의 값은?

정답 ②

[eqn: alpha bar{alpha } + bar{alpha } beta + alpha bar{beta } + beta bar{beta } ``]

[eqn: = alpha ( bar{alpha } + bar{beta } )+ beta ( bar{alpha } + bar{beta } )] [eqn: =( alpha + beta )( bar{alpha + beta } )]

[eqn: =( alpha + beta )( bar{alpha } + bar{beta } )][eqn: =(-1-i)(-1+i)=2]

(단, [eqn: bar{alpha } ,``` bar{beta }]는 [eqn: alpha ,``` beta]의 켤레복소수이고, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.)

[2점][1997학년도 수능]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 4]

④　[eqn: 10]	⑤　[eqn: 20]

이차방정식 [eqn: x`^2`-`2`sqrt3`x`+`2`=`0``]의 두 근을

[eqn: alpha ,``` beta ```( alpha > beta )]라고 할 때, [eqn: tan` theta `= {alpha `-` beta } over {alpha `+` beta }]를 만족하는

[eqn: theta]는? (단, [eqn: left(- scale 90 pi over 2 scale 100<`theta``<scale 90 pi over 2 scale 100 right)``]

정답 ①

근과 계수와의 관계에서

[eqn: alpha + beta =2 sqrt {3} ,``` alpha beta =2]

[eqn: THEREFORE ```( alpha - beta ) ^{2} =( alpha + beta ) ^{2} -4 alpha beta]	[eqn: = 12-8 =4]

[eqn: alpha > beta ``]이므로 [eqn: alpha - beta =2]

[eqn: THEREFORE ```tan theta = {2} over {2 sqrt {3}} = {1} over {sqrt {3}}]

[eqn: - {pi } over {2} < theta < {pi } over {2}]에서 [eqn: theta = {pi } over {6}]

[2점][1997학년도 수능]

①　[eqn: scale 90 pi over 6``]	②　[eqn: scale 90 pi over 4``]	③　[eqn: scale 90 pi over 3``]

④　[eqn: -scale 90 pi over 4``]	⑤　[eqn: -scale 90 pi over 3``]

행렬 [eqn: A= {pmatrix{1&&1#2&&3}}]이고 행렬 [eqn: B]는 [eqn: ABA=A]를 만족

한다. [eqn: A`+`B``]는?

정답 ⑤

[eqn: A^-1]가 존재하므로 [eqn: ABA = A``]의 오른쪽에

[eqn: A^-1 ``]을 곱하여 정리하면

[eqn: AB = AA^-1 =E , ~BA = A^-1 A =E``]

[eqn: THEREFORE ```B=A ^{-1}]

[eqn: A+B=A+A ^{-1} = {pmatrix{1&&1#2&&3}} + {pmatrix{3&&-1#-2&&1}} = {pmatrix{4&&0#0&&4}}]

[3점][1997학년도 수능]

①　[eqn: {pmatrix{2&&2#4&&6}}]	②　[eqn: {pmatrix{2&&0#0&&6}}]	③　[eqn: {pmatrix{-2&&2#4&&2}}]

④　[eqn: {pmatrix{0&&2#4&&0}}]	⑤　[eqn: {pmatrix{4&&0#0&&4}}]

전체집합 [eqn: U``]의 두 부분집합 [eqn: A,```B]에 대하여

[eqn: A`*`B`=`(A`∩`B`)`∪`(A`∪`B`)`^c``]

라고 정의할 때, 항상 성립한다고 할 수 없는 것은?

정답 ①

① [eqn: A*U=(A∩U)∪(A∪U)^c = A ∪phi =A]

② [eqn: B*A=(B∩A)∪(B∪A)^c]이므로[eqn: A*B=B*A ``]

③ [eqn: A*phi =(A∩phi)∪(A∪phi)^c = phi ∪ A^c = A^c]

④ [eqn: A^c *B^c =(A^c ∩B^c )∪(A^c ∪B^c )^c]

[eqn: =(A∪B)^c ∪(A∩B) = A*B ``]

⑤ [eqn: A*A^c = (A∩A^c )∪(A∪A^c )^c][eqn: = phi ∪ U^c = phi]

(단, [eqn: U`not=`phi``])

[2점][1997학년도 수능]

①　[eqn: A`*`U`=`U``]	②　[eqn: A`*`B`=`B`*`A``]

③　[eqn: A`*`phi`=`A`^c``]	④　[eqn: A`*`B`=`A`^c`*`B`^c``]

⑤　[eqn: A`*`A`^c`=`phi``]

[eqn: log _{2} `x]와 [eqn: log _{2} `y]사이의 관계가

오른쪽 그래프와 같은 모양일 때,

[eqn: x]와 [eqn: y] 사이의 관계를 옳게 나타낸

것은?

정답 ⑤

[eqn: log_2 y = - a log _2 x +b``](단, [eqn: a>0,~b>0]인 상수)라 하면

[eqn: log_2 y = log_2 {2^b over x^a }]

[eqn: THEREFORE ```y= {k} over {x ^{a}}] (단, [eqn: k>0]이고 [eqn: k= 2^b ``])

따라서 그래프는 [eqn: x ^{a}]과 [eqn: y]가 반비례

한다.

[2점][1997학년도 수능]

①

②

③

④

⑤

다음 그림은 동일한 저항() [eqn: 10]개가 연결된

회로이다. 이 회로와 연결 상태가 같은 것은?

정답 ⑤

주어진 회로를 일렬로 펼친 것을 찾으면 된다.

[별해]

우선 ⑧, ⑨, ⑩이 없다고 가정하고 회로를 구성하면

여기서 위 그림을 보면

⑧은 [eqn: a``]와 ① 사이의 점과 [eqn: b``]와 ⑦ 사이의 점을

⑨은 ①과 ② 사이의 점과 ⑦과 ⑥ 사이의 점을

⑩은 ②와 ③ 사이의 점과 ⑥과 ⑤ 사이의 점을 이으면

된다.

따라서 연결상태가 같은 회로는 ⑤이다.

[2점][1997학년도 수능]

①

②

③

④

⑤

어느 청량 음료 회사의 연간 청량 음료 판매량은

그 해 여름의 평균 기온에 크게 좌우된다. 과거 자료에

따르면, 한 해의 판매 목표액을 달성할 확률은 그 해

여름의 평균 기온이 예년보다 높을 경우에 [eqn: 0.8], 예년과 비슷할 경우에 [eqn: 0.6], 예년보다 낮을 경우에 [eqn: 0.3]이다.

일기 예보에 따르면, 내년 여름의 평균 기온이 예년보

다 높을 확률이 [eqn: 0.4], 예년과 비슷할 확률이 [eqn: 0.5], 예년보

다 낮을 확률이 [eqn: 0.1]이라고 한다.

이 회사가 내년에 목표액을 달성할 확률은?

정답 ③

이 회사가 각 경우에 내년에 판매 목표액을 달성할

확률은

ⅰ) 내년 여름의 평균 기온이 예년보다 높을 때

[eqn: p_1 = 0.4 ×0.8 = 0.32]

ⅱ) 내년 여름의 평균 기온이 예년과 비슷할 때

[eqn: p_2 = 0.5×0.6= 0.3]

ⅲ) 내년 여름의 평균 기온이 예년보다 낮을 때

[eqn: p_3 = 0.1 ×0.3 = 0.03]

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 이 회사가 내년에 판매 목표액을

달성할 확률은

[eqn: p= p_1 + p_2 + p_3][eqn: = 0.32 + 0.3 + 0.03][eqn: = 0.65]

[2점][1997학년도 수능]

①　[eqn: 0.55]	②　[eqn: 0.60]	③　[eqn: 0.65]

④　[eqn: 0.70]	⑤　[eqn: 0.75]

포물선 [eqn: y`=`x`(x`+`1)``]위에

점 [eqn: rm A`(-1,``0)]이 있다. 점 P가

점 A에서 포물선을 따라

원점 O로 한없이 가까이 갈

때, [eqn: rm ANGLE APO]의 크기의

극한값은?

정답 ③

점 [eqn: rmO]에서의 접선의 기울기는 [eqn: y' _{x=0} =1]이므로

접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각은 [eqn: 45 DEG]이다.

그러므로 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmO]로 가까이 갈 때

[eqn: rm ANGLE APO]의 극한값은 [eqn: 135 DEG]이다.

[별해]

점 [eqn: P``]의 좌표를 [eqn: P(a,```a ^{2} +a),``` ANGLE APO= theta]라 하면

[eqn: bar{AP} = sqrt {(a+1) ^{2} +(a ^{2} +a) ^{2}} =(a+1) sqrt {1+a ^{2}}]

[eqn: bar{OP} = sqrt {a ^{2} +(a ^{2} +a) ^{2}} =-a sqrt {2+2a+a ^{2}}]

(단, [eqn: -1<a<0])

[eqn: THEREFORE ```cos theta = {(a+1) ^{2} (1+a ^{2} )+a ^{2} (2+2a+a ^{2} )-1} over {2(a+1) sqrt {1+a ^{2}} (-a) sqrt {2+2a+a ^{2}}}]

[eqn: = {2a(a^3 + 2 a^2 +3a +1) } over{-2a(a+1)root1+a^2 root{2+2a+ a^2}}]

이고 [eqn: P``` -> ```0]일 때 [eqn: a``` -> ```0]

[eqn: lim _{a -> 0} {} `cos theta =- {1} over {sqrt {2}}]에서 [eqn: theta =135 DEG]

[3점][1997학년도 수능]

①　[eqn: 90 DEG]	②　[eqn: 120 DEG]	③　[eqn: 135 DEG]

④　[eqn: 150 DEG]	⑤　[eqn: 180 DEG]

다항식 [eqn: P`(x)]가 다음 항등식을 만족한다.

[eqn: P(P(x)+x)=(P(x)+x) ^{2} -(P(x)+x)+1]

이 때 미분계수 [eqn: P` prime (0)]의 값은?

정답 ②

[eqn: t=P(x)+x]라 하면 [eqn: P(t)=t ^{2} +t+1]

[eqn: THEREFORE ```P prime (t)=2t-1]에서 [eqn: P'(0)=-1]

[3점][1997학년도 수능]

①　[eqn: -2]	②　[eqn: -1]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: 1]	⑤　[eqn: 2]

[eqn: 3]학년 재학생수가 각각 [eqn: 500]명인 같은 지역

[eqn: rm A,```B,```C] 세 고등학교 [eqn: 3]학년 학생의 수학 성적 분포가

각각 정규분포를 이루고 아래 그림과 같을 때,

다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

정답 ④

평균과 비교하여 상위 성적의 표준편차가

[eqn: B``]고등학교보다 [eqn: A``]고등학교가 더 크다.

[eqn: A``]고등학교와 [eqn: B``]고등학교는 평균이 같다.

[eqn: C``]고등학교보다 [eqn: B``]고등학교가 표준편차가 작으므로

[eqn: B``]고등학교 학생들의 성적이 더 고른 편이다.

따라서, 옳은 것은 Ⅰ, Ⅲ이다.

[3점][1997학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. 성적이 우수한 학생이 [eqn: rmB]고등학교보다 [eqn: rmA]고등 학교에 더 많이 있다. ㄴ. [eqn: rmB]고등학교 학생들은 평균적으로 [eqn: rmA]고등학교 학생들보다 선적이 더 우수하다. ㄷ. [eqn: rmC]고등학교 학생들보다 [eqn: rmB]고등학교 학생들의 성적이 더 고른 편이다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄷ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄴ, ㄷ

어느 해 한국, 미국, 일본의 대졸 신입 사원의

월급은 평균이 각각 [eqn: 80]만원, [eqn: 2000]불, [eqn: 18]만엔이고 표준

편차가 각각 [eqn: 10]만원, [eqn: 300]불, [eqn: 2]만 [eqn: 5]천엔인 정규분포를

따른다고 한다. 위 [eqn: 3]개국에서 임의로 한 명씩 뽑힌

대졸 신입 사원 [eqn: rm A,```B,```C]의 월급이 각각 [eqn: 94]만원, [eqn: 2250]불, [eqn: 21]만엔이라고 할 때, 각각 자국내에서 상대적으로

월급을 많이 받는 사람부터 순서대로 적은 것은?

정답 ②

[eqn: A```:```Z= {94-80} over {10} =1.4]

[eqn: B```:```Z= {2250-2000} over {300} = {5} over {6} =0.833 CDOTS]

[eqn: C```:```Z= {210000-180000} over {25000} = {6} over {5} =1.2]

따라서, 월급을 많이 받는 순서는[eqn: A,```C,```B]

[2점][1997학년도 수능]

①　[eqn: rmA,```B,```C]	②　[eqn: rmA,```C,```B]	③　[eqn: rmB,```A,```C]

④　[eqn: rmC,```A,```B]	⑤　[eqn: rmC,```B,```A]

다음 그림과 같이 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 직선 위를 따라 같은

방향으로 움직인다. [eqn: rmB]는 [eqn: rmA]보다 [eqn: rm 200`m]앞에서 [eqn: rmA]와

동시에 출발한다. [eqn: rmA]의 출발점을 [eqn: a _{1}], [eqn: rmB]의 출발점을 [eqn: a _{2}], [eqn: rmA]가 [eqn: a _{2}]에 도달했을 때 [eqn: rmB]의 위치를 [eqn: a _{3}], [eqn: rmA]가 [eqn: a _{3}]에 도달

했을 때 [eqn: rmB]의 위치를 [eqn: a _{4}]라고 하자.

이와 같은 방법을 계속하여 점 [eqn: a _{n} ```(n=1,```2,```3,``` CDOTS )]을

정한다.

[eqn: rmA]의 속도가 [eqn: rmB]의 속도의 [eqn: 2`]배이면, [eqn: rmA]와 [eqn: rmB] 사이의 거리

가 [eqn: rm 1`m``]이내가 되기 시작할 때 [eqn: rmA]의 위치는?

정답 ③

[eqn: B``]의 속도를 [eqn: x]라 하면 [eqn: A]의 속도는 [eqn: 2x]

[eqn: a_2]에서 [eqn: a_3]까지의 거리를 [eqn: y]라 하면 [eqn: y over x = 200 over 2x]

[eqn: THEREFORE ```y=100]

수열 [eqn: left{ P_n `` right}]은 [eqn: 200,```100,```50,```25,``` CDOTS ,```P _{n} ,``` CDOTS]

[eqn: P _{n} =200 TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

따라서, [eqn: A``]의 위치는 [eqn: a_8]과 [eqn: a_9] 사이이다.

[3점][1997학년도 수능]

①　[eqn: a _{4}]와 [eqn: a _{5}] 사이	②　[eqn: a _{6}]와 [eqn: a _{7}] 사이

③　[eqn: a _{8}]와 [eqn: a _{9}] 사이	④　[eqn: a _{10}]와 [eqn: a _{11}] 사이

⑤　[eqn: a _{12}]와 [eqn: a _{13}] 사이

모든 실수에 대하여 정의된 함수 [eqn: f`(x`)]는

[eqn: f`(x)=x ^{2} ```(-1 <= x <= 1)]과 [eqn: f`(x+2)=f`(x)]를 만족하

는 주기함수이다. 좌표평면 위에서 각 자연수 [eqn: n]에 대하

여 직선 [eqn: y= {1} over {2`n} x`+ {1} over {4`n}]과 함수 [eqn: y=f`(x)]의 그래프와

의 교점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라고 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {a _{n}} over {n}]의 값은?

정답 ③

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f``(x+2) = f``(x)]이므로

함수 [eqn: y = f(x)]는 주기가 [eqn: 2]인 함수이다.

따라서, [eqn: f``(x)]의 그래프는 아래 그림과 같다.

직선 [eqn: y= 1 over 2n x + 1 over 4n]과 함수 [eqn: y = f``(x)]의 그래프와의

교점의 개수는 [eqn: a_n]

[eqn: n=1]일 때, [eqn: y = 1 over 2 x + 1 over 4]이므로 [eqn: a_1 =3]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: y = 1 over 4 x + 1 over 8]이므로 [eqn: a_2 =5]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: y = 1 over 6 x + 1 over 12]이므로 [eqn: a _{3} =7]

[eqn: a _{1} =3,```a _{2} =5,```a _{3} =7,``` CDOTS]이므로

일반항은 [eqn: a_n =2n+1]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {n} = lim _{n -> INF } {} {2n+1} over {n} =2]

[2점][1997학년도 수능]

①　[eqn: 0]	②　[eqn: 1]	③　[eqn: 2]

④　[eqn: 3]	⑤　[eqn: 4]

포물선 [eqn: y=(x-a) ^{2} +b] 위의 두 점

[eqn: P(s+a,```s ^{2} +b)]와 [eqn: Q(t+a,```t ^{2} +b)]에서 각각 그은 이

포물선의 접선은 서로 수직이다. 이 두 접선과 위 포물

선으로 둘러싸인 도형의 면적을 [eqn: A``]라고 하자.

다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ①

두 점 [eqn: rmP,```Q]에서 포물선 [eqn: y=(x-a) ^{2} +b]에 그은

접선의 기울기는 각각

[eqn: y' _{x=s+a} =2s], [eqn: y' _{x=t+a} =2t]이므로

서로 수직이려면

[eqn: 2s·2t=4st=-1]이다.

[eqn: THEREFORE ```st=- {1} over {4}]

따라서 [eqn: s]가 증가하면 [eqn: t]도 증가한다.

그리고 [eqn: a,```b]의 값에 관계없이 넓이 [eqn: A]는 변하지 않는다.

[별해]

[eqn: y=(x-a) ^{2} +b] 위의 두 점 [eqn: P(s+a,```s ^{2} +b)]와

[eqn: Q(t+a,```t` ^{2} +b)]를 점 [eqn: (a,```b)]가 원점에 오도록 평행이동

을 시켜도 같은 구조가 되며,

넓이 [eqn: A``]도 변하지 않으므로 ([그림 1], [그림 2] 참조)

[그림1]

[그림2]

포물선 [eqn: y=x ^{2}]과 두 점 [eqn: P` prime `(s,```s ^{2} ),```Q` prime `(t,```t ^{2} )]에서 생각

하면 된다.

따라서 [eqn: a,```b]가 변하면 [eqn: A``]도 변한다는 (ㄴ), (ㄷ)은

옳지 않다. 또, [eqn: s]가 증가하면, 두 접선이 수직이므로

[eqn: t]도 증가하게 되므로 (ㄱ)만 옳은 답이다.

(단, [eqn: s<0<t])

[2점][1997학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: s]가 증가하면 [eqn: t]도 증가한다. ㄴ. [eqn: a]가 증가하면 면적 [eqn: A]도 증가한다. ㄷ. [eqn: b]가 변하면 면적 [eqn: A]도 변한다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄷ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄴ, ㄷ

‘12진법 모임’의 회원들은 자연수를 다음 표와

같이 대응하여 적는다고 한다.

[eqn: 10]진법	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]	[eqn: 10]	[eqn: 11]	[eqn: 12]	[eqn: 13]	[eqn: CDOTS]
[eqn: 12]진법	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]	[eqn: x]	[eqn: y]	[eqn: 10]	[eqn: 11]	[eqn: CDOTS]

[eqn: 12]진법 덧셈의 예를 들면, [eqn: 1+9=x,```x+y=19]이다.

[eqn: 12]진법의 두 수 [eqn: xxx]와 [eqn: yyy]의 합 [eqn: xxx+yyy]의 값을

[eqn: 12]진법으로 표기한 것은?

정답 ③

문제의 표와 [eqn: 12]진법 덧셈의 예에서

[eqn: 1+9=x,```x+y=19]이다.

[eqn: xxx+yyy]를 세로 방법으로 하면

	[eqn: xxx``]	[eqn: 2]째 자리 [eqn: 1+x+y=1x``]
＋	[eqn: yyy``]	[eqn: 3]째 자리 [eqn: 1+x+y=1x``]
	[eqn: 1xx9]

[3점][1997학년도 수능]

①　[eqn: 1779]	②　[eqn: 2331]	③　[eqn: 1xx9]

④　[eqn: 1yy9]	⑤　[eqn: 1yyx]

오른쪽 순서도는 부등식

[eqn: 2`^n+1`<`9`n`^4``]이 성립하지 않는

가장 작은 자연수 [eqn: n``]을 찾기

위하여 작성하였다.

오른쪽 순서도에서 (가), (나),

(다)에 알맞은 것을 순서대로

적은 것은?

정답 ④

부등식 [eqn: 2^n+1 <9 n`^4 `]

[eqn: N=0,```S=2,```N=1,```S=2 ^{2} ,```S=2 ^{3}]이므로

㈎ [eqn: [`S``` larrow ```S TIMES 2`]]가 되어야한다

문제에서 [eqn: 2^n+1 <9 n`^4 `]이 성립하지 않는

가장 작은 자연수이므로

㈏ [eqn: [`S GEQ 9N` ^{4} `]]이 되어야 한다.

이 때, ㈐ [eqn: [`N을```인쇄`]]라고 하여야 한다.

[2점][1997학년도 수능]

①　[eqn: S<-S+2],  [eqn: S GEQ `9`N ^{4}],

[eqn: N+1]을 인쇄

②　[eqn: S<-S TIMES 2],  [eqn: S`<`9`N``^4`,`]

[eqn: N]을 인쇄

③　[eqn: S<-S TIMES 2],  [eqn: S`<`9`N``^4`,`]

[eqn: N+1]을 인쇄

④　[eqn: S<-S TIMES 2],  [eqn: S GEQ `9`N ^{4}]

[eqn: N]을 인쇄

⑤　[eqn: S<-S TIMES 2],  [eqn: S GEQ `9`N ^{4}]

[eqn: N+1]을 인쇄

다음은 명제 ｢[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =1111]을 만족하는

[eqn: BOX{~~㈎~~}]｣에 대한 증명에서 중간 부분을 적은 것이다.

	[ 증 명 ]
…(생략)… 정수 [eqn: x,```y,```z]를 각각 [eqn: 8]로 나누면 나머지가 각각 [eqn: 0,```1,```2,```3,```4,```5,```6,```7]중 하나이다. 따라서 [eqn: x ^{2} ,```y ^{2} ,```z ^{2}]을 각각 [eqn: 8]로 나누면 나머지가 [eqn: 0,```1,```4] 중 하나이다. 그러므로 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2}]을 [eqn: 8]로 나누었을 때 나머지 는 각각 [eqn: 0,```1,```2,```3,```4,```5,```6] 중 하나이다. 그런데, [eqn: 1111]을 [eqn: 8]로 나누면 나머지는 [eqn: 7]이다. …(생략)…

다음 중 위의 [eqn: BOX{~~㈎~~}]에 알맞은 것은?

정답 ⑤

[eqn: x,```y,```z]가 정수일 때 [eqn: x^2 +y^2 +z^2 = 1111]에서

[eqn: x^2 +y^2 + z^2]을 [eqn: 8]로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: 0,```1,```2,```3,```4,```5,```6]중 하나이고 [eqn: 1111]을 [eqn: 8]로 나누면

나머지가 [eqn: 7]이므로

주어진 명제의 등식이 성립하지 않는다.

따라서 주어진 [eqn: x,```y,```z]가 모두 정수인 해는 없다.

[2점][1997학년도 수능]

①　[eqn: x,```y,```z] 중 적어도 하나는 정수이다.

②　[eqn: x,```y,```z] 중 어느 것도 정수가 아니다.

③　[eqn: x,```y,```z]가 모두 정수인 해가 적어도 하나 있다.

④　[eqn: x,```y,```z]가 모두 정수인 해가 오직 하나 있다.

⑤　[eqn: x,```y,```z]가 모두 정수인 해는 없다.

오른쪽 그림에서 사각형

[eqn: rmABCD]는 원에 내접하고 두

대각선 [eqn: rmAC]와 [eqn: rmBD]는 점 [eqn: rmP]에서

만나며 서로 수직이다.

또, 점 [eqn: rmP]에서 변 [eqn: rmBC]에 내린

수선의 발을 [eqn: rmE]라 하고,

직선 [eqn: rmPE]와 변 [eqn: rmAD]가 만나는 점을 [eqn: rmF]라고 하자.

다음 중 여기에서 증명될 수 없는 것은?

정답 ⑤

① [eqn: ∠CBP``]와 [eqn: ∠PAD``]는 [eqn: archCD``]에 대한 원주각이므로

같다.

② [eqn: △EBP``]와 [eqn: △EPC``]는 서로 닮음이므로

[eqn: ANGLE EBP= ANGLE EPC``` CDOTS CDOTS ```㉠]

또한 ①에 의하여[eqn: ANGLE EBP= ANGLE PAF``` CDOTS CDOTS ```㉡]

[eqn: ∠EPC=∠APF ``](∴맞꼭지각)

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: ANGLE EPC= ANGLE PAF``` CDOTS CDOTS ```㉢]

㉢, ㉣에 의하여 [eqn: ANGLE APF= ANGLE PAF``` CDOTS CDOTS ```㉣]

③ [eqn: ∠BCP= ∠FDP``]([eqn: ∴ archAB]에 대한 원주각)[eqn: CDOTS CDOTS ```㉠]

[eqn: ∠BCP=∠EPC =90°]

[eqn: ∠APF + ∠FPD =90°]

[eqn: ∠EPC = ∠APF ``]

[eqn: ∴∠BCP=∠FDP``]․․․㉡

㉠, ㉡에 의하여[eqn: ∠FPD = ∠FDP ``]

④ ②에 의하여 [eqn: △PAF``]는 이등변삼각형이므로

[eqn: barAF = barPF ``]

③에 의하여 [eqn: barPF = barFD ``]    [eqn: ∴barAF = barFD ``]

⑤ <거짓>

[3점][1997학년도 수능]

①　[eqn: rm ANGLE CBP= ANGLE PAD]	②　[eqn: rm ANGLE APF= ANGLE PAF]

③　[eqn: rm ANGLE FPD= ANGLE FDP]	④ [eqn: rm overline AF = overline FD]

⑤ [eqn: rm overline AP = overline AF]

세 내각이 [eqn: 30 DEG ,```60 DEG ,```90 DEG]이고

서로 합동인 삼각형들이 있다.

평면 위에 오른쪽 그림과 같이 이들

삼각형을 내각이 직각인 꼭지점과

[eqn: 60 DEG]인 꼭지점이 일치되고 겹치지

않도록 빗변에 붙여 간다.

어느 삼각형도 서로 겹쳐지지 않을

때까지 되도록 많이 붙이려고 한다.

가장 많이 붙였을 때 이들 삼각형의 수는?

정답 ④

오른쪽 그림에서 붙여 나가는

직각삼각형의 빗변이 선분 [eqn: AB``]

와 이루는 각의 크기가 차례로

[eqn: 30^circ ,] [eqn: 30^circ ×2,] [eqn: 30 ^{CIRC } TIMES 3,``` CDOTS]이

되므로, 직각삼각형을 [eqn: n``]개 붙였

을 때 [eqn: n``]번째의 빗변과

선분 [eqn: AB``]가 이루는 각의 크기는

[eqn: 30 ^{CIRC } TIMES n <= 360 ^{CIRC }]

[eqn: THEREFORE ```n <= 12]

따라서 [eqn: 12]개까지 붙일 수 있다.

[3점][1997학년도 수능]

①　[eqn: 6]	②　[eqn: 8]	③　[eqn: 10]

④　[eqn: 12]	⑤　[eqn: 14]

[eqn: 2525]년 여름쯤 [eqn: 2526]년 [eqn: 1]월의 계획을 세우려고

하는데, 그 해([eqn: 2525]년) [eqn: 1]월부터 [eqn: 12]월까지의 달력은 있

으나 새해([eqn: 2526]년) [eqn: 1]월의 달력이 없다.

이 때, [eqn: 2526]년 [eqn: 1]월의 달력과 요일 및 날짜가 같게 구성

된 달을 [eqn: 2525]년 달력 중에서 찾으면?

정답 ②

[eqn: 2526]년 [eqn: 1]월의 달력과 요일 및 날짜의 구성이 같으려면

어떤 주어진 달의 [eqn: 1]일부터 그 해 [eqn: 12]월 [eqn: 31]일까지의

날짜 수가 [eqn: 7]의 배수이어야 한다.

[eqn: 3]월 [eqn: 1]일～[eqn: 12]월 [eqn: 31]일의 날짜의 수 : [eqn: 306]일

[eqn: 5]월 [eqn: 1]일～[eqn: 12]월 [eqn: 31]일의 날짜의 수 : [eqn: 245]일

[eqn: 9]월 [eqn: 1]일～[eqn: 12]월 [eqn: 31]일의 날짜의 수 : [eqn: 184]일

[eqn: 8]월 [eqn: 1]일～[eqn: 12]월 [eqn: 31]일의 날짜의 수 : [eqn: 153]일

따라서 날짜 수가 [eqn: 7]의 배수인 것은 [eqn: 5]월이다.

[별해]

[eqn: 2526]년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일은 [eqn: 2525]년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일에서 [eqn: 366]일 째 되는

날이다. ([eqn: 366=7 TIMES 52+2])

다시 말해서 [eqn: 7]로 나누어 나머지가 [eqn: 2]일 째 되는 날이다.

[eqn: 3]월 [eqn: 1]일 : [eqn: 31+28+1=60=7 TIMES 8+4]

[eqn: 5]월 [eqn: 1]일 : [eqn: 60+31+30=121=7 TIMES 17+2]

[eqn: 7]월 [eqn: 1]일 : [eqn: 121+31+30=182=7 TIMES 26]

[eqn: 8]월 [eqn: 1]일 : [eqn: 182+31=213=7 TIMES 30+3]

따라서 [eqn: 5]월이 [eqn: 2526]년 [eqn: 1]월의 달력과 같다.

[3점][1997학년도 수능]

①　[eqn: 3]월	②　[eqn: 5]월	③　[eqn: 7]월

④　[eqn: 8]월	⑤　없다.

어떤 원자의 전자들은 에너지의 증감에 따라 세

가지 상태 [eqn: a,```b,```c]로 바뀐다. 이 때, 다음 규칙이 적용

된다고 하자.

규칙　1：에너지가 증가하면 [eqn: b``]상태의 전자는

[eqn: c``]상태로 올라가고, [eqn: a``]상태의 전자 중

일부는 [eqn: b``]상태로, 나머지는 [eqn: c``]상태로 올라

간다.

규칙　2：에너지가 감소하면 [eqn: b``]상태의 전자는

[eqn: a``]상태로 내려가고, [eqn: c``]상태의 전자 중

일부는 [eqn: b``]상태로, 나머지는 [eqn: a``]상태로

내려간다.

<단계 1>에서 전자는 [eqn: a``]상태에 있다.

에너지가 증가하여 <단계 2>가 되면 이 전자는 [eqn: b``]상태

또는 [eqn: c``]상태가 된다. 이 때, 이 전자가 취할 수 있는

변화의 경로는 [eqn: a~->~b``]와 [eqn: a~->~c``]의 [eqn: 2]가지이다.

다시 에너지가 감소하여 <단계 3>이 되면, 이때까지

의 가능한 변화 경로는 [eqn: a``` -> ```b``` -> ```a], [eqn: a``` -> ```c``` -> ```b],

[eqn: a``` -> ```c``` -> ```a]의 [eqn: 3]가지이다.

이와 같이 에너지의 증가와 감소가 교대로 계속될 때,

<단계 1>부터 <단계 7>까지 이 전자의 가능한 변화

경로의 수는?

정답 ④

에너지 증가시 : [eqn: a``` -> ```b,```c```(2가지),] [eqn: b``` -> ```c```(1가지)]

에너지 감소시 : [eqn: b``` -> ```a```(1가지),] [eqn: c``` -> ```a,```b```(2가지)]

단계1 [eqn: a``]

단계2 <증가> [eqn: a->b ~또는~c``] (각각 [eqn: 1]가지)

단계3 <감소> [eqn: b->a``]

[eqn: c-> b~ 또는 ~a``] (각각 [eqn: 1]가지)

즉, [eqn: a``(2)], [eqn: b``(1)]

단계4 <증가> [eqn: a->b ~또는~ c ``] (각각 [eqn: 2]가지)

[eqn: b->c``] ([eqn: 1]가지)

즉, [eqn: b(2),```c(3)]

단계5 <감소> [eqn: b->a``] ([eqn: 2]가지)

[eqn: c-> b~ 또는 ~a``] (각각 [eqn: 3]가지)

즉, [eqn: a``(5)], [eqn: b``(3)]

단계6 <증가> [eqn: a->b ~또는 ~c ``] (각각 [eqn: 5]가지)

[eqn: b->c``]([eqn: 3]가지)

즉, [eqn: b``(5),c``(8)]

단계7 <감소> [eqn: b->a``] ([eqn: 5]가지)

[eqn: c-> b~ 또는 ~a``] (각각 [eqn: 8]가지)

즉, [eqn: a``(13),~b``(8)]

따라서, 가능한 변화 경로의 수는 [eqn: 21]가지이다.

[3점][1997학년도 수능]

①　[eqn: 18]	②　[eqn: 19]	③　[eqn: 20]

④　[eqn: 21]	⑤　[eqn: 22]

제품	원료 [eqn: (rmkg)]	전력량 [eqn: ( rm kw·h)]
[eqn: rmA]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
[eqn: rmB]	[eqn: 2]	[eqn: 1]

어느 공장에서 제품

A, B를 각각 1개씩 만드는

데 필요한 원료[eqn: (rmkg)]와

전력량[eqn: ( rm kw·h)]은 오른쪽 표와

같다.

사용할 수 있는 원료의 양은 [eqn: 40rmkg]이고, 전력량은 [eqn: 60rmkw·h]를 초과하여 쓸 수 없다. 제품 [eqn: rmA,```B]를 [eqn: 1]개씩

만들어 팔 때의 이익은 각각 [eqn: 4]만원, [eqn: 3]만원이다.

이 공장에서 제품 [eqn: rmA,```B]를 여러 개 만들어 이를 팔아

얻을 수 있는 최대이익은? (단, 완제품만 판매한다.)

정답 ③

제품 [eqn: A,```B]를 각각 [eqn: x]개 [eqn: y]개 만든다고 하고 ㉠, ㉡, ㉢

을 좌표평면 위에 나타내면

오른쪽 그림과 같고 ㉠, ㉡의

교점은 [eqn: left( 80 over 3 , 20 over 3 right)] 이다.

[eqn: 4x+3y=k``]라 하면 [eqn: x,```y]는

자연수이므로

점 [eqn: LEFT ( {80} over {3} ,``` {20} over {3} RIGHT )]의 근방의

점 [eqn: (24,```8),```(26,```7),```(27,```6)]에서 [eqn: k``]의 값을 조사해 보면

[eqn: x=27,```y=6]일 때 최대이므로

최대 이익은 [eqn: 4×27 + 3×6 = 126](만원)

[4점][1997학년도 수능]

①　[eqn: 122]만원	②　[eqn: 124]만원	③　[eqn: 126]만원

④　[eqn: 128]만원	⑤　[eqn: 136]만원

직사각형 모양의 어느 극장에서 무대를 잘 볼 수

있는 좌석을 구별하려고 한다. 아래 그림은 그 극장의

평면도이다. 중앙 무대의 폭이 [eqn: 6rmm]이고, 무대 좌우

양 끝 점 [eqn: rmA,```B]와 객석 내의 한 점 [eqn: rmX]가 이루는 각

[eqn: rm ANGLE AXB= theta]라고 하자. 이 때, 이 각 [eqn: theta``]가 [eqn: 30 DEG] 이상 되

는 영역에는 특별석, [eqn: 15 DEG]이상 [eqn: 30 DEG]이하가 되는 영역에

는 일등석을 놓으려고 한다. 일등석을 놓으려고 하는

영역의 넓이는? (단위는 [eqn: rm m`^2``])

정답 ①

일등석은 위의 그림과 같이 현 [eqn: AB``]에 대한 중심각이

[eqn: 60^circ]인 원 [eqn: C_1 `]과 [eqn: 30^circ]인 원 [eqn: C_2] 사이의 부분이다.

원 [eqn: C_1 `]의 반지름의 길이는

[eqn: 6]이고, 원 [eqn: C_2 `]의 반지름의 길이

를 [eqn: r``]라 하면

제이코사인법칙에 의하여

[eqn: r^2 + r^2 - 2r ^2 cos60^circ = 6^2]

[eqn: ∴ r = 36 over {2-sqrt 3}][eqn: = 36 (2+ sqrt 3 ``)]

원 [eqn: C_1 `]의 활꼴의 넓이 [eqn: S_1 `]은

[eqn: S_1 = 1 over 2 ․ 6^2 ․ 5 over 3 pi `+ 1 over 2 ․ 6^2 ․ sin 60^circ][eqn: = 30 pi +9 sqrt 3]

원 [eqn: C_2 `]의 활꼴의 넓이 [eqn: S_2 `]는

[eqn: S_2 = 1 over 2 r^2 ․ 11 over 6 pi + 1 over 2 r^2 ․ sin30^circ]

[eqn: =33(2+ sqrt 3 ``) + 9(2+ sqrt 3 ``)]

따라서, 구하는 넓이는

[eqn: S_2 - S_1 = 33(2+ sqrt 3 ``) pi + 9 (2+ sqrt 3 ``) - (30pi + 9 sqrt 3 `` )]

[eqn: = 3pi (12+ 11sqrt 3 ``)+18]

[4점][1997학년도 수능]

①　[eqn: 3 pi `(12+11 sqrt {3} `)+18]

②　[eqn: 3pi`(24-11sqrt3`)+18``]

③　[eqn: 10`(24-11sqrt3`)+18``]

④　[eqn: 9`(14+11sqrt3`)``]

⑤　[eqn: 9`(26-11sqrt3`)``]

주관식 문항(25～30)

정사각형 모양의 타일

이 좌표평면에 오른쪽

그림과 같이 가로, 세로가

각각 [eqn: x``]축, [eqn: y``]축과 일치되

게 놓여 있다. 이 타일에

[eqn: y=f`(x)]와 [eqn: y=g`(x)]의

그래프를 경계로 하여

파랑색과 노랑색을 칠하려

고 한다. 파랑색과 노랑색이 칠해지는 부분의 면적의

비가 [eqn: 2```:```3]일 때, [eqn: int _{0} ^{15} {} f`(x)``dx]의 값을 구하여라.

정답 [eqn: 45]

함수 [eqn: y =g(x)]가 함수 [eqn: y= f(x)]의 역함수이므로

영역은 위의 그림과 같이 분할되고

[eqn: int _{0} ^{15} {} f(x)dx``=S _{1}]이다.

주어진 조건에서 [eqn: 2S _{1} ```:```2S _{2} =2```:```3]이므로

[eqn: S _{1} ```:```S _{2} =2```:```3]이다.

그러므로 [eqn: S _{1}]은 [eqn: rm TRIANGLE OAB]의 넓이의 [eqn: {2} over {5}]이다.

(사각형 [eqn: rmOABC] 넓이의 [eqn: {1} over {5}]이다.)

[eqn: THEREFORE ```S _{1} =15 TIMES 15 TIMES {1} over {5} =45]

(단, 함수 [eqn: g`(x)]는 함수 [eqn: f`(x)]의 역함수이다.)

[2점][1997학년도 수능]

함수 [eqn: f``(x`)`=`cases{scale 90 71 over 5 scale 100 - scale 90 19 over 15 scale 100 x~&(x`＜`12)# 1`-`2`log_3`(x`-`9)`~& (x`≧`12)}`] 의

역함수를 [eqn: g`(x)]라고 할 때, [eqn: (g CIRC g CIRC g CIRC g CIRC g)(x)=-3]

을 만족하는 [eqn: x``]의 값을 구하여라.

정답 [eqn: 18]

[eqn: f`^-1 (x)= g(x)]이므로 [eqn: g`^-1 (x) = f(x)]

[eqn: (g circg circg circg circ g)(x) = -3]에서

[eqn: x = (g^-1 circ g^-1 circg^-1 circg^-1 circg^-1 )(-3)]

[eqn: = ( f circ f circ f circ f circ f )(-3)]

[eqn: = ( f circ f circ f circ f )(18)]

[eqn: = ( f circ f circ f )(-3)][eqn: = ( f circ f )(18)][eqn: =f(-3)=18]

(단, [eqn: (g CIRC g`)`(x)=g` LEFT { g`(x) RIGHT }]이다.)

[3점][1997학년도 수능]

[eqn: a,```b]는 양수이고 [eqn: alpha + beta + gamma = pi]이다.

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =3ab`cos` gamma]일 때, [eqn: 9sin ^{2} ( pi + alpha + beta )+9cos` gamma]의

최대값을 구하여라.

정답 [eqn: 11]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =3ab`cos gamma ``]의 양변을 [eqn: ab]로 나누면

[eqn: 3cos gamma = {a} over {b} + {b} over {a}]

[eqn: a,```b]는 양수이므로 [eqn: {a} over {b} ,``` {b} over {a}]도 양수이다.

따라서, 산술-기하평균에 의하여

[eqn: 3cos gamma = {a} over {b} + {b} over {a} >= 2 sqrt {{a} over {b} ․ {b} over {a}} =2]

[eqn: THEREFORE `cos gamma >= {2} over {3}]

[eqn: THEREFORE ` {2} over {3} <= cos gamma <= 1]

또, [eqn: alpha + beta = pi - gamma ``]이므로

[eqn: sin( pi + alpha + beta )=sin(2 pi - gamma )=-sin gamma]

준식[eqn: =9sin ^{2} gamma +9cos gamma][eqn: =9(1-cos ^{2} gamma )+9cos gamma]

[eqn: =-9(cos ^{2} gamma -cos gamma )+9][eqn: =-9 LEFT ( cos gamma - {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {45} over {4}]

그런데 [eqn: {2} over {3} <= cos gamma <= 1]이므로

[eqn: cos gamma = {2} over {3}]일 때 최대값 [eqn: 11]을 갖는다.

[3점][1997학년도 수능]

집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT }]의 네 원소를 배열하여

만든 순열 [eqn: (a _{1} ,```a _{2} ,```a _{3} ,```a _{4} )]에 대하여 각 숫자 [eqn: a_k``]의 오른

쪽에 있는 수 중에서 [eqn: a_k``]보다 작은 것들의 개수를

[eqn: s _{k} ```(k=1,```2,```3)]이라고 하고, 이들의 합 [eqn: s _{1} +s _{2} +s _{3}]을

[eqn: |`(a_1`,`a_2`,`a_3`,`a_4``)``|`]로 나타내자.

예를 들면 [eqn: |`(2,```4,```3,```1)`|`=s _{1} +s _{2} +s _{3}][eqn: =1+2+1=4]

이다. 집합 [eqn: A]에 대한 [eqn: 24]개의 모든 순열 [eqn: (i _{1} ,```i _{2} ,```i _{3} ,```i _{4} )]

마다 각각 정해지는 [eqn: |`(i _{1} ,```i _{2} ,```i _{3} ,```i _{4} )|]의 총합을 구하여

라.

정답 [eqn: 72]

문제의 정의에서 각 숫자 [eqn: a_k ``]의 왼쪽에 있는 수 중에서

[eqn: a_k ``]보다 작은 것들의 개수를 [eqn: t _{k} ```(k=1,```2,```3)]이라 하면

언제나 [eqn: s_1 + s_2 + s_3 + t_1 + t_2 + t_3 =6]이 성립하며,

전체적으로 볼 때, [eqn: A``]의 각 원소가 배열되는 순서나

위치는 동일한 조건이 된다.

따라서 [eqn: 24]개의 [eqn: s_1 + s_2 + s_3 ``]의 총합과

[eqn: 24]개의 [eqn: t_1 + t_2 + t_3 ``]의 총합은 서로 같다.

[eqn: THEREFORE ```s _{1} +s _{2} +s _{3} `의```총합= {24 TIMES 6} over {2} =72]

[eqn: THEREFORE ```|(i _{1} ,```i _{2} ,```i _{3} ,```i _{4} `)`|`의```총합=72]

[4점][1997학년도 수능]

두 방정식 [eqn: P(x)=0,```Q(x)=0]의 서로 다른 실근

의 개수는 각각 [eqn: 7]개, [eqn: 9]개이고, 집합

[eqn: A= LEFT { (x,```y)`|`P(x)Q(y)=0`이고```Q(x)`P(y)=0,`` RIGHT .]

[eqn: LEFT. x와```y는```실수 RIGHT }]

는 무한집합이다. 집합 [eqn: A]의 부분집합

[eqn: B= LEFT { `(x,```y)`|`(x,```y)` IN `A`이고```x=y RIGHT }]의 원소의 개수를

[eqn: n(B)]라고 하면 이것은 [eqn: P(x),```Q(x)]에 따라 변한다.

[eqn: n(B)]의 최대값을 구하라.

정답 [eqn: 15]

[eqn: P= LEFT { x`|`P(x)=0 RIGHT } ,```Q= LEFT { x`|`Q(x)=0 RIGHT }]라 하면

[eqn: B= LEFT { (x,```y)`|`(x,```y) IN A이고```x=y RIGHT }]

[eqn: = LEFT { (x,```y)`|`P(x)Q(x)=0 RIGHT }]

[eqn: THEREFORE ```n(B)=n(P CUP Q)][eqn: = n(P)+ n(Q) - n(P∩Q)]

[eqn: = 7+9-n(P∩Q)][eqn: =16-n(P SMALLINTER Q)``` CDOTS CDOTS ```㉠]

그런데 [eqn: n(P∩Q) =0]

즉, [eqn: P∩Q = phi]이면 [eqn: A = phi ``]이므로 [eqn: n(P SMALLINTER Q) GEQ 1]

따라서, ㉠에서 [eqn: n(P∩Q)=1]일 때,

[eqn: n(B`)`]의 최대값은 [eqn: 15]이다.

[4점][1997학년도 수능]

[eqn: log _{10} `275]의 값을 [eqn: log _{10} `2=0.301,```log _{10} `11=1.041]

로 계산한 다음, 소수 셋째 자리에서 반올림하여 소수

둘째 자리까지 구하여라.

정답 [eqn: 2.44]

[eqn: log_10 275][eqn: = log_10 (11×25)][eqn: = log_10 11 + log_10 100 over 4]

[eqn: = log_10 11 + 2 - 2 log_10 2][eqn: = 1.041 +2 - (2×0.301)]

[eqn: =3.041-0.602][eqn: =2.439≒2.44]

[2점][1997학년도 수능]

정답과 해설