1.

2009학년도 9월 모의평가 (수리영역-가형)  정답 및 해설

[eqn: 2^{2log_3 9} =2^{4log_3 3} = 2^4 =16]

ꂼ ②

2.

[eqn: A(2A^-1 + 3E) = 2AA^-1 + 3A`]

[eqn: = 2E + 3A`]

[eqn: = pmatrix { 2&0 #0 &2 }+ pmatrix {9&6#15&-12}`]

[eqn: = pmatrix {11&6#15&-10}`]

따라서, 모든 성분의 합은

[eqn: 11+ 6+ 15 + (-10) = 22`]

ꂼ ①

3. [eqn: x->-3] 일 때 (분모)[eqn: ->0] 이므로

(분자)[eqn: ->0] 이어야 한다.

[eqn: lim from { x ->-3 } ({root{x^2 - x - 3} + a x} )]

[eqn: = root{(-3)^2 - (-3)-3} -3a]

[eqn: = 3-3a =0]

[eqn: therefore][eqn: a=1]

[eqn: lim from { x ->-3 } {root{x^2 - x - 3} + x} over x+3]

[eqn: =lim from { x ->-3 } {(root{x^2 - x - 3} + x)(root{x^2 - x - 3} - x)} over {(x+3)(root{x^2 - x - 3} - x) }]

[eqn: = lim from { x ->-3 } {-(x+3)} over {(x+3)( root{x^2 -x-3} -x )}]

[eqn: = lim from { x ->-3 } {-1} over {root{x^2 - x -3} - x}]

[eqn: = -1 over {root{(-3)^2 - (-3) -3} - (-3)} = - 1 over 6]

즉, [eqn: b= - 1 over 6] 이므로

[eqn: a+b = 5 over 6]

ꂼ ⑤

4.

(i) [eqn: {(x-6)(x-a)} over x-1 >=0]

⇔ [eqn: {(x-6)(x-a)} (x-1)>=0] (단, [eqn: x!=1])

⇔ [eqn: a<=x<1] 또는 [eqn: x>=6] (∵ [eqn: a<0])

(ii) [eqn: x over {(x-a)(x-10)} <=0]

⇔ [eqn: x(x-a)(x-10)<=0](단, [eqn: x!=a], [eqn: x!=10])

⇔ [eqn: x<a] 또는 [eqn: 0<=x<10] (∵ [eqn: a<0])

(i), (ii)에서 주어진 두 부등식을 동시에 만족시키는 [eqn: x]의 값의 범위는

[eqn: 0<=x<1] 또는 [eqn: 6<=x<10]

따라서 구하는 정수 [eqn: x]는 0, 6, 7, 8, 9의 5개이다.

ꂼ ⑤

5.

조사 대상인 1000명 중 혈액형이 B형인 학생의 수는

150+6+80+4=240(명)

이 중 혈액형이 B형이고 [eqn: \Rh^+]형의 남학생의 수는

150(명)

따라서 구하는 확률은

[eqn: 150 over 240 = 5over 8]

ꂼ ④

6.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: B]

[eqn: A]

[eqn: Q]

[eqn: P]

•

•

[eqn: 6]

[eqn: 6]

[eqn: -6]

[eqn: -6]

주어진 각각의 그래프에서

ㄱ. [eqn: f(-2) f(0) = 1 times(-1) = -1`]

[eqn: lim_x->-1+0 f(x-1) f(x+1) =1 cdot (-1) =-1`]

[eqn: lim_x->-1-0 f(x-1) f(x+1) = 1 cdot 1 = 1]

[eqn: lim_x->-1+0 f(x-1) f(x+1)]

[eqn: != lim_x->-1-0 f(x-1) f(x+1)][eqn: lim_x->-1 f(x-1) f(x+1)]이 존재하지 않으므로 [eqn: y= f(x-1) f(x+1)]은 [eqn: x=-1`]에서 불연속이다.

ㄴ. [eqn: f(-2) f(0) = 0 times(-1) =0]

[eqn: lim_x->-1+0 f(x-1) f(x+1) =0 cdot 1=0]

[eqn: lim_x->-1-0 f(x-1) f(x+1) =0 cdot 1=0]

∴ [eqn: lim_x->-1 f(x-1) f(x+1)][eqn: = f(-2)f(0)][eqn: =0]

따라서  [eqn: y= f(x-1) f(x+1)]은 [eqn: x=-1`]에서 연속이다.

ㄷ. [eqn: y= f(x)`]는 [eqn: x= -2`]에서 연속이고 [eqn: x=0`]에서 연속이므로 [eqn: y= f(x-1)`]와 [eqn: y= f (x+1)`]은 각각 [eqn: x=-1`]에서 연속이다. 따라서 연속함수의 성질에 의해[eqn: y= f(x-1) f(x+1)]은 [eqn: x=-1`]에서 연속이다.

따라서 [eqn: y= f(x-1) f(x+1)]이 [eqn: x=-1`]에서 연속이 되는 경우는 ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ④

7.

오른쪽 그림과 같이 선분 [eqn: rm O _{1} O _{2}]의 연장선 위에 [eqn: rm O _{3}]를 잡고 반지름의 길이가 1인 그려 원 [eqn: rm O _{1}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A _{1} ,```B _{1}]이라 하자.

이때, [eqn: vec{rm O _{2} Q} = vec{rm O _{1} Q _{1}}]인 점 [eqn: rm Q _{1}]을 잡고 두 벡터 [eqn: vec{rm O _{1} P}], [eqn: vec{rm O _{1} Q _{1}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: vec{rm O _{1} P it} CDOT vec{rm O _{2} Q it}][eqn: = vec{rm O _{1} P it} CDOT vec{rm O _{1} Q _{1} it}]

[eqn: = LEFT | ` vec{rm O _{1} P it} RIGHT | LEFT | vec{rm O _{1} Q _{1} it} ` RIGHT | `cos` theta]

[eqn: =`cos` theta]            -----㉠

이 때, 오른쪽 그림에서 네 삼각형 [eqn: rm O _{1} O _{2} A], [eqn: rm O _{1} BO _{2}], [eqn: rm O _{1} A _{1} O _{3}], [eqn: rm O _{1} O _{3} B _{1}]가 정삼각형이므로

[eqn: {pi } over {3} <= theta <= {5} over {3} pi]

따라서,  ㉠은 [eqn: theta = {pi } over {3}]일 때, 최대값 [eqn: {1} over {2}], [eqn: theta = pi]일 때, 최소값 [eqn: -1]을 가지므로

[eqn: M+m`=` {1} over {2} +`(-1)`=- {1} over {2}]

ꂼ ②

8.

[eqn: bar AP`// bar BQ`]이므로

[eqn: ∠AQB = ∠QAP`]

[eqn: ∠OQB = ∠QPA`]

따라서,

[eqn: ∠QAP = ∠QPA`]

이므로

삼각형[eqn: QAP`]는 [eqn: bar QA = bar QP`]인 이등변삼각형이고,

[eqn: bar OQ + bar QB = bar OQ + bar QP` = bar OP = 6`]

따라서, 점[eqn: Q`]는 두 점[eqn: O,Q`]에 이르는 거리의 합이 6으로 일정하다.

점[eqn: Q`]의 좌표를 [eqn: (x,y)`]라 하면

[eqn: bar OQ + bar QA = root{ x^2 + y^2 } + root{ (x-4)^2 + y^2 } = 6`]

[eqn: root{(x-4)^2 + y^2 } = 6- root{ x^2 + y^2 }`]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: x^2 - 8x+16+y^2 = 36 - 12root{ x^2 + y^2 } + x^2 + y^2`]

[eqn: 3root{ x^2 + y^2 } = 2x+5`]

양변을 제곱하면

[eqn: 9x^2 + 9y^2 = 4x^2 + 20x+25`]

[eqn: 5(x-2)^2 + 9y^2 = 45`]

따라서, 점[eqn: Q`]의 차쥐는

[eqn: {(x-2)^2 } over 9 + y^2 over 5 =1`] (단, [eqn: y ne 0`])

이므로

[eqn: X ⊂`left{ (x,y) left|`{(x-2)^2 } over 9 + y^2 over 5 = 1`right}`]

ꂼ ⑤

9.

두 구

[eqn: x^2 + y^2 + z^2 = 1`],

[eqn: (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-2)^2 = 4`]

의 중심을 각각 [eqn: O(0,0,0)`], [eqn: A(2,-1,2)`]라 하면

두 구의 중심 사이의 거리[eqn: d`]는

[eqn: d = bar OA = root{ 2^2 + (-1)^2 + 2^2 } = 3`]

이고, 두 구의 반지름의 길이가 각각 [eqn: r_1 = 1`], [eqn: r_2 = 2`]이므로

[eqn: d = r_1 + r_2`]

따라서, 두 구는 외접한다.

조건을 만족하는 점[eqn: P`]의 자취는 선분[eqn: OA`]로부터 일정한 거리에 있는 점의 자취 즉, 원을 나타낸다.

오른쪽 그림에서

[eqn: O]

[eqn: A]

[eqn: P]

[eqn: P]

[eqn: O]

[eqn: A]

[eqn: P]

[eqn: Q]

[eqn: R]

2

3

3

[eqn: bar OR = root{ 3^2 - 2^2 } = root5`]

이므로

[eqn: 1over2 × 4 × root5 = 1over2 × 3 × bar PQ`]

에서 [eqn: bar PQ = 4over3 root5`]

따라서, 점[eqn: P`]의 자취는 반지름의 길이가 [eqn: 4over3 root5`]인 원이므로 구하는 둘레의 길이는

[eqn: 2 `pi × 4over3 root5` = { 8root5} over 3 `pi`]

ꂼ ⑤

10.

(ⅰ) [eqn: x<1]일 때,

[eqn: g(x)`= int _{-1} ^{x} {(t-1)f(t)dt}]

[eqn: = int _{-1} ^{x} {(t-1)(-1)dt}]

[eqn: = LEFT [ - {t ^{2}} over {2} +t RIGHT ] _{-1} ^{x}]

[eqn: =- {x ^{2}} over {2} +x+ {3} over {2}]

(ⅱ) [eqn: x >= 1]일 때,

[eqn: g(x)`= int _{-1} ^{x} {(t-1)f(t)dt}]

[eqn: = int _{-1} ^{1} {(t-1)(-1)dt} + int _{1} ^{x} {(t-1)(-t+2)dt}]

[eqn: = LEFT [ - {t ^{2}} over {2} +t RIGHT ] _{-1} ^{1} + LEFT [ - {t ^{3}} over {3} + {3} over {2} t ^{2} -2t RIGHT ] _{1} ^{x}]

[eqn: =- {x ^{3}} over {3} + {3} over {2} x ^{2} -2x+ {17} over {6}]

ㄱ. 구간 [eqn: (1,``2)]에서

[eqn: g'(x)=-x ^{2} +3x-2=-(x-1)(x-2)]에서

[eqn: g'(x)>0]이므로 [eqn: g(x)]는 증가한다. <참>

ㄴ.

[eqn: lim _{x -> 1+0} {{g(x)-g(1)} over {x-1}} =0], [eqn: lim _{x -> 1-0} {{g(x)-g(1)} over {x-1}} =0]

이므로 [eqn: x=1]에서 미분가능하다. <참>

ㄷ. [eqn: x<1]일 때, [eqn: g'(x)=-x+1]

[eqn: x>1]일 때, [eqn: g'(x)=-(x-1)(x-2)]

이므로 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 아래 그림과 같다.

따라서 방정식 [eqn: g(x)=k]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 [eqn: k]가 존재하지 않는다.

<거짓>

[eqn: y=g(x)]

[eqn: {3} over {2}]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: {17} over {6}]

[eqn: y=k]

[eqn: x]

ꂼ ③

11.

조건(나)에서 [eqn: 0<x<y<1`]인 모든 [eqn: x, ``y]에 대하여

[eqn: 0<xf(y)< yf(x)]

이므로 [eqn: 0< f(y) over y < f(x) over x]이고

[eqn: f(0)=0]을 동시에 만족하는 다항함수 [eqn: f(x)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

[eqn: y= f`'(0) x]

[eqn: y= f(x)]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: f(1)]

[eqn: f(y)]

[eqn: f(x)]

[eqn: B]

[eqn: A]

주어진 그림에서 삼각형 [eqn: OAB]의 넓이는 [eqn: 1over 2 f(1)]이므로

[eqn: y=k][eqn: 1over 2 f(1) < int_0 ^1 f(x) dx]

∴ [eqn: f(1) < 2 int_0 ^1 f(x) dx]   즉, [eqn: B<C`]

한편, 원점 [eqn: O`]을 지나는 접선의 방정식은 [eqn: y= f`'(0) x`]

직선 [eqn: y= f`'(0) x`]와 직선 [eqn: x=1`] 및 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: 1over 2 f`'(0)]이고 주어진 그림에서 [eqn: 1over 2 f`'(0) >int_0 ^1 f(x) dx]

∴ [eqn: f`'(0) > 2int_0 ^1 f(x) dx] 즉, [eqn: A>C`]

∴ [eqn: B<C<A]

ꂼ ④

12.

B

O

A

C

D

F

G

ㄱ. 직선 AF와 직선 BG는 점 O에서 만난다. (참)

ㄴ. 반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정삼각형의 한 변의 길이는 [eqn: root3]이다.

따라서 정삼각형 ABC의 한 변의 길이는 [eqn: root3]보다 작다.

그런데, 한 변의 길이가 [eqn: root3]인 정삼각형의 넓이는 [eqn: 1over2 times(root3 )^2 times sin 60DEG = {3root3} over 4]이므로정삼각형 ABC의 넓이는 [eqn: {3root3} over 4]보다 작다.

(참)

ㄷ. 오른쪽 그림에서

삼각형 AFC와 삼각형 AGO는 닮음꼴이다.

그런데, ∠ACF는 정사면체의 이웃한 두 면이 이루는 각의 크기와 같고, ∠ACF=∠AOG이므로

[eqn: cos theta = cos ( ∠ACF ) = 1over3] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

다른 풀이

ㄱ. 선분 CD의 중점을 M이라 하면

점 F는 선분 BM 위에 있고, 점 G는 선분 AM 위에 있다.

따라서 5개의 점 A, B, F, G, M은 모두 한 평면 위에 있다.

따라서 직선 AF와 직선 BG는 꼬인 위치에 있지 않다.

ꂼ ④

13. 확률밀도함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)=f(100-x)]이므로 [eqn: f(x)]는

[eqn: x=50]에 대하여 대칭이다.

따라서 평균 [eqn: m=50]이고 표본평균

[eqn: barX]는 평균이 [eqn: 50]이고 표준편차가

[eqn: { 10} over {root25} =2]인 정규분포를 따른다.

[eqn: ∴```P(44``<=` barX`<=` 48 )]

[eqn: = P LEFT ( { 44-50} over {2 }``<=` Z`<=` { 48-50} over {2 }` RIGHT )]

[eqn: = P` LEFT ( -3``<=` Z`<=` -1` RIGHT )]

한편 주어진 그래프에서 구간별 확률은

[eqn: P(-1<=Z<=1) =0.6826]

[eqn: P(-3<=Z<=3) =0.9974]

이므로

[eqn: P` LEFT ( -3``<=` Z`<=` -1` RIGHT )]

[eqn: =P` LEFT ( 0``<=` Z`<=` 3` RIGHT ) - P` LEFT ( 0``<=` Z`<=` 1` RIGHT )]

[eqn: = { 0.9974} over {2 } - { 0.6826} over {2 } =0.1574]

ꂼ ②

14.

처음 빵의 개당 무게와 가격을 각각

[eqn: A`]g, [eqn: B`]원

이라 하자.

1번 시행 후 개당 무게는 [eqn: 0.9A`]g이므로

[eqn: n`]번 시행 수 개당 무게는 [eqn: (0.9)^n A`]g

처음 빵의 1g당 가격은 [eqn: B over A`]원

[eqn: n`]번 시행 후 1g당 가격은 [eqn: B over{(0.9)^n A`}]원

[eqn: B over{ (0.9)^n A} >= 3over2 × B over A`]에서

[eqn: (0.9)^-n >= 3over2`]

[eqn: -n log 9 over 10 >= log3 - log2`]

[eqn: n (1-2log3 ) `>= log3 - log2`]

[eqn: n>= {0.4771-0.3010} over{ 1- 2×0.4771}` = 0.1761 over 0.0458` = 3.8 ×××`]

따라서, 구하는 정수[eqn: n`]의 최소값은 4이다.

ꂼ ②

15.

ㄱ. [eqn: f(x)]의 역함수를 구하면  [eqn: x=`2 ^{y-2} +1]에서

[eqn: 2 ^{y-2} =x-1]

[eqn: y-2`=`log` _{2} `(x-1)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: y=`log` _{2} `(x-1)`+2]

따라서, [eqn: f ^{-1} (x)=`log` _{2} (x-1)`+`2]이고

[eqn: g(x)=f ^{-1} (x)]

ㄱ.  [eqn: f ^{-1} (5)`=`log` _{2} `(5-1)`+2`=`4]이므로

[eqn: f ^{-1} (5) LEFT { g(5)+1 RIGHT }]

[eqn: =f ^{-1} (5) LEFT { f ^{-1} (5)+1 RIGHT }]

[eqn: =4 LEFT ( 4+1 RIGHT ) =20] <참>

ㄴ. [eqn: f(x)]의 역함수가 [eqn: g(x)]이므로  [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다. <참>

ㄷ. [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: y=2 ^{x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 2만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이다. 그러므로 [eqn: y=2 ^{x}]의 그래프 위의 점 [eqn: (0,``1)]은 [eqn: y=f(x)]의 그래프위의 점 [eqn: (2,`2)]로 평행이동한다. 이 때, 점 [eqn: (2,`2)]는 직선 [eqn: y=x]위의 점이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: y=x]의 그래프는 만난다. 그러므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 역함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프

는 만난다. <거짓>

[eqn: y]

[eqn: f(x)=2 ^{x-2} +1]

[eqn: y=2 ^{x}]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: y=1]

[eqn: y=x]

ꂼ ③

16.

[eqn: B= A - {p+q } over 2 E], [eqn: k= left[ p-q over2 right]]라 하면

[eqn: B- kE = A-p E]이고 [eqn: B+kE = A- qE`]이므로 [eqn: B- kE]와 [eqn: B+kE]는 모두 역행렬을 갖지 않는다.

따라서 [eqn: B= pmatrix{``a``&``b``#``c``&``d``}]라 하면

[eqn: B- kE][eqn: = pmatrix{``a``&``b``#``c``&``d``} -k pmatrix{``1``&``0``#``0``&``1``}]

[eqn: = pmatrix{``a-k``&``b``#``c``&``d-k``}]

는 역행렬을 갖지 않으므로

[eqn: (a-k)(d-k)- bc= ad- k (a+d)+k^2 -bc]

[eqn: =0]

[eqn: k!=0]이므로 [eqn: a+d = [``0``]], [eqn: ad-bc= - k^2]이다. 그런데

[eqn: B^-1 = 1over ad-bc pmatrix{``d``&``-b``#``-c``&``a``}]

[eqn: = 1over k^2 pmatrix{``a``&``b``#``c``&``d``}]([eqn: because][eqn: a+d = 0],[eqn: ad-bc= - k^2])

[eqn: = 1 over k^2 [``B``]]

이므로

[eqn: A^2 - (p+q) A + pq E = (A-pE)(A- qE)][eqn: =O]

가 성립한다.

ꂼ ③

17.

사각형 [eqn: \A_1 B_1 C_1 D_1]의 한 변의 길이를 [eqn: a]라 하자.

이 때, [eqn: \ bar AB_1 = 1over 2 + it a over 2], [eqn: \ bar {B_1 C_1 }=it a], [eqn: \ bar {AC_1 }= 1]이므로 직각삼각형 [eqn: \ AB_1 C_1]에서

[eqn: left( 1over2 + a over 2 right) ^2 + a^2 =1^2]

[eqn: 5over4 a^2 + a over2 - 3over4 =0]

[eqn: 5a^2 +2a-3=(5a-3)(a+1)=0]

∴ [eqn: a = 3over5] (∵ [eqn: a>0])

따라서 정사각형 [eqn: A_n B_n C_n D_n]의 한 변의 길이를 [eqn: a_n]이라 하면 수열 {[eqn: a_n]}은 첫째항이 [eqn: 3over5], 공비가 [eqn: 3over5]인 등비수열임을 알 수 있다.

따라서 수열 {[eqn: S_n]}은 첫째항이 [eqn: 9over25], 공비가 [eqn: 9over25]인 등비수열이므로

[eqn: sum_n=1^inf S_n = {9over25} over{ 1- 9 over 25} = 9 over 16]

ꂼ ②

18.

[eqn: f``'(x) = 3x^2 - 6x - 9]

[eqn: = 3(x-3)(x+1)]

이므로 [eqn: f``'(x)=0]에서

[eqn: x= -1] 또는 [eqn: x=3]

이 때, [eqn: x=-1]에서 극대이므로 구간 [eqn: [-2, 0]]에서 [eqn: f(x)]의 최댓값은

[eqn: f(-1) = (-1)^3 - 3 (-1)^2 - 9 (-1)+8]

[eqn: = 13]

ꂼ [eqn: 13]

19.

[eqn: 6.15 = 0.67 log(0.37E_1 )+1.46]…㉠

[eqn: 5.48 = 0.67 log(0.37E_2 )+1.46]…㉡

㉠-㉡에서

[eqn: 0.67 = 0.67 LEFT{ log(0.37 E_1 )- log(0.37E_2 ) RIGHT}]

[eqn: 0.67 = 0.67 log E_1 OVER E_2], [eqn: 1 = log E_1 OVER E_2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: E_1 OVER E_2 = 10]

ꂼ [eqn: 10]

20.

접선 [eqn: l] 의 방정식은

[eqn: -6x -2y = 32], [eqn: 3x+y = -16]…㉠

원점을 지나면서 ㉠과 수직인 직선의 방정식은

[eqn: -x+3y =0], [eqn: x-3y=0]…㉡

㉠,㉡에서 [eqn: H( - 24 OVER 5 , - 8 OVER 5 )]

또한, 쌍곡선 [eqn: x^2 - y^2 = 32]와 ㉡의 교점은 [eqn: Q( 6, 2)] 이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: BAROH CDOT BAROQ]

[eqn: = ROOT{( - 24 OVER 5 )^2 + ( - 8 OVER 5 )^2} TIMES ROOT{6^2 + 2^2}]

[eqn: = {8ROOT10} OVER 5 TIMES 2ROOT10 = 32]

ꂼ

21.

A, B 공장에서 1시간에 생산하는 자동차의 대수를 각각 [eqn: a,~b]라 하자.

A공장과 B공장을 동시에 가동하여 50대를 생산하는 데 6시간이 걸리므로

[eqn: 50 over a+b = 6] ⋯ ㉠

한편, A공장만 가동하여 50대를 생산하는데 걸리는 시간은 [eqn: 50 over a]이므로 B공장만 가동하여 50대를 생산하는데 걸리는 시간은

[eqn: 50 over b = 50 over a +5]

∴ [eqn: 10 over b = 10 over a +1] ⋯ ㉡

㉠에서 [eqn: a+b = 25 over 3]이므로

[eqn: b = 25 over3 - a][eqn: = {25-3a} over 3]

를 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: 30 over 25-3a - 10 over a =1]

[eqn: {30a-10(25-3a)} over {a(25-3a)}=1]

[eqn: 60a-250 = -3a^2 +25a]

(단, [eqn: a!=0], [eqn: a!= 25 over 3])

[eqn: 3a^2 +35a -250=0]

[eqn: (3a+50)(a-5)=0]

∴ [eqn: a=5] (∵ [eqn: a>0])

따라서 A공장만 가동하여 자동차 50대를 생산하는 데 걸리는 시간은

[eqn: x = 50 over a = 10]

ꂼ [eqn: 10]

22.

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sqrt {k}]를 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림하여 [eqn: n]이 되는 [eqn: k]는

[eqn: (n-1)+ {1} over {2} <= sqrt {k} <n+ {1} over {2}]

[eqn: n- {1} over {2} <= sqrt {k} <n+ {1} over {2}]

양변을 제곱하면

[eqn: n ^{2} `-n+ {1} over {4} <= k<n ^{2} +n+ {1} over {4}]

이 조건을 만족하는 자연수 [eqn: k]는 [eqn: n ^{2} -n+1] 부터 [eqn: n ^{2} +n]까지의 수이므로

[eqn: a _{n} =(n ^{2} +n)-(n ^{2} -n+1)+1]

[eqn: =2n]

따라서

[eqn: sum _{i=1} ^{10} a _{i} = sum _{i=1} ^{10} 2i]

[eqn: =2 TIMES {10 TIMES 11} over {2} =110]

ꂼ [eqn: 110]

23.

할아버지, 할머니가 앉는 열과 아버지,어머니가 앉는 열을 정하는 경우의 수는

2(가지)

그 각각에 대하여 아들과 딸이 앉는 열을 정하는 경우의 수는

2(가지)

1열에서 세 사람이 앉을 때, 특정한 2명이 이웃하도록 앉는 경우의 수는

[eqn: 2! ×2! = 4`](가지)

2열에서 세 사람이 앉을 때, 특정한 2명이 이웃하도록 앉는 경우의 수는

[eqn: 2! ×2! = 4`](가지)

따라서, 구하는 경우의 수는

[eqn: 2×2 ×4 ×4` = 64`](가지)

ꂼ [eqn: 64]

24. [eqn: A_1 (1,``0),```B_1 (0,``1),```C_1 (1,``1)]에서

[eqn: a_1 = 1×1×{ 1} over { 2} ={ 1} over { 2}], [eqn: b_1 =3]

[eqn: bar{ A_2 B_2}]의 중점이 [eqn: C_1 (1, ``1)]이므로

[eqn: A_2 (2,``0),```B_2 (0,``2),```C_2 (2,``2)]

[eqn: a_2 = 2×2×{ 1} over { 2} = { 2}], [eqn: b_2 =6]

[eqn: bar{ A_3 B_3}]의 중점이 [eqn: C_2 (2, ``2)]이므로

[eqn: A_3 (2^2 ,``0),```B_2 (0,``2^2 ),```C_2 (2^2 ,``2^2 )]

[eqn: a_3 = 2^2 ×2^2 ×{ 1} over { 2} = 8], [eqn: b_3 =12]

따라서 [eqn: a_n = { 1} over {2 } ⋅4^ n-1 ,```b_n =3⋅2^n-1]

[eqn: ∴````lim_n->inf {2^n b_n} over{a_n +2^n} = lim_n->inf {2^2n-1 ⋅3} over{2^2n-3 +2^n}]

[eqn: = lim_n->inf {{2^2n-1 ⋅3 } over 2^2n} over{2^2n-3 over 2^2n + 2^n over 2^2n}]

[eqn: = { 3⋅2^-1} over {2^-3 } =12]

ꂼ [eqn: 12`]

25.

태양광선

[eqn: 60DEG]

[eqn: 30DEG]

태양광선이 위의 그림처럼 판에 수직으로 비춰질 때 즉, 지면과 판이 이루는 각의 크기가 [eqn: 30DEG`]이면 그림자의 넓이 [eqn: S]가 최대가 된다.

판의 넓이는 [eqn: 4^2 - pi = 16 -pi]이므로

[eqn: S= 16-pi over {cos 30 DEG}][eqn: = 16-pi over { root3 over 2 }]

[eqn: = { root3 ( 32- 2 pi )} over 3]

∴ [eqn: a= 32 , ``b=-2`]

∴ [eqn: a+b = 32-2 = 30]

ꂼ [eqn: 30]

미분과 적분

26.

[eqn: sin` ^{2} ` {theta } over {2} = {1} over {3}]이므로

[eqn: {1-`cos` theta } over {2} = {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: cos` theta = {1} over {3}]

[eqn: 0< theta < {pi } over {2}]이므로

[eqn: sin` theta =` sqrt {1-`cos` ^{2} ` theta } =` {2 sqrt {2}} over {3}]

따라서 [eqn: tan` theta =2 sqrt {2}]이므로

[eqn: tan`2 theta = {2tan` theta } over {1-tan` ^{2} ` theta } =- {4 sqrt {2}} over {7}]

ꂼ ①

27.

[eqn: y= cos^n`x`]

[eqn: y`' = -n cos^n-1 x` `sin x`]

[eqn: y`'' = n(n-1) cos^n-2 `x `sin^2 x - n cos^n-1 x `cos x`]

[eqn: = n(n-1) cos^n-2 `x `(1-cos^2 x ) - n cos^n-1 x `cos x`]

[eqn: = n(n-1) cos^n-2`x - n(n-1) cos^n`x` - n`cos^n`x`]

[eqn: = n(n-1) cos^n-2`x - n^2 cos^n`x`]

[eqn: = cos^n-2 x ( n^2 -n - n^2 cos^2 x )`]

[eqn: = cos^n-2 `x (n^2 sin^2 x - n `)`]

[eqn: 0< x< pi over 2`]에서 [eqn: cos x ne 0`]이므로

[eqn: y`'' = 0`]에서 [eqn: n^2 sin^2 x - n =0`], [eqn: sin^2 x = 1over n`]

꼭지점의 좌표를 [eqn: (b_n , a_n )`]이라 하면

[eqn: sin^2 b_n = 1over n`]이므로

[eqn: a_n = cos^n `b_n = ( cos^2 b_n )^{ n over 2` }= left( 1- 1over n right)^{ n over2}`]

∴ [eqn: lim_n->inf`a_n = lim_n->inf`left( 1- 1over n right)^{ n over 2}`]

[eqn: = lim_n->inf`left( 1- 1over n right)^-n right}^{- 1over2}]

[eqn: = e^{ - 1over2}`]

[eqn: = 1over {root e}`]

ꂼ ③

28.

곡선과 직선의 교점의 좌표를 구한다.

[eqn: { xe^{x^2 }} over {e^{ x^2 } +1} = 2over3 x`]에서

[eqn: x`e^{ x^2 } = 2over3 x `e^{ x^2 } + 2over3 x`], [eqn: 1over3 x left( e^{x^2 } - 2`right)` =0`]

[eqn: x=0`] 또는 [eqn: e^{ x^2 } -2 =0`]

[eqn: e^{x^2 } = 2`]에서 [eqn: x^2 = ln 2`]  ∴ [eqn: x = +- root ln2 }`]

따라서, 구하는 넓이[eqn: S`]는

[eqn: S = 2 int_0^{root ln2} left( 2over3 x - {xe^{x^2 } } over{e^{x^2 } +1}`right)`dx`]

[eqn: = int_0^{root ln2} 4over3 x `dx - int_0^{root ln2} {2xe^{x^2 }} over{ e^{x^2 } +1}``dx`]

[eqn: = left[ 2 over 3 x^2 right]_0^{root ln2} `- left[ln(e^{x^2 } +1 )`right]_0^{ root ln2`}`]

[eqn: = 2over3 ` ln 2` - ( ln3 - ln2 )`]

[eqn: = 5over3 `ln2 - ln3`]

ꂼ ①

29.

ㄱ. [eqn: 1<a<b]이고 [eqn: x>1]이면 [eqn: 1<a ^{x} <b ^{x}]이고 [eqn: 0<log` _{b} x`<`log` _{a} x]이므로

[eqn: a ^{x} +`log` _{b} `x`<`b ^{x} `+`log` _{a} x]

[eqn: f(x)][eqn: = {b ^{x} +`log` _{a} `x} over {a ^{x} +`log` _{b} x`} >1] <참>

ㄴ. [eqn: b<a<1]이면 [eqn: lim _{x -> INF } {a ^{x}} = lim _{x -> INF } {b ^{x}} =0]이고 [eqn: lim _{x -> INF } {eqalign{log` _{a} x`=` lim _{x -> INF } {`log` _{b} `x`} =`-inf# }}]이므로

[eqn: lim _{x -> INF } {f(x)} = lim _{x -> INF } {{b ^{x} +`log` _{a} `x} over {a ^{x} +`log` _{b} x}}]

[eqn: = lim _{x -> INF } {{{b ^{x}} over {log` _{b} x} +` {log` _{a} `x} over {log` _{b} x}} over {{a ^{x}} over {log` _{b} x} +`1}}]

[eqn: = lim _{x -> INF } {{{b ^{x}} over {log` _{b} x} +` {{log` _{b} x} over {log` _{b} a}} over {log` _{b} x}} over {{a ^{x}} over {log` _{b} x} +`1}}]

[eqn: =` {1} over {log` _{b} a} =`log` _{a} b] <거짓>

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 0+} {a ^{x}} =` lim _{x -> 0+} {b ^{x}} =1`]이고 [eqn: x -> 0+]일 때, [eqn: log` _{a} x], [eqn: log` _{b} x]는 [eqn: INF] 또는 [eqn: - INF]로 발산하므로 ㄴ과 같은 방법으로 계산하면

[eqn: lim _{x -> +0} {f(x)} = lim _{x -> +0} {{b ^{x} +`log` _{a} `x} over {a ^{x} +`log` _{b} x}}]

[eqn: = lim _{x -> INF } {{{b ^{x}} over {log` _{b} x} +` {{log` _{b} x} over {log` _{b} a}} over {log` _{b} x}} over {{a ^{x}} over {log` _{b} x} +`1}}]

[eqn: =`log` _{a} b] <참>

ꂼ ③

30.

[eqn: A]

[eqn: P]

[eqn: O]

[eqn: R]

[eqn: B]

[eqn: theta]

[eqn: T]

[eqn: Q]

[eqn: S]

[eqn: angle SOT=theta`]이므로

[eqn: angle SOP = pi over 4 - theta over 2][eqn: = t`]( [eqn: 0<= t <= pi over 4])로 놓으면

[eqn: bar OP = cos t], [eqn: bar ST = sin t]이므로

[eqn: D= cos^2 t - ( cos t - sin t )^2 pi over 4]

[eqn: = cos^2 t - ( 1- 2sin t cos t ) pi over 4]

[eqn: = cos^2 t - ( 1- sin2 t ) pi over 4]

[eqn: D`' = - 2 cos t sint + pi over 4 cdot 2 cos 2t]

[eqn: = - sin2 t + pi over 2 `cos 2t][eqn: =0`]

즉, [eqn: tan 2t = pi over 2`] ( [eqn: 0<= t <= pi over 4])를 만족하는 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: D`]는 최댓값을 갖는다.

[eqn: tan 2t][eqn: = tan 2 ( pi over 4 - theta over 2 ) =tan ( pi over 2 - theta)]

[eqn: = cot ( pi over 2 - theta)][eqn: = cot theta][eqn: = pi over 2]

∴ [eqn: tan theta = 2 over pi]

∴ [eqn: 10 pi tan theta = 10 pi times 2 over pi][eqn: = 20]

ꂼ

확률과 통계

26.

[eqn: {rm P}(A |B^C `)= {{rm P}(A cap B^C ``)} over {{rm P}(B^C` )}]이다.

그런데,

[eqn: {{rm P}(A cup B ``)} ={rm P}(A)+{rm P} (B) -{rm P}(A cap B)]

에서

[eqn: {{rm P}(A cap B^C ``)} ={rm P}(A)-{rm P}(A cap B)]

[eqn: = {{rm P}(A cup B ``)}-{rm P} (B)]

[eqn: = 5over8 - 1over 4 = 3over8]

이고,

[eqn: {rm P} (B^C `)= 1- {rm P}(B)= 3over4]이다.

∴ [eqn: {rm P}(A |B^C `)= {{rm P}(A cap B^C ``)} over {{rm P}(B^C` )}]

[eqn: ={3over8} over {3over 4 } = 1over 2]

다른 풀이

주어진 조건을 표로 나타내면 다음과 같다.

	P([eqn: A])	P([eqn: A^C])	계
P([eqn: B])			[eqn: 1over4]
P([eqn: B^C])		[eqn: 1- 5over8 = 3over 8]
계			1

위의 표에서 다음을 알 수 있다.

	P([eqn: A])	P([eqn: A^C])	계
P([eqn: B])			[eqn: 1over4]
P([eqn: B^C])	[eqn: 3over 8]	[eqn: 3over 8]	[eqn: 3over 4]
계			1

∴ [eqn: {rm P}(A |B^C `)= {{rm P}(A cap B^C ``)} over {{rm P}(B^C` )}][eqn: ={3over8} over {3over 4 } = 1over 2]

ꂼ ①

27.

[eqn: P(X=-2)+P(X=-1)+P(X=0)]

[eqn: +P(X=1)+P(X=2) = 1]

이므로

[eqn: ( k+ 2 over 9 ) + (k+ 1 over 9 ) + k + (k + 1 over 9 )]

[eqn: + ( k + 2 over 9 )]

[eqn: = 5k + 6 over 9 = 1], [eqn: 5k = 1 over 3]

[eqn: therefore] [eqn: k = 1 over 15]

ꂼ ①

28.

확률변수 [eqn: X]가 취할 수 있는 값은 0, 1, [eqn: ROOT3], 2 이므로 확률분포표를 만들면 다음과 같다.

[eqn: X]	0	1	[eqn: ROOT3]	2	합
[eqn: P(X)]	[eqn: 1 OVER 6]	[eqn: 1 OVER 3]	[eqn: 1 OVER 3]	[eqn: 1 OVER 6]	1

[eqn: therefore] [eqn: E(X) = 1 TIMES 1 OVER 3 + ROOT3 TIMES 1 OVER 3 + 2 TIMES 1 OVER 6]

[eqn: = {2+ ROOT3} OVER 3]

ꂼ ④

29.

ㄱ. [eqn: {rm E} (bar X_A )= m_1 ,~{rm E} (bar X_B )= m_2]이므로

[eqn: m_1 = m_2]이면 [eqn: {rm E} (bar X_A )={rm E} (bar X_B )]이다. (참)

ㄴ. 표본평균 [eqn: bar X_B]의 표준편차는 [eqn: {sigma over 2 } over {root n_2 }] 즉, [eqn: sigma over {2root n_2 }][eqn: left( != sigma over 2 right)]이다.

따라서 [eqn: bar X_B]는 정규분포 [eqn: {rm N} left( m_2 ,~ left( sigma over {2rootn_2 } right)^2 right)]을 따른다. (거짓)

ㄷ. [eqn: m_1]에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간의 폭은

[eqn: b-a = 2× 1.96× sigma over root{n_1 }]

이고, [eqn: m_2]에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간의 폭은

[eqn: d-c = 2× 1.96× sigma over {2root{n_2 }}]

따라서 [eqn: n_1 = 4n_2]이면

[eqn: b-a = d-c]

이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ꂼ ③

30.

자료 [eqn: A`]의 최빈값은 [eqn: 26`]

자표 [eqn: B`]의 중앙값은

[eqn: { 20+c + 30 +c } over 2][eqn: = 25+c]

∴ [eqn: 26 = 25+c]

∴ [eqn: c=1`]

자료 [eqn: A`]의 중앙값은 [eqn: 30`]

자표 [eqn: B`]의 평균은

[eqn: { 10 + 20 times 4 + 30 times 3+ 40 times 2 + 3a+ 2b + 4c} over 10]

[eqn: ={ 264 + 3a+ 2b} over 10]

∴ [eqn: 30={ 264 + 3a+ 2b} over 10]

∴ [eqn: 3a+2b = 36]

ꂼ [eqn: 36]

이산수학

26.

주어진 그래프를 꼭지점 [eqn: c]의 위치를

바꾸어 다시 그리면 다음과 같다.

①

②

③

④

⑤

⑥

⑧

⑦

위의 그래프에서  ① ~④ 중 1개의 변을 제거하고 그 각각에 대하여 ⑤ ~⑧ 중에서 1개의 변을 제거하면 [eqn: 4×4 =16]가지의 생성수형도를 만들 수 있다. 또 변⑤ ~⑧ 중에서 두 변을 제거하여 생성수형도를 만들 수 있는 경우가 3가지 있으므로

주어진 그래프의 생성수형도의 개수는

[eqn: 16+3=19](개)이다.

ꂼ ⓛ

27.

선택하는 사과주스 , 포도주스, 감귤주스 병의 개수를 각각 [eqn: x,``y,``z]라 하면 각 종류의 주스는 적어도 한 병 이상씩 선택해야 하므로[eqn: x`+`y`+`z =5]를 만족하는 정수

[eqn: x,``y,``z]를 구한다. 따라서 구하는 경우의 수는 3개에서 중복을 허락하여 5개를 뽑는

방법의 수이므로

[eqn: `_{3+5 -1} C_5 = `_7 C_5 = `_7 C_2 = { 7×6} over {2 } =21]

ꂼ ③

28.

주어진 그래프를 꼭짓점을 이동하여 다시 그리면 다음과 같다.

A

따라서 위의 그래프는 평면그래프이고

홀수점이 4개이므로 변을 2개 추가하면

오일러회로가 있는 그래프로 만들 수 있다.

그러나 꼭짓점 A에서 출발하는 해밀턴회로 는 2개 있다.

따라서 옳게 설명한 사람은 서진과 은지이다.

ꂼ ④

29.

[eqn: a_1 = 3×5 - 3×1^2 =12]

[eqn: a_2 = 3×5×2^2 - 3×2^2 = 12⋅2^2]

[eqn: a_3 = 3×5×3^2 - 3×3^2 = 12⋅3^2]

[eqn: ⋮]

[eqn: a_n = 3×5× n^2 - 3×n^2 = 12⋅n^2]

[eqn: ∴````SUM from { { k}=1} to n a_k = SUM from { { k}=1} to n 12 k^2]

[eqn: = 12× { n(n+1)(2n+1)} over { 6}]

[eqn: =2n(n+1)(2n+1) = 4620]

[eqn: n(n+1)(2n+1) = 2310 = 10×11×21]

[eqn: ∴```n=10]

ꂼ ⓛ

30.

물품의 가치의 합을 되도록 크게 하려면 정민이는 침낭, 여벌 옷, 비상식량, 비상약품, 카메라를 선택해야한다.

이 때 물품 가치의 합은

[eqn: 8+5+4+3+3 =23]이고 누적무게는

[eqn: 2+2.5+1.6+1+0.5= 7.6 (` kg`)]이다.

[eqn: ∴```10a = 10`×`7.6 =76]

ꂼ[eqn: 76]