1.

2007학년도 대학수학능력시험 9월 모의 평가 (수리영역-나형) 정답 및 해설

[eqn: log_2 16 + log_2 1over 8 = 4-3=1`]

ꂼ ①

2.

이므로

ꂼ ⑤

3.

[eqn: lim_n->inf left{ 2+ left( - 1over 5 right)^n right}=lim_n->inf 2 +lim_n->inf left( - 1over 5 right)^n]

[eqn: = 2+ 0=2``]

ꂼ ②

4.

에서

ꂼ ①

5. [eqn: y= log (10 - x^2 )`]에서

[eqn: 10 - x^2 `>0`], [eqn: x^2 `<`10`]

[eqn: - root10 < x< root10`]

∴ [eqn: A = left{ x``|``- root10 `< x`< root10``right}`]

[eqn: y= log (log x `)`]에서

[eqn: log x >0`]이므로  [eqn: x>1`]

∴ [eqn: B= left{ x``|``x>1`right}`]

∴ [eqn: A∩B = left{ x``|`1<x< root10 ``right}`]

따라서, 집합[eqn: A∩B`]의 원소 중 정수인 것은 [eqn: 2, ``3`]의 2개이다.

ꂼ ②

6. [eqn: 5! × 2! = 120 ×2 =240]

ꂼ ③

7.

이므로 함수 의 그래프는

의 그래프를 축의 방향으로 1만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

따라서 의 그래프의 개형은 ②이다.

ꂼ ②

8. [eqn: log x `]의 지표를 [eqn: n`]이라 하면

[eqn: log x = n + alpha] [eqn: left( 0< alpha < 1 over 4 right)]

[eqn: log x^2 = 2logx]

[eqn: = 2 ( n+ alpha )]

[eqn: = 2n + 2alpha`][eqn: left( 0< 2alpha < 1 over 2right)]

이므로 [eqn: log x^2`]의 가수는 [eqn: 2 alpha`]

[eqn: log root10 over x^2 = 1 over 2 `log 10 - log x^2]

[eqn: = 1over 2 - (2n + 2alpha )]

[eqn: = -2n + 1over 2 - 2alpha]

[eqn: 0< 2alpha < 1 over 2]이므로 [eqn: log root10 over x^2]의 가수는

[eqn: 1over 2 - 2alpha]

따라서 두 가수의 합은

[eqn: 2alpha +left( 1 over 2 - 2alpha right) = 1over 2]

ꂼ ②

9. 구하는 확률은

[eqn: {`_4 C_1 ×_5 C_2} over {`_9 C_3 }`][eqn: = 4×10 over 84 = 10 over 21`]

ꂼ ①

10. 돼지의 무게를 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: N( 110, 10^2 )]을 따른다. 우량돼지 선발대회에 보낼 세 마리의 돼지에서 최소 무게를 [eqn: k`]라 하면

[eqn: P ( X>= k ) = 3 over 200][eqn: = 0.015`]

이므로

[eqn: P ( X>= k )][eqn: =P left( Z >= k-110 over 10 right)]

[eqn: = 0.5 -P left( 0<= Z <= k-110 over 10 right)]

[eqn: =0.015`]

∴ [eqn: P left( 0<= Z <= k-110 over 10 right)][eqn: =0.4850]

이 때,  표준정규분포표에서

[eqn: P left( 0<= Z <= 2.17 right) =0.4850]

이므로

[eqn: k-110 over 10 = 2.17]

∴ [eqn: k= 131. 7]

따라서 우량 돼지 선발대회에 보낼 돼지의 최소 무게는 [eqn: 131. 7 \kg`]이다.

ꂼ ④

11. [eqn: a_n +a_n+1 = n`]이므로

[eqn: a_n+m-1 +a_n+m = n+m-1`]이다.

∴ [eqn: sum_k=n-m+1 ^n+m a_k `]

[eqn: =(a_n-m+1 + a_n-m+2 ) +(a_n-m+3 +a_n-m+4 )`][eqn: +⋯+(a_n+m-1 + a_n+m )`]

[eqn: = (n-m+1)+(n-m+3)+⋯+(n+m-1)`]

이 때, 첫째항이 [eqn: n-m+1`], 공차가 2인 등차수열에서

[eqn: n+m-1`][eqn: =(n-m+1)+2(m-1)`]은

제 [eqn: m`]째 항이므로 이 등차수열의 합은

[eqn: {m left{ (n-m+1)+(n+m-1)right}} over 2`][eqn: =mn`]

따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은 차례로

[eqn: n+m-1`], [eqn: m`], [eqn: mn`]이다.

ꂼ ①

12.

,

①

(수렴)

②

(수렴)

③

(수렴)

④

(수렴)

⑤

(발산)

따라서 수렴하지 않는 무한급수는 ⑤이다.

ꂼ ⑤

13. ㄱ. [eqn: G(3) = P(X>3`)`]

[eqn: = 1- P(0<= X<= 3)`]

[eqn: = 1- F(3)`]  (참)

ㄴ. [eqn: P(3<= X<= 8 ) = P(0<= X<= 8 ) - P(0<= X<3 )`]

[eqn: = P(0<=X<=8 ) - P(0<=X<= 2 )`]

[eqn: = F(8) - F(2)`]  (거짓)

ㄷ. [eqn: P(3<= X<= 8 ) = P(X>= 3) - P(X>8 )`]

[eqn: = P(X>2 ) - P(X>8 )`]

[eqn: = G(2) - G(8)`]  (참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ꂼ ④

14. [eqn: S_1 = 2+ { pi} over {2 }]

[eqn: S_2 = { pi} over {2 } + LEFT ( 1+ { pi} over {4 } RIGHT ) = 1+ LEFT ( { pi} over {2 } + { pi} over {4 } RIGHT )]

[eqn: S_3 = { pi} over {2 } + LEFT ( { 1} over {2 }+ { pi} over {4 }+ { pi} over {8 } RIGHT )]                  [eqn: = { 1} over {2 }+ LEFT ( { pi} over {2 } + { pi} over {4 } + { pi} over {8 }RIGHT )]

[eqn: ⋮]

[eqn: S_n = 2 LEFT ({ 1} over {2 } RIGHT )^n-1 + LEFT ( { pi} over {2 } + { pi} over {4 } + { pi} over {8 } +⋯ +{ pi} over {2^n } RIGHT )]

이므로

[eqn: lim from { n -> inf }S_n = { { pi} over {2 }} over {1- { 1} over {2 } } =pi]

ꂼ ④

15. [eqn: A= pmatrix { ~a~&~b~ # ~b~&~c~ }]의 역행렬이 존재하지 않으므로 [eqn: ac - b^2 = 0]

∴ [eqn: b^2 =ac]

ㄱ. [eqn: b^2 = ac`]에서 [eqn: b`]는 [eqn: a`]와 [eqn: c`]의 등비중항이므로 [eqn: a, ~b, ~c]는 이 순서로 등비수열을 이룬다. (참)

ㄴ. [eqn: A+ E = pmatrix { ~a~&~b~ # ~b~&~c~ }+ pmatrix { ~1~&~0~ # ~0~&~1~ }]

[eqn: = pmatrix { ~a+1~&~b~ # ~b~&~c+1~ }]

이 때,

[eqn: (a+1)(c+1) - b^2][eqn: = ac + a+ c +1 - b^2]

[eqn: = a+c+1 !=0]

([eqn: because ac- b^2 = 0], [eqn: a>0, c>0])

따라서 [eqn: A+E`]는 역행렬이 존재한다. (참)

ㄷ. [eqn: A^2 = pmatrix { ~a~&~b~ # ~b~&~c~ }pmatrix { ~a~&~b~ # ~b~&~c~ }]

[eqn: =pmatrix { ~a^2 + b^2 ~&~ab+bc~ # ~ab+bc~&~b^2 + c^2 ~ }]

[eqn: =pmatrix { ~a~&~b~ # ~b~&~c~ }][eqn: = A`]

에서 행렬이 서로 같을 조건에 의해

[eqn: ab + bc = b]

∴ [eqn: a+c = 1] ( [eqn: because b>0]) (참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

ꂼ ⑤

16. [eqn: n=1,2,3,cdots`]일 때 [eqn: \P_{itn}`]의 좌표를 차례로 나열하면 다음과 같다.

[eqn: (1,1)→(1,2)`]	: [eqn: 2^1]개

[eqn: →(2,1)→(2,2)→(2,3)→(2,2^2 )`]	: [eqn: 2^2`]개

[eqn: →(3,1)→(3,2)→⋯→(3,2^3 )`]	: [eqn: 2^3`]개

[eqn: →(4,1)→(4,2)→⋯→(4,2^4 )`]	: [eqn: 2^4`]개

[eqn: ⋯`]

[eqn: →(10,1)→(10,2)→⋯→(10,2^10 )`]: [eqn: 2^10`]개

따라서 구하는 [eqn: n`]의 값은

[eqn: 2+2^2 +2^3 +⋯+2^10 = {2(2^10 -1)}over 2-1`][eqn: =2^11 -2`]

ꂼ ③

17. 각 행에서 하나씩 택하여 곱하는 경우의 수는

(가지)

택한 수의 곱이 3으로 나누었을 때, 나머지가 1이 되는 경우는 택한 세 수의 지수의 합이 짝수일 때이다. 1행, 2행, 3행에서 택한 수의 지수를 순서쌍으로 나타내어 지수의 합이 짝수인 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) (짝수, 짝수, 짝수)

(가지)

(ⅱ) (짝수, 홀수, 홀수)

(가지)

(ⅲ) (홀수, 짝수, 홀수)

(가지)

(ⅲ) (홀수, 홀수, 짝수)

(가지)

따라서 구하는 확률은

ꂼ ③

18. 등차수열[eqn: left{ a_n``right}`]의 공차를 [eqn: d``]라고 하면

[eqn: a_4 - a_2 = 2d` = 6`]에서 [eqn: d = 3`]

[eqn: a_1 + a_3 = a_1 + a_1 + 2d`]

[eqn: = 2a_1 + 6 = 6`]

∴ [eqn: a_1 = 0`]

∴ [eqn: a_6 = a_1 + 5d`` = 0 + 5 cdot 3 = 15`]

ꂼ [eqn: 15`]

19. [eqn: 9^x -3^x+2 +18 `<`0]에서

[eqn: 3^x =t]라 하면 [eqn: t`>`0]이고

주어진 부등식은

[eqn: t^2 -9t+18`<`0]

[eqn: (t-3)(t-6)` <`0 ,~`3`<`t`<`6]

[eqn: ∴```3`<`3^x `<`6]

이 때 주어진 부등식의 해가

[eqn: α `<` x `< `β]이므로  [eqn: 3^α `<`3^ x `< `3^β]

따라서 [eqn: 3^ α =3 ,~3^β =6]

[eqn: ∴``3^α ⋅3^β = 3×6 =18]

ꂼ 18

20. [eqn: a^ 6 = 3]에서 [eqn: a= 3^{ 1over 6}]

[eqn: b^5 = 7`]에서 [eqn: b= 7^{ 1over 5 }]

[eqn: c^2 = 11`]에서 [eqn: c= 11^{1 over 2}]

이므로

[eqn: (abc)^n =left( 3^{ 1over 6} cdot 7^{ 1over 5 } cdot 11^{ 1over 2} right)^n]

이 때, [eqn: left( 3^{ 1over 6} cdot 7^{ 1over 5 } cdot 11^{ 1over 2} right)^n]이 자연수가 되도록 하는 최소의 자연수 [eqn: n`]은 [eqn: 6,5,2`]의 최소공배수이므로 [eqn: 30`]이다.

ꂼ [eqn: 30`]

21. (주어진 식)

[eqn: =lim_n->inf {root {kn +1} (root n+1 +root n-1 )} over {n (n+1-n+1)}`]

[eqn: =lim_n->inf {root {kn +1} (root n+1 +root n-1 )} over {2n}`]

[eqn: =lim_n->inf {root {k + 1 over n } left( root {1+ 1 over n } +root{ 1- 1 over n } right)} over {2}`]

[eqn: = {root k+0 ( root 1+0 + root 1-0 )} over 2`]

[eqn: = root k =5`]

∴ [eqn: k=25`]

ꂼ 25

22. 처음의 주파수를 , 단위 면적당 질량을 , 음향투과손실을 이라 하면

주파수가 일정하고, 질량이 5배 증가되었을 때의 음향투과손실 은

ꂼ [eqn: 14]

23. [eqn: a = log_2``n ``, ```b = 2^n`]이므로

[eqn: a+b = log_2``n `+ 2^n`]

[eqn: a+b`]가 세 자리의 자연수이고

[eqn: n<=6`]일 때, [eqn: a+b <= log_2``6 + 2^6 `<100`]

[eqn: n>=10`]일 때, [eqn: a+b >= log_2``10 + 2^10 `>1000`]

이므로 [eqn: 6<n<10`]

[eqn: n= 7`]일 때, [eqn: a+b = log_2`7 + 2^7 `]은 자연수가 아니다.

[eqn: n=8`]일 때, [eqn: a+b = log_2``8 + 2^8 = `259`]

[eqn: n=9`]일 때, [eqn: a+b = log_2``9 + 2^9`]은 자연수가 아니다.

∴ [eqn: a+b= 259`]

ꂼ [eqn: 259`]

24. 24. 여학생 5명을 1, 2호실에 각각 3명,

2명씩 배정하는 방법의 수는

[eqn: `_5 C_3 × `_2 C_2 = 10]

남학생 6명을 3, 4호실에 각각 3명씩

배정하는 방법의 수는

[eqn: `_6 C_3 × `_3 C_3 × { 1} over { 2!} ×2! = 20]

따라서 구하는 모든 방법의 수는

[eqn: 10 ×20 =200]

ꂼ [eqn: 200`]

25. [eqn: p = 2b+3a over 2+3 = 3over5 a + 2over 5 b`]

[eqn: q = 3b+2a over 3+2 = 2over5 a + 3over 5 b`]

따라서, [eqn: pmatrix{3over5&2over5#2over5&3over5}`pmatrix{a#b}`= pmatrix{p#q}`]이므로

[eqn: M = pmatrix{3over5&2over5#2over5&3over5`}`]이다.

[eqn: M^-1 = 5``pmatrix{3over5&- 2over5#- 2over5&3over5}`= pmatrix{3&-2#-2&3}`]

이므로 행렬[eqn: M^-1`]의 모든 성분의 곱은

[eqn: 3 cdot (-2) cdot (-2) cdot 3 = 36`]

ꂼ [eqn: 36`]

26. [eqn: A left ( 1 atop 2 right ) = left ( 4 atop 3 right ) ,][eqn: A left ( 1 atop 1 right ) = left ( 3 atop 2 right )] 이므로

[eqn: A left ( 1 atop 2 right ) +A left ( 1 atop 1 right ) = left ( 4 atop 3 right )+left ( 3 atop 2 right ) = left ( 7 atop 5 right )]

[eqn: A left ( 1+1 atop 2+1 right ) =A left ( 2 atop 3 right )= left ( 7 atop 5 right )]

[eqn: ∴ ``x=2 ,~y=3]에서 [eqn: p=2,~q=3]

[eqn: ∴``p+q=5]

ꂼ ⑤

27. 국사를 선택할 사건을 [eqn: A], 세계사를 선택할 사건을 [eqn: B`]라 하면

[eqn: P(A)= 22 over 35], [eqn: P(B)= 17 over 35]

[eqn: P( (A cup B)^c )= 4 over 35]

이 때, [eqn: P(A cup B )= 1- P(( A cup B)^c )]이므로

[eqn: P(A cup B )= 1- 4 over 35 = 31 over35]

∴[eqn: P(A cap B) = P(A)+ P(B)- P(A cup B)]

[eqn: = 22over 35 + 17 over 35 - 31 over 35]

[eqn: = 8 over 35]

ꂼ ③

28. [eqn: a_n+1 = {10A cdot a_n } over {10A +a_n}`]의 양변의 역수를 취하면

[eqn: 1 over a_n+1 = 1 over a_n + 1 over 10A`]

따라서 수열 [eqn: left{ 1over a_n+1 right}`]은 첫째항이

[eqn: 1over a_1 = 1over 10A`], 공차가 [eqn: 1over 10A`]인 등차수열이다.

∴ [eqn: 1over a_8 = 1 over 10A times 8 = 4over 5A`]

따라서 시력 [eqn: 0.8`]에 해당되는 문자의 크기는

[eqn: a_8 = 5 over 4 A`]

ꂼ ④

29. 주어진 확률분포로부터 확률변수 는 이항분포 를 따르므로

, 에서

--------㉠

-----㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

이 값을 ㉠에 대입하면

따라서 구하는 확률은

ꂼ ①

30. [eqn: (1+ax)^7`]의 전개식에서 일반항은

[eqn: `_7 C_r``(ax)^r` = ``_7 C_r ``a^r``x^r`] ([eqn: r= 0 ,1,2, cdots , 7 `])

이므로 [eqn: x^r`]의 계수는 [eqn: `_7 C_r``a^r`]이다.

[eqn: x`]의 계수는 [eqn: `_7 C_1 ``a = 7a`]이므로

[eqn: 7a = 14`]에서 [eqn: a=2`]

따라서, [eqn: x^2`]의 계수는

[eqn: `_7 C_2 `a^2 = 21 cdot 4 = 84`]

ꂼ [eqn: 84`]