(홀수형)

2008학년도 대학수학능력시험 (수리영역-나형)  정답 및 해설

1.

[eqn: ( root{2{root6}} `)^4 = LEFT { ({2{root6}} `)^{ { 1} over {2 }} RIGHT }^4 =({2{root6}} `)^2 =24]

ꂼ ⑤

2.

[eqn: lim_n->inf``{2n^2 - 7n } over { n^2 +5}` = lim_n->inf``{ 2 - 7 over n } over{ 1+ 5 over n^2 }`]

[eqn: = 2-0 over 1+0`]

[eqn: = 2`]

ꂼ ②

3. [eqn: BA=B+E]에서

[eqn: A=B ^{-1} (B+E)]

[eqn: =E+B ^{-1}]

[eqn: = {pmatrix{1&`````0#0&`````1}} + {pmatrix{```````1&``-1#-2&`````````3}}]

[eqn: = {pmatrix{```````2&``-1#-2&`````````4}}]

따라서 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은 3이다.

ꂼ ⑤

4.

두 곡선 [eqn: y= 3^x+m], [eqn: y= 3^-x]이 각각 [eqn: y`]축과 만나는 점은

[eqn: A( 0,`` 3^m )], [eqn: B(0,`` 1)]이고

[eqn: bar AB = 3^m - 1 = 8]

∴ [eqn: 3^m = 9]

∴ [eqn: m=2`]

ꂼ ①

5.

[eqn: A^n = pmatrix{ 1&0#n&1}]이므로

[eqn: pmatrix{x#y}=(A^n )^-1 pmatrix{3#8}]

[eqn: = pmatrix{ 1&0#-n&1} pmatrix{3#8}=pmatrix{3#-3n+8}]

이 때 [eqn: alpha+beta=3-3n+8=2]에서

[eqn: n=3]

ꂼ ③

6.

[eqn: ( log_3 x -1)^2 - 10 log_3 x + 26=0] 이므로

[eqn: log_3 x = t] 라 하면

[eqn: (t-1)^2 - 10t + 26=0], [eqn: t^2 - 12 t +27=0]

[eqn: (t-3)(t-9)=0]

[eqn: therefore][eqn: t= 3] 또는 [eqn: t= 9]

[eqn: t= 3] 일 때 [eqn: log_3 x = 3] 에서 [eqn: x= 3^3]

[eqn: t= 9] 일 때 [eqn: log_3 x = 9] 에서 [eqn: x= 3^9]

[eqn: therefore][eqn: alpha beta= 3^3 times 3^9 = 3^12]

ꂼ ⑤

7.

[eqn: A^-1 = 1 OVER 2 PMATRIX{2&0#0&1}] 이고

[eqn: AB = CA] 에서 [eqn: C = A B A^-1] 이므로

[eqn: C = PMATRIX{1&0#0&2} PMATRIX{1&a#b&1} 1over2 pmatrix{2&0#0&1}]

[eqn: = 1 over 2 pmatrix{1&a#2b&2} pmatrix{2&0#0&1}]

[eqn: = 1 over 2 pmatrix{2&a #4b &2}]

따라서, 행렬 [eqn: C]의 모든 성분의 합의 최솟값

은

[eqn: 1 OVER 2 (2+a+4b+2 ) =][eqn: 2 + 1 over 2 a+ 2b]

[eqn: >= 2 + 2 root{1 over 2 a times 2b}]

[eqn: = 2+2rootab]

[eqn: = 2+ 2 root4 = 6]

(단, 등호는 [eqn: 1 over 2 a = 2b] 일 때 성립한다.)

ꂼ ③

8.

[eqn: S_n = 1over2 times n times (2^n +1)],

[eqn: T_n = 1over 2 times n times (2^n -1)]
이므로

[eqn: lim_n->inf T_n over S_n = lim_n->inf {2^n -1} over{2^n +1} = 1]

ꂼ ⓛ

9.

[eqn: (4n ^{2} -1)x ^{2} -4nx+1=0]

[eqn: left{ (2n-1)x -1 right} left{ (2n+1) x -1 right}=0]

∴ [eqn: x= 1over 2n-1] 또는 [eqn: x= 1over 2n+1]

∴ [eqn: alpha_n = 1over 2n-1 , ` `beta_n = 1over 2n+1]

([eqn: because alpha_n > beta_n])

∴ [eqn: SUM_n=1 ^inf ( alpha_n - beta_n ) = lim_n->inf SUM_k=1^n left( alpha_k - beta_k right)]

[eqn: = lim_n->inf SUM_k=1^n left( 1over 2k-1 - 1over2k+1 right)]

[eqn: = lim_n->inf left( 1- 1over2n+1 right)]

[eqn: =1]

ꂼ ①

10.

[eqn: rm A it LEFT ( t,```2`log` _{2} `t RIGHT )]라 하면 [eqn: bar{rm AB} =2]이므로

[eqn: rm B LEFT ( it t+2,`2 ^{t-1} RIGHT ) `]

이 때, [eqn: rm A,``B]의 [eqn: y]좌표가 같아야 하므로

[eqn: 2`log` _{2} `t`=`2 ^{t-1}] 즉, [eqn: log` _{2} t``=`2 ^{t-2}] -----㉠

또, [eqn: rm D( it t+2,`2`log` _{2} (t+2))]이고, [eqn: bar{rm BD} =2]이므로

[eqn: `2`log` _{2} (t+2)-2 ^{t-1} =2]

[eqn: log` _{2} (t+2)=2 ^{t-2} +1]  -----------㉡

㉠과 ㉡에서

[eqn: log` _{2} (t+2)=`log` _{2} `t`+1]

[eqn: log` _{2} `(t+2)=`log` _{2} 2t]

[eqn: t+2=2t] [eqn: THEREFORE] [eqn: t=2]

이 때, [eqn: rm A LEFT ( 2,```2 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 4,``2 RIGHT )], [eqn: rm D LEFT ( 4,`4 RIGHT )]

한편, 두 점 [eqn: rm C], [eqn: rm D]의 [eqn: y]좌표가 같으므로

[eqn: 2 ^{x-3} =4]에서 [eqn: x=5]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm C LEFT ( 5,``4 RIGHT )]

따라서 사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= {1} over {2} TIMES LEFT ( bar{rm AB} + bar{rm BC} RIGHT ) TIMES bar{rm BD}]

[eqn: = {1} over {2} TIMES ` LEFT ( 2+1 RIGHT ) TIMES 2=3]

ꂼ ④

11.

ㄱ. [eqn: log100 `]의 지표는 2이므로 [eqn: n=2`]

∴ [eqn: f``(100 ) = (-1)^2` = 1`] (참)

ㄴ. [eqn: f``(x)= (-1)^n = -1`]이면 [eqn: n`]은 홀수이다.

즉, [eqn: log x`]의 지표[eqn: n`]은 홀수이다.

[eqn: log 100x = 2+ log x`]에서

[eqn: log 100x`]의 지표는 [eqn: 2+n`]이고, 홀수이므로

[eqn: f``(100x) = (-1)^2+n = -1`] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: x_1 = 2 ,``x_2 = 5`]이면

[eqn: log 2`]와 [eqn: log5`]의 지표가 모두 0이므로

[eqn: f``(x_1 ) = (-1)^0 = 1`], [eqn: f``(x_2 ) = (-1)^0 = 1`]

그러나 [eqn: x_1 x_2 = 10`]이고, [eqn: log 10`]의 지표가 1이므로

[eqn: f``(x_1 x_2 ) = (-1)^1 = -1`] (거짓)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

ꂼ ③

12.

[eqn: r-p=k,``````0 LEQr` LEQn+1] 이므로

[eqn: 0 LEQ `p LEQn+1-k]

따라서 변 [eqn: rmAB]는 [eqn: p]에 의하여 결정되므로

변 [eqn: rmAB]를 택하는 경우의 수는

정수 [eqn: p]의 개수와 같다.

이 때 정수 [eqn: p]의 개수는

[eqn: (n+1-k) -0+1 = n-k+2]

[eqn: THEREFORE](가) [eqn: n-k+2]

같은 방법으로 변 [eqn: rmAD]를 택하는 경우의 수는

정수 [eqn: q]의 개수와 같으므로

[eqn: (n-k) -0+1 = n-k+1]

[eqn: THEREFORE](나) [eqn: n-k+1]

[eqn: sum _{ k=1} ^{n } a_k = sum _{ k=1} ^{n } LEFT { (n+1)(n+2)-(2n+3)k +k^2 RIGHT }]

[eqn: =n(n+1)(n+2) -(2n+3) TIMES { n(n+1)} over {2 }]

[eqn: + { n(n+1)(2n+1)} over {6 }]

[eqn: = { n(n+1)(n+2)} over {3 }]

[eqn: THEREFORE](다) [eqn: { n(n+1)(n+2)} over {3 }]

ꂼ ④

13.

[eqn: c(0)=0.83,`````c(1)=0.43] 이므로

[eqn: Q=kV log { 0.83-0.03} over {0.43-0.03 } =kV log 2]

이때 [eqn: Q]는 일정하므로

이산화탄소 농도가 [eqn: 0.08%]일 때

[eqn: Q=k TIMES { V} over {t } log { 0.83-0.03} over {0.08-0.03 } =kV log 2]

[eqn: k TIMES { V} over {t } log 16 =kV log 2]

[eqn: { 4} over {t } =1 ,```` THEREFORE ``t=4]

ꂼ ②

14.

[eqn: 8 over 3]

[eqn: 8]

[eqn: rmQ_1]

[eqn: rmP_1]

[eqn: rmB_1]

[eqn: rmA_1]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

세 선분[eqn: rm A_1 B_1 ,`A_1 P_1 , B_1 P_1`]의 길이는 모두 원의 반지름의 길이인 [eqn: 8 over 3`]이므로 [eqn: rm △A_1 B_1 P_1`]은 정삼각형이다.

∴ [eqn: rm ∠P_1 A_1 B_1 = pi over 3`]

따라서, 호[eqn: rm P_1 A_1 Q_1`]의 길이는

[eqn: 8 over 3 × 2over3 pi = 16 over 9 pi`]

이므로 두 호[eqn: rm P_1 A_1 Q_1`, `P_1 B_1 Q_1`]의 길이의 합은

[eqn: l_1 = 2 × 16 over 9 pi = 32 over 9 pi`]

한편,  모양의 도형을 크기 순으로 나열하면 이들은 모두 닮은꼴이고,

[eqn: rm bar AB ``:`` bar {A_1 B_1 }` = 8``:``8 over 3 = 3``:``1`]

이므로 닮음비는 [eqn: 3``:``1`]이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf``l_n` = l_1 + 1over3 l_1 + left( 1over3 right)^2 `l_1 + cdots`]

[eqn: = l_1 over{ 1- 1over3}`]

[eqn: = { 32over9 pi } over{ 2over3}`]

[eqn: = 16 over 3 pi`]

ꂼ ④

15.

[eqn: n <= 10]일 때,

[eqn: a _{1} =1],

[eqn: a _{2} =2]

[eqn: a _{3} =1+3=4]

[eqn: a _{4} =2+4=6]

[eqn: a _{5} =1+3+5=9]

[eqn: a _{6} =2+4+6=12]

[eqn: a _{7} =1+3+5+7=16]

[eqn: a _{8} =2+4+6+8=20]

[eqn: a _{9} =1+3+5+7+9=25]

[eqn: a _{10} =2+4+6+8+10=30]

[eqn: n">"10]일 때,

[eqn: a _{11} =a _{13} = CDOTS =1+3+5+7+9=25]

[eqn: a _{12} =a _{14} = CDOTS =2+4+6+8+10=30]

따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{14} a _{n} =235]

ꂼ ⑤

16.

[eqn: S_n T_n = n^2 (n^2 -1)]에서

ㄱ. [eqn: a_n = n]이면 [eqn: S_n = {n(n+1)} over 2]이므로

[eqn: S_n T_n = n^2 (n^2 -1)]에서

[eqn: {n(n+1)} over 2 T_n = n^2 (n^2 -1)]

∴ [eqn: T _{n} =2n(n-1)]

(i)[eqn: n>=2`]일 때,

[eqn: b _{n} =T _{n} -T _{n-1}]

[eqn: =2n(n-1)-2(n-1)(n-2)]

[eqn: = 4n-4]

(ii)[eqn: n=1`]일 때, [eqn: T_1 = 0= b_1]

∴ [eqn: b_n = 4n-4`] (참)

ㄴ. [eqn: S_n = { n left{ 2a_1 + (n-1) d _1 right}} over 2]

[eqn: T_n = { n left{ 2b_1 + (n-1) d _2 right}} over 2]

에서 [eqn: S_1 T_1 = 0`]이므로 [eqn: a_1 b_1 =0]

(i) [eqn: a_1 !=0 , ~``b_1 =0]인 경우

[eqn: S_n T_n ={ n left{ 2a_1 + (n-1) d _1 right}} over 2 cdot{ n (n-1) d _2 } over 2]

[eqn: =n^2 (n^2 -1)]

[eqn: 2a_1 d_2 + (n-1) d_1 d_2 = d_1 d_2 n + 2a_1 d_2 - d_1 d_2]

[eqn: = 4 n+4`]

이 등식은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 성립하므로  [eqn: d_1 d_2 = 4`]

(ii) [eqn: a_1 =0 , ~``b_1 !=0] 인 경우

(i)과 같은 방법으로

[eqn: d_1 d_2 n + 2b_1 d_2 - d_1 d_2][eqn: = 4 n+4`]

이 등식은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 성립하므로  [eqn: d_1 d_2 = 4`]

(iii)[eqn: a_1 = 0, ``b_1 =0]인 경우

[eqn: S_n T_n ={ n (n-1) d _1 } over 2 cdot{ n (n-1) d _2 } over 2][eqn: =n^2 (n^2 -1)]

[eqn: d_1 d_2 n - d_1 d_2 = 4n -4]

이 등식은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 성립하므로  [eqn: d_1 d_2 = 4`]

따라서 (i), (ii), (iii)에 의해 [eqn: d_1 d_2 = 4`]

(참)

ㄷ. [eqn: S_1 T_1 = 0`]이므로 [eqn: a_1 !=0]이면 [eqn: b_1 =0]

[eqn: S_n T_n = S_n cdot {n (n-1) d_2 } over 2][eqn: =n^2 (n^2 -1)]

∴ [eqn: S_n = 2n(n+1) d_2]

[eqn: a_n = S_n - S_n-1]

[eqn: =2n(n+1)d_2 -2(n-1)n d_2]

[eqn: =4d_2 n] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

ꂼ ③

17.

[eqn: log_2 5x = log_2 (x+m)]에서 [eqn: 5x=x+m]이므로

[eqn: x= m over 4]

[eqn: log_2 (-5x) = log_2 (x+m)]에서 [eqn: -5x=x+m]이므로

[eqn: x = - m over 6]

[eqn: therefore] [eqn: A left( - 1over 3 ,~ log_2 5 over 3 right) ,~ B left( 1over2 ,~ log_2 5 over 2 right)]

[eqn: C left( - m over 6 ,~ log_2 5 over 6 m right) ,~D left( m over 4 ,~log_2 5 over 4 m right)]

[eqn: ㄱ]. [eqn: m>2]이면

[eqn: p = - m over 6 < - 1over 3 ,~ r = m over 4 > 1over 2] (참)

[eqn: ㄴ]. [eqn: bar CD]의 기울기는

[eqn: {log_2 5 over 4 m - log_2 5 over 6 m } over {m over 4 - m over 6} = {log_2 left( 5 over 4 m times 6 over 5m right)} over {m over 12}]

따라서 [eqn: m]의 값에 따라 기울기가 달라진다. (거짓)

[eqn: ㄷ]. [eqn: log_2 5 over 2 = log_2 5over6 m]에서 [eqn: m=3]

이 때

[eqn: triangle CAB = 1over2 times bar BC times left(log_2 5over 2 - log_2 5over 3 right)]

[eqn: = 1over2 times bar BC times log_2 3over2]

[eqn: triangle CBD = 1over2 times bar BC times left(log_2 15over 4 - log_2 5over 2 right)]

[eqn: = 1over2 times bar BC times log_2 3over2]

이므로 두 삼각형의 넓이는 같다. (참)

ꂼ ④

18.

[eqn: sum from n=1 to inf a_n = {a_1} over {1- 1 over 5} = 5a_1 over 4 = 15]

[eqn: therefore] [eqn: a_1 = 12]

ꂼ

19.

[eqn: {pmatrix{a&3#0&a}}^2 = pmatrix{a&3#0&a}pmatrix{a&3#0&a} =pmatrix{a^2 & 6a#0&a^2}]

[eqn: {pmatrix{a&3#0&a}}^3 = {pmatrix{a&3#0&a}}^2 pmatrix{a&3#0&a} = pmatrix{a^3 &9a^2 # 0 &a^3}]

[eqn: {pmatrix{a&3#0&a}}^4 = pmatrix{a^3 &9a^2 # 0 &a^3}pmatrix{a&3#0&a} = pmatrix{a^4 & 12a^3 #0&a^4}]

[eqn: ⋯]

[eqn: {pmatrix{a&3#0&a}}^n = pmatrix{a^n &3n times a^n-1 #0 &a^n}]

따라서 (1, 1)성분과 (1, 2)성분이 같으므로

[eqn: a^n = 3n times a^n-1], [eqn: a = 3n]

[eqn: n = 1] 일 때 [eqn: a=3]

[eqn: n = 2] 일 때 [eqn: a = 6]

[eqn: n=3] 일 때 [eqn: a= 9]

[eqn: ⋯]

이므로 8이하의 모든 자연수 [eqn: a]의 값들의 곱은

[eqn: 3 times 6 = 18]

ꂼ

20.

[eqn: f(2a) f(b)=2^-2a times 2^-b = 2^-2a-b =4]이므로

[eqn: -2a-b=2]

[eqn: f(a-b)=2^-a+b =2]이므로

[eqn: -a+b=1]

[eqn: therefore] [eqn: a=-1,~b=0]

[eqn: therefore] [eqn: 2^3a +2^3b = 2^-3 +2^0 = 1over 8 +1 = 9 over 8]

[eqn: therefore] [eqn: p+q=8+9=17]

ꂼ [eqn: 17]

21.

[eqn: a_n = 5n +1`]

[eqn: b_1 =1 , ``b_n+1 - b_n = n+1`]이므로

[eqn: b_n = 1+ SUM_k=1 ^n-1 (k+1)]

[eqn: = 1+ {(n-1)n} over 2 + (n-1)]

[eqn: = {n(n+1) } over 2]

[eqn: a_k times b_l]의 값이 홀수가 되려면 [eqn: a_k], [eqn: b_l]이 모두 홀수가 되어야 한다.

[eqn: a_k = 5k+1`]이 홀수가 되도록 하는 [eqn: 10`]이하의 자연수 [eqn: k`]는

[eqn: 2,``4,``6,``8,``10]의 [eqn: 5`]개 이고,

[eqn: b_l = {l (l+1)} over 2]이 홀수가 되도록 하는 [eqn: 10`]이하의 자연수 [eqn: l`]는

[eqn: 1,``2,``5,``6,``9,``10]의 [eqn: 6`]개 이다.

따라서 순서쌍 [eqn: (k, ``l`)]의 개수는

[eqn: 5 times 6 = 30] (개)

이다.

ꂼ [eqn: 30]

22.

[eqn: log` _{9} `n`=`m`+` alpha `] [eqn: (][eqn: m] 은 정수, [eqn: 0 <= alpha <1])으로

놓으면

[eqn: log` _{9} `n`- LEFT [ `log` _{9} `n RIGHT ]][eqn: = alpha]

또, [eqn: n`=`9 ^{m} CDOT 9 ^{alpha }]([eqn: n]은 정수, [eqn: 1 <= 9 ^{alpha } <9])이므로 [eqn: alpha]가 최대 즉, [eqn: 9 ^{alpha }]가 최대가 되는 [eqn: n]의 값을 구하면 된다.

[eqn: n]이 두 자리자연수 이므로 [eqn: n`=`9 ^{m} CDOT 9 ^{alpha }]([eqn: n]은 정수, [eqn: 1 <= 9 ^{alpha } <9])로 나타내면

[eqn: n=10=9 TIMES {10} over {9}]

[eqn: n=11=9 TIMES {11} over {9}]

[eqn: CDOTS]

[eqn: n=80=9 TIMES {80} over {9}]

[eqn: n=81=9 ^{2}][eqn: TIMES 1]

[eqn: n=82=9 ^{2} TIMES {82} over {81}]

[eqn: CDOTS]

[eqn: n=100=9 ^{2} TIMES {100} over {81}]

따라서 [eqn: n=80]일 때, [eqn: 9 ^{alpha }]의 최대값은 [eqn: {80} over {9}]을 갖는다.

ꂼ [eqn: 80]

23.

[eqn: n`]의 값에 따른 [eqn: a`]의 값의 변화를 살펴보면

[eqn: n`]	[eqn: a`]
1	[eqn: 3×1 = 3`]	([eqn: a<30`])
2	[eqn: 3+1 = 4`]	([eqn: a<30`])
3	[eqn: 3×4 = 12`]	([eqn: a<30`])
4	[eqn: 12+1 = 13`]	([eqn: a<30`])
5	[eqn: 3×13 = 39`]	([eqn: a>30`])

따라서, 인쇄되는 [eqn: a`]의 값은 [eqn: 39`]이다.

ꂼ [eqn: 39`]

24.

[eqn: 4LEQ logx <5 ,```````1LEQ logy <2] 이고

[eqn: LEFT ( log { x} over { y} RIGHT ) LEFT ( log { y} over { x} RIGHT ) =-LEFT ( log { x} over { y} RIGHT ) ^2]

[eqn: =-LEFT ( log { x} -log{ y} RIGHT ) ^2]

이므로

[eqn: 2< logx -logy <4]

[eqn: -16< -( logx -logy)^2 < -4]

따라서 정수의 개수는

[eqn: -15] 부터 [eqn: -5]까지 이므로 11개이다.

ꂼ 11

25.

서로 다른 3가지 색을 [eqn: A, ``B ,``C] 라고

하면  맨 위와 맨 아래의 사다리꼴에 서로

다른 색을 칠하는 방법의 수는

[eqn: `_ 3 C_1 TIMES `_ 2 C_1 =6]

이다.

이 때 맨 위와 맨 아래의 사다리꼴에 [eqn: A, ``B]

두 색을 칠한 경우 중간의 사다리꼴에

색을 칠하는 경우의 수는

[eqn: A - B - A-C-B]

[eqn: A - B - C-A-B]

[eqn: A - C - A-C-B]

[eqn: A - C - B-A-B]

[eqn: A - C - B-C-B]

로 5가지이므로  구하는 경우의 수는

[eqn: 6TIMES 5 =30]

ꂼ [eqn: 30]

26.

[eqn: |`a- log_2`x`|`<=1`] ⇔ [eqn: |`log_2``x -a`|`<=1`]

이므로 [eqn: -1<= log_2``x - a`<=1`]

[eqn: a-1 <= log_2`x`<= a+1`]

[eqn: 2^a-1 `<= x<= 2^a+1`]

따라서, [eqn: x`]의 최댓값은 [eqn: 2^a+1`], 최소값은 [eqn: 2^a-1`]이다.

[eqn: 2^a+1 - 2^a-1 = 18`]에서

[eqn: 2 cdot 2^a` - 1over2 cdot`2^a` = 18`]

[eqn: 3over2 cdot 2^a = 18`]

∴ [eqn: 2^a = 2over3 cdot 18 = 12`]

ꂼ ②

27.

[eqn: m,``n]이 자연수이므로

[eqn: 1<m ^{n-5}]에서 [eqn: n-5>0],  ----㉠

[eqn: 1<n ^{m-8}]에서 [eqn: m-8>0]  ----㉡

또, [eqn: m ^{n-5} <`n ^{m-8}]에서 [eqn: {n ^{m-8}} over {m ^{n-5}} >1] ---㉢

[eqn: {A} over {B} = {m ^{{1} over {m-8}} CDOT n ^{{1} over {n-5}}} over {m ^{- {1} over {m-8}} CDOT n ^{{1} over {n-5}}} =m ^{{2} over {m-8}} >1] ([eqn: BECAUSE] ㉡)

[eqn: THEREFORE] [eqn: A>B]

[eqn: {A} over {C} = {m ^{{1} over {m-8}} CDOT n ^{{1} over {n-5}}} over {m ^{{1} over {m-8}} CDOT n ^{- {1} over {n-5}}} =n ^{{2} over {n-5}} >1] ([eqn: BECAUSE] ㉠)

[eqn: THEREFORE] [eqn: A>C]

[eqn: {B} over {C} = {m ^{- {1} over {m-8}} CDOT n ^{{1} over {n-5}}} over {m ^{{1} over {m-8}} CDOT n ^{- {1} over {n-5}}}]

[eqn: =m ^{- {2} over {m-8}} CDOT n ^{{2} over {n-5}}]

[eqn: = LEFT ( m ^{-(n-5)} CDOT n ^{m-8} RIGHT ) ^{{2} over {(m-8)(n-5)}}]

[eqn: = LEFT ( {n ^{m-8}} over {m ^{n-5}} RIGHT ) ^{{2} over {(m-8)(n-5)}}][eqn: >1] ([eqn: BECAUSE] ㉢)

[eqn: THEREFORE] [eqn: B>C]

따라서 [eqn: A>B>C]

ꂼ ①

28.

ㄱ. [eqn: 8`]의 양의 약수는 [eqn: 1,``2,``4,``8]이므로

[eqn: x _{8} =(-1) ^{1} +(-1) ^{2} +(-1) ^{4} +(-1) ^{8}]

[eqn: =2] (참)

ㄴ. [eqn: n= 3^m`]이면 [eqn: 3^m`]의 양의 약수의 개수는 [eqn: (m+1)`]개이고,

양의 약수 [eqn: a_n`]은 모두 홀수이므로

[eqn: (-1)^a_n = -1`]

∴ [eqn: x_n = (-1)times (m+1)][eqn: =-m-1`] (거짓)

ㄷ. [eqn: n= 10^m][eqn: = 2^m times 5^m`]이므로 [eqn: 10^m`]의 양의 약수의 개수는

[eqn: (m+1)(m+1)= (m+1)^2`] (개)

양의 약수 중 홀수의 개수는

[eqn: 5^0 ,`` 5^1 , ``cdots, ``5^m]의 [eqn: m+1`]개 이므로

짝수의 개수는

[eqn: (m+1)^2 - (m+1) = m^2 +m] (개)

∴ [eqn: x_n = (-1) times (m+1) + 1 times (m^2 +m)]

[eqn: = m^ 2 -1`] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ꂼ ④

29.

공차가 [eqn: d]일 때 집합 {[eqn: a,b,c]}의 개수는 다음과 같다.

[eqn: d=1]일 때 [eqn: 2n-2](개)

[eqn: d=2]일 때 [eqn: 2n-4](개)

[eqn: vdots]

[eqn: d=n-1]일 때 [eqn: 2n-2(n-1)=2](개)

[eqn: therefore] [eqn: T_n =sum_d=1^n-1 (2n-2d)]

[eqn: = 2sum_d=1^n-1 (n-d)]

[eqn: =2 sum_k=1^n-1 k]

[eqn: =n(n-1)]

[eqn: therefore] [eqn: lim_n->inf T_n over n^2 = lim_n->inf {n^2 -n} over n^2 =1]

ꂼ ②

30.

4분 음표(♩) 4개로 구성하는 방법의 수는

1가지

4분 음표(♩) 3개, 8분 음표(♪) 2개로 구성하는 방법의 수는

[eqn: 5! over 3!2! = 10] (가지)

4분 음표(♩) 2개, 8분 음표(♪) 4개로 구성하는 방법의 수는

[eqn: 6! over 2!4! = 15] (가지)

4분 음표(♩) 1개, 8분 음표(♪) 6개로 구성하는 방법의 수는

[eqn: 7! over 6! = 7] (가지)

8분 음표(♪) 8개로 구성하는 방법의 수는

1가지

따라서, 구하고자 하는 경우의 수는

[eqn: 1+10+15+7+1 = 34] (가지)

ꂼ [eqn: 34`]