• 수리 영역 •

【 가형 】

정 답

1	④	2	⑤	3	⑤	4	④	5	④
6	②	7	②	8	①	9	④	10	①
11	②	12	③	13	③	14	①	15	⑤
16	②	17	⑤	18	⑤	19	③	20	②
21	①	22	[eqn: 3]	23	[eqn: 230]	24	[eqn: 130]	25	[eqn: 12]
26	[eqn: 17]	27	[eqn: 5]	28	[eqn: 12]	29	[eqn: 41]	30	[eqn: 14]

해 설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: ( root {4} of {2} ) ^{3} TIMES root {4} of {8} TIMES root {4} of {4} ` =`2 ^{{3} over {4}} TIMES 2 ^{{3} over {4}} TIMES 2 ^{{2} over {4}}=`2 ^{{8} over {4}} =`4]

2. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: 2X=B-2A=][eqn: {pmatrix{``11&```-2``#3&```16}}][eqn: -2 {pmatrix{``3&``0``#-1&```4`}}][eqn: = {pmatrix{``5&```-2``#5&``````8}}]   [eqn: THEREFORE ``X=][eqn: {1} over {2} {pmatrix{``5&```-2``#5&``````8}}]

따라서 성분의 합은 [eqn: 8`]이다.

3. [출제의도] 수열의 극한 계산하기

분모와 분자를 [eqn: sqrt {n}]으로 나누면

[eqn: lim _{n `-> `` INF } { {2 sqrt { n}`-`1 } over { 3 sqrt { n`-`2}`+`4 } }``][eqn: =lim _{n` -> `` INF } {{2 `-` {1} over {sqrt {n}}} over {3 sqrt {1`-` {2} over {n}} `+` {4} over {sqrt {n}}} ``=` {2} over {3}} ``]

4. [출제의도] 확률의 계산 이해하기

[eqn: P(A)>0], [eqn: P(B)>0]이므로 [eqn: P(A)+P(B) >= 2 sqrt {P(A) CDOT P(B)}# =2 sqrt {P(A SMALLINTER B)} = {1} over {2}]

5. [출제의도] 로그 방정식 계산하기

진수가 양이어야 하므로 [eqn: 2^x -3>0,``2^x+2 -7 >0]이다. 따라서 [eqn: 2^x >3]이다.

주어진 식에서 [eqn: log_4 LEFT ( 2^x -3 RIGHT )^2 =log_4 LEFT ( 2^x+2 -7 RIGHT )]이므로 [eqn: LEFT ( 2^x -3 RIGHT )^2 = 2^x+2 -7]이다. 이를 전개하여

정리하면 [eqn: 2^x =2] 또는 [eqn: 2^x =8]이다. 그런데 [eqn: 2^x >3]이므로 [eqn: 2^x =8]이고, 따라서 [eqn: x=3]이다.

6. [출제의도] 등차, 등비수열 이해하기

[eqn: a _{8} =2a _{4}]이므로 [eqn: a _{1} +7d=2(a _{1} +3d)]이다.

따라서 [eqn: a _{1} =d]이다.

그리고 [eqn: S `_{10} = {10(2d+9d)} over {2} =110]이므로 [eqn: d=2]이다.

그러므로 [eqn: a _{n} =2+(n-1)2=2n]이고 [eqn: a _{20} ```=`40]이다.

7. [출제의도] 역행렬의 존재성 계산하기

[eqn: A+kE````,``A`-`kE] 가 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: (`a+k`)`(d+k)`-`bc``=`0`` CDOTS ①]

[eqn: (`a-k`)`(d-k)`-`bc``=`0`` CDOTS ②``]

ㄱ. ① - ②에서   [eqn: a+d``=`0]  (참)

ㄴ. ① + ② 에서 [eqn: ad-`bc`=`-k ^{2} `` != `0`] (참)

ㄷ. [eqn: A ^{2} `=` pmatrix{a&````b#c&````d} ` pmatrix{a&````b#c&````d} `=` pmatrix{a ^{2} +bc&````ab+bd#ac+cd&````bc+d ^{2}}# = pmatrix{-ad+bc&````0#0&````-ad+bc}~ =`k ^{2} `E`]

이고 [eqn: A ^{4} ``=`k ^{4} ```E] 이므로 [eqn: A ^{4} ```=``A ^{2}] 에서 [eqn: k ^{4} ```=``k ^{2}] 이고 [eqn: k`` != 0] 이므로 [eqn: k``=`±``1]  이다. (거짓)

8. [출제의도] 확률 계산하기

[eqn: {4} over {{} _{5} C _{1} TIMES _{5} C _{1}} = {4} over {25}]

9. [출제의도] 점화식을 이용한 수열의 극한  문제해결하기

ㄱ. [eqn: a _{2} =3a _{1} +1=7``](참)

ㄴ. 준식의 양변에 [eqn: {1} over {(n+1)(n+2)} ``]을 곱하면

[eqn: {a _{n+1}} over {(n+1)(n+2)} = {a _{n}} over {n(n+1)} + {1} over {(n+1)(n+2)} ``]이므로, [eqn: b _{n+1} -b _{n} = {1} over {(n+1)(n+2)} ``]이다.

따라서 [eqn: b _{n`} & =b _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} {1} over {(k+1)(k+2)}# & =1+ sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( {1} over {k+1} - {1} over {k+2} RIGHT )# & =1+ LEFT ( {1} over {2} - {1} over {n+1} RIGHT ) = {3n+1} over {2(n+1)} ``]

이다. (거짓)

ㄷ.[eqn: a _{n} =n(n+1)b _{n} =n(n+1) CDOT {3n+1} over {2(n+1)}# = {n(3n+1)} over {2} ``]

이므로 [eqn: lim _{ n->inf} { a _{n`} over{n^2}} = 3over2 `](참)

10. [출제의도] 경우의 수 계산하기

한 자리수: 1개

두 자리수: 17개 ([eqn: TIMES 5]꼴 8개, [eqn: 5 TIMES]꼴 9개)

세 자리수: 225개 ([eqn: times times 5]꼴 72개, [eqn: TIMES 5 TIMES]꼴 72개, [eqn: 5times times]꼴 81개)

네 자리수: 2673개 ([eqn: timesTIMES TIMES 5]꼴 [eqn: 8 TIMES 9 ^{2}]개, [eqn: TIMES TIMES 5 TIMES]꼴 [eqn: 8 TIMES 9 ^{2}]개, [eqn: times5TIMES TIMES]꼴 [eqn: 8 TIMES 9 ^{2}]개, [eqn: 5timesTIMES TIMES]꼴 [eqn: 9 ^{3}]개)

이므로 구하는 답은 2916개이다.

11. [출제의도] 지수 로그함수 이해하기

그래프의 교점의 개수를 살펴보면 된다.

ㄱ.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

[eqn: y=-x+3]

[eqn: y=2 ^{x}]

ㄴ.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

[eqn: y=2 ^{x}]

[eqn: y=`-log _{2`} x]

ㄷ.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

[eqn: y=2 ^{x-1} -2]

[eqn: y=log _{2} `x]

12. [출제의도] 조건부 확률 계산하기

득점을 얻는 사건: [eqn: D], 3점을 얻는 사건을: [eqn: E] 라고 하면 위의 확률은 조건부 확률을 구하는 것이기 때문에 [eqn: P(E□D)= {P(E SMALLINTER D)} over {P(D)}]를 구하면 된다.

[eqn: D]의 사건은 [eqn: (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,2), CDOTS ,(3,3,3)]로 10가지이며

[eqn: E SMALLINTER D]의 사건은 [eqn: c-a+1=3]이 되려면 [eqn: c=a+2]가 되어야 하기 때문에

[eqn: (1,1,3),(1,2,3),(1,3,3)] 3가지가 된다 그러므로 [eqn: P(E``□D)= {P(E SMALLINTER D)} over {P(D)} = {{3} over {27}} over {{10} over {27}} = {3} over {10}]이 된다.

13. [출제의도] 수학적 귀납법 이해하기

<증명>

(1) [eqn: n=2`]일 때  (좌변)=(우변)=[eqn: 2]이므로 (*)이 성립한다

(2) [eqn: n`=`k]일 때 (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: LEFT ( 1+ {1} over {1} ` RIGHT ) ^{1} ` LEFT ( ``1+` {1} over {2} ` RIGHT ) ^{2} `` LEFT ( `1+ {1} over {3} RIGHT ) ^{3} `` CDOTS LEFT ( `1+` {1} over {k-1} ` RIGHT ) ^{k-1}# ``=` {k ^{k-1}} over {(k-1)!} `]이다.

양변에 [eqn: left(1+ {1} over {k} right) ^{k}]을 곱하면,

[eqn: LEFT ( 1+ {1} over {1} ` RIGHT ) ^{1} ` LEFT ( ``1+` {1} over {2} ` RIGHT ) ^{2} `` LEFT ( `1+ {1} over {3} RIGHT ) ^{3} `` CDOTS LEFT ( `1+` {1} over {k-1} ` RIGHT ) ^{k-1} `` LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT ) ^{k}# =` {k ^{k-1}} over {(k-1)!} ` LEFT ( `1+ {1} over {k} RIGHT ) ^{k}]

[eqn: = {k ^{k-1}} over {(k-1)!} ` {(1+k) ^{k}} over {k ^{k}}][eqn: = {(k+1) ^{k}} over {k`!}]이므로 [eqn: n=k+1]일 때도 (*)이 성립한다.

따라서 [eqn: n`` >= ``2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이 성립한다.

14. [출제의도] 이항정리를 이용한 계수 구하기

준식을 전개했을 때의 [eqn: x`,~x^2``]의 계수를 차례대로 [eqn: a_1`,~a_2``]라 하면

[eqn: a_1 =m`], [eqn: a_2 = { m(m-1)} over {2 }+n`]이 된다. 주어진 조건 [eqn: a_2 =12`]에서 [eqn: m(m`-`1)`+`2n`=`24``]

[eqn: m`,~n``]이 자연수이므로, [eqn: 0`<=`m(m`-`1)`<=`22`]에서 [eqn: 1`<=`m`<=`5``]이다.

따라서 [eqn: a_1`]의 최댓값은 [eqn: 5]이다.

15. [출제의도] 가수를 이용한 함수의 극한 계산하기

[eqn: y=- 1over2^n LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) +1`]에서 [eqn: y=1`]일 때 [eqn: x= 1over2]이고 [eqn: y=0`]일 때 [eqn: x= 2^n + 1over2]이므로 [eqn: y=- 1over2^n LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) +1`]는 두 점 [eqn: LEFT ( 1over2 , ``1 RIGHT )]과 [eqn: LEFT (2^n + 1 over2 ,``0 RIGHT )]을 지난다. 따라서 [eqn: y=log _{2`} x- LEFT [ log _{2} x RIGHT ]]과의 교점의 개수는 그림과 같이 [eqn: n+2`]개이다. 즉 [eqn: a _n`=n+2]

따라서 [eqn: lim _{n-> INF } {{a_n -4n +3}over{2a_n -3n+2}`][eqn: = 3]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 2 ^{2}]

[eqn: 1]

[eqn: O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=log _{2`} x- LEFT [ log _{2} x RIGHT ]]

[eqn: y=-2 ^{-n} LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) +1`]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: 2 ^{n}]

16. [출제의도] 무한급수의 응용 문제 구하기

[eqn: A_n`(x_n ,`2^x_n )]이고 [eqn: B_n LEFT ( x_n+1 , 3^x_n+1 RIGHT )]이므로 [eqn: 3^x_n+1 = 2^x_n]

따라서 [eqn: cases{x_1 =2 # x_n+1 = LEFT ( log_3 2 RIGHT )`x_n }]

그러므로 [eqn: sum _{ n=1} ^{ INF } x_n][eqn: = 2 over{1-log_3 2}][eqn: = {2log3} over {log3-log2}]

17. [출제의도] 여러 가지 수열 이해하기

[eqn: f(3,``n)]은 첫째항이 [eqn: f(3,``1)=1]이고 계차수열의 일반항이 [eqn: 4n]인 수열이다. [eqn: f(3,``10)]은 이 수열의 [eqn: 10]번째 항이다. 따라서 [eqn: f(3,``10) = 1+ sum _{ k=1} ^{9 } 4k = 181]이다.

18. [출제의도] 거듭제곱 실근의 개수 구하기

ㄱ. [eqn: x^3 =log ``_2 ``4 +3 = 5 `]이므로 실수해는 [eqn: root 3 of 5 `] 한 개뿐이다. 따라서 [eqn: N``_3 (4) =1]이다. (참)

ㄴ. [eqn: n`]이 짝수일 때 [eqn: N` _{n} (p) =1]이 되는 것은 [eqn: ``log `` _{2} ``p+3``=`0]일 때이다. 그러므로 [eqn: ``log `` _{2} ``p=-3] 에서 [eqn: p=` {1} over {8}]이다. (참)

ㄷ. [eqn: a``=`log _{2} ``` {1} over {16} ``+```3`=`-4``+`3```=```-1````]가 되어 음수이므로 [eqn: n`]이 짝수이면 [eqn: N` _{n} ``( {1} over {16} ``)]=0이 되고 [eqn: n`]이 홀수이면 [eqn: N` _{n} ``( {1} over {16} ``)]=1이 된다. 그러므로 [eqn: N` _{1} `` LEFT ( {1} over {16} RIGHT ) ``+N` _{2} `` LEFT ( {1} over {16} RIGHT ) ``+ CDOTS +N` _{30} `` LEFT ( {1} over {16} RIGHT ) =`15``]이다. (참)

19. [출제의도] 조건을 이용하여 경우의 수 구하기

AA', BB' 사이에 두 개 놓은 방법은 [eqn: ` _4 C_2``]가지.  남은 3개는 BC 사이, CD 사이, DE 사이에 한 개씩 놓게 되지만(조건2), BB', CC' 사이에서는 두 가지 놓는 방법이 있다.(조건3) CC', DD' 사이에는 3가지, DD', EE' 사이에서도 3가지(조건3) 이므로, 전부하면 [eqn: ` _4 C_2` TIMES`2` TIMES`3` TIMES`3`=`108``]가지.

20. [출제의도] 점화식을 이용한 확률 해결하기

ㄱ. [eqn: n+1]초 후 [eqn: `B```,`C]  가 켜질 확률은 같으므로 [eqn: p(n+1)``= {1} over {2} ``q``(n)``+ {1} over {2} `q`(n)``=``q`(n)``]이다. (참)

ㄴ. [eqn: p(n)`+``q``(n)``+`q`(n)``=`1`] 이므로 ㄱ에서 [eqn: 2`p(n+1)``+`p(n)``=``1] 이다. (참)

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: `p(n+1)`-` {1} over {3} `=`- {1} over {2} `left{`p(n)`-` {1} over {3} right}]이고, [eqn: `p(1)````=``0]이다.

따라서 [eqn: `p(n)`-` {1} over {3} `=``left{`p(1)`-` {1} over {3}right }left(- {1} over {2} `right) ^{n}]이므로   [eqn: p(n)``=`` {1} over {3} `left{ 1-``left(`- {1} over {2} ``right) ^{n-1} `right}]이다. (거짓)

21. [출제의도] 행렬을 이용한 연립방정식 문제 해결하기

[eqn: AB-A-2B=E]에서 [eqn: (A-2E)(B-E)=3E] 이므로 [eqn: (A-2E) ^{-1} `= {1} over {3} ` LEFT ( B-E RIGHT )]이다.

따라서 [eqn: pmatrix{`x``#y} `=(A-2E) ^{-1} ` pmatrix{`6``#9} = {1} over {3} ` LEFT ( B-E RIGHT ) ` pmatrix{`6``#9}# =B` pmatrix{`2``#3} `-E`` pmatrix{`2``#3} = pmatrix{`-4``#3} - pmatrix{`2``#3} `= pmatrix{`-6``#0}]

[eqn: THEREFORE ` alpha =-6``,`` beta =0] 이므로  [eqn: ` alpha `+`` beta =``-6]

22. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log ``_2 ``24 - log ``_4 ``9 = log ``_2 ``24 - log ``_2 ``3 = log ``_2 ``8 = 3]

23. [출제의도] 수열의 일반항 구하기

[eqn: S _{n} =(n+1) ^{2} `]이므로 [eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1} =(n+1) ^{2} -n ^{2} =2n+1] [eqn: (n >= 2)]이다. 따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{2k} = sum _{k=1} ^{10} (4k+1)=4 CDOT 55+10=230] 이다.

24. [출제의도] 행렬의 거듭제곱 계산하기

[eqn: x ^{2} `-x-12=0] 의 두 근은 [eqn: 4]와 [eqn: -3]이므로 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`4&`````````b``#`c&`````-3``}}] 이고, (이 때, [eqn: A= {pmatrix{`-3&`````````b``#``c&````````4``}}] 라 두어도 마찬가지다.) 또  [eqn: b]와 [eqn: c] 는 이차방정식 [eqn: x ^{2} `+x-13=0] 의 두 근이므로 [eqn: b+c=-1] , [eqn: bc=-13] 이다.

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{`4&`````````b``#`c&`````-3``}}][eqn: {pmatrix{`4&`````````b``#`c&`````-3``}} = {pmatrix{16+bc&`````````b#c&``````bc+9``}} `= {pmatrix{`3``&````b#c&````-4``}}]

[eqn: A ^{3} `=A ^{2} A= {pmatrix{`3``&```b#c``&-4``}}][eqn: {pmatrix{`4&`````````b``#`c&`````-3``}}][eqn: = {pmatrix{12+bc&````0#0&````````bc+12}} `= {pmatrix{`-1`&``0#```0&````-1``}} `=-E]

[eqn: A ^{4} `=-A] , [eqn: A ^{5} `=-A ^{2}] , [eqn: A ^{6} `=E`] , …

그러므로 [eqn: A+A ^{2} `+A ^{3} `+ CDOTS +A ^{10}] =[eqn: A ^{2} -E``=` {pmatrix{2&```b#```c`````&-5``}}] 이다. 따라서 모든 성분의 곱은

[eqn: 2cdot(-5)cdotbc=130] 이다.

25. [출제의도] 경우의 수 계산하기

[eqn: 3 ! times 2 = 12]

26. [출제의도] 상용로그의 가수 문제 해결하기

[eqn: log`x=2+ alpha] ([eqn: 0<= alpha <1])로 놓으면,

[eqn: log ``rootx = 1 + alpha over 2] 이므로 [eqn: log rootx]의 가수는 [eqn: alpha over 2]이고,

[eqn: log`` root {3} of {x} = {2} over {3} + {alpha } over {3}]이고 [eqn: 0< {2} over {3} + {alpha } over {3} <1]이므로 [eqn: log root3 of x]의 가수는 [eqn: {2} over {3} + {alpha } over {3}]이다.

[eqn: alpha over 2 +left({2} over {3} + {alpha } over {3}right)= 1]이므로 [eqn: alpha= 2over5`]이다.

따라서 [eqn: x=10 ^ {12over5}]이므로 [eqn: p+q=17]이다.

27. [출제의도] 확률 문제 해결하기

[eqn: ABA]의 상태에서 [eqn: A]가 우승할 확률을 [eqn: k]라 하면 [eqn: A]가 이기면 [eqn: A]가 우승이고

[eqn: BA]순으로 이기면 최초 상태로 돌아가므로 [eqn: k= {1} over {2} `+`left( {1} over {2} right) ^{2} `k]가 된다.

여기서 [eqn: k]를 구하면 [eqn: k``=` {2} over {3}]가 되어 [eqn: p=3,``q=2] 즉, [eqn: a+b =5]이다.

28. [출제의도] 수열의 극한 계산하기

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 일반항을 [eqn: a _{n} ```=``a _{1} ```+`(n`-1)d``]이라 하면 [eqn: a _{2} `` ^{2} ```=``a _{1} `a _{4} ```]이므로 [eqn: a _{1} ```=d]이다. 따라서 [eqn: a _{n} `=`nd`]이다.

또, 수열 [eqn: d``,``4d``,`b _{1} ``d``,`b _{2} ``d``,`` CDOTS] 가 등비수열을 이루고 [eqn: ``d``` != ``0``]이므로 [eqn: 1``,``4``,`b _{1} ````,`b _{2} ````,`` CDOTS]가 등비수열을 이룬다. 따라서 [eqn: b _{1} ``=``16``,``b _{2} ```=`64`,`` CDOTS] 이므로 [eqn: b _{n} ``=```4 ^{n+1}]이다.

그러므로 [eqn: lim _{n` -> INF } {{3b _{n+1} -2 ^{n}} over {b _{n} +3 ^{n}}} `= lim _{n` -> INF } {{3 CDOT 4 ^{n+2} -2 ^{n}} over {4 ^{n+1} +3 ^{n}}} =12]

29. [출제의도] 도형을 이용한 무한급수 계산하기

(풀이) [eqn: bar{A _{n} B _{n} `} =a _{n} ,~O _{n} `]의 반지름을 [eqn: r _{n} `]이라 하면 [eqn: bar{B _{n} C} =a _{n} CDOT cotC= {12} over {5} a _{n} `]이고  [eqn: bar{A _{n} C} =a _{n} CDOT secC`= {13} over {5} a _{n} `] 이다.

[eqn: △A _{n} B _{n} C= {1} over {2} ( bar{A _{n} B _{n}} + bar{B _{n} C} + bar{A _{n} C} )r _{n} `]

[eqn: RARROW ` {1} over {2} CDOT a _{n} CDOT {12} over {5} a _{n} = {1} over {2} LEFT ( a _{n} + {12} over {5} a _{n} + {13} over {5} a _{n} RIGHT ) r _{n} `]

[eqn: RARROW ` {12} over {5} a _{n} ` ^{2} =6a _{n} CDOT r _{n} `]

[eqn: THEREFORE ~a _{n} = {5} over {2} r _{n} `] ---- ①

①과 [eqn: a _{1} =5`]에 의해서 [eqn: r _{1} =2`] 이므로 [eqn: S_1 = 4 pi] 이고

[eqn: r _{n} ``:``r _{n+1} = bar{B _{n} C} ``:`` bar{B _{n+1} C} `] [eqn: = {12} over {5} a _{n} ``:`` LEFT ( {12} over {5} a _{n} -2r _{n} RIGHT ) `]

[eqn: = LEFT ( {12} over {5} CDOT {5} over {2} r _{n} RIGHT ) ``:`` LEFT ( {12} over {5} CDOT {5} over {2} r _{n} -2r _{n} RIGHT ) `][eqn: =6r _{n} ``:``4r _{n} =3``:``2`]

[eqn: THEREFORE~ r _{n+1} = {2} over {3} r _{n} `] 이므로[eqn: `r _{n} =2 CDOT LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n-1} `] 이다.

따라서 [eqn: O _{n} `]의 넓이

[eqn: S _{n} = pi r _{=4 pi CDOT LEFT { LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT } ^{2} =4 pi CDOT LEFT ( {4} over {9} RIGHT ) ^{n-1} `n} ^{2}]

[eqn: S= sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {4 pi } over {1- {4} over {9}} = {36 pi } over {5} `] 이다.

30. [출제의도] 순서도 문제 해결하기

[eqn: a_0 =7]

[eqn: a_n+1 = cases{a_n +1 ~~(n+1: ``홀수)# a_n over 2 ~~~````~(n+1: ``짝수)}]

[eqn: a_1 = 7+1=8], [eqn: a_2 = 8 over 2 = 4], [eqn: a_3 = 4+1=5], [eqn: a_4 = 5 over 2], [eqn: a_5 = 5 over 2 +1= 7 over 2], [eqn: a_6 = 7 over 4], [eqn: a_7 = 11 over 4], [eqn: cdots]

[eqn: b_n = a_2n-1]이라 하면 [eqn: a_31 =b_16]이고,

[eqn: b_n = {4+ sum _{ k=1} ^{n-1 }2^k-1 }over{1over2 cdot 2^n-1}]이다. 따라서 [eqn: a_31 =b_16 = {2^15 +3 }over 2^14]이다.

그러므로 [eqn: a`=`2+` {3} over {2 ^{14}}] 이다. 즉, [eqn: p``=`14]이다.

【 나형 】

정 답

1	④	2	⑤	3	⑤	4	①	5	⑤
6	②	7	②	8	①	9	④	10	②
11	②	12	③	13	③	14	③	15	④
16	④	17	⑤	18	⑤	19	①	20	①
21	③	22	[eqn: 3]	23	[eqn: 230]	24	[eqn: 66]	25	[eqn: 20]
26	[eqn: 17]	27	[eqn: 243]	28	[eqn: 12]	29	[eqn: 41]	30	[eqn: 14]

해 설

1. [출제의도] 가형 1번과 동일

2. [출제의도] 가형 2번과 동일

3. [출제의도] 가형 3번과 동일

4. [출제의도] 등비수열 계산하기

첫째항 [eqn: a], 공비 [eqn: r]라 하면

[eqn: ar ^{2} =4]이므로 [eqn: P _{5} ``=`a`(ar)`(ar ^{2} `)(ar ^{3} )(ar ^{4} )``=`(ar ^{2} ) ^{5} `=`(2 ^{2} `) ^{5} ``=2 ^{10}]

5. [출제의도] 로그의 정의 이해하기

ⅰ) [eqn: k=0]일 때: [eqn: log _{2} 4=2]이므로 로그 값이 정의된다.

ⅱ) [eqn: k != 0]일 때: [eqn: -kx ^{2} -2kx+4>0]이어야 하므로, [eqn: -k>0]이고 [eqn: D over 4 =k ^{2} +4k<0] 이어야 한다. 그러므로 [eqn: -4<k<0]

ⅰ)과 ⅱ)에 의해서 [eqn: k=0,`-1,`-2,`-3]이다. 즉, 로그 값이 정의되도록 하는 정수는 [eqn: 4]개.

6. [출제의도] 가형6번과 동일

7. [출제의도] 가형7번과 동일

8. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: A+B=3E], [eqn: AB=BA=O]이므로 [eqn: A ^{2} ```+`AB````+``B ^{2} `=``(A+B)^2 =(3E)^2 =9E] =[eqn: pmatrix{`9`&`0`#`0`&`9`}]

9. [출제의도] 가형 9번과 동일

10. [출제의도] 수열의 극한 계산하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =2]이므로 [eqn: lim_n->inf a_n =0]이다. 따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {{6n ^{2} -4a _{n} +2} over {3n ^{2} +a _{n} +1}} `=2]

11. [출제의도] 행렬의 연산 추론하기

[eqn: A ^{2} `+A-2E=O] 의 오른쪽에 행렬 [eqn: B] 를 곱하면 [eqn: A ^{2} B`+AB-2B=O] . [eqn: AB=3E] 이므로 [eqn: 3A`+3E-2B=O] 이다. 이 식의 오른쪽에 다시 [eqn: B]를 곱하면

[eqn: 3AB`+3B-2B ^{`2} =O] 이다. 따라서 [eqn: 9E`+3B-2B ^{`2} =O]. [eqn: THEREFORE `B` ^{`2} `= {1} over {2} ` LEFT ( 3B+9E RIGHT )] ,

그러므로 [eqn: p= {3} over {2} `] , [eqn: q= {9} over {2}]  따라서 [eqn: p+q=6]

12. [출제의도] 행렬의 정의 이해하기

[eqn: alpha =1-2i]일 때, [eqn: alpha bar{alpha } +2 alpha =5+2(1-2i)=7-4i]이므로 이를 나타내는 행렬은 [eqn: pmatrix{`7`&``-4#4`&````````7}]이다.

13. [출제의도] 가형 13번과 동일

14. [출제의도] 여러 가지 수열 계산하기

[eqn: n=1``]을 대입하면 [eqn: a _{2`} = {1} over {6} ``], [eqn: n=2``]를 대입하면 [eqn: a _{3`} = {1} over {12} ``]이다. 이 때, [eqn: a _{1} = {1} over {1 TIMES 2} ``], [eqn: a _{2} = {1} over {2 TIMES 3} ``], [eqn: a _{3} = {1} over {3 TIMES 4} ``], …에서 [eqn: a _{n} = {1} over {n (n+1)} ``]으로 추정하여 수학적 귀납법으로 증명한다. 따라서 [eqn: a _{2009} ```=` {1} over {2009 times 2010}] 이다.

(다른 풀이)

[eqn: a _{n} +a _{n+1} = {1} over {n} - {1} over {n+2} `]이므로

[eqn: S _{2009`} =a _{1} +(a _{2} +a _{3} )+ CDOTS +(a _{2008} +a _{2009} )]

[eqn: = {1} over {2} + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {4} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {2008} - {1} over {2009} RIGHT ) = 1 - 1 over 2010]

[eqn: S _{2008`} =(a _{1} +a _{2} )+(a _{3} +a _{4} )+ CDOTS +(a _{2007} +a _{2008} )]

[eqn: = LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {5} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {2007} - {1} over {2009} RIGHT ) =1- {1} over {2009}]

[eqn: THEREFORE a _{2009} =S _{2009} -S _{2008} = {1} over {2009 CDOT 2010}]

15. [출제의도] 역행렬의 존재성 문제해결

역행렬이 존재하지 않으므로 [eqn: LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} `+y LEFT ( y+6 RIGHT ) =0] 이다. 이것을 정리하면 [eqn: LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} `+ LEFT ( y+3 RIGHT ) ^{2} =3 ^{2}] 으로 중심이 [eqn: (4`,`-3)]이고 반지름이 [eqn: 3]인 원이다. [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2}] 이라 두면 이것은 원점을 중심으로 하고 반지름이 [eqn: r]인 원이므로 [eqn: x ^{2} +y ^{2}]이 최소가 되는 경우는 아래그림과 같이 두 원이 외접하는 경우이다.

[eqn: x]

O

4

-3

•

따라서 [eqn: r]의 최솟값은 [eqn: 5-3=2] 이므로 [eqn: x ^{2} +y ^{2}]의 최솟값은 [eqn: 4]가 된다.

16. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{9} `a=`log _{``12} ``b`=log _{16} ``(`a+b)=`t] 라 하면

[eqn: a`=`9 ^{t} ````,```b``=`12 ^{t} ````,```a+b```=`16 ^{t}] 이다.  따라서

[eqn: {a+b} over {a} ```=` {16 ^{t}} over {9 ^{t}} ``=`(` {4 ^{t}} over {3 ^{t}} ``) ^{2} ```=``(`` {4 ^{t} `` TIMES 3 ^{t}} over {3 ^{t} ` TIMES 3 ^{t}} ``) ^{2} ```# =`(`` {12 ^{t}} over {9 ^{t}} `) ^{2``} ```=`(` {b} over {a} ``) ^{2}]

이므로

[eqn: {b} over {a} ``=``x] 라 하면  [eqn: `x ^{2} ```=``x+1```` RARROW ```x ^{2} ```-`x```-`1`=`0]  에서

[eqn: x] 가 양수 이므로 [eqn: `x=` {1+ sqrt {5}} over {2}] 이다.

(다른 풀이)

[eqn: log _{9} `a=`log _{``12} ``b`=log _{16} ``(`a+b)=`t] 라 하면 [eqn: a=9^t =3^2t], [eqn: b= 3^t cdot4^t], [eqn: a+b=4^2t]이므로 [eqn: b^2 = 3^ 2t cdot 4^2t =a(a+b) cdots](*)이다.

(*)의 양변을 [eqn: a^2]으로 나누어 정리하면 [eqn: left( b over a right) ^2 - left( b over a right) -1=0]이므로 [eqn: b over a = {1+root5 }over 2]이다.

17. [출제의도] 가형 17번과 동일

18. [출제의도] 가형 18번과 동일

19. [출제의도] 여러 가지 수열 계산하기

[eqn: LEFT { log`` _{3} `` LEFT ( a _{n} -1` RIGHT ) RIGHT } `]이 등차수열이면 [eqn: a _{n``} `-1]은 등비수열이다. [eqn: b_n =a _{n``} `-1]이라 하면 [eqn: b_1 =3], [eqn: b_2 =9]이므로 [eqn: b_n = 3^ n]이다. 따라서 [eqn: a_n = 3^ n +1]이다.

그러므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n+1} -a _{n}} = sum _{n=1} ^{INF } {1} over {2 CDOT 3 ^{n}} = {1} over {4}]

20. [출제의도] 행렬의 거듭제곱 계산하기

[eqn: A ^{2} = LEFT ( A ^{8} RIGHT ) ^{2} LEFT ( A ^{14} RIGHT ) ^{-1} = LEFT ( A ^{8} RIGHT ) ^{2} LEFT ( A ^{8} RIGHT ) ^{-1} =A ^{8} = pmatrix{-2&````3``#-1&````1}][eqn: A= pmatrix{a&```b``#c&```2``}]이므로 [eqn: A ^{2} `= pmatrix{`a ^{2} `+bc````&`````(a+2)b``#(a+2)c&``````bc+4} `][eqn: = {pmatrix{-2&````3``#-1&````1}}] 이다.

즉, [eqn: a ^{2} +bc=-2] , [eqn: (a+2)b=3] , [eqn: (a+2)c=-1] , [eqn: bc+4`=1]이다.

이를 연립하여 풀면 [eqn: a=-1], [eqn: b=3], [eqn: c=-1]이다.

그러므로 [eqn: a+b+c=1]이다.

21. [출제의도] 연립방정식을 활용한 행렬 문제해결하기

주어진 연립방정식을 정리하면 [eqn: pmatrix{``t&``````n-3```#1&``t-n} ` pmatrix{`x``#y} `= pmatrix{``0``#`0}] 이다. 이 식이 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 한 쌍의 해만 가지므로 [eqn: t(t-n)-(n-3) != 0] 이다. 따라서 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: t ^{2} `-nt-(n-3) != 0] 이므로 판별식 [eqn: n ^{2} `+4(n-3)`<0] 이다.

이것을 풀면 [eqn: (n+6)(n-2)<0] 이고 [eqn: -6<n<2]  그런데 [eqn: n] 이 정수이므로

[eqn: n=-5`,`-4`,`-3`,`-2`,`-1`,`0`,`1] 즉 7개

22. [출제의도] 가형 22번과 동일

23. [출제의도] 가형 23번과 동일

24. [출제의도] 상용로그 지표 문제 해결하기

[eqn: n`]이 두자리 자연수이므로 [eqn: LEFT [ log`n RIGHT ] =1]이고

[eqn: LEFT [ log`3n RIGHT ] =2]이다. [eqn: 1<=log`n<2]에서 [eqn: 10 <= n<100]이고,

[eqn: 2 <= log`3n<3]에서 [eqn: 100 <= 3n<1000] 즉, [eqn: {100} over {3} <= n< {1000} over {3}]

위의 식에서 [eqn: 34 <= n<100]이므로 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 34,`35,` CDOTS ,`99]의 [eqn: 66]개

따라서 구하고자 하는 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 66]개

25. [출제의도] 등차수열과 등비수열 계산하기

[eqn: cases{&2a=ab+b#&b ^{2} =a ^{2} b``}] 을 연립하여 풀면

[eqn: a `=`-2``,`` b ``=`4]이므로 [eqn: a ^{2} + b ^{2} =20] 이다.

26. [출제의도] 가형 26번과 동일

27. [출제의도] 등비수열 응용 문제해결하기

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r``]([eqn: r>1])이라 하면, [eqn: a _{n`} != 0``]이므로 [eqn: LEFT { 1 over a _{n} RIGHT }`]은 공비가 [eqn: 1 over r``]인 등비수열이다. [eqn: r>1], [eqn: a _{1`} >0]이므로 [eqn: a _{1`} <a _{2} <a _{3}]이고, [eqn: {1} over {r} <1``]이므로 [eqn: {1} over {a _{1}} > {1} over {a _{2}} > {1} over {a _{3}}]이다.

따라서 [eqn: a _{1`} = {1} over {a _{3}} ,~a _{2} = {1} over {a _{2}} ,~a _{3} = {1} over {a _{1}}``]에서 [eqn: left(a _{2}right) ^{2} =1``]이므로 [eqn: a _{2`} =1``]이다. (나)를 이용하면

[eqn: a _{1`} +a _{2} +a _{3} =`1overr +1 +r= {13} over {3} ``]이므로 [eqn: r`+` {1} over {r} = {10} over {3}``]이다.

따라서 [eqn: r=3]이므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 1 over3]이고 공비가 [eqn: 3]인 등비수열이다. 그러므로 [eqn: a_7 =243]이다.

28. [출제의도] 가형 28번과 동일

29. [출제의도] 가형 29번과 동일

30. [출제의도] 가형 30번과 동일