• 수학 영역 •

수학 가형 정답

1	②	2	③	3	①	4	⑤	5	③
6	③	7	⑤	8	②	9	①	10	②
11	①	12	⑤	13	④	14	①	15	④
16	③	17	②	18	⑤	19	③	20	④
21	④	22	[eqn: 40]	23	[eqn: 32]	24	[eqn: 127]	25	[eqn: 100]
26	[eqn: 20]	27	[eqn: 49]	28	[eqn: 51]	29	[eqn: 64]	30	[eqn: 25]

해 설

1. [출제의도] 지수함수의 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{2x} -1} over {4x}}][eqn: =lim _{x -> 0} left({{e ^{2x} -1} over {2x} times {2x} over {4x}}right)]

[eqn: =lim _{x -> 0} {{e^2x -1} over 2x times lim _{x -> 0} 2x over 4x]

[eqn: =1 times 2 over4]

[eqn: = 1 over 2]

2. [출제의도] 삼각함수의 값을 계산한다.

[eqn: theta = 3 over 4 pi]는 제[eqn: 2]사분면의 각이므로

[eqn: sin {3} over {4} pi =sin LEFT ( pi - {pi} over {4} RIGHT )][eqn: =sin {pi} over {4} = {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: cos {3} over {4} pi =cos LEFT ( pi - {pi} over {4} RIGHT )][eqn: =`-cos {pi} over {4} =`- {sqrt {2}} over {2}]

이므로

[eqn: sin 3 over 4 pi + cos 3 over 4 pi =][eqn: {sqrt {2}} over {2} + LEFT ( - {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) =0]

3. [출제의도] 몫의 미분법을 이용하여 미분계수의 값을 계산한다.

[eqn: f` ' (x ) ={ e^x cdot x -e^x cdot1} over x^2 =][eqn: {(x-1) e^x } over x^2]

이므로

[eqn: f` prime (2) = {(2-1) e^2 } over 2^2 =][eqn: e^2 over 4]

4. [출제의도] 적분법을 이해하여 정적분의 값을 구한다.

[eqn: int _{ 1} ^{2 } 3x+2 over x^2 dx = int_1 ^2 left( 3 overx + 2overx^2 right)dx]

[eqn: =LEFT [ 3 lnx- 2overx RIGHT ] _1 ^2][eqn: = (3 ln2 -1) -(0-2)=3 ln2 +1]

5. [출제의도] 함수의 평행이동을 이해하여 삼각함수의 최댓값과 최솟값을 구한다.

함수 [eqn: f(x)= a sinx +1]의 그래프는

함수 [eqn: y= a sinx]의 그래프를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이다.

조건 [eqn: a>0`]에서

[eqn: y= a sinx]가 최대일 때 [eqn: f(x)]는 최대이고,

[eqn: y= a sinx]가 최소일 때 [eqn: f(x)]는 최소이므로

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: sinx=1`]일 때 최댓값 [eqn: M=a+1],

[eqn: sinx=-1`]일 때 최솟값 [eqn: m=`-a+1]을 갖는다.

따라서 [eqn: M-m=][eqn: (a+1) -(-a+1)=][eqn: 2a]

[eqn: 2a=6]이므로 [eqn: a=3`]이다.

6. [출제의도] 지수함수의 그래프와 로그함수의 그래프를 이해하여 교점의 개수를 구한다.

[eqn: y= e^-x - n-1 overe], [eqn: y= LEFT | `ln `x `RIGHT |`]의 교점의 개수는

ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: y=e^-x]과 [eqn: y= | `lnx`|`]의 교점의 개수가 [eqn: 2`]이므로 [eqn: f(1) =2]

ⅱ) [eqn: n=2`]일 때, [eqn: y=e^-x - 1 overe]과 [eqn: y= | `lnx`|`]의 교점이 [eqn: (1,``0)`]뿐이므로 [eqn: f(2)=1]

따라서 [eqn: f(1)+f(2)=2+1=3]

7. [출제의도] 연속의 정의를 이해하고 도함수가 주어진 함수의 부정적분을 구한다.

ⅰ) [eqn: x le1]일 때, [eqn: f`'(x)=e ^{x-1}`]이므로

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {e ^{x-1}} dx= e^x-1 +C _{1}] ([eqn: C _{1}]은 적분상수)

ⅱ) [eqn: x>1]일 때 [eqn: f`` prime (x)= {1} over {x}]이므로

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {{1} over {x} dx=lnx+C _{2}}] ([eqn: C _{2}]는 적분상수)

[eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 1-} {f(x)= lim _{x -> 1+} {f(x)}}]

[eqn: lim _{x -> 1-} {f(x)= lim _{x -> 1-} {(e ^{x-1} +C _{1} )=1+C _{1}}}]

[eqn: lim _{x -> 1+} {f(x)= lim _{x -> 1+} {(lnx+C _{2} )=C _{2}}}]

따라서 [eqn: 1+C _{1} =C _{2}]

[eqn: f(-1)=e+ 1 over {e ^{2}}]에서 [eqn: 1 over e^2 +C_1 =e+ 1overe^2 `]이므로

[eqn: C_1 =e], [eqn: C_2 =e+1]

따라서 [eqn: f(e)=lne+(e+1)=e+2]

8. [출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 미지수를 구하고, 함숫값을 구한다.

[eqn: f(x) = sinx + a cos x`]에서

[eqn: f left( pi over 2 right) = sin pi over2 + a cos pi over2 =1`]이므로

[eqn: lim _{x -> {pi } over {2}} {} {f(x)-1} over {x- {pi } over {2}} = lim _{x -> {pi } over {2}} {} {f(x)-f` LEFT ( {pi } over {2} RIGHT )} over {x- {pi } over {2}}][eqn: =f` prime left( {pi } over {2} right)`]

[eqn: f`'(x) = cosx - a sinx `]에서

[eqn: f`'left( pi over2 right) = cos pi over2 - a sin pi over2 `][eqn: = `-a =3``]

따라서 [eqn: a=`-3`]이므로 [eqn: f(x) = sin x - 3 cosx`]

[eqn: f left( pi over 4 right) = sin pi over4 - 3 cos pi over4]

[eqn: = sqrt2 over2 - 3 times sqrt2 over2 = `- sqrt2`]

9. [출제의도] 도함수의 성질을 이해하여 문제를 해결한다.

[eqn: f` prime (x)=(2x+2a)e ^{x} +(x ^{2} +2ax+11)e ^{x}]
[eqn: = LEFT { x ^{2} +2(a+1)x+2a+11 RIGHT } e ^{x}]

실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: f(x)`]가 증가하므로

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: f` prime (x) =][eqn: LEFT { x ^{2} +2(a+1)x+2a+11 RIGHT } e ^{x} `geq0]

[eqn: e ^{x} >0`]이므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: x ^{2} +2(a+1)x+2a+11 GEQ 0`]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +2(a+1)x+2a+11=0`]의

판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D over4 `=(a+1) ^{2} -(2a+11)][eqn: =a ^{2} -10leq0]

따라서 구하는 자연수 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 3`]이다.

10. [출제의도] 이항정리를 이용하여 로그부등식의 해를 구한다.

[eqn: f(n)= _{n} {\C} _{0} + _{n} {\C} _{1} LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{1} + _{n} {\C} _{2} LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{2} + `CDOTS` + _{n} {\C} _{n} LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{n}]

[eqn: = LEFT ( 1+ {1} over {9} RIGHT ) ^{n} = LEFT ( {10} over {9} RIGHT ) ^{n}]

[eqn: log`f(n)=log `LEFT ( {10} over {9} RIGHT ) ^{n}]

[eqn: =n(log`10-log`9)]

[eqn: =n(1-2log`3)]

[eqn: =n(1-2 TIMES 0.4771)]

[eqn: =n(1-0.9542)]

[eqn: =0.0458n][eqn: `>1]

[eqn: n> {1} over {0.0458} =21.8 cdots]

따라서 구하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 22]이다.

11. [출제의도] 치환적분법을 활용하여 삼각함수의 정적분의 값을 구한다.

[eqn: rm {bar{OP}} it =r`]라 하면

[eqn: bar\OH = itr cos`theta], [eqn: bar \PH =it r sin`theta`]이므로

[eqn: f(theta)= {{bar{rm OH it}}} over {{bar{rm PH it}}}][eqn: = {r cos` theta } over {r sin` theta } = {cos` theta } over {sin` theta }`]

[eqn: int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {3}} {f( theta )d` theta } `= int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {3}} {{cos`theta} over {sin`theta}} d`theta]에서

[eqn: sin theta=t]로 놓으면 [eqn: dt over {d theta}=costheta`]

[eqn: theta = {pi} over {6}]일 때 [eqn: t= {1} over {2}], [eqn: theta = {pi } over {3}]일 때 [eqn: t= {sqrt {3}} over {2}]이므로

[eqn: int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {3}} {{cos` theta } over {sin` theta } d` theta } = int _{{1} over {2}} ^{{sqrt {3}} over {2}} {{1} over {t} dt]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} `lnt pile{`#`} RIGHT ] _{{1} over {2}} ^{{sqrt {3}} over {2}} `]

[eqn: =ln {sqrt {3}} over {2} -ln {1} over {2}]

[eqn: =ln sqrt {3} = {1} over {2} `ln3]

12. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 극한값을 구한다.

함수 [eqn: f(x)= {cases{`e ^{x} ~~~~~~~&(x LEQ 0,```x GEQ 2)#`ln(x+1)&(0<x<2)}} `]

와 함수 [eqn: g(x)`]에 대하여

ⅰ) [eqn: g(x)=t`]로 놓으면

[eqn: x` rarrow` 2+`]일 때 [eqn: g(x) `-> `2+`]이므로

[eqn: lim _{x-> 2+} {f(g(x))= lim _{t-> 2+} {f(t)} =e ^{2}}`]

ⅱ) [eqn: f(x)=s`]로 놓으면

[eqn: x` -> `0+`]일 때 [eqn: f(x) `->` 0+`]이므로

[eqn: lim _{x-> 0+} {g(f(x))} = lim _{s-> 0+} {g(s)} =2`]

따라서

[eqn: lim _{x -> 2+} {f(g(x))+ lim _{x -> 0+} {g(f(x))}][eqn: =e ^{2}} +2]

13. [출제의도] 정적분을 이용하여 두 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구한다.

두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]와 직선 [eqn: rm AB`]로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT { 2 ^{x} - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} RIGHT } dx][eqn: `][eqn: = LEFT [ {2 ^{x}} over {ln2`} - {LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}} over {ln LEFT ( {1} over {2} RIGHT )} RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: = LEFT { {2} over {ln2`} - {{1} over {2}} over {ln LEFT ( {1} over {2} RIGHT )} RIGHT } - LEFT { {1} over {ln2`} - {1} over {ln LEFT ( {1} over {2} RIGHT )} RIGHT }]

[eqn: = {5} over {2ln2`} - {2} over {ln2`}][eqn: = {1} over {2ln2`}]

14. [출제의도] 선분의 길이를 이용하여 지수함수의 극한값을 구한다.

[eqn: rm `A( it t,``2 ^{t} )], [eqn: LEFT . rm `B` LEFT ( it t,`` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{t} RIGHT ) RIGHT .], [eqn: rm `H( it 0,``2 ^{t} )`]에서

[eqn: bar\AH = it t`]이고, [eqn: rm bar AB = it2^t - LEFT ( 1 over2 RIGHT )^t]이므로

[eqn: lim _{t` -> `0+} {`rm bar AB}over {rmbarAH} = lim _{t` -> `0+} {2^t - LEFT ( 1 over2 RIGHT )^t } overt`]

[eqn: = lim _{t` -> `0+} LEFT { {2^t -1} overt - { LEFT ( 1 over2 RIGHT )^t -1 }overt} RIGHT }]

[eqn: = ln2 - ln {1 over2} = 2 ln2`]

[참고]

[eqn: a>0`]일 때, [eqn: a^t -1 =s`]로 놓으면

[eqn: a^t = s+1`]이므로 [eqn: t= {ln(s+1)}over{lna}`] [eqn: (a!=1)]

[eqn: t -> `0`]일 때, [eqn: s -> `0`]이므로

[eqn: lim _{t -> 0} {} {a ^{t} -1} over {t} = lim _{s -> 0} {{s`lna} over {ln(s+1)}}]

[eqn: = lim _{s -> 0} {{lna} over {{ln(s+1)} over {s}}} =lna]

15. [출제의도] 순열과 조합을 이용하여 경우의 수를 구한다.

정사각형 모양의 노란색 시트지 [eqn: 2]장을 창문 네 개 중 두 개를 택하여 붙이는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 4]개에서 [eqn: 2]개를 택하는 조합의 수와 같으므로 [eqn: {} _{4} \C _{2} `]이다.

나머지 창문 [eqn: 2]개를 직각이등변삼각형 모양으로 각각 나누는 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 2]이고, 나누어진 네 개의 영역에 직각이등변삼각형 모양의 시트지 [eqn: 4]장을 붙이는 경우의 수는 [eqn: 4!]이다.

따라서 곱의 법칙에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: {} _{4} \C _{2} TIMES 2 TIMES 2 TIMES 4!`][eqn: = {4 TIMES 3} over {2 TIMES 1} TIMES 2 TIMES 2 TIMES 4 TIMES 3 TIMES 2 TIMES 1`]

[eqn: =576`]

16. [출제의도] 극한으로 표현된 함수의 대칭성을 이용하여 정적분의 값을 구한다.

ⅰ) [eqn: x>`1] 또는 [eqn: x< -1]일 때

[eqn: lim _{n` -> INF } {` {1} over {x ^{2n}}}=0]이므로

[eqn: f(x)=` lim _{n -> INF } {} {x ^{2n} +cos`2 pi x} over {x ^{2n} +1}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {1+ {1} over {x ^{2n}} TIMES cos`2 pi `x} over {1+ {1} over {x ^{2n}}}][eqn: =1]

ⅱ) [eqn: x=`1]일 때

[eqn: f(1)=` lim _{n -> INF } {} {1 ^{2n} +cos`2 pi } over {1 ^{2n} +1}][eqn: =1]

ⅲ) [eqn: x=`-1]일 때

[eqn: f(-1)=` lim _{n -> INF } {} {(-1) ^{2n} +cos`2 pi (-1)} over {(-1) ^{2n} +1}][eqn: =1]

ⅳ) [eqn: -1<x<1]일 때

[eqn: lim _{n`-> INF } {`x ^{2n}} `=0]이므로

[eqn: f(x)=` lim _{n -> INF } {} {x ^{2n} +cos`2 pi x} over {x ^{2n} +1}][eqn: =cos2 pi x]

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)로부터 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)=cases{1~~~&(|`x`|ge1)#cos 2pix~&(|`x`|<1)]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 아래 그림과 같다.

[eqn: g(x)= int _{-x} ^{2} {f(t)dt`+ int _{2} ^{x} {t`f(t)dt`}}]에서

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이고,

함수 [eqn: y=x`f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

[eqn: g(-2)= int _{2} ^{2} {f(t)dt`+ int _{2} ^{-2} {t`f(t)dt`}}]

[eqn: =0+ int _{2} ^{-2`} {tf(t)dt}]

[eqn: = int _{2} ^{-2`} {tf(t)dt}][eqn: =0]

[eqn: g(2)= int _{-2} ^{2} {f(t)dt`+ int _{2} ^{2} {t`f(t)dt`}}]

[eqn: = int _{-2} ^{2} {f(t)dt`}][eqn: +`0]

[eqn: = 2 int _{0} ^{2} {f(t)dt`}]

[eqn: =2 left{ int _{0} ^{1} f(t)dt+ int _{1} ^{2} {} f(t)dt right}]

[eqn: =2 LEFT [ {1} over {2 pi } `sin2 pi t RIGHT ] _{0} ^{1} +2 LEFT [pile{`#`} t pile{`#`} RIGHT ] _{1} ^{2}]

[eqn: =0 +2 =2`]

따라서 [eqn: g(-2)+g(2)=0+2=2]

[참고]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: y]축에 대하여 대칭이면

[eqn: f(-x)=f(x)]이고,

[eqn: g(x)=x`f(x)]라 하면

[eqn: g(-x)=(-x)f(-x)]

[eqn: =`-xf(x)]

[eqn: =`-g(x)]이므로

함수 [eqn: y=xf(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

17. [출제의도] 합의 법칙과 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구한다.

선택한 카드에 적혀 있는 [eqn: 5`]개의 수의 합이 짝수이고 [eqn: 1`]부터 [eqn: 8`]까지의 모든 자연수의 합이 [eqn: 36`]으로 짝수이다. 여기서 선택한 카드에 적혀 있는 [eqn: 5`]개의 수의 합이 짝수인 경우는 선택되지 않는 카드 [eqn: 3`]장에 적혀 있는 세 수의 합이 짝수인 경우와 같다.

세 수의 합이 짝수가 되는 경우는 세 수가 모두 짝수이거나, 세 수 중 짝수 [eqn: 1`]개, 홀수 [eqn: 2`]개인 경우이다.

ⅰ) 세 수가 모두 짝수인 경우의 수는

[eqn: {} _{4} rm C _{3} =4]

ⅱ) 세 수 중 짝수 [eqn: 1`]개, 홀수 [eqn: 2`]개인 경우의 수는

[eqn: {} _{4} rm C _{1} TIMES _{4} rm C _{2} =4times6=24]

ⅰ), ⅱ)로부터 구하는 경우의 수는

[eqn: 4+24=28]

18. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 직선의 기울기를 구하는 과정을 추론한다.

직선 [eqn: \OA`]가 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: alpha], 점 [eqn: \O`]를 지나고 직선 [eqn: l`]에 평행한 직선 [eqn: m`]이 직선 [eqn: \OA]와 이루는 각의 크기를 [eqn: beta`]라 하자. 점 [eqn: \A`]에서 [eqn: x`]축과 직선 [eqn: m`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \B], [eqn: \C`]라 하고, 선분 [eqn: \AC`]가 원 [eqn: C_2`]와 만나는 점을 [eqn: \D`]라 하자.

직각삼각형 [eqn: \OAC`]에서

[eqn: rm bar AC = bar AD + bar DC = 3+3 =6`]이므로

직각삼각형 [eqn: rm AOB`]와 직각삼각형 [eqn: rmOAC`]에서

[eqn: rm angle OBA = angle OCA = 90DEG], [eqn: rm bar AB = bar AC =6],

선분 [eqn: \OA`]는 공통이므로 [eqn: rm TRIANGLE AOB == TRIANGLE AOC`]이다.

[eqn: rm`angle AOB = angle AOC`]이므로 [eqn: alpha = beta`]이다.

따라서 [eqn: tan alpha = tan beta = 6 overt`]이다.

직선 [eqn: l`]이 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: `theta`]라 할 때, 두 직선 [eqn: l], [eqn: m`]이 평행하므로

[eqn: `theta`=`alpha`+`beta`]

[eqn: `tan` theta `=`tan`( alpha `+` beta )]

[eqn: = {tan alpha + tan beta}over{1- tan alpha tan beta}]

[eqn: = {6 overt + 6 overt}over{1- 6 overt times 6 over t}}]

[eqn: =`12t over {t^2 - 36}`]

따라서 [eqn: f(t) = 6 over t], [eqn: g(t) = 12t over {t^2 - 36}`]이므로

[eqn: {g(8)} over {f(7)} = {{12 TIMES 8} over {64-36}} over {{6} over {7}}][eqn: = {{96} over {28}} over {{6} over {7}} =4`]

19. [출제의도] 함수의 도함수와 이계도함수를 이해하여 함수의 그래프와 관련된 성질을 추론한다.

함수 [eqn: f(x) = x over{x^2 +1}`]에서

[eqn: f`'(x) = {1CDOT(x^2 +1) - x(2x)}over{(x^2 +1)^2}`]

[eqn: = {1-x^2 over{(x^2 +1)^2}}`]

[eqn: f`''(x) = {(-2x)(x^2 +1)^2 -(1-x^2 ) LEFT { 2(x^2 +1)cdot 2x RIGHT } } over{(x^2 +1 )^4`}]

[eqn: ={2x(x^2 +1)left{-(x^2 +1)-2(1-x^2 )right}}over{(x^2 +1)^4}`]

[eqn: = {2x (x^2 -3)} over{(x^2 +1 )^3}`]

[eqn: ㄱ.] [eqn: f`'(x) = {1-x^2 over{(x^2 +1)^2}}``]에서 [eqn: f`'(0) = 1 over1 =1`] (참)

[eqn: ㄴ.] [eqn: f`'(x) = {1-x^2 over{(x^2 +1)^2}}=0`]에서

[eqn: x=`-1`] 또는 [eqn: x=1`]

함수 [eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x`]	…	[eqn: -1`]	…	[eqn: 1`]	…
[eqn: f`'(x)]	[eqn: -`]	[eqn: 0`]	[eqn: +]	[eqn: 0`]	[eqn: -]
[eqn: f(x)`]	↘	[eqn: - 1 over2`]	↗	[eqn: 1 over2`]	↘

따라서 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=`-1`]에서 극솟값 [eqn: - 1 over2`] 을 갖고  [eqn: x=1`]에서 극댓값 [eqn: 1 over2`]을 갖는다.

[eqn: lim _{ x->inf} `{ f(x)} = lim _{ x->inf} {x over {x^2 +1} = 0`]

[eqn: x>0`]일 때, [eqn: f(x) >0`]이므로

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=`-1`]에서 극소이면서 최소이다. 따라서 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x) ge - 1 over2`]이다. (참)

ㄷ. [eqn: f`''(x) = {2x (x^2 -3)} over{(x^2 +1 )^3}`]이므로

[eqn: f`''(x) =0`]에서

[eqn: x= 0] 또는 [eqn: x=` -sqrt3] 또는 [eqn: x=sqrt3`]

[eqn: f`'(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x`]	…	[eqn: -sqrt3`]	…	[eqn: 0`]	…	[eqn: sqrt3`]	…
[eqn: f`''(x)]	[eqn: -`]	[eqn: 0`]	[eqn: +]	[eqn: 0`]	[eqn: -]	[eqn: 0`]	+
[eqn: f`'(x)]	↘	[eqn: - 1 over8]	↗	[eqn: 1]	↘	[eqn: - 1over8]	↗

따라서 함수 [eqn: f`'(x)`]는
[eqn: x< - sqrt3] 또는 [eqn: 0<x< sqrt3`]에서 감소하고,
[eqn: -SQRT3 <x<0] 또는 [eqn: x> sqrt3`]에서 증가하므로

함수 [eqn: f`'(x)`]는 열린 구간 [eqn: (0,``1)`]에서 감소한다.

따라서 [eqn: 0<x<1`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: f`'(x) < f`'(0) =1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

함수 [eqn: f`(x)`]가 닫힌 구간 [eqn: [`0,``1`]`]에서 연속이고,
열린 구간 [eqn: (0,``1)`]에서 미분가능하므로 평균값의 정리에 의하여

[eqn: 0<a<b<1`]인 모든 실수 [eqn: a`,``b`]에 대하여

[eqn: {f(b) - f(a)} over b-a`= f`'(c)`]를 만족시키는 [eqn: c`]가 열린 구간 [eqn: (0,``1)`]에 적어도 하나 존재한다. [eqn: cdotscdots`]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 0<a<b<1`]일 때,

[eqn: {f(b) - f(a)} over b-a`< f`'(0) =1`]이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

20. [출제의도] 적분법을 이용하여 입체도형의 부피를 구한다.

[eqn: x<0`]일 때, [eqn: bar\PH = it e^-x]

[eqn: x ge0`]일 때, [eqn: bar\PH =itroot{ln(x+1)+1}]

이므로

[eqn: x`]축에 수직인 단면의 넓이는

[eqn: x<0`]일 때, [eqn: e^-2x]이고

[eqn: x ge0`]일 때, [eqn: {ln(x+1)+1}]이다.

따라서 구하는 입체도형의 부피는

[eqn: V= int _{-ln2} ^{0} {e ^{-2x} `dx} + int _{0} ^{e-1} {LEFT { ln LEFT ( x+1 RIGHT ) +1 RIGHT } `dx}]이고

[eqn: V_1 = int _{-ln2} ^{0} {e ^{-2x} `dx}],

[eqn: V_2 = int _{0} ^{e-1} {LEFT { ln LEFT ( x+1 RIGHT ) +1 RIGHT } `dx}`]

라 하면

[eqn: V_1 =][eqn: int _{-ln2} ^{0} {e ^{-2x} `dx}]

[eqn: =`- {1} over {2} LEFT [ e ^{-2x} RIGHT ] _{-ln2} ^{0} `]

[eqn: =`- {1} over {2} LEFT ( 1-e ^{2ln2} RIGHT ) `]

[eqn: =`- {1} over {2} LEFT ( 1-4 RIGHT ) `= {3} over {2} `]

[eqn: V_2 =][eqn: int _{0} ^{e-1} {LEFT { ln LEFT ( x+1 RIGHT ) +1 RIGHT }` dx`]에서

[eqn: x+1=t`]로 놓으면

[eqn: x=t-1`]에서 [eqn: {dx} over {dt} =1`]

[eqn: x=0`]일 때 [eqn: t=1`], [eqn: x=e-1`]일 때 [eqn: t=e`]이므로

[eqn: V_2 =][eqn: int _{1} ^{e} {LEFT ( lnt+1 RIGHT ) `dt}]이고

[eqn: u LEFT ( t RIGHT ) =lnt+1], [eqn: v`' LEFT ( t RIGHT ) =1`]로 놓으면

[eqn: u`' LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {t}], [eqn: v` LEFT ( t RIGHT ) =t`]이므로

[eqn: V_2 =][eqn: int _{1} ^{e} {LEFT ( lnt+1 RIGHT ) `dt`}]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} t LEFT ( lnt+1 RIGHT ) RIGHT ] _{1} ^{e} - int _{1} ^{e} left({t times{1} over {t} right)dt}]

[eqn: =2e-1- LEFT [pile{`#`} t `RIGHT ] _{1} ^{e}]

[eqn: =2e-1- LEFT ( e-1 RIGHT ) =e]

따라서 [eqn: V=V_1 +V_2 =e+ {3} over {2}]

21. [출제의도] 삼각형과 내접원의 성질을 이용하여 삼각함수의 극한 문제를 해결한다.

삼각형 [eqn: rm OAP`]가 이등변삼각형이므로

[eqn: rm angle OAP = angle OPA = pi over2 - theta over2`]이고

삼각형 [eqn: rm APH`]에서

[eqn: rm angleAPH + angle PAH = pi over2`]이므로 [eqn: rm angle APH = theta over2`]이다.

내접원의 중심을 [eqn: \Q]라 하고, 내접원과 선분 [eqn: rm `PH]의 교점을 [eqn: rm`T`]라 하면 [eqn: rm ` ANGLE `QPT`=`theta over4`]이다.

[eqn: rm bar PH =`sin theta`]이므로 삼각형 [eqn: rm QPT`]에서

[eqn: tan theta over4 = rm{bar QT}over{bar PT} = it {r(theta)}over{sin theta - r(theta)}]

[eqn: left(1 + tan theta over4 right) r(theta) = sin theta ` tan thetaover4`]

이므로

[eqn: r(theta) = {sin theta ` tan thetaover4`}over{1 + tan theta over4}`]

따라서

[eqn: lim _{ theta->0+} { } {r(theta)`} over {theta ^{2}} = lim _{ theta->0+} {sin theta ` tan thetaover4`}over{ theta^2 left(1 + tan theta over4 right)}`]

[eqn: =`lim _{ theta->0+}left{ {sin theta } over theta times { tan thetaover4`}over{ theta over4 } times 1 over4 times 1 over {left( {1 + tan theta over4 right)}}` right}]

[eqn: = `1 times 1 times 1 over4 times 1 = 1 over4`]

[다른풀이]

내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r(theta)`]라 하면

[eqn: triangle \APH`][eqn: = `1 over2` times]([eqn: triangle \APH`]의 둘레의 길이)[eqn: times r (theta)`]

[eqn: triangle \APH`][eqn: = 1 over2 r(theta) LEFT ( bar\PH + bar AH + bar AP RIGHT )]

[eqn: rm= 1 over2 times bar AH times bar PH`]

따라서

[eqn: {sin theta + (1-cos theta) + 2sin theta over2 }over 2 times r(theta)`]

[eqn: ` = 1 over2 `sin `theta times (1- cos theta)`]

[eqn: 1 over2LEFT (2sin theta over2` cos theta over2 + 2 sin^2 theta over2 + 2 sin theta over2 RIGHT )r(theta)`]

[eqn: = 1 over2 times 2 sin theta over2 `cos theta over2 (1-cos theta)`]

따라서 [eqn: left({ cos theta over2 + sin theta over2 +1} right)`r(theta)`= {(1-cos theta ) cos theta over2}]

[eqn: r(theta)`= {(1-cos theta ) cos theta over2}over{1+ cos theta over2 + sin theta over2}] 이므로

[eqn: lim _{ theta->0+} { } {r(theta)`} over {theta ^{2}}][eqn: = lim _{ theta->0+} {(1-cos theta ) cos theta over2}over{ theta^2 LEFT ( 1+ cos theta over2 + sin theta over2 RIGHT )}`]

[eqn: = lim _{ theta->0+} left{ {cos {theta } over {2}} over {1+cos {theta } over {2} +sin {theta } over {2}} TIMES {sin ^{2} theta } over theta^2 times 1 over {1+cos theta }right}]

[eqn: = 1 over {1+1+0} times 1^2 times 1 over {1+1} `][eqn: = 1 over4`]

22. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 지수방정식의 해를 구한다.

[eqn: 2 ^{{1} over {8} x-1} =16`]에서

[eqn: 2 ^{{1} over {8} x-1} =2` ^{4}`]이고,

[eqn: {1} over {8} x-1=4], [eqn: {1} over {8} x=5`]이므로 [eqn: x=40`]

23. [출제의도] 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: y=ln(x-7)]에 대하여 [eqn: y'= 1overx-7]

곡선 [eqn: y=ln(x-7)]에 접하는 직선의 기울기가 [eqn: 1]일 때 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하면

[eqn: 1over{a-7}=1]이므로 [eqn: a=8]

따라서 접점의 좌표는 [eqn: (8,```0)]이다.

기울기가 [eqn: 1`]이고 점 [eqn: (8,```0)]을 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y=x-8]이므로 이 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y`]축과 만나는 점은 각각 [eqn: rm A(8,``0)], [eqn: \B(0,``-8)`]이다.

따라서 삼각형 [eqn: \AOB`]의 넓이는

[eqn: 1over2 timesbar\OA timesbarOB =][eqn: 1over2 times8times8= 32]

24. [출제의도] 집합의 분할을 이해하고 분할하는 방법의 수를 구한다.

원소의 개수가 [eqn: 8`]인 집합 [eqn: A`]를 공집합이 아닌 [eqn: 2`]개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 방법의 수는 원소의 개수가 [eqn: 1`]인 집합과 [eqn: 7`]인 집합, 원소의 개수가 [eqn: 2`]인 집합과 [eqn: 6`]인 집합, 원소의 개수가 [eqn: 3`]인 집합과 [eqn: 5`]인 집합, 원소의 개수가 [eqn: 4`]인 두 개의 집합으로 분할하는 경우의 수를 모두 더한 값과 같다.

ⅰ) 원소의 개수가 [eqn: 1`]인 집합과 원소의 개수가 [eqn: 7`]인

집합으로 분할하는 방법의 수

집합 [eqn: A`]에서 원소가 [eqn: 1]개인 집합을 선택하는 방법의 수와 같으므로 [eqn: {} _{8} `rmC` _{1} =8]

ⅱ) 원소의 개수가 [eqn: 2`]인 집합과 원소의 개수가 [eqn: 6`]인 집합으로 분할하는 방법의 수

집합 [eqn: A`]에서 원소가 [eqn: 2`]개인 집합을 선택하는 방법의 수와 같으므로 [eqn: {} _{8} ` rm C` _{2} =28`]

ⅲ) 원소의 개수가 [eqn: 3`]인 집합과 원소의 개수가 [eqn: 5`]인 집합으로 분할하는 방법의 수

집합 [eqn: A`]에서 원소가 [eqn: 3`]개인 집합을 선택하는 방법의 수와 같으므로 [eqn: {} _{8} ` rm C` _{3} =56`]

ⅳ) 원소의 개수가 [eqn: 4`]인 두 개의 집합으로 분할하는 방법의 수
[eqn: 8`]개의 원소 중 [eqn: 4`]개를 택하여 하나의 집합을 만들고, 남은 [eqn: 4`]개의 원소로 다른 한 집합을 만들면 중복되는 경우가 [eqn: 2!`]개씩 나타나므로 그 경우의 수는 [eqn: {} _{8} ` rm C` _{4} TIMES {1} over {2!} =35]

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)로부터 구하는 방법의 수는

[eqn: 8+28+56+35=127]

[다른풀이]

원소의 개수가 [eqn: 8`]인 집합 [eqn: A`]의 부분집합의 개수는 [eqn: 2 ^{8} =256`]

집합 [eqn: A`]의 부분집합 중 공집합 또는 전체집합이 아닌 부분집합의 개수는

[eqn: 2 ^{8} -2=254`]

따라서 두 개의 부분집합으로 분할하는 방법의 수는

[eqn: {254} over {2} =127`]

[참고]

일반적으로 원소의 개수가 [eqn: n`]([eqn: n`]은 자연수)인 집합을 공집합이 아닌 [eqn: 2`]개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 방법의 수는 [eqn: {2 ^{n} -2} over {2} =2 ^{n-1} -1`]

25. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 실생활과 관련된 외적 문제를 해결한다.

필름을 투과하는 빛의 세기가

[eqn: R=Q TIMES 10 ^{-P} `]

이므로

필름 [eqn: rmA`]를 투과하는 빛의 세기는

[eqn: R _{rm A it} =Q TIMES 10 ^{-p}] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

필름 [eqn: rm B`]를 투과하는 빛의 세기는

[eqn: R _{rm B it} =Q TIMES 10 ^{-p-2}] [eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: {R _{rm A it}} over {R _{rm `B it}} = {Q TIMES 10 ^{-p}} over {Q TIMES 10 ^{-p-2}} =10 ^{2} =100]

26. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 문제를 해결한다.

두 직선 [eqn: l`]과 [eqn: m`]이 원 [eqn: x^2 + y^2 =1`]과 접하는 점이 각각 [eqn: \A`], [eqn: \B`]이므로

[eqn: dyad\OA `bot` it l`], [eqn: dyad\OB `bot` it m`]

원 [eqn: x^2 +y^2 =1]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 만나는 점을 [eqn: rmX]라 하고, [eqn: ANGLE rm AOX=it alpha]라 하자.

ⅰ) 점 [eqn: rmA]가 제[eqn: 1]사분면에 있고, 점 [eqn: rmB]가 제[eqn: 4]사분면에  있을 때

직선 [eqn: rmOA]가 직선 [eqn: l]과 수직이므로 직선 [eqn: rmOA]의 기울기는 [eqn: 3]이다.
따라서

[eqn: tan alpha=3], [eqn: cos alpha = {sqrt {10}} over {10}`], [eqn: sin alpha = {3 sqrt {10}} over {10}`]

직선 [eqn: rm OB]가 직선 [eqn: m]과 수직이므로 직선 [eqn: rm OB]의 기울기는 [eqn: -1`]이다.

따라서 [eqn: ANGLE rm XOB= {pi } over {4} it]

[eqn: cos LEFT ( ANGLE rm AOB RIGHT ) =cos LEFT ( alpha + {pi } over {4} RIGHT )`]

[eqn: =cos alpha cos {pi } over {4} -sin alpha sin {pi } over {4}`]

[eqn: = {sqrt {2}} over {2} LEFT ( cos alpha -sin alpha RIGHT )`]

[eqn: = {sqrt {2}} over {2} LEFT ( {sqrt {10}} over {10} - {3sqrt {10}} over {10}RIGHT )`]

[eqn: = {sqrt {2}} over {2} timesLEFT ( - {sqrt {10}} over 5 RIGHT ) =`- {sqrt {5}} over {5}]

ⅱ) 점 [eqn: rmA]가 제[eqn: 1]사분면에 있고, 점 [eqn: rmB]가 제[eqn: 2]사분면에  있을 때

[eqn: tan alpha=3], [eqn: cos alpha = {sqrt {10}} over {10}`], [eqn: sin alpha = {3 sqrt {10}} over {10}`]

직선 [eqn: rm OB]가 직선 [eqn: m]과 수직이므로 직선 [eqn: rm OB]의 기울기는 [eqn: -1]이다.
따라서 [eqn: ANGLE rm XOB= {3} over {4} pi it]

[eqn: cos LEFT ( ANGLE rm AOB RIGHT ) =cos LEFT ( {3} over {4} pi - alpha RIGHT )]

[eqn: =cos {3} over {4} pi cos alpha +sin {3} over {4} pi sin alpha]

[eqn: = {sqrt {2}} over {2} LEFT ( -cos alpha +sin alpha RIGHT )]

[eqn: = {sqrt {2}} over {2} LEFT ( - {sqrt {10}} over {10} + {3sqrt {10}} over {10} RIGHT )`]

[eqn: = {sqrt {2}} over {2} TIMES {sqrt {10}} over {5} = {sqrt {5}} over5`]

ⅲ) 점 [eqn: rmA]가 제[eqn: 3]사분면에 있고, 점 [eqn: rmB]가 제[eqn: 2]사분면에  있을 때

[eqn: cos(angle \AOB)=`- root5 over5]이다.

ⅳ) 점 [eqn: rmA]가 제[eqn: 3]사분면에 있고, 점 [eqn: rmB]가 제[eqn: 4]사분면에  있을 때

[eqn: cos(angle \AOB)= root5 over5]이다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)로부터

[eqn: cos(angle \AOB)=`- root5 over5] 또는 [eqn: cos(angle \AOB)= root5 over5]

[eqn: 100cos ^{2} LEFT ( ANGLE rm AOB RIGHT ) =100 TIMES 1over5 =20]

27. [출제의도] 중복조합을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 자연수의 개수를 구한다.

조건 (가)와 (나)를 만족시키는 자연수 [eqn: N`]을

[eqn: N=10 ^{3} a+10 ^{2} b+10c+d`]로 놓으면

[eqn: a+b+c+d=7`]이고 [eqn: a,``b,``c`]는 [eqn: 0] 또는 자연수이고,

[eqn: d`]는 홀수이므로 [eqn: d`]는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5] 중 하나이다.

ⅰ) [eqn: d=1`]인 경우

[eqn: a+b+c=6`]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c)`]의

개수는 [eqn: rm` _{3} H _{6}`=`_8 C_6` =`_8 C_2 =28`]

ⅱ) [eqn: d=3`]인 경우

[eqn: a+b+c=4`]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c)`]의

개수는 [eqn: rm ` _{3} H _{4}`=`_6 C_4 =`_6 C_2` = 15`]

ⅲ) [eqn: d=5`]인 경우

[eqn: a+b+c=2`]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c)`]의

개수는 [eqn: rm ` _{3} H _{2} =`_4 C_2`= 6`]

ⅰ), ⅱ), ⅲ)으로부터 구하는 자연수 [eqn: N`]의 개수는

[eqn: 28+15+6=49]

28. [출제의도] 치환적분법을 이해하고 정적분 문제를 해결한다.

[eqn: f(x)= {e ^{cosx}} over {1+e ^{cosx}} `]에서

[eqn: f( pi -x)= {e ^{cos(pi-x)}} over {1+e ^{cos(pi-x)}} `]

[eqn: = {e ^{-cosx}} over {1+e ^{-cosx}}]

[eqn: = {e ^{-cosx} TIMES e ^{cosx}} over {LEFT ( 1+e ^{-cosx} RIGHT ) TIMES e ^{cosx}} `]

[eqn: = {1} over {e ^{cosx} +1}]

그러므로

[eqn: a=f(pi-x)+f(x)]

[eqn: ={1} over {e ^{cosx} +1}+ {e ^{cosx}} over {1+e ^{cosx}}]

[eqn: = {1+e ^{cosx} } over {1+e ^{cosx}} =1`]

[eqn: b= int _{0} ^{pi} {} f(x)dx]

[eqn: = int _{0} ^{pi} {} LEFT { 1-f(pi-x) RIGHT } dx]

[eqn: = int _{0} ^{pi} {1`dx`-` int _{0} ^{pi} {f(pi-x)dx}}]

[eqn: pi -x=t`]로 놓으면

[eqn: x= pi -t`]이므로 [eqn: {dx} over {dt} =`-1]

[eqn: x= 0`]일 때, [eqn: t= {pi `]이고

[eqn: x= pi `]일 때, [eqn: t=0`]이므로

[eqn: b=pi`+ int _{pi} ^{0} {f(t)dt}]

[eqn: =pi`- int _{0} ^{pi} {f(t)dt}][eqn: =pi-b]

[eqn: b= pi -b`]이므로 [eqn: b = pi over2`]

따라서 [eqn: a+ {100} over {pi } b=1+ {100} over {pi } TIMES {pi } over {2}]

[eqn: =1+50=51]

[다른풀이]

[eqn: b= int _{0} ^{{pi } over {2}} {} f(x)dx+ int _{{pi } over {2}} ^{pi } {} f(x)dx`]

[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {} f(x)dx+ int _{0} ^{{pi } over {2}} {} f( pi -x)dx`]

[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT { f(x)+f( pi -x) RIGHT } dx}]

[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {1`dx}`][eqn: = LEFT [ pile{`#`}x` RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}}`][eqn: = {pi } over {2} -0`][eqn: = {pi } over {2}`]

29. [출제의도] 곱의 법칙을 이용하여 조건을 만족시키는 함수의 개수를 구한다.

함수 [eqn: f`]가 집합 [eqn: X = LEFT {`-3,` -2,`-1,``1,``2, ``3` RIGHT }`]에 대하여 [eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 함수라고 하자.

[eqn: LEFT | f(x) + f(-x)RIGHT | =1`]

⇔ [eqn: f(x) + f(-x) =1`] 또는 [eqn: f(x)+f(-x)=`-1`]

이므로

[eqn: x>0``]인 [eqn: X`]의 원소 [eqn: x`]에 대하여 다음이 성립한다.

ⅰ) [eqn: f(x) =1`]일 때, [eqn: f(-x)=`-2`]

ⅱ) [eqn: f(x) =2`]일 때

[eqn: f(-x)=`-3`] 또는 [eqn: f(-x)=`-1`]

ⅲ) [eqn: f(x) =3`]일 때, [eqn: f(-x)=`-2`]

따라서 [eqn: f(1)`]과 [eqn: f(-1)`]을 대응시키는 경우의 수는 [eqn: 4`]이고, [eqn: f(2)`]와 [eqn: f(-2)`]를 대응시키는 경우의 수와 [eqn: f(3)`]와 [eqn: f(-3)`]을 대응시키는 경우의 수는 각각 [eqn: 4`]이므로 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)`]의 개수는 [eqn: 4 times 4 times 4 = 64`]이다.

30. [출제의도] 함수의 미분법을 이용하여 함수의 연속성에 대한 문제를 해결한다.

함수 [eqn: f(x) = x^2 e^ax`(a<0)`]에서

[eqn: f`'(x) = (x^2 )' e^ax``+ x^2 (e^ax )'][eqn: = 2x e^ax +ax^2 e^ax = (ax^2 + 2x ) e^ax =a x left( x+ 2 overa right)e^ax]

[eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x`]	…	[eqn: 0]	…	[eqn: `- 2 over a`]	…
[eqn: f`'(x)]	[eqn: -`]	[eqn: 0`]	[eqn: +]	[eqn: 0`]	[eqn: -]
[eqn: f(x)`]	↘	[eqn: 0`]	↗	[eqn: 4 over {a^2 ` e^2}`]	↘

따라서 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극솟값 [eqn: 0`]를 갖고 [eqn: x=`- {2} over {a} ``]에서 극댓값 [eqn: 4 over {a^2 e^2}`]를 갖는다.

또 [eqn: lim _{ x->-inf} { f(x)} = inf`]이고, [eqn: lim _{x -> INF } {f(x)} =0`]이므로

함수 [eqn: f(x) = x^2 e^ax`(a<0)`]의 그래프는 그림과 같다.

부등식 [eqn: f(x) GEQ t`][eqn: (t>0)]을 만족시키는 [eqn: x`]의 최댓값 [eqn: g(t)`]에 대하여 [eqn: k = 4 over{a^2 e^2}`]라 하면, [eqn: g(t)`]는 [eqn: 0< t <k`] 또는 [eqn: t=k`] 또는 [eqn: t> k]로 나누어 생각할 수 있다.

ⅰ) [eqn: 0 <t < k`]일 때

방정식 [eqn: f(x)=t`]의 서로 다른 세 실근을 [eqn: alpha_1], [eqn: alpha_2], [eqn: alpha_3`]라 하면 부등식 [eqn: f(x) ge t`]의 해는 그림에서 [eqn: x le alpha_1`] 또는 [eqn: alpha_2 `le x le alpha_3`]이므로 부등식을 만족시키는 [eqn: x`]의 최댓값은 [eqn: alpha_3`]이다.

따라서 [eqn: g(t)=alpha_3`]이다.

ⅱ) [eqn: t = k`]일 때

방정식 [eqn: f(x)=t`]의 음의 실근을 [eqn: beta`]라 하면 부등식 [eqn: f(x) ge t`]의 해는 [eqn: x le beta] 또는 [eqn: x=`- {2} over {a} `]이므로 [eqn: g(t)=`- {2} over {a}]이다.

ⅲ) [eqn: t> k`]일 때

방정식 [eqn: f(x)=t`]의 실근을 [eqn: gamma`]라 하면 부등식 [eqn: f(x) ge t`]의 해는 [eqn: x le gamma]이므로 [eqn: g(t) = gamma`]이다.

정의역이 [eqn: left{ x`|`x<beta,``x ge- 2 overa `right}`]인 함수 [eqn: h(x)`]를

[eqn: h(x)= cases{ h_1 (x) =f(x)~&(x<beta)#h_2 (x)=f(x)~&left(x ge - 2 overa right)]

라 정의하면, 두 함수 [eqn: y=h_1 (x)]와 [eqn: y=h_2 (x)`]는 각각의 정의역에서 일대일 대응이므로 역함수를 갖는다. 또한, [eqn: y=h_1 (x)]의 치역은 [eqn: left{ y`|`y>k` right}]이고, [eqn: y=h_2 (x)`]의 치역은 [eqn: left{ y`|`0<y le k` right}]이므로 함수 [eqn: h(x)`]의 역함수의 정의역은 [eqn: LEFT { x`|`x>0` RIGHT }]이다. 이때, [eqn: h(x)=t]를 만족하는 [eqn: x`]의 값은 방정식 [eqn: f(x) =t`]의 해 중에서 최댓값이므로 [eqn: h(x)`]의 역함수가 [eqn: g(t)`]이다. [eqn: g(t)`]는 [eqn: 0<t< k`], [eqn: t>k`]인 모든 점에서 연속함수이므로 [eqn: t=k`]에서의 연속성을 조사하면 된다.

[eqn: lim _{ t-> k -} { g(t) } = - 2 over a]에서 [eqn: a<0`]이므로 [eqn: - 2overa >0]

[eqn: lim _{t -> k +} {g(t)} = beta`]에서 [eqn: beta<0`]이므로

[eqn: lim _{ t-> k -} { g(t) } != lim _{t -> k +} {g(t)}]이다.

따라서 함수 [eqn: g(t)`]는 [eqn: t=k]에서만 불연속이다.

[eqn: k = 4 over{a^2 e^2} = 16 over e^2`], [eqn: 4 over a^2 = 16], [eqn: a^2 = 1 over4]

따라서 [eqn: 100 a^2 = 100 times 1 over4 = 25`]