수학 나형 정답

1	③	2	②	3	③	4	⑤	5	④
6	②	7	①	8	②	9	①	10	④
11	⑤	12	③	13	④	14	⑤	15	①
16	④	17	②	18	①	19	③	20	⑤
21	⑤	22	[eqn: 24]	23	[eqn: 3]	24	[eqn: 7]	25	[eqn: 40]
26	[eqn: 16]	27	[eqn: 36]	28	[eqn: 26]	29	[eqn: 11]	30	[eqn: 435]

해 설

1. [출제의도] 다항식의 덧셈을 계산한다.

두 다항식 [eqn: A=x ^{2} -y ^{2} `], [eqn: B=2x ^{2} +y ^{2} `]에서

[eqn: A+B][eqn: = LEFT ( x ^{2} -y ^{2} RIGHT ) + LEFT ( 2x ^{2} +y ^{2} RIGHT ) `][eqn: =3x ^{2} `]

2. [출제의도] 복소수의 곱셈을 계산한다.

[eqn: i(1+i)][eqn: =i+i^2][eqn: = i+(-1)][eqn: =it-1+i]

3. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 지수를 계산한다.

[eqn: 3 ^{{1} over {2}} TIMES 3 ^{- {1} over {2}}][eqn: =3 ^{{1} over {2} + LEFT ( - {1} over {2} RIGHT )}][eqn: =3 ^{0}][eqn: =1]

4. [출제의도] 내분점의 좌표를 구한다.

두 점 [eqn: {rmO}(0,```0)`], [eqn: rm A it (8,```0)`]을 [eqn: 3:1`]로 내분하는 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( {3 TIMES 8+1 TIMES 0} over {3+1} ,``` {3 TIMES 0+1 TIMES 0} over {3+1} RIGHT )]이므로 [eqn: (6,```0)]

5. [출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 함숫값을 구한다.

[eqn: f ^{`-1} (2)=a`]라 하면 역함수의 성질에 의하여 [eqn: f(a)=2]이므로

[eqn: f(a)=3a-1][eqn: =2]

따라서 [eqn: a=1`]이므로

[eqn: f ^{`-1} (2)=1]

[다른풀이]

[eqn: y=3x-1`]에서

[eqn: 3x=y+1`]

[eqn: x= {1} over {3} y+ {1} over {3} `]

위의 식에서 [eqn: x`]와 [eqn: y`]를 서로 바꾸면

[eqn: y= {1} over {3} x+ {1} over {3} `]이고,

[eqn: f ^{`-1} (x)= {1} over {3} x+ {1} over {3} `]이므로

[eqn: f ^{`-1} (2)][eqn: = {2} over {3} + {1} over {3}]
[eqn: =1]

6. [출제의도] 등비수열의 항의 값을 구한다.

등비수열 [eqn: "{"a_ n "}"]에서 [eqn: a_3]은 [eqn: a_2]와 [eqn: a_4]의 등비중항이므로

[eqn: a _{3} ` ^{2}][eqn: =a _{2} TIMES a _{4}]
[eqn: = 2 times 18]
[eqn: =36]

이고, [eqn: a_3 >0]이므로

[eqn: a_3 = 6]

[다른풀이]

등비수열의 첫째항을 [eqn: a`], 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a _{2} =a _{} r=2]   [eqn: CDOTS CDOTS ㉠`]

[eqn: a_4 = ar^3][eqn: =18] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡`]

[eqn: ㉡÷㉠`]에서

[eqn: r ^{2} =9`]

이고, [eqn: r>0`]이므로

[eqn: r=3`]

㉠ 에 대입하면

[eqn: 3a=2`], [eqn: a= {2} over {3} `]

이므로

[eqn: a _{3}][eqn: =ar ^{2}]
[eqn: = 2 over 3 times 3^2]
[eqn: =6`]

7. [출제의도] 연립이차방정식의 해를 구한다.

[eqn: {cases{`x-y=3 _{`}&&{} _{`} CDOTS CDOTS ㉠#`xy+x+1=0 ^{`}&&{} ^{`} CDOTS CDOTS ㉡}} ``]

이라 하면 ㉠ 에서

[eqn: y=x-3`]         [eqn: cdotscdots㉢]

이고, ㉢ 을 ㉡ 에 대입하면

[eqn: x(x-3)+x+1=0`]

[eqn: x ^{2} -2x+1=0`]

[eqn: (x-1) ^{2} =0`]

[eqn: x=1`]

[eqn: x=1`]을 ㉢ 에 대입하면

[eqn: y= it -2`]

따라서 [eqn: a=1`], [eqn: b=it-2`]이므로

[eqn: a+b= it -1`]

8. [출제의도] 무리함수의 평행이동을 이용하여 상수의 값을 구한다.

무리함수 [eqn: y= sqrt {ax} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -2`]만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수의 식은

[eqn: y= sqrt {a(x-1)} -2`]

이 함수의 그래프가 원점을 지나므로

[eqn: 0 = sqrt{a times (-1)} -2]

[eqn: sqrt{-a} =2]

[eqn: -a=4`]

[eqn: a= it -4`]

9. [출제의도] 로그의 계산을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: 100`]개의 자료를 처리할 때의 시간복잡도 [eqn: T _{1} `]은

[eqn: {T _{1}} over {100} =log`100`]

에서

[eqn: T _{1} =200`]

[eqn: 1000`]개의 자료를 처리할 때의 시간복잡도 [eqn: T _{2} `]는

[eqn: {T _{2}} over {1000} =log`1000`]

에서

[eqn: T _{2} =3000`]

따라서

[eqn: {T _{2}} over {T _{1}} = {3000} over {200}][eqn: =15`]

10. [출제의도] 삼차방정식의 허근을 구한다.

방정식 [eqn: x ^{3} +8=0`]의 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x+2)(x^2 -2x+4)=0]

이므로

[eqn: x= it -2] 또는 [eqn: x^2 -2x+4=0]

[eqn: x ^{2} -2x+4=0`]의 근을 구하면

[eqn: x= 1+- sqrt3 i]

따라서 방정식 [eqn: x ^{3} +8=0`]의 근은

[eqn: x=it-2] 또는 [eqn: x=1+sqrt3 i] 또는 [eqn: x= 1-sqrt3 i]

이때

[eqn: x= it -2+0i`]의 허수부분은 [eqn: 0`],

[eqn: x=1+ sqrt {3} i`]의 허수부분은 [eqn: sqrt {3} `],

[eqn: x=1- sqrt {3} i`]의 허수부분은 [eqn: - sqrt {3} `]

이다.

따라서 [eqn: alpha`]의 값은 [eqn: 1+ sqrt {3} i`]이므로

[eqn: bar{alpha}=1-root{3}i`]

[eqn: alpha-bar{alpha][eqn: =1+ sqrt {3} i- ({bar{1+ sqrt {3} i}})][eqn: =1+ sqrt3 i - (1- sqrt3 i )]
[eqn: = 2sqrt3 i]

11. [출제의도] 필요충분조건을 이용하여 실수의 값을 구한다.

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 하자.

조건 [eqn: p`:`x ^{2} -2x-3 LEQ 0`]에서

[eqn: (x-3)(x+1) LEQ 0`]이므로

[eqn: P= LEFT { `x` LEFT | `-1 LEQ x LEQ 3` RIGHT } RIGHT .]

조건 [eqn: q`:` LEFT | x-a RIGHT | LEQ b`]에서

[eqn: -b LEQ x-a LEQ b`]

[eqn: a-b{le}x{le}a+b`]이므로

[eqn: Q= LEFT { `x` LEFT | `a-b LEQ x LEQ a+b` RIGHT } ` RIGHT .]

[eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요충분조건이므로 [eqn: P`=Q`]이어야 한다. 따라서 두 등식 [eqn: a-b=it-1`], [eqn: a+b=3`]을 연립하여 풀면 [eqn: a=1`], [eqn: b=2`]이므로

[eqn: ab=2`]

12. [출제의도] 두 직선이 서로 수직이 되는 기울기를 구한다.

선분 [eqn: rm BC`]의 중점을 [eqn: rm M`]이라 하자.

삼각형 [eqn: rm ABC`]는 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{AC}} `]인 이등변삼각형이고 밑변 [eqn: rm BC`]의 중점이 [eqn: rm M]이므로 두 선분 [eqn: rm AM`], [eqn: rm BC`]는 서로 수직이다.

점 [eqn: rm M`]은 직선 [eqn: y=m(x-2)`]와 [eqn: y`]축이 만나는 점이므로 [eqn: rm M(0,``` it -2m)`]이다.

직선 [eqn: rm BC`]의 기울기는 [eqn: m`]이고,

두 점 [eqn: rm A(-2,```3)`], [eqn: rm M(0,``` it -2m)`]에서

(직선 [eqn: rm AM`]의 기울기)[eqn: = {-2m-3} over {0-(-2)}]
[eqn: = {-2m-3} over {2} `]

두 직선이 서로 수직일 때 두 직선의 기울기의 곱은 [eqn: -1`]이므로

[eqn: m TIMES {-2m-3} over {2} =it-1]

[eqn: 2m^2 +3m-2=0]

[eqn: (m+2 ) (2m-1) = 0]

[eqn: m>0`]이므로

[eqn: m = 1 over 2]

13. [출제의도] 유리함수의 그래프의 성질을 이용하여 점근선의 교점을 구한다.

[eqn: f(x)][eqn: = {x+1} over {2x-1}]
[eqn: = {{1} over {2} (2x-1)+ {3} over {2}} over {2x-1}]
[eqn: = {{3} over {2}} over {2x-1} + {1} over {2} `]
[eqn: = {{3} over {4}} over {x- {1} over {2}} + {1} over {2}]

이므로 유리함수 [eqn: f(x)= {{3} over {4}} over {x- {1} over {2}} + {1} over {2} `]의 그래프는 유리함수 [eqn: y= {{3} over {4}} over {x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: {1} over {2} `]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: {1} over {2} `]만큼 평행이동한 그래프이다.

유리함수 [eqn: f(x)= {{3} over {4}} over {x- {1} over {2}} + {1} over {2} `]의 그래프는 두 점근선의 교점 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,``` {1} over {2} RIGHT ) `]에 대하여 대칭이므로 [eqn: p= {1} over {2} `], [eqn: q= {1} over {2} `]이다.

따라서 [eqn: p+q=1`]

[참고]

유리함수 [eqn: y= {cx+d} over {ax+b} `](단, [eqn: a != 0`], [eqn: ad-bc!=0`])의 그래프의 점근선의 방정식은 [eqn: x=it- {b} over {a} `], [eqn: y= {c} over {a} `]이고, 그래프는 두 점근선의 교점 [eqn: LEFT ( - {b} over {a} ,``` {c} over {a} RIGHT ) `]에 대하여 대칭이다.

14. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 상용로그를 계산한다.

[eqn: f(log _{`3} `6)= {log _{`3}` 6+1} over {2`log _{`3}` 6-1}]에서

[eqn: log _{`3} `6+1][eqn: =log _{`3} `6+log _{`3} `3][eqn: =log _{`3} `18]

[eqn: 2`log _{`3}` 6-1][eqn: =log _{`3}` 6 ^{2} -log _{`3} `3][eqn: =log _{`3}` 12]

로그의 밑의 변환 공식에 의하여

[eqn: f(log _{`3} `6)][eqn: = {log _{`3} `18} over {log _{`3} `12}]
[eqn: = {{log`18} over {log`3}} over {{log`12} over {log`3}}]
[eqn: = {log`18} over {log`12}]
[eqn: = {log`(2 TIMES 3 ^{2} )} over {log`(2 ^{2} TIMES 3)}]
[eqn: = {log`2+2`log`3} over {2`log`2+log`3}]
[eqn: = {a+2b} over {2a+b}]

[다른풀이]

[eqn: log _{`3} `6][eqn: = {log`6} over {log`3}]
[eqn: = {log`(2 times 3)} over {log`3}]
[eqn: = {log`2+log`3} over {log`3}]
[eqn: = {a+b} over {b}]

[eqn: f(log _{`3} `6)][eqn: =f` LEFT ( {a+b} over {b} RIGHT )]
[eqn: = {{a+b} over {b} ＋１} over {2 times {a+b} over {b} -1}]
[eqn: = { {a+2b} over {b}} over {{2a+b} over {b}}]
[eqn: = {{a+2b} over {b} TIMES b} over {{2a+b} over {b} TIMES b}]
[eqn: = {a+2b} over {2a+b}]

15. [출제의도] 이차함수와 직선의 위치 관계를 이용하여 이차함수의 최댓값을 구한다.

이차방정식 [eqn: h(x)=0`]의 두 근이 [eqn: 2`]와 [eqn: 6`]이므로 인수정리에 의하여 [eqn: h(x)=k(x-2)(x-6)`]이다.

이때 [eqn: g(x)`]는 일차함수이고 [eqn: f(x)`]는 이차항의 계수가 [eqn: -1`]인 이차함수이므로 함수 [eqn: h(x)`]는 이차함수이고 이차항의 계수는 [eqn: -1`]이다.

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: = it -(x-2)(x-6)]
[eqn: =it-x ^{2} +8x-12]
[eqn: =it-(x-4) ^{2} +4]

이므로 함수 [eqn: h(x)`]는 [eqn: x=4`]에서 최댓값 [eqn: 4`]를 갖는다.

[eqn: p=4`], [eqn: q=4`]이므로

[eqn: p+q=8`]

16. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 수열의 일반항을 증명한다.

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,
[eqn: a _{1} = {a _{1} `^{2} +1} over {2a _{1}}]에서
[eqn: a _{1} ` ^{2} =1`]
[eqn: a _{1} >0]이므로
(좌변)[eqn: =a _{1} =1],
(우변)[eqn: = 1 - 0 =1]
따라서 [eqn: n=1`]일 때 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`]일 때 (*)이 성립한다고 가정하면
[eqn: a _{m} = sqrt {m} - sqrt {m-1}]이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} a _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{m} a _{k} +a _{m+1}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( sqrt {k} - sqrt {k-1} RIGHT ) +a _{m+1}]
[eqn: =( sqrt {1} - sqrt {0} )+( sqrt {2} - sqrt {1} )+]
[eqn: CDOTS `+( sqrt {m} - sqrt {m-1} )+a _{m+1}]
[eqn: = {BOX{~^{`}sqrt {m}_{`}~}} `+a _{m+1}]
주어진 조건에서
[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} a _{k} = {a _{m+1}` ^{2} +1} over {2a _{m+1}}]이므로
[eqn: {a _{m+1}` ^{2} +1} over {2a _{m+1}} =][eqn: sqrt {m} +a _{m+1}]
즉,
[eqn: a _{m+1} ` ^{2} +2 sqrt {m} TIMES a _{m+1} -1=0]
[eqn: a _{m+1} =it- sqrt {m} ± sqrt {m+1}]
이고, [eqn: a _{m+1} >0]이므로
[eqn: a _{m+1} =box{~ ^{`}sqrt {m+1}_{`}~}` - sqrt {m}]
이다. 따라서 [eqn: n=m+1``]일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여
[eqn: a _{n} = sqrt {n} - sqrt {n-1}]이다.

[eqn: f(m)= sqrt {m}], [eqn: g(m)= sqrt {m+1} `]이므로

[eqn: f(25)+g(35)=5+6][eqn: =11`]

17. [출제의도] 인수분해를 이용하여 자연수의 값을 구한다.

[eqn: a ^{2} b+2ab+a ^{2} +2a+b+1`]을 [eqn: b`]에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해하면

[eqn: (a ^{2} +2a+1)b+a ^{2} +2a+1`]

[eqn: =(a+1) ^{2} `b+(a+1) ^{2}]

[eqn: =(a+1) ^{2} (b+1)]

위의 식의 값이 [eqn: 245=7 ^{2} TIMES 5`]이므로

[eqn: (a+1) ^{2} (b+1)=7 ^{2} times5]

[eqn: a`], [eqn: b`]는 자연수이므로

[eqn: a+1=7`], [eqn: b+1=5`]

따라서 [eqn: a=6`], [eqn: b=4`]이므로

[eqn: a+b=10`]

[다른풀이]

[eqn: a ^{2} b+2ab+a ^{2} +2a+b+1`]을 [eqn: a`]에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해하면

[eqn: (b+1)a ^{2} +2(b+1)a+(b+1)]

[eqn: =(b+1)(a ^{2} +2a+1)]

[eqn: =(a+1) ^{2} (b+1)]

위의 식의 값이 [eqn: 245=7 ^{2} TIMES 5`]이므로

[eqn: (a+1) ^{2} (b+1)=7 ^{2} times5]

[eqn: a`], [eqn: b`]는 자연수이므로

[eqn: a+1=7`], [eqn: b+1=5`]

따라서 [eqn: a=6`], [eqn: b=4`]이므로

[eqn: a+b=10`]

18. [출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 점의 좌표를 구한다.

세 점 [eqn: {rmO}(0,```0)`], [eqn: {rmA}(8,```4)`], [eqn: rm B it (7,```a)`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmOAB`]의 무게중심 [eqn: rm G]의 좌표는

[eqn: LEFT ( {0+8+7} over {3} ,``` {0+4+a} over {3} RIGHT ) `] 즉, [eqn: LEFT ( 5,``` {4+a} over {3} RIGHT ) `]

이므로

[eqn: b= {4+a} over {3}] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠`]

한편, 직선 [eqn: rm OA`]의 방정식은

[eqn: y= {1} over {2} x`] 즉, [eqn: x-2y=0`]

점 [eqn: rm G(5,``` it b)`]와 직선 [eqn: x-2y=0] 사이의 거리가 [eqn: sqrt {5} `]이므로

[eqn: {|`5-2b`|}over {sqrt{1^2 +(-2)^2 }} = sqrt5]

[eqn: |`5-2b`| = 5]

[eqn: 5-2b = 5] 또는 [eqn: 5-2b=it-5]

[eqn: b=0] 또는 [eqn: b=5]

[eqn: a>0`]이므로 ㉠ 에서 [eqn: b>0`]이다.

따라서 [eqn: b=5`], [eqn: a=11`]이므로

[eqn: a+b=16`]

19. [출제의도] [eqn: sum _{} ^{} `]의 성질을 이용하여 수열의 합을 추론한다.

[eqn: sum _{k=2} ^{n} a _{k} - sum _{k=1} ^{n-1} a _{k} =2n ^{2} +2`] [eqn: ( n ge 2)] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠`]

㉠ 에 [eqn: n=2`]를 대입하면

[eqn: a_2 -a_1 = 10]

두 식 [eqn: a _{1} +a _{2} =8`], [eqn: a _{2} -a _{1} =10`]을 연립하여 풀면

[eqn: a _{1} = it -1`], [eqn: a _{2} =9`]

[eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: sum _{k=2} ^{n} a _{k} - sum _{k=1} ^{n-1} a _{k}]

[eqn: = (a_ 2 + a_3 + cdots + a_n-1 + a_n ) - (a_1 +a_2 + cdots +a_n-1 )]

[eqn: = a_n - a_1]

[eqn: = a_n +1]

㉠ 에서

[eqn: a_n +1 = 2n^2 +2]

[eqn: a_n = 2n^2 +1] [eqn: (n ge 2)]

따라서 수열 [eqn: left{a _{n} `right}`]은

[eqn: a _{1} = it -1`], [eqn: a_n = 2n^2 +1] [eqn: (n GEQ 2)`]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}][eqn: =a _{1} + sum _{k=2} ^{10} a _{k}]
[eqn: =it-1+ sum _{k=2} ^{10} (2k ^{2} +1)]
[eqn: =it-1+ sum _{k=1} ^{10} (2k ^{2} +1)-3]
[eqn: =it-4+2 sum _{k=1} ^{10} k ^{2} +1 TIMES 10]
[eqn: =it-4+2 TIMES {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} +10]
[eqn: =776`]

20. [출제의도] ‘모든’과 ‘어떤’의 의미를 이해하여 함수의 개수를 추론한다.

ㄱ. 함수 [eqn: f`]가 일대일 대응이므로 역함수가 존재한다.
조건 (가)에서 집합 [eqn: X`]의 모든 원소 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: (f{circ}f)(x)=x`]이므로
집합 [eqn: X`]의 모든 원소 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: f(x)=f ^{`-1} (x)`]이다.
따라서
[eqn: f(3)=f ^{`-1} (3)`] (참)

ㄴ. 조건 (나)에서 집합 [eqn: X`]의 어떤 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)=2x`]이므로 집합 [eqn: X`]의 원소 중 [eqn: f(x)=2x`]를 만족하는 원소 [eqn: x`]가 적어도 하나 존재한다.
따라서 [eqn: f(1)=2]와 [eqn: f(2)=4] 중 적어도 하나는 성립한다.
따라서 [eqn: f(1)=3`][eqn: (!=2)`]이면 [eqn: f(2)=4`]이다. (참)

ㄷ. 조건 (나)에서 [eqn: f(1)=2]와 [eqn: f(2)=4] 중 적어도 하나는 성립하므로
[eqn: f(1)=2`]이고 [eqn: f(2)!=4`]일 때,
[eqn: f(2)=4`]이고 [eqn: f(1)!=2`]일 때,
[eqn: f(1)=2`]이고 [eqn: f(2)=4`]일 때
로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: f(1)=2]이고 [eqn: f(2)!=4`]일 때,
조건 (가)에 의하여 [eqn: (f{circ}f)(1)=1`]이므로
[eqn: f(f(1))=f(2)=1`]
이때 조건 (가)에 의하여
[eqn: f(3)=3`], [eqn: f(4)=4`]
또는 [eqn: f(3)=4`], [eqn: f(4)=3`]
이므로 함수 [eqn: f`]의 개수는 [eqn: 2`]이다.

(ⅱ) [eqn: f(2)=4]이고 [eqn: f(1)!=2`]일 때,
조건 (가)에 의하여 [eqn: (f CIRC f)(2)=2`]이므로
[eqn: f(f(2))=f(4)=2`]
이때 조건 (가)에 의하여
[eqn: f(1)=1`], [eqn: f(3)=3`]
또는 [eqn: f(1)=3`], [eqn: f(3)=1`]
이므로 함수 [eqn: f`]의 개수는 [eqn: 2`]이다.

(ⅲ) [eqn: f(1)=2`]이고 [eqn: f(2)=4`]일 때,
[eqn: f(f(1))=f(2)=4`][eqn: (!=1)`]
이므로 [eqn: (f CIRC f)(1)=1`]이 성립하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서
가능한 함수 [eqn: f`]의 개수는 [eqn: 4]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이다.

21. [출제의도] 두 직선의 평행과 수직을 이용하여 종이접기에 대한 문제를 해결한다.

좌표평면 위의 점 [eqn: rmO`], [eqn: rmA`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`], [eqn: rmF`]의 좌표는 각각 [eqn: (0,```0)`], [eqn: (12,```0)`], [eqn: (12,```12)`], [eqn: (0,```12)`], [eqn: (5,```0)`]이다.

점 [eqn: rmO'`]은 선분 [eqn: rm BC] 위의 점이므로 점 [eqn: rmO'`]의 좌표를 [eqn: (a,```12)`]로 놓을 수 있다.

또 점 [eqn: rmF'`]은 선분 [eqn: rmDE] 위의 점이고, 두 점 [eqn: rmD`], [eqn: rmE`]는 각각 두 선분 [eqn: rmOC`], [eqn: rmAB`]를 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점이므로 점 [eqn: rmF'`]의 좌표를 [eqn: (b,```8)`]로 놓을 수 있다.

직선 [eqn: rmOO'`]과 직선 [eqn: rmFF'`]은 모두 직선 [eqn: rmPQ`]와 수직이므로 직선 [eqn: rmOO'`]과 직선 [eqn: rmFF'`]은 서로 평행하다.

따라서 두 직선의 기울기가 같으므로

[eqn: {12-0} over {a-0} = {8-0} over {b-5} `]

[eqn: 2a=3b-15`] [eqn: cdotscdots㉠]

[eqn: {bar{rm O prime F prime ` it}}][eqn: =bar{rmOF`}`=5`]이므로

[eqn: sqrt {(b-a) ^{2} +(8-12) ^{2}} =5`]

[eqn: (b-a) ^{2} =9`] [eqn: cdotscdots㉡]

㉠, ㉡ 을 연립하여 [eqn: 0 LEQ a LEQ 12`], [eqn: 0 LEQ b LEQ 12`]의 범위에서 해를 구하면

[eqn: a=6`], [eqn: b=9`]

직선 [eqn: rmPQ`]는 선분 [eqn: rmOO'`]의 중점 [eqn: (3,```6)`]과 선분 [eqn: rmFF'`]의 중점 [eqn: (7,```4)`]를 지나는 직선이므로 직선 [eqn: rmPQ`]의 방정식은

[eqn: y][eqn: = {6-4} over {3-7} (x-3)+6]
[eqn: = it - {1} over {2} x+ {15} over {2} `]

따라서 [eqn: m=it- {1} over {2} `], [eqn: n= {15} over {2} `]이므로

[eqn: m+n=7`]

[다른풀이]

좌표평면 위의 점 [eqn: rmO`], [eqn: rmA`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`], [eqn: rmF`]의 좌표는 각각 [eqn: (0,```0)`], [eqn: (12,```0)`], [eqn: (12,```12)`], [eqn: (0,```12)`], [eqn: (5,```0)`]이다.

점 [eqn: rmO'`]은 선분 [eqn: rm BC] 위의 점이므로 점 [eqn: rmO'`]의 좌표를 [eqn: (a,```12)`]로 놓을 수 있다.

[eqn: {bar{rm O prime F prime ` it}}][eqn: =bar{rmOF`}`=5`]이고 [eqn: bar{rmHF'}=4`]이므로

[eqn: {bar{rm O prime H it}}][eqn: = sqrt {{bar{rm O prime F prime it}} ^{2} - {bar{rm HF prime it}} ^{2}}]
[eqn: =3]

따라서 점 [eqn: rmF'`]의 좌표를 [eqn: (a+3,```8)`]로 놓을 수 있다.

선분 [eqn: rmOO'`]의 중점을 [eqn: rmM`], 선분 [eqn: rmFF'`]의 중점을 [eqn: rmN`]이라 하면

[eqn: {rmM} LEFT ( {a} over {2} ,```6 RIGHT ) `], [eqn: {rmN} LEFT ( {a+8} over {2} ,```4 RIGHT ) `]

이고, 두 점 [eqn: rmM`], [eqn: rmN`]은 직선 [eqn: rm PQ] 위의 점이므로

직선 [eqn: rmPQ`]의 기울기는

[eqn: {4-6} over {{a+8} over {2} - {a} over {2}} = {-2} over {4}][eqn: =it- {1} over {2} `]

직선 [eqn: rmOO'`]과 직선 [eqn: rmPQ`]는 수직이므로 직선 [eqn: rmOO'`]의 기울기는 [eqn: 2`]이다.

[eqn: {12-0} over {a-0} = {12} over {a}][eqn: =2`]

[eqn: a=6`]이므로

[eqn: {rmM}(3,```6)`]

따라서 직선 [eqn: rmPQ`]의 방정식은

[eqn: y][eqn: = it - {1} over {2} (x-3)+6]
[eqn: =it it - {1} over {2} x+ {15} over {2} `]

따라서 [eqn: m=it- {1} over {2} `], [eqn: n= {15} over {2} `]이므로

[eqn: m+n=7`]

22. [출제의도] 합집합의 모든 원소의 합을 구한다.

두 집합 [eqn: A= LEFT { 2,```4,```6 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 3,```6,```9 RIGHT } `]에서

[eqn: A CUP B= LEFT { 2,```3,```4,```6,```9 RIGHT } `]

따라서 집합 [eqn: A CUP B`]의 모든 원소의 합은

[eqn: 2+3+4+6+9 = 24`]

23. [출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 계수의 값을 구한다.

주어진 등식은 [eqn: x`]에 대한 항등식이므로 양변에 [eqn: x=2`]를 대입하면

[eqn: 8-4-10+a=0`]

따라서 [eqn: a=6`]이므로 이를 주어진 등식에 대입하여 정리하면

[eqn: x ^{3} -x ^{2} -5x+6=(x-2)(x ^{2} +x+b)`]

[eqn: =x ^{3} -x ^{2} +(b-2)x-2b`]

양변의 계수를 비교하면 [eqn: b=it-3`]이므로 [eqn: a+b=3`]이다.

[다른풀이]

주어진 등식이 [eqn: x ^{3} -x ^{2} -5x+a][eqn: =(x-2)(x ^{2} +x+b)`]이므로 [eqn: x ^{3} -x ^{2} -5x+a`]를 [eqn: x-2`]로 나누면 몫이 [eqn: x ^{2} +x+b`]이고 나머지가 [eqn: 0`]이다.

조립제법을 이용하여 계산하면

[eqn: 2`]		[eqn: 1`]	[eqn: -1`]	[eqn: -5`]		[eqn: a`]
			[eqn: 2`]	[eqn: 2`]		[eqn: -6`]
		[eqn: 1`]	[eqn: 1`]	[eqn: -3`]		[eqn: a-6`]

따라서 몫은 [eqn: x ^{2} +x-3`]이고 나머지는 [eqn: a-6`]에서

[eqn: a=6`], [eqn: b=it-3`]이므로 [eqn: a+b=3`]이다.

24. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해한다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax+a-3=0`]의 두 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =a`], [eqn: alpha beta =a-3`]

두 근의 합이 [eqn: 10`]이므로

[eqn: a=10`]

따라서 두 근의 곱은 [eqn: a-3=7`]이다.

25. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 나머지를 구한다.

나머지정리에 의하여 다항식 [eqn: P`(x)`]를 [eqn: x-k`]로 나눈 나머지는

[eqn: P`(k)=k ^{3} +k ^{2} +k+1`]

다항식 [eqn: P`(x)`]를 [eqn: x+k`]로 나눈 나머지는

[eqn: P`(-k)= it -k ^{3} +k ^{2} -k+1`]

나머지의 합이 [eqn: 8`]이므로

[eqn: P`(k)+P`(-k)][eqn: =k ^{3} +k ^{2} +k+1+(-k ^{3} +k ^{2} -k+1)]
[eqn: =2k ^{2} +2`]
[eqn: =8]

[eqn: k ^{2} =3`]

다항식 [eqn: P`(x)`]를 [eqn: x-k ^{2} `]으로 나눈 나머지는

[eqn: P`(k ^{2} )][eqn: =(k ^{2} ) ^{3} +(k ^{2} ) ^{2} +k ^{2} +1]
[eqn: =3 ^{3} +3 ^{2} +3+1]
[eqn: =40`]

26. [출제의도] 집합의 연산법칙과 집합의 포함 관계를 이용하여 부분집합의 개수를 구한다.

[eqn: A= LEFT { 1,```2,```3 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 2,```3,```4,```5 RIGHT } `]에서

[eqn: A CUP B= LEFT { 1,``2,```3,```4,```5 RIGHT } `], [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 2,```3 RIGHT } `]이므로

[eqn: P`][eqn: = LEFT ( A CUP B` RIGHT ) ` SMALLINTER ` LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) ^{C} `]
[eqn: =(A{cup}B`)-(A{cap}B`)]
[eqn: =left{1,```4,```5right}]

[eqn: P SUBSET X SUBSET U`]이므로

[eqn: LEFT { 1,```4,```5 RIGHT } SUBSET X SUBSET left{1,```2,```3,```4,```5,```6,```7right}]

집합 [eqn: X`]는 [eqn: 1`], [eqn: 4`], [eqn: 5`]를 반드시 원소로 갖는 전체집합 [eqn: U`]의 부분집합이다.

이를 만족시키는 집합 [eqn: X`]의 개수는

[eqn: 2 ^{7-3} =2 ^{4} =16]

27. [출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이용하여 최솟값을 구한다.

[eqn: sqrt {{3} over {2}} TIMES root {4} of {a} =n`]([eqn: n`]은 자연수)라 하고 양변을 네제곱하면

[eqn: {9} over {4} a=n ^{4} `] 즉,

[eqn: {3 ^{2}} over {4} a=n ^{4} `]

등식의 좌변이 자연수 [eqn: n`]의 네제곱이 되려면

[eqn: a=4 TIMES 3 ^{2} TIMES k ^{4} `]([eqn: k`]는 자연수)

의 꼴이어야 한다.

[eqn: k=1`]일 때 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 36`]이다.

28. [출제의도] 평행이동을 이용하여 원의 방정식을 구한다.

두 삼각형 [eqn: rm OAB`], [eqn: rm O'A prime B prime `]에 내접하는 원을 각각 [eqn: C`], [eqn: C`` prime `]이라 하자.

원 [eqn: C`]의 반지름의 길이를 [eqn: r`]라 하면 원 [eqn: C`]는 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 모두 접하고 제[eqn: 1]사분면에 중심이 있으므로 중심의 좌표는 [eqn: (r,```r)`]이다.

또한 두 점 [eqn: rm A(4,```0)`], [eqn: rm B(0,```3)`]에 대하여 직선 [eqn: rm AB`]의 방정식은

[eqn: {x} over {4} + {y} over {3} =1`]

즉 [eqn: 3x+4y-12=0`]이고 원 [eqn: C`]가 직선 [eqn: rm AB`]에 접하므로 원의 중심 [eqn: (r,```r)`]와 직선 [eqn: rm AB] 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 [eqn: r`]와 같으므로

[eqn: {left|3r+4r-12right|} over {sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}} =r`]

[eqn: left|7r-12right|=5r]

[eqn: 7r-12 = 5r] 또는 [eqn: 7r-12=it-5r]

[eqn: r=6`], [eqn: r=1`]

[eqn: 0<r<3`]이므로

[eqn: r=1]

따라서 원 [eqn: C`]의 방정식은

[eqn: (x-1)^2 + (y-1)^2 =1]

점 [eqn: rm A(4,```0)`]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 5`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 평행이동하면 점 [eqn: rm A prime (9,```2)`]가 되므로 이 평행이동에 의하여 원 [eqn: C`]가 평행이동한 원 [eqn: C`` prime `]의 방정식은

[eqn: (x-5-1)^2 + (y-2-1)^2 =1]

[eqn: (x-6)^2 +(y-3)^2 =1]

[eqn: x^2 +y^2 -12x -6y +44=0]

[eqn: a=it-12`], [eqn: b=it-6`], [eqn: c=44`]이므로

[eqn: a+b+c = 26]

[참고]

내접원 [eqn: C`]의 반지름의 길이 [eqn: r`]를 다음과 같은 방법으로도 구할 수 있다.

원의 중심을 [eqn: rm M`]이라 하면, 점 [eqn: rm M`]에서 세 변 [eqn: rm OA`], [eqn: rm OB`], [eqn: rm AB`]에 내린 수선의 길이는 원의 반지름의 길이 [eqn: r`]와 같으므로

[eqn: triangle rm OAB][eqn: = TRIANGLE rm MOA+ TRIANGLE rm MAB+ TRIANGLE rm MBO`]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES rm {bar{OA}} TIMES bar{OB}`]

[eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm OA it}} TIMES it r rm `+ {1} over {2} TIMES {bar{AB}} TIMES it r rm `+ {1} over {2} TIMES {bar{rm OB}} TIMES it r rm `]

[eqn: 6= 1 over 2 r(4+5+3)]

[eqn: 6r=6]

[eqn: r=1]

29. [출제의도] 판별식과 부등식의 영역을 이용하여 최솟값을 구한다.

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: x ^{2} -2(a-1)x+b-2 GEQ 0`]

이므로 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2(a-1)x+b-2=0`]의 판별식을 [eqn: D _{`1} `]이라 하면

[eqn: {D _{`1}} over {4} =(a-1) ^{2} -b+2 LEQ 0`]

따라서 점 [eqn: (a,```b)`]는 그림과 같은 좌표평면에서 부등식

[eqn: b GEQ (a-1) ^{2} +2`] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠`]

의 영역에 속한다.

[eqn: a+b=k`]라 하면 [eqn: b=it-a+k`]이므로 기울기가 [eqn: -1`]인 직선이 ㉠ 의 영역을 지나면서 [eqn: b`]절편이 최소일 때 [eqn: a+b`]의 값이 최소이다.

이는 직선 [eqn: b=it-a+k`]와 이차함수 [eqn: b=(a-1) ^{2} +2`]가 접할 때이므로 연립하면

[eqn: (a-1) ^{2} +2= it -a+k`]

[eqn: a ^{2} -a+3-k=0`]

이차방정식 [eqn: a ^{2} -a+3-k=0`]의 판별식을 [eqn: D _{2} `]라 하면

[eqn: D _{`2} =1-4(3-k)=0`]

[eqn: k= {11} over {4} `]

따라서 [eqn: m= {11} over {4} `]이므로

[eqn: 4m=11`]

30. [출제의도] 등차수열의 성질을 이용하여 집합의 원소의 합을 추론한다.

등차수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 공차를 [eqn: d _{1} `]이라 하자.

[eqn: a _{10} =a _{1} +9d _{1} `]이므로 조건 (가)에서

[eqn: 55= 1+ 9d_1]

[eqn: d_1 =6]

따라서

[eqn: a _{n} `][eqn: =1+(n-1)6]
[eqn: =6n-5]

[eqn: A= LEFT { 1,```7,```13,```19,```25,```31,```37,```43,```49,```55 RIGHT } `]이므로

[eqn: n(A)=10]

조건 (나)에서

[eqn: n(A SMALLINTER B`)=n(A SMALLINTER B ^{C} `)]이고,

[eqn: n(A)=n(A SMALLINTER B`)+n LEFT ( A` SMALLINTER B ^{C}` RIGHT )]

이므로

[eqn: n(A SMALLINTER B`)=5]

만약 집합 [eqn: A`]의 원소를 작은 것부터 크기순으로 나열했을 때, 인접한 두 수가 [eqn: A{capB`]의 원소이면 수열 [eqn: left{b _{n} right}`]은 등차수열이므로 집합 [eqn: A`]의 모든 원소는 집합 [eqn: B`]의 원소가 된다. 따라서 [eqn: n(A SMALLINTER B``)=10`]이므로 [eqn: n(A SMALLINTER B``)=5`]에 모순이다.

인접하지 않은 항으로 [eqn: 5`]개의 원소를 선택하는 경우는 다음 두 가지 경우이다.

(ⅰ) [eqn: A{cap}B= LEFT { 7,```19,```31,```43,```55 RIGHT } `]인 경우
모든 원소의 합은 [eqn: {5(7+55)} over {2} =155`]이므로 조건 (다)에 모순이다.

(ⅱ) [eqn: A{cap}B= LEFT { 1,```13,```25,```37,```49 RIGHT } `]인 경우
모든 원소의 합은 [eqn: {5(1+49)} over {2} =125`]이므로 조건 (다)를 만족시킨다.

따라서 [eqn: A{cap}B= LEFT { 1,```13,```25,```37,```49 RIGHT } `]이다.

한편, [eqn: n(A SMALLINTER B`)= {1} over {2} TIMES n LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B` RIGHT ) =5`]이므로

[eqn: n LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B` RIGHT ) =10`]

따라서

[eqn: n LEFT ( B` RIGHT )][eqn: =n(A SMALLINTER B`)+n LEFT ( A ^{C} ` SMALLINTER B` RIGHT )]
[eqn: =5+10]
[eqn: =15]

공차가 [eqn: 6`]인 등차수열의 항을 원소로 갖는 집합 [eqn: A`]의 원소의 개수가 [eqn: 10`]이므로 수열 [eqn: left{b _{n} `right}`]의 공차가 [eqn: 6] 이상이면 집합 [eqn: B`]의 원소의 개수는 [eqn: 10] 이하이다.

따라서 수열 [eqn: left{b _{n} `right}`]의 공차는 [eqn: 6`]보다 작다.

이때 [eqn: n(A SMALLINTER B`)=5`], [eqn: n LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B` RIGHT ) =10`]이고,

수열 [eqn: left{b _{n} right}`]은 등차수열이므로 집합 [eqn: B`]의 원소를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을

[eqn: 1`], [eqn: c _{1} `], [eqn: c _{2} `], [eqn: 13`], [eqn: c _{3} `], [eqn: c _{4} `], [eqn: 25`], [eqn: c _{5} `], [eqn: c _{6} `], [eqn: 37`], [eqn: c _{7} `], [eqn: c _{8} `], [eqn: 49`], [eqn: c _{9} `], [eqn: c _{10} `]

이라 할 수 있다.

등차수열 [eqn: left{b _{n} right}`]의 공차를 [eqn: d _{2} `]라 하면

[eqn: 13-1`][eqn: =12]
[eqn: =3d _{2} `]이므로

[eqn: d _{2} =4`]

[eqn: B= LEFT { 1,```5,```9,```13,``` CDOTS ,```53,```57 RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: B`]의 모든 원소의 합은 첫째항이 [eqn: 1`]이고 공차가 [eqn: 4`]인 등차수열의 제[eqn: 1]항부터 제[eqn: 15]항까지의 합과 같으므로

[eqn: {15(1+57)} over {2} =435]

[참고]

두 등차수열이 [eqn: 3`]개 이상의 공통항을 가지면 그 공통항은 등차수열을 이룬다.