5지선다형

고 3	수학 영역 (가형)

	수학 영역 (가형)	고 3

12

12

2016학년도 9월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 (나형)

제 2 교시

1. [eqn: log` _{2`} 3+log _{`2`} {2} over {3} `]의 값은? [2점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

2.  두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }`], [eqn: B= LEFT { 2,~4,~6,~8,~10 RIGHT }`]에 대하여
집합 [eqn: A SMALLINTER B`]의 모든 원소의 합은? [2점]

	①	[eqn: 5]	②	[eqn: 6]	③	[eqn: 7]	④	[eqn: 8]	⑤	[eqn: 9]

3. [eqn: lim _{x`` -> ``2} {{x ^{2} LEFT ( x-2 RIGHT )} over {x-2} }`]의 값은? [2점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

4. 실수 [eqn: x`] 에 대하여 [eqn: 3 ^{x} =2`]일 때, [eqn: 3 ^{x} +3 ^{-x} `]의 값은? [3점]

	①	[eqn: {5} over {2}]	②	[eqn: 3]	③	[eqn: {7} over {2}]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: {9} over {2}]

5. 모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`] 에 대하여
[eqn: a` _{1} =`1`], [eqn: a` _{2} +a` _{3} =`6`]일 때, [eqn: a _{6} `]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 8]	②	[eqn: 16]	③	[eqn: 32]	④	[eqn: 64]	⑤	[eqn: 128]

고 2	수학 영역 (가형)

6. 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: 2x+ {8} over {x} `]의 최솟값은? [3점]

	①	[eqn: 5]	②	[eqn: 6]	③	[eqn: 7]	④	[eqn: 8]	⑤	[eqn: 9]

고 2	수학 영역 (나형)

고 2	수학 영역 (나형)

	수학 영역 (나형)	고 2

7. [eqn: sum _{k=1} ^{7} {1} over {LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT )} `]의 값은? [3점]

	①	[eqn: {1} over {6}]	②	[eqn: {2} over {9}]	③	[eqn: {5} over {18}]	④	[eqn: {1} over {3}]	⑤	[eqn: {7} over {18}]

8. 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 12 ^{a} =16`], [eqn: 3 ^{b} =2`]일 때,
[eqn: 2 ^{{4} over {a} - {1} over {b}} `]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

9. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +ax+3`]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) `=7]을 만족시키는
상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

10. 실수 [eqn: x`]에 대하여 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]를 각각

[eqn: p:`-1<x<2`],   [eqn: q:`x ^{2} +ax+b<0]

이라 하자. [eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요충분조건일 때, [eqn: a+b`]의 값은?
(단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

	①	[eqn: -5]	②	[eqn: -4]	③	[eqn: -3]	④	[eqn: -2]	⑤	[eqn: -1]

11. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[eqn: f(x)= {cases{`` LEFT ( a+3 RIGHT ) x+1&````` LEFT ( x<0 RIGHT )#`` LEFT ( 2-a RIGHT ) x+1&````` LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]

이 일대일 대응이 되도록 하는 모든 정수 [eqn: a`]의 개수는? [3점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

12. 수열 [eqn: left{a_n right}`]이 [eqn: a _{1} =1`]이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {n+1} over {1+a _{n}} `+1]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{4} `]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 2]	②	[eqn: {7} over {3}]	③	[eqn: {8} over {3}]	④	[eqn: 3]	⑤	[eqn: {10} over {3}]

13. 다항식 [eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{n} `]을 [eqn: x+1`]로 나눈 나머지를 [eqn: R _{n} `]이라 할 때,
[eqn: sum _{n=1} ^{5} R _{n} `]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 46]	②	[eqn: 50]	③	[eqn: 54]	④	[eqn: 58]	⑤	[eqn: 62]

14. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[eqn: f(x)`=` {cases{``-x ^{2} +a`````````````````````` LEFT ( x<1 RIGHT )#``2x ^{2} `+b`x`+`4`````` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

이 [eqn: x=1`]에서 미분가능할 때, [eqn: a ^{2} `+b ^{2}`]의 값은?
(단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [4점]

	①	[eqn: 33]	②	[eqn: 35]	③	[eqn: 37]	④	[eqn: 39]	⑤	[eqn: 41]

15. 모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]에 대하여 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} -n ^{2} RIGHT )`]이
수렴할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {a _{`n} -n} over {a _{`n} +n ^{2}}} `]의 값은? [4점]

	①	[eqn: - {1} over {2}]	②	[eqn: - {1} over {4}]	③	[eqn: 0]	④	[eqn: {1} over {4}]	⑤	[eqn: {1} over {2}]

16. 정의역이 [eqn: LEFT { x``□``x` RIGHT .]는 [eqn: x GEQ 0`]인 모든 실수[eqn: {`right]인 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{x ^{n+1} +ax+2} over {x ^{n} +1}}]

가 [eqn: x=1`]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [4점]

	①	[eqn: -2]	②	[eqn: -1]	③	[eqn: 0]	④	[eqn: 1]	⑤	[eqn: 2]

17. 정의역이 [eqn: LEFT { x``□``x` RIGHT .]는 [eqn: x GEQ k`]인 모든 실수[eqn: {`right]이고,
공역이 [eqn: LEFT { y``□``y RIGHT .]는 [eqn: y GEQ 1`]인 모든 실수[eqn: {`right]인 함수

[eqn: {{f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2kx+k ^{2} +1}}]

에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자. 두 함수
[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]와 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록
하는 실수 [eqn: k`]의 최댓값은? [4점]

	①	[eqn: {7} over {8}]	②	[eqn: 1]	③	[eqn: {9} over {8}]	④	[eqn: {5} over {4}]	⑤	[eqn: {11} over {8}]

18. 그림과 같이 제[eqn: 1`]사분면 위에 있는 점 [eqn: rmA`]와 [eqn: x`]축 위의 서로
다른 두 점 [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]를 꼭짓점으로 하고 [eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rm AC it}}`]인 삼각형
[eqn: rmABC`]의 무게중심 [eqn: rm G`]가 곡선 [eqn: y= {1} over {x}] 위에 있다.
점 [eqn: rm G`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: t`], 삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이가 [eqn: 3t`]일 때,
선분 [eqn: rmBC`]의 길이를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자. [eqn: lim _{t` -> ``1} {` {f LEFT ( t RIGHT ) -2t} over {t-1}}`]의 값은?

[4점]

[eqn: rmB`]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A]

[eqn: rm G]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y= {1} over {x}]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: {3} over {2}]	③	[eqn: 2]	④	[eqn: {5} over {2}]	⑤	[eqn: 3]

19. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 일반항은 [eqn: a _{n} =n+1`]이다.
다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: LEFT ( sum _{k=1} ^{n} a _{k} RIGHT ) ^{2} = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{3} -2 sum _{k=1} ^{n} a _{k}`]     [eqn: CDOTS CDOTS `( AST )]

이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

	(i) [eqn: n=1`]일 때 (좌변)[eqn: = LEFT ( sum _{k=1} ^{1} a _{k} RIGHT ) ^{2} = {BOX{`````(가) _{`} ^{```````}}} `], (우변)[eqn: = sum _{k=1} ^{1} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{3} -2 sum _{k=1} ^{1} a _{k} = {BOX{`````(가)_`^```````}} `]이므로 ([eqn: AST])이 성립한다. (ii) [eqn: n=m LEFT ( m GEQ 1 RIGHT )`]일 때, ([eqn: AST])이 성립한다고 가정하면 [eqn: LEFT ( sum _{k=1} ^{m} a _{k} RIGHT ) ^{2} = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{3} -2 sum _{k=1} ^{m} a _{k} `]이므로 [eqn: LEFT ( sum _{k=1} ^{m+1} a _{k} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( sum _{k=1} ^{m} a _{k} +a _{m+1} RIGHT ) ^{2}] [eqn: = LEFT ( sum _{k=1} ^{m} a _{k} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} a _{k} RIGHT ) a _{m+1} + LEFT ( a _{m+1} RIGHT ) ^{2}] [eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{3} -2 sum _{k=1} ^{m} a _{k} +2 LEFT ( sum _{k=1} ^{m} a _{k} RIGHT ) a _{m+1} + LEFT ( a _{m+1} RIGHT ) ^{2}] [eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{3} + LEFT ( {BOX{`````(나)_`^```````}} RIGHT ) `` sum _{k=1} ^{m} a _{k} + LEFT ( a _{m+1} RIGHT ) ^{2}] [eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{3} +m ^{3} +5m ^{2} +7m+4] [eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{3} + LEFT ( a _{m+1} RIGHT ) ^{3} -(m ^{2} +5m+4 )] [eqn: = sum _{k=1} ^{m+1} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{3} -2 sum _{k=1} ^{m+1} a _{k}] 이다. 따라서 [eqn: n=m+1`]일 때에도 ([eqn: AST])이 성립한다. (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ([eqn: AST])이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p`], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( m RIGHT )`]이라
할 때, [eqn: f LEFT ( p RIGHT ) `]의 값은? [4점]

	①	[eqn: 10]	②	[eqn: 11]	③	[eqn: 12]	④	[eqn: 13]	⑤	[eqn: 14]

20. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프가
그림과 같을 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 3 RIGHT ) =0`]) [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: 4]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: lim _{x` -> ``0-} {f LEFT ( x RIGHT )} =1] ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( x+3 RIGHT ) `]는 [eqn: x=0`]에서 연속이다. ㄷ. 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( x+1 RIGHT ) +2x-5=0`]은 열린 구간 [eqn: LEFT ( 1,~3 RIGHT ) `] 에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

	①	ㄱ	②	ㄷ	③	ㄱ, ㄴ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2`]인 정사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1} `]에서
중심을 [eqn: rm B _{1} `], 선분 [eqn: rm B _{1} C _{1} `]을 반지름으로 하고 중심각의 크기가 [eqn: 90 DEG `]인
부채꼴 [eqn: rm B _{1} C _{1} A _{1} `]을 그린다. 부채꼴 [eqn: rm B _{1} C _{1} A _{1} `]의 호 [eqn: rm C _{1} A _{1} `]을 삼등분
하는 두 점을 각각 [eqn: RME_1`], [eqn: rmF _{1} `]이라 하고, 선분 [eqn: rm B _{1} E _{1} `]을 그린다. 점 [eqn: rm F _{1} `]을
한 꼭짓점으로 하고 부채꼴 [eqn: rm B _{1} E _{1} A _{1} `]에 내접하는 정삼각형에 색칠
하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1} `]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1} `]에 점 [eqn: rmD _{1} `]과 부채꼴 [eqn: rm B _{1} C _{1} A _{1} `]의 호 [eqn: rm C _{1} A _{1} `]을 이등분하는
점 [eqn: rm B _{2} `]를 대각선의 양 끝점으로 하는 정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{1} `]을 그리고,
정사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{1} `]에 그림 [eqn: R _{1} `]을 얻은 것과 같은 방법으로
만들어지는 정삼각형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2} `]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n} `]에 색칠되어
있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n}} `]의 값은?
(단, [eqn: rm ANGLE A _{it n rm} B _{it n rm} E _{it n rm} =60 DEG `]) [4점]

[eqn: rm B _{1}] [eqn: rm C _{1}] [eqn: rm D _{1}] [eqn: rm A _{1}] [eqn: rm E _{1}] [eqn: rm F _{1}]	[eqn: rm B _{2}] [eqn: rm C _{2}] [eqn: rm D _{1}] [eqn: rm A _{2}] [eqn: rm E _{2}] [eqn: rm A _{1}] [eqn: rm B _{1}] [eqn: rm C _{1}] [eqn: rm F _{2}]
[eqn: R _{1}]	[eqn: R _{2}]
	[eqn: CDOTS]
[eqn: R _{3}]	[eqn: CDOTS]

	①	[eqn: {3 sqrt {6} +2 sqrt {3}} over {21} `]	②	[eqn: {4 sqrt {6} +2 sqrt {3}} over {21} `]	③	[eqn: {4 sqrt {6} +3 sqrt {3}} over {21} `]
	④	[eqn: {5 sqrt {6} +2 sqrt {3}} over {21} `]	⑤	[eqn: {5 sqrt {6} +3 sqrt {3}} over {21} `]

단 답 형

22. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3 ^{n+3} -2 ^{n}} over {3 ^{n}}} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. 양의 실수 [eqn: A`]에 대하여 [eqn: log`A=2.1673`]일 때, [eqn: A`]의 값을
구하시오. (단, [eqn: log`1.47=0.1673`]으로 계산한다.) [3점]

24. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S _{n} `]이
[eqn: S _{n} =n ^{2} +2n`]일 때, [eqn: a _{10} `]의 값을 구하시오. [3점]

25. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }`], [eqn: B= LEFT { 1,~2 RIGHT }`]에 대하여
[eqn: B SUBSET X SUBSET A`]를 만족시키는 모든 집합 [eqn: X`]의 개수를 구하시오.

[3점]

26. 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{f LEFT ( x RIGHT ) -x ^{3}} over {x ^{2} +1}} =2`],    [eqn: lim _{x` -> `-1} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x+1}} =5`]

를 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [4점]

27. [eqn: -2 LEQ m LEQ 2`], [eqn: 1 LEQ n LEQ 16`]인 두 정수 [eqn: m`], [eqn: n`]에 대하여
[eqn: root {4} of {n ^{m}}`]이 유리수가 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( `m,~n` RIGHT ) `]의
개수를 구하시오. [4점]

28. 그림과 같이 점 [eqn: rmP LEFT ( 2,~0` RIGHT ) `]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =2`]에 그은 두
접선이 [eqn: y`]축과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]라 하고,
직선 [eqn: y=kx`]가 직선 [eqn: rm AP`]와 만나는 점을 [eqn: rmQ`]라 하자. 삼각형
[eqn: rm OQA`]의 넓이를 [eqn: S _{1} `], 삼각형 [eqn: rm OPQ`]의 넓이를 [eqn: S _{2} `], 삼각형 [eqn: rm OBP`]의
넓이를 [eqn: S _{3} `]이라 하자. [eqn: S _{1} `], [eqn: S _{2}`], [eqn: S _{3} `]이 이 순서대로 등차수열을
이룰 때, 상수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: 100k`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO`]는
원점, [eqn: k>1`]이고, 점 [eqn: rmA`]의 [eqn: y`]좌표는 양수이다.) [4점]

[eqn: rm P]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: y=kx]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm Q]

29. 다음과 같이 제[eqn: n`]행에 각각 첫째항이 [eqn: 1`]이고 공비가 [eqn: 3`]인
등비수열의 항을 첫째항부터 차례로 [eqn: n`]개 나열한다.

제[eqn: 1]행	[eqn: 1]
제[eqn: 2]행	[eqn: 1][eqn: ,] [eqn: 3]
제[eqn: 3]행	[eqn: 1][eqn: ,] [eqn: 3][eqn: ,] [eqn: 3^2]
제[eqn: 4]행	[eqn: 1][eqn: ,] [eqn: 3][eqn: ,] [eqn: 3^2][eqn: ,] [eqn: 3^3]
⋮	⋮
제[eqn: n]행	[eqn: 1][eqn: ,] [eqn: 3][eqn: ,] [eqn: 3^2][eqn: ,] [eqn: 3^3], [eqn: CDOTS], [eqn: 3 ^{n-2}], [eqn: 3 ^{n-1}]

위와 같이 나열할 때, 제[eqn: n`]행의 모든 자연수 중에서 [eqn: 5`]로 나눈
나머지가 [eqn: 3`]인 자연수의 개수를 [eqn: a _{n}`]이라 할 때[eqn: ,] [eqn: sum _{k=1} ^{20} `a _{k}`]의 값을
구하시오. [4점]

30. 그림과 같이 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {k} over {x-1} +k`][eqn: LEFT ( k>1 RIGHT )`]의 그래프가 있다.
점 [eqn: rm P LEFT ( it `1,~k RIGHT )`]에 대하여 직선 [eqn: RMOP`]와 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프가
만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: rm A`]라 하자. 점 [eqn: rmP`]를 지나고
원점으로부터 거리가 [eqn: 1`]인 직선 [eqn: l`]이 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와
제[eqn: 1`]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmB`], [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rmC`]라 하자.
삼각형 [eqn: rm PBA`]의 넓이를 [eqn: S_1`], 삼각형 [eqn: rm PCO`]의 넓이를 [eqn: S _{2} `]라 할 때,
[eqn: 2S _{1} =S _{2} `]이다. 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 10k ^{2} `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rmO`]는 원점이고, 직선 [eqn: l`]은 좌표축과 평행하지 않다.) [4점]

[eqn: rm P]

[eqn: rm B]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm C]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: k]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: l]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.