수학 나형 정답

1	①	2	③	3	⑤	4	④	5	②
6	③	7	①	8	③	9	⑤	10	④
11	⑤	12	②	13	②	14	①	15	①
16	②	17	④	18	⑤	19	③	20	④
21	①	22	[eqn: 11]	23	[eqn: 30]	24	[eqn: 12]	25	[eqn: 4]
26	[eqn: 13]	27	[eqn: 8]	28	[eqn: 96]	29	[eqn: 132]	30	[eqn: 64]

해 설

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식을 계산한다.

[eqn: 3 ^{`-1} TIMES 9=3 ^{`-1} TIMES 3 ^{`2} =3]

2. [출제의도] 합집합의 원소의 개수를 구한다.

[eqn: A CUP B`= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT } `]이므로

[eqn: n(A CUP B`)=5]

3. [출제의도] 수열의 극한값을 구한다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {4 ^{`n+2} -2 ^{`n}} over {4 ^{`n} +1`}= lim _{n` -> ` INF } {` {16- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}} over {1+ LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n}} = {16-0} over {1+0} =16}]

4. [출제의도] 독립사건을 이해하여 확률을 구한다.

[eqn: rmP LEFT ( itA` RIGHT )= rm P LEFT ( it A` SMALLINTER B` RIGHT ) +rm P LEFT ( it A` SMALLINTER B ^{C} `` RIGHT )= {1} over {4} + {1} over {3} = {7} over {12}]

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 독립이므로

[eqn: rm P LEFT ( it A` SMALLINTER B` RIGHT ) =][eqn: rm P LEFT ( it A RIGHT ) TIMES rm P LEFT ( it B` RIGHT ) = {1} over {4}]

따라서 [eqn: rm P LEFT ( it B` RIGHT ) = {1} over {4} TIMES {1} over {rmP LEFT ( it A RIGHT )} = {3} over {7}]

5. [출제의도] 합성함수와 역함수를 이해하여 함숫값을 구한다.

[eqn: LEFT ( f`` ^{-1} CIRC g RIGHT ) (3)=f` ^{`-1} (g(3))=f` ^{`-1} (1)]

[eqn: f` ^{`-1} (1)=a`]라 하면 [eqn: f(a)=1`]이므로

[eqn: a=2]

6. [출제의도] 등차수열의 성질을 이해하여 주어진 식의 값을 구한다.

[eqn: a _{`1} =a], 등차수열 [eqn: LEFT { a _{``n} RIGHT } `]의 공차를 [eqn: d`]라 하자.

[eqn: a _{`1}], [eqn: a _{`1} +a _{`2}], [eqn: a _{`2} +a _{`3} `]이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: 2(a _{`1} +a _{`2} )=a _{`1} +(a _{`2} +a _{`3} )`]

[eqn: a _{`1} +a _{`2} =a _{`3}]

[eqn: a+(a+d)=a+2d``]이므로 [eqn: a=d]

[eqn: {a _{`3}} over {a _{`2}} = {a+2d} over {a+d} = {3d} over {2d} = {3} over {2}]

7. [출제의도] 함수의 극한을 이해하여 극한값을 구한다.

[eqn: lim _{x` -> `-1-} {f(x)+ lim _{x` -> `1+} {f(x)} =0+(-2)=it-2}]

8. [출제의도] 명제와 진리집합의 관계를 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.

두 조건 [eqn: p], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q`]라 하면

[eqn: P= LEFT { x`□`-a LEQ x LEQ a RIGHT }], [eqn: Q= LEFT { x`□`-3 LEQ x LEQ 7 RIGHT }]

명제 [eqn: p`` -> ``q`]가 참이면 [eqn: P SUBSET Q`]이어야 하므로

[eqn: -a GEQ -3], [eqn: a LEQ 7]

따라서 [eqn: a LEQ 3`]이고 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 3`]

9. [출제의도] 적분과 미분의 관계를 이해하여 조건을 만족시키는 함숫값을 구한다.

주어진 등식의 양변에 [eqn: x=1`]을 대입하면
[eqn: 0=1+a-3+1]

[eqn: a=1]

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2x-3]

따라서 [eqn: f` LEFT ( 1 RIGHT ) =2]

10. [출제의도] 조건부확률을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

A 대학을 희망한 학생 수는 [eqn: 50`]명이고

이 학생 중 [eqn: 3`]반 여학생은 [eqn: 11`]명이므로,

구하는 확률은 [eqn: {11} over {50}]

11. [출제의도] 여사건의 확률을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

A 또는 B가 뽑힐 확률은 [eqn: 1`]에서 A, B 모두 뽑히지 않을 확률을 뺀 값이다.
[eqn: 8`]명 중 [eqn: 5`]명을 뽑는 경우의 수는 [eqn: {}_{8`} rm C _{`5} =56],

A, B가 모두 뽑히지 않는 경우의 수는 [eqn: {}_{6} rm C _{5} =6`]이므로

A 또는 B가 뽑힐 확률은 [eqn: 1- {6} over {56} = 50 over56 = {25} over {28}]

12. [출제의도] 다항함수의 미분법을 이해하여 가속도를 구한다.

속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) `]를 미분하면 가속도이므로

[eqn: t=a`]에서의 가속도는 [eqn: v` prime LEFT ( a RIGHT )]이다.

[eqn: v` prime LEFT ( a RIGHT ) = it -2a+10=0]

따라서 [eqn: a=5]

13. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하여 극한값을 구한다.

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d`]라 하자.

[eqn: a _{3} =a+2d=5], [eqn: a _{6} =a+5d=11]이므로

[eqn: a=1], [eqn: d=2], [eqn: a _{`n} =2n-1]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {sqrt {n} LEFT ( sqrt {a _{`n+1}} - sqrt {a _{`n}} RIGHT )}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {sqrt {n} LEFT ( sqrt {2n+1} - sqrt {2n-1} ` RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{2 sqrt {n}} over {sqrt {2n+1} + sqrt {2n-1}}}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{2} over {sqrt {2+ {1} over {n}} + sqrt {2- {1} over {n}}}}]

[eqn: = {sqrt {2}} over {2}]

14. [출제의도] 유리함수의 그래프와 일차함수의 성질을 이해하여 주어진 문제를 해결한다.

정의역 [eqn: LEFT . LEFT { x`|`x != it - {1} over {a} RIGHT . `인````실수 RIGHT }]와 치역 [eqn: LEFT . LEFT { y`|`y != {b} over {a} RIGHT . `인````실수 RIGHT }]

가 같으므로 [eqn: - {1} over {a} = {b} over {a} `], [eqn: b=it-1`]이다. 두 점근선의 교점 [eqn: LEFT ( - {1} over {a} ,``- {1} over {a} RIGHT ) `]이 직선 [eqn: y=2x+3`]위에 있으므로

[eqn: - {1} over {a} =it- {2} over {a} +3], [eqn: a= {1} over {3}]

따라서 [eqn: a+b= {1} over {3} +(-1)=it- {2} over {3}]

15. [출제의도] 확률분포의 성질을 이해하여 표본평균의 분산을 구한다.

모든 확률의 합이 [eqn: 1]이므로 [eqn: a=1- {1} over {3} - {1} over {2} = {1} over {6}]

[eqn: rm E LEFT ( it X` RIGHT ) =(-2) TIMES {1} over {3} +0 TIMES {1} over {2} +1 TIMES {1} over {6}][eqn: =`- {1} over {2}]

[eqn: rm E LEFT ( it X ^{`2} RIGHT ) =(-2)` ^{2} TIMES {1} over {3} +0 ^{`2} TIMES {1} over {2} +1` ^{2} TIMES {1} over {6}][eqn: = {3} over {2}]

[eqn: rm V LEFT ( it X` RIGHT ) = rm E LEFT ( it X ^{`2} RIGHT ) - rm LEFT { E LEFT ( it X` RIGHT ) RIGHT } ^{`2} = {3} over {2} - LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{`2} = {5} over {4}]

표본의 크기가 [eqn: 16]이므로 [eqn: rm V LEFT ( it {bar{X``}} RIGHT ) = {rm V LEFT ( it X` RIGHT )} over {16} rm = {5} over {64}]

16. [출제의도] 다항함수의 미분법과 적분법을 이용하여 함수의 최댓값을 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: g LEFT ( a RIGHT ) = int _{-a} ^{a} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]라 하자.

[eqn: g LEFT ( a RIGHT )][eqn: = int _{-a} ^{0} {LEFT ( 2x+2 RIGHT ) `dx} + int _{0} ^{a} {LEFT ( -x ^{`2} +2x+2 RIGHT ) `dx}]
[eqn: = it -a ^{2} +2a- {1} over {3} a ^{3} +a ^{2} +2a]
[eqn: = it - {1} over {3} a ^{3} +4a]

[eqn: g` prime LEFT ( a RIGHT ) = it -a ^{`2} +4= it - LEFT ( a+2 RIGHT ) LEFT ( a-2 RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( a RIGHT ) `]의 증가와 감소를 나타낸 표는 다음과 같다.

[eqn: a]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g` prime LEFT ( a RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g LEFT ( a RIGHT )]		[eqn: NEARROW]	[eqn: {16} over {3}]	[eqn: SEARROW]

[eqn: g LEFT ( a RIGHT ) `]는 [eqn: a=2`]에서 최댓값 [eqn: {16} over {3} `]

17. [출제의도] 이차함수와 함수의 극한의 성질을 이용하여 함숫값을 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +cx+d`](단, [eqn: c]와 [eqn: d]는 상수이다.)

[eqn: lim _{x` -> `0} {` LEFT | x RIGHT | LEFT { f` LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) -f` LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) RIGHT }} `=a`]이므로

[eqn: lim _{x` -> `0+} {`x LEFT { f` LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) -f` LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) RIGHT }} `= lim _{x` -> `0-} {`(-x) LEFT { f` LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) -f` LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: {1} over {x} =t`]로 치환하면

[eqn: lim _{t` -> ` INF } {` {f LEFT ( t RIGHT ) -f LEFT ( -t RIGHT )} over {t}} =2c], [eqn: lim _{t` -> `- INF } {` {f LEFT ( t RIGHT ) -f LEFT ( -t RIGHT )} over {-t}} =it-2c]

이므로 [eqn: c=0`], [eqn: a=0`]이고 [eqn: f(x)=x ^{`2} +d]

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {`f` LEFT ( {1} over {x} RIGHT )} = lim _{x` -> ` INF } {LEFT . LEFT ( {1} over {x ^{`2}} RIGHT . +d` RIGHT ) =d=3`}]이므로 [eqn: f(x)=x ^{2} +3]

따라서 [eqn: f(2)=2 ^{`2} +3=7]

18. [출제의도] 등비수열의 일반항을 추측하여 등비급수의 합을 추론한다.

그림 [eqn: R _{`1} `]에서 선분 [eqn: rm BC`]의 중점을 [eqn: rm M`], 선분 [eqn: rm EF`]의

중점을 [eqn: rm N], 원 [eqn: O`]의 중심을 [eqn: rm P`]라 하면, [eqn: {bar{rm AM it}} = sqrt {3} `]이고 삼각형 [eqn: rm PAM`]이 정삼각형이므로 [eqn: ANGLE rm APM= {pi } over {3} `]이다.

[eqn: S _{`1} =2` TIMES]{(부채꼴 [eqn: rm PAM`]의 넓이)
[eqn: -](삼각형 [eqn: rm PAM`]의 넓이)[eqn: +](삼각형 [eqn: rm AMC`]의 넓이)}

[eqn: =2 timesleft( pi over2 - {3root3 }over4 +root3 over2 right)][eqn: =pi - root3 over2]

직선 [eqn: rmAC`]와 직선 [eqn: rmDE`]의 교점을 [eqn: rmQ`]라 하자.

[eqn: anglermAQP = angle CAM = pi over6`](엇각)

[eqn: anglermDQP = angleEDN = pi over6`](엇각)이므로 [eqn: angle rm AQD = pi over3]

호 [eqn: rmAD`]의 중심각 [eqn: ANGLE rm APD= {2} over {3} pi `]이고 호 [eqn: rmAD`]의 원주각의 크기는 [eqn: {pi } over {3} `]이므로, 점 [eqn: rmQ`]는 원 [eqn: O] 위의 점이다.

[eqn: R_{`2}`]에서 새로 그려진 원은 위 그림과 같이 높이가

원 [eqn: O`]의 지름과 같고 점 [eqn: rmQ`]를 한 꼭짓점으로 하는

정삼각형에 내접한다. 새로 그려진 원의 중심은

이 정삼각형의 무게중심이므로 반지름의 길이는

[eqn: {2 sqrt {3}} over {3} `]이다. 원의 닮음비가 [eqn: sqrt {3} : {2 sqrt {3}} over {3} =3:2`]이고

넓이의 비는 [eqn: 9:4`]이므로 [eqn: R _{`2} `]에서 추가로 색칠되는

도형의 넓이는 [eqn: {4} over {9} S _{`1} `]이다.

[eqn: R _{`n+1} `]에서 추가로 색칠되는 도형의 넓이는 [eqn: R _{`n} `]에서 추가로 색칠된 도형의 넓이의 [eqn: {4} over {9} `]배이다.

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`S _{`n}} = {pi - {sqrt {3}} over {2}} over {1- {4} over {9}}][eqn: ={18pi -9root3}over10]

19. [출제의도] 확률변수의 평균을 구하는 과정을 추론한다.

주사위의 눈이 처음부터 [eqn: 6`]의 약수가 연속으로 [eqn: 5`]회 나오는 경우 확률변수 [eqn: X`]는 최댓값을 갖고 그 값은 [eqn: 10`]이므로 [eqn: a=`10]

[eqn: 6`]의 약수인 눈이 나오는 경우를 ○,

[eqn: 6`]의 약수가 아닌 눈이 나오는 경우를 ×라 하자.

[eqn: X= it -3`]인 경우는

[eqn: 6`]의 약수인 눈이 [eqn: 1`]회, [eqn: 6`]의 약수가 아닌 눈이 [eqn: 5`]회

나오는 경우의 [eqn: {}_{6`} rm C _{`1} `]가지 중 ×××××○, ××××○×

인 경우를 제외한 [eqn: {}_{6`} rm C _{`1} -2`]가지이므로 [eqn: b=4]

[eqn: X=9`]인 경우는

[eqn: 6`]의 약수인 눈이 [eqn: 5`]회, [eqn: 6`]의 약수가 아닌 눈이 [eqn: 1`]회

나오는 경우의 [eqn: {}_{6`} rm C _{`1} `]가지 중 ○○○○○×인 경우를

제외한 [eqn: {}_{6`} rm C _{`1} -1`]가지이므로 [eqn: c=5]

따라서 [eqn: a+b+c=10+4+5=19]

20. [출제의도] 다항함수의 미분법과 적분법을 이용하여 함숫값을 구하는 문제를 해결한다.

삼차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) `]는 서로

다른 두 실근을 가지므로 두 가지 경우가 있다.

(ⅰ) 함수 [eqn: y=f(x)-f(4)`]의 그래프가 [eqn: x=2`]에서

[eqn: x]축에 접하고 [eqn: x=4`]에서 만나는 경우

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =(x-2)` ^{2} (x-4)+f(4)]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =2(x-2)(x-4)+(x-2) ^{`2}][eqn: =(x-2)(3x-10)`]이므로

[eqn: f` prime ` LEFT ( {11} over {3} RIGHT ) >0]이고 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) 함수 [eqn: y=f(x)-f(4)`]의 그래프가 [eqn: x=4`]에서

[eqn: x]축에 접하는 경우

[eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =0], [eqn: f` prime LEFT ( 4 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3 LEFT ( x-2 RIGHT ) (x-4)], [eqn: f` prime ` LEFT ( {11} over {3} RIGHT ) <0`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )= int _{} ^{} {3 LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) `dx}]
[eqn: =x` ^{3} -9x ^{`2} +24x+C`] (단, [eqn: C`]는 상수이다.)

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =C+20=35`]이므로 [eqn: C=15]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{`3} -9x ^{`2} +24x+15]

따라서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =15]

21. [출제의도] 유리함수와 무리함수의 그래프의 성질을 이용하여 점의 개수를 추론한다.

(ⅰ) [eqn: n=1] 또는 [eqn: n=2`]인 경우

주어진 조건을 만족시키는 점 [eqn: rm P LEFT ( it a,``b RIGHT ) `]가 존재하지

않으므로 [eqn: A _{`1} =0], [eqn: A _{`2} =0]

(ⅱ) [eqn: n=3`]인 경우

[eqn: f(x)= {1} over {x-3} +3], [eqn: g(x)= sqrt {x+3} `]이고

조건을 만족시키는 점 [eqn: rm P( it a,``b)`]는 [eqn: (4,``3)], [eqn: (5,``3)`]이므로

[eqn: A _{`3} =2]

(ⅲ) [eqn: n=4`]인 경우

[eqn: f(x)= {1} over {x-4} +4], [eqn: g(x)= sqrt {x+4} `]이고

조건을 만족시키는 점 [eqn: rm P( it a,``b)`]는 [eqn: (5,``4)], [eqn: (6,``4)], [eqn: (7,``4)], [eqn: (8,``4)], [eqn: (9,``4)], [eqn: (10,``4)], [eqn: (11,``4)`]이므로 [eqn: A _{`4} =7]

(ⅳ) [eqn: n=5`]인 경우

[eqn: f(x)= {1} over {x-5} +5], [eqn: g(x)= sqrt {x+5} `]이고

조건을 만족시키는 점 [eqn: rm P( it a,``b)`]는 [eqn: (6,``4)], [eqn: (7,``4)], [eqn: (8,``4)], [eqn: (9,``4)], [eqn: (10,``4)], [eqn: (6,``5)`], [eqn: (7,``5)], [eqn: cdots], [eqn: (15,``5)`]이므로

[eqn: A _{`5} =15]

(ⅴ) [eqn: n GEQ 6`]인 경우

[eqn: y`]좌표가 [eqn: n`]인 [eqn: 2n`]개의

점 [eqn: (n+1,``n),``(n+2,``n),`` CDOTS `,``(3n,``n)`]과

[eqn: y`]좌표가 [eqn: n-1`]인 [eqn: 2n`]개의

점 [eqn: (n+1,``n-1),``(n+2,``n-1),`` CDOTS `,``(3n,``n-1)`]이

모두 조건을 만족시킨다.

즉, [eqn: A _{`n} GEQ 4n`]

(ⅰ)~(ⅴ)에 의하여 [eqn: n LEQ A _{`n} LEQ 3n`]을 만족시키는

모든 [eqn: A _{`n} `]의 값의 합은 [eqn: A _{`4} +A _{`5} =7+15=22]

22. [출제의도] 순열의 뜻을 알고, 순열의 수를 구한다.

[eqn: {}_{n`} rm P _{`2} = it n LEFT ( n-1 RIGHT ) =110`]이므로

[eqn: LEFT ( n-11 RIGHT ) LEFT ( n+10 RIGHT ) =0]

[eqn: n`]이 자연수이므로 [eqn: n=11]

23. [출제의도] 다항함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구한다.

[eqn: f` prime (x)=16x ^{`3} +14x`]이므로

[eqn: f` prime (1)`=16+14=30]

24. [출제의도] 집합의 연산을 이해하여 주어진 문제를 해결한다.

[eqn: A ^{`c} SMALLINTER B ^{``c} =(A CUP B) ^{`c} `]이므로

두 집합 [eqn: A ^{`c} SMALLINTER B ^{`c} `]과 [eqn: B ^{`c} `]의 원소를

벤다이어그램을 이용하여

나타내면 오른쪽 그림과 같다.

[eqn: A-B][eqn: = LEFT { 5,``7 RIGHT } `]이므로

[eqn: A-B`]의 원소의 합은 [eqn: 12]

25. [출제의도] 로그의 성질을 이해하여 수열의 합을 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{`k} =log` _{`2} `(n ^{2} +n)`]이므로

[eqn: a _{`n}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} a _{`k} - sum _{k=1} ^{n-1} a _{`k}]
[eqn: =log _{`2} `(n ^{`2} +n)-log _{`2} `(n ^{`2} -n)]
[eqn: =log` _{`2} ` {n+1} over {n-1}] (단, [eqn: n GEQ 2])

[eqn: a _{`2n+1}][eqn: =log` _{`2} ` {n+1} over {n}] (단, [eqn: n GEQ 1])

[eqn: sum _{n=1} ^{15} a _{`2n+1}][eqn: `=log` _{`2} `2+log` _{`2} ` {3} over {2} +log _{`2} ` {4} over {3} +` CDOTS `+log` _{`2} ` {16} over {15}]
[eqn: `=log` _{`2} ` LEFT ( 2 TIMES {3} over {2} TIMES {4} over {3} TIMES ` CDOTS ` TIMES {16} over {15} RIGHT ) =4]

26. [출제의도] 접선의 방정식을 이해하여 수열의 합을 구한다.

함수 [eqn: y=x ^{`3} +2`]의 그래프와 직선 [eqn: y=kx`]는

제[eqn: 3`]사분면에서 [eqn: 1`]개의 교점을 갖는다.

함수 [eqn: y=x ^{`3} +2`]의 그래프와 직선 [eqn: y=kx`]가 접하는

경우 그 접점의 좌표를 [eqn: (t,``t ^{`3} +2)`]라 하자.

접선의 방정식은 [eqn: y-(t ^{`3} +2)=3`t ^{`2} (x-t)`]이고

접선이 원점을 지나므로 [eqn: t ^{`3} =1]

[eqn: t`]는 실수이므로 [eqn: t=1`]이고 접점의 좌표는 [eqn: (1,```3)`]이다.

원점을 지나는 접선의 기울기가 [eqn: 3`]이므로 [eqn: f(3)=2]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1`], [eqn: k>3`]인 경우 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =3]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{6} f LEFT ( k RIGHT ) =1+1+2+3+3+3=13]

27. [출제의도] 표준정규분포표를 이용하여 주어진 문제를 해결한다.

[eqn: it F` LEFT ( x RIGHT ) = rm P LEFT ( it `X LEQ x RIGHT ) = rm P` LEFT ( it `Z LEQ {x-m} over {sigma } RIGHT )]

[eqn: it F` LEFT ( {13} over {2} RIGHT ) = rm 0.8413], [eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ 1)=0.3413`]이므로

[eqn: {{13} over {2} -m} over {sigma } =1], [eqn: sigma = {13} over {2} -m] [eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉠

[eqn: 0.5 LEQ F` LEFT ( it {11} over {2} RIGHT ) LEQ 0.6915`]이므로

[eqn: 0 LEQ {{11} over {2} -m} over {sigma } LEQ 0.5] [eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉡

㉡에 ㉠을 대입하여 정리하면

[eqn: {9} over {2} LEQ m LEQ {11} over {2} `]이고 [eqn: m`]이 자연수이므로

[eqn: m=5], [eqn: sigma = {3} over {2}]

[eqn: it F` LEFT ( k RIGHT ) = rm 0.9772`]이므로

[eqn: {k-5} over {{3} over {2}} =2`], [eqn: k=8]

28. [출제의도] 중복조합을 이해하여 순서쌍의 개수를 구한다.

[eqn: 180=2 ^{`2} TIMES 3 ^{`2} TIMES 5`]이므로

조건 (가)를 만족하는 [eqn: LEFT ( a,`b,`c RIGHT ) `]의 개수는

[eqn: a=2 ^{`x _{`1}} `3 ^{`y _{`1}} `5 ^{`z _{`1}}], [eqn: b=2 ^{`x _{`2}} `3 ^{`y _{`2}} `5 ^{`z _{`2}}], [eqn: c=2 ^{`x` _{3}} `3 ^{`y _{`3}} `5 ^{`z _{`3}} `]에서

(단, [eqn: i=1,``2,``3`]에 대하여 [eqn: x _{`i} ,``y _{`i} ,``z _{`i} `]는 음이 아닌 정수)

[eqn: x _{`1} +x _{`2} +x _{`3} =2], [eqn: y _{`1} +y _{`2} +y _{`3} =2], [eqn: z _{`1} +z _{`2} +z _{`3} =1]

[eqn: rm rm _{3`} H _{`2} TIMES ` _{3`} H _{`2} TIMES ` _{3`} H _{`1}][eqn: = rm ` _{4`} C _{`2} TIMES ` _{4`} C _{`2} TIMES _{3`} C _{`1}][eqn: =108] [eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉠

조건 (나)는 [eqn: a != b], [eqn: b != c], [eqn: c != a`]이므로

이를 만족하지 않는 경우는

[eqn: a=b] 또는 [eqn: a=c] 또는 [eqn: b=c`]이다.

이 중 [eqn: a=b=c`]인 경우는 존재하지 않는다.

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중 두 수가 같은 순서쌍은

[eqn: (1,``1,``180)], [eqn: (2,``2,``45)], [eqn: (3,``3,``20)], [eqn: (6,``6,``5)`]

[eqn: (1,``180,``1)], [eqn: (2,``45,``2)], [eqn: (3,``20,``3)], [eqn: (6,``5,``6)`]

[eqn: (180,``1,``1)], [eqn: (45,``2,``2)], [eqn: (20,``3,``3)], [eqn: (5,``6,``6)`]이므로

조건 (나)를 만족하지 않는 순서쌍의 개수는

[eqn: 12] [eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉡

따라서 ㉠, ㉡에 의하여 [eqn: 108-12=96]

29. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 수열의 항의 값을 추론한다.

점 [eqn: rm P _{`1} `]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,``0 RIGHT )], 두 점 [eqn: rm Q _{`1} `], [eqn: rm Q _{`2} `]의 좌표가 각각 [eqn: (0,``0)], [eqn: (1,``-1)`]이고 점 [eqn: rm P _{`1} `]이 삼각형 [eqn: rm Q _{`1} Q _{`2} Q _{`3} `]의

무게중심이므로 [eqn: rm Q _{`3} `]의 좌표는 [eqn: (2,``1)`]이다.

점 [eqn: rm P _{`2} `]의 좌표는 [eqn: (2,``a)], 두 점 [eqn: rm Q _{`2}], [eqn: rm Q _{`3} `]의 좌표가 각각 [eqn: (1,``-1)], [eqn: (2,``1)`]이고 점 [eqn: rm P _{2} `]는 삼각형 [eqn: rm Q _{`2} Q _{`3} Q _{`4} `]의

무게중심이므로 [eqn: rm Q _{`4} `]의 좌표는 [eqn: (3,``3a)`]이다.

같은 방법으로 [eqn: rm Q _{`7}]의 좌표를 구하면 [eqn: (6,``6a)`]이고

[eqn: rm Q _{`10} `]의 좌표를 구하면 [eqn: (9,``9a)`]이므로 [eqn: 9a=90], [eqn: a=10]

따라서 [eqn: rm Q _{`13} `]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 12,``120 RIGHT ) `]이므로 [eqn: p+q=132]

30. [출제의도] 도형의 평행이동과 함수의 미분가능성을 이해하여 주어진 문제를 해결한다.

함수 [eqn: g(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 연속이면

[eqn: lim _{x` -> `0+} {g(x)=9}], [eqn: lim _{x` -> `0-} {g(x)= {3} over {2} LEFT | 3k-9 RIGHT |} `]이므로

[eqn: 9= {3} over {2} LEFT | 3k-9 RIGHT | `]

[eqn: LEFT | k-3 RIGHT | =2]

[eqn: k=1] 또는 [eqn: k=5]

(ⅰ) [eqn: k=1`]인 경우

함수 [eqn: g(x)h(x)`]가 [eqn: x=3``]에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{x` -> `3+} {{g(x)h(x)-g(3)h(3)} over {x-3}}]

[eqn: = lim _{x` -> `3+} {{(3x-9)h(x)} over {x-3}}]
[eqn: = lim _{x` -> `3+} {3h(x)} `=3h(3)]

[eqn: lim _{x` -> `3-} {{g(x)h(x)-g(3)h(3)} over {x-3}}]

[eqn: = lim _{x` -> `3-} {{(9-3x)h(x)} over {x-3}}]
[eqn: = lim _{x` -> `3-} {LEFT. LEFT { -3h(x) RIGHT . RIGHT } `=it-3h(3)}]

[eqn: 3h(3)=it-3h(3)`]이므로

[eqn: h(3)=0] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

함수 [eqn: g(x)h(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{x` -> `0+} {{g(x)h(x)-g(0)h(0)} over {x-0}}]

[eqn: = lim _{x` -> `0+} {{LEFT ( 9-3x RIGHT ) h(x)-9h(0)} over {x}}][eqn: =9h` prime (0)-3h(0)`]

[eqn: lim _{x` -> `0-} {{g(x)h(x)-g(0)h(0)} over {x-0}}]

[eqn: = lim _{x` -> `0-} {{{3} over {2} (6-3x)h(x)-9h(0)} over {x}}]
[eqn: =9h` prime (0)- {9} over {2} h(0)]

[eqn: 9h` prime (0)-3h(0)`=9h` prime (0)- {9} over {2} h(0)], [eqn: h(0)=0] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: h(x)=x(x-3)(x+ alpha )]

(단, [eqn: alpha `]는 상수)이고, 조건 (나)에 의해

[eqn: h`` prime (3)=27+6 LEFT ( alpha -3 RIGHT ) -3 alpha =15], [eqn: 3 alpha =6], [eqn: alpha = it 2]

[eqn: h(x)=x(x-3)(x+2)`=x ^{3} -x ^{2} -6x]

그러므로 [eqn: k=1`]일 때 [eqn: h(1)= it -6`]

(ⅱ) [eqn: k=5`]인 경우

(ⅰ)과 같은 방법으로

[eqn: h(3)=h(0)=h LEFT ( -2 RIGHT ) =0`]이고

[eqn: h(x)=x ^{3} -x ^{2} -6x]

그러므로 [eqn: k=5`]일 때 [eqn: h(5)=70`]

(ⅲ) [eqn: k != 1], [eqn: k != 5`]인 경우

함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 연속이 아니고

함수 [eqn: g(x)h(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x` -> `0-} {g(x)h(x)} =g(0)h(0)]

[eqn: {3} over {2} LEFT | 3k-9 RIGHT | TIMES h(0)=9h(0)]

[eqn: h(0)=0] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

함수 [eqn: g(x)h(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{x` -> `0-} {{g(x)h(x)-g(0)h(0)} over {x-0}} = {3} over {2} LEFT | 3k-9 RIGHT | TIMES h` prime (0)]

[eqn: lim _{x` -> `0+} {{g(x)h(x)-g(0)h(0)} over {x-0}} =9h`'(0)]

[eqn: {3} over {2} LEFT | 3k-9 RIGHT | TIMES h` prime (0)=9h` prime (0)]이므로 [eqn: h prime (0)=0`] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉣

함수 [eqn: g(x)h(x)`]가 [eqn: x=3`]에서 미분가능하므로

㉠과 같은 방법으로 [eqn: h(3)=0] [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉤

㉢, ㉣, ㉤에 의하여 [eqn: h(x)`]는 [eqn: x ^{2} `]과 [eqn: x-3`]을 인수로

가지므로 [eqn: h(x)=x` ^{2} (x-3)`], [eqn: h` prime (3)=9]

조건 (나)를 만족시키지 않으므로 [eqn: h(x)`]는 존재하지 않는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 모든 [eqn: h(k)`]의 값의

합은 [eqn: (-6)+70=64]