(홀수형)

2007학년도 대학수학능력시험 (수리영역-가형)  정답 및 해설

1.

[eqn: (log_3 27 ) times 8^{1over3} = log_3 3^3 times (2^3 )^{1over3 } = 3times 2 =6]

□ ④

2.

[eqn: A+B= pmatrix{ 1&1 #3 &4 }`]이므로

[eqn: (A+B)^-1 = 1over 4-3 pmatrix{ 4&-1 #-3 &1 } = pmatrix{ 4&-1 #-3 &1 }`]

따라서 구하는 모든 성분의 합은

[eqn: 4-1-3+1=1`]

□ ①

3.

[eqn: lim_x->1 {x^2 -1} over {root x+3 -2}`][eqn: =lim_x->1 {(x^2 -1)(root x+3 +2)} over {(root x+3 -2)(root x+3 +2)}`]

[eqn: =lim_x->1 {(x-1)(x+1)(root x+3 +2)} over {x-1}`][eqn: =lim_x->1 {(x+1)(root x+3 +2)}]

[eqn: = (1+1)(root 1+3 +2) = 2×4=8`]

□ ②

4.

[eqn: x(x-4)(x-5)>=0`]에서

[eqn: 0<=x<=4`] 또는 [eqn: x>=5`] ⋯ ㉠

[eqn: x-3 over{x^2 -3x+2}= x-3 over{(x-1)(x-2)} <=0`]에서

[eqn: (x-1)(x-2)(x-3)≦0] (단, [eqn: x!=1,~x!=2`])

∴ [eqn: x<1`] 또는 [eqn: 2<x<=3`] ⋯ ㉡

㉠, ㉡의 공통범위는

[eqn: 0<=x<1`] 또는 [eqn: 2<x<=3`]

따라서 구하는 정수 [eqn: x`]의 개수는 0, 3의 2이다.

□ ②

5.

포물선 [eqn: y^2 = x`]의 초점은 [eqn: \F`left(1 over 4 ,0 right)`]이고,

준선의 방정식은 [eqn: x=- 1 over 4]이다.

점 [eqn: \P`]에서 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 하면 포물선의 정의에 의해

[eqn: \ bar PF = bar PH`][eqn: =4`]

점 [eqn: \ Q`]에서 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: \ R`], 준선과 [eqn: x`]축의 교점을 [eqn: \S`]라 하면 사각형 [eqn: \ FQRS`]는 등변사다리꼴이다.

이 때, [eqn: rm bar QR = {it k}`]라 하면 두 점 [eqn: \P,~H`]는 각각 두 선분 [eqn: rm bar FQ ,~ bar SR]의 중점이고, [eqn: rm bar FS = 1over 2`]이므로

[eqn: {k + 1over 2 } over 2 = 4`] ∴ [eqn: k= 15 over 2`]

따라서 점 [eqn: \ Q`]의 [eqn: x`]좌표는

[eqn: 15 over 2 - 1over 4 = 29 over 4`]

□ ①

6.

선분 [eqn: \FG`]는 평면 [eqn: \ABFE`]와 수직이므로

[eqn: rm bar AF ⊥ bar FG`]

또, 선분 [eqn: \HG`]는 평면 [eqn: \AEHD`]와 수직이므로

[eqn: rm bar AH ⊥ bar HG`]

[eqn: \A`]

[eqn: \B`]

[eqn: \C`]

[eqn: \D`]

[eqn: \E`]

[eqn: \F`]

[eqn: \G`]

[eqn: \H`]

[eqn: \P`]

따라서 정육면체의 한 모서리의 길이를 [eqn: 1`]이라 하고, 점 [eqn: \F`]에서 선분 [eqn: \AG`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \P`]라 하면 직각삼각형 [eqn: \AFG`]의 넓이에서

[eqn: rm 1over 2 times bar AF × bar FG = 1over 2 times bar AG × bar FP`]

이므로

[eqn: rm 1over 2 times root2 × 1 = 1over 2 times root3 × bar FP`]

∴ [eqn: rm bar FP = root2 over root3`]

그런데, 두 직각삼각형 [eqn: \AFG,~AHG`]는 합동이므로 점 [eqn: \H`]에서 선분 [eqn: \AG`]에 내린 수선의 발도 [eqn: \P`]이고, [eqn: rm bar HP = root2 over root3`]이다.

따라서 두 평면 [eqn: \AFG,~AHG`]가 이루는 각의 크기는 두 선분 [eqn: \FP,~HP`]가 이루는 각의 크기와 같다.

[eqn: bar \FH = root2`]이므로 삼각형 [eqn: \FHP`]에서 제이코사인법칙에 의해

[eqn: cos theta =left| {2over 3 + 2over 3 - 2} over{2 cdot root2 over root3 cdot root2 over root3}right| = 1over 2]

(∵ [eqn: 0<=theta < 90DEG`])

∴ [eqn: cos^2 theta = 1over4 `]

□ ③

다른 풀이

점 [eqn: \E`]를 원점으로 하고, 직선 [eqn: \`EF]를 [eqn: x`]축, 직선 [eqn: \EH`]를 [eqn: y`]축, 직선 [eqn: \EA`]를 [eqn: z`]축으로 하는 좌표공간을 설정하자.

세 점 [eqn: \A(0,0,1),~F(1,0,0),~G(1,1,0)`]을 지나는 평면의 방정식은 [eqn: x+z=1`]이고,

세 점 [eqn: rm A(0,0,1),~H(0,1,0),~G(1,1,0)`]을 지나는 평면의 방정식은 [eqn: y+z=1`]이다.

이 때, 두 평면 [eqn: \AFG,~AHG`]가 이루는 각의 크기는 두 평면의 법선벡터

[eqn: vec a = (1,0,1),~vec b = (0,1,1)`]이 이루는 각 중 예각의 크기와 같으므로

[eqn: cos theta = {| vec a cdot vec b |} over{ |vec a | |vec b |}`][eqn: = 1 over {root2 root2} = 1over 2`]

7.

ㄱ. [eqn: f(1)=0`]이므로

[eqn: lim_x->1-0 {f(x)-f(1)} over x-1 = lim_x->1-0 {x^2 -1} over x-1 `][eqn: = lim_x->1-0 (x+1)=2``]

[eqn: lim_x->1+0 {f(x)-f(1)} over x-1 = 2over 3 lim_x->1+0 {x^3 -1} over x-1 `][eqn: = 2over 3 lim_x->1+0 (x^2 +x+1)= 2 over 3 cdot 3 = 2``]

∴ [eqn: f``'(1)=lim_x->1 {f(x)-f(1)} over x-1 = 2`]

따라서[eqn: f(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 미분가능하다. (참)

ㄴ. [eqn: |f(0)|=1`]이다.

[eqn: x<0`]일 때 [eqn: f(x)>0`]이므로

[eqn: |f(x)|=f(x)`][eqn: =][eqn: 1-x`]

∴[eqn: lim_x->-0 {|f(x)|-|f(0)|} over x-0 = lim_x->-0 {(1-x)-1} over x `=-1]

[eqn: 0<x<1`]일 때 [eqn: f(x)<0`]이므로

[eqn: |f(x)|=-f(x)`][eqn: =1-x^2`]

∴[eqn: lim_x->+0 {|f(x)|-|f(0)|} over x-0 = lim_x->+0 {(1- x^2 )-1} over x `=0]

∴ [eqn: lim_x->-0 {|f(x)|-|f(0)|} over x-0 !=lim_x->+0 {|f(x)|-|f(0)|} over x-0]

따라서 [eqn: |f(0)|``'`][eqn: =lim_x->0 {|f(x)|-|f(0)|} over x-0]의 값이 존재하지 않으므로 [eqn: |f(x)|`]는 [eqn: x=0`]에서 미분가능하지 않다. (거짓)

ㄷ. (i) [eqn: k=1`]일 때 [eqn: g(x) = xf(x)`]라 하면 [eqn: g(0)=0`]이다.

[eqn: lim_x->-0 {g(x)- g(0)} over x-0`][eqn: =lim_x->-0 {x(1-x)} over x`][eqn: =lim_x->-0 (1-x)=1`]

[eqn: lim_x->+0 {g(x)- g(0)} over x-0`][eqn: =lim_x->+0 {x(x^2 -1)} over x`][eqn: =lim_x->+0 (x^2 -1 )=-1`]

따라서[eqn: lim_x->-0 {g(x)- g(0)} over x-0`][eqn: !=][eqn: lim_x->+0 {g(x)- g(0)} over x-0`]이므로 [eqn: g(x) = xf(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 미분가능하지 않다.

(ii) [eqn: k=2`]일 때 [eqn: h(x) = x^2 f(x)`]라 하면 [eqn: h(0)=0`]이다.

[eqn: lim_x->-0 {h(x)- h(0)} over x-0`][eqn: =lim_x->-0 {x^2 (1-x)} over x`][eqn: =lim_x->-0 x(1-x)=0`]

[eqn: lim_x->+0 {h(x)- h(0)} over x-0`][eqn: =lim_x->+0 {x^2 (x^2 -1)} over x`][eqn: =lim_x->+0 x(x^2 -1 )=0`]

따라서 [eqn: h'(0)`=`][eqn: lim_x->0 {h(x)- h(0)} over x-0`=0`]이므로 [eqn: h(x) = x^2 f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 미분가능하다.

그러므로 [eqn: x^k f(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 미분가능하도록 하는 최소의 자연수는 [eqn: 2`]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

□ ③

8.

곡선 [eqn: y=v(t)`]와 세 구간 [eqn: [0,a],~[a,c],~[c,d]`]에서 [eqn: x`]축과 둘러싸인 세 부분의 넓이를 각각 [eqn: A,~B,~C`]라 하면

[eqn: int_0^a |v(t)|dt = A`], [eqn: int_a^c |v(t)|dt= B`], [eqn: int_c^d |v(t)|dt =C`]

이 때,

[eqn: int_0^a |v(t)|dt =int_a^d |v(t)|dt = int_a^c |v(t)|dt + int_c^d |v(t)|dt`]이므로

[eqn: A=B+C`] ⋯ ㉠

ㄱ. 점 [eqn: \P`]는

[eqn: 0<= t<=a`]일 때 [eqn: A`]만큼의 거리를 수직선의 양의 방향으로 움직였다가

[eqn: a<= t <= c`]일 때 [eqn: B`]만큼의 거리를 수직선의 음의 방향으로 움직이고

[eqn: c<=t<= d`]일 때 [eqn: C`]만큼의 거리를 수직선의 양의 방향으로 움직인다.

그런데, ㉠에서 [eqn: A>B`]이므로 점 [eqn: \P`]는 [eqn: 0<t<=d`]일 때 원점을 다시 지나지 않는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: int_0^a v(t)dt =int_0^a |v(t)|dt = A`],

[eqn: int_a^c v(t)dt =-int_a^c |v(t)|dt= -B`]이므로

[eqn: int_0^c v(t)dt = int_0^a v(t)dt + int_a^c v(t)dt`][eqn: =A-B`]

이 때, [eqn: int_c^d v(t)dt = int_c^d |v(t)|dt =C`]이므로 ㉠에서 [eqn: A-B=C`]이므로

[eqn: int_0^c v(t)dt = int_c^d v(t)dt `] (참)

ㄷ. [eqn: int_a^b |v(t)|dt = S,~int_b^c |v(t)|dt = T`]라 하면

[eqn: int_0^b v(t)dt = A-S`], [eqn: int_b^d |v(t)|dt` = T +C]

그런데, [eqn: S+T = B`], [eqn: A=B+C`]이므로

[eqn: A-S = A-(B-T)=A-B+T = C+T `]

따라서 [eqn: a<=b<=c`]인 임의의 실수 [eqn: b`]에 대하여 [eqn: int_0^b v(t)dt = int_b^d |v(t)|dt`]이 항상 성립한다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

□ ④

9.

[eqn: 0<r< 1]이면 [eqn: f(r)=0`]

[eqn: r = 1]이면 [eqn: f(r)=1`]

[eqn: 1< r < 2 `]이면 [eqn: f(r)=2`]

[eqn: r= 2`]이면 [eqn: f(r)=3`]

[eqn: r> 2`]이면 [eqn: f(r) = 4`]

따라서 함수 [eqn: f(r)`]의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. [eqn: f(2) =3] (참)

ㄴ. [eqn: lim_{r-> 1 +0} f(r)`=2!=1=f(1)`] (거짓)

ㄷ. 함수 [eqn: f(r)`]은 [eqn: r= 1`]일 때와 [eqn: r = 2`]일 때 불연속이므로 구간 [eqn: (0,4)`]에서 불연속점의 개수는 2이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

□ ④

10.

표본의 크기 100이 충분이 크므로 모표준편차 [eqn: sigma`]는 표본표준편차로 대신할 수 있다.

즉, [eqn: sigma = 20], [eqn: n=100`]이고 표본평균이 [eqn: bar X = 245`]이므로 모평균 [eqn: m`]에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은 [eqn: left[ bar X - 1.96 cdot sigma over root n ,~ bar X +1.96cdot sigma over root n ~ right]`]에서

[eqn: left[ 245- 1.96 cdot 20 over root 100 ,~ 245 +1.96cdot 20 over root 100 ~ right]`]

∴ [eqn: [241.08,~ 248.92]`]

따라서 이 신뢰구간에 속하는 정수는 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248의 7개다.

□ ③

11.

[eqn: I(t) = 10+ 990 times a^-5t `]에 [eqn: I(t)=21]을 대입하면

[eqn: 21=10+990×a^-5t`]이므로 [eqn: a^-5t = 11 over 990 `]

∴ [eqn: a^5t = 990 over 11 = 90`]

∴ [eqn: 5t = log_a 90 = { log 9×10 } over {log a } = {2log3 + 1} over {log a }]

∴ [eqn: t=s= {1+ 2log3 } over {5log a }]

□ ①

12.

ㄱ. [eqn: B^2 = B`]의 양변에 [eqn: B^-1`]을 곱하면 [eqn: B^-1 B^2 = B^-1 B`]

∴ [eqn: B=E`] (참)

ㄴ. [eqn: (E-A)^2 = E-2A+A^2]

[eqn: = E-2A +E = 2(E-A)`]

[eqn: (E-A)^3 = (E-A)^2 (E-A) = "{"2(E-A)"}"(E-A)]   [eqn: = 2(E-A)^2 = 2^2 (E-A)`]

⋯

∴ [eqn: (E-A)^n = 2^n-1 (E-A)`]

∴ [eqn: (E-A)^5 = 2^4 (E-A)`] (참)

ㄷ. [eqn: (E-ABA)^2 = E - 2ABA + (ABA)^2]

이 때,

[eqn: (ABA)^2 = (ABA)(ABA)= ABA^2 BA][eqn: = ABEBA = AB^2 A``][eqn: =ABA`]이므로

[eqn: (E-ABA)^2 = E-2ABA +ABA = E-ABA`] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

□ ⑤

13.

[eqn: A(n) = left{ x|~0< x <=2^n right} `], [eqn: B(n) = left{ x|~0< x <=4^n right} `]이다.

ㄱ. [eqn: 2^1 = 2`]이므로

[eqn: A(1) = left{x |~ 0<x<=2 right}`] (거짓)

ㄴ. [eqn: 2^4 = 4^2 `]이므로

[eqn: A(4) `][eqn: =][eqn: B(2)`][eqn: = left{ x|~0< x <=16 right} `] (참)

ㄷ. [eqn: A(n) ⊂ B(n)`]이면 [eqn: 0<2^n <= 4^n`]이므로 [eqn: 2^-n ≧ 4^-n`>0]이다.

∴ [eqn: B(-n ) ⊂ A(-n )`] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

□ ⑤

14.

3개의 상자 A, B, C에 서로 다른 5개의 공을 임의로 넣는 경우의 수는

[eqn: rm _3 PI_5 =3^5 =243`]

이 때, 상자에 있는 공에 적힌 숫자의 합이 13 이상인 상자는 많아야 1개이므로 공에 적힌 숫자의 합이 13 이상인 경우가 존재하려면 세 상자 중 어느 한 상자에는 3, 4, 5가 적힌 공은 반드시 들어가고 또한, 이 상자에 1, 2가 적힌 공 중 적어도 하나가 들어가야 한다.
따라서 이 경우의 수는

[eqn: `_3 C_1 times (`_3 PI_2 -_2 PI_2 )= 3(9-4)=15`]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 243-15=228`]

□ ②

다른 풀이

3개의 상자 A, B, C에 서로 다른 5개의 공을 임의로 넣는 경우의 수는

[eqn: rm _3 PI_5 =3^5 =243`]

이 때, 상자에 있는 공에 적힌 숫자의 합이 13 이상인 상자가 존재하는 경우의 수는 다음과 같다.

(i) 세 상자 중 어느 한 상자에 1, 3, 4, 5가 들어가고 2는 나머지 두 상자 중 어느 하나에 들어가는 경우의 수는

3×2=6 (가지)

(ii) 세 상자 중 어느 한 상자에 2, 3, 4, 5가 들어가고 1은 나머지 두 상자 중 어느 하나에 들어가는 경우의 수는

3×2=6 (가지)

(iii) 세 상자 중 어느 한 상자에 1, 2, 3, 4, 5가 들어가는 경우의 수는

3 (가지)

따라서 구하는 경우의 수는

243-(6+6+3)=228

15.

[eqn: 3n`]장의 카드 중 [eqn: 2`]장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 [eqn: `_3n{rm C}_2`]이다.

[eqn: a=k`] [eqn: (k=1,2,3,cdots,n-1`])이면 [eqn: 3a<b`]를 만족시키는 [eqn: b`]는 [eqn: 3k+1, 3k+2, cdots , 3n`]중의 하나이어야 하므로 [eqn: b`]의 경우의 수는 [eqn: 3n-3k`][eqn: =3(n-k)`]이다.

∴ [eqn: {rm P}_n = {sum_k=1^n-1 {3(n-k)} over {`_3n {rm C}_2 }`}]

이 때,

[eqn: {sum_k=1^n-1 {3(n-k)} `}][eqn: = 3n(n-1)- 3over 2 n(n-1) = 3over2 n(n-1)`]이므로

[eqn: {rm P}_n = {{3over2 n (n-1)}} over {`_3n {rm C}_2 }`]

이 때, [eqn: `_3n {rm C}_2 = 3n(3n-1) over 2`]이므로

[eqn: lim_n->inf {rm P}_n = lim_n->inf {{3n^2 -3n} over 2} over {{9n^2 - 3n } over 2}`][eqn: = 1over 3`]

이상에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은

[eqn: 3(n-k)`], [eqn: 3over2 n(n-1)`], [eqn: 1over 3`]

이다.

□ ①

16.

함수 [eqn: y= k root x `]의 그래프가 정사각형 [eqn: A_n`]과 만날 필요충분조건은 두 점

[eqn: (4n^2 ,~n^2 ),~(n^2 ,~4n^2 )`]을 양 끝점으로 하는 선분과 만날 때이다.

함수 [eqn: y= k root x `]의 그래프가 점 [eqn: (4n^2 ,~ n^2 )`]을 지날 조건은

[eqn: n^2 = k root 4n^2 `]	∴ [eqn: k = n over 2`]

함수 [eqn: y= k root x `]의 그래프가 점 [eqn: (n^2 ,~4 n^2 )`]을 지날 조건은

[eqn: 4n^2 = k root n^2 `]	∴ [eqn: k = 4n `]

따라서 [eqn: a_n`]은 부등식 [eqn: n over 2 ≦ k ≦ 4n`]을 만족하는 자연수 [eqn: k`]의 개수이다.

(i) [eqn: n`]이 홀수일 때

[eqn: a_n = 4n -left( n over 2 + 1over 2 right)+1`][eqn: = 7 over 2 n + 1over 2`]

(ii) [eqn: n`]이 짝수일 때

[eqn: a_n = 4n - n over 2 +1`][eqn: = 7 over 2 n +1`]

∴ [eqn: a_n = cases{ 7 over 2 n + 1over 2 ~``(n이~홀수)#7 over 2 n +1 ~~(n이~짝수)}]

ㄱ. [eqn: a_5 = 7 over2 × 5 + 1over 2`][eqn: =18`] (거짓)

ㄴ.

[eqn: a_n+2 = cases{ 7 over 2 (n+2) + 1over 2 =a_n +7~``(n이~홀수)#7 over 2 (n+2) +1 =a_n +7~~(n이~짝수)}]

∴ [eqn: a_n+2 - a_n =7`] (참)

ㄷ.

[eqn: sum_k=1^10 a_k = (a_1 +a_2 )+(a_2 +a_3 )+⋯+(a_9 +a_10 )`]

[eqn: = 12+(12+14)+(12+2×14 )+⋯+(12+4×14)`]

[eqn: = 5 over 2 left{ 12+ (12+56)right}`][eqn: =200`] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

□ ④

17.

[eqn: R_1`]의 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: a`]라 하면 빗변의 길이는 [eqn: 3a`]이므로 [eqn: 3a= root2`]에서 [eqn: a= root2 over 3 `]

∴ [eqn: S_1 = a^2 = 2 over 9`]

[eqn: R_1`]에서 합동인 [eqn: 2`]개의 직각이등변삼각형의 한 등변의 길이는 [eqn: a= root2 over 3 `]이므로 [eqn: R_1`]에서 새로 색칠된 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: left( root2 over 3 right)^2][eqn: = 2over 9`]이다.

따라서 [eqn: R_1`]에서 새로 색칠한 [eqn: 2`]개의 정사각형의 넓이의 합은 [eqn: 2× left( 2over 9 right)^2`]이다.

∴ [eqn: S_2 = S_1 + 2× left( 2over 9 right)^2`][eqn: = 2 over 9 + 2 over 9 × 4 over 9]

[eqn: R_2`]에서 합동인 [eqn: 2^2`]개의 직각이등변삼각형의 한 등변의 길이는 [eqn: left( root2 over 3 right)^2 = 2over 9`]이므로 [eqn: R_2`]에서 새로 색칠된 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: root2 over 3 times 2over 9`]이다.

따라서 [eqn: R_2`]에서 새로 색칠한 [eqn: 2^2`]개의 정사각형의 넓이의 합은

[eqn: 2^2 ×left( root 2 over 3 × 2 over 9 right)^2 = 4× 2over 9 × left( 2 over 9 right)^2]이다.

∴ [eqn: S_3 = S_2 + 2 over 9 times left( 4 over 9 right)^2 `][eqn: = 2 over 9 + 2 over 9 × 4 over 9 + 2 over 9 × left( 4 over 9 right)^2]

⋯

이와 같은 방법으로 수열 {[eqn: S_n`]}은 첫째항이 [eqn: 2over 9`]이고, 공비가 [eqn: 4 over 9`]인 등비수열의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합과 같음을 추론할 수 있다.

∴ [eqn: lim_n->inf S_n = `][eqn: sum_n=1^inf 2over9 left( 4over 9 right)^n-1 = {2 over 9 } over{ 1- 4 over 9 } = 2 over 5`]

□ ⑤

18.

[eqn: f``'(x) =4x^3 -12x^2 +12x`]이므로 [eqn: x=a`]에서의 접선의 기울기는

[eqn: f``'(a)=4a^3 -12a^2 +12a=4] 이어야 한다.

따라서 [eqn: a^3 -3a^2 +3a-1 = (a-1)^3 =0`]에서

[eqn: a=1`]

∴ [eqn: b=f(1) = 7`]

∴ [eqn: a^2 +b^2 = 1^2 +7^2 =50`]

□ [eqn: 50`]

19.

[eqn: int_1^x f`(t)dt = x^3 -2ax^2 +ax`]의 양변에 [eqn: x=1`]을 대입하면

[eqn: 0=1-2a+a`] ∴ [eqn: a=1`]

또, [eqn: int_1^x f`(t)dt = x^3 -2ax^2 +ax`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x) = 3x^2 -4ax +a`][eqn: = 3x^2 -4x+1`]

(∵ [eqn: a=1`])

∴ [eqn: f(3) = 27-12+1=16`]

□ [eqn: 16`]

20.

장축의 길이가 [eqn: 2×2=4`]이므로 타원의 정의에 의해

[eqn: rm bar PF' + bar PF = 4`]

[eqn: rm vec OP + vec OF = vec OQ`]라 하면 위의 그림에서 사각형 [eqn: rm OFQP`]가 평행사변형이다.

∴ [eqn: rm |bar OQ | = 1`]

이 때, [eqn: rm bar OF' = bar OF =bar PQ`]이고 [eqn: rm bar OF' // bar PQ`]이므로 사각형 [eqn: rm ~PF'OQ`]도 평행사변형이다.

∴ [eqn: rm bar PF' = bar OQ = 1`]

∴ [eqn: rm bar PF = (bar PF + bar PF' )- bar PF' = 4-1=3`]

[eqn: =k`]

∴ [eqn: 5k = 15`]

□ 15

21.

[eqn: \O]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: theta]

원점 [eqn: \O`]는 평면 [eqn: root3 y - z=0`]위의 점이므로 두 벡터 [eqn: \ vec OB ,~vec BA`]는 서로 수직이다.

점 [eqn: \A(3,6,0)`]과 평면 [eqn: root3 y - z=0`] 사이의 거리는

[eqn: {|root3 cdot 6 -0|} over root{(root3 )^2 + (-1)^2 } = {6root3 }over 2 = 3root3`]

이고, [eqn: \ bar OA = root {3^2 +6^2 +0^2 }= 3root5]이므로 직각삼각형 [eqn: \OAB`]에서

[eqn: \ bar OB = root {45 - 27} = 3root2]

그런데, [eqn: \ angle AOB = theta`]라 하면

[eqn: rm cos theta = {bar OB} over { bar OA}`]이므로

[eqn: rm vec OA cdot vec OB = bar OA cdot bar OB cdot cos theta`]

[eqn: rm = {bar OB}^2 = (3root2 )^2 = 18`]

□ [eqn: 18`]

다른 풀이

점 [eqn: \A(3,6,0)`]을 지나고 평면 [eqn: root3 y - z=0`]의 법선벡터 [eqn: vec v =(0,root3 , -1)`]과 평행한 직선의 방정식은

[eqn: y-6 over root3 = z over -1`], [eqn: x=3`]

이 때, [eqn: y-6 over root3 = z over -1`][eqn: =t`]라 하면 점 [eqn: \B`]의 좌표는 [eqn: (3,~root3 t +6 ,-t )`]로 나타낼 수 있다.

점 [eqn: \B`]는 평면 [eqn: root3 y - z=0`] 위의 점이어야 하므로

[eqn: 3t+6root3 +t=0`] ∴ [eqn: t= - 3 over 2 root3`]

따라서 점 [eqn: \A]에서 평면에 내린 수선의 발 [eqn: \B`]의 좌표는 [eqn: rm B left( 3, 3 over 2 , 3over2 root 3right)`]이다.

∴ [eqn: rm vec OA cdot vec OB = ( 3,6,0)cdot left( 3, 3 over 2 , 3 over 2 root 3 right)`]

[eqn: = 9+9 = 18`]

22.

등차수열 {[eqn: a_n`]}의 공차를 [eqn: d`] ([eqn: d!=0`])라 하면

[eqn: a_n = (n-1)d`]	∴ [eqn: a_n+1 = d n`]

이 때,

[eqn: sum_k=1^n a_k = sum_k=1^n d(k-1)`][eqn: =d sum_k=1^n-1 k = d × n(n-1) over 2`]이고,

[eqn: a_n+1 b_n = d n cdot b_n = {d n (n-1)} over 2`]이어야 하므로

[eqn: b_n = n-1 over 2`] (단, [eqn: n=1,2, 3, cdots`])

∴ [eqn: b_27 = 27-1 over 2 = 13`]

□ 13

23.

점 [eqn: \P`]의 좌표를 [eqn: \P(it x,y,z)`]라 하면	[eqn: {rm Q}(x,y,0),~{rm R}(0,y,z),~{rm S}(x,0,z)`]

이므로 [eqn: rm bar PQ = it z ,~rm bar PR =it x,~rm bar PS = it y`]이다.

이 때, [eqn: rm vec PR ⊥ vec PS`], [eqn: rm vec PR ⊥ vec PQ`], [eqn: rm vec PS ⊥vec PQ`]이므로

[eqn: rm △PRS = 1over2 ․ bar PR ․ bar PS = 1over 2 it xy`]

따라서 사면체 [eqn: rm PQRS`]의 부피 [eqn: V`]는

[eqn: V =rm 1 over 3 △PRS ․ bar PQ = 1 over 6 it xyz`]

그런데, [eqn: {rm bar QR} = root {z^2 +x^2 },~{rm bar QS} = root{z^2 +y^2}`]이고, [eqn: rm bar QR = bar QS`]이어야 하므로

[eqn: x=y`]

이 때, [eqn: x+2y+2z=54`]에서

[eqn: 2z = 54 -x-2y=54-3x`]이므로

[eqn: V= 1over 6 xyz = 1 over 6 x^2 z= 1 over 12 x^2 (54 -3x)`]

[eqn: = 1over 4 ( -x^3 + 18 x^2 )`]

이 때, [eqn: dV over dx = 1over 4 ( -3x^2 +36 x)=0`]에서

[eqn: x=12`] (∵ [eqn: x!=0`])

[eqn: x<12`]일 때 [eqn: dV over dx >0`]이고, [eqn: x>12`]일 때 [eqn: dV over dx <0`]이므로 [eqn: V`]는 [eqn: x=12`]에서 극대이면서 최대이다. 따라서 구하는 사면체 [eqn: rm PQRS`]의 부피의 최소값은

[eqn: V= 1over 4 (-12^3 + 18×12^2 )`]

[eqn: =36 (-12+18)=36×6=216`]

□ [eqn: 216`]

24.

[eqn: \A`]

[eqn: \O`]

[eqn: \B`]

[eqn: \C`]

[eqn: \ D`]

[eqn: \E`]

그림과 같이 두 선분 [eqn: \ AB,~AC`]를 두 변으로 하는 평행사변형의 또 다른 꼭지점을 [eqn: \E`]라 하면 [eqn: rm vec AB = vec CE`]이므로

[eqn: rm vec AB + vec DC = vec DC + vec CE = vec DE`]

선분 [eqn: \ AD`]는 구의 중심을 지나므로 선분 [eqn: \ AD`]는 구의 지름이고, [eqn: rm bar AR = 2× 2=4`]이다.

또, [eqn: rm bar AD ⊥ alpha`]이므로 [eqn: rm bar AD ⊥ bar AE`]이고,

[eqn: rm bar AE = 2× 3 over 2 root 3 = 3root3`]이다.

따라서 직각삼각형 [eqn: \ DAE`]에서

[eqn: rm { bar DE}^2 = { bar AD }^2 + { bar AE}^2 = 4^2 + (3root3 )^2`][eqn: =root43`]

∴ [eqn: rm | vec AB + vec DC `|^2 = |vec DE |^2 = {bar DE }^2 = 43`]

□ 43

25.

점 [eqn: \P`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: alpha`]라 하면

[eqn: k cdot 3^alpha = 3^-alpha`]

따라서 [eqn: k cdot 3^alpha = 1over 3^alpha`]이므로 양변에 [eqn: 3^alpha`]을 곱하여 정리하면

[eqn: left( 3^alpha right)^2 = 3^2alpha = 1over k`]

이 때, 점 [eqn: \Q`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 2alpha`]이므로

[eqn: k cdot 3^2alpha = -4 cdot 3^2alpha +8`]

이 때, [eqn: 3^2alpha = 1over k`]이므로

[eqn: k cdot 1over k = - 4 cdot 1over k +8`]

[eqn: k>0`]이므로 [eqn: 1= - 4 over k + 8`]

∴ [eqn: k= 4 over 7`]

∴ [eqn: 35k = 20`]

□ 20

미분과 적분

26.

[eqn: x->a `]일 때 (분모)[eqn: → 3sin 0 = 0`]이므로 (분자)→0이어야 한다.

따라서 [eqn: 2^a -1 =0`]이어야 하므로 [eqn: a=0`]

∴ (주어진 식)[eqn: =lim_x->0 {2^x -1} over {3sin x } `]

[eqn: = 1over 3 lim_x->0 {2^x -1} over x ․ x over {sin x } `]

[eqn: = 1over 3 lim_x->0 x over {sin x } `cdot lim_x->0 {2^x -1} over x]

[eqn: = 1over 3 times 1×ln 2 `][eqn: = b `ln 2]

∴ [eqn: b= 1 over3]

∴ [eqn: a+b = 1 over 3]

□ ④

27.

[eqn: ln x = t`]로 치환하면

[eqn: x=1`]일 때 [eqn: t=0`], [eqn: x=a`]일 때 [eqn: t= ln a`]이고, [eqn: 1 over x = dt over dx`]이므로

[eqn: f(a) = int_0^{ln a} roott dt`][eqn: = left[ 2over 3 t^{3over2} right]_0^{ln a}`][eqn: = 2over 3 left( ln a right)^{3over2}`]

∴ [eqn: f(a^4 ) = 2over 3 ( ln a^4 )^{3over 2}`][eqn: = 2over 3 (4ln a )^{3over 2}`]

[eqn: =4^{3over2} left{ 2over 3 `(ln a)^{3over2}right}`][eqn: =8 f(a)`]

□ ②

28.

직각삼각형 [eqn: \OQ_1 P_1`]의 넓이는

[eqn: \1 over 2 × bar OP × bar {P_1 Q_1}`][eqn: \= 1over 2 × 1 × bar{P_1 Q_1} = 1over 4`]

∴ [eqn: \ bar {P_1 Q_1} = 1over2`]

따라서 [eqn: \ ∠Q_1 OP_1 = theta`]라 하면

[eqn: rm tan theta = {bar{ P_1 Q_1}} over {bar OP_1} = 1over 2`]

∴ [eqn: rm tan left( ∠ Q_1 OP_2 right)=`][eqn: tan left( pi over 4 + theta \ right)]

[eqn: = {tan pi over 4 + tan theta } over{ 1- tan pi over 4 cdot tan theta}`][eqn: = {1+ 1over2} over {1- 1 cdot 1over 2} = 3`]

따라서 직각삼각형 [eqn: rm P_2 OQ_2`]에서

[eqn: rm bar {P_2 Q_2} = bar OP_2 × tan left( pi over 4 + theta right) `][eqn: = 1× 3 =3`]

∴ [eqn: triangle \P_2 OQ_2 = 1over 2 × 1 × 3 = 3over2 `]

□ ③

29.

[eqn: h(x)=f(x)-g(x)]이므로 [eqn: h(x)`]는 미분가능하고, [eqn: h'(x) = f``'(x)-g'(x)`]이다.

ㄱ. 두 함수 [eqn: f(x),~g(x)`]의 그래프가 [eqn: x=b`]에서 접하므로

[eqn: f(b)=g(b),~f``'(b)=g'(b)`]

∴ [eqn: h'(b)=f`'(b)-g'(b)=0`] (참)

ㄴ. 두 함수 [eqn: f(x),~g(x)`]의 그래프가 [eqn: x=a`]에서 접하므로

[eqn: f`(a)=g(a),~f``'(a)=g'(a)`]

∴ [eqn: h'(a)=f`'(a)-g'(a)=0`]

한편, 모든 실수의 구간에서 함수 [eqn: h(x)`]는 미분가능한 함수이고 [eqn: h(a)=h(b)=0`]이므로 평균값의 정리(롤의 정리)에 의하여 [eqn: h'(c)=0`]을 만족하는 실수 [eqn: c`]가 구간 [eqn: (a,~b)`]에 적어도 하나 존재한다.

그러므로 방정식 [eqn: h'(x)=0`]은 적어도 [eqn: x=a,~b,~c`]의 3개의 근을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: g(x)`]는 일차함수이므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g''(x)=0`]이다.

∴ [eqn: h''(x)= f``''(x)-g''(x) = f``''(x)`]

그런데, 점 [eqn: (a,f(a))`]가 곡선 [eqn: y=f(x)`]의 변곡점이므로 [eqn: f''(a)=0`]이고, [eqn: f`'''(x)!=0`]이다.

∴ [eqn: h''(a)=0`,~g'''(a)!=0`]

따라서 점 [eqn: {rm }(a,~h(a))`]는 곡선 [eqn: y=h(x)`]의 변곡점이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

□ ⑤

30.

선분 [eqn: \OP`]가 [eqn: x`]축과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 하면 색칠한 부분의 넓이는

[eqn: S] [eqn: =`](반원의 넓이)[eqn: +`](2개의 부채꼴의 넓이)

[eqn: +`](이등변삼각형의 넓이)

[eqn: = 1 over 2 pi + 2× 1over2 × 1^2 × theta + 1 over 2 × 1^2 × sin(pi-2theta)`]

[eqn: = 1 over 2 pi + theta + 1 over 2 ` sin2theta`]

[eqn: = 1 over 2 pi + t over 40 + 1 over 2 ` sin t over 20] (∵ [eqn: theta = t over 40])

∴ [eqn: dS over {d t} = 1 over 40 + 1over 40 ` cos t over 20]

따라서 점 [eqn: \P`]의 좌표가 [eqn: left( root3 over 2 ,~ 1over 2 right) `]일 때

[eqn: theta = pi over 6`][eqn: = t over 40`]에서 [eqn: t over 20 = pi over 3`]이므로

[eqn: dS over dt][eqn: = 1over 40 left(1+cos pi over 3 right)]       [eqn: = 1over 40 left( 1+ 1over 2 right) = 3 over 80`]

∴ [eqn: a+b = 83]

□ 83

다른 풀이

[eqn: S=2 int_-1^y root {1-y^2 } dy`]이므로

[eqn: dS over {d y} = 2root{1-y^2}`][eqn: =2x`] (단, [eqn: x>0`])

한편, 선분 [eqn: \OP`]가 [eqn: x`]축과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`][eqn: = 1over 40`t]라 하면

[eqn: y= sin theta`][eqn: = sin t over 40]이므로

[eqn: {d y} over {d t}`][eqn: = 1over 40 ` cos t over 40`]이다.

∴ [eqn: dS over dt = dS over {d y} ․{d y} over dt`][eqn: = 2x cdot 1over 40 `cos t over 40`]

그런데, [eqn: x= root3 over 2 `], [eqn: y= 1over 2`]일 때

[eqn: theta = t over 40 = pi over 6`]이므로

[eqn: dS over dt][eqn: = 2 cdot root3 over 2 cdot 1over 40 `cos pi over 6`]   [eqn: = 2 cdot root3 over 2 cdot 1over40 cdot root3 over 2 = 3over 80`]

확률과 통계

26.

두 사건 [eqn: A,~B`]가 독립이면 [eqn: A,~B^c`]도 독립이므로

[eqn: {rm P}(A SMALLINTER B)={rm P}(A){rm P}(B)`]이고,

[eqn: {rm P}(A ∩ B^c ) ={rm P}(A){rm P}(B^c )`= {rm P}(A) (1- {rm P}(B))]이다.

따라서

[eqn: {rm P}(A){rm P}(B)=2{rm P}(A)(1-{rm P}(B))`]이어야 하므로

[eqn: {rm P}(B)=2-2{rm P}(B)`] (∵ [eqn: {rm P}(A)!=0`])

∴ [eqn: {rm P}(B)= 2over 3`]

또, 두 사건 [eqn: A,~B`]가 독립이면 [eqn: A^c ,~B`]도 독립이므로

[eqn: {rm P}(A^c ∩ B) ={rm P}(A^c ){rm P}(B)`= (1-{rm P}(A)){rm P}(B)`]

[eqn: = (1-{rm P}(A)) cdot 2over 3 = 1 over 12`]

∴ [eqn: 1-{rm P}(A) = 1 over 8`]

∴ [eqn: {rm P}(A)= 1 - 1 over 8 = 7 over 8`]

□ ④

27.

ㄱ. 첫 번째 히스토그램에서 [eqn: 10`]보다 크고 [eqn: 20`]보다 작은 자료의 개수는 [eqn: 2`]이고, 두 번째 히스토그램에서 [eqn: 15`]이하의 자료의 개수는 [eqn: 0`]이므로 자료의 최소값은 [eqn: 16`]이상이다.

또, 첫 번째 히스토그램에서 [eqn: 60`]이상인 자료의 개수는 [eqn: 0`]이고, 두 번째 히스토그램에서 [eqn: 55`]보다 크고 [eqn: 65`]보다 작은 자료의 개수는 [eqn: 1`]이므로 자료의 최대값은 [eqn: 59`]이하이다.

따라서 자료의 범위는 [eqn: 43`]([eqn: =59-16`]) 이하이다. (거짓)

ㄴ. 자료의 개수는 [eqn: 17`]이므로 자료의 중앙값은 [eqn: 9`]번째로 큰 수이다.

첫 번째 히스토그램에서 [eqn: 9`]번째로 큰 자료는 [eqn: 30`]보다 크고 [eqn: 40`]보다 작고,

두 번째 히스토그램에서 [eqn: 9`]번째로 큰 자료는 [eqn: 25`]보다 크고 [eqn: 35]보다 작다.

따라서 자료의 중앙값은 [eqn: 30]보다 크고 [eqn: 35]보다 작다. (참)

ㄷ. ㄱ에서 [eqn: 55]보다 크고 [eqn: 60]보다 작은 자료의 개수는 [eqn: 1`]이다.

이 때, 첫 번째 히스토그램에서 [eqn: 50]보다 크고 [eqn: 60]보다 작은 자료의 개수는 [eqn: 2`]이므로 [eqn: 50]보다 크고 [eqn: 55]보다 작은 자료의 개수는 [eqn: 1`]이다.

이 때, 두 번째 히스토그램에서 [eqn: 45]보다 크고 [eqn: 55]보다 작은 자료의 개수는 [eqn: 1`]이므로 [eqn: 45]보다 크고 [eqn: 50]보다 작은 자료의 개수는 [eqn: 0`]이다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄴ이다.

□ ②

28.

[eqn: 100`]권의 공책 중 [eqn: \A`]회사 제품의 개수를 확률변수 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 이항분포

[eqn: {rm B} left(100,~ 0.1 right)]을 따른다.

∴ [eqn: {rm E}(X)=100×0.1=10],

[eqn: {rm V} (X)=100×0.1×0.9=9`]

이 때, [eqn: 100`]은 충분히 큰 수이므로 [eqn: X`]는 근사적으로 정규분포 [eqn: \ N(10,3^2 )`]을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rm`P}(X >= 13)={rm P} LEFT ( {X-10} over {3} >= {13-10} over {3} RIGHT ) `]

[eqn: ={rm P}( Z ≧ 1 ) = 0.5 - {rm P}(0≦Z≦1)`]

[eqn: =0.5-0.3413=0.1587`]

□ ③

29.

ㄱ. [eqn: V( bar X_A ) = 4 over 7`], [eqn: V( bar X_B ) = 4 over 10`]이므로

[eqn: bar X_A `]의 분산은 [eqn: bar X_B`]의 분산보다 크다. (참)

ㄴ. [eqn: E( bar X_A ) = E( bar X_B ) = m`],

[eqn: sigma( bar X_A ) = 2 over root7], [eqn: sigma( bar X_B ) = 2 over root10`]이므로

[eqn: P left( bar X_A <= m+2 right) = P left( {bar X_A - m } over {2 over root7}<= (m+2)-m over {2over root7} right)]

[eqn: = P (Z <= root7 )`],

[eqn: P left( bar X_B <= m+2 right) = P left( {bar X_B - m } over {2 over root10}<= (m+2)-m over {2over root10} right)]

[eqn: = P (Z <= root10 )`]

∴ [eqn: P left( bar X_A <= m+2 right)][eqn: <][eqn: P left( bar X_B <= m+2 right)] (참)

ㄷ. [eqn: P(|Z|<= k`) = 0.95]를 만족하는 양수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: b-a = 2× k× 2 over root7`], [eqn: d-c = 2×k× 2 over root10`]

∴ [eqn: d-c < b-a`] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

□ ⑤

30.

한 상자에 들어있는 50개의 제품을 모두 검사할 때 나오는 불량품의 개수를 확률변수 [eqn: X`]라 하고, 확률변수 [eqn: X`]가 이항분포

[eqn: B(50,~p)`]를 따른다고 하자.

한 상자에 포함된 불량품의 개수의 평균은

[eqn: E(X)=m = 50p]

이고, 분산은

[eqn: V(X) = 50 p (1-p) = 48 over 25`]

∴ [eqn: p (1-p ) = 48 over 25 cdot 1over 50 = 48 over 50 × 2 over 50]

∴ [eqn: p= 48 over 50`] 또는 [eqn: p = 2 over 50 `]

그런데, [eqn: m`]은 5이하의 자연수이어야 하므로 [eqn: p = 2 over 50 `]이고, [eqn: m=][eqn: E(X)=50× 2over 50 =2`]이다.

애프터서비스로 인해 필요한 비용의 기대값은

[eqn: E( a X )= a E(X) = 2a`]

이므로 [eqn: 2a= 60000`]이어야 한다.

∴ [eqn: a= 30000]

∴ [eqn: a over 1000 = 30`]

□ [eqn: 30`]

이산수학

26.

같은 종류의 9개의 사탕을 같은 종류의 5개의 봉지에 빈 봉지가 없도록 나누어 넣는 방법의 수는 9를 1이상의 5개의 자연수의 합으로 나타내는 경우의 수와 같다.

따라서 구하는 경우의 수는

(1,1,1,1,5), (1,1,1,2,4), (1,1,1,3,3), (1,1,2,2,3), (1,2,2,2,2)의 [eqn: 5]이다.

□ ④

27.

약수 또는 배수 관계에 있는 서로 다른 두 꼭지점을 모두 변으로 연결한 그래프는 다음과 같다.

따라서 차수가 3인 꼭지점은 4, 6, 8의 3개다.

□ ③

28.

A에서 H로 가는 모든 경로와 각 경로에서 필요한 작업 일 수를 적으면 다음과 같다.

A→B→D→F→H : 22일

A→B→E→F→H : 18일

A→B→E→G→H : 19일

A→C→E→F→H : 16일

A→C→E→G→H : 17일

이 때, 구하는 최소의 작업 일 수는 각 경로에 필요한 작업 일 수의 최대값과 같으므로 22일이다.

□ ②

29.

행렬 [eqn: A^2`]의 [eqn: (i,~j)`]성분은 그래프에서 꼭지점 [eqn: i`]와 꼭지점 [eqn: j`]를 잇는 2개의 변으로 이루어진 경로의 수와 같다.

그런데, [eqn: A^2 = pmatrix{ 4&3&3&2&2 # 3& 4&3&2&2 #3&3&4&2&2#2&2&2&3&3#2&2&2&3&3`}]에서 (1,1)성분은 4이므로 2개의 변을 이용하여 1에서 1로 가는 경로의 개수는 4개이다. 따라서 꼭지점 1의 차수는 4이다.

이와 같은 방법으로 꼭지점 2, 3의 차수도 각각 4이고, 꼭지점 4, 5의 차수는 각각 3임을 알 수 있다. 따라서 그래프 [eqn: G`]는 그림과 같다.

ㄱ. 차수가 3인 꼭지점은 꼭지점 4와 꼭지점 5의 2개이다. (참)

ㄴ. 경로 1-2-4-3-5-1과 같이 모든 꼭지점을 한 번씩만 지나 원래의 꼭지점으로 되돌아오는 해밀턴회로를 갖는다. (참)

ㄷ. 그래프 [eqn: G`]에서 서로 다른 임의의 두 꼭지점을 잇는 2개의 변으로 이루어진 경로는 2개 이상임을 알 수 있다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

□ ⑤

30.

주어진 자연수를 이진법으로 나타내면 다음과 같다. (단, 이진법 기호는 생략)

1

10	11

100	101	110	111

⋯

위의 그림에서 어떤 수의 바로 아래 줄의 왼쪽에 연결된 두 수는 바로 위의 수의 일의 자리에 0을 붙이고, 아래 줄의 오른쪽에 연결된 수는 바로 위의 수의 일의 자리에 1을 추가한 것임을 알 수 있다.

예를 들면, 101과 연결된 바로 아래의 두 수 중 왼쪽의 수는 1010이고, 오른쪽의 수는 1011이다.

그런데, [eqn: 33=100001_(2)`], [eqn: 79=1001111_(2)`]이므로 맨 앞부터 100까지 공통이다.

따라서 구하는 수는 [eqn: 100_(2) =4`]이다.

∴ [eqn: k=][eqn: M(33,~79)=4`]

∴ [eqn: 10k =40]

□ 40