5지선다형

1. 두 다항식 [eqn: A=x ^{2} -y ^{2} `], [eqn: B=2x ^{2} +y ^{2} `]에 대하여 [eqn: A+B`]를 간단히 하면? [2점]

수학 영역(나형)

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수학 영역(나형)

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2016학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

제 2 교시

12

① [eqn: x ^{2}]	② [eqn: 2x ^{2}]	③ [eqn: 3x ^{2}]	④ [eqn: y ^{2}]	⑤ [eqn: 2y ^{2}]

2. [eqn: i(1+i)`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [2점]

① [eqn: 1+i]	② [eqn: -1+i]	③ [eqn: 1-i]

④ [eqn: -1-i]	⑤ [eqn: 2i]

3. [eqn: 3 ^{{1} over {2}} TIMES 3 ^{- {1} over {2}} `]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

4. 좌표평면에서 두 점 [eqn: rmO it (0,```0)`], [eqn: rm A it (8,```0)`]에 대하여 선분 [eqn: rmOA`]를 [eqn: 3:1`]로 내분하는 점의 좌표는? [3점]

① [eqn: (2,```0)]	② [eqn: (3,```0)]	③ [eqn: (4,```0)]

④ [eqn: (5,```0)]	⑤ [eqn: (6,```0)]

5. 함수 [eqn: f(x)=3x-1`]에 대하여 [eqn: f ^{`-1} (2)`]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

6. 모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{2} =2`], [eqn: a _{4} =18`]일 때, [eqn: a _{3} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

7. 연립방정식 [eqn: {cases{`x-y=3 _{`}#`xy+x+1=0 ^{`}}} ``]의 해를 [eqn: x=a`], [eqn: y=b`]라 할 때, [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

8. 무리함수 [eqn: y= sqrt {ax} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -2`]만큼 평행이동한 그래프가 원점을 지난다. 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: -7]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5]

9. 어떤 알고리즘에서 [eqn: N``]개의 자료를 처리할 때의 시간복잡도를 [eqn: T``]라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: {T} over {N} =log`N]

[eqn: 100`]개의 자료를 처리할 때의 시간복잡도를 [eqn: T _{1} `], [eqn: 1000`]개의 자료를 처리할 때의 시간복잡도를 [eqn: T _{2} `]라 할 때, [eqn: {T _{2}} over {T _{1}} `]의 값은?

[3점]

① [eqn: 15`]	② [eqn: 20`]	③ [eqn: 25`]	④ [eqn: 30`]	⑤ [eqn: 35]

10. 방정식 [eqn: x ^{3} +8=0`]의 근 중 허수부분이 양수인 근을 [eqn: alpha`]라 하자. [eqn: alpha-bar{alpha}`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이고, [eqn: {bar{alpha}} `]는 [eqn: alpha`]의 켤레복소수이다.)

[3점]

① [eqn: -2 sqrt {3} i]	② [eqn: - sqrt {3} i]	③ [eqn: sqrt {3} i]

④ [eqn: 2 sqrt {3} i]	⑤ [eqn: 4 sqrt {3} i]

11. 실수 [eqn: x`]에 대하여 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]가 다음과 같다.

[eqn: p`:`x ^{2} -2x-3{le0]

[eqn: q`:` LEFT | x-a RIGHT | le{b]

[eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 필요충분조건일 때, [eqn: ab`]의 값은?

(단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

12. 그림과 같이 좌표평면에서 점 [eqn: {rmA}(-2,```3)`]과 직선 [eqn: y=m LEFT ( x-2 RIGHT )] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]가 [eqn: bar{rmAB}=bar{rmAC}`]를 만족시킨다. 선분 [eqn: rmBC`]의 중점이 [eqn: y`]축 위에 있을 때, 양수 [eqn: m`]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {5} over {12}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {7} over {12}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

[13 ~ 14] 함수
[eqn: bold{f(x)= {x+1} over {2x-1} `]
에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

13. 유리함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 점 [eqn: (`p,```q)`]에 대하여 대칭일 때, [eqn: p+q`]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

14. [eqn: log`2=a`], [eqn: log`3=b`]라 할 때, [eqn: f(`log _{`3} `6)`]의 값을 [eqn: a`], [eqn: b`]로 나타낸 것은? [4점]

① [eqn: {a+2b} over {a+b}]	② [eqn: {2a+b} over {a+b}]	③ [eqn: {2a+b} over {a+2b}]

④ [eqn: {a+b} over {2a+b}]	⑤ [eqn: {a+2b} over {2a+b}]

15. 이차항의 계수가 [eqn: -1`]인 이차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=g(x)`]가 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 2`]와 [eqn: 6`]이다.
[eqn: h(x)=f(x)-g(x)`]라 할 때, 함수 [eqn: h(x)`]는 [eqn: x=p`]에서 최댓값 [eqn: q`]를 갖는다. [eqn: p+q`]의 값은? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

16. 모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = {a _{n} ` ^{2} +1} over {2a _{n}}]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a _{n} `]이

[eqn: a _{n} = sqrt {n} - sqrt {n-1}]  …… (*)

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,
[eqn: a _{1} = {a _{1} ` ^{2} +1} over {2a _{1}} `]에서 [eqn: a _{1} >0`]이므로 [eqn: LEFT ( 좌변 RIGHT ) `=a _{1} =1`],
[eqn: LEFT ( 우변 RIGHT ) `=1-0=1`]이다.
따라서 [eqn: n=1`]일 때 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`]일 때 (*)이 성립한다고 가정하면
[eqn: a _{m} = sqrt {m} - sqrt {m-1} `]이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} a _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{m} a _{k} +a _{m+1}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} LEFT ( sqrt {k} - sqrt {k-1} ` RIGHT ) +a _{m+1}]
[eqn: = {BOX{~^{ `}(가)_{`}~}} `+a _{m+1}]
이다. 이때
[eqn: {a _{m+1} ` ^{2} +1} over {2a _{m+1}}][eqn: = {BOX{~^{`}(가)_{`}~}} `+a _{m+1}]
즉,
[eqn: a _{m+1} ` ^{2} +2 sqrt {m} TIMES `a _{m+1} -1=0`]
이고, [eqn: a _{m+1} >0`]이므로
[eqn: a _{m+1} =box{~ ^{`} (나) _{`} ~}`- sqrt {m}]
이다. 따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n} = sqrt {n} - sqrt {n-1} `]이다.

위의 (가)와 (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)`]이라 할 때, [eqn: f(25)+g(35)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

17. 두 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여

[eqn: a ^{2} b+2ab+a ^{2} +2a+b+1`]

의 값이 [eqn: 245`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? [4점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

18. 그림과 같이 좌표평면에 세 점 [eqn: {rmO}(0,```0)`], [eqn: {rmA}(8,```4)`], [eqn: rm B it (7,```a)`]와 삼각형 [eqn: rmOAB`]의 무게중심 [eqn: rm G it (5,```b)`]가 있다. 점 [eqn: rmG`]와 직선 [eqn: rm OA] 사이의 거리가 [eqn: sqrt {5} `]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a`]는 양수이다.)

[4점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

19. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: a _{1} +a _{2} =8`]이고,

[eqn: sum _{k=2} ^{n} a _{k} - sum _{k=1} ^{n-1} a _{k} =2n ^{2} +2`] [eqn: (n{geq2)]

를 만족시킨다. [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 756]	② [eqn: 766]	③ [eqn: 776]	④ [eqn: 786]	⑤ [eqn: 796]

20. 집합 [eqn: X= left{ `1,``2,``3, ``4`right}`]에 대하여 [eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 일대일 대응인 함수 [eqn: f]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 집합 [eqn: X`]의 모든 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: (f circ f )(x) =x`]이다.

(나) 집합 [eqn: X`]의 어떤 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x) =2x`]이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f(3)=f ^{`-1} (3)] ㄴ. [eqn: f(1)=3]이면 [eqn: f(2)=4`]이다. ㄷ. 가능한 함수 [eqn: f`]의 개수는 [eqn: 4`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 12`]인 정사각형 [eqn: rmOABC] 모양의 종이를 점 [eqn: rm O`]가 원점에, 두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmC`]가 각각 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축 위에 있도록 좌표평면 위에 놓았다. 두 점 [eqn: rmD`], [eqn: rmE`]는 각각 두 선분 [eqn: rmOC`], [eqn: rm AB`]를 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점이고, 선분 [eqn: rm OA] 위의 점 [eqn: rm F`]에 대하여 [eqn: {bar{rm OF}} =5`]이다.
선분 [eqn: rm OC] 위의 점 [eqn: rmP`]와 선분 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rmQ`]에 대하여 선분 [eqn: rmPQ`]를 접는 선으로 하여 종이를 접었더니 점 [eqn: rmO`]는 선분 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmO'`]으로, 점 [eqn: rm F`]는 선분 [eqn: rmDE] 위의 점 [eqn: rmF'`]으로 옮겨졌다. 이때 좌표평면에서 직선 [eqn: rmPQ`]의 방정식은 [eqn: y=mx+n`]이다. [eqn: m+n`]의 값은? (단, [eqn: m`], [eqn: n`]은 상수이고, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: {25} over {4}]	③ [eqn: {13} over {2}]	④ [eqn: {27} over {4}]	⑤ [eqn: 7]

단답형

22. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 2,```4,```6 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 3,```6,```9 RIGHT } `]에 대하여
집합 [eqn: A{cup}B`]의 모든 원소의 합을 구하시오. [3점]

23. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 등식

[eqn: x ^{3} -x ^{2} -5x+a][eqn: =(x-2)(x ^{2} +x+b)`]

가 성립할 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 상수이다.)

[3점]

24. 이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax+a-3=0`]의 두 근의 합이 [eqn: 10`]일 때, 두 근의 곱을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

25. 다항식 [eqn: P`(x)=x ^{3} +x ^{2} +x+1`]을 [eqn: x-k`]로 나눈 나머지와 [eqn: x+k`]로 나눈 나머지의 합이 [eqn: 8`]이다. [eqn: P`(x)`]를 [eqn: x-k ^{`2} `]으로 나눈 나머지를 구하시오. (단, [eqn: k`]는 상수이다.) [3점]

26. 전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6,```7 RIGHT } `]의 두 부분집합

[eqn: A= LEFT { 1,```2,```3 RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { 2,```3,```4,```5 RIGHT } `]

에 대하여 집합 [eqn: P`]를

[eqn: P= LEFT ( A CUP B` RIGHT ) ` SMALLINTER ` LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) ^{C} `]

이라 하자. [eqn: P SUBSET X SUBSET U``]를 만족시키는 집합 [eqn: X``]의 개수를 구하시오. [4점]

27. [eqn: sqrt {{3} over {2}} TIMES root {4} of {a} `]가 자연수가 되도록 하는 자연수 [eqn: a`]의 최솟값을 구하시오. [4점]

28. 그림과 같이 좌표평면에서 세 점 [eqn: {rmO}(0,```0)`], [eqn: {rmA}(4,```0)`], [eqn: {rmB}(0,```3)`]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmOAB`]를 평행이동한 도형을 삼각형  [eqn: rmO'A'B'`]이라 하자. 점 [eqn: rmA'`]의 좌표가 [eqn: (9,```2)`]일 때, 삼각형 [eqn: rmO'A'B'`]에 내접하는 원의 방정식은 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +ax+by+c=0`]이다. [eqn: a+b+c`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 상수이다.) [4점]

29. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 이차부등식 [eqn: x ^{2} -2(a-1)x+b-2 GEQ 0`]이 성립할 때, [eqn: a+b`]의 최솟값은 [eqn: m`]이다. [eqn: 4m`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 실수이다.) [4점]

30. 두 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]과 실수 전체의 집합의 두 부분집합

[eqn: A= LEFT { a _{k} ` LEFT | `1 LEQ a _{k} LEQ 60`,```a _{k} `는```수열```left{a _{n} right}`의```항 RIGHT } RIGHT .]

[eqn: B= LEFT { b _{k`} ` LEFT | `1 LEQ b _{k`} LEQ 60`,```b _{k`} `는```수열``` LEFT { b _{n`} RIGHT } `의```항 RIGHT } RIGHT .]

이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a _{1} =1`], [eqn: a _{10} =55`]

(나) [eqn: n(A SMALLINTER B`)=n LEFT ( A` SMALLINTER B ^{C``} RIGHT ) = {1} over {2} TIMES n LEFT ( A ^{C} SMALLINTER B` RIGHT )]

(다) 집합 [eqn: A{cap}B`]의 모든 원소의 합은 [eqn: 125`]이다.

집합 [eqn: B`]의 모든 원소의 합을 구하시오.

(단, 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]의 항은 유한개가 아니다.) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.