2004학년도 대학수학능력시험 수리·탐구(I) 영역 인문계

<풀이>

[eqn: log_3 `` 12 `+ log_3 `` 9` - log_3 ``4 ``][eqn: =`log_3 `` 12×9over4 `=`log_3``27``]

[eqn: =`log_3``3^3`=`3``]

답 : ③

<별해>

[eqn: log_3 `` 12 `+ log_3 `` 9` - log_3 ``4 ``][eqn: =`(1`+`log_3``4)`+`2`-`log_3``4`=`3``]

<풀이>

[eqn: { 3 } over { x`- { x`-1 } over { x`+1 } }`=`{3`(x+1)}over{x`(x+1)`-`(x-1)}``][eqn: =`{3`(x+1)}over{x^2`+`1}``][eqn: =`{3`(root2`+`1)}over2+1`=`root2`+`1``]

답 :  ①

<풀이>

[eqn: sin theta CDOT tan theta ``][eqn: =`sin theta CDOT sin□over cos□``][eqn: =`{sin^2`□}over cos□``]

그런데 [eqn: sin^2`□`=`1`-`cos^2`□`=`1`-`left(- 1over3right)^2`=`8over9``]이므로

[eqn: sin theta CDOT tan theta ``][eqn: =`{8over9}over{- 1over3}`=`- 8over3``]

답 :  ②

<별해> 사인과 탄젠트의 값을 직접 구한다.

[eqn: cos□`＠``0``]이므로 □는 제2, 3사분면의 각이다.

(i) □가 제2사분면의 각일 때,

[eqn: sin□=`root{1`-`cos^2`□}`=`root{1`-`left(- 1over3right)^2`}`=`{2`root2}over3``]

[eqn: tan□=`sin□over cos□`=`{{2`root2}over3}over{- 1over3}`=`-`2`root2``]

∴ [eqn: sin theta CDOT tan theta ``][eqn: =`{2`root2}over3`□(-2`root2`)`=`- 8over3``]

(ii) □가 제3사분면의 각일 때,

[eqn: sin□=`-root{1`-`cos^2`□}`=`-root{1`-`left(- 1over3right)^2`}`=`-{2`root2}over3``]

[eqn: tan□=`sin□over cos□`=`{-{2`root2}over3}over{- 1over3}`=`2`root2``]

∴ [eqn: sin theta CDOT tan theta ``][eqn: =`-{2`root2}over3`□2`root2`=`- 8over3``]

(i), (ii)에서 [eqn: sin theta CDOT tan theta ``][eqn: =`- 8over3``]

<풀이>

[eqn: x^2`+`2`x`-`3``＠``5``]에서 [eqn: x^2`+`2`x`-`8``＠``0``]

[eqn: (x+4)`(x-2)``＠``0``]      ∴ [eqn: -4``＠``x``＠``2``]

이것을 만족하는 정수 [eqn: x``]값은 -3, -2, -1, 0, 1의 5개이다.

답 : ⑤

<풀이>

[eqn: f`(x`)`]를 [eqn: x`+2`]로 나눈 몫은 [eqn: x^2` + 1`]이고 나머지가 [eqn: 2`]이므로

[eqn: f``(x)`=`(x+2)`(x^2`+`1)`+`2``]

그러므로 [eqn: f`(x`)`]를 [eqn: x`-2`]로 나눈 나머지는

[eqn: f``(2)`=`4□5`+`2`=`22``]

답 : ③

<풀이>

주어진 이차방정식을 전개하여 정리하면

[eqn: x^2`-`a`x`+`2`a`-`4`=`0``]

중근을 가지므로

[eqn: D`=`a^2`-`8`a`+`16`=`0``]

[eqn: (a-4)^2`=`0``]

∴ [eqn: a`=`4``]

답 : ③

<풀이>

[eqn: f`(x`)=x^{2}-2x+a``]의 그래프를 [eqn: y``]축의 방향으로 [eqn: -4] 만큼 평행이동시킨 식은

[eqn: f`(x`)=x^{2}-2x+a`-`4``]	……㉠

이것이 [eqn: x``]축에 접하므로 꼭지점의 [eqn: y``]좌표가 0이어야 한다. 즉,

[eqn: f`(x`)`=`(x-1)^2`+`a`-`5``]

에서 [eqn: a`-`5`=`0``]이므로 [eqn: a`=`5``]

답 :  ①

<별해>

㉠에서 판별식을 사용하자.

[eqn: D over4`=`1`-`(a-4)`=`0``]

∴ [eqn: a`=`5``]

<풀이>

각각의 경우를 그래프로 그리면 다음과 같다.

□	□	□

그림에서 두 그래프가 항상 만나는 것은 □, □이다.

답 :  ⑤

<풀이>

역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: a`d`-`b`c`=`0``]에서 [eqn: a`d`=`b`c``] ……㉠

오른쪽 그림과 같이 좌표축을 잡고 점 P의 좌표를 [eqn: (x`,``y`)``]라 하면

[eqn: a`=`1over2`□2`□x`=`x``]

[eqn: b`=`1over2`□1`□y`=`y over2``]

[eqn: c`=`1over2`□2`□(1-x)`=`1-x``]

[eqn: d`=`1over2`□1`□(2-y)`=`2-y over2``]

㉠에 대입하면

[eqn: x`□`2-y over2`=`(1-x)`□`y over2``]

∴ [eqn: y`=`2`x``] (단, [eqn: 0``＠``x``＠``1``,``0``＠``y``＠``2``])

즉, 점 P의 자취는 원점와 점 (1, 2)를 잇는 선분이므로 그 길이는

[eqn: root{1^2`+`2^2`}`=`root5``]

답 : ④

<참고>

일반적으로 직사각형 내부에 한 점 P를 잡고, 직사각형을 네 조각으로 나누면 항상 [eqn: a+c`=`b+d``]인 관계가 성립한다.

증명해 보자.

오른쪽 그림과 같이 점 P에서 각 변까지의 길이를 각각 [eqn: x`,``y`,``z`,``w``]라 하면

[eqn: a`=`1over2`x`(z+w)`=`{x`z`+`x`w}over2``]

[eqn: b`=`1over2`z`(x+y)`=`{x`z`+`y`z}over2``]

[eqn: c`=`1over2`y`(z+w)`=`{y`z`+`y`w}over2``]

[eqn: d`=`1over2`w`(x+y)`=`{x`w`+`y`w}over2``]

에서 [eqn: a+c`=`b+d``]임을 알 수 있다.

<별해> <참고>를 이용한 별해임.

㉠에서 [eqn: d`=`bc over a``]이므로 [eqn: a+c`=`b+d``]에 대입하면

[eqn: a+c`=`b+`bc over a``]

양변에 [eqn: a``]를 곱하면[eqn: a`(a+c)`=`b`(a+c)``]에서 [eqn: a`=`b``]

㉠에서 [eqn: c`=`d``]임도 알 수 있다.

[eqn: a`=`b``]이고 [eqn: c`=`d``]이면 [eqn: a+d`=`b+c``]이므로 점 P는 직사각형의 대각선 위에 존재한다.

<풀이>

삼차함수의 그래프가 원점에 대하여 대칭, 즉 기함수이므로

[eqn: f``(x)`=`a`x^3`+`b`x``]	……㉠

로 놓을 수 있다.

[eqn: x`=`1``]에서 극값을 가지므로, 미분하면

[eqn: f``'(x)`=`3`a`x^2`+`b``]

에서 [eqn: f``'(1)`=`3`a`+`b`=`0``]      ∴ [eqn: b`=`-3a``]

이것을 ㉠에 대입하면

[eqn: f``(x)`=`a`x^3`-3`a`x`=`a`x`(x^2`-`3)`=`0``]

에서 삼차함수의 그래프와 [eqn: x``]축과의 교점의 [eqn: x``]좌표는 [eqn: x`=`0``,``x`=`+-`root3``]

이다. 따라서 양수는 [eqn: root3``]이다.

답 : ②

<별해>

삼차함수는 변곡점에 대하여 대칭이므로 원점이 변곡점이고 [eqn: x`=`1``]에서 극값을 가지므로 [eqn: x`=`-1``]에서도 극값을 가진다. 그러므로 삼차함수의 도함수를

[eqn: f``'(x)`=`a`(x+1)`(x-1)`=`a`x^2`-`a``]

로 놓을 수 있다.

∴ [eqn: f``(x)`=`a over3`x^3`-`a`x`=`a over3`x`(x^2`-`3)``]

[eqn: f``(x)`=`0``]에서 구하는 양수는 [eqn: root3``]이다.

<풀이>

ㄱ. [eqn: f`( SQRT { 2``} )`=`[2]`=`2``,``g` ( SQRT { 2``} )`=`[root2`]^2`=`1^2`=`1``]

∴ [eqn: f`( SQRT { 2``} )` Ｂ g` ( SQRT { 2``} )`] (참)

ㄴ. [eqn: x`=`n``](정수)이면

[eqn: f`(x` )` =`[n^2`]`=`n^2``,`` g`(x` ) `=`[n]^2`=`n^2``]

∴ [eqn: f`(x` ) = g`(x` ) `] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: x`=`0.5``]일 때

[eqn: f`(x` )` =`[0.5^2`]`=`[0.25]`=`0``,`` g`(x` ) `]

[eqn: =`[0.5]^2`=`0^2`=`0``]

으로 [eqn: f`(x`) = g`(x`) `]이지만, [eqn: x``]는 정수가 아니다.

이상에서 옳은 것은 □, □이다.

답 : ②

<풀이>

ㄱ. [eqn: 3^1 = 3``], [eqn: 3^2 = 9``], [eqn: 3^3 = 27``], [eqn: 3^4 =81``], [eqn: 3^5 = 243``], … 이므로 [eqn: A`(2) = LEFT { `` 1, ``3, `` 7, `` 9 ``RIGHT } ``]

∴ [eqn: 1``]□[eqn: A`(3)] (참)

ㄴ. [eqn: 6^1`=`6`,``6^2`=`36`,``6^3`=`216``,``…``]이므로

[eqn: A`(6)`=`left{6``right}``]

∴ [eqn: A`(6) ``notSUBSET ``A`(3)``] (거짓)

ㄷ. [eqn: n`=`3``]이면 [eqn: 3^3`=`27``]이고, 일의 자리만 생각하면 [eqn: A`(7)`=`left{1`,``3`,``7`,``9`right}``]이므로

[eqn: A`(27) =A`(3)``] (참)

이상에서 □, □이 참이다.

답 :  ⑤

<풀이>

□. [eqn: f_{ 2 } CIRC f_{ 3 } ``]는 270°회전 후 다시 180°회전한 것이므로 결국 450°, 곧 90°회전시킨 것과 같다.

∴ [eqn: f_{ 2 } CIRC f_{ 3 } ``=`f_{ 1 } ``] (거짓)

□. [eqn: f_{ 1 } ^ {-1}``]은 -90°회전이고, [eqn: f_{ 3 } ``]은 270°회전이므로

[eqn: f_{ 1 } ^ {-1}`` =`f_{ 3 }] (참)

□. [eqn: f_1 □f_3 ``]은 270°회전 후 90° 회전했으므로 결국 360°회전한 셈이다.

[eqn: f_3 □f_1``]은 90°회전 후 270°회전했으므로 역시 360°회전한 것이다.

∴ [eqn: f_1 □f_3 ``=` f_3 □f_1] (참)

이상에서 옳은 것은 □, □이다.

답 ④

<풀이>

우선 세 숫자의 조합을 생각하면

(1, 2, 3, 3), (1, 1, 2, 3), (1, 2, 2, 3), (1, 1, 1, 2),

(1, 1, 2, 2), (1, 2, 2, 2)

가 가능하다. 즉, 1과 2를 두 개 사용할 때와 세 개 사용할 때, 그리고 네 개 사용할 때로 나뉜다.

(i) 1과 2를 두 개 사용할 때 → (1, 2, 3, 3)

[eqn: 4! over2!`=`12``](개)

(ii) 1과 2를 세 개 사용할 때 → (1, 1, 2, 3), (1, 2, 2, 3)

[eqn: 4! over2!`×`2`=`24``](개)

(iii) 1과 2를 네 개 사용할 때 → (1, 1, 1, 2), (1, 1, 2, 2), (1, 2, 2, 2)

[eqn: 4! over3!`+`4! over{2!`2!}`+`4! over3!`=`4`+6`+`4`=`14``](개)

이상에서 구하는 자연수의 개수는

[eqn: 12+24+14`=`50``](개)

답 : ⑤

<별해 1>

여사건을 구해 보자.

숫자 1, 2, 3을 중복사용하여 만들어지는 네 자리 자연수는

[eqn: 3□3□3□3`=`81``](개)

가 전체집합이다.

(i) 한 숫자로만 된 것은

1111, 2222, 3333의 3개

(ii) 두 숫자로만 된 것 중 1과 3으로만 된 것

[eqn: 2□2□2□2`-`2`=`14``] ←2를 뺀 것은 한 숫자로만 된 것이 (i)과 중복되므로

(iii) 두 숫자로만 된 것 중 2와 3으로만 된 것도 (ii)와 마찬가지로 14개가 있다.

이상에서 여사건의 개수는 31이므로 구하는 개수는

[eqn: 81-31`=`50``](개)

<별해 2>

먼저 네 자리 중 두 자리를 1과 2로 정하고 나머지 두 자리는 다음과 같이 임의로 정하면 된다.

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)

각각의 경우의 수는

[eqn: 4!over3!`,``4! over{2!`2!}`,``4!over2!`,``4!over3!`,``4! over2!`,``4! over2!``]

이고, 이들의 합은 [eqn: 4+6+12+4+12+12`=`50``]

<풀이>

32는 제6행의 첫째항이다.

33은 제5행의 16에 바로 연결되므로

[eqn: N`(32`,``33)`=`2``]

34와 35는 제4행의 8과 제5행의 17에 연결되므로

[eqn: N`(32 ,``34) +N`(32 ,``35)`=`4`+`4`=`4×2`=`8``]

36∼39는 제3행의 4와 제4행의 9에 연결되므로

[eqn: N`(32 ,``36) +N`(32 ,``37) +N`(32 ,``38)+ `N`(32 ,``39)`=`6`+`6`+`6`+`6`=`6×4`=`24``]

40∼47은 제2행의 2에 연결되므로

[eqn: N`(32 ,``40) +N`(32 ,``41) +`…`+ `N`(32 ,``47)`=`8×8`=`64``]

마지막 48∼63은 제1행의 1에 연결되므로

[eqn: N`(32 ,``48) +N`(32 ,``49) +`…`+ `N`(32 ,``63)`=`10×16`=`160``]

이상에서 구하는 값은

[eqn: 2+8+24+64+160`=`258``]

답 : ②

<풀이>

점 [eqn: (a`,``b`)``]가 부등식 [eqn: y``Ｂf`(x`)`]를 만족하므로

[eqn: b``Ｂ``a^2`-`4`a``]

ㄱ. [eqn: b``Ｂ``a^2`-`4`a``]이므로	[eqn: b over2``Ｂ``a^2over2`-`2`a``]

그런데 [eqn: f``` left ( "`a`" over "`2`" right ) `=`a^2over4`-`2`a``]이므로 [eqn: "`b`" over "`2`" Ｂ ` f``` left ( "`a`" over "`2`" right ) ``] (참)

ㄴ. (반례) 점 (3, 0)은 주어진 부등식을 만족하지만,

점 (6, 0)은 주어진 부등식을 만족하지 않는다.

ㄷ. [eqn: b``Ｂ``a^2`-`4`a``]이므로 [eqn: -b``＠``-a^2`+`4`a``]

그런데 [eqn: f`` ( -a ` ) `=`a^2`+`4`a``]이므로	[eqn: -b`` ＠ `f`` ( -a ` ) `] (참)

이상에서 옳은 것은 □, □이다.

답 : ④

<별해>

점 P[eqn: (a`,``b`)``]에 대하여 점 [eqn: left(a over2`,``b over2right)``]는 선분 OP의 중점, 점[eqn: (2`a`,``2`b`)``]는 선분 OP의 두 배 연장선, 점 [eqn: (-a`,``-b`)``]는 원점에 대한 대칭점이므로 오른쪽 그림에서 옳은 것은 □, □이다.

<풀이>

[eqn: rmbarAC`=`root{barAB`^2`+`barBC`^2`}``]

[eqn: =`rm root{4`barBC`^2`+`barBC`^2`}`=`root5`~barBC``] (가)

[eqn: rm bar AE_` = BAR AC_` `- BAR CD_` ` =`root5``barBC`-`barBC`=`(root5`-1)`barBC``] (나)

[eqn: RM BAR EB_` = BAR AB_` ` - BAR AE_` ` =`2`barBC`-`(root5`-1)`barBC`=`(3-root5`)`barBC``]

답 :  ④

<풀이>

(ⅰ) [eqn: x^2`]의 일의 자리의 수가 [eqn: 4`]이고 [eqn: y^2`]의 일의 자리의 수가 [eqn: 6]인 경우에 [eqn: x``]의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 [eqn: 2] 또는 [eqn: 8`] 뿐이고, [eqn: y``]의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 [eqn: 4] 또는 [eqn: 6] 뿐이다.

[eqn: 2×4`=`8``,``2×6`=`12`,``8×4`=`32``,``8×6`=`48``]이므로 [eqn: xy``]의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 2 또는 8뿐이므로 [eqn: N``]은 [eqn: 10`]의 배수가 아니다.

(ⅲ) [eqn: x^2`]과 [eqn: y^2`]의 일의 자리의 수가 모두 [eqn: 4`]이면, [eqn: x`,``y``]의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 각각 [eqn: 2] 또는 [eqn: 8`]뿐이고

[eqn: 2×2`=`4``,``2×8`=`16`,``8×8`=`64``]

에서 [eqn: xy``]의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은  4 또는 6뿐이므로 [eqn: N``]은  [eqn: 10`]의 배수가 아니다.

마찬가지로 [eqn: x^2`]과 [eqn: y^2`]의 일의 자리의 수가 모두 6이면, [eqn: x`,``y``]의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 각각 4 또는 6뿐이고

[eqn: 4×4`=`16``,``4×6`=`24`,``6×6`=`36``]

에서 [eqn: xy``]의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은  4 또는 6뿐이므로 [eqn: N``]은  [eqn: 10`]의 배수가 아니다.

이상에서 하나만 10의 배수가 아니거나, 모두 10의 배수가 아니면 모순이 생기므로 [eqn: x^2 `+xy `+ y^2 `]이 [eqn: 10`]의 배수이면 [eqn: x`,``y``]는 모두 [eqn: 10`]의 배수이다.

답 : ③

<풀이>

[eqn: x_2``]까지의 평균이 5, [eqn: x_3``]까지의 평균이 6, [eqn: x_4``]까지의 평균이 7이므로 [eqn: x_n``]까지의 평균은 [eqn: n+3``]으로 추정할 수 있다.      ∴ [eqn: {x_1`+`x_2`+`…`+`x_n}over n`=`n+3``]

∴ [eqn: x_1`+`x_2`+`…`+`x_n`=`S_n`=`n^2`+`3`n``]

∴ [eqn: x_n`=`S_n`-`S_n-1`]

[eqn: =`(n^2`+`3`n)`-`left{(n-1)^2`+`3`(n-1)right}``]

[eqn: =`2`n`+`2``]

∴ [eqn: x_100`=`2`×`100`+`2`=`202``]

답 : ⑤

<풀이>

각 직사각형의 가로의 길이는 오른쪽으로부터

[eqn: 1`-`2over3`=`1over3``]

[eqn: 2over3`-`left(2over3right)^2`=`2over3`left(1`-`2over3right)`=`1over3`□`2over3``]

[eqn: left(2over3right)^2`-`left(2over3right)^3`=`left(2over3right)^2`left(1`-`2over3right)`=`1over3`left(2over3right)^2``]

…………

세로의 길이는 오른쪽으로부터

[eqn: 1^2``,``left(2over3right)^2``,``left(2over3right)^4``,``left(2over3right)^6``,``…``]

이므로 직사각형의 넓이의 합 [eqn: S_1``]는

[eqn: S_1`=`1over3`□`1^2`+`1over3`□`2over3`□`left(2over3right)^2```]

[eqn: +`1over3`left(2over3right)^2`□`left(2over3right)^4`+`…]

[eqn: =`{1over3}over{1`-`8over27}`=`9over19``]

곡선 [eqn: y`=`x^2``]의 아래 부분의 넓이 [eqn: S_2``]는

[eqn: S_2`=`int_0^1``x^2``dx`=`left[x^3over3right]_0^1`=`1over3``]

따라서 잘려진 윗부분들의 넓이의 합 [eqn: S``]는

[eqn: S`=`S_1`-`S_2`=`9over19`-`1over3`=`8over57``]

답 : ④

<풀이>

오른쪽 그림과 같이 세 점 A(2, 0), B(2, 1), C(2, 4)를 잡으면

[eqn: rmbarBC`=`barAC`-`barAB`=`4-1`=`3``]

[eqn: rmbarOB`=`root{1^2`+`2^2}`=`root5``]

[eqn: rmbarOC`=`root{2^2`+`4^2}`=`2`root5``]

이므로 △OBC에 제이코사인법칙을 적용하면

[eqn: cos□=`{20`+`5`-`9}over{2□2`root5`□root5}`=`4over5``]

<별해> 삼각함수의 덧셈정리를 이용해 보자.

∠COA[eqn: =□``], ∠BOA[eqn: =□``]라 하면

[eqn: tan□=`1over2``,``tan□=`2``]

이고 [eqn: □=□-□``]이므로

[eqn: tan□=`tan`(□-□)`=`{tan□`-`tan□}over{1`+`tan□`tan□}``]

[eqn: =`{2`-`1over2}over{1`+`2□`1over2}`=`3over4``]

∴ [eqn: cos□=`4over5``]

<풀이>

[eqn: 100`=`16`×`6`+`4`=`64_(16)``]

[eqn: 245`=`16`×15`+`5`=`\F5_(16)``]

[eqn: 64`=`16`×`4`=`40_(16)``]

이므로 입력해야 할 문자열은 64F540이다.

답 : ②

<풀이>

사인함수의 최대값이 0.6이므로 [eqn: a`=`0.6``]이다.

주기가 5이므로 [eqn: {2`pi}over b`=`5``]에서 [eqn: b`=`2over5`pi``]

그러므로 주어진 함수는 [eqn: y`=`0.6`sin`2over5`pi`t``]이다.

처음으로 흡입률이 -0.3리터/초가 되는 데 걸리는 시간은

[eqn: -0.3`=`0.6`sin`2over5`pi`t``]에서 [eqn: sin`2over5`pi`t`=`- 1over2``]

∴ [eqn: 2over5`pi`t`=`7over6`pi``]에서 [eqn: t`=`35over12``](초)

답 : ①

<풀이>

최초에 지면에 정지해 있었으므로, [eqn: t`=`35``]일 때의 열기구의 높이를 [eqn: h``]라 하면

[eqn: h`=`0`+`int_0^35``v`(t`)``dt`]

[eqn: =`int_0^20``t``dt`+`int_20^35``(60-2t`)``dt`]

[eqn: =`left[t^2over2right]_0^20`+`left[60`t`-`t`^2`right]_20^35``]

[eqn: =`400over2`+`60`(35-20)`-`(1225`-`400)`=`275``](m)

답 :  ③

<별해>

[eqn: v-t``] 그래프에서의 정적분이 현위치이므로 그래프를 통해서 해결해 보자.

오른쪽 그림에서 35초일 때의 높이는 [eqn: t``]축 위의 넓이에서 [eqn: t``]축 아래의 어두운 부분의 넓이를 빼면 된다.

∴ [eqn: h`=`1over2`×`30×20`-`1over2`×`5×10`=`300`-`25`=`275``]

주관식 문항 (25∼30)

<풀이>

[eqn: A``=`pmatrix{`5&~2``#`7&~3``}B``]의 양변의 오른쪽에 [eqn: B^-1``]을 곱하면

[eqn: A`B^-1`=`pmatrix{`5&~2``#`7&~3``}``]

또한 [eqn: BA^-1`=`(AB^-1`)^-1``][eqn: =`pmatrix{`5&~2``#`7&~3``}`^-1``]

[eqn: =`pmatrix{~~3&-2``#-7&~~5``}``]

∴ [eqn: AB^-1 `+BA^-1`][eqn: =`pmatrix{8&0``#0&8``}``]

따라서 구하는 모든 성분의 합은 16이다.

답 : 16

<풀이>

[eqn: 0over0``]꼴의 무리식이므로 분모를 유리화하면

[eqn: lim_{x`->-2 }` {2x`+4} over {rootx+11 -3}^`][eqn: =`lim_{x`->-2 }` {(2`x`+`4)`(rootx+11 +3)} over {(x+11) -9}``]

[eqn: =`lim_{x`->-2 }` {2`(x+2)`(rootx+11 +3)} over {x+2}``]

[eqn: =`lim_{x`->-2 }``2`(rootx+11 +3)`=`2`(3+3)`=`12``]

답 :  12

<풀이>

실계수 이차방정식의 허근은 켤레로 존재하므로 [eqn: b` + sqrt{3``} i``]이 한 근이면 [eqn: b` - sqrt{3``} i``]도 근이 된다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: (b`+`root3`i`)`+`(b`-`root3`i`)`=`-6``]에서 [eqn: b`=`-3``]

[eqn: (b`+`root3`i`)`(b`-`root3`i`)`=`a``]에서 [eqn: a`=`b`^2`+`3`=`12``]

∴ [eqn: a`+`b`=`12`+`(-3)`=`9``]

답 : 9

<별해>

[eqn: x`=`b`+`root3`i``]를 주어진 방정식에 대입하면

[eqn: (b`+`root3`i`)^2 `+`6`(b`+`root3`i`)`+a`=0`]

실수부분과 허수부분으로 나누어 정리하면

[eqn: (b^2`+`6`b`+`a`-`3)`+`2`(b+3)`root3`i`=`0``]

∴ [eqn: b^2`+`6`b`+`a`-`3`=`0``,``2`(b+3)`root3`=`0``]

∴ [eqn: a`=`12``,``b`=`-3``]

<풀이>

[eqn: n`(A-B`)`=`n`(A`)`-`n`(A∩B`)``]이므로

[eqn: n`` (C- (A`∪B``))`][eqn: =`n`(C`)`-`n`(C∩ (A`∪B``))`]	……㉠

[eqn: n`` (C- (A`∪B``))`]의 값이 최소일 때는 [eqn: n`(C∩ (A`∪B``))`]의 값이 최대일 때이다.

여기서 [eqn: C∩ (A`∪B`)`=`(C∩A)∪(C∩B`)``]이므로

[eqn: n`(C∩ (A`∪B`)`)`=`n`(C∩A)`+`n`(C∩B`)`]

[eqn: -`n`(A∩B∩C)``]	……㉡

그런데 [eqn: n`(A∩B∩C)`=`5``]로 일정하므로 [eqn: n`(C∩ (A`∪B``))`]의 값이 최대일 때는 [eqn: n`(C∩A)``]와 [eqn: n`(C∩B`)``]가 최대일 때이다.

[eqn: n``( A `∩ B`) = 10], [eqn: n``( A `∩ B``∩ C` ) = 5]이므로

[eqn: n``( (A∩ B`)`-` C` ) =`10`-`5`=`5``]

∴ [eqn: n`(C∩A)``][eqn: □``14`-`5`=`9``],

[eqn: n`(C∩B`)``][eqn: □``16`-`5`=`11``]

㉡에서 [eqn: n`(C∩ (A`∪B`)`)``]의 최대값은 [eqn: 9+11-5`=`15``]이므로 ㉠에서

구하는 최소값은 [eqn: 19`-`15`=`4``]이다.

답 : 4

<별해>

벤 다이어그램을 그려보면 최소인 순간을 찾을 수 있다.

오른쪽 벤 다이어그램이 구하는 최소의 순간이다.

그러므로 최소값은 4이다.

<풀이>

두 원의 중심을 지나는 직선은 두 원의 공통현의 수직이등분선이다.

[eqn: rmbarAB``]의 중점을 M이라 하면, M(3, 3)이고, 직선 AB의 기울기는

[eqn: 1-5over4-2`=`-2``]

이므로 수직이등분선의 기울기는 [eqn: 1over2``]이다.

따라서 중심을 지나는 직선은 점 M을 지나고 기울기가 [eqn: 1over2``]인 직선이므로, 그 방정식은

[eqn: y-3`=`1over2`(x-3)``]

공통외접선은 바로 [eqn: x``]축이므로 이 직선의 방정식에 [eqn: y`=`0``]을 대입하면

[eqn: -3`=`1over2`(x-3)``]에서 [eqn: x`=`-3``]

답 : -3

<풀이>

[eqn: 2``＠``log_2``7``＠``3``]이므로

[eqn: a`=`2``], [eqn: b`=`log_2``7`-`2`=`log_2``7over4``]

∴ [eqn: 3^a`+2^b`=`3^2`+`2^{log_2``7over4}``]

[eqn: =`9`+`{7over4}^{log_2``2}``]

[eqn: =`9`+`7over4`=`10.75``]

답 : 10.75

출처 : 수학마을 수학교실에서 다운받아 편집한 것입니다. (http://user.chollian.net/~msjeil/)