	2008학년도 해군사관학교 1차 선발시험 문제지
제 3 교시				수리 영역
자 연																	1
					성명			수험번호
◦먼저 문제지에 성명과 수험 번호를 정확하게 기입하시오. ◦답안지에 성명과 수험 번호를 표기하시오. ◦주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하며 [eqn: 0``]이 포함된 경우에는 [eqn: 0``]을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오. (각 물음의 끝에 표시된 배점을 참조하시오)

자 연		수 리 영 역

			수 리 영 역		자 연

1. [eqn: 1``]이 아닌 두 양수 [eqn: a`,~b``]에 대하여 [eqn: a ^{2} CDOT root {5} of {b} =1``]이 성립할 때, [eqn: log _{`a} ` {1} over {a`b}``]의 값은? [2점]

① [eqn: -9]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 9]

2. 행렬 [eqn: A=pmatrix{ ```````2& `````````5``#-1 &` -2`}``]와 이차 정사각행렬 [eqn: B``]에 대하여 행렬 [eqn: A`B`A^-1 ``]의 역행렬이 [eqn: A``]일 때,

행렬 [eqn: B``]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

3. 부등식 [eqn: [`x`] ^{`3} `-`6[`x`] ^{`2} `+`11[`x`]`-`6` >=` 0`]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x`]의 집합은? (단, [eqn: [`x`]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [2점]

① [eqn: left{x``|``x>=1 right}]	② [eqn: left{x``|``x>=3 right}]	③ [eqn: left{ x``|``1<= x <=3 right}]

④ [eqn: left{ x``|``1<=x<4 right}]	⑤ [eqn: left{x``|``1<= x <2 ~~또는~~x>=3 right}]

4. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족한다.

(가) [eqn: f`'(1)=2]

(나) 모든 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여

[eqn: f(x+y)=f(x) + f(y) + `x`y` (`x+y) -3]

이 때, [eqn: f(3)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 21]

5. [eqn: a _{1} =1`]이고 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n <a_n+1`]인 수열 [eqn: left{`a_n `right}`]이 있다. 곡선 [eqn: y=x^2`]과 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x=a_n`], [eqn: x=a_n+1`]로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 14``left( 1 over 3 right)^{`n-1}]일 때,

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=x^2]

[eqn: 1]

[eqn: a_n]

[eqn: a_n+1]

[eqn: 14``left( 1 over 3 right)^{`n-1}]

[eqn: lim from n->inf ``a_n`]의 값은? [3점]

① [eqn: 5`` root3 of 5]	② [eqn: 4` `root 3 of4]

③ [eqn: 3` `root 3 of3]	④ [eqn: 4]

⑤ [eqn: 5]

6. 그림과 같이 타원 [eqn: x^2 over 100 + y^2 over 75 =1`]의 두 초점을 [eqn: {rm F}`], [eqn: {rm `F`'}`]이라 하고, 이 타원 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 선분 [eqn: rm F`'`P`]가 타원 [eqn: x^2 over 49 + y^2 over 24 =1`]과 만나는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. [eqn: rm bar {F`'`Q`} `=`8`]일 때, 선분 [eqn: rm FP`]의 길이는? [3점]

[eqn: rm O]

[eqn: rm F']

[eqn: rm F]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: x]

[eqn: y]

① [eqn: 7]	② [eqn: 29 over 4]	③ [eqn: 15 over 2]

④ [eqn: 31 over 4]	⑤ [eqn: 8]

7. [eqn: rm ` ANGLE BAC=60 DEG `]이고 [eqn: \ angle BCA>90DEG]인 둔각삼각형 [eqn: RMABC``]가 있다. 그림과 같이 [eqn: \ ANGLE BAC``]의 이등분선과 선분 [eqn: {\ BC}`]의 교점을 [eqn: RMD``], [eqn: \ ANGLE BAC``]의 외각의 이등분선과 선분 [eqn: {\ BC}``]의 연장선의 교점을 [eqn: RME`]라 할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: 60°]

ㄱ. [eqn: \ vec AB ``+ vec AC`` = 2 vec AD]

ㄴ. [eqn: VEC{RM AB} BULLET VEC{RM AD} ```>`` VEC{RM AC} BULLET VEC{RM AE}]

ㄷ. [eqn: VEC{RM AB} BULLET VEC{RM AC} ```>`` VEC{RM AD} BULLET VEC{RM AE}]

<보기>

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

8. 함수 [eqn: f(x) =x^3`]에 대하여 [eqn: A_{`n}`], [eqn: B_{`n}`]을 다음과 같이 정의하자.

[eqn: A_n = sum_k=1^n `f` left( k-1 over n right)`1 over n] ,   [eqn: B_n `=`sum_k=1^n `` left{ 1- f `left( k over n right)`right} 1 over n]

[eqn: y]

[eqn: 1 over n]

[eqn: 2 over n]

[eqn: k-1 over n]

[eqn: k over n]

[eqn: 1]

[eqn: n-1 over n]

[eqn: cdots]

[eqn: cdots]

[eqn: cdots]

[eqn: cdots]

[eqn: y`=`f`(x`)]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: 1]

이 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: lim from n->inf `left(`A_n`+`B_n `right)` =`1]

ㄴ. [eqn: lim from n->inf ``B_n ` =` 3 over 4]

ㄷ. [eqn: lim from n->inf `left(`A_n`-`B_n `right)` =`- 1 over 4]

<보기>

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9. 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프가 그림과 같을 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: y=f(x)]

ㄱ. [eqn: lim_x->0 ``(f circ f)(x) = 2]

ㄴ. [eqn: lim_x->1-0 (f circ f)(x) = lim_x->2+0 (f circ f )(x)]

ㄷ. 함수 [eqn: (f circ f )(x)`]는 [eqn: x=3`]에서 연속이다.

<보기>

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

10. 삼차함수 [eqn: f`(x`) =x^3 -3x `]가 있다. 임의의 양의 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: f(a)>=f(b)`]를 만족시키는 음의 실수 [eqn: b`]의 최대값은? [3점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

11. 충분히 크고 비어 있는 물탱크에 다음과 같은 방법으로 물을 넣고 빼는 시행을 한다.

(가) 물을 넣기 시작한 지 [eqn: t`]분 ([eqn: 0<=t<=20`])이 지난 순간, 물탱크에 넣는 물의 부피의 변화율은 ([eqn: t+8])([eqn: \L/분])이다.

(나) 물의 양이 [eqn: 130`][eqn: \L`]가 되는 순간부터는 물탱크의 밑바닥에 있는 출구를 열어 물을 뺀다. 이 때, 빠져 나가는 물의 부피의 변화율은 [eqn: 26`]([eqn: \L/분`])으로 일정하다. 단, 물탱크의 출구를 열어도 (가)의 방법으로 계속 물을 넣는다.

물탱크의 물의 양이 두 번째로 [eqn: 100][eqn: \L]가 될 때까지 걸리는 시간은? [4점]

① [eqn: 10`]분	② [eqn: 12`]분	③ [eqn: 14`]분

④ [eqn: 16`]분	⑤ [eqn: 18`]분

12. 중심이 [eqn: rm O`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 구와, 점 [eqn: rm O`]로부터 같은 거리에 있고 서로 수직인 두 평면 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]가 있다. 그림과 같이 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta`]의 교선이 구와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]라 하자.

삼각형 [eqn: rm OAB`]가 정삼각형일 때, 점 [eqn: rm O`]와 평면 [eqn: alpha] 사이의 거리는? [4점]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

① [eqn: sqrt2 over 5]	② [eqn: sqrt6 over 4]	③ [eqn: sqrt5 over 5]

④ [eqn: sqrt3 over 6]	⑤ [eqn: sqrt2 over 2]

13. 그림은 모든 모서리의 길이가 같은 정사각뿔 [eqn: rm O`-`A`B`C`D`]와 정사면체 [eqn: rm O`-`C`D`E`]를 면 [eqn: rm OCD`]가 공유하도록 붙여놓은 것이다. 평면 [eqn: rm A`B`C`D`]와 평면 [eqn: rm C`D`E`]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 할 때, [eqn: cos^2` theta`]의 값은? [4점]

[eqn: rm O]

[eqn: rm E]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

① [eqn: 1over 2]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 4]

④ [eqn: 2 over 9]	⑤ [eqn: 1 over 9]

14. [eqn: n`]이 자연수일 때, [eqn: 2n`]명의 학생을 두 명씩 [eqn: n`]개의 조로 나누는 방법의 수를 [eqn: a_n`]이라 하자.

이 때, [eqn: a_11 over a_10 `]의 값은? [3점]

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

15. 두 수열 [eqn: left{ a_n right}``], [eqn: left{ b_n right}``]이 모든 항이 양수인 등차수열일 때, 다음은 수열 [eqn: left{ sqrt{a_n ``b_n } right}``]이 등차수열이면 [eqn: b_n over a_n =]            임을 증명한 것이다.

(가)

<증명>

수열 [eqn: left{ sqrt{a_n ``b_n } right}``]이 등차수열이므로 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: ~~~ cdots cdots~㉠]

[eqn: sqrt {~~~}][eqn: sqrt {~~~~~~}][eqn: +][eqn: a _{n} ``b _{n}`][eqn: a _{n+2} ``b _{n+2}][eqn: =][eqn: sqrt {~~~~~~~~}]

(나)

또, 두 수열 [eqn: left{ a_n right}], [eqn: left{ b_n right}``]이 등차수열이므로

[eqn: a _{n} `+`a _{n+2} `=`2`a _{n+1}] [eqn: CDOTS CDOTS ~㉡]

[eqn: b _{n} `+`b _{n+2} `=`2`b _{n+1}]  [eqn: CDOTS CDOTS ~㉢]

㉡, ㉢을 ㉠에 대입한 후, 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 2root{ a_n`` b_n ``a_n+2`` b_n+2 } = a_n ``b_n+2 `+`a_n+2`` b_n `]

다시 위 식의 양변을 제곱하여 정리하면

(다)

[eqn: a_n+2`` b_n =]           [eqn: CDOTS CDOTS ~㉣]

따라서 ㉡, ㉢, ㉣에서

[eqn: b_n over a_n =]

(가)

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)	(나)	(다)

①  [eqn: a_n+1 over b_n+1]	[eqn: 2``a_n+1`` b_n+1``]	[eqn: 2``a_n`` b_n+2]

②  [eqn: a_n+1 over b_n+1]	[eqn: 4``a_n+1`` b_n+1``]	[eqn: a_n ``b_n+2]

③  [eqn: b_n+1 over a_n+1]	[eqn: 2``a_n+1`` b_n+1``]	[eqn: 2``a_n`` b_n+2]

④  [eqn: b_n+1 over a_n+1]	[eqn: 4``a_n+1`` b_n+1``]	[eqn: a_n ``b_n+2]

⑤  [eqn: b_n+1 over a_n+1]	[eqn: 4``a_n+1`` b_n+1``]	[eqn: 2``a_n`` b_n+2]

16. 확률변수 [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: {\N}`(0`,~sigma^2 )`]을 따르고, 확률변수 [eqn: Z``]는 표준정규분포 [eqn: {\N}`(`0`,~1^2`)``]을 따른다.

두 확률변수 [eqn: X`,~Z`]의 확률밀도함수를 각각 [eqn: f(x)`,~g(x)`]라 할 때, 다음 조건이 모두 성립한다.

(가) [eqn: sigma`>1`]

(나) 두 곡선 [eqn: y=f(x)`,~y=g(x)`]는 [eqn: x=-1.5`,~x=1.5``]일 때 만난다.

두 곡선 [eqn: y=f(x)`,~y=g(x)`]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 0.096``]일 때, [eqn: X`]의 표준편차 [eqn: sigma`]의 값을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

[eqn: z`]	[eqn: {rmP}`(0<=Z<=z)]
[eqn: 1.2]	[eqn: 0.385]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.433]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.477]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: -1.5]

[eqn: 1.5]

[eqn: y]

① [eqn: 1.20]	② [eqn: 1.25]	③ [eqn: 1.50]

④ [eqn: 1.75]	⑤ [eqn: 2.00]

17. 첫째항이 [eqn: 1`], 공비가 [eqn: 1 over 2`]인 등비수열 [eqn: left{ `a_n `right}`]에 대하여 [eqn: S_{`n}`], [eqn: T_{`n}`]을 다음과 같이 정의하자.

[eqn: S_n = sum from k=1 to n a_k] ,	[eqn: T_n = sum from k=n to inf a_k]

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: a_n `+` S_n `=`2`]	(단, [eqn: n`=`1,~2,~3,~cdots`])

ㄴ. [eqn: T_n = a_n-1]  (단, [eqn: n`=`2,~3,~4,~cdots`])

ㄷ. [eqn: lim from n->inf `left(` S_n + T_n` right) ``= sum from k=1 to inf a_k`]

<보기>

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: z`]	[eqn: {rmP}(0<=Z<=z)]
[eqn: 0.36]	[eqn: 0.14]
[eqn: 1.00]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.25]	[eqn: 0.39]
[eqn: 2.00]	[eqn: 0.48]

18. 어느 농장에서 생산된 포도송이의 무게는 평균 [eqn: 600 `rm g `], 표준편차   [eqn: 100 `rm g `]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 농장에서 생산된 포도송이 중 임의로 [eqn: 100`]송이를 추출할 때, 포도송이의 무게가 [eqn: 636 `rm g `] 이상인 것이 [eqn: 42 `]송이 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]

① [eqn: 0.02]	② [eqn: 0.11]	③ [eqn: 0.14]

④ [eqn: 0.16]	⑤ [eqn: 0.36]

19. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=log_2 ``x`], [eqn: y=-log_2 ``x`]가 직선 [eqn: x=n`] ([eqn: n`]은 [eqn: 2`] 이상의 자연수)과 만나는 점을 각각 [eqn: {rm A}_n `], [eqn: {rm B}_n `]이라 하고, 점 [eqn: {rm A}_n `]을 지나고 [eqn: x`]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=-log_2 ``x`]와 만나는 점을 [eqn: {rm C}_n ``]이라 하자. 점 [eqn: {rm D`}(1,``0)`]에 대하여 두 삼각형 [eqn: {\A}_n` {\B}_n` \D`], [eqn: {\A}_n `{\C}_n` \D`]의 넓이를 각각 [eqn: S_n], [eqn: T_n`]이라 할 때, [eqn: lim from n->inf `` T_n over S_n]의 값은? [3점]

[eqn: rm O]

[eqn: y=log_{2}`x``]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=-log_{2}`x``]

[eqn: rm D]

[eqn: {rm A}_n `]

[eqn: {rm B}_n `]

[eqn: {rm C}_n ``]

[eqn: n]

① [eqn: 1 OVER 2]	② [eqn: 5 OVER 8]	③ [eqn: 3 OVER 4]

④ [eqn: 7OVER 8]	⑤ [eqn: 1]

20. [표 1]은 [eqn: 20`]개의 행과 [eqn: 20`]개의 열로 이루어진 표에 자연수를 규칙적으로 적어놓은 것이다.

[표 1]

	제[eqn: 1]열	제[eqn: 2]열	제[eqn: 3]열	제[eqn: 4]열	제[eqn: 5]열	[eqn: cdots]	제[eqn: k]열	[eqn: cdots]	제[eqn: 20]열
제[eqn: 1]행	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: cdots]	[eqn: k]	[eqn: cdots]	[eqn: 20]
제[eqn: 2]행	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: cdots]	[eqn: k]	[eqn: cdots]	[eqn: 20]
제[eqn: 3]행	[eqn: 3]	[eqn: 3]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: cdots]	[eqn: k]	[eqn: cdots]	[eqn: 20]
제[eqn: 4]행	[eqn: 4]	[eqn: 4]	[eqn: 4]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: cdots]	[eqn: k]	[eqn: cdots]	[eqn: 20]
제[eqn: 5]행	[eqn: 5]	[eqn: 5]	[eqn: 5]	[eqn: 5]	[eqn: 5]	[eqn: cdots]	[eqn: k]	[eqn: cdots]	[eqn: 20]
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: ⋱]	[eqn: vdots]	[eqn: cdots]	[eqn: vdots]
제[eqn: k]행	[eqn: k]	[eqn: k]	[eqn: k]	[eqn: k]	[eqn: k]	[eqn: cdots]	[eqn: k]	[eqn: cdots]	[eqn: vdots]
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: ⋱]	[eqn: vdots]
제[eqn: 20]행	[eqn: 20]	[eqn: 20]	[eqn: 20]	[eqn: 20]	[eqn: 20]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: 20]

[표 2]는 [표 1]의 홀수 번째 행에 있는 수와, 짝수 번째 열에 있는 수를 모두 지운 것이다.

[표 2]

	제[eqn: 1]열	제[eqn: 2]열	제[eqn: 3]열	제[eqn: 4]열	제[eqn: 5]열	[eqn: cdots]	제[eqn: 20]열
제[eqn: 1]행
제[eqn: 2]행	[eqn: 2]		[eqn: 3]		[eqn: 5]	[eqn: cdots]
제[eqn: 3]행
제[eqn: 4]행	[eqn: 4]		[eqn: 4]		[eqn: 5]	[eqn: cdots]
제[eqn: 5]행
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]		[eqn: vdots]		[eqn: vdots]	[eqn: ⋱]
제[eqn: 20]행	[eqn: 20]		[eqn: 20]		[eqn: 20]	[eqn: cdots]

[표 2]에 남아 있는 모든 자연수의 합은? [4점]

① [eqn: 1024]	② [eqn: 1155]	③ [eqn: 1225]

④ [eqn: 1280]	⑤ [eqn: 1385]

21. 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 25`], 모선의 길이가 [eqn: 100`]인 원뿔이 있다. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 그림과 같이 모선 [eqn: \ bar AB``]를 [eqn: n`]등분한 점 중 꼭지점 [eqn: \A`]에 가까운 점부터 차례로 [eqn: {rm P_1 ,~P_2 ,~P_3 ,~cdots~,~P}_n-1 `]이라 하고, 점 [eqn: \B`]를 [eqn: {rm P}_n `]이라 하자. 또, 점 [eqn: {rm P}_k] ([eqn: k=1,~2,~3,~cdots~,~n]) 에서 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아서 점 [eqn: {rm P}_k`]로 되돌아오는 최단 경로의 길이를 [eqn: l_k`]라 할 때, [eqn: S_n`=` sum _{k=1} ^{n} ``l _{k} `]라 하자.

이 때, [eqn: lim_n->inf `` S_n over n `]의 값은? [4점]

[eqn: 100]

[eqn: {rm A}]

[eqn: {rm P}_1]

[eqn: {rm P}_2]

[eqn: {rm P}_k]

[eqn: {rm B`(P}_n )]

[eqn: vdots]

[eqn: vdots]

[eqn: 25]

[eqn: {rm P}_n-1]

① [eqn: 50root2]	② [eqn: 75root2]	③ [eqn: 100root2]

④ [eqn: 125 root2]	⑤ [eqn: 150root2]

22. 좌표평면 위의 원점에 놓인 점 [eqn: \P`]가 [eqn: 1`]개의 동전을 던질 때마다 다음과 같이 움직인다고 한다.

앞면이 나오면 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동하고,

뒷면이 나오면 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동한다.

예를 들어, 동전을 [eqn: 3`]번 던져서 차례로 앞면, 앞면, 뒷면이 나왔을 때 점 [eqn: \P`]가 지나간 자취는 그림과 같고, 이 자취는 직선 [eqn: y= 3over 2 `]과 두 점에서 만난다. 동전을 [eqn: 5`]번 던질 때, 점 [eqn: \P`]가 지나간 자취와 직선 [eqn: y= 3over 2 `]이 오직 한 점에서 만날 확률은? [4점]

[eqn: x]

[eqn: y= 3 over 2]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

① [eqn: 3over 32]	② [eqn: 1over8]	③ [eqn: 5over 32]

④ [eqn: 7 over 32]	⑤ [eqn: 1 over4]

23. 그림과 같이 정사각형과 서로 합동인 [eqn: 5`]개의 원으로 이루어진 놀이판이 있다. 각 원의 중심은 정사각형의 네 꼭지점과 두 대각선이 만나는 점이다. 서로 다른 [eqn: 5`]개의 돌 중에서 [eqn: 3`]개를 뽑아 [eqn: 3`]개의 원 안에 각각 [eqn: 1`]개씩 올려놓는 방법의 수는? (단, 회전하여 같은 경우는 한 가지로 계산한다.) [4점]

① [eqn: 150]	② [eqn: 160]	③ [eqn: 170]

④ [eqn: 190]	⑤ [eqn: 200]

24. 어떤 영화의 흥행수입을 분석한 결과, 개봉한 후 [eqn: 50`]일째까지의 총 흥행수입이 [eqn: 400`]억 원이고, 개봉한 후 [eqn: 100`]일째까지의 총 흥행수입이 [eqn: 640`]억 원이라고 한다.

이 영화를 개봉한 후 [eqn: n`]일째까지의 총 흥행수입을 [eqn: f(n)] (억 원)이라 하면

[eqn: f(n)`=` a`(`1`-` b^{`n} )`]  (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 양의 상수, [eqn: n`]은 자연수)

이 성립한다고 하자. 이 영화의 총 흥행수입이 처음으로 [eqn: 800`]억 원을 넘어서는 날은 개봉한 후   며칠 째인가? (단, [eqn: log2=0.30`], [eqn: log3=0.48`]로 계산한다.) [4점]

① [eqn: 140]일	② [eqn: 150]일	③ [eqn: 160]일

④ [eqn: 170]일	⑤ [eqn: 180]일

주관식 문항 (25 ～ 30)

25. 방정식 [eqn: 3`(`1`-`log_{`2} ``x )^2 `- `2 `( `1`-` log_{`2}`` x `) ``-`4`=`0`]의 두 근을 각각 [eqn: alpha ,``beta``]라 할 때, [eqn: alpha^{`3}`` beta^{``3} `]의 값을 구하시오. [3점]

26. [eqn: x!=2`]인 모든 실수 [eqn: x`]에서 정의된 두 함수 [eqn: f(x)`], [eqn: g(x)`]가 다음 두 조건을 만족한다.

(가) [eqn: lim from x->2` left{ 2` f(x)`+`g(x) right}` =1]	(나) [eqn: lim from x->2 `g(x) `=` inf]

이 때, [eqn: lim from x->2 {4`f(x) -`40`g(x)} over {2`f(x)-`g`(x) }]의 값을 구하시오. [3점]

27. [eqn: y`]축을 준선으로 하고 초점이 [eqn: x`]축 위에 있는 두 포물선이 있다. 두 포물선이 [eqn: y`]축에 대하여 서로 대칭이고, 두 포물선의 꼭지점 사이의 거리는 [eqn: 4`]이다. 두 포물선에 동시에 접하고 기울기가 양수인 직선을 그을 때, 두 접점 사이의 거리를 [eqn: d`]라 하자. [eqn: d ^{``2} `]의 값을 구하시오. [3점]

28. 좌표공간에서 구 [eqn: (x-12)^2 +(y-5)^2 +(z-10)^2 = 100`]이 [eqn: xy`]평면과 접하는 점을 [eqn: \A`]라 하고, 구 위를 움직이는 점을 [eqn: \P`]라 하자. 이 때, [eqn: \ vec OA bullet vec OP`]의 최대값을 구하시오. (단, [eqn: \O`]는 원점이다.) [4점]

29. 좌표공간에서 집합 [eqn: left{ (x,``y,``z)``|``x^2 +(z-1)^2 <=1,~`~y=0, ~~0<=z<=1 right}]이 나타내는 도형을 [eqn: C`] 라 하자.

점 [eqn: rm A(0,``-1,``2)]와 도형 [eqn: C`] 위의 점 [eqn: rm P`]를 지나는 직선이 [eqn: xy`]평면과 만나는 점을 [eqn: rm Q`]라 하면 점 [eqn: rm Q`]가 나타내는 도형의 넓이는 [eqn: {b} over {a} `]이다. 이 때, [eqn: a`+`b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: z]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A(0,``-1,``2)]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: C]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm P]

[eqn: 1]

30. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 2.52^{`10`n}`]의 최고자리의 숫자를 [eqn: a_n`]이라 하자.

예를 들어, [eqn: 2.52^{`10}` REIMAGE 1.03 times 10^4], [eqn: 2.52^{`20}` REIMAGE 1.06 times 10^8], [eqn: 2.52^{`30}` REIMAGE 1.10times 10^12]이므로 [eqn: a_1 `=` a_2 `= a_3 `=`1`]이다.

[eqn: a_n >1`]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 최소값을 구하시오. (단, [eqn: log ``2 `=`0.3010`], [eqn: log ``2.52 `=`0.4014`]로 계산한다.) [4점]