Do your best ♥ Be the best ★★                                            수학연구소/數/理/院/

수학연구소 /數/理/院/

수능기출

년도	1998년 11월 18일
대상	고3 예체능계

1999학년도 수능《예체능계》

[eqn: log_2 `6 - log_2 ` 3 over 2]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: log_2 `6 - log_2 ` 3 over 2][eqn: = (log_2 `2 + log_2 `3 ) -(log_2 `3 - log_2 `2)]

[eqn: = 2 log_2 `2][eqn: =2]

[2점][1999학년도 수능]

① [eqn: 0]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: sinx + cosx = sqrt 2 ``]일 때, [eqn: sinx `cosx ``]의 값은?

정답 ④

[eqn: sinx + cosx = sqrt 2 ``]의 양변을 제곱하면

[eqn: sin^2 x + cos^2 x + 2 `sinx `cosx =2]

[eqn: 1 + 2 `sinx `cosx =2]

[eqn: ∴ sinx ` cosx = 1 over 2]

[2점][1999학년도 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt 2]	③ [eqn: -sqrt 2]

④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: - 1 over 2]

두 함수 [eqn: f(x)=2x+1,```g(x)=3x ^{2} -1]에서 [eqn: g(f(0))]

의 값은?

정답 ④

[eqn: f(0)=2·0+1=1]

[eqn: THEREFORE ```g(f(0))=g(1)=3·1 ^{2} -1=2]

[2점][1999학년도 수능]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

다음 연립부등식을 만족시키는 [eqn: x]의 개수는?

정답 ④

[eqn: 2x<x+4]  [eqn: THEREFORE ```x<4``` CDOTS CDOTS ```㉠]

[eqn: x ^{2} -4x-5<0], [eqn: (x-5)(x+1)<0]

[eqn: THEREFORE ```-1<x<5``` CDOTS CDOTS ```㉡]

[eqn: ㉠,```㉡]에 의해 [eqn: -1<x<4]

따라서 연립부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]는

[eqn: 0,```1,```2,```3]의 [eqn: 4]개다.

[eqn: {cases{2x<x+4&#x ^{2} -4x-5<0&}}]

[3점][1999학년도 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다음 <보기>중 같은 것끼리 짝지어진 것을 모두

고르면?

정답 ③

Ⅰ. [eqn: y = log (x-1)(x-2)]의 진수 조건에서

[eqn: (x-1)(x-2)>0] [eqn: RARROW ```x>2```또는```x<1]

[eqn: y = log(x-1) + log(x-2)]의 진수 조건에서

[eqn: x-1>0이고```x-2>0]

[eqn: THEREFORE ```x>2]

따라서 다르다.

Ⅱ. [eqn: y = {x^2 -1 } over x-1]의 정의역에서 [eqn: x!=1]인 모든 실수이다.

[eqn: y = x+1]의 정의역은 모든 실수이다.

따라서 다르다.

Ⅲ. [eqn: y= root {3} of {x ^{3}} =x]이므로 같다.

따라서 같은 함수끼리 짝지어진 것은 Ⅲ이다.

[2점][1999학년도 수능]

	[ 보 기 ]
Ⅰ. [eqn: cases{y = log(x-1)(x-2)# y = log(x-1) + log(x-2)}] Ⅱ. [eqn: cases{y = {x^2 -1 } over x-1 # y = x+1 }] Ⅲ. [eqn: cases{y = x # y = `^3sqrt x^3 }]

① Ⅰ	② Ⅱ	③ Ⅲ

④ Ⅱ, Ⅲ	⑤ Ⅰ, Ⅲ

함수 [eqn: f``(x) = x-1 over x-2]의 역함수가 [eqn: f``^-1 (x)= ax+b over x+c ``]

일 때, 상수 [eqn: a,```b,```c]의 합 [eqn: a+b+c]는?

정답 ②

[eqn: f``(x) =y= x-1 over x-2]의 역함수를 구하면

[eqn: x= y-1 over y-2] [eqn: RARROW ```x(y-2)=y-1] [eqn: RARROW ```xy-2x=y-1]

[eqn: RARROW ```(x-1)y=2x-1] [eqn: RARROW ```y= {2x-1} over {x-1}]

[eqn: f``^-1 (x)= 2x-1 over x-1]

[eqn: THEREFORE ```a=2,```b=-1,```c=-1]

[eqn: THEREFORE ```a+b+c=0]

[2점][1999학년도 수능]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: 2 ^{a} =c,```2 ^{b} =d]일 때, [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2a+b}]와 같은 것은?

정답 ③

[eqn: 2 ^{a} =c,```2 ^{b} =d]이므로

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2a+b} = LEFT ( 2 RIGHT ) ^{-2a-b} = LEFT ( 2 ^{a} RIGHT ) ^{-2} TIMES LEFT ( 2 ^{b} RIGHT ) ^{-1}][eqn: =c ^{-2} TIMES d ^{-1}]

[eqn: = {1} over {c ^{2}} TIMES {1} over {d} = {1} over {c ^{2} d}]

[3점][1999학년도 수능]

① [eqn: {1} over {cd}]	② [eqn: {1} over {2cd}]	③ [eqn: {1} over {c ^{2} d}]

④ [eqn: -cd]	⑤ [eqn: -2cd]

자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: A _{n}]을

[eqn: A _{n} = LEFT { x`|`x는```n과```서로소인```자연수 RIGHT }]라고 할 때,

<보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ④

Ⅰ. [eqn: A _{2} = LEFT { 3,```5,```7,```9,``` CDOTS RIGHT }]

[eqn: A _{4} = LEFT { 3,```5,```7,```9,``` CDOTS RIGHT }]이므로 [eqn: A_2 = A_4 ``][참]

Ⅱ. [반례] [eqn: 2]와 [eqn: 3]은 서로소이므로 [eqn: 2 in A_3 ``]

[eqn: 2]와 [eqn: 6]은 서로소가 아니므로 [eqn: 2 not in A_6]

[eqn: A_3 != A_6] [거짓]

Ⅲ. Ⅰ에서 [eqn: A_2 = A_4 ``]이므로 [eqn: A_3 ∩A_4 = A_3 ∩A_2 ``]

또, [eqn: 2×3 =6]이므로 [eqn: 2]와 [eqn: 3]에 동시에 서로소인 수는

[eqn: 6]과 서로소이므로

[eqn: THEREFORE ```A _{3} SMALLINTER A _{2} =A _{6}][참]

따라서, 옳은 것은 Ⅰ, Ⅲ이다.

[3점][1999학년도 수능]

	[ 보 기 ]
Ⅰ. [eqn: A_2 = A_4 ``] Ⅱ. [eqn: A_3 = A_6 ``] Ⅲ. [eqn: A_6 = A_3 ∩ A_4``]

① Ⅰ	② Ⅱ	③ Ⅲ

④ Ⅰ, Ⅲ	⑤ Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 정의된 함수

[eqn: f``(x) = [x]+ [-x`]]의 치역은?

정답 ①

임의의 정수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: n<= x < n+1 `]이면 [eqn: [x`]= n``]

[eqn: -n-1< - x<=-n ``]에서

[eqn: -n-1< - x< - n ``]이면 [eqn: [-x`]= -n-1]

[eqn: -x= -n``]이면 [eqn: [-x`]=-n``]

[eqn: n<x<n+1]일 때, [eqn: f``(x) = n+ (-n-1)=-1]

[eqn: x=n]일 때, [eqn: f``(x)= n+ (-n)][eqn: =0]

따라서, [eqn: f``(x)]의 치역은 [eqn: LEFT { 0,```-1 RIGHT }]

(단, [eqn: [x`]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대정수이다.)

[3점][1999학년도 수능]

① [eqn: LEFT { 0,```-1 RIGHT }]	② [eqn: LEFT { 1,```-1 RIGHT }]	③ [eqn: LEFT { 0,```1 RIGHT }]

④ [eqn: LEFT { 0,```1,```-1 RIGHT }]	⑤ [eqn: left{ 0 right}]

두 집합 [eqn: A,```B]의 합집합과 교집합을 다음 그림과

같이 나타내었다.

아래 그림에서 ㈎ 에 알맞은 것은?

정답 ④

집합 ㈎와 [eqn: LEFT { 1,```2 RIGHT }]의 합집합이 [eqn: LEFT { 1,```2,```3,```5 RIGHT }]이므로

집합 ㈎에는 원소 [eqn: 3]과 [eqn: 5]가 반드시 포함되어야 한다.

집합 [eqn: ㈐]와 [eqn: LEFT { 1,```5 RIGHT }]의 합집합이 ㈏이고, 집합 ㈏와

[eqn: LEFT { 1,```3,```4,```5 RIGHT }]의 교집합이 ㈎이므로

집합 ㈎에는 원소 [eqn: 1]과 [eqn: 5]가 반드시 포함되어야 한다.

즉, ㈎는 [eqn: LEFT { 1,```3,```5 RIGHT }]

[3점][1999학년도 수능]

① [eqn: LEFT { 1,```2,```3,```4 RIGHT }]	② [eqn: LEFT { 1,```2,```3,```5 RIGHT }]	③ [eqn: LEFT { 2,```3,```5 RIGHT }]

④ [eqn: LEFT { 1,```3,```5 RIGHT }]	⑤ [eqn: LEFT { 3,```5 RIGHT }]

그림과 같은 직육면체에서

[eqn: bar{AB} =2,``` bar{BC} =1,``` bar{BE} =1]이다.

삼각형 [eqn: AEC]의 넓이는?

정답 ③

[eqn: rm bar{AC} = sqrt {2 ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {5}], [eqn: rm bar{AE} = sqrt {2 ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {5}],

[eqn: rm bar{CE} = sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {2}]이고,

[eqn: rm TRIANGLE ACE]는 이등변삼각형이므로 다음 그림과 같다.

밑변 [eqn: rmCE]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면 [eqn: rm bar{CM} = {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: THEREFORE ```rm bar{AM} = sqrt {( sqrt {5} ) ^{2} - LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{2}} = sqrt {5- {1} over {2}}]

[eqn: = sqrt {{9} over {2}} = {3} over {2} sqrt {2}]

[eqn: THEREFORE ```rm TRIANGLE ACE= {1} over {2} · sqrt {2} · {3 sqrt {2}} over {2} = {3} over {2}]

[3점][1999학년도 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]

③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: {3} over {2} sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2]

좌표평면에서 원 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =10]과 [eqn: y]축이

만나는 두 교점 사이의 거리는?

정답 ③

[eqn: (x-1) ^{2} +(y-1) ^{2} =10]에 [eqn: y]축과의 교점이므로

[eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: 1+(y-1) ^{2} =10], [eqn: y ^{2} -2y+2=10],

[eqn: y ^{2} -2y-8=0], [eqn: (y-4)(y+2)=0]

[eqn: THEREFORE ```y=4] 또는 [eqn: y=-2]

따라서, [eqn: y]축과의 교점이 [eqn: (0,``4),```(0,```-2)]이므로

두 점 사이의 거리는 [eqn: 4-(-2)=6]

[3점][1999학년도 수능]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

두 실수 [eqn: x,```y]에 대하여 [eqn: x*y]를

[eqn: x*y= {cases{x&```(x GEQ y`)#y&```(x LEQ y`)}}]

로 나타내기로 하자. 예를 들면 [eqn: 2*1 =2]이다.

서로 다른 [eqn: 4]개의 실수로 이루어진 집합

[eqn: A= LEFT { a,```b,```c,```d RIGHT }]의 원소들이 다음 조건을 만족시킨다.

Ⅰ. [eqn: A]의 임의의 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x*a=x]이다.

Ⅱ. [eqn: c*d < c*b ``]

다음 중 옳은 것은?

정답 ⑤

Ⅰ. [eqn: x`*`a=x]에서 [eqn: a``]는 가장 작은 수이다.

Ⅱ. [eqn: c*d<c*b]에서

① [eqn: c GEQ d,```c GEQ b]이면 [eqn: c*d < c*b ``][eqn: ~Rarrow~ c<c ``]<모순>

② [eqn: c GEQ d,```c LEQ b]이면 [eqn: c*d < c*b ``][eqn: ~Rarrow~ c<b ``]

③ [eqn: c LEQ d,```c GEQ b]이면 [eqn: c*d < c*b ``][eqn: ~Rarrow~d<c``]<모순>

④ [eqn: c LEQ d,```c LEQ b]이면 [eqn: c*d < c*b ``][eqn: ~Rarrow~d<b``]

①, ②, ③, ④에서 가장 큰 수는 [eqn: b]이다.

따라서, [eqn: a<c<b]거나 [eqn: a<d<b]이다.

[3점][1999학년도 수능]

① [eqn: b<c<a``]	② [eqn: b<d<a``]	③ [eqn: d<b<c``]

④ [eqn: a<b<c``]	⑤ [eqn: a<c<b``]

좌표평면 위의 점 [eqn: P`(x,```y)]가 다음과 같은 규칙에

따라 이동하거나 이동하지 않는다. [eqn: P``]가 점 [eqn: A(6,```5)]에

서 출발하여 어떤 점 [eqn: B]에서 더 이상 이동하지 않게

되었다. [eqn: A]에서 [eqn: B]에 이르기까지 이동한 회수는?

정답 ②

[eqn: A(6,```5)]는 [eqn: 5<6×2]이므로

㈏에 의하여 [eqn: (5,```5)]로 이동한다.

같은 방법으로

[eqn: (5,```5)``` REL -> {㈏} {}] [eqn: (4,```5)``` REL -> {㈏} {}] [eqn: (3,```5)``` REL -> {㈏} {}] [eqn: (2,```5)``` REL -> {㈏} {}] [eqn: (2,```5)]

점 [eqn: (2,```5)]는 [eqn: 5> 2×2]이므로

㈐에 의하여 점 [eqn: (2,```4)]로 이동한다.

점 [eqn: (2,```4)]는 [eqn: 4 = 2×2]이므로

㈎에 의하여 이동하지 않는다.

따라서, [eqn: (6,```5)``` REL -> {㈏} {}] [eqn: (5,```5)``` REL -> {㈏} {}] [eqn: (4,```5)``` REL -> {㈏} {}] [eqn: (3,```5)``` REL -> {㈏} {}]

[eqn: (2,```5)``` REL -> {㈏} {}][eqn: (2,```5)``` REL -> {㈐} {}] [eqn: (2,```4)]

따라서, 이동횟수는 [eqn: 5]번이다.

[2점][1999학년도 수능]

Ⅰ. [eqn: y=2x]이면 이동하지 않는다.

Ⅱ. [eqn: y<2x]이면 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: -1]만큼 이동한다.

Ⅲ. [eqn: y>2x]이면 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: -1]만큼 이동한다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

다음은 [eqn: 1]보다 큰 자연수 [eqn: n]에 대한 명제

｢[eqn: sqrt {n}]보다 작거나 같은 모든 소수가 [eqn: n]을 나누지 않으

면, [eqn: n]은 소수이다.｣ 를 증명한 것이다.

	[ 증 명 ]
결론을 부정하여 [eqn: n]이 소수가 아니라고 가정하면, [eqn: n=l`m]인 [eqn: 1]보다 큰 자연수 [eqn: l,```m]이 존재한다. [eqn: l``]을 나누는 한 소수를 [eqn: p], [eqn: m]을 나누는 한 소수를 [eqn: q``]라 하면, [eqn: pq]는 [eqn: l`m]을 나눈다. 그러므로 [eqn: pq<n]이다. 만약 [eqn: p> sqrt {n}]이고 [eqn: q> sqrt {n}]이면 [eqn: p`q `>sqrt n `sqrt n = n``]이므로 모순이다. 따라서, [eqn: BOX{~~㈎~~}]이다. 즉, [eqn: n]의 약수 중에서 [eqn: sqrt {n}]보다 작거나 같은 소수 가 존재한다. 그런데 이것은 가정에 모순이므로 [eqn: n]은 소수이다.

위의 증명에서 ㈎에 알맞은 것은?

정답 ②

[eqn: p>sqrt n ``]이고 [eqn: q>sqrt n ``]이면 [eqn: p`q `> n``]이므로

가정 ｢[eqn: p,```q]는 [eqn: sqrt n``]보다 작거나 같은 소수｣에 모순이다.

즉, ｢[eqn: p> sqrt n ``]이고 [eqn: q > sqrt n ``]｣이면 모순이므로

㈎에 들어갈 것은 ｢[eqn: p> sqrt n ``]이고 [eqn: q > sqrt n``]｣의 부정이

다.

[eqn: THEREFORE ```p LEQ sqrt {n}]이거나 [eqn: q LEQ sqrt {n} ``]

[2점][1999학년도 수능]

① [eqn: p LEQ sqrt {n}]이거나 [eqn: q LEQ sqrt {n}]

② [eqn: p LEQ sqrt {n}]이고 [eqn: q LEQ sqrt {n}]

③ [eqn: p LEQ sqrt {n}]이거나 [eqn: q GEQ sqrt {n}]

④ [eqn: p LEQ sqrt {n}]이고 [eqn: q GEQ sqrt {n}]

⑤ [eqn: p GEQ sqrt {n}]이거나 [eqn: q GEQ sqrt {n}]

원 [eqn: x^2 + y^2 =5] 위의 점 [eqn: (1,```2)]에서의 접선의 방정

식은?

정답 ⑤

[eqn: x^2 + y^2 = r^2 ``]위의 점 [eqn: (x _{1} ,```y _{1} )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: x_1 ` x + y_1 `y = r^2 ``]이므로

[eqn: 1․ x + 2․y = 5] [eqn: RARROW ```x+2y=5]

[2점][1999학년도 수능]

① [eqn: x+y =2]	② [eqn: 2x-y =0]	③ [eqn: x-2y =-3]

④ [eqn: 2x+y =4]	⑤ [eqn: x+2y =5]

[eqn: rmA]	[eqn: rm B]
[eqn: rmC]	[eqn: rm D]

한 변의 길이가 [eqn: 1]이 정사각형이

있다. 서로 수직인 임의의 두 직선을

이용하여 그림과 같이 네 개의  직사

각형으로 나누었을 때, 이들의 넓이를

각각 [eqn: A,```B,```C,```D]라 하자.

<보기> 중 항상 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ③

Ⅰ. 거짓<반례>

다음 그림과 같이 잡으면

[eqn: A= 1 over 2 × 3 over 4 = 3 over 8 > 1 over 4]

[eqn: C = 1 over 2 × 3 over 4 = 3 over 8 > 1 over 4]

Ⅱ. 거짓<반례>

[eqn: A= 2 over 3 × 1 over 3 = 2 over 9 < 1 over 4]

[eqn: D = 2 over 3 × 1 over 3 = 2 over 9 < 1 over 4]

Ⅲ. 참

[eqn: A= xy > 1 over 4]

[eqn: D= (1-x)(1-y `)]

[eqn: = 1- (x+y)+ xy ``]

산술기하평균에서

[eqn: x+y >= 2 sqrt xy ``]이므로

[eqn: D <= 1-2sqrt A + A``]

[eqn: = (sqrt A -1 `)^2 < 1 over 4 ``left( ∵ A > 1 over 4 right)]

[별해]

그림에서 [eqn: A=ab,```B=b(1-a)],

[eqn: C=a(1-b),```D=(1-a)(1-b)]이다.

따라서, [eqn: AD=BC,````A+B+C+D=1]인 관계가

성립한다.

[eqn: A+B+C+D=1=(A+D)+(B+C)]

[eqn: GEQ 2 sqrt {AD} +2 sqrt {BC} =4 sqrt {AD}]

[eqn: THEREFORE ``` sqrt {AD} LEQ {1} over {4}]에서 [eqn: AD LEQ {1} over {16}]

따라서 [eqn: A> {1} over {4}]이면 [eqn: D< {1} over {4}]이 성립한다.

[3점][1999학년도 수능]

	[ 보 기 ]
Ⅰ. [eqn: A> 1 over 4]이면 [eqn: C < 1 over 4]이다. Ⅱ. [eqn: A< 1 over 4]이면 [eqn: D > 1 over 4]이다. Ⅲ. [eqn: A> 1 over 4]이면 [eqn: D < 1 over 4]이다.

① Ⅰ	② Ⅱ	③ Ⅲ

④ Ⅰ, Ⅲ	⑤ Ⅱ, Ⅲ

임의의 양의 실수 [eqn: x]에 대하여, [eqn: x]를 넘지 않는

소수의 개수를 [eqn: f``(x)]라 하자.

예를 들면 [eqn: f` LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) =1,```f`(5)=3]이다.

<보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ②

Ⅰ. [eqn: 10]이하의 소수는 [eqn: 2,```3,```5,```7]이므로 [eqn: f``(10)=4]

Ⅱ. [eqn: f`(x)<[`x`] LEQ x]이므로 [eqn: f``(x)<x``]

Ⅲ. [eqn: x=2]인 경우 [eqn: f`(3)=2,```f`(2)=1]

[eqn: f``(3) != f``(2)]

따라서 옳은 것은 Ⅰ, Ⅱ이다.

[3점][1999학년도 수능]

	[ 보 기 ]
Ⅰ. [eqn: f``(10)=4] Ⅱ. 임의의 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f`(x)<x]이다. Ⅲ. 임의의 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`(x+1)=f``(x)]이다.

① Ⅰ	② Ⅰ, Ⅱ	③ Ⅰ, Ⅲ

④ Ⅱ, Ⅲ	⑤ Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ

사면체 [eqn: ABCD``]의 네

모서리 [eqn: BC,```CD,] [eqn: DB,```AD]의

중점을 각각 [eqn: P,```Q,```R,```S]라고

할 때, 두 사면체 [eqn: APQR``]와

[eqn: SQDR``]의 부피의 비는?

정답 ②

[eqn: barPQ = barRD ``]이고 [eqn: barPR = barQD ``]이므로

[eqn: □PQDR ``]은 평행사변형이다.

[eqn: △PQR``= △DRQ``]

점 [eqn: S``]에서 밑면에 내린 수선의 길이를 [eqn: h``]라 하면

점 [eqn: A``]에서 밑면에 내린 수선의 길이는 [eqn: 2h ``]이므로

사면체 [eqn: SQDR ``]의 부피[eqn: V_1 ``]은

[eqn: V_1 = 1 over 3 × △DRQ``×h ``]

사면체 [eqn: APQR``]의 부피는

[eqn: V_2 = 1 over 3 × △PQR`` × 2h ``][eqn: = 2 V_1 ``]

따라서, 구하는 부피의 비는 [eqn: 2```:```1]이다.

[3점][1999학년도 수능]

① [eqn: 1``:``1]	② [eqn: 2``:``1]

③ [eqn: 3``:``1]	④ [eqn: 3``:``2]	⑤ [eqn: 4``:``1]

좌표평면에서 점 [eqn: (x,```y)]가 부등식

[eqn: -x LEQ y LEQ 2-x ^{2}]의 영역을 움직일 때, [eqn: x+y]의 최댓값

은?

정답 ③

부등식 [eqn: -x <= y <= 2-x^2 ``]의 영역을 좌표평면에 나타내

면 위 그림과 같다.

[eqn: x+y =k ``]라 하면 [eqn: y = -x +k ``]가 위의 그림에서

곡선 [eqn: y = 2-x^2 ``]에 접할 때 [eqn: k``]가 최댓값을 가지므로

[eqn: -x+k = 2-x^2 ``][eqn: RARROW ```x ^{2} -x+k-2=0]

[eqn: D = 1- 4 (k-2)=0]

[eqn: ∴ k= 9 over 4]

따라서, [eqn: x+y ``]의 최대값은 [eqn: 9 over 4]이다.

[3점][1999학년도 수능]

① [eqn: 5 over 4]	② [eqn: 7 over 4]	③ [eqn: 9 over 4]

④ [eqn: 11 over 4]	⑤ [eqn: 13 over 4]

다음 그림과 같이 반지

름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의

한 점 [eqn: A]를 꼭지점으로 하고,

[eqn: A]에서의 내각이 [eqn: 30 ^{CIRC }]인

삼각형을 원에 내접하며

서로 겹치지 않도록 최대한

붙였을 때, 삼각형들의 꼭지

점들을 꼭지점 [eqn: A``]로부터 시계반대 방향으로 순서대로

[eqn: P _{1} ,```P _{2} ,``` CDOTS ,```P _{n} ,```P _{n+1}]이라 하자.

선분 [eqn: bar{P _{1} P _{2}} ,``` bar{P _{2} P _{3}} ,``` CDOTS ,``` bar{P _{n} P _{n+1}}]의 길이의 합은?

정답 ①

원의 중심을 [eqn: O]라 하면 [eqn: ANGLE P _{1} AP _{2} =30 DEG]는

원주각이므로 중심각 [eqn: ANGLE P _{1} OP _{2} =60 DEG]이다.

즉, [eqn: bar{P_1 P_2 } =1]이 된다.

[eqn: ∠P_1 OP_n+1 ``]은 [eqn: 180^circ]보다 작고 [eqn: 30^circ]의 배수이므로

[eqn: n``]의 최대값은 [eqn: 5]이다.

마찬가지 방법으로

[eqn: bar {P_2 P_3 }= bar {P_3 P_4 }= bar {P_4 P_5 }= bar {P_5 P_6 }= 1]

[eqn: THEREFORE ``` bar{P _{1} P _{2}} + bar{P _{2} P _{3}} + bar{P _{3} P _{4}} + bar{P _{4} P _{5}} + bar{P _{5} P _{6}} =5]

[3점][1999학년도 수능]

① [eqn: 5]	② [eqn: 5sqrt 3]	③ [eqn: 5 over 2 sqrt 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 4sqrt 3]

강우량 집중정도를 나타내는 방법으로 강우 강도

가 사용된다. 어느 도시의 강우 강도 [eqn: I]가 강우 지속 시간 [eqn: T]에 대한 함수

[eqn: I= {1} over {60} LEFT ( {T+6571} over {T+41} -1 RIGHT )]

로 표시될 때, [eqn: I]와 [eqn: T]의 관계를 나타낸 그래프로 가장

알맞은 것은? (단, [eqn: T>0])

정답 ①

[eqn: I= {1} over {60} LEFT ( {T+6571} over {T+41} -1 RIGHT )][eqn: = {T+6571} over {60 LEFT ( T+41 RIGHT )} - {1} over {60}][eqn: = {T+6571-T-41} over {60 LEFT ( T+41 RIGHT )}][eqn: = {6530} over {60 LEFT ( T+41 RIGHT )}]

[eqn: = {653} over {6 LEFT ( T+41 RIGHT )}]에서 점근선은 [eqn: T=-41]이다.

따라서 [eqn: T>0]이므로 그래프는 다음 그림과 같다.

[2점][1999학년도 수능]

①

②

③

④

⑤

지상의 두 지점 [eqn: A,```B]로부

터 고도 [eqn: 3600rmkm] 지점 [eqn: A prime ,```B` prime]에

두 개의 인공위성이 떠 있다.

[eqn: ANGLE BB`'A'=60 DEG]일 때, 두 인공

위성 사이의 거리는 몇 [eqn: rmkm]인가?

정답 ⑤

지구의 중심을 [eqn: rmO]라 하면

[eqn: rm TRIANGLE OA'B`']은 이등변삼각형이고 [eqn: rm ANGLE A'=60 DEG]이므로

[eqn: rm TRIANGLE OA prime B` prime]은 정삼각형이다.

[eqn: THEREFORE ```rm bar{A'B`'} =10000]

(단, 지구의 반지름이 [eqn: 6400rmkm]인

구라고 가정한다.)

[3점][1999학년도 수능]

① [eqn: 5000]	② [eqn: 5000 sqrt {2}]	③ [eqn: 5000 sqrt {3}]

④ [eqn: 6400]	⑤ [eqn: 10000]

전파가 어떤 벽을 투과할 때 전파의 세기가 [eqn: A]에

서 [eqn: B]로 바뀌면, 그 벽의 전파감쇄비 [eqn: F]는

[eqn: F = 10 ` log left( B over A right)``(데시벨)]

로 정의한다. 전파감쇄비가 [eqn: -7(데시벨)]인 벽을 투과한

전파의 세기는 투과하기 전 세기의 몇 배인가?

정답 ②

[eqn: -7 = 10 log left( B over A `right)]에서 [eqn: log left( B over A `right)= - 7 over 10]

[eqn: left( B over A right) = 10^ {- 7 over 10}][eqn: = 10^1 × 10^ {- 7 over 10 } × 10^ -1]

[eqn: = 10^{3 over 10} × 1 over 10][eqn: = 2 over 10 = 1 over 5]

(단, [eqn: 10^ {3 over 10} =2]로 계산한다.)

[3점][1999학년도 수능]

① [eqn: 1 over 10]	② [eqn: 1 over 5]	③ [eqn: 3 over 10]

④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 7 over 10]

주관식 문항(25～30)

방정식 [eqn: x^2 -ax+b =0]의 한 근이 [eqn: 1+2`i]일 때,

두 실수 [eqn: a,```b]의 곱 [eqn: ab]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 10]

실계수 방정식의 한 근이 [eqn: 1+2 i ``]이므로

다른 근은 [eqn: 1-2i ``]이다.

근과 계수와의 관계에서

[eqn: a= (1+2i) + (1-2i )`=2]

[eqn: b = (1+2i)(1-2i )=5]

따라서, [eqn: ab=10]

[3점][1999학년도 수능]

다음은 [eqn: x]에 대한 [eqn: 3]차식을 [eqn: 1]차식으로 나눈 과정

을 나타낸 것이다. 다섯 개의 [eqn: a,```b,```c,```d,```e]의 합

[eqn: a+b+c+d+e]를 구하시오.

정답 [eqn: 12]

	[eqn: x ^{2}] [eqn: +c]
[eqn: ax+1]	[eqn: 2x ^{3} +x ^{2} +4x+4]
	[eqn: bx ^{3} +x ^{2}]
	[eqn: 4x+4]
	[eqn: dx+e]
	[eqn: 2]

이므로 [eqn: (ax+1)x ^{2} =ax ^{3} +x ^{2} =bx ^{3} +x ^{2} =2x ^{3} +x ^{2}]

[eqn: THEREFORE ```a=b=2]

[eqn: (2x+1)c=2cx+c=dx+e=4x+2]

[eqn: THEREFORE ```c=2,```d=4,```e=2]

[eqn: THEREFORE ```a+b+c+d+e=12]

	[eqn: x ^{2}] [eqn: +c]
[eqn: ax+1]	[eqn: 2x ^{3} +x ^{2} +4x+4]
	[eqn: bx ^{3} +x ^{2}]
	[eqn: 4x+4]
	[eqn: dx+e]
	[eqn: 2]

[2점][1999학년도 수능]

반지름이 [eqn: 30]인 구 위의 한 점 [eqn: N``]에 길이가 [eqn: 5 pi ``]인

실의 한 끝을 고정한다. 실을 팽팽하게 유지하면서

구의 표면을 따라 실의 나머지 한 끝을 한 바퀴 돌렸을

때, 구의 표면에 생기는 실 끝의 자취의 길이를 [eqn: l``]이라

하자. [eqn: l over pi ``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 30]

[eqn: 30 TIMES theta =5 pi ``] [eqn: THEREFORE ``` theta = {pi } over {6}]

[eqn: r = 30 × sin pi over 6 =15]

[eqn: l= 2 pi ×15 = 30 pi ``]

[eqn: THEREFORE ``` {l} over {pi } = {30 pi } over {pi } =30]

[3점][1999학년도 수능]

다음 조건을 모두 만족시키는 자연수 [eqn: n]을 구하시

오.

정답 [eqn: 20]

Ⅰ. [eqn: n]의 값으로 가능한 것은 [eqn: 1,```2,```3,```4,```5,```6,```10,]

[eqn: 12,```15,```20,```30,```60]

Ⅱ. [eqn: n=3m+7m=10m]으로 표현할 수 있다.

즉, [eqn: n]은 [eqn: 10]의 배수이므로 Ⅰ에서 [eqn: n]에 가능한 값은

[eqn: 10,```20,```30,```60]

Ⅲ. [eqn: 10= 2^1 ×5^1]에서 약수의 개수는 [eqn: 4]개다.

[eqn: 20= 2^2 ×5^1]에서 약수의 개수는 [eqn: 6]개다.

[eqn: 30= 2^1 ×3^1 × 5^1]에서 약수의 개수는 [eqn: 8]개다.

[eqn: 60= 2^2 ×3^1 × 5^1]에서 약수의 개수는 [eqn: 12]개다.

따라서, [eqn: n``]은 [eqn: 20]이다.

[3점][1999학년도 수능]

Ⅰ. [eqn: n]은 [eqn: 60]의 약수이다.

Ⅱ. [eqn: n]은 비가 [eqn: 3```:```7]인 두 자연수의 합이다.

Ⅲ. [eqn: n]의 약수의 개수는 [eqn: 6]이다.

좌표평면에서 중심이 [eqn: (1,```2)]이고 직선 [eqn: 3x+4y=1]

에 접하는 원의 반지름의 길이를 구하시오.

정답 [eqn: 2]

중심이 [eqn: (1,```2)]이고 [eqn: 3x+4y=1]에

접하는 원의 반지름의 길이는

점 [eqn: (1,```2)]와 직선 [eqn: 3x+4y-1=0]

사이의 거리와 같다.

거리 [eqn: d]는

[eqn: d= {LEFT | `3 TIMES 1+4 TIMES 2-1` RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}} = {10} over {5} =2]

[3점][1999학년도 수능]

은행의 예금 상품은 연이율로 제시된다.

[eqn: 1]년에 이자 계산을 [eqn: n]번하는 복리 예금의 경우 매번

[eqn: {(연이율)} over {n}]의 이율로 이자를 계산한다.

이 때, 실효수익율은
[eqn: {(1년 ~후의 ~이자총액)} over (원~금) × 100(%)]
로 정의된다. [eqn: 6]개월마다 복리로 이자를 계산하는 연이

율 [eqn: 10%]인 예금 상품의 실효 수익률[eqn: (%)]을 소수점 아래

둘째 자리까지 구하시오.

정답 [eqn: 10.25]

[eqn: 6]개월마다의 이율은 [eqn: 10 over 2 %= 5 % = 0.05]

따라서 원금을 [eqn: a``]라 하면 [eqn: 6]개월 후의 이자는 [eqn: a×0.05]

[eqn: 1]년 후의 이자 총액은

[eqn: a×0.05 + a(1+ 0.05)×0.05][eqn: = a× 0.05 × 2.05]

∴ (실효수익률)[eqn: = {a× 0.05 × 2.05} over a ×100][eqn: = 10.25 (%)]

[3점][1999학년도 수능]

정답과 해설