□□□ 행렬의 연산

A=[eqn: PMATRIX { { a_11}& {a_12 }& { }# {a_21 }& {a_22 }}],B=[eqn: PMATRIX { {b_11 }& {b_12 }& { }# {b_21 }& {b_22 }}] 일 때,

(1) A+B=[eqn: PMATRIX { {a_11 +b_11 }& {a_12 +b_12 }& { }# {a_21 +b_21 }& {a_22 +b_22 }}]

(2) [eqn: kA= PMATRIX { { ka_11}& {ka_12 }&# { ka_21}& {ka_22 } }] (k는 실수)

(3) 행렬의 모든 성분이 모두 0인 행렬을 O라 할 때

[eqn: A+O=A,~A+(-A)=O]

□□□ 행렬의 곱셈

A=[eqn: PMATRIX { { a_11}& {a_12 }& { }# {a_21 }& {a_22 }}],B=[eqn: PMATRIX { {b_11 }& {b_12 }& { }# {b_21 }& {b_22 }}] 일 때,

(1) AB=[eqn: PMATRIX { { a_11 b_11 +a_12 b_21}& {a_11 b_12 +a_12 b_22 }& { }# {a_21 b_11 +a_22 b_21 }& {a_21 b_12 +a_22 b_22 }}]

(2) 곱셈의 연산법칙

① AB≠BA

② AB=AC [eqn: ⇏] B=C

③ AB=0 ⇏ A=0 또는 B=0

④ [eqn: A^2 =0] ⇏ A=0

⑤[eqn: (A+B)^2 ≠A^2 + 2AB + B^2]

⑥ (A+B)(A-B)≠[eqn: A^2 -B^2]

⑦ (AB)C=A(BC) (결합범칙)

⑧ A(B+C)=AB + AC

(A+B)C = AC + BC (분배법칙)

⑨ (kA)B = A(kB) = k(AB) (k는 실수)

⑩ AO=OA=O

(3) 단위행렬

① AE=EA=A를 성립시키는 행렬 E를 단위행렬이라 한다.

② E의 성질

[eqn: E^2 =E,~E^3 =E,~ …E^n =E]

□□□ 케일리 해밀턴의 정리

반드시 단위행렬의 꼴이 아닐 때 성립

A=[eqn: PMATRIX { { a}& {b }& { }# {c }& {d }}],일 때

[eqn: A^2 -(a+d)A +(ad-bc)E=0]

※행렬이 주어지고 차수가 높은 행렬을 물을 때 사용하면 편리합니다.

□□□ 역행렬

n차의 두 정사각행렬 A, B의 역행렬이 존재할 때

(1) AB=E가 성립할 때 A, B는 서로의 역행렬 관계가 된다.

(2) [eqn: AA^-1 =A^-1 A=E]

(3)  역행렬이 존재할 조건

행렬 A=[eqn: PMATRIX { { a}& { b}& { }# {c }& { d} }]에서 [eqn: D=ad-bc]라고 할 때

[eqn: D≠0이면 A^-1 = { 1} over {D } PMATRIX { { d}& {-b }& { }# {-c }& {a }}]

[eqn: D=0]이면 역행렬이 존재하지않는다

(4) 성질

①[eqn: (A^-1 )^-1 =A,~(AB)^-1 =B^-1 A^-1]

②[eqn: (A^n )^-1 =(A^-1 )^n]

③[eqn: (kA)^-1 = { 1} over {k } A^-1]

④[eqn: AX=B ~⇔ X=A^-1 B]

⑤ XA=B ⇔ X= [eqn: BA^-1]

□□□ 연립일차방정식과 행렬

(1) 연립일차방정식의 행렬 표시

[eqn: cases {ax +by=p # cx +dy=q}]⇔[eqn: PMATRIX { { a}& {b } # {c }& {d }}][eqn: PMATRIX { { x}# {y }}]=[eqn: PMATRIX { { p}# {q }}]

(2)연립일차방정식의 해

연립방정식[eqn: PMATRIX { { a}& {b }# {c }& { d}}][eqn: PMATRIX { { x}# { y} }]=[eqn: PMATRIX { { p}# {q } }]의 해는

①[eqn: D=ad-bc≠0 일 때,]

[eqn: PMATRIX { { x}# {y } }]=[eqn: { PMATRIX { { a}& {b }# { c}& {d } } } ^-1][eqn: PMATRIX { { p}# {q } }]

②[eqn: D=ad-bc=0 일 때,]부정 또는 불능

□□□ 등차수열

어떤 수에 차례로 일정한 수를 더하여 얻어지는 수열을 등차수    열이라 하고, 그 일정한 수를 공차라고 한다.

① 첫재항이 [eqn: a,]공차가 [eqn: d]인 등차수열의 일반항 [eqn: a_n]은

[eqn: a_n =a + (n-1)d]

② 등차중항

[eqn: a,~ x,~ b]가 등차수열 ⇔[eqn: x= { a+b} over {2 }]

□□□ 등차수열의 합

(1) 첫째항이 [eqn: a,]공차가 [eqn: d,]제 [eqn: n]항이 [eqn: l] 인 등차수열의 첫째항부터       제 [eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]은

[eqn: s_n = { n(a+l)} over {2 }= { n(2a +(n-1)d)} over {2 }]

(2) [eqn: a_n]과 [eqn: S_n]의 관계

수열 {[eqn: a_n]}에서 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의                           합을[eqn: S_n]이라하면합[eqn: s_n 이~ 주어지고~ 일반항~ a_n 을~ 구할~때는]

[eqn: ~~a_1 =s_1,~~a_n =s_n -s_n-1 ~(n >= 2)]

□□□ 등비수열

어떤 수에 차례로 일정한 수를 곱하여 얻어지는수열을 등비수열    이라 하고, 그 일정한 수를 공비라고 한다.

① 첫째항이 [eqn: a,]공비가 [eqn: r]인 등비수열의 일반항 [eqn: a_n]은

[eqn: a_n =ar^n-1]

② 등비중항

[eqn: a,~x,~b] 가 등비수열[eqn: x^2 = ab](x: 등비중항)

③ 등비수열의 합

첫째항이 [eqn: a,]공비가 [eqn: r]인 등비수열의 첫재항부터 제 [eqn: n]항까지의       합 [eqn: S_n]은

㉠[eqn: r != 1]  [eqn: s_n = { a(r^n -1)} over {r-1 }= { a(1-r^n )} over {1-r }]

㉡[eqn: r=1] [eqn: S_n]=[eqn: na]

□□□ [eqn: SUM 의 주요 공식]

①[eqn: SUM from { { k}=1} to n k =1+2+3+…+n= { n(n+1)} over {2 }]

②[eqn: SUM from { { k}=1} to n k^2 =1^2 +2^2 +…+n^2 = { 1} over {6 }n(n+1)(2n+1)]

③[eqn: SUM from { { k}=1} to n k^3 =1^3 +2^3 +…+n^3 =( { n(n+1)} over {2 })^2]

□□□ 여러 가지 수열

(1) 계차수열 ; 수열 {[eqn: a_n]}에 대하여  [eqn: b_n =a_n+1 -a_n]으로 정해지는    수열{[eqn: b_n]}을 {[eqn: a_n]}의 계차수열이라 한다. 이 때, 일반항[eqn: a_n] 은      [eqn: a_n = a_1 + SUM from { {k }=1} to n-1 b_k]

(2) 군수열 : 수열{[eqn: a_n]}에서 일정한 규칙성을 찾아 몇 항씩 묶어서 나    눈 수열

□□□ 수학적귀납법

명제[eqn: p(n)]이 임의의 자연수에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 세     조건이 성립함으 증명하면 된다.

① [eqn: n=1]일 때 성립함을 보이고

② [eqn: n=2]일 때 성립함을 가정하고

③ [eqn: n=k+1]때 성립함을 증명

□□□ 점화식

①[eqn: a_n+1 = a_n + f(n)]    ⇒[eqn: a_n =a_1 + SUM from { { k}=1} to n-1 f(k)]

② [eqn: a_n+1 = a_n ․f(n)]    ⇒[eqn: a_n =a_1 f(1)․f(2)…f(n-1)]

③ [eqn: a_n+1 =pa_n +q]      ⇒ [eqn: a_n+1 - alpha =p(a_n - alpha )로 변형]

④ [eqn: pa_n+2 +qa_n+1 +ra_n =0]  [eqn: (단, p+q+r=0,pqr !=0)]

⇒ [eqn: p(a_n+2 -a_n+1 ) =r(a_n+1 -a_n)]

※ 이외에도 많은 유형이 있지만 그때 그때마다 고칠수도 없고 하니 모든 점화식은 [eqn: n]대신에 1부터 자연수를 대입하여 항을 직접조사하여 계차수열로 풀면 됩니다.

□□□ 수열의 극한

(1) 무한수열 {[eqn: a_n]}에서 [eqn: lim from { n -> inf }= alpha] ([eqn: alpha] 는 일정한 값)일 때 수열  {[eqn: a_n]}은 [eqn: alpha] 에 수렴한다고 하고, [eqn: alpha] 를 극한값이라고 한다.

(2) 무한수열 {[eqn: a_n]}이 수렴하지 않을 때, 수열  {[eqn: a_n]}은 발산한다고 한다.

□□□ 극한값의 기본성질

수열 {[eqn: a_n]}, {[eqn: b_n]}에서 [eqn: Lim from { n -> inf } a_n = alpha],

[eqn: lim from { n -> inf } b_n = beta]일 때

(1) [eqn: lim from { n -> inf } ka_n =kn lim from { -> inf } a_n =k alpha] (단 k는 상수)

(2) [eqn: lim from { n -> inf } (a_n +- b_n ) = lim from { n -> inf } a_n +- lim from { n -> inf } b_n = alpha +- beta]

(3) [eqn: lim from { n -> inf } a_n b_n = lim from { n -> inf } a_n ․ lim from { n -> inf } b_n = alpha beta]

(4) [eqn: lim from { n -> inf } { a_n} over {b_n } = { lim from { n -> inf }a_n } over { lim from { n -> inf } b_n } = { alpha } over { beta }]

□□□ 무한등비수열

무한등비수열{[eqn: { r}^{n }]}에 대하여

① [eqn: r>1]일 때,[eqn: lim from { n -> inf } { r}^{n } =inf (발산)]

② [eqn: r=1]일 때, [eqn: lim from { n -> inf } { r}^{n } =1(수렴)]

③ [eqn: LEFT | r RIGHT | <1]일 때. [eqn: lim from { n -> inf } {r }^{n } =0](수렴)

④ [eqn: r <= -1]일 때, [eqn: lim from { n -> inf } { r}^{n }]은 진동(발산)

□□□ 무한급수

① 무한급수[eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n=a_1 +a_2 …+a_n +…]에서첫째항부터 제 n항까지의 부분합 [eqn: S_n]이

[eqn: lim from { n -> inf } S_n =S]이면 이 무한급수는 S에 수렵한다고 하고 극한값 S를  무한급수의 합이라 한다.

② 무한급수[eqn: SUM from { {n}=1} to inf a_n]이 수렴 ⇒[eqn: Lim from { n -> inf } a_n =0]

□□□ 무한등비급수

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf ar^n-1 =a+ar+ar^2 +…+ar^n-1 +…][eqn: (a !=0)]

①[eqn: LEFT | r RIGHT | <1]일 때, 수렵하고 그 합은 [eqn: S= { a} over {1-r }]

②[eqn: LEFT | r RIGHT | >= 1]일 때는 발산하고 합이 없다.

□□□ 함수의 극한

(1) 함수의 극한

함수 [eqn: f(x)]에서 [eqn: x !=a]인 [eqn: x]가 에 한없이 가까위질 때, [eqn: f(x)]의 값이  일정한 값 [eqn: a]에 한없이 가까워지면 [eqn: f(x)]는 [eqn: alpha]에 수렵한다고 하고 [eqn: alpha]를[eqn: f(x)]의 극한(값)이라고 한다. 즉,

[eqn: lim from { x -> alpha } f(x) =a]

(2) 좌극한 (값)과 우극한 (값)

좌극한값과 우극한값이 같을 때를 극한값이라한다.

즉 [eqn: Lim from { x -> alpha -0 } f(x)= Lim from { x -> alpha +0} f(x) = alpha]

⇔ [eqn: lim from { x -> alpha } f(x)= alpha][eqn: ( alpha 는 상수)]

□□□ 극한값의 기본 성질

[eqn: lim from { x-> a} f(x)= alpha ,~ lim from { x-> a}g(x)= beta ~( alpha , beta 는 상수)일 때]

(1) [eqn: lim from { x->a} kf(x)= k lim from { x->a}f(x)=k alpha (k는 상수)]

(2)[eqn: lim from { x->a }]{[eqn: f(x) +- g(x)]}=[eqn: lim from { x-> a } f(x)][eqn: +-][eqn: lim from { x->a } g(x)]

(3)[eqn: lim from { x->a }f(x)g(x)]=[eqn: lim from { x-> a } f(x)]․[eqn: lim from { x->a } g(x)]=[eqn: alpha ․ beta]

(40[eqn: lim from { x->a } { f(x)} over {g(x) }]=[eqn: { lim from { x ->af }f(x) } over { lim from { x ->a }g(x) }]=[eqn: { alpha } over { beta }]

(단,[eqn: g(x) != 0, beta != 0])

(5)[eqn: f(x)<g(x)이면][eqn: lim from { x-> a } f(x)][eqn: <=][eqn: lim from { x->a } g(x)]      즉 [eqn: alpha <= beta]

□□□ 함수의 연속

함수 [eqn: f(x)]가

(1) [eqn: x=a]에서 정의되고

(2) [eqn: lim from { x-> a } f(x)]가 존재하며

(30 [eqn: lim from { x-> a } f(x)]=[eqn: f(a)]일 때 , 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 연속이라 한      다.

□□□ 중간값 정리

함수 [eqn: f(x)]가 [a, b]에서 연속이고 [eqn: f(a) != f(b)]이면 [eqn: f(a)]와[eqn: f(b)] 사이의 임의의 값[eqn: k] 에 대하여 [eqn: f(c)=k]인 [eqn: c]가 개구간 (a, b)안에 적어도 하나 존재한다.

□□□ 평균변화율과 미분계수

(1) 함수 [eqn: y=f(x)]의 구간[a,b]에서 평균변화율은

[eqn: { Δy} over {Δx }= { f(b) -f(a)} over {b-a }]

[eqn: = { f(a+Δx) -f(a)} over {Δx }]

(2) 미분계수(순간변화율)

위의 평균변화율에서 [eqn: Δx~ -> 0]일 때의 극한값, 즉

[eqn: lim from { Δx -> 0 } { f(a+Δx)-f(a)} over {Δx } =f^~' (a)]

□□□ 미분가능과 연속

(1) 함수 [eqn: y=f(x)]의 [eqn: x=a]에서의 미분계수 [eqn: f^~ ' (a)]가 존재할 때,  함    수 [eqn: f(x)]는[eqn: x=a] 에서 미분가능하다고 한다.

(2) 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a] 에서 미분가능하면 함수  [eqn: f(x)]는  [eqn: x=a]에    서 연속이다.

※ 미분가능하면 연속이지만 연속이라고 해서 반드시 미분가능한 것은 아니다.

□□□ 도함수

함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수는

[eqn: f^~' (x) = lim from { Δx -> 0 } { f(x+Δx ) -f(x)} over {Δx }]

□□□ 미분법의 공식

(1) [eqn: y=k(k는 상수)~~⇒y^~' =0]

(2) [eqn: y=kf(x)~(k는 상수)~~⇒y^~' =kf^~' (x)]

(3) [eqn: y=x^n~ (n은 자연수)~~⇒y^~'=nx^n-1]

(4) [eqn: y=f(x) +- g(x)~~⇒y^~' =f^`' (x) +- g^~'(x)]

(5) [eqn: y=f(x)g(x)~~]

[eqn: ⇒y^~' =f^~' (x)g(x)+f(x)g^~' (x)]

(6) [eqn: y=(f(x))^n~~ ⇒~ y^~' =n(f(x))^n-1 f^~' (x)]

□□□ 접선의 방정식

곡선 [eqn: y=f(x)]위의 점 [eqn: (a, ~f(a))]에서의

(1) 접선의 방정식

[eqn: y-f(a)=f^~' (a)(x-a)]

(2) 법선의 방정식

[eqn: y-f(a)=- { 1} over {f^~' (a) }(x-a)](단,[eqn: f^~' (a) != 0])

□□□ 함수의 증가, 감소

(1) 함수 [eqn: f(x)]가 어떤 구간에 속하는 임의의 두실수 [eqn: x_1, ~x_2]에 대하여

① [eqn: x_1 <x_2]일 때 [eqn: f(x_1 )<f(x_2 )]이면 [eqn: f(x)]는 증가

② [eqn: x_1 <x_2]일 때 [eqn: f(x_1 )>f(x_2 )]이면 [eqn: f(x)]는 감소

(2) 함수 [eqn: f(x)]가 어떤 구간 안의 모든 점에서 미분가능할 때

① [eqn: f^~' (x)>0~⇒f(x)]는 증가

[eqn: f^~' (x)<0~⇒f(x)]는 감소

② [eqn: f(x)]가 증가함수[eqn: ⇒f^~' (x) >= 0]

[eqn: f(x)]가 감소함수[eqn: ⇒f^~' (x) <= 0]

□□□ 함수의 극대, 극소

연속함수 [eqn: y=f(x)]에 대하여 [eqn: f^~' (a)=0]이고 [eqn: x=a]의 좌, 우에서  [eqn: f^~' (x)]의 부호가

(1) 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 극대이고 [eqn: f(a)]는    극대값을 가진다.

(2) 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 극소이고 [eqn: f(a)]는    극소값을 가진다.

□□□ 삼차함수의 극값의 존재

삼차함수 [eqn: f(x)]에서 방정식 [eqn: f^~'(x) = 0]의 판별식을 D라고 하면

(1) 극값을 가질 조건 [eqn: ⇔D>0]

(2) 극값을 갖지 않을 조건 [eqn: ⇔D <= 0]

□□□ 함수의 최대, 최소

함수 [eqn: f(x)]가 폐구간 [a, b]에서 연속일 때, [eqn: f(x)]의 극대값, 극소값, [eqn: f(a),~f(b)]중에서 최대인 것이 최대값이고 최소인 것이 최소값이다.

□□□ 방정식과 부등식에의 응용

(1) 방정식의 실근의 개수

① 방정식 [eqn: f(x)=0]의 실근의 개수는 함수

[eqn: y=f(x)]의 그래프의 교점의 개수와 같다.

② 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]의실근의 개수는 두 함수 [eqn: y=f(x)]와           [eqn: y=g(x)]의 그래프의 교점의 개수와 같다.

(2) 삼차방정식의 실근의 개수

삼차방정식 [eqn: f(x)=0]의 실근의 개수는 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x= alpha ,~x=beta]    에서 극값을 가질 때

① 서로 다른 세 실근 [eqn: ⇔] [eqn: f( alpha )f( beta )<0]

② 중근과 다른 한 실근 [eqn: ⇔~f (alpha)f( beta )=0]

③ 한 실근과 두 허근 [eqn: ⇔~f( alpha )f( beta )>0]

(3) 부등시의 증명

구간 [eqn: ( alpha ,~inf)] 에서 [eqn: f(x)>0] 의 증명

① [eqn: x>a]에서[eqn: f(x)] 의 (최소값)>0

② [eqn: x>a]에서 [eqn: f^~' (x)>0,~f(a) >= 0]

□□□ 속도와 가속도

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 좌표가 [eqn: x=f(t)] 로 주어질 때     (1) 속도 ; [eqn: v= lim from { Δx -> 0 } { Δx} over {Δy } = { dx} over {dt } =f^~' (t)]

(2) 가속도 ; [eqn: a= lim from { Δt -> 0 } { Δv} over {Δt } = { dv} over {dt } =v^']

□□□ 부정적분

(1) 부정적분과 도함수

① [eqn: { d} over { dx} ( INT f(x)dx) =f(x)]

② [eqn: INT ( { d} over {dx }f(x))dx=f(x)+c]

(2) 부정적분의 계산

① [eqn: INT k~dx=kx+C~(k는 상수)]

② [eqn: INT x^n~ dx= { 1} over {n+1 } x^n+1 +C~ (n≠-1)]

③[eqn: INT (ax+b)^n ~dx= { 1} over {a(n+1) } (ax+b)^n+1 +C]

(3) 부정적분의 성질

① [eqn: INT kf(x)~dx=k INT f(x)~dx ~(k는 상수)]

② [eqn: INT]{[eqn: f(x) +- g(x)]} [eqn: dx]

=[eqn: INT f(x)~dx +- INT g(x)~dx]

□□□ 정적분

(1)정적분의 정의

[eqn: lim from { n -> inf } { b-a} over {n} SUM from { { k}=1} to n }f(a+ { b-a} over {n } k)= INT _{ a}^{b } f(x)~dx]

(2) 정적분의 기본 정리

[eqn: INT f(x)~dx=F(x) +C] 일 때

[eqn: INT _{ A}^{B } f(x)~dx= {[ F(x)}]`_{a } ^{b } =F(b)-F(a)]

(3) 정적분의 계산

① [eqn: INT _{ a}^{b }f(x)~dx=- INT _{ b}^{a } f(x)~dx]

② [eqn: INT _{ a}^{b } kf(x)~dx=k INT _{a }^{b }f(x)~dx]

③[eqn: INT _{ a}^{b }]{[eqn: f(x) +- g(x)]}[eqn: dx]

=[eqn: INT _{ a}^{b} f(x)~dx +- INT _{ a}^{b } g(x)~dx]

④ [eqn: INT _{ a}^{ b}f(x)~dx= INT _{ a}^{c } f(x)~dx + INT _{ c}^{b }f(x)~dx]

(4) 정적분의 성질

① [eqn: f(x)] 가 우함수이면

[eqn: INT _{ -a}^{a } f(x)~dx=2 INT _{ 0}^{a } f(x)~dx]

② [eqn: f(x)] 가 기함수이면 [eqn: INT _{ -a}^{a } f(x)~dx=0]

□□□ 정적분으로 정의된 함수의 미분

① [eqn: { d} over {dx } INT _{ a}^{x } f(t)~dt=f(x)]

② [eqn: { d} over {dx } INT _{ x}^{x+a } f(t)~dt=f(x+a) -f(x)]

□□□ 정적분으로 정의된 함수의 극한값

① [eqn: lim from { x -> a } { 1} over {x-a } INT _{ a}^{ x} f(t)~dt =f(a)]

② [eqn: lim from { x -> 0 } { 1} over {x } INT _{ a}^{x+a } f(t)~dt= f(a)]

□□□ 무한급수의 정적분 표시

① [eqn: lim from { x -> inf } SUM from { { k}=1} to n f( { k} over {n } ) { 1} over {n } = INT _{ 0}^{1 } f(x)~dx]

② [eqn: lim from { n -> inf } SUM from { { k}=1} to n f( { a} over {n } k) { a} over {n } = INT _{ a}^{x } f(x)~dx]

③[eqn: lim from { n -> inf } SUM from { { k}=1} to n f(a+ { b-a} over {n } k) { b-a} over {n } = INT _{ a}^{b }f(x)~dx]

□□□ 넓  이

(1)[eqn: x] 축과 곡선 사이의 넓이

곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축, [eqn: x=a,~x=b]로 둘러싸인 부분의 넓이 S는

[eqn: S= INT _{ a}^{b } LEFT | f(x) RIGHT | ~dx]

(2) [eqn: y]축과 곡선 사이의 넓이

곡선 [eqn: x=g(y)]와 [eqn: y]축, [eqn: y=c,~y=d]로 둘러싸인 부분의 넓이 S    는

[eqn: S= INT _{ c}^{d } LEFT | g(y) RIGHT | ~dy]

(3) 두 곡선 사이의 넓이

두 곡선 [eqn: y=f(x),~y=g(x)] 와 두 직선 [eqn: x=a,~x=b(a<b)]로 둘   러싸인 부분의 넓이 S는

[eqn: S= INT _{ a}^{b } LEFT | f(x)-g(x) RIGHT | ~dx]

□□□ 일반 입체의 부피

입체를 구간 [a, b]의 임의의 점에서 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 잘랐을 때, 잘린 단면의 넓이가 [eqn: S(x)] 이면 [eqn: x=a]에서 [eqn: x=b]사이의 입체의 부피 V는

[eqn: V= INT _{ a}^{b } S(x)~dx]

□□□ 회천체의 부피

(1) [eqn: x]축 둘레로 회전시킨 입체의 부피

구간 [A, B] 에서 [eqn: y=f(x)] 를 [eqn: x]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피 [eqn: V_x]는

[eqn: V_x = pi INT _{ a}^{b } y^2 ~dx= pi INT _{ a}^{b }][eqn: (f(x))^2~ dx]

(2) [eqn: y]축 둘레로 회전시킨 입체의 부피

구간[a, b]에서 [eqn: x=g(y)]를 [eqn: y]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피[eqn: V_y] 는

[eqn: V_y = pi INT _{ a}^b{ } x^2~ dy = pi INT _{ a}^{b } (g(y))^2~ dy]

(3) 두 곡선으로 둘러싸인 부분을 회전시킨 입체의 부피

두함수 [eqn: f(x),~g(x)]가 구간 [a, b] 에서 연속이고 [eqn: 0 <= g(x) <= f(x)] 일 때, 두곡선 [eqn: y=f(x),~y=g(x)]와 두 직선 [eqn: x=a,~ x=b] 로 둘러싸인 도형을 [eqn: x]축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피 [eqn: V_x]는

[eqn: V_x = pi INT _{ a}^{b }[ (f(x))^2 -(g(x))^2 ]~dx]

□□□ 속도와 거리

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 [eqn: t] 에서의 속도가 [eqn: v(t)]일 때

(1) 시각 [eqn: t=t_0] 에서의 위치가 [eqn: x_0]이면 시각[eqn: t] 에서의 위치 [eqn: s(t)] 는

[eqn: s(t) =x_0 + INT _{ t_0}^{t } v(t)~dt]

(2) [eqn: t=a] 에서 [eqn: t=b] [eqn: (a <= b)] 까지를[eqn: v(t)] 의 속도로 움직이는 점 P    세 대하여

① 위치의 변화량 : [eqn: INT _{ a}^{b } v(t)~dt]

② 이동 거리(운동 거리 ) : [eqn: INT _{ a}^{b } LEFT | v(t) RIGHT | ~dt]

□□□ 이항정리

(1) n이 자연수일 때

[eqn: (a+b)^n =`_n C_0 a^n +`_n C_1 a^n-1 b +…+`_n C_n b^n]

[eqn: = SUM from { { r}=0} to n `_n C_r a^n-r b^r]

(2) 이항계수의 성질

① [eqn: `_n C_0 +`_n C_1 +`_n C_2 +…+`_n C_n =2^n]

② [eqn: `_n C_0 - `_n C_1 + `_n C_2 - … +(-1)^n `_n C_n =0]

③ [eqn: `_n C_1 + 2 `_n C_2 + … +n ~_n C_n =n 2^n-1]

□□□ 순열

(1) 순  열 : 서로 다른 [eqn: n] 개에서 중복을 허락하지 않고 [eqn: r~(n >= r)]              개를 택하여 순서있게 일려로 배열하는 순열의 수는

[eqn: `_n P_r = { n!} over {(n-r)! }]

(2) 중복순열 : 서로 다른 개에서 중복을 허락하여 r 개를 뽑는 중복               순열의 수는

[eqn: `_n PI _r= { n}^{r }]

(3) 원순열 : 원형으로 배열하는 원순열의 수는

[eqn: (n-1)!]

(4) 같은 것이 n개 있는 순열 : n개 중에 같은 것이 각각 p개, q개,…    r개 있을 대, 이들 개를 모두 사용하여 일렬로 배열하는 순열의    수는

[eqn: { n!} over {p!q!r!… } (단, p+q+r+…=n)]

□□□ 조 합

(1) 조  합 ; 서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r개를 택하는             조합의 수는[eqn: `_n C_r]

(2) [eqn: `_n C_r = { `_n P_r} over {r! } = { n!} over {r!(n-r)! } (단, ~0 <=r <=n)]

(3) [eqn: `_n C_0 =1,~`_n C_n =1]

(4) [eqn: `_n C_n-r =`_n C_r~ (n >= r)]

(5) [eqn: `_n C_r =`_n-1 C_r-1 +`_n-1 C_r~ (1 <=r <= n-1)]

(6) 중복조합 : 서로 다른 n개에서 중복을 허락하여 r개를 택하는 조    합의 수는

[eqn: `_n H_r =~_n+r-1 C_r]

□□□ 다항정리

[eqn: (a+b+c)^n]의 전개식에서 [eqn: a^p b^q c^r] 의 계수는

[eqn: `_n C_r ․`_n-r C_q = { n!} over {p!q!r! }]

□□□ 독립사건

사건 A와 B가 독립

⇔[eqn: P(B │A)=P(B│ { A}^{c } )=P(B)]

⇔[eqn: { A}^{c }와 B가 ~독립]

⇔ [eqn: P(A BIGCAP B)=P(A)P(B)]

□□□ 확률의 기본성질

(1) 수학적 확률 : 임의의 사건 A에 대하여

P(A)=[eqn: { n(A)} over {n(B) } = { 사건 A가 일어나는 경우의수} over {일어날 수 있는 모든 경우의 수 }]

(2) [eqn: 0 <=P(A) <= 1,~P(U)=1,~P( PHI )=0]

(3) 확률의 덧셈정리 : 두 사건 A, B에 대하여

[eqn: P(A∪B)=P(A) +P(B) -P(A∩B)]

(4) 사건 A의 여사건을 [eqn: A^c] 이라 하면

[eqn: P(A^c ) =1- P(A)]

□□□ 조건부확률과 곱셈정리

(1) 조건부확률

사건 A가 일어났다는 가정 아래 사건 B가 일어날 확률을 사건 A   가 일어났을 때의 사건 B의 조건부확률이라 하고, [eqn: P(B LEFT | A)]또는 [eqn: P_A (B)]로 나타낸다.

[eqn: P(B |A)= { P(A∩B)} over { P(A)} (단, P(A) != 0)]

(2) 곱셈정리

두 사건 A, B 에 대하여

[eqn: P(A∩B)=P(A)․P(B |A) =P(B)․P(A |B)]

특히, A,B가 독립이면

[eqn: P(A∩B)=P(A)․P(B)]

□□□ 독립시행의 확률

1회의 시행에서 사건 A가 일어날 확률이 P인 독립시행에서 이 시행을 n회 반복할 대 사건 A가 r회 일어날 확률을 [eqn: P_r]라 하면

[eqn: P_r =`_n C_r p^r q^r ~(단, q=1-p,~r=0,1,2,…n)]

□□□ 연속확률변수

함수 [eqn: f(x)]가 구간 [[eqn: alpha ,~ beta]] 를 정의역으로 하고, 변수 X를      연속확률변수,[eqn: f(x)]를 확률밀도함수라고 할 때 다음을 만족한다.

① [eqn: f(x) >= 0 ~( alpha <=x <= beta )]

② [eqn: INT _{ alpha }^{ beta } f(x)~dx=1]

③ [eqn: P(a <=X <= b)= INT _{ a}^{b } f(x)~dx~(단, alpha <=a <=x <= b<= beta )]

④ 평균 : [eqn: E(X)= INT _{ alpha }^{ beta } xf(x)~dx]

⑤ 분산 : [eqn: V(X)= INT _{ alpha }^{ beta } (x-m)^2 f(x)~dx]

[eqn: = INT _{ alpha }^{ beta } x^2 f(x)~dx -m^2 =E(X^2 ) -(E(X))^2]

□□□ 이산확률변수

[eqn: P(X=x_i )=p_i ~(i=1,2,…n)] 일 때

(1) 기대값(평균) : [eqn: E(X)=m= SUM from { { i}=1} to n x_i p_i]

(2) 분산 :

[eqn: V(X)= SUM from { { i}=1} to n (x_i -m)^2 p_i =E(X^2 )-(E(X))^2]

(3) 표준편차 : [eqn: sigma (X) = SQRT { V(X)}]

(4) [eqn: E(aX +b)=aE(x)+b,]

[eqn: ~V(aX+b)=a^2 V(X)]

(5) 이항분포

확률변수 X 에 대하여

[eqn: P(X=r )=`_n C_r p^r `q^n-r ~(단, q=1-p)]인 확률분포를 이항분포라    하고 [eqn: B(n,~p)]로 나타낸다.

[eqn: E(X)=np,~V(X)=npq]

□□□ 정규분포

(1) 연속확률변수 X의 확률밀도함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)= { 1} over { SQRT { 2 pi } sigma } { e}^{- { (x-m)^2} over {2 sigma ^2 } }] 일 때, X의 분포를 정규분포라 하고 [eqn: N(m,~ sigma ^2 )]으로 나타낸다.

[eqn: Z= { X-m} over { sigma }] 으로 놓으면 [eqn: Z]는 표준정규분포 [eqn: N(0,1^2 )] 을 따른다.

(2) 이항분포 [eqn: B(n,p)]에서 n이 충분히 크면 정규분포 [eqn: N(np,~npq)]를 따른다.

□□□ 모평균의 추정

모평균 m, 분산 [eqn: sigma ^2]인 모집단에서 크기 n인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균 [eqn: bar X]라 할 때

(1) 95% 신뢰도

[eqn: bar X - 1.96 { sigma } over { SQRT { n} } <= m<= bar X + 1.96 { sigma } over { SQRT { n} }]

(2) 99% 신뢰도

[eqn: bar X - 2.58 { sigma } over { SQRT { n} } <= m<= bar X + 2.58 { sigma } over { SQRT { n} }]

※[eqn: LEFT | m- barX RIGHT | <= 1.96 { sigma } over { SQRT { n} }]일 때, 이 때 [eqn: LEFT | m- barX RIGHT |]를 모평균과 표본평균    차라고 한다.

□□□ 추  정

평균이 m이고 표준편차가 [eqn: sigma]인 모집단에서 nro의 표본을 뽑아 그 표본평균 [eqn: bar X]의 평균 표준편차는

[eqn: E(bar X )=m,~ sigma (bar X ) = { sigma } over { SQRT { n} }]