수학‘나’형 정답

1	④	2	③	3	⑤	4	①	5	④
6	②	7	③	8	①	9	⑤	10	④
11	②	12	①	13	③	14	②	15	⑤
16	④	17	②	18	①	19	⑤	20	③
21	②	22	[eqn: 29]	23	[eqn: 7]	24	[eqn: 65]	25	[eqn: 81]
26	[eqn: 125]	27	[eqn: 45]	28	[eqn: 16]	29	[eqn: 80]	30	[eqn: 160]

해 설

1. [출제의도] 다항식의 덧셈을 계산한다.

두 다항식 [eqn: A=3x ^{2`} -xy], [eqn: B=xy+2y ^{2}]에서

[eqn: A+B`][eqn: = LEFT ( 3x ^{2`} -xy RIGHT ) `+` LEFT ( xy`+2y ^{2} RIGHT )]
[eqn: =3x ^{2} -xy`+`xy+2y ^{2}]
[eqn: =3x ^{2} +2y ^{2}]

2. [출제의도] 선분의 중점의 좌표를 구한다.

두 점 [eqn: rmA it LEFT ( 3,```4 RIGHT ) `], [eqn: rm B LEFT ( -3,```2 RIGHT ) `]의 중점의 좌표는

[eqn: LEFT ( {3+(-3)} over {2} ,``` {4+2} over {2} RIGHT ) `]이므로 [eqn: LEFT ( 0,```3 RIGHT ) `]이다.

따라서 중점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 3]이다.

3. [출제의도] 이차방정식의 두 근의 곱을 구한다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -x+2=0`]의 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 곱은 [eqn: {2} over {1} =2`]이다.

[다른 풀이]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -x+2=0`]의 두 근은

[eqn: x`][eqn: = {- LEFT ( -1 RIGHT ) ± sqrt {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} -4 TIMES 1 TIMES 2}} over {2 TIMES 1}]
[eqn: = {1± sqrt {7} i} over {2}]

따라서 두 근의 곱은

[eqn: {1+ sqrt {7} i} over {2} TIMES {1- sqrt {7} i} over {2}`][eqn: = {(1+sqrt{7}i)(1-sqrt{7}i)} over {4}]
[eqn: = {1-7i ^{2}} over {4}]
[eqn: = {1+7} over {4}]
[eqn: =2]

4. [출제의도] 복소수의 덧셈과 곱셈을 계산한다.

[eqn: (2+i)(1+i)][eqn: =2+2i+i+i^2]
[eqn: =2+2i+i-1]
[eqn: =][eqn: 1+3i]

5. [출제의도] 무리함수의 역함수를 이용하여 상수의 값을 구한다.

[eqn: f ^{`-1} LEFT ( 10 RIGHT ) =3`]에서 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =10`]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =a sqrt {3+1} +2`]
[eqn: =2a+2]
[eqn: =10]

따라서 [eqn: a=4]

6. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그를 계산한다.

[eqn: log _{`2} ` {1} over {3} times`log _{`3} ` {1} over {4}][eqn: =log` _{2} `3 ^{-1} ` TIMES log` _{3} `2 ^{-2}]
[eqn: = LEFT ( -`log _{`2} `3 RIGHT ) ` TIMES `(-2log _{`3} `2)]
[eqn: =2` TIMES `log _{`2} `3` TIMES log _{`3} `2`]
[eqn: =2` TIMES `log _{`2} `3` TIMES {1} over {log _{`2} `3} `]
[eqn: =2]

7. [출제의도] 집합의 연산을 이용하여 원소의 합을 구한다.

[eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```6 RIGHT }], [eqn: B`= LEFT { 2,```4,```6,```8 RIGHT }]에서

[eqn: A{cup}B`= LEFT { 1,```2,```3,```4,```6,```8 RIGHT }]

[eqn: A{cap}B`= LEFT { `2,```6 RIGHT } `]이므로

[eqn: LEFT ( A CUP B` RIGHT ) - LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )][eqn: = LEFT { 1,```2,```3,```4,```6,```8 RIGHT } - LEFT { 2,```6 RIGHT }]
[eqn: = LEFT { 1,```3,```4,```8 RIGHT } `]

따라서 모든 원소의 합은

[eqn: 1+3+4+8=16`]

8. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 상수의 값을 구한다.

나머지정리에 의해 다항식 [eqn: x ^{2} +ax+4`]를 [eqn: x-1`]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: a+5]

다항식 [eqn: x ^{2} +ax+4`]를 [eqn: x-2`]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 2a+8]

[eqn: a+5=2a+8]

[eqn: a=it-3]

9. [출제의도] 실생활의 소재를 활용하여 집합의 원소의 개수를 구한다.

등 번호가 [eqn: 2]의 배수인 선수의 집합을 [eqn: A],

등 번호가 [eqn: 3]의 배수인 선수의 집합을 [eqn: B``]라 하자.

등 번호가 [eqn: 2]의 배수 또는 [eqn: 3]의 배수인 선수가 [eqn: 25]명이므로

[eqn: n LEFT ( A{cup}B` RIGHT )][eqn: =25]

등 번호가 [eqn: 2]의 배수인 선수의 수와 등 번호가 [eqn: 3]의 배수인 선수의 수가 같으므로

[eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =n LEFT ( B RIGHT )]

등 번호가 [eqn: 6]의 배수인 선수가 [eqn: 3]명이고 [eqn: 6]의 배수는 [eqn: 2]의 배수이면서 동시에 [eqn: 3]의 배수인 수이므로

[eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )=3]

[eqn: n LEFT ( A CUP B` RIGHT )][eqn: =n LEFT ( A RIGHT ) +n LEFT ( B` RIGHT ) -n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )]
[eqn: =n LEFT ( A RIGHT ) +n LEFT ( A RIGHT ) -n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )]
[eqn: =2 TIMES n LEFT ( A RIGHT ) -n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )]

[eqn: 25=2 TIMES n LEFT ( A RIGHT ) -3`]

[eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =14]

따라서 등 번호가 [eqn: 2]의 배수인 선수의 수는 [eqn: 14]이다.

10. [출제의도] 등차수열의 일반항을 이용하여 첫째항을 구한다.

첫째항이 [eqn: a]이고 공차가 [eqn: -2]인 등차수열에서

[eqn: a _{2} =a-2`], [eqn: a _{3} =a-4`], [eqn: a _{4} =a-6`]이므로

주어진 식은

[eqn: LEFT ( a-2+a-6 RIGHT ) ^{2} =16(a-4)]

[eqn: LEFT ( 2a-8 RIGHT ) ^{2} =16(a-4)]

[eqn: a ^{2} -12a+32=0]

[eqn: LEFT ( a-4 RIGHT ) LEFT ( a-8 RIGHT ) =0]

[eqn: a=4] 또는 [eqn: a=8]

[eqn: a=4]일 때 [eqn: a _{3} =4+2 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) =0]이고

[eqn: a=8]일 때 [eqn: a _{3} =8+2 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) =4]

[eqn: a _{3} !=0`]이므로 [eqn: a _{3} =4]

따라서 [eqn: a]의 값은 [eqn: 8]이다.

[다른 풀이]

[eqn: a _{rm 2 it} +a _{4} =2a _{3} `]이므로 주어진 식은

[eqn: 4a _{3} ` ^{2} =16a _{3} `]

[eqn: a _{3} ` ^{2} -4a _{3} =0]

[eqn: a _{3} LEFT ( a _{3} -4 RIGHT ) =0]

[eqn: a _{3} !=0`]이므로 [eqn: a _{3} =4]

[eqn: a _{3} =a+2 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) =4]

따라서 [eqn: a]의 값은 [eqn: 8]이다.

11. [출제의도] 연립방정식이 해를 갖도록 하는 실수의 값을 구한다.

[eqn: x+y=k`]에서 [eqn: y=it-x+k`]이고

이 식을 [eqn: xy+2x-1=0`]에 대입하면

[eqn: x LEFT ( -x+k RIGHT )+2x-1=0]

[eqn: -x^2 +kx+2x-1=0]

[eqn: x ^{2} -(k+2)x+1=0`]이 중근을 가져야 하므로

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D``]라 하면 [eqn: D=0`]이어야 한다.

[eqn: D`][eqn: =left{- LEFT ( k+2 RIGHT ) right} ^{2} -4]
[eqn: =k ^{2} +4k+4-4]
[eqn: =k ^{2} +4k]
[eqn: =k LEFT ( k+4 RIGHT )]
[eqn: =0]

에서 [eqn: k=0] 또는 [eqn: k= it -4`]이다.

따라서 주어진 연립방정식이 오직 한 쌍의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: -4`]이다.

12. [출제의도] 인수분해를 이용하여 복잡한 계산을 간단히 한다.

[eqn: 218`]을 [eqn: n`]이라 하면

[eqn: 218 ^{3} +1][eqn: =n ^{3} +1]
[eqn: = LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n ^{2} -n+1 RIGHT )]

[eqn: 217 ^{3} -1][eqn: = LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{3} -1]
[eqn: =left{ LEFT ( n-1 RIGHT ) -1right}left{ LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( n-1 RIGHT ) +1right}]
[eqn: = LEFT ( n-2 RIGHT ) LEFT ( n ^{2} -n+1 RIGHT )]

[eqn: {218 ^{3} +1} over {217 ^{3} -1} `][eqn: = {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n ^{2} -n+1 RIGHT )} over {LEFT ( n-2 RIGHT ) LEFT ( n ^{2} -n+1 RIGHT )}]
[eqn: = {n+1} over {n-2}]
[eqn: = {218+1} over {218-2}]
[eqn: = {219} over {216}]
[eqn: = {73} over {72}]

[다른 풀이]

[eqn: 217`]을 [eqn: n`]이라 하면

[eqn: 218 ^{3} +1`][eqn: = LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{3} +1]
[eqn: = LEFT { LEFT ( n+1 RIGHT ) +1 RIGHT } LEFT { LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( n+1 RIGHT ) +1 RIGHT }]
[eqn: = LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( n ^{2} +n+1 RIGHT )]

[eqn: 217 ^{3} -1`][eqn: =n ^{3} -1]
[eqn: = LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n ^{2} +n+1 RIGHT )]

[eqn: {218 ^{3} +1} over {217 ^{3} -1} `][eqn: = {LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( n ^{2} +n+1 RIGHT )} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n ^{2} +n+1 RIGHT )}]
[eqn: = {n+2} over {n-1}]
[eqn: = {217+2} over {217-1}]
[eqn: = {219} over {216}]
[eqn: = {73} over {72}]

13. [출제의도] 이차부등식을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

라면 한 그릇의 가격을 [eqn: 100x`](원)만큼 내리면 라면 한 그릇의 가격은 [eqn: 2000-100x](원)이고 라면 판매량은 [eqn: 20x`](그릇)이 늘어나므로 하루 라면 판매량은 [eqn: 200+20x`](그릇)이다.

하루의 라면 판매액의 합계가 [eqn: 442000]원 이상이 되려면

[eqn: LEFT ( 2000-100x RIGHT ) LEFT ( 200+20x RIGHT ) {ge}442000`]

[eqn: 2000x ^{2} -20000x+42000{le}0]

[eqn: x ^{2} -10x+21{le}0`]

[eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-7 RIGHT ) le0]

[eqn: 3{le}x{le}7]

따라서 라면 한 그릇의 가격의 최댓값은

[eqn: x=3`]일 때 [eqn: 1700]원이다.

14. [출제의도] 곱셈공식을 이용하여 직육면체의 대각선의 길이를 구한다.

직육면체의 가로의 길이를 [eqn: a], 세로의 길이를 [eqn: b], 높이를 [eqn: c`]라 하면

입체도형의 겉넓이가 [eqn: 236`]이므로

[eqn: 2(ab+bc+ca)=236`]

입체도형의 모든 모서리의 길이의 합이 [eqn: 82`]이므로

[eqn: 4(a+b+c)+6=82`]

[eqn: a+b+c=19`]

직육면체의 대각선의 길이를 [eqn: l`]이라 하면

[eqn: l`][eqn: = sqrt{a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} `]
[eqn: = sqrt{(a+b+c) ^{2} -2(ab+bc+ca)`]
[eqn: =sqrt{19 ^{2} -236`]
[eqn: = sqrt {125}]
[eqn: =5 sqrt5]

15. [출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 식의 값을 구한다.

[eqn: f LEFT ( a RIGHT )], [eqn: f LEFT ( b RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 12 RIGHT )]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) = {k} over {a}], [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) = {k} over {b}], [eqn: f LEFT ( 12 RIGHT ) = {k} over {12}]에서

[eqn: {k} over {a} TIMES {k} over {12} = LEFT ( {k} over {b} RIGHT ) ^{2}]이므로

[eqn: b ^{2} =12a]

[eqn: a]는 [eqn: 12]보다 작은 자연수이고 [eqn: 12a`]는 제곱수이므로 [eqn: a=3]이다.

[eqn: b ^{2`} =12times3=36]에서

[eqn: b=6]

또, [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) = {k} over {a} =3]에서

[eqn: k=9]

따라서 [eqn: a+b+k=3+6+9=18`]

[다른 풀이]

[eqn: {k} over {a}], [eqn: {k} over {b}], [eqn: {k} over {12}]가 이 순서대로 등비수열을 이루면

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: 12]도 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: b ^{2} =12a`]

[eqn: a]는 [eqn: 12]보다 작은 자연수이고 [eqn: 12a`]는 제곱수이므로 [eqn: a=3]이다.

[eqn: b ^{2`} =12times3=36]에서

[eqn: b=6]

또, [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) = {k} over {a} =3]에서

[eqn: k=9]

따라서 [eqn: a+b+k=3+6+9=18`]

16. [출제의도] 거듭제곱근의 뜻과 로그의 성질을 이용하여 로그를 계산한다.

(가)에서 [eqn: root {3} of {a} = sqrt {b} = root {4} of {c}][eqn: =k]라 하면

[eqn: a=k ^{3}], [eqn: b=k ^{2}], [eqn: c=k ^{4}]이다.

이를 (나)에 대입하면

[eqn: log` _{8} `a+log` _{4} `b+log` _{2} `c][eqn: =log` _{8} `k ^{3} +log` _{4} `k ^{2} +log` _{2} `k ^{4} `]
[eqn: =log` _{2} `k+log` _{2} `k+4`log` _{2} `k]
[eqn: =6`log` _{2} `k]
[eqn: =2]

[eqn: log` _{2} `k= {1} over {3}]

[eqn: log` _{2} `abc`][eqn: =log` _{2} LEFT ( k ^{3} {times}k ^{2} {times}k ^{4} RIGHT )]
[eqn: =log` _{2} `k ^{9}]
[eqn: =9`log` _{2} `k]
[eqn: =9times {1} over {3} =3]

17. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 명제를 증명한다.

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,
[eqn: 3 ^{2} +1=2 TIMES 5`]이므로 [eqn: f LEFT ( 3 ^{2} +1 RIGHT ) =1]이다.
따라서 [eqn: n=1`]일 때 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k`]일 때 (*)이 성립한다고 가정하면
[eqn: f LEFT ( 3 ^{2k} +1 RIGHT ) =1`]

음이 아닌 정수 [eqn: m`]과 홀수 [eqn: p`]에 대하여
[eqn: 3 ^{2k} +1=2 ^{m} TIMES p`]

로 나타낼 수 있으므로
[eqn: 3 ^{2k} +1= {BOX{~2 _{`}^{`} ~}} ` TIMES `p`]
이다.

[eqn: 3 ^{2 LEFT ( k+1 RIGHT )} +1`][eqn: =9 TIMES 3 ^{2k} +1][eqn: =9(2p-1)+1]
[eqn: =2 TIMES LEFT ( `` {BOX{~ ^{`} 9p-4 _{`} ~}} `` RIGHT )]

이고, [eqn: p]는 홀수이므로 [eqn: {BOX{~ _{`} 9p-4 ^{`} ~}} `]도 홀수이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 3 ^{2 LEFT ( k+1 RIGHT )} +1 RIGHT ) =1`]이다.

그러므로 [eqn: n=k+1`]일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: f LEFT ( 3 ^{2n} +1 RIGHT ) =1]이다.

따라서 [eqn: a=2], [eqn: g LEFT ( p RIGHT ) =9p-4`]이므로

[eqn: a+g LEFT ( 11 RIGHT )][eqn: =2+ LEFT ( 9 TIMES 11-4 RIGHT )][eqn: =97]

18. [출제의도] 원과 직선의 성질을 이용하여 원의 중심의 좌표를 구한다.

평행한 두 직선 [eqn: l`], [eqn: l`']이 원 [eqn: C``]의 접선이므로 선분 [eqn: rmPQ]는 원 [eqn: C``]의 지름이고 원 [eqn: C``]의 중심인 점 [eqn: rm C it LEFT ( a,```b RIGHT ) `]는 선분 [eqn: rmPQ]의 중점이다.

삼각형 [eqn: rmPOQ]가 정삼각형이므로 직선 [eqn: rmOC]가 선분 [eqn: rmPQ]를 수직이등분한다.

그러므로 직선 [eqn: rmOC]는 직선 [eqn: l`]과 평행하다.

직선 [eqn: rmOC]의 방정식은 [eqn: x-2y=0`]이므로

[eqn: a-2b=0`] …… ㉠

원점 [eqn: rmO`]와 직선 [eqn: l:`x-2y+5=0] 사이의 거리

[eqn: {LEFT | 5 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +(-2) ^{2}}} = sqrt {5}]

가 원 [eqn: C``]의 반지름의 길이다.

삼각형 [eqn: rmPOQ]가 정삼각형이므로 선분 [eqn: rmOC]의 길이는 원 [eqn: C``]의 반지름의 길이의 [eqn: sqrt {3}]배이다.

[eqn: bar{rmOC}= sqrt {a ^{2} +b ^{2}} = sqrt {3} times sqrt {5} = sqrt {15}]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =15] …… ㉡

[eqn: a], [eqn: b`]는 양수이고, ㉠, ㉡에 의하여

[eqn: a=2 sqrt {3}], [eqn: b= sqrt {3}]에서 [eqn: a+b=3 sqrt {3}]

19. [출제의도] 유리함수의 그래프의 성질과 도형의 이동을 이용하여 식의 값을 구한다.

[eqn: f(x)`][eqn: = {2x+b} over {x-a}]
[eqn: = {2(x-a)+2a+b} over {x-a}]
[eqn: = {2a+b} over {x-a} +2]

에서 함수 [eqn: y=][eqn: f(x)]의 그래프의 두 점근선의 교점은 점 [eqn: LEFT ( a,```2 RIGHT ) `]이다.

이때, [eqn: y=f ^{`-1} (x)]의 그래프의 두 점근선의 교점은 점 [eqn: LEFT ( a,```2 RIGHT ) `]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점이므로 그 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,```a RIGHT ) `]와 같다.

(가)에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x-4 RIGHT ) -4]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -4]만큼 평행이동한 그래프와 일치하므로 함수 [eqn: y=f LEFT ( x-4 RIGHT ) -4]의 그래프의 두 점근선의 교점은 점 [eqn: LEFT ( a+4,```-2 RIGHT )]이다.

점 [eqn: LEFT ( 2,```a RIGHT ) `]와 점 [eqn: LEFT ( a+4,```-2 RIGHT ) `]가 같으므로

[eqn: a=it-2]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y= {2a+b} over {x}]의 그래프를 평행이동한 그래프와 일치하므로 (나)에서

[eqn: 2a+b=3]

[eqn: b=7]

따라서 [eqn: a+b=it-2+7=5]

[다른 풀이]

[eqn: y= {2x+b} over {x-a} `]에서

[eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) y=2x+b]

[eqn: xy-ay=2x+b]

[eqn: LEFT ( y-2 RIGHT ) x=ay+b]

[eqn: x= {ay+b} over {y-2}]

[eqn: x]와 [eqn: y`]를 서로 바꾸면

[eqn: f ^{`-1}(x)={ax+b}over{x-2}]

(가)에 의해

[eqn: {ax+b}over{x-2}`][eqn: = {2(x-4)+b} over {LEFT ( x-4 RIGHT ) -a} -4]
[eqn: = {2(x-4)+b} over {LEFT ( x-4 RIGHT ) -a} - {4(x-4-a)} over {LEFT ( x-4 RIGHT ) -a}][eqn: = {-2x+4a+8+b} over {x-4-a}]

[eqn: -2=it-4-a`]에서

[eqn: a=it-2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )`][eqn: = {2x+b} over {x+2}]
[eqn: = {2 LEFT ( x+2 RIGHT ) +b-4} over {x+2}]
[eqn: =2+ {b-4} over {x+2}]

이므로 (나)에 의해 [eqn: b-4=3]

[eqn: b=7]

따라서 [eqn: a+b=it-2+7=5]

20. [출제의도] 합성함수와 일대일 대응의 뜻을 이용하여 주어진 명제의 참, 거짓을 판별한다.

ㄱ. 함수 [eqn: f]가 일대일 대응이므로 [eqn: f(1)`timesf(2)=6]에서 [eqn: f(1)]과 [eqn: f(2)]의 값은 각각 [eqn: 2]와 [eqn: 3] 또는 [eqn: 3]과 [eqn: 2]이다. 따라서 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) +f LEFT ( 4 RIGHT ) +f LEFT ( 5 RIGHT )]의 값은 [eqn: 10`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: LEFT ( `f CIRC f` RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) =x`]일 때, [eqn: f(a)][eqn: =][eqn: b]이면
[eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( a RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT ) =a]
이므로 [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) =a]이다.
따라서 [eqn: (f CIRC f)(x)][eqn: =][eqn: x]를 만족하는 함수 [eqn: f]의 대응관계는 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =a]이거나 서로 다른 두 원소 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =b]이면서 [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) =a]이어야만 한다.
집합 [eqn: X]의 원소가 다섯 개이므로 원소를 두 개씩 짝을 지어도 짝지어지지 않는 원소가 존재한다.
따라서 [eqn: (f CIRC f)(x)][eqn: =][eqn: x]이면 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =a]인 집합 [eqn: X]의 원소 [eqn: a]가 존재한다. (참)

ㄷ. (반례) [eqn: f(1)][eqn: =][eqn: 2], [eqn: f(2)][eqn: =][eqn: 3], [eqn: f(3)][eqn: =][eqn: 1], [eqn: f(4)][eqn: =][eqn: 5],
[eqn: f(5)][eqn: =][eqn: 4]라 하면

[eqn: LEFT ( f CIRC f CIRC f RIGHT ) (1)][eqn: =f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )]
[eqn: =f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )]
[eqn: =f LEFT ( 3 RIGHT )]
[eqn: =1]
에서 [eqn: LEFT ( f circ f circ f RIGHT )(1) =1]이므로 집합 [eqn: X]의 어떤 원소 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: LEFT ( f CIRC f CIRC f RIGHT ) (x)=x`]이지만 [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) =b`]인 집합 [eqn: X``]의 원소 [eqn: b`]는 존재하지 않는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

21. [출제의도] 등차수열을 이용하여 수열의 합을 구한다.

등차수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{n} =1+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d`]이므로

[eqn: b _{n}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} k`left{1+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d`right}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{n} `left{dk ^{2} + LEFT ( 1-d RIGHT ) k`right}]
[eqn: =d sum _{k=1} ^{n} `k ^{2} + LEFT ( 1-d RIGHT ) sum _{k=1} ^{n} k]
[eqn: = {dn LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {6} + {LEFT ( 1-d RIGHT ) n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2}]
[eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {6} TIMES left{d LEFT ( 2n+1 RIGHT ) +3 LEFT ( 1-d RIGHT ) right}]
[eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {6} TIMES LEFT ( 2dn-2d+3 RIGHT )]

[eqn: b _{10} =715`]이므로

[eqn: {10 TIMES 11} over {6} TIMES LEFT ( 20d-2d+3 RIGHT ) =715]

[eqn: 18d+3=39]

[eqn: 18d=36]

[eqn: d=2]

[eqn: b _{n}][eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {6} TIMES LEFT ( 2times2timesn-2times2+3 RIGHT )]
[eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {6} TIMES LEFT ( 4n-1 RIGHT )]

[eqn: {b _{n}} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} = {1} over {6} LEFT ( 4n-1 RIGHT )]

따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{10} {b _{n}} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} `][eqn: = sum _{n=1} ^{10} {1} over {6} LEFT ( 4n-1 RIGHT )]
[eqn: = {1} over {6} LEFT ( 220-10 RIGHT )]
[eqn: =35]

[다른 풀이]

등차수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{n} =1+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d`]이므로

[eqn: b _{n}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} k`left{1+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d`right}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{n} `left{dk ^{2} + LEFT ( 1-d RIGHT ) k`right}]
[eqn: =d sum _{k=1} ^{n} `k ^{2} + LEFT ( 1-d RIGHT ) sum _{k=1} ^{n} k]
[eqn: = {dn LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {6} + {LEFT ( 1-d RIGHT ) n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2}]
[eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {6} TIMES left{d LEFT ( 2n+1 RIGHT ) +3 LEFT ( 1-d RIGHT ) right}]
[eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {6} TIMES LEFT ( 2dn-2d+3 RIGHT )]

[eqn: {b _{n}} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )}][eqn: = {3-2d+2dn} over {6}]
[eqn: = {1} over {2} + LEFT ( n-1 RIGHT ) {d} over {3}]

이므로

수열 [eqn: left{ {b _{n}} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} right}`]은 첫째항이 [eqn: {1} over {2}]이고 공차가 [eqn: {d} over {3} `]인 등차수열이다.

[eqn: b _{10} =715`]이므로

수열 [eqn: left{ {b _{n}} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} right}`]의 제[eqn: 10]항은

[eqn: {b _{10}} over {10times11} = {715} over {10times11} = {13} over {2}]

따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{10} {b _{n}} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} `][eqn: = {10times LEFT ( {1} over {2} + {13} over {2} RIGHT )} over {2}]
[eqn: = {10times7} over {2}]
[eqn: =35]

22. [출제의도] 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 구한다.

선분 [eqn: rm AB]의 길이는 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]사이의 거리이므로

[eqn: l][eqn: = it sqrt {(0-2) ^{2} +(5-0) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {29}]

따라서 [eqn: l^2}=29]

23. [출제의도] 제한된 범위에서 함수의 최댓값을 구한다.

함수 [eqn: f left(x right)=2(x-1)^{2}-1]의 그래프의 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: 1`]이므로 [eqn: x=1`]에서 최솟값, [eqn: x=3]에서 최댓값을 가진다.

따라서 최댓값은

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( 3-1 RIGHT ) ^{2} -1]
[eqn: =7]

24. [출제의도] [eqn: sum _{} ^{}]의 성질을 이용하여 수열의 합을 구한다.

[eqn: sum _{k=6} ^{10} a _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{10} a _{k} - sum _{k=1} ^{5} a _{k}]
[eqn: = LEFT ( 10 ^{2} -2times10 RIGHT ) - LEFT ( 5 ^{2} -2times5 RIGHT )]
[eqn: =80-15]
[eqn: =65]

[다른 풀이]

수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 하면

[eqn: a _{n}][eqn: =S _{n} -S _{n-1}]
[eqn: = LEFT ( n ^{2} -2n RIGHT ) - LEFT { LEFT ( n-1) ^{2} -2(n-1) RIGHT } RIGHT .]
[eqn: =2n-3] [eqn: LEFT ( n{ge}2 RIGHT )]

[eqn: a_{1}=S_{1}=it-1]이므로

[eqn: a _{n} =2n-3] [eqn: LEFT ( n{ge}1 RIGHT )]

따라서 수열 [eqn: LEFT{ a_{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: -1]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이다. [eqn: a _{6} =9], [eqn: a _{10} =17`]이므로

[eqn: sum _{k=6} ^{10} a _{k}][eqn: = {5(9+17)} over {2}]
[eqn: =65]

25. [출제의도] 두 직선의 수직 조건과 로그의 성질을 이용하여 식의 값을 구한다.

직선 [eqn: rmAB]는 직선 [eqn: y=it-x+4]에 수직이므로 직선 [eqn: rmAB]의 기울기는 [eqn: 1]이다.

[eqn: {log` _{3} `b-log` _{3} `a} over {3-(-1)} =1]

[eqn: log` _{3} `b-log` _{3} `a][eqn: =log` _{3} ` {b} over {a}]
[eqn: =4]

따라서 [eqn: {b}over{a}=3^{4}=81]

26. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값을 구한다.

[eqn: 5 ^{2a+b} times5 ^{a-b}][eqn: =32times2]

[eqn: 5 ^{LEFT ( 2a+b RIGHT ) + LEFT ( a-b RIGHT )} =64]

[eqn: 5 ^{3a} =4 ^{3}]

[eqn: 5^{a}=4]

[eqn: 5 ^{a-b} =2`]에서

[eqn: 5^{b}=2]

이므로

[eqn: 4 ^{{1} over {a}} =5], [eqn: 2^{1 over b}=5]

따라서

[eqn: 4 ^{{a+b} over {ab}}][eqn: =4 ^{{1} over {a} + {1} over {b}}]
[eqn: =4 ^{{1} over {a}} times4 ^{{1} over {b}}]
[eqn: =5times LEFT ( 2 ^{{1} over {b}} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =5times5 ^{2}]
[eqn: =125]

[다른 풀이]

[eqn: 2a+b=log` _{5} `32] …… ㉠

[eqn: a-b=log` _{5} `2]   …… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: a=log` _{5} `4], [eqn: b=log` _{5} `2]

[eqn: {a+b} over {ab}][eqn: = {1} over {a} + {1} over {b}]
[eqn: = {1} over {log` _{5} `4} + {1} over {log` _{5} `2}]
[eqn: =log` _{4} `5+log` _{2} `5]
[eqn: =log` _{4} `5+log` _{4} `25]
[eqn: =log` _{4} `125]

따라서

[eqn: 4 ^{{a+b} over {ab}}][eqn: =4 ^{`log` _{4} `125}]
[eqn: =125]

27. [출제의도] 다항식의 나눗셈을 이용하여 식의 값을 구한다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -x ^{2} +ax+b]를 [eqn: x ^{2} -2x-2]로 나누면

	[eqn: x]	[eqn: +] [eqn: 1]
[eqn: x ^{2} -2x-2]	[eqn: x ^{3}]	[eqn: -````x ^{2}]	[eqn: +ax]	[eqn: +b]
	[eqn: x ^{3}]	[eqn: -2x ^{2}]	[eqn: -2x]
		[eqn: ````````````x ^{2}]	[eqn: + LEFT ( a+2 RIGHT ) x]	[eqn: +b]
		[eqn: ````````````x ^{2}]	[eqn: -2x]	[eqn: -2]
			[eqn: LEFT ( a+4 RIGHT ) x]	[eqn: + LEFT ( b+2 RIGHT )]

)

이므로

[eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) =x+1], [eqn: R` LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( a+4 RIGHT ) x+b+2`]

[eqn: R` LEFT ( 2 RIGHT ) =2(a+4)+b+2=9]

이므로

[eqn: 2a+b=it-1] …… ㉠

[eqn: f(x)]가 [eqn: x+1]로 나누어떨어지므로

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) = it -1 it -1-a+b=0]

[eqn: a-b=it-2] …… ㉡

㉠, ㉡에 의해

[eqn: a=it-1], [eqn: b=1]

[eqn: f(x)=x ^{3} -x ^{2} -x+1]

따라서 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =4 ^{3} -4 ^{2} -4+1]
[eqn: =64-16-4+1]
[eqn: =45]

[다른 풀이]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -x ^{2} +ax+b]를 [eqn: x ^{2} -2x-2`]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) =x+1]이므로 [eqn: R` LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x+1]로 나누어떨어진다.

[eqn: R` LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x+1 RIGHT )]

[eqn: R` LEFT ( 2 RIGHT ) =9]에서

[eqn: k=3]

[eqn: R` LEFT ( x RIGHT ) =3 LEFT ( x+1 RIGHT )]

다항식 [eqn: x ^{2} -2x-2`]를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +R` LEFT ( x RIGHT )]에서

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =g LEFT ( 4 RIGHT ) Q` LEFT ( 4 RIGHT ) +R` LEFT ( 4 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 4 ^{2} -2 TIMES 4-2 RIGHT ) times][eqn: LEFT ( 4+1 RIGHT )][eqn: +3times LEFT ( 4+1 RIGHT )]
[eqn: =6times5+3times5]
[eqn: =45]

28. [출제의도] 평행이동을 이용하여 색칠된 부분의 넓이를 구한다.

점 [eqn: rmA]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -3`]만큼 평행이동한 점이 [eqn: rmC`]이므로 직선 [eqn: rmAC`]의 기울기는 [eqn: - {3} over {4}]이다.

즉, 두 직선 [eqn: rmAB`], [eqn: rmAC]가 서로 수직이므로 사각형 [eqn: rmABDC`]는 직사각형이다.

[eqn: {bar{rm AC it}} = sqrt {4 ^{2} +(-3) ^{2}} =5]

또, 원점에서 직선 [eqn: 4x-3y-6=0`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

[eqn: bar{rmOH}][eqn: = {LEFT | -6 RIGHT |} over {sqrt {4 ^{2} + LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2}}} = {6} over {5}]

[eqn: bar{rmAH}][eqn: = sqrt {{bar{rm OA it}} ` ^{2} - {bar{rm OH it}} ` ^{2}}]
[eqn: = sqrt {2 ^{2} - LEFT ( {6} over {5} RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: = {8} over {5} `]

[eqn: {bar{rm AB it}} =2bar{rmAH}= {16} over {5}]

선분 [eqn: rmAC], 선분 [eqn: rmBD], 호 [eqn: rmAB] 및 호 [eqn: rmCD`]로 둘러싸인 색칠된 부분의 넓이는 직사각형 [eqn: rmABDC`]의 넓이와 같으므로

[eqn: {bar{rm AB it}} TIMES {bar{rm AC it}}][eqn: = {16} over {5} times5][eqn: =16]

29. [출제의도] 역함수의 그래프의 성질을 이용하여 사각형의 넓이를 구한다.

원의 중심의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT ) `]라 하면

원의 중심으로부터 두 직선까지의 거리가 같으므로

[eqn: {LEFT | a-3b RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2}}} = {LEFT | 3a-b RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}}]

[eqn: a-3b=it+- LEFT ( 3a-b RIGHT )]

[eqn: a-3b=3a-b`]에서 [eqn: b=it-a]

[eqn: a-3b=it- LEFT ( 3a-b RIGHT )]에서 [eqn: b=a]

따라서 원의 중심은 직선 [eqn: y=x`] 또는 직선 [eqn: y= it -x] 위에 있다.

(ⅰ) 원의 중심이 직선 [eqn: y=x] 위에 있는 경우
원의 중심인 점 [eqn: LEFT ( a,```a RIGHT ) `]와 직선 [eqn: 3x-y=0] 사이의 거리는 [eqn: 4`]이므로
[eqn: 4= {LEFT | 3a-a RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +(-1) ^{2}}}][eqn: = {LEFT | 2a RIGHT |} over {sqrt {10}} `]
[eqn: LEFT | 2a RIGHT | =4 sqrt {10} `]
[eqn: a=it+-2 sqrt {10}]
따라서 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmC]의 좌표는
[eqn: LEFT. rm `A`LEFT(2 sqrt {10} ,```2 sqrt {10} RIGHT ) `], [eqn: rm `C` LEFT ( -2 sqrt {10} ,```-2 sqrt {10} RIGHT ) `]

(ⅱ) 원의 중심이 직선 [eqn: y=it-x] 위에 있는 경우
원의 중심인 점 [eqn: (a,```-a)`]와 직선 [eqn: 3x-y=0] 사이의 거리는 [eqn: 4]이므로
[eqn: 4= {LEFT | 3a-(-a) RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +(-1) ^{2}}}][eqn: = {LEFT | 4a RIGHT |} over {sqrt {10}} `]
[eqn: LEFT | 4a RIGHT | =4 sqrt {10} `]
[eqn: a=it± sqrt {10}]
따라서 점 [eqn: rmB]와 점 [eqn: rmD]의 좌표는
[eqn: rmB`` LEFT ( - sqrt {10} ,``` sqrt {10} RIGHT ) `], [eqn: rm D` LEFT ( sqrt {10} ,```- sqrt {10} RIGHT ) `]

네 점 [eqn: rm A], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 꼭짓점으로 하는 사각형은 두 선분 [eqn: rmAC], [eqn: rmBD]를 대각선으로 하는 마름모이다.

[eqn: {bar{rm AC it}}][eqn: = sqrt {(-2 sqrt {10} -2 sqrt {10} ) ^{2} +(-2 sqrt {10} -2 sqrt {10} ) ^{2}}][eqn: =8 sqrt {5} `]

[eqn: {bar{rm BD it}}][eqn: = sqrt {left{ sqrt {10} - LEFT ( - sqrt {10} RIGHT ) right} ^{2} +(- sqrt {10} - sqrt {10} ) ^{2}}][eqn: =4 sqrt {5}]

사각형 [eqn: rm`ABCD]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times8 sqrt {5} times4 sqrt {5}][eqn: =80]

30. [출제의도] 충분조건과 부등식의 영역을 이용하여 최댓값을 구한다.

[eqn: p:] [eqn: |`x-6`| LEQ a`]이고 [eqn: |`y-3`|{le}b]

[eqn: -a{le}x-6{le}a`]이고 [eqn: -b{le}y-3{le}b]

[eqn: 6-a{le}x{le}6+a`]이고 [eqn: 3-b{le}y{le}3+b]

[eqn: p]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이려면 그림과 같이

점 [eqn: (6-a,``3+b)]가 [eqn: x-2y+7 GEQ 0]을 만족하여야 하므로 [eqn: LEFT ( 6-a RIGHT ) -2 LEFT ( 3+b RIGHT ) +7 GEQ 0`]에서

[eqn: a+2b LEQ 7] …… ㉠

점 [eqn: (6-a,``3-b)]가 [eqn: 2x+y-6 GEQ 0]을 만족하여야 하므로 [eqn: 2 LEFT ( 6-a RIGHT ) + LEFT ( 3-b RIGHT ) -6 GEQ 0`]에서

[eqn: 2a+b LEQ 9] …… ㉡

[eqn: a], [eqn: b`]는 모두 양수이므로 ㉠과 ㉡을 동시에 만족하는 부등식의 영역은 다음과 같다. (경계선 포함)

[eqn: a+b=k`]라 하면 직선 [eqn: b= it -a+k`]가 직선 [eqn: a+2b=7`]과 직선 [eqn: 2a+b=9`]의 교점인 점 [eqn: LEFT ( {11} over {3} ,``` {5} over {3} RIGHT ) `]를 지날 때 [eqn: k`]가 최댓값을 갖는다.

따라서 [eqn: a+b]의 최댓값은 [eqn: {11} over {3} + {5} over {3} = {16} over {3}]

[eqn: M= {16} over {3}], [eqn: 30M`=30times {16} over {3} =160]