12

수리 영역(가 형)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수리 영역(가 형)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

2012학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

수리 영역(가 형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: log` _{sqrt{3}} `2+log ` _{3}` sqrt {3}over4 `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2`]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3over2]

2. 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여

[eqn: A+B= pmatrix {` 1&```````3 `#`2 &```````3 `}`], [eqn: A-B``= {pmatrix{`1&```-1#`2&````-1`}}`]

이 성립할 때, 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

3. [eqn: lim _{x` -> `0`} {} ` {e ^{2x} -1 _{`}} over {sin`3x}`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 3 over 2]	⑤ [eqn: 2]

4. 함수 [eqn: f(x)=x^2 +x lnx`]에 대하여

[eqn: lim _{h `->`0} {f(1+2h)-f(1-h) } over { h}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

5. 쌍곡선 [eqn: x ^{2} - {y ^{2}} over {3} =1] 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,~3 RIGHT ) `]에서의 접선이 [eqn: y`]축과 만나는 점의 [eqn: y`]좌표는? [3점]

① [eqn: -1]	② [eqn: -{ 1} over {2 }]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

6. [eqn: 0 LEQ x<2 pi `]일 때, 방정식 [eqn: sinx+sin2x=0`]을 만족시키는 모든 근의 합은? [3점]

① [eqn: 2 pi]	② [eqn: {5} over {2} pi]	③ [eqn: 3 pi]	④ [eqn: {7} over {2} pi]	⑤ [eqn: 4pi]

7. 정팔면체 [eqn: rmABCDEF`]에서 두 모서리 [eqn: rmAC`]와 [eqn: rmDE`]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 할 때, [eqn: cos theta `]의 값은? [eqn: left(단,~0 LEQ theta LEQ {pi } over {2}`right)] [3점]

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

8. 어느 고등학교의 전체 학생은 남학생 [eqn: 230]명, 여학생 [eqn: 170]명이다. 이 학교의 모든 학생은 체험 활동으로 전통문화 체험과 수학 체험 중 반드시 하나만을 희망한다고 한다. 남학생 중 수학 체험을 희망한 학생은 [eqn: 100]명이고, 여학생 중 전통문화 체험을 희망한 학생은 [eqn: 90]명이다. 이 학교 학생 [eqn: 400]명 중에서 임의로 선택한 한 학생이 수학 체험을 희망하였을 때, 이 학생이 여학생일 확률은? [3점]

① [eqn: {2} over {9}]	② [eqn: { 5} over {18 }]	③ [eqn: {1} over {3}]	④ [eqn: {7} over {18}]	⑤ [eqn: {4} over {9}]

9. 연속함수 [eqn: f(x)`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 세 점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 0`], [eqn: 3`], [eqn: 4`]이다. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 두 부분 [eqn: A`], [eqn: B`]의 넓이가 각각 [eqn: 6`], [eqn: 2`]일 때, [eqn: int _{0} ^{2} {f(2x)dx}`]의 값은? [3점]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=f(x)`]

[eqn: A`]

[eqn: B]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

10. 그림과 같이 삼차함수 [eqn: y = f(x)`]의 그래프와 이차함수 [eqn: y =g(x)`]의 그래프는 세 점에서 만나고 그 교점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: -4,~2,~6`]이다. 부등식 [eqn: g(x) over f(x) geq 1`]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x`]의 개수는?

(단, [eqn: f `(-6)=f` (0)=f` (6)=0`]) [3점]

[eqn: y=f(x)`]

[eqn: y=g(x)`]

[eqn: x]

[eqn: y]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

11. 어느 과수원에서 수확한 사과의 무게는 평균 [eqn: 400`g], 표준편차

[eqn: z`]	[eqn: rm P`(0` LEQ `Z`` LEQ itz`)`]
[eqn: 0.64]	[eqn: 0.24]
[eqn: 0.84]	[eqn: 0.30]
[eqn: 1.00]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.28]	[eqn: 0.40]

[eqn: 50`g`]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 사과 중 무게가 [eqn: 442`g] 이상인 것을 [eqn: 1`]등급 상품으로 정한다. 이 과수원에서 수확한 사과 중 [eqn: 100`]개를 임의로 선택할 때, [eqn: 1`]등급 상품이 [eqn: 24`]개 이상일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

① [eqn: 0.10]	② [eqn: 0.16]	③ [eqn: 0.20]	④ [eqn: 0.26]	⑤ [eqn: 0.34]

12. 어느 도시의 인구가 [eqn: P _{0}`]명에서 [eqn: P`]명이 될 때까지 걸리는 시간 [eqn: T`](년)은 다음 식을 만족시킨다고 한다.

[eqn: T=C``log `{ P``(K- P_{`0})}over{ P_{`0}(K- P`)} `]

(단, [eqn: C``]는 상수, [eqn: K``]는 최대 인구 수용 능력이다.)

이 도시의 최대 인구 수용 능력이 [eqn: 30`]만 명이고, 인구가 [eqn: 6`]만 명에서 [eqn: 10`]만 명이 될 때까지 [eqn: 10`]년이 걸렸다고 한다. 인구가 처음으로 [eqn: 15`]만 명 이상이 되는 것은 인구가 [eqn: 6`]만 명일 때부터 몇 년 후인가? [3점]

① [eqn: 18`]년 후	② [eqn: 20`]년 후	③ [eqn: 22`]년 후

④ [eqn: 24`]년 후	⑤ [eqn: 26`]년 후

13. 그림과 같이 초점이 [eqn: RMF`]인 포물선 [eqn: y ^{`2} =12x] 위에

[eqn: ANGLE rm OFA= ANGLE rm AFB= {pi } over {3}`]인 두 점 [eqn: rm `A,``B`]가 있다. 삼각형 [eqn: rmAFB`]의 넓이는? (단, [eqn: rm O`]는 원점이고 두 점 [eqn: rm `A,``B`]는 제[eqn: 1`]사분면 위의 점이다.) [4점]

[eqn: y ^{`2} =12x]

[eqn: x]

[eqn: y]

① [eqn: 8root3]	② [eqn: 10root3]	③ [eqn: 12root3]	④ [eqn: 14root3]	⑤ [eqn: 16root3]

14. 수열 [eqn: left{a _{n} `right}]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a`_1 = `1], [eqn: a _{`n+1} =2`a _{`n} +n+1]

을 만족시킬 때, 다음은 수열 [eqn: left{a _{n} `right}`]의 일반항을 구하는 과정이다.

[eqn: n GEQ 1]일 때,

[eqn: a _{`n+1} =2`a _{`n} +n+1]             [eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: a _{`n+2} =2`a _{`n+1} +]        [eqn: cdots cdots] ㉡

(가)

이고, ㉡에서 ㉠을 뺀 식으로부터

[eqn: a _{`n+2} -`a _{`n+1} `=2(a _{`n+1} -`a _{`n} )+1]

을 얻는다. [eqn: b _{`n} = a _{`n+1} -`a _{`n}]이라 하면

[eqn: b _{`n+1} =2`b _{`n} +1`]

이므로

[eqn: b _{`n} =2^{`n+1} -1]

[eqn: a _{`n} =a _{`1} + sum _{k=1} ^{n-1} left( `2^{``k+1} -1` right) `] ([eqn: n GEQ 2])

[eqn: =`2^{`n+1}+]

(나)

이다.

위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f(n),~g(n)`]이라 할 때,

[eqn: f(5)-g(5) `]의 값은? [4점]

① [eqn: 14`]	② [eqn: 16`]	③ [eqn: 18`]	④ [eqn: 20`]	⑤ [eqn: 22`]

15. 두 함수 [eqn: f(x)`], [eqn: g(x)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(0)`]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [4점]

(가) [eqn: int _{{pi } over {2}}^{`x} {} f(t)dt= LEFT { `g(x)+a RIGHT } `sinx-2]

(나) [eqn: g(x)= int _{0} ^{ { pi} over {2 } } {} f(t)dt`cosx `+3`]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

16. 그림과 같이 지수함수 [eqn: y`=`a` ^{x}`]과 로그함수 [eqn: y=log` _{a} `x `]가 두 점 [eqn: rm P`], [eqn: RM Q`]에서 만날 때, 점 [eqn: rm P`]에서 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]라 하자.

점 [eqn: RM Q`]를 지나고 [eqn: x`]축과 평행한 직선이 직선 [eqn: rm AP`]와 만나는 점을 [eqn: rm D`],

점 [eqn: rm Q`]를 지나고 [eqn: y`]축과 평행한 직선이 직선 [eqn: rm BP]와 만나는 점을 [eqn: rm C`]라 할 때, 두 사각형 [eqn: rm OAPB `]와 [eqn: RM PCQD `]는 합동이다. [eqn: a`]의 값은? (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.) [4점]

[eqn: y=a^x]

[eqn: y=log`_a x]

[eqn: y]

[eqn: x]

① [eqn: root2]	② [eqn: root3]	③ [eqn: {sqrt {5 } } over {2 }]	④ [eqn: {sqrt {6 } } over {2 }]	⑤ [eqn: 2]

17. 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B``]가

[eqn: A ^{2} B+AB ^{`2} =E`]

를 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: (A+B`) ^{`-1}`]이 존재한다. ㄴ. [eqn: A+B=E``]이면 [eqn: A ^{3} =E``]이다. ㄷ. [eqn: A ^{2} B=BA ^{2}`]이면 [eqn: AB=BA`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

18. 평면 [eqn: alpha] 위에 거리가 [eqn: 4`]인 두 점 [eqn: RMA`], [eqn: RMC`]와 중심이 [eqn: RMC`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원이 있다. 점 [eqn: rm A`]에서 이 원에 그은 접선의 접점을 [eqn: rm B`]라 하자. 점 [eqn: rm B`]를 지나고 평면 [eqn: alpha`]와 수직인 직선 위에 [eqn: bar{rm BP it} =2`]가 되는 점을 [eqn: rmP`]라 할 때, 점 [eqn: rm C`]와 직선 [eqn: rm AP] 사이의 거리는?

[4점]

① [eqn: root6]	② [eqn: root7]	③ [eqn: 2root2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: root10]

19. 그림과 같이 함수 [eqn: f`(x`)`]의 도함수 [eqn: f` prime (x)`]의 그래프가 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이고 [eqn: x>0`]일 때 위로 볼록하다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f`'(x)]

함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른  것은? (단, [eqn: f` prime (-1)=f` prime (0)=f` prime (1)=0`]) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극값을 갖는다. ㄴ. [eqn: f(0)=0`]이면 함수 [eqn: f(x)`]의 극댓값과 극솟값의 합은 [eqn: 0`]이다. ㄷ. [eqn: f(1)<0`]이면 방정식 [eqn: f(x)=0`]은 오직 하나의 실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ	④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

20. 그림과 같이 길이가 [eqn: 2`]인 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원 위의 점 [eqn: rm C`]를 [eqn: arch {rmAC }= arch {rmBC }`]가 되도록 잡는다. 호 [eqn: rm BC] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]에 대하여 선분 [eqn: rm AP`]와 선분 [eqn: rm BC`]가 만나는 점을 [eqn: rm`Q`]라 하고, [eqn: angle rm PAB = theta`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm B P Q`]의 넓이를 [eqn: S`(theta)`]라 할 때,

[eqn: lim _{theta -> +0} {} {S`( theta )} over {theta ^{`2}}`]의 값은? [eqn: left(단,~0 < theta < {pi } over {4}`right)] [4점]

① [eqn: root2 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: root2]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

21. 그림과 같이 중심이 [eqn: (1,``0`)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: rm O_1`]이 있다. 원 [eqn: rm O_1`]이 직선 [eqn: y= 1over sqrt3 x `]와 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: rm A _{1}`]이라 하고 직선 [eqn: y= 1over sqrt3 x `]의 윗 쪽에 있는 호 [eqn: rm OA _{1}`]의 길이를 [eqn: l _{`1}]이라 하자.

중심이 [eqn: (`l_{`1}`,``0`)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: l _{`1} `]인 원 [eqn: rm O _{2``}`]를 그린다.   원 [eqn: rm O _{2`}`]가 직선 [eqn: y= 1over sqrt3 x `]와 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: rm A ` _{2}`]라 하고 직선 [eqn: y= 1over sqrt3 x `]의 윗 쪽에 있는 호 [eqn: rm OA _{`2}`]의 길이를 [eqn: l _{`2}`]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 호의 길이를 [eqn: l`_n `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `{1} over {l _{`n}} `]의 값은? [4점]

[eqn: y= { 1} over {sqrt { 3} }x]

[eqn: y]

[eqn: x]

① [eqn: 1 over { pi-3} `]	② [eqn: 2 over { pi-3} `]	③ [eqn: 1 over { 2 pi-3} `]

④ [eqn: 2 over { 2 pi-3} `]	⑤ [eqn: 3 over { 2 pi-3} `]

단답형

22. 수열 [eqn: LEFT { a` _{n} RIGHT }`]이 [eqn: a` _{1} =1`]이고, 공차가 [eqn: 3`]인 등차수열일 때,

[eqn: a`_1 + a`_3 + a`_5`]의 값을 구하시오. [3점]

23. 무리방정식 [eqn: sqrt {2x-3} =x-3`]의 실근을 구하시오. [3점]

24. 확률변수 [eqn: X`]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	계
[eqn: {RMP}(X=x)]	[eqn: a]	[eqn: 2a]	[eqn: 3a]	[eqn: 4a]	[eqn: 1]

확률변수 [eqn: 4X`+7`]의 평균 [eqn: rm E( it 4X+7)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

12

25. 일차변환 [eqn: f`]는 점 [eqn: rm (1,~0)`]을 점 [eqn: rm (1,~2)`]로 옮기고, [eqn: f`]의 역변환 [eqn: f ^{`-1}`]은 점 [eqn: rm (1,~0)`]을 점 [eqn: rm (0,~1)`]로 옮긴다. 일차변환 [eqn: f`]에 의하여 점 [eqn: rm (4,~3)`]이 옮겨진 점의 좌표가 [eqn: (a,~b)`]일 때, [eqn: 10a+b`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 두 포물선 [eqn: y ^{`2} =4x`]와 [eqn: y ^{`2} =8(x-2)``]로 둘러싸인 부분을 [eqn: x`]축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피가 [eqn: V``]일 때, [eqn: { V} over {pi } `]의 값을 구하시오.

[3점]

[eqn: y ^{`2} =4x`]

[eqn: y ^{`2} =8(x-2)``]

[eqn: x]

[eqn: y]

27. 그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} `=3], [eqn: rm bar{BC} =1`]이고 [eqn: ANGLE rm`ABC= {pi } over {2}`]인 직각삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원 위의 점 [eqn: rm P`]에서의 접선과 [eqn: rm AC`]의 연장선이 만나는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. [eqn: ANGLE rm PQA= {pi } over {4}`]이고 [eqn: ANGLE rm PAB= theta `]라 할 때, [eqn: 60`tan`2 theta `]의 값을 구하시오. [eqn: left(단,~0 < theta < {pi } over {6}`right)]

[4점]

28. 중심이 [eqn: rm`C`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3`]인 구와 구 위의 한 점 [eqn: rm`A`]가 있다. 구 밖의 한 점 [eqn: rm`B`]를 [eqn: bar{rm AB} =6`]이고 [eqn: bar{rm CB} =5`]가 되도록 잡는다. 점 [eqn: rm P`]가 이 구 위를 움직일 때, 두 벡터 [eqn: vec{rm BA}`,~vec{rm BP}`]의 내적 [eqn: vec{rm BA}`cdot vec{rm BP}`]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. [4점]

29. 크기가 같은 정육면체 모양의 블록 [eqn: 12`]개를　모두 사용하여 쌓은 입체도형을 만들려고 한다. 이 도형을 위에서 내려다 본 모양이 <그림[eqn: `][eqn: 1`]>, 정면을 기준으로 오른쪽 옆에서　본 모양이 <그림[eqn: 2`]>와 같이 되도록 만들 수 있는 방법의 수를 구하시오. (단, 블록은 서로 구별하지 않는다.) [4점]

<그림[eqn: 1`]>                   <그림[eqn: 2`]>

30. 그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체 [eqn: rm OABC-DEFG`]에서 [eqn: rm A(4,~0,~0)], [eqn: rm C(0,~4,~0)], [eqn: rm D(0,~0,~4)`]이다. 이 정육면체가 평면 [eqn: x`+`y`+`2z`=6`]에 의하여 잘린 단면의 넓이를 [eqn: S`]라 할 때, [eqn: S``^2`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: z]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.