Do your best ♥ Be the best ★★                                            수학연구소/數/理/院/

수학연구소 /數/理/院/

수능기출

년도	1994년 11월 23일
대상	고3 인문, 예체능 A형

1995학년도 수능《인문, 예체능계》

이차방정식 [eqn: 2x^2 -4x-1=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할

때, [eqn: alpha^3 +beta^3]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: 2x^2 -4x-1=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,``` beta]라 하면

[eqn: alpha + beta =2,``` alpha beta =- {1} over {2}]

[eqn: α^3 + β^3 `][eqn: =( alpha + beta ) ^{3} -3 alpha beta ( alpha + beta )][eqn: =2 ^{3} + {3} over {2} ·2][eqn: = 11]

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 3]	③　[eqn: 4]

④　[eqn: 8]	⑤　[eqn: 11]

지수방정식 [eqn: 3^x+2 =96]의 근을 [eqn: alpha]라 할 때, 다음 중

옳은 것은?

정답 ③

[eqn: 3^x+2 = 96]이고 [eqn: 3 ^{4} =81,```3 ^{5} =243]

[eqn: 81<96 <243]이므로 [eqn: 3 ^{4} <3 ^{alpha +2} <3 ^{5}] [eqn: RARROW ```4< alpha +2<5]

[eqn: THEREFORE ```2< alpha <3]

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 0＜alpha＜1]	②　[eqn: 1＜alpha＜2]	③　[eqn: 2＜alpha＜3]

④　[eqn: 3＜alpha＜4]	⑤　[eqn: 4＜alpha＜5]

이차 방정식 [eqn: A],[eqn: B]에 대하여

[eqn: A= {pmatrix{2&&-4#-1&&2}} ,```B= {pmatrix{1&&2#2&&4}}]일 때, 행렬 [eqn: 1 over 3 AB-BA]

는?

정답 ①

[eqn: A= {pmatrix{2&&-4#-1&&2}}], [eqn: B= {pmatrix{1&&2#2&&4}}]에서

[eqn: 1 over 3 AB - BA ``]

[eqn: = {1} over {3} {pmatrix{2&&-4#-1&&2}} {pmatrix{1&&2#2&&4}} - {pmatrix{1&&2#2&&4}} {pmatrix{2&&-4#-1&&2}}]

[eqn: = {1} over {3} {pmatrix{-6&&-12#3&&6}} - {pmatrix{0&&0#0&&0}} = {pmatrix{-2&&-4#1&&2}}]

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: {pmatrix{-2&&-4#1&&2}}]	②　[eqn: {pmatrix{-2&&8#2&&-4}}]	③　[eqn: {pmatrix{-4&&-8#2&&4}}]

④　[eqn: {pmatrix{-6&&-12#3&&6}}]	⑤　[eqn: {pmatrix{0&&0#0&&0}}]

정적분 [eqn: INT _{ 0}^{ 3} `|`x-1|`dx]의 값은?

정답 ④

[eqn: int_0 ^3 |x-1`| dx``][eqn: = int_0 ^1 (1-x`) dx`` + int_1 ^3 (x-1`) dx``]

[eqn: = left[ x- x^2 over 2 right]_0^1 + left[ x^2 over 2 - x right] _1 ^3][eqn: = 5 over 2]

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 3 over 2]	③　[eqn: 2]

④　[eqn: 5 over 2]	⑤　[eqn: 3]

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A,```B]에 대하여 [eqn: A⊂B]

일 때, 다음 중 항상 성립한다고 할 수 없는 것은?

정답 ③

[eqn: A SUBSET B]이면 [eqn: A CUP B=B,```A SMALLINTER B=A]

또, [eqn: A ^{c} SUPERSET B ^{c} ,```A-B= phi]

그런데 [eqn: (A∩B)^c = A^c ``]

[eqn: THEREFORE ```(A SMALLINTER B) ^{c} != B ^{c}]

(단, [eqn: U`≠∅])

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: A∪B=B]	②　[eqn: A∩B=A]	③　[eqn: (A∩B)^c =B^c]

④　[eqn: B^c ⊂A^c]	⑤　[eqn: A-B=phi]

[eqn: f``(x)=2x-1]이다. 함수 [eqn: g`(x)]는 모든 함수 [eqn: h`(x)]에

대하여 [eqn: (h`◦`g`◦`f``)(x)=h`(x)]를 만족시킨다.

[eqn: g`(3)]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: (h circ g circ f``)(x) = h``(x)] [eqn: RARROW ````h(g CIRC f``)(x))=h`(x)]

[eqn: f``(x)= 2x-1]에서

[eqn: h``(g``(2x-1)) = h``(x)] [eqn: RARROW ```g`(2x-1)=x]

[eqn: x=2]로 놓으면 [eqn: g``(3)=2]

(단, [eqn: f``(x)], [eqn: g`(x)], [eqn: h`(x)]는 실수 전체의 집합 [eqn: R]에서

[eqn: R]로의 함수이다.)

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: -2]	②　[eqn: -1]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: 1]	⑤　[eqn: 2]

아래 그림과 같이 반원 위에 [eqn: 7]개의 점이 있다.

이 중 세 점을 꼭지점으로 하는 삼각형의 개수는?

정답 ④

[eqn: {} _{7} C _{3} - _{4} C _{3}][eqn: = {7 TIMES 6 TIMES 5} over {3!} - {4 TIMES 3 TIMES 2} over {3!}][eqn: = 35 - 4 = 31]

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 34]	②　[eqn: 33]	③　[eqn: 32]

④　[eqn: 31]	⑤　[eqn: 30]

다음 식의 분모를 [eqn: 0]으로 만들지 않는 모든 실수

[eqn: x]에 대하여

[eqn: {1} over {(x-1)(x-2)` CDOTS `(x-10)}]

[eqn: = {a _{1}} over {x-1} + {a _{2}} over {x-2} +` CDOTS `+ {a _{10}} over {x-10}]

이 성립할 때, [eqn: a _{1} +a _{2} +` CDOTS `a _{10}]의 값은?

정답 ①

[eqn: {1} over {(x-1)(x-2) CDOTS (x-10)}]

[eqn: = {a _{1}} over {x-1} + {a _{2}} over {x-2} + CDOTS + {a _{10}} over {x-10}]

양변에 [eqn: (x-1)(x-2) CDOTS (x-10)]을 곱하면

[eqn: 1=a _{1} (x-2)(x-3) CDOTS (x-10)]

[eqn: +a _{2} (x-1)(x-3) CDOTS (x-10)+]

[eqn: CDOTS +a _{10} (x-1)(x-2) CDOTS (x-9)]

[eqn: 1=(a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{10} )x ^{9} + CDOTS]

이 식은 [eqn: x``]의 항등식이므로 [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{10} =0]

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 0]	②　[eqn: -1]	③　[eqn: 1]

④　[eqn: -10]	⑤　[eqn: 10]

[eqn: x]와 [eqn: y]는 [eqn: (x+y)(x-y)≠0]인 실수이고

[eqn: root {x+y over x-y} = - {root x+y} over {root x-y}]가 성립할 때, 점[eqn: (x,~y)]가 존재하

는 영역을 좌표평면 위에 검게 나타내면?

정답 ③

경계선 제외

[eqn: (x+y)(x-y``)!= 0]

[eqn: sqrt {x+y over x-y } = - sqrt x+y over sqrt x-y]에서

[eqn: x-y<0,```x+y>0]

[eqn: RARROW ```y>x,```y>-x]

(단, 점선은 제외)

[1점][1995학년도 수능]

①

②

③

④

⑤

[eqn: x=a]에서 함수 [eqn: f``(x)]의 미분계수는 [eqn: 2]이다.

미분가능한 함수 [eqn: g`(x)]에 대하여

[eqn: lim from { h -> 0 } {f``(a+2h)-f``(a)-g`(h)} over h =0]이 성립할 때,

[eqn: lim from { h ->0} {g`(h)} over h]의 값은?

정답 ①

[eqn: f``‘(a) =2]

[eqn: lim_h->0 {f``(a+2h) - f``(a) - g``(h)} over h]

[eqn: = lim_h->0 left{ {f``(a+2h) - f``(a) } over 2h ×2 - {g``(h)} over h right}]

[eqn: = 2f``'(a) - lim_ h->0 {g``(h)} over h][eqn: = 2×2 - lim_ h->0 {g``(h)} over h][eqn: =0]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{h -> 0} {} {g``(h)} over {h} =4]

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 4]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: -2]	⑤　[eqn: -4]

원점을 출발하여 수직선 위를 [eqn: 7]초 동안 움직이는

점 [eqn: rmP]의 [eqn: t]초 후의 속도 [eqn: v`(t)]가 다음 그림과 같을 때,

<보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ②

[eqn: v`(t`)=0]인 [eqn: t``]의 값은 [eqn: t=2,```4]이고 이 시각에

[eqn: v`(t`)]의 부호가 바뀌었으므로 운동방향이 바뀐 것이다.

또, [eqn: int _0 ^t v`(t) `dt `=0]이므로 [eqn: t =4]인 순간의 동점 [eqn: P ``]의

위치는 원점이다.

[1.5점][1995학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. 점 [eqn: rmP]는 출발하고 나서 [eqn: 1]초 동안 멈춘 적이 있었다. ㄴ. 점 [eqn: rmP]는 움직이는 동안 방향을 [eqn: 4]번 바꿨다. ㄷ. 점 [eqn: rmP]는 출발하고 나서 [eqn: 4]초 후 출발점에 있었다.

①　ㄱ	②　ㄷ	③　ㄱ, ㄴ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄴ, ㄷ

폐구간 [eqn: [0,```1]]에서 정의된 모든 확률밀도함수

[eqn: f``(x)]와 [eqn: g`(x)]에 대하여 다음 중 확률밀도함수인 것은?

정답 ④

[eqn: [0,```1]]에서 [eqn: f``(x)]와 [eqn: g``(x)]가 확률밀도함수이므로

[eqn: f``(x) >=0 ,~g``(x) >=0]이고[eqn: int_0 ^1 f``(x)`dx`` = int_0 ^1 g``(x)`dx`` =1]

① [eqn: int_0 ^1 left{ f``(x) - g``(x) right}`dx`` =0]

② [eqn: int_0 ^1 left{ f``(x) + g``(x) right}`dx`` =2]

③ [eqn: int_0 ^1 1 over 2 left{ f``(x) - g``(x) right}`dx`` =0]

④ [eqn: int_0 ^1 1 over 3 left{ 2f``(x) + g``(x) right}`dx`` ``]

[eqn: = 2 over 3 int_0 ^1 f``(x) `dx`` + 1 over 3 int_0 ^1 g``(x) `dx``][eqn: = 2 over 3 + 1 over 3 =1]<참>

⑤ [eqn: int_0 ^1 left{ 2f``(x) - g``(x) right}`dx`` =1]이지만

[eqn: 2 f``(x) - g``(x) <0]일 수도 있다.

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: f``(x)-g`(x)]	②　[eqn: f``(x)+g`(x)]

③　[eqn: {1} over {2} LEFT { f``(x)-g`(x) RIGHT }]	④　[eqn: {1} over {3} LEFT { 2`f``(x)-g`(x) RIGHT }]

⑤　[eqn: 2`f``(x)-g`(x)]

이차 정사각행렬 [eqn: A,```B]에 대하여

[eqn: A^2 +A=E,~AB=2E]가 성립할 때, [eqn: B^2]을 [eqn: A]와 [eqn: E]로

나타내면? (단, [eqn: E]는 이차 단위행렬)

정답 ③

[eqn: A^2 + A= E ``]에서 [eqn: A ^{2} B+AB=B]

[eqn: AB = 2E ``]이므로 [eqn: 2A+ 2E = B ``]

[eqn: B= 2(A+E `)]

[eqn: B ^{2} =4(A+E`) ^{2}][eqn: = 4 (A^2 + 2AE + E^2 `)]

[eqn: = 4(A^2 + A+ A+ E ``)][eqn: = 4(A+2E `)][eqn: = 4A+ 8E ``]

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 2A+4E]	②　[eqn: 2A-E]	③　[eqn: 4A+8E]

④　[eqn: 4A-2E]	⑤　[eqn: 8A-4E]

다음 순서도에 의하

여 인쇄되는 [eqn: m,```n,```k]의

값을 순서대로 적으면?

정답 ⑤

[eqn: (m,```n,```k)]를 순서대로 적으면

[eqn: (m,```n,```k)] [eqn: -> ```(17,```3,```0)``` -> ```(14,```3,```1)]

[eqn: -> ```(11,```3,```2)``` -> ```(8,```3,```3)``` -> ```(5,```3,```4)][eqn: -> ```(2,```3,```5)``` -> ```(-1,```3,```6)] [eqn: -> ```(2,```3,```5)]

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 0,````2,````5]

②　[eqn: 0,````2,````6]

③　[eqn: 0,````5,````3]

④　[eqn: 2,````3,````6]

⑤　[eqn: 2,````3,````5]

크기가 같은 정육면체 모양

의 [eqn: 18]개의 투명한 유리 상자로

오른쪽 그림과 같이 직육면체를

만들었다. 이 중에서 적당히 몇 개

의 유리 상자를 빼내고 같은 크기

의 검은 색 상자로 바꾸어 넣었다.

이 직육면체의 위에서 직사각형

[eqn: rmABCD]를 내려다보았을 때의

모양을 (가), 이 직육면체를 정사각형 [eqn: rmBEFC]의 정면에

서 보았을 때의 모양을 (나)라 하면 (가)와 (나)는

아래와 같다.

(가)

(나)

이 직육면체를 직사각형 [eqn: rmCFGD]의 정면에서 보았을 때

의 모양은?

정답 ④

나머지 부분이 유리상자이므로 검은 상자가 있는 부분

은 검은 부분(그림)이 수직과 수평으로 겹친 부분이다.

입체를 조건에 맞게 그려보면 다음과 같다.

[1.5점][1995학년도 수능]

①

②

③

④

⑤

표본공간 [eqn: S]의 부분집합으로 [eqn: rmP`it(A)≠0,~rmP`it(B)≠0]

인 임의의 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여, 다음 <보기> 중

옳은 것을 모두 고르면?

정답 ②

Ⅰ) <거짓> [eqn: P`(A|B`) = {P`(A∩B`)} over {P`(B`)},]

[eqn: P`(B|A`) = {P`(A∩B`)} over {P`(A`)}]이므로

일반적으로 [eqn: P`(A|B`)) != P(B|A`)]

Ⅱ) <참> [eqn: A,```B]가 배반사건이면 [eqn: P`(A∩B`) <= 0]이므로

[eqn: P`(A∪B`) = P`(A) + P`(B) - P`(A∩B`)]에서

[eqn: P`(A)+ P`(B)<=1]

Ⅲ) <거짓> [eqn: P`(A∪B`) = P`(A) + P`(B) - P`(A∩B`)]에서

[eqn: P`(A∩B`)!=0]인 경우 [eqn: P`(A)+ P`(B)!=1]이므로

[eqn: B``]는 [eqn: A``]의 여사건이라 할 수 없다.

[1.5점][1995학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: A], [eqn: B]가 독립사건이며, 조건부확률 [eqn: rmP`it(A`|`B)]와 [eqn: rmP`it(B`|`A)]는 같다. ㄴ. [eqn: A], [eqn: B]가 배반사건이며, [eqn: rmP`it(A) + rmP`it(B)≦1]이다. ㄷ. [eqn: rmP`it(A∪B)=1]이면, [eqn: B]는 [eqn: A]의 여사건이다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄱ, ㄷ

④　ㄴ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 회사원의 연간 소득은 [eqn: Y]원이다. 이 소득의

[eqn: a]%에 대해서는 세금이 부과되지 않고, 그 나머지 소득

에 대해서만 [eqn: b]%의 세금이 부과된다. 이 사람은 세금을

납부하고 난 후의 소득 중 [eqn: C]원을 소비하고 나머지는

모두 저축한다. 이 사람의 연간 저축액 [eqn: S]원은?

정답 ⑤

비과세 소득은 [eqn: Y`× a over 100]원이고

나머지 금액[eqn: Y`left( 1- a over 100 right)]에 대한 [eqn: b`%]의 세금을 납부하

고 남은 금액은 [eqn: Y`left( 1- a over 100 right)left( 1- b over 100 right)]원이다.

[eqn: THEREFORE ```S=Y` TIMES {a} over {100} +Y` LEFT ( 1- {a} over {100} RIGHT ) LEFT ( 1- {b} over {100} RIGHT ) -C`]

[eqn: = left( 1+ a over 100 ․ b over 100 - b over 100 right)`Y - C``]

[1점][1995학년도 수능]

①　[eqn: S= LEFT( 1 - a over 100 - b over 100 RIGHT) Y-C]

②　[eqn: S= LEFT( 1 - a over 100 - b over 100 RIGHT) Y+C]

③　[eqn: S= LEFT( 1 - a over 100 ․ b over 100 + b over 100 RIGHT) Y-C]

④　[eqn: S= LEFT( 1 + a over 100 ․ b over 100 - b over 100 RIGHT) Y+C]

⑤　[eqn: S= LEFT( 1 + a over 100 ․ b over 100 - b over 100 RIGHT) Y-C]

아래 그림은 함수 [eqn: y=f``(x)]의 그래프이다.

[eqn: x]에 관한 방정식 [eqn: f``(f``(x+2))=4]의 서로 다른 실근의

개수와 합을 순서대로 적으면?

정답 ①

[eqn: f``(f``(x+2) )=4]에서 [eqn: f``(x+2) = t``]라 하면

[eqn: f``(t)=4]인 [eqn: t``]의 값의 집합은 [eqn: LEFT { 6,```11,```15,```17 RIGHT }]

[eqn: f``(x)<=6]이므로 [eqn: f``(x+2)=6]

[eqn: x+2 =8] 또는 [eqn: 16]   [eqn: THEREFORE ```x=6,```14]

[eqn: THEREFORE ```2]개, [eqn: 6+14 = 20]

(단, [eqn: x＜2] 또는 [eqn: x＞19]일 때 [eqn: f``(x)＜0]이다.)

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 2,````20]	②　[eqn: 2,````22]	③　[eqn: 3,````30]

④　[eqn: 4,````42]	⑤　[eqn: 4,````50]

자연수 [eqn: n]을

[eqn: n=2^p ․k] ([eqn: p]는 음이 아닌 정수, [eqn: k]는 홀수)

로 나타냈을 때, [eqn: f``(n)=p]라 하자. 예를 들면,

[eqn: f``(12)=2]이다. 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르

면?

정답 ④

[eqn: n= 2^p ․ k ``]에서

Ⅰ) [eqn: n``]이 홀수이면 [eqn: k``]가 홀수이므로 [eqn: 2^p `]이 홀수

[eqn: THEREFORE ```p=0]   즉, [eqn: f``(n)=0]

Ⅱ) [eqn: f``(8) = f``(2^3 ․1 ) =3]

[eqn: f``(24)= f`(2^3 ․ 3) =3]	[eqn: THEREFORE ```f`(8)=f`(24)]

Ⅲ) [eqn: f``(n)=3]에서 [eqn: n= 2^3 ․k ``]

홀수인 [eqn: k``]는 무한하므로 [eqn: n``]은 무한히 존재한다.

[1점][1995학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: n]이 홀수이면, [eqn: f``(n)=0]이다. ㄴ. [eqn: f``(8)＜f``(24)]이다. ㄷ. [eqn: f``(n)=3]인 자연수 [eqn: n]은 무한히 많다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄱ, ㄴ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄴ, ㄷ

집합 [eqn: U= LEFT { 1,```2,```3,``` CDOTS ,```100 RIGHT }]이다. 다음 [eqn: U]의 부분

집합 [eqn: A] 중 아래 조건 (가)와 (나)를 만족시키며 원소

의 개수가 가장 적은 것은?

정답 ②

Ⅰ)에 의하여 [eqn: 3inA`]이고

Ⅱ)에 의하여 집합 [eqn: A``]가 덧셈에 관하여 닫혀 있으므로

[eqn: 3+3=6 inA `,] [eqn: 3+6=9 IN A], [eqn: CDOTS]

따라서, 집합 [eqn: A``]는 [eqn: 3]의 배수의 집합이다.

[1점][1995학년도 수능]

(가) [eqn: 3 IN A]

(나) [eqn: m,```n IN A]이고 [eqn: m+n IN U]이면, [eqn: m+n IN A]

이다.

①　[eqn: A= LEFT { 3,```9,```15,```21,``` CDOTS ,```99 RIGHT }]

②　[eqn: A= LEFT { 3,```6,```9,```12,``` CDOTS ,```99 RIGHT }]

③　[eqn: A= LEFT { 3,```4,```5,```6,``` CDOTS ,```100 RIGHT }]

④　[eqn: A= LEFT { 1,```3,```5,```7,``` CDOTS ,```99 RIGHT }]

⑤　[eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4,``` CDOTS ,```100 RIGHT }]

아래 그림과 같은 사다리꼴 [eqn: rmABCD]가 있다.

[eqn: rm overline AB = overline AD =1,~ overline BC =2], [eqn: rmANGLE A]와 [eqn: rm ANGLE B]의 크기는 [eqn: pi over 2]이다.

윗변 [eqn: rmAD]에 임의의 점 [eqn: rmP]를 잡아 [eqn: rm overline PB =itx], [eqn: rm overline PC it=y]라 할

때, 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ②

[eqn: △PBC``]에서 [eqn: ANGLE BPC= theta]라 하면 [eqn: △PBC``]의 넓이는

[eqn: 1 over 2 × 2×1 =1]이고, [eqn: 1= {1} over {2} x`y``sin theta ``` CDOTS CDOTS ```①]

한편, 점 [eqn: P``]가 [eqn: A``]에 있을 때, [eqn: sin theta = {2} over {sqrt {5}}]

점 [eqn: P ``]가 [eqn: D``]에 있을 때 [eqn: ∠ BPC = pi over 2]이므로 [eqn: sin theta =1]

[eqn: THEREFORE ``` {2} over {sqrt {5}} <= sin theta <= 1``` CDOTS CDOTS ```②]

①에서 [eqn: sin theta = {2} over {xy}]이므로 [eqn: 2 over sqrt 5 <= 2 over xy <=1]

[eqn: THEREFORE ```2 <= xy <= sqrt {5}]  <Ⅰ, Ⅱ 참>

한편, [eqn: xy =2]일 때는 ①에서 [eqn: sin theta =1]

[eqn: THEREFORE ``` theta = {pi } over {2}]

[eqn: ∴ `△BCP``]는 직각삼각형이다.<Ⅲ 참>

[1.5점][1995학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: xy GEQ 2]이다. ㄴ. [eqn: xy=2]이면, [eqn: rm TRIANGLE BCP]는 직각삼각형이다. ㄷ. [eqn: xy LEQ sqrt {5}]이다.

①　ㄱ	②　ㄷ	③　ㄱ, ㄷ

④　ㄴ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 삼각형의 변의 길이와 각의 코사인 사이

의 관계인 제이코사인법칙을 [eqn: rm TRIANGLE ABC]에서 [eqn: rm ANGLE A]가 둔각

인 경우에 대하여 증명한 것이다.

	[ 증 명 ]
오른쪽 그림과 같이 세 변의 길이가 [eqn: a,```b,```c] 인 [eqn: rm TRIANGLE ABC]를 좌표평면 의 원점에 꼭지점 [eqn: rmA]가 놓이도록 하자. 꼭지점 [eqn: rmC]의 좌표를 [eqn: (x,~y)]라 하면, [eqn: x= BOX{~~㈎~~}], [eqn: y= BOX{~~㈏~~}]이므로, 피타고라스의 정리에 의하여 다음이 성립한다. [eqn: a ^{2} = LEFT ( BOX{~~㈐~~} RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =b ^{2} +c ^{2} -2bc`cosA]

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대

로 적으면?

정답 ④

[eqn: C``]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: H``]라 하면

[eqn: x = -b`` cos(pi - A `)][eqn: = [b`` cosA `]]

[eqn: y = b `` sin (pi - A `)][eqn: = [b `` sin A ``]]

[eqn: △CHB]에서

[eqn: a`^2 = barBC` `^2][eqn: = barCH``^2 + barBH ``^2][eqn: = (`barHA` + barAB ``)^2 + barCH``^2]

[eqn: = (-b ``cosA + c^2 ``) + y^2 ``][eqn: = [``(c-x)^2 ``] + y`^2 ``]

[1점][1995학년도 수능]

(가)	(나)	(다)

①　[eqn: b`cos`A],	[eqn: b`sin`A],	[eqn: c+x]

②　[eqn: b`cos`A],	[eqn: b`sin`A],	[eqn: c-x]

③　[eqn: b`cos`A],	[eqn: -b`sin`A],	[eqn: c+x]

④　[eqn: -b`cos`A],	[eqn: -b`sin`A],	[eqn: c-x]

⑤　[eqn: -b`cos`A],	[eqn: -b`sin`A],	[eqn: c+x]

세 개의 실근을 갖는 삼차방정식

[eqn: x^3 +ax^2 +bx+c=0]의 세 근을 [eqn: alpha,~beta,~gamma]라 하자.

다음은 세 근의 절대값 중 적어도 하나는 [eqn: {|`a`|} over 3]보다

크거나 같음을 증명한 것이다.

	[ 증 명 ]
결론을 부정하여 [eqn: BOX{~~㈎~~}] 라 가정하면, [eqn: |`alpha`| ＜ {|`a`|} over 3], [eqn: |`beta`| ＜ {|`a`|} over 3], [eqn: |`gamma`| ＜ {|`a`|} over 3]이다. 근과 계수와의 관계에서 [eqn: a= BOX{~~㈏~~}]이므로 [eqn: |`a`| LEQ |` alpha + beta `|+|` gamma `| LEQ BOX{~~㈐~~}] [eqn: PREC {|`a`|} over {3} + {|`a`|} over {3} + {|`a`|} over {3} =|`a`|]이다. 그런데 이것은 모순이므로, 절대값이 [eqn: {|`a`|} over 3]보다 크거나 같은 근이 적어도 하나 존재한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대

로 적으면?

정답 ①

결론 ｢세 근의 절대값 중 적어도 하나는 [eqn: {|a`|} over 3]보다

크거나 같다.｣를 부정하면

㈎는 ｢모든 근의 절대값이 [eqn: {|a`|} over 3]보다 작다.｣이다.

또, 근과 계수의 관계에서 [eqn: alpha + beta + gamma =-a``]이므로

㈏는 [eqn: [~-( alpha + beta + gamma )~]]이다.

[eqn: |a`|=| alpha + beta + gamma |][eqn: <= | alpha + beta |+| gamma |]

[eqn: <= | alpha |+| beta |+| gamma |][eqn: < {|a`|} over {3} + {|a`|} over {3} + {|a`|} over {3}][eqn: =|a`|]에서

㈐는 [eqn: [~| alpha |+| beta |+| gamma |~]]이다.

[1점][1995학년도 수능]

①　어떤 근의 절대값이 [eqn: {|`a`|} over 3]보다 작다고,

[eqn: -( alpha + beta + gamma ),~~~|` alpha `|+|` beta `|+|` gamma `|]

②　어떤 근의 절대값이 [eqn: {|`a`|} over 3]보다 작거나 같다고,

[eqn: alpha + beta + gamma ,~~~|` alpha `|+|` beta `|+|` gamma `|]

③　모든 근의 절대값이 [eqn: {|`a`|} over 3]보다 작다고,

[eqn: alpha + beta + gamma ,~~~|` alpha `+` beta `+` gamma `|]

④　모든 근의 절대값이 [eqn: {|`a`|} over 3]보다 작다고,

[eqn: -( alpha + beta + gamma ),~~~|` alpha `|+|` beta `|+|` gamma `|]

⑤　모든 근의 절대값이 [eqn: {|`a`|} over 3]보다 작거나 같다고,

[eqn: alpha + beta + gamma ,~~~|` alpha `+` beta `+` gamma `|]

다음은 조화평균에 관한 어떤 수학적 사실을

증명한 것이다.

	[ 증 명 ]
양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: H]에 대하여, 적당한 실수 [eqn: r]가 존재하 여 [eqn: a= H + a over r], [eqn: H=b+ {b} over {r} ``` CDOTS CDOTS ```(A)]가 성립한다 고 하자. 그러면 [eqn: a≠b]이고 [eqn: {a-H} over {a} = BOX{~~㈎~~} ``` CDOTS CDOTS ```(B)]이므로 [eqn: H= BOX{~~㈏~~}]이다. 역으로, [eqn: a≠b]인 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: H= BOX{~~㈏~~}]이면, 식 [eqn: (B)]가 성립하고 [eqn: a-H over a ≠0]이다. [eqn: (B)]에서 [eqn: a-H over a = 1 over r]이라 놓으면 식 [eqn: (A)]가 성립한다. 따라서 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: H]에 대하여 적당한 실수 [eqn: r]가 존재하여 식 [eqn: (A)]가 성립하기 위한 [eqn: BOX{~~㈐~~}] 조건은 [eqn: a≠b]이고 [eqn: H= BOX{~~㈏~~}]이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대

로 적으면?

정답 ③

[eqn: a=H+ {a} over {r} ,```H=b+ {b} over {r}]

[eqn: a- H = a over r]이므로 [eqn: a-H over a = 1 over r]

[eqn: H-b = b over r ``] [eqn: RARROW ``` {1} over {r} = {H-b} over {b}]

[eqn: THEREFORE ``` {a-H} over {a} = {H-b} over {b} ``` CDOTS CDOTS ```㈎]

[eqn: ab - bH = aH - ab ``] [eqn: Rarrow`` (a+b)H = 2ab ``]

[eqn: H= {2ab} over {a+b} ``` CDOTS CDOTS ```㈏]

㈐ 필요충분조건

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: H-b over b], [eqn: 2ab over a+b], 필요충분	②　[eqn: H-b over b], [eqn: ab over a+b], 필요충분

③　[eqn: H-b over b], [eqn: 2ab over a+b], 충분	④　[eqn: b-H over b], [eqn: 2ab over a+b], 필요

⑤　[eqn: b-H over b], [eqn: ab over a+b], 충분

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여, 다항식 [eqn: f_n (x)]는 다음

두 성질 (가)와 (나)를 갖는다.

(가) [eqn: f_1 (x)=x^2]

(나) [eqn: f_n+1 (x) = f_n (x) + f_n ' (x)]

[eqn: f_25 (x)]의 상수항은?

정답 ⑤

[eqn: f``_1 (x) = x^2]에서 [eqn: f``‘ _1 (x) = 2x``]

[eqn: f`` _ n+1 (x) = f``_n (x) + f``' _n (x) ``]에서

[eqn: f`` _ 2 (x) = f``_1 (x) + f``' _1 (x) `` = x^2 + 2x``]

즉, [eqn: f``_n (x)]는 [eqn: x^2 ``]인 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: 2]차식이므로

[eqn: f``_n (x) = x^2 + a_n `x + b_n ``]으로 놓을 수 있다.

[eqn: f``_n+1 (x) = x^2 + a_n+1 `x + b_n+1 ``]로 놓으면

[eqn: f``_n+1 (x) - f``_n (x) = f``' _n (x)]에서

[eqn: x^2 + a_n+1 `x + b_n+1 - (x^2 + a_n `x + b_n `)][eqn: = 2x + a_n ``]

[eqn: (a_n+1 - a_n `) `x + b_n+1 - b_n = 2x + a_n ``]

[eqn: THEREFORE ```a _{n+1} -a _{n} =2,```b _{n+1} -b _{n} =a _{n}]

[eqn: a_n+1 - a_n =2]에서 [eqn: a_n = a_1 + 2(n-1)]

[eqn: a_1 =0]이므로[eqn: a_n = 2(n-1)]

[eqn: b_n+1 - b_n = 2(n-1)]에서[eqn: b_n = b_1 + sum_k=1 ^ n-1 2 (k-1)]

[eqn: THEREFORE ```b _{25} =b _{1} + sum _{k=1} ^{24} 2(k-1)][eqn: =0 + 2 left( 24․25 over 2 right)- 2․24][eqn: = 552]

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 548]	②　[eqn: 550]	③　[eqn: 552]

④　[eqn: 554]	⑤　[eqn: 556]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rmO(0,```0)], [eqn: rmA(2,```0)]과 직선

[eqn: y=2] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP(itt,```2)]가 있다. 선분 [eqn: rmAP]와

직선 [eqn: y= 1 over 2 x]가 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자.

[eqn: rm TRIANGLE QOA]의 넓이가 [eqn: rm TRIANGLE POA]의 넓이의 [eqn: 1 over 3]일 때 [eqn: t]의 값을

[eqn: t_1], [eqn: 1 over 2]일 때 [eqn: t]의 값을 [eqn: t_2], [eqn: CDOTS],

[eqn: n over n+2]일 때 [eqn: t]의 값을 [eqn: t_n]이라 하면 [eqn: lim from { n -> inf } t_n]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: {△QOA``} over {△POA``}][eqn: = {barAQ } over bar{AP }][eqn: = n over n+2]으로 놓으면

점 [eqn: Q``]는 [eqn: barAP `]를 [eqn: n```:```2]로 내분한 점이므로

[eqn: Q LEFT ( {t`n+4} over {n+2} ,``` {2n} over {n+2} RIGHT )]

[eqn: n``` -> ``` INF]일 때, [eqn: Q``` -> ```(t,```2)]이고

이 때, 두 점 [eqn: P,```Q]는 모두 [eqn: (4,```2)]로 수렴한다.

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n -> INF } {} t _{n} =4]

[2점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 0]	②　[eqn: 1]	③　[eqn: 2]

④　[eqn: 3]	⑤　[eqn: 4]

함수 [eqn: f``(x)=log_9 (5-x)+log_3 (x+4)]의 최대값은?

정답 ④

[eqn: f``(x) = log_9 (5-x) + log _3 (x+4 )]

[eqn: = 1 over 2 log_3 (5-x) + log_3 (x+4 )]

[eqn: = 1 over 2 left{ log_3 (5-x`) + 2 ` log_3 (x+4 `) right}]

[eqn: = 1 over 2 log_3 (5-x)(x+4)^2]

진수 조건에서 [eqn: 5-x>0,```x+4>0] [eqn: RARROW ```-4<x<5`]

[eqn: g``(x) = (5-x)(x+4)^2 `]이라 놓으면

[eqn: g``'(x) = -(x+4)^2 + (5-x)․ 2 (x+4)][eqn: = -3 (x-2)(x-4)]

[eqn: -4 <`x `<5]에서 [eqn: g``'(x) =0]인 [eqn: x``]의 값은 [eqn: x=2]

증감을 조사하면 [eqn: g``(x)]는 [eqn: x=2]에서 극대이면서

최대이고, 최대값은 [eqn: g``(2) = 3․ 6^2 ``][eqn: = 108]

[eqn: f``(x)]의 최대값은

[eqn: {1} over {2} `log _{3} 108][eqn: = {1} over {2} `log _{3} (3 ^{3} ․2 ^{2} `)][eqn: = 1 over 2 (3+ 2 ` log _3 `2 `)]

[eqn: = 3 over 2 + log_3 `2]

[1.5점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 7 over 2]	②　[eqn: 4]	③　[eqn: 2 over 5 + log_3 4]

④　[eqn: 3 over 2 + log_3 2]	⑤　[eqn: 4+log_3 6]

아래 그림과 같이 반직선 [eqn: rmOA] 위에 [eqn: rm A _{1} ,~A _{2} ,~ CDOTS]

와 반직선 [eqn: rmOB] 위에 [eqn: rm B _{1} ,~B _{2} ,~ CDOTS]를

[eqn: rm bar{OA _{1}} = bar{A _{1} B _{1}} = bar{B _{1} A _{2}} = CDOTS]이 되도록 정한다.

이런 방법으로 하면 네 개의 이등변삼각형

[eqn: rm △OA _{1} B _{1} ,~△A _{1} B _{1} A _{2} ,~△B _{1} A _{2} B _{2} ,~△A _{2} B _{2} A _{3}]을 만들

수 있고, 다섯 번째 이등변삼각형은 만들 수 없다.

[eqn: rm ANGLE AOB]의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: theta]의 범위는?

정답 ③

그림과 같이 각을 정할 수 있다.

[eqn: 5]번째 이등변삼각형을 만들 수 없으므로

[eqn: 5 theta >= {pi } over {2}]	[eqn: THEREFORE ``` theta >= {pi } over {10}]

또, [eqn: pi -8 theta >0]이므로 [eqn: theta < {pi } over {8}]

[eqn: THEREFORE ``` {pi } over {10} <= theta < {pi } over {8}]

[2점][1995학년도 수능]

①　[eqn: pi over 4 ≦ theta ＜ pi over 2]	②　[eqn: pi over 7 ≦ theta ＜ pi over 5]

③　[eqn: pi over 10 ≦ theta ＜ pi over 8]	④　[eqn: pi over 14 ≦ theta ＜ pi over 12]

⑤　[eqn: pi over 17 ≦ theta ＜ pi over 15]

어떤 산업에서 노동의 투입량을 [eqn: x], 자본의 투입

량을 [eqn: y]라 할 때, 그 산업의 생산량 [eqn: z]는 다음과 같다.

[eqn: z= 2x^alpha y^1-alpha] ([eqn: alpha]는 [eqn: 0＜alpha＜1]인 상수)

자료에 의하면 [eqn: 1993]년도의 노동 및 자본의 투입량은

[eqn: 1980]년도보다 각각 [eqn: 4]배와 [eqn: 2]배이고, [eqn: 1993]년도 산업생

산량은 [eqn: 1980]년도 산업생산량의 [eqn: 2.5]배이다. 이 사실로

부터 상수 [eqn: alpha]의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하

면? (단, [eqn: log_10 `2=0.30])

정답 ②

[eqn: 1980]년도의 노동, 자본, 생산량을 각각 [eqn: x,```y,```z]라고

하면 [eqn: z=2x ^{alpha } `y ^{1- alpha }]이고

[eqn: 1993]년도의 노동, 자본, 생산량은 각각

[eqn: 4x,```2y,```2․5z]이므로

[eqn: 2․5z=2(4x) ^{alpha } (2y) ^{1- alpha } ``][eqn: =4 ^{alpha } ․2 ^{1- alpha } ․(2x ^{alpha } y ^{1- alpha } `)]

[eqn: z=2x ^{alpha } y ^{1- alpha } ``]이므로 [eqn: 2․5=4 ^{alpha } ․2 ^{1- alpha } `]

[eqn: {5} over {2} =2 ^{1+ alpha } ``] [eqn: RARROW ```5=2 ^{2+ alpha }] [eqn: RARROW ```log5=(2+ alpha )log2]

[eqn: alpha +2= {log5} over {log2} ``]에서

[eqn: alpha = {log5} over {log2} -2][eqn: = {1-log2 } over log2 -2][eqn: = {1-0.30} over 0.30 -2][eqn: = 1 over 3][eqn: ≒0.33]

[2점][1995학년도 수능]

①　[eqn: 0.50]	②　[eqn: 0.33]	③　[eqn: 0.25]

④　[eqn: 0.20]	⑤　[eqn: 0.10]

완전 자동화된 선반 제작 공장에서 두 종류의

선반 ‘갑’과 ‘을’을 생산한다. 이들 선반의 생산을 위하

여 두 종류의 기계 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 사용된다. 기계의 관리상

기계 [eqn: rmA]는 하루에 총 [eqn: 18]시간, 기계 [eqn: rmB]는 하루에 총 [eqn: 20]

시간을 초과하여 가동하지 못한다. 또한 선반 ‘갑’을

[eqn: 1]대 생산하려면 기계 [eqn: rmA]를 [eqn: 3]시간, 기계 [eqn: rmB]를 [eqn: 5]시간

사용해야 하고, 선반 ‘을’을 [eqn: 1]대 생산하려면 기계 [eqn: rmA]를

[eqn: 6]시간, 기계 [eqn: rmB]를 [eqn: 5]시간 사용해야 한다.

선반의 대당 판매 가격은 ‘갑’이 [eqn: 200]만원, ‘을’이 [eqn: 300]만

원이다. 생산된 선반은 즉시 팔린다고 할 때, 하루 동안

의 최대 매출액은?

정답 ②

선반 갑을 [eqn: x``]대, 선반 을을 [eqn: y``]대 생산한다고 하면,

[eqn: 3x+6y <= 18 ,5x+5y<=20]

즉, [eqn: x+2y <= 6,```x+y <= 4``` CDOTS CDOTS ```①]의 범위에서

[eqn: 200(만원)×x + 300(만원) ×y ``]

즉, [eqn: (2x+3y )×100 (만원)]의 최대값을 구하면 된다.

①의 범위에서 좌표평면에 도시하면

[eqn: x >= 0,```y >= 0]이므로 아래와 같다.

①식의 교점의 좌표는 [eqn: x=2,```y=2] 즉, [eqn: (2,```2)]

그러므로 [eqn: 2x+3y]의 최대값은 [eqn: x=y=2]일 때,

즉, [eqn: 4+6=10]일 때이다.

최대 매출액은 [eqn: 10 ×100(만원)= 1000(만원)]

[2점][1995학년도 수능]

	선반 ‘갑’	선반 ‘을’	기계의 가동 제한시간
기계 [eqn: rmA]	[eqn: 3]시간	[eqn: 6]시간	[eqn: 18]시간
기계 [eqn: rmB]	[eqn: 5]시간	[eqn: 5]시간	[eqn: 20]시간
선반의 판매가격	[eqn: 200]만원	[eqn: 300]만원

①　[eqn: 900]만원	②　[eqn: 1000]만원	③　[eqn: 1100]만원

④　[eqn: 1200]만원	⑤　[eqn: 1300]만원

정답과 해설