• 수학 영역 [나형] •

정 답

1	③	2	③	3	②	4	④	5	①
6	⑤	7	③	8	④	9	②	10	②
11	②	12	①	13	③	14	④	15	①
16	①	17	⑤	18	①	19	⑤	20	②
21	④	22	[eqn: 7]	23	[eqn: 2]	24	[eqn: 9]	25	[eqn: 16]
26	[eqn: 10]	27	[eqn: 56]	28	[eqn: 180]	29	[eqn: 65]	30	[eqn: 73]

해 설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 6 TIMES 2 ^{-1} =6 TIMES {1} over {2} =3`]

2. [출제의도] 교집합 이해하기

[eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 2,``3 RIGHT } `]이므로 [eqn: 2+3=5`]이다.

3. [출제의도] 등차수열 이해하기

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: d=a _{3} -a _{2} =5-2=3`]이므로
[eqn: a _{4} =a _{3} +d=5+3=8`]이다.

4. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `1} {{LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )} over {x-1}} = lim _{x` -> `1} {LEFT ( x+3 RIGHT ) =4}]

5. [출제의도] 수열의 극한 추론하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{6n-1} over {n}} LEQ lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {n} LEQ lim _{n` -> ` INF } {{6n+1} over {n}}} `]이고
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{6n-1} over {n}} =6], [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{6n+1} over {n}} =6`]이므로
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {n}} =6`]이다.

6. [출제의도] 역함수 계산하기

[eqn: f ^{`-1} LEFT ( 3 RIGHT ) =a`]라 하면 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =3`]이므로

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =2a-1=3`]에서 [eqn: a=2`]이다.

따라서 [eqn: f ^{`-1} LEFT ( 3 RIGHT ) =2`]이다.

7. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

주어진 그래프로부터 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1`], [eqn: lim _{x` -> `0-} {f LEFT ( x RIGHT ) =`-1} `]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) + lim _{x` -> `0-} {f LEFT ( x RIGHT ) =1+ LEFT ( -1 RIGHT ) =0} `]이다.

8. [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기

[eqn: bar{rmAB}= sqrt {2 TIMES {5} over {2} +4} =3`]이다.
그러므로 삼각형 [eqn: rm AOB]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES {5} over {2} TIMES 3= {15} over {4}`]이다.

9. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기

[eqn: n=5`]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} =2 ^{6} -2]

[eqn: n=4`]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{4} a _{k} =2 ^{5} -2`]

[eqn: a _{5} = sum _{k=1} ^{5} a _{k} - sum _{k=1} ^{4} a _{k} = LEFT ( 2 ^{6} -2 RIGHT ) - LEFT ( 2 ^{5} -2 RIGHT ) =32]

10. [출제의도] 충분조건 이해하기

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 하자.

조건 [eqn: p`:`x ^{2} -7x+10<0`]에서 [eqn: (x-2)(x-5)<0`]이므로

[eqn: P= LEFT { x``□`2<x<5` RIGHT } `]이다.

조건 [eqn: q`]에서 [eqn: Q= LEFT { x``□```x>a RIGHT } `]이므로

[eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되려면 [eqn: P SUBSET Q`]이어야 한다.

[eqn: a`]

[eqn: 2`]

[eqn: 5`]

[eqn: P]

[eqn: Q]

[eqn: x]

따라서 [eqn: a LEQ 2`]이므로 자연수 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 2]이다.

11. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `1} {LEFT ( x-1 RIGHT ) =0} `]이므로 [eqn: lim _{x` -> `1} {LEFT ( sqrt {x+a} -2 RIGHT ) =0} `]이어야 한다.
따라서 [eqn: a=3`]이다.

[eqn: lim _{x` -> `1} {} {sqrt {x+3} -2} over {x-1} = lim _{x` -> `1} {{x-1} over {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+3} +2 RIGHT )}} `]

[eqn: = lim _{x` -> `1} {{1} over {sqrt {x+3} +2}} = {1} over {4} `]

따라서 [eqn: b= {1} over {4} `]이다. 그러므로

[eqn: a+4b=3+4 TIMES {1} over {4} =4`]이다.

12. [출제의도] 함수의 연속 문제 해결하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x != 1`]인 모든 실수에서 연속이고, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) `]가 실수 전체에서 연속이 되기 위해서는 [eqn: x=1`]에서 연속이면 된다.

[eqn: lim _{x` -> `1} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `1} {LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( 2x+k RIGHT ) =0} `]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT ) =1 TIMES LEFT ( 2+k RIGHT )]

[eqn: lim _{x` -> `1} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} =f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT ) `]이므로 [eqn: 2+k=0`]이다.

따라서 [eqn: k=`-2`]이다.

13. [출제의도] 급수 이해하기

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: a _{n} =n ^{2} -1`]이다. 따라서

[eqn: sum _{n=2} ^{INF } ` {2} over {a _{n}} = lim _{n` -> ` INF } {sum _{k=2} ^{n}} {2} over {a _{k}} `]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {sum _{k=2} ^{n}} {2} over {LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k+1 RIGHT )} `]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {sum _{k=2} ^{n} LEFT ( {1} over {k-1} - {1} over {k+1} RIGHT )} `]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT { LEFT ( {1} over {1} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {5} RIGHT ) +` RIGHT .}]

[eqn: LEFT. CDOTS `+ LEFT ( {1} over {n-2} - {1} over {n} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {n-1} - {1} over {n+1} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT { {1} over {1} + {1} over {2} - {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT }}]

[eqn: = {3} over {2} `]

이다.

14. [출제의도] 역함수 문제 해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 역함수가 존재하려면 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 일대일대응이 되어야 하므로 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 아래 그림과 같은 형태가 되어야 한다.

[eqn: rmO]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

[eqn: 2]

[eqn: 6]

[eqn: x]

즉, 곡선 [eqn: y=a LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} `+b`]가 점 [eqn: LEFT ( 2,``6 RIGHT )`]을 지나야 하므로 [eqn: b=6`]이다.

또, [eqn: x GEQ 2`]일 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 기울기가 음수인 직선이므로 [eqn: x<2`]일 때, 곡선 [eqn: y=a LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} `+b`]의 모양은 아래로 볼록해야 한다. 즉, [eqn: a>0`]이다. 따라서 정수 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 1]이므로 [eqn: a+b`]의 최솟값은 [eqn: 7]이다.

15. [출제의도] 함수의 합성 이해하기

[eqn: LEFT ( h` CIRC f RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT ) =h LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) =h LEFT ( 2 RIGHT ) `]이다.

한편, [eqn: f` CIRC h=g`]이므로 [eqn: LEFT ( f` CIRC h RIGHT ) LEFT ( 2 RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT )`]이다.

즉, [eqn: f` LEFT ( h LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) =3`]이다. 이때 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =3`]이므로 [eqn: h LEFT ( 2 RIGHT ) =1`]이다.

따라서 [eqn: LEFT ( h` CIRC f RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT ) =1`]이다.

16. [출제의도] 함수의 극한 문제 해결하기

[eqn: rm A], [eqn: rm B]를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y-4= {{4} over {t} -4} over {t-1} LEFT ( x-1 RIGHT )`]에서 [eqn: y=`- {4} over {t} LEFT ( x-1 RIGHT ) +4`]이다.

[eqn: 0=`- {4} over {t} LEFT ( x-1 RIGHT ) +4`]에서 [eqn: x=t+1`]이므로 [eqn: rm P it LEFT ( t+1,`0 RIGHT ) `]이다.

그러므로 삼각형 [eqn: rm OPB]의 넓이는

[eqn: S LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} TIMES LEFT ( t+1 RIGHT ) TIMES {4} over {t}`]이고

[eqn: lim _{t` -> ` INF } {S LEFT ( t RIGHT )} = lim _{t` -> ` INF } {{2 LEFT ( t+1 RIGHT )} over {t}} =2`]이다.

17. [출제의도] 절대부등식 문제 해결하기

[eqn: rm A it LEFT ( a,`0 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( 0,`b RIGHT ) `]라 하고 [eqn: a`], [eqn: b`]의 값을 구하기 위해 직선의 식에 각각 대입하면

[eqn: 0=ma+2m+3`]에서 [eqn: a= {-2m-3} over {m} = {-3} over {m} -2<0]

[eqn: b=m TIMES 0+2m+3`]에서 [eqn: b=2m+3>0]

따라서 삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( {3} over {m} +2 RIGHT ) TIMES LEFT ( 2m+3 RIGHT ) = {1} over {2} TIMES LEFT ( 6+ {9} over {m} +4m+6 RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( 4m+ {9} over {m} +12 RIGHT )]

[eqn: GEQ {1} over {2} LEFT ( 2 sqrt {4m TIMES {9} over {m}} +12 RIGHT )]

[eqn: =6+6=12]

(단, 등호는 [eqn: 4m= {9} over {m}], 즉 [eqn: m= {3} over {2}`]일 때 성립한다.)

따라서 삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이의 최솟값은 [eqn: 12]이다.

18. [출제의도] 수학적 귀납법 증명하기

(i) [eqn: n=3`]일 때, [eqn: a _{3} =4= {8} over {LEFT ( 3-1 RIGHT ) LEFT ( 3-2 RIGHT )}]이므로

성립한다.

(ii) [eqn: n=k][eqn: LEFT ( k` GEQ `3 RIGHT )`]일 때, 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{k} = {8} over {LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-2 RIGHT )}]

이다.

[eqn: k LEFT ( k-2 RIGHT ) a _{k+1} & = sum _{i=1} ^{k} a _{i} & =a _{k} + sum _{i=1} ^{k-1} a _{i}]

[eqn: =a _{k} + LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-3 RIGHT ) a _{k}]

[eqn: =a _{k} TIMES {BOX{```` LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} ````}}]

[eqn: = {8} over {LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-2 RIGHT )} TIMES {BOX{```` LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} ````}}]

[eqn: = {{BOX{````8 LEFT ( k-2 RIGHT ) ```}}} over {k-1}]

이다. 그러므로

[eqn: a _{k+1} = {1} over {k LEFT ( k-2 RIGHT )} TIMES {{BOX{```8` LEFT ( k-2 RIGHT ) ````}}} over {k-1} = {8} over {{BOX{```k` LEFT ( k-1 RIGHT ) ````}} ^{} ^{} ^{}}]

이다. 따라서 [eqn: n=k+1`]일 때 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 [eqn: n GEQ 3`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n} = {8} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT )}`]이다.

위 과정에서

[eqn: f LEFT ( k RIGHT ) = LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2}], [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =8 LEFT ( k-2 RIGHT )], [eqn: h LEFT ( k RIGHT ) =k LEFT ( k-1 RIGHT )]

이므로 [eqn: {f LEFT ( 13 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 14 RIGHT )} over {h LEFT ( 12 RIGHT )} = {11 ^{2} TIMES 8 TIMES 12} over {11 TIMES 12} =88`]이다.

19. [출제의도] 로그 추론하기

ㄱ. [eqn: n=1`]일 때 [eqn: 2 ^{a} =10`]에서

로그의 정의에 의해 [eqn: a=log _{2} 10`]이므로

[eqn: a-1=log _{2} 10-log _{2} 2=log _{2} {10} over {2} =log _{2} 5`]이다.  (참)

ㄴ. [eqn: n=2`]일 때 [eqn: 2 ^{a} =10 ^{2} `]에서

로그의 정의에 의해 [eqn: a=log _{2} 10 ^{2} `]이다.

[eqn: a-2=log _{2} 10 ^{2} -log _{2} 2 ^{2} =log _{2} {10 ^{2}} over {2 ^{2}} =log _{2} 5 ^{2} =2log _{2} 5`]

[eqn: 5 ^{b} =10 ^{2} `]에서 [eqn: b=log _{5} 10 ^{2} `]이다.

[eqn: b-2=log _{5} 10 ^{2} -log _{5} 5 ^{2} =log _{5} {10 ^{2}} over {5 ^{2}} =log _{5} 2 ^{2} =2log _{5} 2`]

따라서 [eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( b-2 RIGHT ) =2log _{2} 5 TIMES 2log _{5} 2=4`]이다.  (참)

ㄷ. ㄴ과 마찬가지 방법으로 계산하면

[eqn: a=log _{2} 10 ^{n} `]에서 [eqn: a-n=log _{2} 10 ^{n} -log _{2} 2 ^{n} =n`log _{2} 5`]

[eqn: b=log _{5} 10 ^{n} `]에서 [eqn: b-n=log _{5} 10 ^{n} -log _{5} 5 ^{n} =n`log _{5} 2`]

[eqn: LEFT ( a-n RIGHT ) LEFT ( b-n RIGHT ) =n`log _{2} 5 TIMES n`log _{5} 2=n ^{2} ` {log5} over {log2} TIMES {log2} over {log5} =n ^{2} `]

이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{20} {LEFT ( a-n RIGHT ) LEFT ( b-n RIGHT )} over {n} = sum _{n=1} ^{20} {n ^{2}} over {n} = sum _{n=1} ^{20} n=210`]이다.  (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

20. [출제의도] 수열 문제 해결하기

조건 (가)에 의해 [eqn: a _{n} =`-36+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d != 0`]이므로
[eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) d != 36`]이다. [eqn: d`]는 자연수이므로, [eqn: d`]는 [eqn: 36]의 양의 약수가 아니다. 또한 조건 (나)에 의해

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} = {m LEFT { -72+ LEFT ( m-1 RIGHT ) d RIGHT }} over {2} =0`]에서 [eqn: -72+ LEFT ( m-1 RIGHT ) d=0`]이므로 [eqn: LEFT ( m-1 RIGHT ) d=72`]이다. 따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} =0`]인 [eqn: m`]이 존재하기 위해서 [eqn: d`]가 [eqn: 72]의 양의 약수이어야 한다.

그러므로 [eqn: d`]는 [eqn: 36]의 양의 약수가 아닌 [eqn: 72]의 양의 약수이므로 모든 [eqn: d`]의 값의 합은 [eqn: 8+24+72=104`]이다.

21. [출제의도] 수열 문제 해결하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {LEFT ( k+1 RIGHT ) x+3k+6} over {3 LEFT ( x+1 RIGHT )}][eqn: = {LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) +2k+5} over {3 LEFT ( x+1 RIGHT )}]
[eqn: = {2k+5} over {3 LEFT ( x+1 RIGHT )} + {k+1} over {3} `]이므로

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -1]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: {k+1} over {3}]

[eqn: k+2]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역은

[eqn: LEFT { `y` LEFT | ` {k+1} over {3} <y<k+2` RIGHT } RIGHT .]

이다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수는 [eqn: 4n`]이므로 [eqn: {k+1} over {3} `]보다 크고 [eqn: k+2`]보다 작은 정수의 개수가 [eqn: 4n`]이면 된다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y= {k+1} over {3}]

[eqn: k+2]

[eqn: k+2-4n]

[eqn: k+2-1]

[eqn: k+2-2]

[eqn: VDOTS]

위의 그림에서

[eqn: LEFT ( k+2-4n RIGHT ) -1 LEQ {k+1} over {3} <k+2-4n]

이므로

[eqn: 6n- {5} over {2} <k LEQ 6n-1]

이고, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수가 [eqn: 4n`]이 되도록 하는 자연수 [eqn: k`]는 [eqn: 6n-1], [eqn: 6n-2`]이다.

그러므로 모든 자연수 [eqn: k`]의 값의 합은
[eqn: LEFT ( 6n-1 RIGHT ) + LEFT ( 6n-2 RIGHT ) =12n-3`]이므로 [eqn: a _{n} =12n-3`]이다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( 12n-3 RIGHT ) =630`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {LEFT ( k+1 RIGHT ) x+3k+6} over {3 LEFT ( x+1 RIGHT )}][eqn: = {LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) +2k+5} over {3 LEFT ( x+1 RIGHT )}][eqn: = {2k+5} over {3 LEFT ( x+1 RIGHT )} + {k+1} over {3} `]이므로

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -1]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: {k+1} over {3}]

[eqn: k+2]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역은

[eqn: LEFT { `y` LEFT | ` {k+1} over {3} <y<k+2` RIGHT } RIGHT .]

이다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수는 [eqn: 4n`]이므로 [eqn: {k+1} over {3} `]보다 크고 [eqn: k+2`]보다 작은 정수의 개수가 [eqn: 4n`]이면 된다.

(ⅰ) [eqn: k=3m-1]([eqn: m`]은 자연수)

[eqn: {k+1} over {3} `]보다 큰 가장 작은 정수는 [eqn: {k+1} over {3} +1= {k+4} over {3} `]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수는

[eqn: k+2- LEFT ( {k+4} over {3} RIGHT ) =4n]

이다. [eqn: {3k+6-k-4} over {3} =4n`]에서 [eqn: {2k+2} over {3} =4n`]이므로
[eqn: k=6n-1`]이다.

그러므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수가 [eqn: 4n`]이 되도록 하는 자연수 [eqn: k`]는 [eqn: 6n-1`]이다.

(ⅱ) [eqn: k=3m-2]([eqn: m`]은 자연수)

[eqn: {k+1} over {3}`]보다 큰 가장 작은 정수는 [eqn: {k+1} over {3} + {1} over {3} = {k+2} over {3} `]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수는

[eqn: k+2- LEFT ( {k+2} over {3} RIGHT ) =4n]

이다. [eqn: {3k+6-k-2} over {3} =4n`]에서 [eqn: {2k+4} over {3} =4n`]이므로
[eqn: k=6n-2`]이다.

그러므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수가 [eqn: 4n`]이 되도록 하는 자연수 [eqn: k`]는 [eqn: 6n-2`]이다.

(ⅲ) [eqn: k=3m]([eqn: m`]은 자연수)

[eqn: {k+1} over {3}`]보다 큰 가장 작은 정수는 [eqn: {k+1} over {3} + {2} over {3} = {k+3} over {3} `]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수는

[eqn: k+2- LEFT ( {k+3} over {3} RIGHT ) =4n]

이다. [eqn: {3k+6-k-3} over {3} =4n`]에서 [eqn: {2k+3} over {3} =4n`]이므로
[eqn: k= {12n-3} over {2} =6n- {3} over {2} `]이다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수가 [eqn: 4n`]이 되도록 하는 자연수 [eqn: k`]는 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 치역의 원소 중 정수의 개수가 [eqn: 4n`]이 되도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: 12n-3`]이므로 [eqn: a _{n} =12n-3`]이다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( 12n-3 RIGHT ) =630`]이다.

22. [출제의도] 수열의 극한 계산하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{7n+1} over {n}} = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 7+ {1} over {n} RIGHT ) =7}]

23. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{2} 3+log _{2} {4} over {3} =log _{2} LEFT ( 3 TIMES {4} over {3} RIGHT ) =log _{2} 4=2]

24. [출제의도] 등비수열의 극한 계산하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3 ^{n+2} -2 ^{n+1}} over {3 ^{n} +2 ^{n}}} = lim _{n` -> ` INF } {{3 ^{2} -2 TIMES LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n}} over {1+ LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n}} =9}]

25. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (`a _{n} -5)`]가 수렴하므로 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} (`a _{n} -5)=0`]이다. 따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} =5`]이므로 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} (3`a _{n} +1)=16`]이다.

26. [출제의도] 함수의 연속 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 [eqn: x=2`]에서 연속이기만 하면 된다. 따라서[eqn: lim _{x` -> `2} {} f(x)=f LEFT ( 2 RIGHT )`]이므로 [eqn: lim _{x`-> `2} {{x ^{2} +ax-10} over {x-2}} =b`]이다.

[eqn: lim _{x` -> `2} {LEFT ( x-2 RIGHT )} =0`]이므로 [eqn: lim _{x` -> `2} {LEFT ( x ^{2} +ax-10 RIGHT )} =0`]이고,
[eqn: a=3`]이다. 그러므로

[eqn: lim _{x` -> `2} {{x ^{2} +3x-10} over {x-2}} = lim _{x` -> `2} {{LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+5 RIGHT )} over {x-2} = lim _{x` -> `2} {LEFT ( x+5 RIGHT ) =}} 7=b]

이다. 따라서 [eqn: a+b=10`]이다.

27. [출제의도] 집합의 연산 문제 해결하기

지역 [eqn: rm][eqn: rm A]를 방문한 학생의 집합을 [eqn: A], 지역 [eqn: rm][eqn: rm B]를 방문한 학생의 집합을 [eqn: B`]라 하자.

지역 [eqn: rmA]와 지역 [eqn: rmB]를 모두 방문한 학생의 수 [eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) `]를 [eqn: x`]라 하고 각 영역에 속하는 원소의 개수를 벤다이어그램에 나타내면 아래 그림과 같다.

[eqn: B`]

[eqn: A`]

[eqn: U]

[eqn: 17-x]

[eqn: 15-x]

[eqn: x]

[eqn: x-2]

각 영역에 속하는 원소의 개수는 [eqn: 0`]이상의 정수이므로 [eqn: x GEQ 0`], [eqn: x-2 GEQ 0], [eqn: 15-x GEQ 0], [eqn: 17-x GEQ 0`]이다.

따라서 [eqn: 2 LEQ x LEQ 15`]이다.

한편 [eqn: n( LEFT ( A-B` RIGHT ) CUP LEFT ( B-A RIGHT ) )=32-2x`]이고

[eqn: 2 LEQ 32-2x LEQ 28]

이므로 [eqn: M=28], [eqn: m=2`]이고 [eqn: M`m`=56`]이다.

28. [출제의도] 로그 문제 해결하기

[eqn: log _{2} {n} over {6} =k`]([eqn: k`]는 자연수)라 하면 [eqn: {n} over {6} =2 ^{k} `], [eqn: n=3times2 ^{k+1} `]이다. [eqn: n`]이 [eqn: 100]이하인 자연수이므로 가능한 [eqn: k`]는
[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이다.

그러므로 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합은

[eqn: 3 LEFT ( 2 ^{2} +2 ^{3} +2 ^{4} +2 ^{5} RIGHT ) =180]

이다.

29. [출제의도] 등비급수를 이용하여 도형 문제 추론하기

[eqn: rmA _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm D _{1}]

[eqn: rm E _{1}]

[eqn: rm F _{1}]

[eqn: rm I]

[eqn: rm G _{1}]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm D _{2}]

[eqn: rm E _{2}]

[eqn: rm F _{2}]

[eqn: rm H _{1}]

점 [eqn: rm G _{1}]에서 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}], [eqn: rm C _{1} F _{1}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm I], [eqn: rmO]라 하자. [eqn: {bar{rm A _{1} B _{1} it}} ``:`` {bar{rm C _{1} F _{1} it}} = {bar{rm G _{1} I it}} ``:`` {bar{rm G _{1} O it}}]이고 [eqn: {bar{rm A _{1} B _{1} it}} =4], [eqn: {bar{rm C _{1} F _{1} it}}=8]이므로 [eqn: {bar{rm G _{1} O it}} =2` {bar{rm G _{1} I it}}]이다. 삼각형[eqn: rm OA _{1} B _{1}]이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형이므로 [eqn: {bar{rm IO it}} = {sqrt {3}} over {2} TIMES 4=2 sqrt {3} `]이고, [eqn: {bar{rm G _{1} O it}} =2 sqrt {3} ` TIMES {2} over {3} = {4 sqrt {3}} over {3} `]이다. 따라서 마름모 [eqn: rm F _{1} G _{1} C _{1} H _{1}]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times {bar{rm G _{1} H _{1} it}} TIMES {bar{rm C _{1} F _{1} it}} = {1} over {2} TIMES LEFT ( {4 sqrt {3}} over {3} TIMES 2 RIGHT ) TIMES 8= {32} over {3} sqrt {3}]

이다. 한편,
사각형 [eqn: rm A it rm _{1} rm B it _{1} rm O it rm F it _{1}]은 마름모이고 점 [eqn: rm A it _{2}]는 선분 [eqn: rm B it rm _{1} rm F it rm _{1}]의 중점이므로 점 [eqn: rm A it _{2}]는 선분 [eqn: rm OA it rm _{1}]의 중점이다. 마찬가지로 점 [eqn: rm B it rm _{2}]는 선분 [eqn: rm OB it rm _{1}]의 중점이다. 따라서 [eqn: {bar{rm A it _{1} it rm B it _{1}}} ``:`` {bar{rm A it _{2} it rm B it _{2}}} `=2``:``1`]이므로 [eqn: {bar{rm A it rm _{2} it rm B it rm _{2} it}} =2`]이다.

그러므로 정육각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} E _{2} F _{2}]는 한 변의 길이가 [eqn: 2`]이므로 넓이는 [eqn: {sqrt {3}} over {4} TIMES 2 ^{2} TIMES 6=6 sqrt {3}]이다.

따라서 [eqn: R _{`1} `]에서 색칠되어 있는 부분의 넓이 [eqn: S _{`1} `]은 다음과 같다.

[eqn: S _{`1} =](마름모 [eqn: rm F _{1} G _{1} C _{1} H _{1} `]의 넓이)
- (정육각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2} E _{2} F _{2}]의 넓이)

[eqn: = {14} over {3} sqrt {3}]

[eqn: rm F _{itn}]

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rm B _{itn}]

[eqn: rm C _{itn}]

[eqn: rm D _{itn}]

[eqn: rm E _{itn}]

[eqn: rm C _{itn+1}]

[eqn: rm D _{itn+1}]

[eqn: rm A _{it n+1 rm}]

[eqn: rm B _{itn+1}]

[eqn: rm E _{it n+1 rm}]

[eqn: rm F _{it n+1 rm}]

[eqn: rm O]

그림 [eqn: R _{`n} `]을 얻은 과정에서 새로 색칠한 도형의 넓이를 [eqn: a_n `]이라 하자. 그림 [eqn: R _{`n} `]에서 직선 [eqn: rm A it rm _{n} rm A it rm _{n+1}]과 직선 [eqn: {rm B} it rm _{n} {rm B} it rm _{n+1}]은 점 [eqn: rmO]에서 만난다. 점 [eqn: { rmA} _{n+1}]은 선분 [eqn: rmOA it rm _{n}]의 중점이므로 [eqn: {bar{{rm A} _{n} it {rmB} _{n}}} ``:`` {bar{{rm A} _{n+1} it {rmB} _{n+1}}} `=2``:``1`]이다. 따라서   [eqn: a _{n} ``:``a _{n+1} ``=2 ^{2} ``:``1`]이므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 공비 [eqn: r= {1} over {4} `]이다. 그러므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{`n} = sum _{n=1} ^{inf} a _{n} = {S _{`1}} over {1-r} = {{14} over {3} sqrt {3}} over {1- {1} over {4}} = {56} over {9} sqrt {3}}]

이다.

따라서 [eqn: p=9], [eqn: q=56`]이므로 [eqn: p+q`=65`]이다.

30. [출제의도] 함수의 연속 문제 해결하기

조건 (나)에 의해 [eqn: n- {1} over {2} LEQ x<n+ {1} over {2} `]일 때,

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: {n} over {2} `]만큼 평행이동한 것이다.

또한 조건 (다)에 의해 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는
[eqn: y`]축에 대하여 대칭이다.

따라서 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프는 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | `]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -t`]만큼 평행이동한 것이다.

실수 [eqn: t`]가 변함에 따라 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프의 교점의 개수는 다음과 같다.

① [eqn: t<0`]일 때

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프

가 만나는 점의 개수는 [eqn: 0]이므로 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =0`]이다.

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

② [eqn: t=0`]일 때

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프

가 만나는 점의 개수는 [eqn: 3`]이므로 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =3`]이다.

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

③ [eqn: 0<t< {1} over {16} `]일 때

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프

가 만나는 점의 개수는 [eqn: 6]이므로 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =6`]이다.

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: x]

④ [eqn: t= {1} over {16} `]일 때

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프가 접하는 가장 작은 [eqn: t`]의 값은 방정식 [eqn: x ^{2} + {1} over {2} x=x-t`]가 중근을 가질 때의 [eqn: t`]의 값이다. 따라서 [eqn: t= {1} over {16} `]이다. 이때 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의

그래프가 만나는 점의 개수는 [eqn: 4]이므로 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =4`]이다.

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

⑤ [eqn: {1} over {16} <t< {1} over {2} `]일 때

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프

가 만나는 점의 개수는 [eqn: 2]이므로 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =2`]이다.

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

⑥ [eqn: t= {1} over {2} `]일 때

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 함수 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t`]의 그래프

가 만나는 점의 개수는 [eqn: 4]이므로 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =4`]이다.

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

따라서 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]가 [eqn: t=0], [eqn: {1} over {16}]에서 불연속이므로

[eqn: alpha _{1} =0], [eqn: alpha _{2} = {1} over {16}]

이다. 이때 [eqn: x GEQ 0`]에서 [eqn: y= LEFT | x RIGHT | -t]의 방정식은 각각

[eqn: y=x], [eqn: y=x`- {1} over {16}]

이고, [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: {n} over {2} `]만큼 평행이동하면 방정식은 각각 다음과 같다.

[eqn: y= LEFT ( x-n RIGHT ) + {n} over {2} =x`- {1} over {2} n`],

[eqn: y= LEFT ( x-n RIGHT ) `- {1} over {16} + {n} over {2} =x`- LEFT ( {1} over {16} + {1} over {2} n RIGHT )]

그러므로 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) `]가 [eqn: t= alpha `]에서 불연속인 [eqn: alpha `]의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 다음과 같다.

[eqn: 0,`` {1} over {16} ,`` {1} over {2} ,`` LEFT ( {1} over {16} + {1} over {2} RIGHT ) ,``` LEFT ( {1} over {2} + {1} over {2} RIGHT ) ,` CDOTS `]

따라서 [eqn: alpha _{2n} = {1} over {16} + {1} over {2} LEFT ( n-1 RIGHT )]

이므로 [eqn: 16 alpha _{20} =16 LEFT ( {1} over {16} + {1} over {2} TIMES 9 RIGHT ) =73`]이다.

[참고]

함수 [eqn: y=h LEFT ( t RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: rmO]

[eqn: t]

[eqn: y]

[eqn: {1} over {16}]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: {1} over {2} + {1} over {16}]

[eqn: 1]

[eqn: 1+ {1} over {16}]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 6]

[eqn: cdots]

[eqn: y=h LEFT ( t RIGHT )]