•2교시 수리 영역•

1	⑤	2	①	3	④	4	⑤	5	①	6	②	7	②	8	①
9	③	10	④	11	④	12	③	13	②	14	②	15	①	16	③
17	⑤	18	④	19	⑤	20	③	21	④	22	7	23	18	24	4
25	10	26	6	27	15	28	5	29	3	30	34

1. [출제의도] 집합의 연산법칙 이해하기

[eqn: A cup B = A`]이므로 [eqn: B`` subset A]이다. [eqn: therefore][eqn: A cup B^C` =`U`]                □ ⑤

2. [출제의도] 무리식의 뜻을 알고 계산하기

[eqn: 1 - 1 over {1- 1 over x }= 1- 1 over {{ x-1}over x} =1- x over x-1 = - 1 over x-1]

[eqn: x=root2]를 대입하면

(준식)[eqn: = - 1 over {root2 -1 } = - {(root2 + 1 )~ } over {(root2 -1 ) ( root2 + 1) } = -1 - root2]             □ ①

3. [출제의도] 명제의 역 이해하기

[eqn: p```->``q`]가 참이라 하여 [eqn: q```->``p`]가 반드시 참인 것은 아니다.        □ ④

4. [출제의도] 복소수의 기본 성질 이해하기

[eqn: z^2]이 음의 실수이려면, [eqn: z`]는 순허수이어야 한다.

따라서 [eqn: z=(x-3) + (x-2) i]에서 [eqn: x-3=0`] [eqn: therefore x = 3]       □ ⑤

5. [출제의도] 필요조건과 충분조건 이해하기

[eqn: P-Q = phi], [eqn: P`` cup` Q = U] 이고 [eqn: P not = Q`]이므로 [eqn: P`` subset `Q`], [eqn: Q = U`]이다.

[eqn: U=Q`]

[eqn: P`]

ㄱ. [eqn: p```->``q`] (참)

ㄴ. [eqn: ～p```->``q`] (참)

ㄷ. [eqn: q```->``p`] (거짓)

ㄹ. [eqn: q```->``～p`](거짓)                                          □ ①

6. [출제의도] 다항식의 덧셈과 뺄셈 계산하기

처음 나무토막의 부피는 [eqn: a^2 ` (a-2)]이고, 잘라낸 정육면체의 부피는 [eqn: (a-2)^3`]이므로 남은 입체의 부피는

[eqn: a^2 ` (a-2)-(a-2)^3 = a^3 -2a^2 -(a^3 -6a^2 +12a -8 )][eqn: =4a^2 -12a +8]                                         □ ②

7. [출제의도] 실수의 성질 이해하기

(가) [eqn: <`]    (나) [eqn: =`]                                        □ ②

8. [출제의도] 항등식 이해하기

[eqn: {a-3x} over {x+b} = p]라 놓으면, [eqn: px +bp = -3x + a ```cdots cdots cdots]㉠

㉠은 [eqn: x`]에 대한 항등식이므로 [eqn: p=-3`], [eqn: bp=a`]이다.

[eqn: therefore `b=- 1 over 3 a]의 그래프는 ①번이다.                            □ ①

9. [출제의도] 집합의 포함관계를 이해하기

집합 [eqn: A`]의 원소는 자연수이므로 [eqn: A`]의 원소는 [eqn: 81`]의 약수인 [eqn: 1,``3,``9,][eqn: 27,``81`]들로 이루어져야 한다. 따라서 [eqn: a `in` A`]일 때, [eqn: 81 over a in A]이므로 만들 수 있는 집합[eqn: A`]는 [eqn: left{ 9 right}], [eqn: left{ 1,`` 81 right}], [eqn: left{ 3,`` 27 right}], [eqn: left{ 1,``9,``81 right}], [eqn: left{ 3,``9,``27 right}], [eqn: left{ 1,``3,``27,``81 right}], [eqn: left{ 1,``3,``9,`` 27,``81 right}]이다.

[eqn: therefore]7개                                                     □ ③

10. [출제의도] 평균의 뜻을 이해하기

도수의 합은 20이므로 [eqn: 3 +2+3+ a +3+2+b `=20],

[eqn: a + b =7 cdots cdots ㉠]

(평균)=

[eqn: {0cdot 3 + 1 cdot 2 + 2 cdot 3 + 3 cdot a + 4 cdot 3+5 cdot2+6cdotb+7cdot0} over 20 =3]

이 식을 정리하면, [eqn: a + 2b=10 cdots cdots cdots ㉡]

[eqn: ㉠,```㉡]을 연립하여 풀면, [eqn: a=4`], [eqn: b=3]

[eqn: therefore a-b=1`]                                                □ ④

11. [출제의도] 최대공약수의 뜻을 이해하기

두 다항식 [eqn: rm A,```B`]의 최대공약수를 [eqn: rm G]라 하고,  [eqn: rm A= it p rm G], [eqn: rm B = it q rm G`]([eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소)라 하면 [eqn: rm A-B = it (p-q) rm G`]이다. 이 때,

[eqn: x^3 +ax^2 + bx+1 cdots cdots cdots]㉠

[eqn: x^3 +bx^2 + ax+1 cdots cdots cdots]㉡라 할 때,

[eqn: ㉠-㉡]하면

[eqn: (a-b)` x^2 + (b-a) `x][eqn: =(a-b)`x`(x-`1)cdots cdots cdots]㉢

㉢에서

ⅰ) [eqn: a=b`]이면 ㉠, ㉡의 최대공약수는 삼차다항식이 되므로 모순이다.

ⅱ) [eqn: x`]는 ㉠, ㉡의 약수가 될 수 없으므로 공약수가 될 수 없다.

따라서ⅰ), ⅱ)에 의해서 최대공약수는 [eqn: x-1`]뿐이다.

인수정리에 의해 ㉠에서 [eqn: x=1`]을 대입하면 [eqn: a+b+2=0]이므로 이 식을 만족하는 순서쌍은 [eqn: (1,`-3)`]이다.                            □ ④

12. [출제의도] 점과 직선 사이의 거리 구하기

(가) [eqn: {y`의~증가량} over { x`의~ 증가량 } = {y_2 -y_1 } over { x_2 - x_1}]

(나) 점[eqn: (x_1, ~y_1 )]에서  직선 [eqn: ax+by+c=0`] 사이의 거리 [eqn: d`]는

[eqn: d= { `LEFT | ax_1 +by_1 +c` RIGHT | } over {root {{a^2 +b^2 }```} }]임을 이용하면

[eqn: root{(x_2 -x_1 )^2 + (y_2 -y_1 )^2`` }`]이다.

□ ③

13. [출제의도] 절대부등식을 이해하고 활용하기

절대부등식[eqn: ( a^ 2 + b^2 )` ( x^ 2 + y^2 ) `≧`( ax + by)^2 `]에 의하여

[eqn: left{ (2S_1 )^2 + (S_2 )^2 right} cdot left{ { left( 1 over 2 right)}^2 + 1 ^2 right} `≧ `left{ 1over 2 (2S_1 ) + S_2 right}^2]

[eqn: (4S_1 ``^2 + S_2 ``^2` ) cdot left( 1 over 4 + 1` right) `≧` ( S_1 + S_2 `)^2]

[eqn: 5 over 4 (4 S_1 `^2 +S_2 `^2 `)`` ≧``(4 pi`)^2`] [eqn: ( ``∵~`S_1 + S_2 `=` 4 pi` )]

[eqn: 4 S_1` ^2 + S_2 `^2`` ≧` 64 over 5 pi`^2]

따라서 최소값은 [eqn: 64 over 5 pi`^2`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: S_1 + S_2 `=` 4 pi`]이므로 [eqn: S_2 `=` 4 pi` -S_1]이다.

그러므로 [eqn: 4 S_1` ^2 + S_2 `^2`` =4 S_1` ^2 +(`4pi-S_1` ``) ^2]

[eqn: =5left(S_1 - { 4pi} over {5 } `right)^2 + { 64} over {5 }pi^2]

∴[eqn: 4 S_1` ^2 + S_2 `^2``]의 최소값은 [eqn: { 64} over {5 }pi^2]                             □ ②

14. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계 이해하기

[eqn: f`(x`)`=`a`(x-alpha` )`(x -`beta`)=0`]이므로

[eqn: f`(2x-1`)`=`a`(2x-1- alpha`)`(2x - 1-beta`)`]

[eqn: = a left{ 4 x^2 -2(alpha + beta +2`)x+(alpha beta + alpha+beta+1 `) right}]

[eqn: =a (4x^2 -6x +8`)] (∵[eqn: alpha+beta=1, ~alphabeta=6`])

∴[eqn: f`(2x -1 ) =0`]의 두 근의 곱은 [eqn: 2`]이다.                       □ ②

15. [출제의도] 삼차방정식 이해하기

[eqn: x^3 `=`1]의 한 허근을 [eqn: omega `]라 하면 [eqn: omega^3 =1], [eqn: omega^2 +omega + 1 =0]이다.

[eqn: f`(1)= omega over {1 + omega^2 } = omega over -omega = -1 = f`(4) =f`(7)= f`(10) =f`(13)]

[eqn: f`(2)= omega^2 over {1 + omega^4 } = omega^2 over {1 + omega} = -1=f`(5)=f`(8)=f`(11)]

[eqn: f`(3)= omega^3 over {1 + omega^6 } = 1 over {1 + 1} = 1 over 2 = f`(6)= f`(9)=f`(12)]

[eqn: therefore f`(1) -f`(2)+ cdots -f`(6)=0]

[eqn: therefore ``준식= f`(13)=-1]                                        □ ①

16. [출제의도] 연립이차부등식의 해 구하기

[eqn: cases{x^2 -3x-4`≦`0 ``````⇒`````-1`≦``x``≦4 ## -x^2 + x + 2 `<`0``````````⇒`````x``<-1`````또는`````x``>`2`}]

따라서, 해는 [eqn: 2 `<`x ``≦`4`]이므로 [eqn: alpha=2], [eqn: beta=4`]이다.

[eqn: therefore`][eqn: alpha + beta `=`6`]                                               □ ③

17. [출제의도] 평행이동 및 대칭이동 이해하기

[eqn: y]

[eqn: rm O]

1

1

[eqn: x`]

직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동하면

[eqn: y]

[eqn: x`]

[eqn: rm O]

1

1

이것을 다시 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동하면 다음과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x`]

[eqn: rm O]

1

-1

□ ⑤

18. [출제의도] 부등식의 영역 활용하기

[eqn: A `cap `( B `cup` C`)^ C``=`A ` cap` B`^C `cap`C`^C`]이다. 이것을 좌표평면에 나타내면, 다음과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: RMO]

2

2

1

1

[eqn: 45°]

따라서, 빗금 친 영역의 넓이는 중심각이 45°인 부채꼴의 넓이이므로

[eqn: pi cdot 1^2 cdot 45° over 360° = pi over 8]이다.                                     □ ④

19. [출제의도] 이항연산 이해하기

연산의 정의에 의하여

[eqn: A_1 =(0,```1) =A_5 = A_ 9 =cdots cdots]

[eqn: A_2 =(-1,```0) =A_6 = A_ 10 =cdots cdots]

[eqn: A_3 =(0,`-1) =A_7 = A_ 10 =cdots cdots]

[eqn: A_4 =(1,```0) =A_8 = A_ 12 =cdots cdots]이므로

ㄱ. [eqn: A_2004 =A_4 =(1,```0)] (거짓)

ㄴ. [eqn: A_n * A_2n = A_3n =A_7n] (참)

ㄷ. 모든 양의 정수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: A_n * A_4 =A_n]이 성립 (참)

ㄹ. [eqn: A_2n * A_2n-1 = A_4n-1 =A_3 = (0,`-1)`] (참)              □ ⑤

20. [출제의도] 원과 직선의 위치관계 이해하기

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: RMO]

2

2

[eqn: 2 root 2]

[eqn: 2 root 2]

[eqn: 2 root 2]

[eqn: angle rm APB`]가 둔각이 되는 점[eqn: rm P`]는 그림과 같이 반지름이 [eqn: 2`]와 [eqn: 2root2`]인 원 사이에 존재한다.

따라서 구하는 영역의 넓이는 [eqn: 8 pi - 4 pi`=`4pi`]이다.               □ ③

21. [출제의도] 평행이동 이해하기

좌표평면에서 학교 [eqn: rm A]와 도서관 [eqn: rm B`]를 각각 [eqn: rm A(0,``0)],[eqn: rm B(800,`-620)]으로 잡고 횡단보도의 양 끝점을 [eqn: RMC,~C prime `]라 하자. [eqn: RM A]를 그림과 같이 [eqn: y`]축의 음의 방향으로 20만큼 평행이동한 점을 [eqn: RM A prime]라 하면 [eqn: rm bar AA prime = bar{C C prime }]가 되어 최단거리는

[eqn: rm bar AC +rm bar CC prime + bar{C prime B }=rm bar AA prime +rm bar {A prime B }][eqn: =20+ROOT {{800^2 +600^2}```}][eqn: =1020]

[eqn: rm A prime]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B(800,`-620)]

[eqn: RMC prime]

[eqn: RMC]

□ ④

22. [출제의도] 유리식의 값을 계산하기

[eqn: x=3k`],[eqn: y`=`2k`(`k not=0`)`]이라 하면, 준식=[eqn: {3k + 4k} over {3k-2k } =7]        □ 7

23. [출제의도] 인수분해 활용하기

[eqn: x^3 + y^3 `=`(x+y`)^3 -3xy`(x+y`)`=`18`]

□ 18

24. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계 이해하기

두 근을 [eqn: alpha,``` beta`]라고 하면, [eqn: alpha + beta =0], [eqn: alpha` beta`<`0`]이므로

[eqn: alpha + beta = -(a^2 -3a -4) =0]에서 [eqn: a=4`] 또는 [eqn: a=-1`]

한편, [eqn: alpha` beta `=` -a + 2 `<`0`]이므로 [eqn: a`>`2`]이다.

[eqn: therefore `a=4]                                                    □ 4

25. [출제의도] 미지수가 3개인 연립일차방정식 풀기

원 [eqn: rm A`],[eqn: rm B`], [eqn: rm C`],[eqn: rm D`]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: a,``` b,``` c,``` d`]라고 하면

조건으로부터 [eqn: 2 (a + b`)`=` 16`], [eqn: a = b+ c`], [eqn: b=c+d`], [eqn: pi `(a^2 -d`^2` ) `=`24pi]

이 네 식을 연립하여 풀면 [eqn: a`=`5`]이다.

[eqn: therefore]원 [eqn: rm A`]의 지름의 길이는 [eqn: 10]이다.                             □ 10

26. [출제의도] 나머지 정리 활용하기

조건에서 [eqn: f`(1-x`)`=`(x-1`)`p(x`) -4``CDOTSCDOTS]㉠

[eqn: x`f`(x`)`=`(x+1)`(x-4)`q`(x`)`CDOTSCDOTS]㉡ 이므로

㉠, ㉡에서

[eqn: x=1`]이면 [eqn: f`(0`)`=-4`], [eqn: x=-1`]이면 [eqn: f`(-1`)`=0`],[eqn: x=4`]이면 [eqn: f`(4`)`=0`]

∴[eqn: f`(x`)=a`(x+1)(x-4)]

[eqn: f`(0`)`=-4a=-4`]이므로 [eqn: a=1]

따라서 [eqn: f`(x`)=(x+1) ( x-4)]이므로 [eqn: x+2]로 나눈 나머지는 6이다.

□ 6

27. [출제의도] 산포도를 이해하고 분산 구하기

[eqn: x^2 -5x `=`t`]라 하면, [eqn: t^2 +10t + 24 `=`0`]에서 [eqn: t =-4 ~또는 ~t=-6]

[eqn: cases {x^2 -5x =-4`에서~~ x=1, ~4##x^2 -5x=-6`에서 ~~x=2,~3}]

따라서 네 근은 [eqn: 1,```2,```3,```4`]이다.

평균을 구하면 [eqn: {1+2+3+4}over 4 = 5 over 2]이고,

분산은

[eqn: V= { LEFT(1- { 5} over {2 }RIGHT )^2 +LEFT(2- { 5} over {2 }RIGHT )^2 +LEFT(3- { 5} over {2 }RIGHT )^2 +LEFT( 4-{ 5} over {2 }RIGHT )^2 } over {4 } = { 5} over { 4}]

[eqn: therefore`` 12V`=`15`]                                                □ 15

28. [출제의도] 무리식 계산하기

[eqn: f`(x)= root{2x+1 } `+` root{2x-1 }]이므로

[eqn: 1 over {f`(x`)} = 1 over 2 left( root{2x+1 } `-` root{2x-1 } right)]이다.

준식[eqn: = 1 over 2 left{ (root3 -root1` ) + (root5 -root3 ) + cdots cdots+(root121 - root119` ) right}]

[eqn: = 1 over 2 (-1 + 11) =5]                                      □ 5

29. [출제의도] 직선의 방정식 구하기

[eqn: rm bar AB]를 [eqn: 1`` `:``` 2`]로 내분하는 점을 [eqn: rm C`]라고 하면 [eqn: rm C left( 6 OVER 3 ,`` 12 over 3 right)`=`C(2,```4`)`]이고 직선[eqn: rm AB]의 기울기는 [eqn: -1`]이므로 직선[eqn: rm AB]에 수직인 직선의 기울기는 [eqn: 1`]이다. 그러므로 직선의 방정식은 [eqn: y-4 `=(x-2)`]이다.

따라서 [eqn: a`=`1`], [eqn: b=2]이므로 [eqn: a+b`=`3`]이다.

□ 3

30. [출제의도] 부등식의 영역에서 최대값과 최소값 구하기

[eqn: x^2 + y^2 =k^2`]라 하면 [eqn: k`^2 ``]의 최대값 [eqn: M`]과 최소값 [eqn: m`]을 구하면 된다.

그림에서

ⅰ) 최대값은 원 [eqn: x^2 +y^2 =k^2 `]이 점 [eqn: (3,~3)`]을 지날 때이므로

[eqn: M=k^2 =9+9=18]이다.

ⅱ) 최소값은 두 점 [eqn: (2,~0)], [eqn: (0,~4)`]를 지나는 직선의 방정식

[eqn: 2x+y-4=0`]에 원 [eqn: x^2 +y^2 =k^2 `]이 접할 때이므로 원의 중심[eqn: (0,```0`)`]에서 직선 [eqn: 2x+y-4=0`]까지의 거리가 원의 반지름 [eqn: k`]이다.

그러므로 [eqn: k= { LEFT | -4 `RIGHT | } over {root{{4+1}``} } = { 4 } over {root{{5}``} }]이므로 [eqn: m=k^2 = { 16} over {5 }] 이다.

따라서 ⅰ), ⅱ)에 의해 [eqn: M+5m=18+5{16 } over {5 } =34]이다.

[eqn: y]

[eqn: k]

[eqn: x]

[eqn: RMO]

4

2

[eqn: (3,~3)]

[eqn: 3 root2`]

□ 34