Do your best ♥ Be the best ★★                                            수학연구소/數/理/院/

수학연구소 /數/理/院/

수능기출

년도	2002년 11월 6일
대상	고3 인문계

2003학년도 수능《인문계》

[eqn: sqrt {2} TIMES sqrt {16}]을 간단히 하면?

정답 ①

[eqn: root {3} of {2} TIMES root {6} of {16} =2 ^{{1} over {3}} TIMES LEFT ( 2 ^{4} RIGHT ) ^{{1} over {6}} =2 ^{{1} over {3}} TIMES 2 ^{{2} over {3}} =2 ^{{1} over {3} + {2} over {3}} =2]

[2점][2003학년도 수능]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: sqrt {2}]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -5x-2=0]의 두 근을 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]라 할

때, [eqn: {1} over {alpha +1} + {1} over {beta +1}]의 값은?

정답 ④

근과 계수와의 관계에서 [eqn: alpha `+ `beta `=5,~ alpha ` beta `=-2]이므로

[eqn: 1 OVER {alpha+1}+ 1 OVER { beta+1}`` ={ alpha `+ beta `+2}over{ alpha ` beta `+( alpha `+ beta `)+1}= 7over4]

[2점][2003학년도 수능]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 3 OVER 2]

④ [eqn: 7 OVER 4]	⑤ [eqn: 5 OVER 2]

함수 [eqn: f`(x)= {x+1} over {x-1}]에 대하여 [eqn: (f` CIRC f`)(10)]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: f`(10`)= 10+1 over 10-1 = 11over9]이므로

[eqn: (f CIRC f`)``(10)=f`(f`(10))=f` LEFT ( 11over9 RIGHT )={11over9 +1}over{11over9 -1}= {20 over9}over{2over9}=10]

[2점][2003학년도 수능]

① [eqn: 1over10`]	② [eqn: 9over10`]	③ [eqn: 10over9`]

④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

두 행렬 [eqn: E= {pmatrix{1&&0#0&&1}}]과 [eqn: A= {pmatrix{0&&1#1&&0}}]이 있다. 두 상수

[eqn: a]와 [eqn: b]가 [eqn: (E+2A) ^{2} =aE+bA]를 만족시킬 때, [eqn: a+b]의 값은?

정답 ④

[eqn: A^2 =pmatrix{0&1``#1&0``}pmatrix{0&1``#1&0``}=pmatrix{1&0``#0&1``}=E`]이므로

[eqn: (E+2A)^2 = E`+`4A`+`4A^2 `=`5E`+`4A`=`a`E`+`b`A``]에서

[eqn: a`=`5,~b`=`4`]    [eqn: THEREFORE ~a`+`b`=`9`]

[2점][2003학년도 수능]

① [eqn: 6`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 8`]

④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

전체집합 [eqn: U``]의 세 부분집합 [eqn: P,```Q,```R]가 각각 세

조건 [eqn: p,```q,```r]의 진리집합이고, 두 명제 [eqn: p``` -> ```q]와 [eqn: q``` -> ```r]

가 모두 참일 때, <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ③

[eqn: p``` -> ```q]에서 [eqn: P SUBSET R]이고, [eqn: q``` -> ```r]에서 [eqn: P SUBSET R]이다.

이것을 벤 다이어그램으로 나타내면 그림과 같다.

따라서, 참인 것은 ①, ③이다.

[2점][2003학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: P SUBSET R] ㄴ. [eqn: (P CUP Q) SUBSET R ^{c}] ㄷ. [eqn: (P ^{c} SMALLINTER R ^{c} ) SUBSET Q ^{c}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 상수 [eqn: a``]와 [eqn: b``]에 대하여 부등식 [eqn: x ^{2} +ax+b LEQ 0]의

해가 [eqn: -1 LEQ x LEQ 3]일 때, 부등식 [eqn: x ^{2} -ax+b LEQ]의 해는?

정답 ③

해가 [eqn: -1 LEQ x LEQ 3]이고, 이차항의 계수가 1인 이차부등

식은 [eqn: x ^{2} -2x-3 LEQ 0]이므로 [eqn: a=-2,~b=-3`]

따라서, 부등식 [eqn: x ^{2} +ax+b LEQ 0]

즉, [eqn: x ^{2} +2x-3 LEQ 0]의 해는 [eqn: -3 LEQ x LEQ 1]

[2점][2003학년도 수능]

① [eqn: -3 LEQ x LEQ -1]	② [eqn: -2 LEQ x LEQ 2]	③ [eqn: -3 LEQ x LEQ 1]

④ [eqn: -1 LEQ x LEQ 2]	⑤ [eqn: 1 LEQ x LEQ 3]

두 상수 [eqn: a]와 [eqn: b]에 대하여 두 다항식 [eqn: x ^{2} +x+a]와

[eqn: x ^{2} -ax+b]의 최대공약수가 [eqn: x-1]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: f`(x`)=x^2 + x+a `,~g`(x`)=x^2 -ax+b`]라 할 때,

두 다항식 [eqn: f`(x`)]와 [eqn: g`(x`)]의 최대공약수가 [eqn: x-1`]이므로

두 다항식은 [eqn: x-1`]로 나누어 떨어진다.

[eqn: THEREFORE ~f`(1`)=2+a`=`0,~g`(1`)=1-a+b`=`0]에서

[eqn: a=-2,~b=-3]이므로 [eqn: a`+`b`=`-5`]

[2점][2003학년도 수능]

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

곡선 [eqn: y= sqrt {x}]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=4]로 둘러싸인

도형을 [eqn: x]축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전체의 부피

는?

정답 ①

[eqn: y=root{x``}``]를 [eqn: x`=`0]에서 [eqn: x=4``]까지 [eqn: x``]축을 중심으로

회전시킨 회전체의 부피 [eqn: V`]는 [eqn: V`=`pi `int from0to4 x`dx`][eqn: =8`pi``]

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: 8pi]	② [eqn: 7pi]	③ [eqn: 6pi]

④ [eqn: 5pi]	⑤ [eqn: 4pi]

중심이 [eqn: rm O]이고 반지름의

길이가 [eqn: R``]인 구면거울이

있다.

그림과 같이 [eqn: rm OX]축에

평행하게 입사된 빛이

거울에 반사된 후 축과

만나는 점을 [eqn: rm A]라고 할 때,

선분 [eqn: rm OA]의 길이는?

정답 ①

구면거울과 만나는 점을 [eqn: B`]라

하면 [eqn: ANGLE `AOB`=`theta `~( BECAUSE ~]엇각)이고,

[eqn: TRIANGLE OAB`]는 이등변삼각형이므로

[eqn: bar OA `=`bar AB`]이다.

또, 점 [eqn: A`]에서 [eqn: bar OB`]에 내린 수선

의 발을 [eqn: H`]라 하면

[eqn: bar AB cdot cos`theta `= R over2]이므로

[eqn: bar AB `= R over{2cos`theta }]

(단, 입사각과 반사각의 크기는 [eqn: theta]로 같고,

[eqn: 0 DEG < theta <20 DEG]이다.)

[2점][2003학년도 수능]

① [eqn: R over {2 costheta}]	② [eqn: R over {2 sintheta}]	③ [eqn: R`` (1- costheta`)]

④ [eqn: R over {2 cos 2theta}]	⑤ [eqn: R over {2 sin2 theta}]

[eqn: (z-1) ^{2}]이 실수가 되는 복소수 [eqn: z]전체의 집합을

[eqn: A`]라고 할 때, <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ②

[eqn: (z-1)^2``]이 실수이므로 [eqn: z-1]은 실수 또는 순허수이다.

즉, [eqn: z`]는 실수 또는 [eqn: 1`+`b`i```(b`]는 실수)의 꼴이다.

① [eqn: z IN A]이면 [eqn: z-1]은 실수 또는 허수이다.  (거짓)

② [eqn: z IN A]이면 [eqn: bar{z} =]실수 또는 [eqn: 1-b`i`]이므로 [eqn: bar{z} IN A] (참)

③ [eqn: z _{1} =1+2i,```z _{2} =1-i]에 대하여 [eqn: z _{1} `z _{2} =3+i]이므로

[eqn: z _{1} `z _{2} notIN A]이다. (거짓)

따라서, 옳은 것은 ②번이다.

[3점][2003학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: z IN A]이면 [eqn: z-1]은 순허수이다. ㄴ. [eqn: z IN A]이면 [eqn: bar{z} IN A]이다. (단, [eqn: bar{z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) ㄷ. [eqn: z _{1} IN A]이고 [eqn: z _{2} IN A]이면 [eqn: z _{1} `z _{2} IN A]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: rm A]와 [eqn: rmB] 두 팀이 축구 경기에서 연장전까지 [eqn: 0```:```0]

으로 승부를 가리지 못하여 승부차기를 하였다.

각 팀당 [eqn: 5]명의 선수가 [eqn: rm A]팀부터 시작하여 [eqn: 1]명씩 교대

로 승부차기를 할 때, [eqn: rm B]팀이 [eqn: 5```:```4]로 이길 확률은?

정답 ④

[eqn: rm A]팀부터 [eqn: rm B]팀이 [eqn: 5```:```4]로 이기는 경우는 아래와 같이

[eqn: 5]가지 경우이다.

A	B
× ○ ○ ○ ○	○ ○ ○ ○ ○

A	B
○× ○ ○ ○	○ ○ ○ ○ ○

A	B
○○ ×○ ○	○ ○ ○ ○ ○

A	B
○ ○ ○ ×○	○ ○ ○ ○ ○

A	B
○ ○ ○ ○ ×	○ ○ ○ ○ ○

[eqn: THEREFORE ~`_9 C_4 (0.8)^4 (0.2) times (0.8)^5 =0.8^9]

(단, 각 선수의 승부차기는 독립시행이고 성공할 확률

은 [eqn: 0.8]이다.)

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: 0.2``×``0.8^8`]	② [eqn: 0.8^8`]	③ [eqn: 0.2`×`0.8^9`]

④ [eqn: 0.8^9`]	⑤ [eqn: 0.8^10`]

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 [eqn: f`(x`)``]와

[eqn: g`(x`)``]에 대하여 함수 [eqn: h`(x`)``]를 다음과 같이 정의한다.

[eqn: h` (x`) = { 1over 3} f`(x`)+ {2 over 3} g`(x`)``]

<보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

정답 ②

① [eqn: f`(x`)]와 [eqn: g`(x`)]가 임의의 점에서 만나면

[eqn: f`(a`)=g`(a`)=`k`]이므로

[eqn: h` (a`) = { 1over 3} f`(a`)+ {2 over 3} g`(a`)``=`k`]

② [eqn: f`(x`)]와 [eqn: g`(x`)]가 [eqn: y``]축에 대하여 대칭이면

[eqn: f`(x`)=f`(-x`),~g`(x`)=g`(-x`)]이므로

[eqn: h` (-x`) = { 1over 3} f`(-x`)+ {2 over 3} g`(-x`)`]

[eqn: =` { 1over 3} f`(x`)+ {2 over 3} g`(x`)``=h`(x`)]

③ [eqn: f`(x`)=3x^3 ,~g`(x`)=- 3over2 x`]라면 [eqn: f`(x`)]와 [eqn: g`(x`)]가

일대일 대응이지만 [eqn: h`(x`)=x^3 -x`]는 일대일 대응이

아니다.

따라서, 옳은 것은 ①, ②이다.

[3점][2003학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 어떤 점에서 만나면 [eqn: y=h(x)]의 그래프는 그 교점을 지난다. ㄴ. [eqn: y=f`(x)]와 [eqn: y=g`(x)]의 그래프가 모두 [eqn: y]축에 대하여 대칭이면 [eqn: y=h(x)]의 그래프도 [eqn: y]축에 대하여 대칭이다. ㄷ. [eqn: y=f`(x)]와 [eqn: y=g`(x)]가 모두 일대일 대응이면 [eqn: y=h(x)]도 일대일 대응이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

양의 실수 [eqn: a]와 [eqn: b]에 대하여 집합 [eqn: A]와 [eqn: B]를 다음

과 같이 정의한다.

[eqn: A= LEFT { `x`|`(x-a)`(x+a) LEQ 0 RIGHT }]

[eqn: B= LEFT { `x`|``|`x-1`| LEQ b RIGHT }]

이때, [eqn: A` SMALLINTER `B= phi]이기 위한 필요충분조건은?

정답 ④

두 집합 [eqn: A= LEFT { `x`|`(x-a)`(x+a) LEQ 0 RIGHT }],

[eqn: B= LEFT { `x`|``|`x-1`| LEQ b RIGHT }]에서 [eqn: A `∩` B= phi``]이므로

[eqn: 2]가지 경우로 나누어 보면

① [eqn: a`<`1-b`]이므로 [eqn: a`+`b`<`1`]

② [eqn: a,```b]는 양의 실수이므로 항상 [eqn: 1`+`b`>`-a`]이다.

그러므로 그림과 같이 나올 수도 있다.

따라서, ①, ②에 의해서 [eqn: a`+`b`<`1`]

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: a - b `<`1``]	② [eqn: a - b `>`1 `]	③ [eqn: a+ b=1 `]

④ [eqn: a + b `<`1 `]	⑤ [eqn: a+ b`>`1 `]

[eqn: n]이 자연수일 때, <보기>의 부등식 중 항상

성립하는 것을 모두 고르면?

정답 ⑤

[eqn: y=log` _{2} `x]와 [eqn: y=log` _{3} `x]의 그래프는 다음과 같다.

① [eqn: log_2 n`]은 증가함수이므로 진수를 비교하면 된다.

즉 [eqn: n`+`3`>`n`+`2`]이므로

[eqn: log_2 `(n+3`)`> `log_2 `(n+2`)]이다.

② [eqn: x`>`1`]이면 [eqn: log_2 x`>`log_3 x`]이므로 성립한다.

③ [eqn: n`=`1]을 대입하면 [eqn: log_2 `3`> `log_3 `4`]

[eqn: n`=`2]를 대입하면 [eqn: log_2 `4`> `log_3 `5`]

[eqn: vdots`]

따라서, ①, ②, ③은 항상 성립한다.

[3점][2003학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: log_2 `(n+3`)`> `log_2 `(n+2`)] ㄴ. [eqn: log_2 `(n+2`)`> `log_3 `(n+2`)] ㄷ. [eqn: log_2 `(n+2`)`> `log_3 `(n+3`)]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 제 [eqn: 1`]행에는 [eqn: 1`]개, 제[eqn: 2`]행에는 [eqn: 2`]개,

…, 제 [eqn: 100`]행에는 [eqn: 100`]개의 직사각형을 나열하고

그 안에 다음과 같은 규칙으로 수를 써 넣었다.

(규칙 1) 각 행의 양쪽 끝 직사각형에는 [eqn: 1]부터

[eqn: 100]까지의 자연수를 순서대로 써 넣는다.

(규칙 2) 각 행의 안쪽 직사각형에는 바로 위 행

의 인접한 직사각형에 쓰인 두 수의 합을 써

넣는다.

이때, [eqn: b-a``]의 값은?

정답 ⑤

②번 대각선 [eqn: 3,```7,```14,```25,``` CDOTS]의 계차수열이 ①이므로

수열 [eqn: 2,```4,```7,```11,```16,``` CDOTS]의 일반항은

[eqn: a_n `=`{n^2 +n`+`2}over2]이다.

따라서, [eqn: b`-`a`]는 [eqn: a_98`]이다.

[eqn: THEREFORE ```a _{98} `=` {98 ^{2} +98+2} over {2}][eqn: = 4852]

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: 4878]	② [eqn: 4872]	③ [eqn: 4864]

④ [eqn: 4858]	⑤ [eqn: 4852]

그림과 같이 삼차함

수 [eqn: y=f`(x)]가 극대값

[eqn: f`(1)=1]과 극소값

[eqn: f`(3)=-3]을 가지며,

[eqn: f`(0)=-3]이다.

이때, [eqn: INT _{ 0}^{3 }`` LEFT | f`` prime (x`)` RIGHT | `dx``]의

값은?

정답 ③

[eqn: f``'`(x`)=a`(x-1`)`(x-3`)]이므로

[eqn: f`(x`)`=`a` LEFT ( 1over3 x^3 -2x^2 +3x` RIGHT )`+`C~(C`]는 적분상수)[eqn: cdots~①]

또, [eqn: f`(1`)`=`1,~f`(0`)=-3`]이므로

①에 대입하여 풀면

[eqn: a`=`3,~C=-3]이므로 [eqn: f``'`(x`)=3(x-1)`(x-3`)]

[eqn: THEREFORE ~INT _{ 0}^{3 }`` LEFT | f`` prime (x`)` RIGHT | `dx``]

[eqn: =3int from0to1 (x-1)(x-3)dx`-3int from1to3 (x-1)(x-3)dx`][eqn: =8]

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: `6]	② [eqn: `7]

③ [eqn: `8]	④ [eqn: `9]	⑤ [eqn: `10]

[그림1]의 연산장치는 입력값이 [eqn: A]와 [eqn: B]일 때

출력값 [eqn: C``]를 표에 주어진 것과 같이 결정한다.

이 연산장치 [eqn: 4`]개를 [그림2]와 같이 연결하였다.

출력값이 [eqn: T_1 =1], [eqn: T _{2} =0]이 되는 입력값 [eqn: S_1], [eqn: S_2 ``]를

<보기> 중에서 모두 고르면?

정답 ②

[eqn: T_1 `=`1]이므로 입력값이 모두 [eqn: 0`]이어야 한다.

따라서, [eqn: S_1 `=`0]이 된다.

[eqn: T_2 `=`0]이므로 입력값이 모두 [eqn: 0`]인 경우는 없으므로

다른 연산장치와 비교하면 [eqn: S_2 `=`1]이어야 한다.

따라서, [eqn: S_1 `=`0,~S_2 `=`1]일 때만 성립한다.

[3점][2003학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: S_1`=`0], [eqn: S_2`=`0] ㄴ. [eqn: S_1`=`0], [eqn: S_2`=`1] ㄷ. [eqn: S_1`=`1], [eqn: S_2`=`0] ㄹ. [eqn: S_1`=`1], [eqn: S_2`=`1]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄷ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 세 자연수 [eqn: a,```b,```c] ([eqn: a<b<c])에 대하여

[eqn: P=(b^2 -a^2 `) (c^2 - a^2 `)(c^2 - b^2 `)]이 [eqn: 12``]의 배수임을 증명

한 것이다.

	[ 증 명 ]
[eqn: a,```b,```c]를 각각 [eqn: 2]로 나누었을 때 나머지는 [eqn: BOX{~~㈎~~}] 같다. 이 중 나머지가 같은 두 수를 [eqn: a``]와 [eqn: b``]라고 하면 [eqn: b^2`-`a^2`]은 [eqn: 4]의 배수이다. 그러므로 [eqn: P]도 [eqn: 4]의 배수이다. ……… ㉠ 다음으로, [eqn: a ^{2} ,```b ^{2} ,```c ^{2}]을 [eqn: 3]으로 나누었을 때 나머지를 알아보자. [eqn: a ^{2} ,```b ^{2} ,```c ^{2}]을 각각 [eqn: 3]으로 나눈 나머지는 [eqn: BOX{~~㈏~~}] 이므로 [eqn: a ^{2} ,```b ^{2} ,```c ^{2}] 중에는 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 같은 것이 적어도 [eqn: 2]개가 있다. 그러므로 [eqn: P]는 [eqn: 3]의 배수이다. ……… ㉡ ㉠과 ㉡으로부터 [eqn: P]는 [eqn: 12]의 배수이다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은?

정답 ③

세 자연수 [eqn: a,```b,```c] ([eqn: a<b<c])에 대하여

[eqn: 2]로 나눈 나머지는 [eqn: 0`] 또는 [eqn: 1`]이므로

적어도 [eqn: 2]개가 같다.

또, [eqn: a ^{2} ,```b ^{2} ,```c ^{2}]을 [eqn: 3``]으로 나눈 나머지는 [eqn: 0`] 또는 [eqn: 1`]이므로

나머지가 같은 것이 적어도 [eqn: 2]개가 있다.

[2점][2003학년도 수능]

(가)                      (나)

① 모두	[eqn: 0`] 또는 [eqn: 1`]

② 모두	[eqn: 1`] 또는 [eqn: 2]

③ 적어도 [eqn: 2``]개가	[eqn: 0`] 또는 [eqn: 1`]

④ 적어도 [eqn: 2``]개가	[eqn: 0`] 또는 [eqn: 2]

⑤ 적어도 [eqn: 2``]개가	[eqn: 1`] 또는 [eqn: 2]

그림과 같이 길이가 [eqn: a]인

선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는

원 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]가

있다. 선분 [eqn: rm PA]와 선분 [eqn: ` rm PB]의

중점을 각각 [eqn: rm M]과 [eqn: rm N]이라고

하면,

[eqn: rm bar{PA} ` ^{2} + rm bar{PB} ` ^{2} = BOX{~~㈎~~}]이다.

따라서 [eqn: rm bar{AN} ` ^{2} + rm bar{BM} ` ^{2} = BOX{~~㈏~~}]이므로

[eqn: rm bar{AN} BULLET bar{BM}]의 최대값은 [eqn: BOX{~~㈐~~}]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

정답 ②

[eqn: rm bar{AB} `]가 지름이므로 [eqn: rmANGLE P`=`90 DEG]이다.

[eqn: THEREFORE ``` bar{rmPA} ` ^{2} + bar{rmPB} ` ^{2} =a ^{2}]

[eqn: rmTRIANGLE `APN]에서 [eqn: RMOVERLINEPA`^2 +RMOVERLINEPN`^2][eqn: =RMOVERLINEPA`^2 + LEFT ( 1over2 RMOVERLINEPB RIGHT )`^2 =RMOVERLINEAN`^2]

[eqn: rmTRIANGLE `BPM`]에서 [eqn: RMOVERLINEPB`^2 +RMOVERLINEPM`^2][eqn: =RMOVERLINEPB`^2 + LEFT ( 1over2 RMOVERLINEPA RIGHT )`^2 =RMOVERLINEBM`^2]

따라서,

[eqn: RMOVERLINEAN`^2 +RMOVERLINEBM`^2][eqn: = bar{rm PA it} ` ^{2} + bar{rm PB it} ` ^{2} + {1} over {4} LEFT ( bar{rmPA} ` ^{2} + bar{rmPB} ` ^{2} RIGHT ) = {5} over {4} a ^{2}]

에서 [eqn: rm bar{AN} ` ^{2} + rm bar{BM} ` ^{2} ` GEQ 2 bar{AN} CDOT bar{BM}]이므로

[eqn: rm bar{AN} BULLET bar{BM}]의 최대값은 [eqn: 5 over 8 a^2]이다.

[3점][2003학년도 수능]

(가)	(나)	(다)

① [eqn: a^2]	[eqn: 5 over4 a^2]	[eqn: root{5``} over 2 a^2]

② [eqn: a^2]	[eqn: 5 over4 a^2]	[eqn: 5 over 8 a^2]

③ [eqn: a^2]	[eqn: 3 over2 a^2]	[eqn: 3 over 4 a^2]

④ [eqn: 2`a^2]	[eqn: 3 over2 a^2]	[eqn: root{5``} over 2 a^2]

⑤ [eqn: 2`a^2]	[eqn: 5 over4 a^2]	[eqn: 5 over 8 a^2]

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} = bar{AC}]인 이등변삼각형 [eqn: RM ABC]의

변 [eqn: rm BC] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]가 있다. 점 [eqn: rm P]에서 변 [eqn: rm AB]

또는 그 연장선에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q], 변 [eqn: rmAC] 또는

그 연장선에 내린 수선의 발을 [eqn: RM R``]라고 하자.

[eqn: bar{rmBP} =x]와 [eqn: bar{rmPQ} + bar{rmPR} =y]에 대하여 [eqn: y]를 [eqn: x]의 함수로

나타낼 때, 그 그래프의 개형은?

정답 ③

그림과 같이 삼각형 [eqn: ABC`]를 좌표축에 옮겨 놓고

풀어도 일반성을 잃지 않는다.

또 [eqn: A(a,```b)]라 하면 삼각형 [eqn: ABC`]가 이등변삼각형이므

로 [eqn: C`(2a,```0)]이다.

직선 [eqn: AB``` RARROW ```y= {b} over {a} x]

직선 [eqn: AC~ RARROW ~y`=` - b over a (x`-2a`)][eqn: =- b over a x `+`2b`]

선분 [eqn: BC`] 위의 한 점 [eqn: (x,```0)]에서 두 직선 [eqn: bx-ay`=`0,]

[eqn: bx`+`ay`-2a b`=0]까지의 거리의 합은

[eqn: {vert bx vert}over{sqrt{a^2 +b^2}}+{vert bx-2a b vert}over{sqrt{a^2 +b^2}}={vert 2a b vert}over{sqrt{a^2 +b^2}}]로 일정하다.

[eqn: BECAUSE ~x`<`2a`]이므로 [eqn: vert bx`-`2 a `b`vert=2a b`-`bx`]

[별해]

위의 그림과 같이 [eqn: rmBC]에 대한 [eqn: rmA]의 대칭점을 잡아서

[eqn: rmA`']이라 하면

사각형 [eqn: rmABA`'C]는 평행사변형(마름모)이 된다.

또한 [eqn: rmR]의 [eqn: bar{rmBC}]에 대한 대칭점을 [eqn: rmR']이라 하면

[eqn: y= rm bar{PQ} + bar{PR} = bar{PQ} + bar{PR` prime } = bar{QR'}] (일정)

(∵평행사변형)

[3점][2003학년도 수능]

①

②

③

④

⑤

좌표평면에서 중심이 [eqn: (a,```b)]이고 [eqn: x]축에 접하는

원이 두 점 [eqn: rm A(0,```5)]와 [eqn: rm B(8,```1)]을 지난다. 이때, 원의

중심 [eqn: (a,```b)]와 직선 [eqn: rm AB] 사이의 거리는?

정답 ②

[eqn: (x`-`a`)^2 +(y`-`b`)^2 =b^2]이 두 점

[eqn: rm A(0,```5)]와 [eqn: rm B(8,```1)]을 지나므로

[eqn: a ^{2} +(5`-`b`) ^{2} =b ^{2}], [eqn: (8-a`)^2 +(1-b`)^2 =b^2]에서

[eqn: a`=`5] 또는 [eqn: a`=`15]

[eqn: 0 LEQ a LEQ 8]이므로 [eqn: a`=`5`]만 만족한다.

[eqn: THEREFORE ~a`=`b`=`5`]

원에서 [eqn: rm bar{AB} `=` sqrt {64+16} =4 sqrt {5}]이므로 [eqn: rm bar{AH} `=`2 sqrt {5}]

[eqn: rmTRIANGLE OHA]가 직각삼각형이므로 [eqn: rm bar{OH} `=` sqrt {25-20} = sqrt {5}]

(단, [eqn: 0 LEQ a LEQ 8])

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: sqrt {5}]	③ [eqn: sqrt {6}]

④ [eqn: sqrt {7}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

겨울철에 바람이 불면 바람이 불지 않을 때보다

더 춥게 느껴진다. 이와 같이 실제 느껴지는 온도를

체감온도라고 하며, 기온을 [eqn: t`], 풍속을 [eqn: v`], 복사량을 [eqn: I`]라

고 할 때 체감온도 [eqn: T`]는 다음과 같다고 한다.

[eqn: T=t－4 sqrt {v} ＋12I]

어느 해의 대학수학능력시험 날, 어떤 지역의 오후의

기온은 오전보다 [eqn: 6]도 상승했지만 오후의 풍속이 오전

의 [eqn: 4]배가 되어 체감온도는 변하지 않았다. 이 지역의

그날 오전의 풍속은?

정답 ④

체감온도 [eqn: T`]는 [eqn: T=t－4 sqrt {v} ＋12`I]에서

오전과 오후의 체감온도가 같으므로

[eqn: (t+6)－4 sqrt {4v} ＋12`I=t－4 sqrt {v} ＋12`I]에서

[eqn: 6=4 sqrt {v}]   [eqn: THEREFORE ```v= {9} over {4}]

(단, 그날 오전과 오후의 복사량 [eqn: I``]의 값은 같았다.)

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: 3]	② [eqn: 2.75]	③ [eqn: 2.5]

④ [eqn: 2.25]	⑤ [eqn: 2]

광통신에서는 광섬유를 이용하여 신호를 먼 곳까

지 보낸다. 신호가 광섬유를 [eqn: rm 1`km]지날 때마다 신호의

세기는 [eqn: rm 1`km]전의 세기의 [eqn: 99`%]가 된다고 하자.

신호의 세기가 처음 세기의 [eqn: 1over2]이 되는 곳에 중계소를

설치하려고 할 때, 처음 신호를 보내는 곳에서 중계소

까지 광섬유의 길이는 약 몇 [eqn: rm km]인가?

정답 ①

처음 신호의 세기를 [eqn: a`]라 하면 [eqn: a`times0.99^n = 1over2 a`]

양변에 [eqn: log]를 취하면 [eqn: n`log0.99`=`log 1over2]

[eqn: THEREFORE ```n= {0.3010} over {0.0044} =68.4` CDOTS]

길이는 약 [eqn: 68rm km`]이다.

(단, [eqn: log`2=0.3010], [eqn: log`9.9=0.9956]으로 계산한다.)

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: 68]	② [eqn: 78]	③ [eqn: 88]

④ [eqn: 98]	⑤ [eqn: 108]

다음은 어떤 상품의 수요와 공급에 관한 시장균

형모형을 설명한 것이다.

이 상품의 가격 [eqn: P``]의 변화

에 따른 수요량을 [eqn: Q_1],

공급량을 [eqn: Q_2``]라고 하면

아래와 같이 이들을 각각

[eqn: P``]에 대한 일차함수로

나타낼 수 있다.

[eqn: Q _{1} =a-bP],  [eqn: Q _{2} =-c+dP]

여기서 [eqn: a,```b,```c,```d]는 양수이다.

두 함수 [eqn: Q_1]과 [eqn: Q _{2}]의 그래프의 교점 [eqn: rm A]가

제[eqn: 1]사분면에 있을 때 시장균형가격이 결정된다.

위의 모형에서 시장균형가격이 결정되기 위한

[eqn: a,```b,```c,```d] 사이의 관계로 알맞은 것은?

정답 ③

[eqn: Q _{1} `a-bP], [eqn: Q _{2} =-c+dP]에서 교점 [eqn: A`]를 구하면

[eqn: a-bP=-c+dP]에서 [eqn: P= {a+c} over {b+d}]

[eqn: THEREFORE ~a`-`b`P`=`a`-`b` LEFT ( {a`+`c}over{b`+`d} RIGHT ) ={a`d`-`b`c}over{b`+`d}]

따라서, 교점 [eqn: A`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {a+c} over {b+d} ,``` {ad-bc} over {b+d} RIGHT )]이고

이 점이 제 [eqn: 1]사분면에 있으므로

[eqn: ad-bc>0]이어야 한다.

[3점][2003학년도 수능]

① [eqn: ad`-`bc=0`]	② [eqn: ac`-`bd=0`]

③ [eqn: ad`-`bc`>`0`]	④ [eqn: ad`-`bc`<`0`]

⑤ [eqn: ac`-`bd`>`0`]

주관식 문항 (25～30)

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A]와 [eqn: B]에 대하여

[eqn: A SMALLINTER B ^{c} =A], [eqn: n(A)=9], [eqn: n(B)=14]

일 때, [eqn: n(A CUP B)]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 23]

[eqn: A SMALLINTER B ^{c} =A-B=A-(A SMALLINTER B)=A]이므로

[eqn: A SMALLINTER B= phi]이다.

[eqn: THEREFORE ```n(A CUP B)=n(A)+n(B)=9+14=23]

(단, [eqn: n`(X`)`]는 집합 [eqn: X``]의 원소의 개수이다.)

[2점][2003학년도 수능]

무한급수 [eqn: SUM from { n=1} TO {` inf_``} left{{ 1+(-1)^n`}over3 right}^n``]의 합을 [eqn: S``]라고 할

때, [eqn: 20 S``]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: 16]

[eqn: a_n `=`left{{ 1+(-1)^n`}over3 right}]이라 하면 [eqn: a_2n-1 `=`0]이므로

[eqn: S`=`a_2 `+`a_4 `+`a_6 `+`cdots`=` LEFT ( 2over3 RIGHT )^2 + LEFT ( 2over3 RIGHT )^4 + LEFT ( 2over3 RIGHT )^6 +cdots`]이다.

즉 [eqn: S`]는 공비가 [eqn: {4} over {9}], 첫째항이 [eqn: {4} over {9}]인 무한등비수열이므

로 [eqn: sum from n=1to inf a_n `=`{4over9}over{1- 4over9}= 4over5 =S`]

[eqn: THEREFORE ```20S=20 TIMES {4} over {5} =16]

[3점][2003학년도 수능]

다항식 [eqn: f`(x`)=x ^{3} +x ^{2} +2x+1]에 대하여 [eqn: f`(x)]를

[eqn: x-a]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R _{1}], [eqn: f`(x)]를 [eqn: x+a]로

나누었을 때의 나머지를 [eqn: R _{2}]라고 하자.

[eqn: R _{1} +R _{2} =6]일 때, [eqn: f`(x)]를 [eqn: x-a ^{2}]으로 나눈 나머지를

구하시오.

정답 [eqn: 17]

[eqn: f`(a`)`=`a^3 +a^2 +2a+1`=`R_1 `]

[eqn: f`(-a`)=-a^3 +a^2 -2a+1`=`R_2]이므로

[eqn: R_1 `+`R_2 `=`2a^2 +2=6]에서 [eqn: a^2 `=`2]

[eqn: THEREFORE ```f`(a ^{2} )=a ^{6} +a ^{4} +2a ^{2} +1=17]

[3점][2003학년도 수능]

방정식 [eqn: x ^{3} =1]의 한 허근을 [eqn: omega]라고 할 때, 자연수

[eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f`(n)]을 다음과 같이 정의한다.

[eqn: f`(n`) = omega ^2n over{ omega ^n +1}`]

이때, [eqn: f`(1)+f`(2)+f`(3)+ CDOTS +f`(20)]의 값을 구하시오.

정답 [eqn: -11]

[eqn: x^3 -1`=`(x-1`)(x^2 +x+1`)=0]에서

[eqn: x^2 +x+1=0]의 한 허근이 [eqn: omega ``]이므로

[eqn: omega ^3 =1,~ omega^2 + omega +1=0,~ omega^2 + omega `=`-1,~ omega^2 +1`=- omega`]

[eqn: f`(1`)=f`(4)=`cdots`=`f`(19)= omega^2 over{ omega +1}=-1]

[eqn: f`(2`)=f`(5)=`cdots`=`f`(20)= omega^4 over{ omega^2 +1}=-1]

[eqn: f`(3`)=f`(6)=`cdots`=`f`(18)= omega^6 over{ omega^3 +1}= 1over2]

[eqn: THEREFORE `f`(1)+f`(2)+f`(3)+ CDOTS +f`(20)`]

[eqn: =`6 LEFT ( -1-1+ 1over2 RIGHT )+(-1)+(-1)=-11]

[3점][2003학년도 수능]

[eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -6x ^{2} -n=0]이 서로

다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: n]의 개수를 구하시

오.

정답 [eqn: 31]

[eqn: y`=`x^3 -6x^2 `]과 [eqn: y`=`n`]이 서로 다른 세 점에서 만나는

[eqn: n`]의 개수를 구하면 된다.

[eqn: y`=`x^3 -6x^2 `]의 그래프는 [eqn: y``'`=`3x^2 -12x`][eqn: =`3x(x-4`)]

에서 그림과 같다.

서로 다른 세 점에서 만나야 하므로 [eqn: -32`<`n`<`0]이다.

따라서 정수 [eqn: n`]은 [eqn: 31]개다.

[3점][2003학년도 수능]

다음은 첫째 항이 [eqn: ``a`-`15`d`], 공차가 [eqn: d`], 항의 개수

가 [eqn: 31``]인 등차수열이다.

[eqn: a-15d,``` CDOTS ,```a-d,```a,```a+d,``` CDOTS ,```a+15d]

위 항들의 값의 표준편차를 [eqn: σ``]라고 할 때, [eqn: sigma over d`]의 값을

소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.

정답 [eqn: 8.96]

① 평균

[eqn: m= {(a-15d)+(a-14d)+ CDOTS +a+ CDOTS +(a+15d)} over {31}]

[eqn: =` 31a over31 =a`]

② 분산[eqn: =E(X^2 )- E^2 (X`)]에서

[eqn: {(a-15d) ^{2} +(a-14d) ^{2} + CDOTS +a ^{2} + CDOTS +(a+15d) ^{2}} over {31}][eqn: `-a^2]

[eqn: ={31a^2 +2(1+2^2 +`cdots`15^2 )d^2}over31 -a^2]

[eqn: = 2over31 (1^2 +2^2 +`cdots`+15^2 )d^2 =80d^2]

③ 표준편차

[eqn: sigma `=`4sqrt5 `d`]에서 [eqn: sigma over d `=` 4sqrt5]

(단, [eqn: d>0]이고 [eqn: sqrt {5`} =2.24]로 계산한다.)

[3점][2003학년도 수능]

정답과 해설