Do your best ♥ Be the best ★★                                            수학연구소/數/理/院/

수학연구소 /數/理/院/

수능기출

년도	1995년 11월 22일
대상	고3 인문, 예체능 A형

1996학년도 수능《인문, 예체능계》

[eqn: x`=`2`-`sqrt3`,```y`=`2`+`sqrt3`]일 때, [eqn: scale 90 y over x scale 100 + scale 90 x over y`]의 값은?

정답 ④

[eqn: x=2- sqrt {3} ,```y=2= sqrt {3}]에서 [eqn: x+y=4,```xy=1]

[eqn: y over x + x over y ``][eqn: ={x^2 + y^2 } over xy][eqn: = {(x+y)^2 - 2xy } over xy][eqn: = 14]

[1점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 8]	②　[eqn: 10]	③　[eqn: 12]

④　[eqn: 14]	⑤　[eqn: 16]

다항식 [eqn: x`^4`-`3`x`^2`+`a`x`+`5`]를 [eqn: x`+2`]로 나누면 나머

지가 [eqn: 3`]이다. [eqn: a`]의 값은?

정답 ③

[eqn: f(x) = x^4 - 3x^2 + ax +5]로 놓으면

[eqn: x+2 `]로 나눈 나머지는 나머지 정리에서

[eqn: f``(-2) =16 -12 -2a+5][eqn: = 9-2a``]

[eqn: 9-2a``= 3]   [eqn: ∴a=3]

[1점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 0]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 3]

④　[eqn: -2]	⑤　[eqn: -3]

행렬 [eqn: A= {pmatrix{1&&-1#0&&1}}]일 때, [eqn: A`^3`]은?

정답 ①

[eqn: A= {pmatrix{1&&-1#0&&1}}]

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{1&&-1#0&&1}} {pmatrix{1&&-1#0&&1}} = {pmatrix{1&&-2#0&&1}}]

[eqn: THEREFORE ```A ^{3} = {pmatrix{1&&-2#0&&1}} {pmatrix{1&&-1#0&&1}} = {pmatrix{1&&-3#0&&1}}]

[1점][1996학년도 수능]

① [eqn: {pmatrix{1&&-3#0&&1}}]	② [eqn: {pmatrix{1&&0#-3&&1}}]	③ [eqn: {pmatrix{1&&-1#-1&&1}}]

④ [eqn: {pmatrix{-1&&1#1&&-1}}]	⑤ [eqn: {pmatrix{3&&-3#0&&3}}]

정적분 [eqn: int_-1^1``x`(1`-`x`)`^2``d`x`]의 값은?

정답 ④

[eqn: int_-1^1 x(1-x)^2 dx ``][eqn: = int_-1^1 (x^3 -2x^2 + x) dx ``]

[eqn: =2 int_-1^1 -2x^2 ` dx ``][eqn: =-4 left[ x^3 over 3 right]_0^1][eqn: = - 4 over 3]

[1점][1996학년도 수능]

① [eqn: 0]	②　[eqn: -scale 90 2 over 3`]	③ [eqn: scale 90 2 over 3`]

④　[eqn: -scale 90 4 over 3`]	⑤　[eqn: scale 90 4 over 3`]

영문자 [eqn: P,```A,```S,```S]를 일렬로 배열하는 방법의 수

는?

정답 ③

[eqn: 4! over 2! =12]

[1점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 6]	②　[eqn: 8]	③　[eqn: 12]

④　[eqn: 18]	⑤　[eqn: 24]

삼각형 [eqn: rm AB`C`]에 대한 명제

[eqn: ‘ rm barAB`=`barAC`]이면 [eqn: ∠rmB`=`∠rmC`]이다’ 의 역, 이, 대우 중

참인 명제를 모두 적은 것은?

정답 ⑤

[eqn: barAB = barAC `] ⇒ [eqn: ∠B =∠C `]

역 : [eqn: ∠B =∠C `] ⇒ [eqn: barAB = barAC `]

이 : [eqn: barAB != barAC `] ⇒ [eqn: ∠B !=∠C `]

대우 : [eqn: ∠B !=∠C `] ⇒ [eqn: barAB != barAC `]

[1점][1996학년도 수능]

①　대우	②　역, 이	③　이, 대우

④　역, 대우	⑤　역, 이, 대우

오른쪽 그림은 미분가능한

함수 [eqn: y`=`f``(x`)`]와 [eqn: y`=`x`]의 그래

프이다. [eqn: 0＜a＜b]일 때 다음

<보기> 중 옳은 것을 모두

고르면?

정답 ③

Ⅰ) [eqn: f(a) over a]는 원점과 점 [eqn: (a,```f(a))]를 잇는 직선의 기울기

[eqn: f(b) over b]는 원점과 점 [eqn: (b,```f(b))]를 잇는 직선의 기울기

따라서 [eqn: f(a) over a > f(b) over b]

Ⅱ) [eqn: A(a,```f(a)),```B(b,```f(b))]일 때, 직선 [eqn: AB ``]의 기울기는

[eqn: 1]보다 작으므로 [eqn: {f(b)-f(a)} over b-a <1]

[eqn: b-a>0]이므로 [eqn: f(b)- f(a) < b-a ``]

Ⅲ) [eqn: y = f(x)]에서 [eqn: f`'(x)]는 접선의 기울기이므로

점 [eqn: A(a,```f(a))]에서의 접선의 기울기가 점 [eqn: B(b,```f(b))]에

서의 접선의 기울기보다 크다.

[eqn: THEREFORE ```f` prime (a)>f` prime (b)]

[1점][1996학년도 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: scale 90 {f``(a`)} over a scale 100 ＜ scale 90 {f``(b`)} over b`] ㄴ. [eqn: f``(b`)`-`f``(a`)`>`b`-`a`] ㄷ. [eqn: f``'(a`)`＞`f``'(b`)`]

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄷ

④　ㄱ, ㄴ	⑤　ㄴ, ㄷ

부등식 [eqn: (x`^2`-`4`y`^2`)`(x`^2`-`6`x`+`y`^2`+`8)`<=`0`]의 영역을

좌표평면 위에 검게 나타내면?

정답 ②

ⅰ)

ⅱ)

영역의 경계는 [eqn: x^2 - 4 y^2 =0]에서 [eqn: y = +- 1 over 2 x ``]

[eqn: x^2 - 6x +y^2 +8 =0]에서 [eqn: (x-3)^2 +y^2 =1]

따라서, 경계선의 방정식은

직선 [eqn: y = +- 1 over 2 x ``]와 원[eqn: (x-3)^2 +y^2 =1]

또, 원의 중심 [eqn: (3,```0)]에서 직선 [eqn: x+- 2y =0]에 이르는

거리를 구하면 [eqn: d = 3 over root 5 >1]이므로

원과 직선은 만나지 않는다.

원의 중심 [eqn: (3,```0)]을 주어진 부등식에 대입하면

부등식을 만족하므로 구하는 영역은 아래 그림과 같다.

(단, 검은 부분의 경계선은 포함한다.)

[1점][1996학년도 수능]

①

②

③

④

⑤

함수 [eqn: y`=`f``(x`)`]의 그래프가

오른쪽 그림과 같이 주어져

있다. 아래의 그래프로 각각

주어진 함수

[eqn: y`=`g_1`(x`)`], [eqn: y`=`g_2`(x`)`],

[eqn: y`=`g_3`(x`)`] 중에서

[eqn: f``(x`)`]와 곱하여 얻어지는 함수

[eqn: y`=`f``(x`)`g_k`(x`)`][eqn: (k=1,```2,```3)]이 구간 [eqn: [-1,```3]]에서 연속

이 되는 [eqn: g_k`(x`)`]를 모두 고르면?

정답 ⑤

주어진 그래프를 이용하면

[eqn: f(x) = cases{-2x&(-1<=x<=0)#0&(0<=x<=2)#2x-4&(2<=x<=3)}]

[eqn: g_1 (x) = cases{x&(x<=1)#-x+2 &(x>=1)}],[eqn: g_2 (x) = cases{1&(x<0)#2&(x=0)#3& (x>0 )}]

[eqn: g_3 (x)= cases{1&(x<2) #-x+2 &(x>=2 ) }] 이고

따라서, [eqn: f(x)g_1 (x) = cases{-2x^2 &(-1<=x<=0)#0&(0<=x<=2)#(2x-4)(-x+2)&(2<=x<=3)}]

이고

[eqn: f(0)g _{1} (0)=0,```f(2)g _{1} (2)=0]이므로 연속이다.

[eqn: f(x)g_2 (x) = cases{-2x &(-1<=x<=0)#0&(0<=x<=2)#3(2x-4)&(2<=x<=3)}] 이고

[eqn: f(0)g _{2} (0)=0,```f(2)g _{2} (2)=0]이므로 연속이다.

[eqn: f(x)g_3 (x) = cases{-2x &(-1<=x<=0)#0&(0<=x<=2)#(2x-4)(-x+2)&(2<=x<=3)}]이고

[eqn: f(0)g _{3} (0)=0,```f(2)g _{3} (2)=0]이므로 연속이다.

[1점][1996학년도 수능]

①　[eqn: g_1`(x`)`]	②　[eqn: g_2`(x`)`]	③　[eqn: g _{1} `(x),```g _{2} `(x)]

④　[eqn: g _{1} `(x),```g _{3} `(x)]	⑤　[eqn: g _{1} `(x),```g _{2} `(x),```g _{3} `(x)]

[eqn: k=1,```2,```3,```4,``` CDOTS]에 대하여 [eqn: b_k`]가 [eqn: 0`] 또는 [eqn: 1`]이고

[eqn: log _{7} `2`= {b _{1}} over {2} `+` {b _{2}} over {2 ^{2}} `+` {b _{3}} over {2 ^{3}} `+` {b _{4}} over {2 ^{4}} `+` CDOTS `]일 때, [eqn: b _{1} ,```b _{2} ,```b _{3}]의

값을 순서대로 적으면?

정답 ②

[eqn: log _{7} `2= {b _{1}} over {2} + {b _{2}} over {2 ^{2}} + {b _{3}} over {2 ^{3}} + {b _{4}} over {2 ^{4}} + CDOTS]

[eqn: 2log _{7} `2=b _{1} + {b _{2}} over {2} + {b _{3}} over {2 ^{2}} + {b _{4}} over {2 ^{3}} + CDOTS]

또, [eqn: log _{7} `4=b _{1} + {b _{2}} over {2} + {b _{3}} over {2 ^{2}} + {b _{4}} over {2 ^{3}} + CDOTS]     [eqn: THEREFORE ```b _{1} =0]

[eqn: 2log _{7} `4=b _{2} + {b _{3}} over {2} + {b _{4}} over {2 ^{2}} + {b _{5}} over {2 ^{3}} + CDOTS]

[eqn: log _{7} `16=b _{2} + {b _{3}} over {2} + {b _{4}} over {2 ^{2}} + {b _{5}} over {2 ^{3}} + CDOTS]       [eqn: THEREFORE ```b _{2} =1]

[eqn: log _{7} ` {16} over {7} = {b _{3}} over {2} + {b _{4}} over {2 ^{2}} + {b _{5}} over {2 ^{3}} + CDOTS]

[eqn: 2log _{7} ` {16} over {7} =b _{3} + {b _{4}} over {2} + {b _{5}} over {2 ^{2}} + CDOTS]

[eqn: log _{7} `( {16} over {7} ) ^{2} =b _{3} + {b _{4}} over {2} + {b _{5}} over {2 ^{2}} + CDOTS]      [eqn: THEREFORE ```b _{3} =0]

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 0,```0,```0]	②　[eqn: 0,```1,```0]	③　[eqn: 0,```0,```1]

④　[eqn: 0,```1,```1]	⑤　[eqn: 1,```1,```1]

[eqn: rm bar{AB} =2,``` bar{BC} =1,``` ANGLE B=90˚]

인 직각삼각형 [eqn: rm AB`C`]가 있다.

변 [eqn: rm AB`]를 [eqn: n`]등분한 점을 오른쪽

그림과 같이 [eqn: rm B _{1} ,```B _{2} ,```B _{3} ,``` CDOTS],

[eqn: rm B_{itn-1`}]이라 하고, 각 점에서

변 [eqn: bar{rmBC}]에 평행하게 직선을 그어

변 [eqn: rm overline AB`]와 만나는 점을 각각

[eqn: rm C_1`,`~C_2`,`] [eqn: rm C _{3} ,``` CDOTS ,```C _{it n-1}]이라 할

때 [eqn: lim_{n`->`inf}`scale 90 {2`pi} over n scale 100 sum_k=1^n-1`bar{rmB _ k `rmC_k`}``^2`]의

값은?

정답 ④

[eqn: bar{B_k `C_k `^2 } = left( k over n right)^2]이므로

[eqn: lim_n->inf 2pi over n sum_k=1^n-1 bar{B_k `C_k `^2 }][eqn: = lim_n->inf 2pi over n sum_k=0^n-1 left( k over n right)^2]

[eqn: =2pi ` lim_n->inf 1 over n sum_k=0^n-1 left( k over n right)^2]

[eqn: =2pi int_0^1 x^2 dx ``][eqn: = 2pi over 3]

[1점][1996학년도 수능]

①　[eqn: scale 90 pi over 6`]	②　[eqn: scale 90 pi over 3`]	③　[eqn: scale 90 pi over 2`]

④　[eqn: scale 90 {2`pi} over 3`]	⑤　[eqn: pi`]

다음 자료들 중에서 표준편차가 가장 큰 것은?

정답 ①

표준편차가 가장 큰 것은 ①이다.

[1점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 1,```5,```1,```5,```1,```5`,``1,```5,```1,```5`]

②　[eqn: 1,```5,```1,```5,```1,```5,```3,```3,```3,```3]

③　[eqn: 2,```4,```2,```4,```2,```4,```2,```4,```2,```4]

④　[eqn: 2,```4,```2,```4,```2,```4,```3,```3,```3,```3]

⑤　[eqn: 4,```4,```4,```4,```4,```4,```4,```4,```4,```4]

다항식 [eqn: g``(x`)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: g``(g``(x`))`=`x`]이고 [eqn: g``(0)`=`1`]일 때, [eqn: g``(-1)`]의 값은?

정답 ⑤

[eqn: g(g(x))=x,```g(0)=1]에서

[eqn: g(g(0))=0,```g(1)=0]

[eqn: g circ g ``]는 항등함수이므로 [eqn: g = g^-1 ``]

즉, [eqn: g(x)]는 [eqn: y = x``]의 그래프에

대칭인 함수이다.

따라서, 두 점 [eqn: (0,```1),```(1,```0)]을 지나고

직선 [eqn: y = x``]에 대칭인 함수는 두 점을 지나는 직선

즉, 일차함수이다.

[eqn: THEREFORE ```g(x)=-x+1]      [eqn: THEREFORE ```g(-1)=2]

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: -2]	②　[eqn: -1]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: 1]	⑤　[eqn: 2]

실수 전체에서 정의된 함수 [eqn: y`=`f``(x`)`]의 그래프는

아래와 같다.

[eqn: g``(x`)`=`sin`x`]일 때 합성함수 [eqn: y`=`(g`∘f``)`(x`)`]의 그래프

의 개형은?

정답 ②

[eqn: 0<=x <2pi ``]에서 [eqn: f(x)=x ``]

[eqn: f``(x)]는 [eqn: 2 pi ``]를 주기로 하는 주기함수이므로

[eqn: f``(x) = x- 2n pi ``][eqn: (2n pi <= x<2(n+1) pi ,```n은```정수)]

[eqn: g(x)= sinx ``]에서

[eqn: y = (g circ f ``)(x) = sin(x-2n ``pi`` )= sinx ``]

[1점][1996학년도 수능]

①

②

③

④

⑤

그림과 같은 자동차 경주

코스를 두 자동차 [eqn: A,`B`]가 같은

방향으로 돌고 있다. 자동차

[eqn: A,`B`]의 속력은 각각 [eqn: a`km]/분과

[eqn: b`km]/분이고, 경주 코스 한 바퀴의 길이는[eqn: c`km`]이다.

[eqn: 3`a`-`3`b`=`2`c`]가 성립한다고 할 때, 다음 중 옳은 것

은?

정답 ①

[eqn: 3a-3b=2c]에서 [eqn: 3(a-b)=2c]

따라서, [eqn: 3]분마다 [eqn: A]가 [eqn: B]보다 두 바퀴 더 돈다.

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 3]분마다 [eqn: A`]는 [eqn: B`]보다 두 바퀴 더 돈다.

②　[eqn: 3]분마다 [eqn: A`]는 [eqn: B`]보다 한 바퀴 더 돈다.

③　[eqn: 2]분마다 [eqn: A`]는 [eqn: B`]보다 세 바퀴 더 돈다.

④　[eqn: 2]분마다 [eqn: B`]는 [eqn: A`]보다 두 바퀴 더 돈다.

⑤　[eqn: 2]분마다 [eqn: B`]는 [eqn: A`]보다 세 바퀴 더 돈다.

다음은 두 학생 갑과 을 사이의 집합에 관한

논쟁 중에서 그 일부를 적은 것이다.

갑：우리가 생각할 수 있는 집합들 전체의 집합

을 [eqn: S`]라 하자. 그러면 (가) [eqn: S`]는 [eqn: S`]자신을 원소

로 갖는다. 그렇지?

을：그건 말도 안돼. 그런 게 어디 있냐?

갑：좋아. 그러면 (나) 자기 자신을 원소로 갖지

않는 집합들 전체의 집합은 어떠냐?

위의 논쟁 중에서 밑줄 친 부분 (가), (나)에 대한 수학적 표현으로 적절한 것은? [1.5점][1996학년도 수능]

정답 ①

[eqn: S``]가 [eqn: S``]자신을 원소로 가지면 [eqn: S in S `]

또, 자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합들의 전체 집합

은 [eqn: left{A``|``A not in A ,~A는 ~집합 right}]

[가]	[나]

①　[eqn: S`∈`S`]	[eqn: left{A``|``A`not∈`A`,~A`는~집합`right}`]

②　[eqn: S`∈`S`]	[eqn: left{A``|``A`not⊂`A`,~A`는~집합`right}`]

③　[eqn: S`∈`S`]	[eqn: left{A``|``A`∈`A`,~A`는~집합`right}`]

④　[eqn: S`⊂`S`]	[eqn: left{A``|``A`not∈`A`,~A`는~집합`right}`]

⑤　[eqn: S`⊂`S`]	[eqn: left{A``|``A`⊂`A`,~A`는~집합`right}`]

오른쪽 정육면체에서 임의의

세 꼭지점을 택하여 삼각형을

만들 때, 그림과 같은 정삼각형과

합동인 삼각형을 만들 수 있는

방법의 수는?

정답 ③

정육면체의 꼭지점이 [eqn: 8]개이고, 각 꼭지점마다 하나의

정삼각형을 만들 수 있으므로

[eqn: 8]개의 정삼각형을 만들 수 있다.

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 4]	②　[eqn: 6]	③　[eqn: 8]

④　[eqn: 12]	⑤　[eqn: 24]

다음은 제품 [eqn: P_n`]을 만드는 방법과 소요시간에

대한 설명이다. (단, [eqn: n=2 ^{k} ,```k=0,```1,```2,```3,``` CDOTS])

가. 제품 [eqn: P_1`]을 한 개 만드는 데 걸리는 시간은

[eqn: 1`]이다.

나. 제품 [eqn: P_1`]을 차례대로 두 개 만든 다음에

이를 연결하면 제품 [eqn: P_2`]가 만들어진다.

다. 제품 [eqn: P_n`]을 차례대로 두 개 만든 다음에

이를 연결하면 제품 [eqn: P_2n`]이 한 개 만들어진다.

이 때 제품 [eqn: P_n`]을 두 개 연결하는데 걸리는 시간

은 [eqn: 2`n`]이다.

이 때, 제품 [eqn: P_16`]을 한 개 만드는 데 걸리는 시간은?

정답 ③

[eqn: n= 2^k ``], [eqn: k=0,```1,```2,```3,``` CDOTS]이고

[eqn: p _{1} ``` -> ```1]시간

[eqn: p _{2} ``` -> ```p _{1} p _{1} `]연결 : [eqn: 1+1+2 =4]시간

[eqn: p _{4} ``` -> ```p _{2} p _{2} `]연결 : [eqn: 4+4+ 2×2 =12]시간

[eqn: p _{8} ``` -> ```p _{4} p _{4} `]연결 : [eqn: 12+ 12+ 2×4 =32]시간

[eqn: p _{16} ``` -> ```p _{8} p _{8} `]연결 : [eqn: 32+32+ 2×8 = 80]시간

따라서, [eqn: p _{16}]을 한 개 만드는 데 [eqn: 80]시간이 걸린다.

[1점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 32]	②　[eqn: 64]	③　[eqn: 80]

④　[eqn: 96]	⑤　[eqn: 112]

아래 그림은 정사각형들을 붙여 놓은 것이다.

정사각형 [eqn: A`]의 한 변의 길이와 [eqn: B`]의 한 변의 길이의 비

는?

정답 ④

[eqn: A]의 한 변의 길이를 [eqn: a]라 하고 위 그림과 같이 차례로

정해 가면,

[eqn: B``]의 한 변의 길이는 [eqn: 11 over 6 a × 1 over 2 × 3 over 4 = 11 over 16 a ``]

[eqn: THEREFORE ```a```:``` {11} over {6} a=16```:```11]

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 4~:``3`]	②　[eqn: 8~:``5`]	③　[eqn: 15~:``12`]

④　[eqn: 16~:``11`]	⑤　[eqn: 17~:``13`]

오른쪽 그림과 같이

선분 [eqn: rm AB`] 위에 한 점 [eqn: rm C`]를

잡고 선분 [eqn: rm AB`]의 위쪽에

두 정삼각형 [eqn: rm ACD], [eqn: rm BCE]

를 만들었다.

다음은 [eqn: rm barAE`=`barDB`]임을 증명한 것이다.

	[ 증 명 ]
정삼각형 [eqn: rm ACD]에서 [eqn: BOX{~~㈎~~} ``` CDOTS CDOTS ```(1)] 정삼각형 [eqn: rm BCE]에서 [eqn: BOX{~~㈏~~} ``` CDOTS CDOTS ```(2)] 또, [eqn: rm ANGLE ACD= ANGLE ECB=60˚]이므로 [eqn: rm ANGLE ACE=60˚+ ANGLE DCE= ANGLE DCB``` CDOTS CDOTS ```(3)] (1), (2), (3)에서 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인 각의 크기가 같으므로 [eqn: rm △ACE == △DCB] 따라서 [eqn: rm bar{AE} = bar{DB}]이다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은?

정답 ⑤

[eqn: △ACD ``]가 정삼각형이므로 [eqn: bar{AC} = bar{DC} ``` CDOTS CDOTS ```㈎]

[eqn: △BCE ``]가 정삼각형이므로 [eqn: bar{CE} = bar{CB} ``` CDOTS CDOTS ```㈏]

[1점][1996학년도 수능]

[가]	[나]

① [eqn: rm barAC`=`barAD`]	[eqn: rm barCE`=`barBE`]

② [eqn: rm barAC`=`barDC`]	[eqn: rm barCE`=`barBE`]

③ [eqn: rm barAD`=`barCD`]	[eqn: rm barCB`=`barBE`]

④ [eqn: rm barAC`=`barAD`]	[eqn: rm barCE`=`barCB`]

⑤ [eqn: rm barAC`=`barDC`]	[eqn: rm barCE`=`barCB`]

다음은  ‘[eqn: p`]가 짝수, [eqn: q`]가 홀수이면 방정식

[eqn: x`^2`+`p`x`-`2`q`=`0`]은 정수근을 갖지 않는다.’는 것을

증명한 것이다.

	[ 증 명 ]
[eqn: x`]가 [eqn: BOX{~~㈎~~}]이면 [eqn: x`^2`]은 [eqn: BOX{~~㈎~~}]이고 [eqn: p`x`-`2`q`]는 짝수이다. 따라서 [eqn: x`^2`+`p`x`-`2`q`]가 [eqn: BOX{~~㈎~~}]가 되므로 [eqn: BOX{~~㈏~~}]이 될 수 없다. [eqn: x`]가 [eqn: BOX{~~㈐~~}]이면 [eqn: x`^2`+`p`x`]는 [eqn: 4`]의 배수이고 [eqn: 2`q`]는 [eqn: 4`]의 배수가 아니다. 그런데 [eqn: BOX{~~㈑~~}]이므로 모순이다. 따라서, 이 방정식은 정수근을 갖지 않는다.

위의 증명에서 (가)～(라)에 알맞은 것은?

정답 ⑤

[eqn: x``]가 (홀수)이면 [eqn: x^2]은 (홀수)이고

(∵[eqn: x = 2n -1]일 때, [eqn: x^2 = 4n^2 - 4n +1 `])

[eqn: px - 2q ``]는 짝수이다.

따라서, [eqn: x^2 +px -2q ``]가 (홀수)가 되므로

(0)이 될 수 없다.

(∵ [eqn: x^2 `]은 홀수 [eqn: px-2q ``]는 짝수)

[eqn: x``]가 (짝수)이면 [eqn: x^2 + px ``]는 [eqn: 4]의 배수이고

[eqn: 2q ``]는 반드시 [eqn: 4]의 배수 아니다.

그런데 [eqn: (x^2 +px=2q )]이므로 모순이다.

(∵ 좌변은 [eqn: 4]의 배수, 우변은 반드시 [eqn: 4]의 배수가 아니

다.)

따라서, 이 방정식은 정수근을 갖지 않는다.

[1.5점][1996학년도 수능]

(가)	(나)	(다)	(라)

① 짝수,	[eqn: 0],	홀수,	[eqn: x`^2`+`p`x`=`2`q`]

② 짝수,	이차식,	홀수,	[eqn: 2`q`]는 짝수

③ 정수,	[eqn: 0],	짝수,	[eqn: x`^2`+`p`x`=`2`q`]

④ 홀수,	이차식,	짝수,	[eqn: 2`q`]는 짝수

⑤ 홀수,	[eqn: 0],	짝수,	[eqn: x`^2`+`p`x`=`2`q`]

[eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지 자연수가 하나씩 적힌 열 개의

공이 들어 있는 상자가 있다. 이 상자 안의 공들을 잘

섞은 후에 차례로 두 개의 공을 꺼낼 때, 두 번째 꺼낸

공에 적힌 수가 처음 꺼낸 공에 적힌 수보다 큰 수일

확률은[eqn: scale 90 1 over 2`]이다. 다음은 이에 대한 증명이다.

(단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다)

	[ 증 명 ]
처음 꺼낸 공에 적힌 수를 [eqn: X_1`], 두 번째 꺼낸 공에 적힌 수를 [eqn: X_2`]라 하고 구하는 확률을 [eqn: p`]라 하자. [eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: X_1`=`n`]인 사건을 [eqn: A_n`]이라 하고, [eqn: X_2`>=`n`+`1`]인 사건을 [eqn: B_n`]이라 하자. 그러면 [eqn: p= sum _{n=1} ^{10} ` BOX{~~㈎~~} `·`P(A _{n} )][eqn: =` sum _{n=1} ^{9} ` {10`-`n} over {9} ․` BOX{~~㈏~~}] [eqn: =scale 90 1 over 2`] 이다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은?

정답 ⑤

[eqn: p = sum_n=1^10 P(A_n ∩B_n `)][eqn: = sum_n=1^10 P(A_n `)․P(B_n |A_n `)]

[eqn: = sum_n=1^10 [P(B_n |A_n `)] P(A_n `)][eqn: = sum_n=1^10 1 over 10 ․ 10-n over 9]

[eqn: = sum_n=1^10 10-n over 9 ․ left[ ``1 over 10 right] = 1 over 2]

[1.5점][1996학년도 수능]

(가)	(나)

① [eqn: P`(A_n`∩`B_n`)`]	[eqn: scale 90 1 over 10`]

② [eqn: P`(B_n`)`]	[eqn: scale 90 1 over 10`]

③ [eqn: P`(B_n`)`]	[eqn: scale 90 1 over 9`]

④ [eqn: P`(B_n`|``A_n`)`]	[eqn: scale 90 9 over 10`]

⑤ [eqn: P`(B_n`|``A_n`)`]	[eqn: scale 90 1 over 10`]

함수 [eqn: f``(x`)`=scale 90 {x`^2} over 4 scale 100+`a`][eqn: (x`>=`0)`]의 역함수를 [eqn: g``(x`)`]라

할 때, 방정식 [eqn: f``(x`)`=`g``(x`)`]가 음이 아닌 서로 다른 두

실근을 가질 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는?

정답 ①

함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 서로 역함수이므로

직선 [eqn: y = x``]와 대칭이다.

따라서, [eqn: y = f(x)]와 [eqn: y = g(x)]의 교점은 [eqn: y = f(x)]와

[eqn: y = x``]와의 교점과 같다.

곧, [eqn: {x ^{2}} over {4} +a=x]가 서로 다른 두 실근

을 가져야 하므로

[eqn: x^2 -4x +4a =0]에서

[eqn: D/4 = 4-4a >0]   [eqn: ∴~a<1]

그런데 [eqn: x>=0]이므로 음이 아닌 실근을 갖기 위해서는

[eqn: a>=0]이어야 한다.

[eqn: ∴~0<=a<1]

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 0`≦`a`＜`1`]	②　[eqn: a`≧`0`]	③　[eqn: a`＜`1`]

④　[eqn: 0`＜`a`＜`2`]	⑤　[eqn: a`＜`2`]

다음 그림과 같이 정사각형에 직각 이등변삼각형

과 정사각형을 번갈아 붙이는 과정을 한없이 반복한다.

이 때 사각형을 [eqn: S_1`,] [eqn: S_2`,] [eqn: S _{3} ,``` CDOTS], 삼각형을

[eqn: T _{1} ,```T _{2} ,```T _{3} ,``` CDOTS]이라고 하자. [eqn: S_1`]의 한 변의 길이가 [eqn: 2]일

때, 이들 삼각형과 사각형의 넓이의 총합은?

정답 ①

각 변의 길이는 다음 그림과 같이 정해진다.

[eqn: S=S _{1} +S _{2} +S _{3} + CDOTS][eqn: =2 ^{2} +( sqrt {2} ) ^{2} +1 ^{2} + CDOTS]

[eqn: =4+2+1+ CDOTS][eqn: = 4 over {1 - 1 over 2 }=8]

[eqn: T=T _{1} +T _{2} +T _{3} + CDOTS][eqn: = 1 over 2 (root 2 )^2 + 1 over 2 ․1^2 + 1 over 2 ( 1 over root 2 )^2]

[eqn: =1+ {1} over {2} + {1} over {4} + CDOTS][eqn: = 1 over {1- 1 over 2}= 2]

[eqn: THEREFORE ```S+T=8+2=10]

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 10]	②　[eqn: 11]	③　[eqn: 12]

④　[eqn: 13]	⑤　[eqn: 14]

좌표평면 위의 세 점

[eqn: rm A(0,```2)], [eqn: rm B(-1,```0),```C(1,```0)]

으로 이루어지는 [eqn: rm △AB`C`]의

내부 또는 변 위의 점 [eqn: rm P`]에서

변 [eqn: rm AB,```BC,```CA]까지의 거리

를 각각 [eqn: a,```b,```c]라 하자.

[eqn: 4b=5(a+c) ^{2}]일 때, 점 [eqn: rm P]의

자취는?

정답 ②

직선 [eqn: AB``]의 방정식은 [eqn: 2x-y+2=0]

직선 [eqn: AC``]의 방정식은 [eqn: 2x+y-2=0]

[eqn: P(X,```Y`)]라 하면 주어진 조건에서

[eqn: Y <= 2x+2,```Y <= -2X+2,```Y >= 0``` CDOTS CDOTS ```ⅰ)]

[eqn: a= |2X-Y+2| over sqrt 5][eqn: = 2X-Y+2 over sqrt 5]

[eqn: b=Y ``]

[eqn: c = |2X+Y-2| over sqrt 5][eqn: = -2X-Y+2 over sqrt 5]

이것을 [eqn: 4b = 5(a+c)^2]에 대입하여 정리하면

[eqn: 4Y= 5 left( -2Y+4 over sqrt 5 right)^2]

[eqn: 4Y = 4Y``^2 -16Y + 16]

[eqn: Y``^2 -5Y+4 =0] [eqn: Rarrow~(Y-1)(Y+4) =0]

[eqn: THEREFORE ```Y=1,```4]

[eqn: Y =4]는 영역ⅰ)에 속하지 않으므로 [eqn: Y =1]

따라서, [eqn: x``]축에 평행인 선분

[2점][1996학년도 수능]

①　한 점	②　[eqn: x`]축에 평행인 선분

③　[eqn: y`]축에 평행인 선분	④　포물선의 일부인 곡선

⑤　원의 일부인 곡선

좌표평면 위에 연립 부등식

[eqn: cases{|x``|`+`|y``|`≦`4#log_2`(x+y`)`^4`-`log_2`(x+y`)^2`≧`2}`]

가 나타내는 영역이 있다. 중심이 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,```-1 RIGHT )]이고 반지름

의 길이가 [eqn: r``]인 원이 이 영역과 만날 때, [eqn: r``]의 최소값과

최대값은?

정답 ④

[eqn: log_2 (x+y)^4 - log_2 (x+y)^2 >=2]을 정리하면

[eqn: log_2 (x+y)^2 >=2] [eqn: Rarrow~(x+y)^2 >=4 `]

[eqn: THEREFORE ```|`x+y`| >= 2]

따라서, [eqn: |`x`|+|`y`| <= 4]와의 공통부분을 표시하면

어두운 부분과 같다.

원[eqn: left( x- 1 over 2 right)^2 + (y+1)^2 = r^2 `]에서 [eqn: r``]의 최소값은

원이 직선 [eqn: x+y+2 =0]과 접할 때이므로

[eqn: r ={ left| 1 over 2 - 1+2 right|} over sqrt 2][eqn: = {3sqrt 2 } over 4]

또, [eqn: r``]의 최대값은 점 [eqn: (0,```4)]를 지날 때이므로

두 점 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,```-1 RIGHT )]과 점 [eqn: (0,```4)]사이의 거리를 구하면

[eqn: r = sqrt {left( 1 over 2 right)^2 + (4+1)^2 }][eqn: = sqrt 101 over 2]

[2점][1996학년도 수능]

[최소값]	[최대값]

① [eqn: scale 90 sqrt2 over 4 `],	[eqn: scale 90 sqrt85 over 2`]

② [eqn: scale 90 {5`sqrt2} over 4`],	[eqn: scale 90 sqrt101 over 2`]

③ [eqn: scale 90 {3`sqrt2} over 4`],	[eqn: scale 90 sqrt85 over 2`]

④ [eqn: scale 90 {3`sqrt2} over 4`],	[eqn: scale 90 sqrt101 over 2`]

⑤ [eqn: scale 90 sqrt2 over 4`],	[eqn: scale 90 sqrt101 over 2`]

하행 [eqn: 4`]개 차선으로 이루어진 고속도로를 차량들

이 시속 [eqn: 100`km]/시 이하, 차간거리 [eqn: 100`m] 이상 유지하

며 달리고 있다. 한 시간 동안 도로 위의 한 지점을

통과하는 하행 [eqn: 4`]개 차선의 차량을 모두 셀 때, 다음 중

통과 가능한 차량의 최대 수는?

정답 ②

[eqn: 100rmkm]의 구간에 [eqn: 100rm m ``]의 간격으로 [eqn: 4]대씩 서 있다고

생각한다.

[eqn: 1]개 차선의 대수는 [eqn: 100000 over 100 = 1000]

차선이 [eqn: 4]개이므로 [eqn: 1000×4 = 4000]

(단, 차량의 길이는 무시한다.)

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 2000]	②　[eqn: 4000]	③　[eqn: 6000]

④　[eqn: 8000]	⑤　[eqn: 10000]

대학수학능력시험 수리․탐구 영역(Ⅰ)의 문항수는

[eqn: 30]개이고 배점은 [eqn: 40]점이다. 문항별 배점은 [eqn: 1]점, [eqn: 1.5]점,

[eqn: 2]점의 세 종류이다. 각 배점 종류별 문항이 적어도 한

문항씩 포함되도록 하려면 [eqn: 1]점짜리 문항은 최소 몇 문

항이어야 하는가?

정답 ④

[eqn: 1]점짜리 문항을 [eqn: x]개, [eqn: 1.5]점짜리 문항을 [eqn: y]개,

[eqn: 2]점짜리 문항을 [eqn: z]개라고 하면

[eqn: x+1.5y+2z=40``` CDOTS CDOTS ```㉠]

[eqn: x+y+z=30```(x >= 1,```y >= 1,```z >= 1)``` CDOTS CDOTS ```㉡]

[eqn: ㉠×2 - ㉡×3]하면 [eqn: -x+z =-10]

[eqn: ∴~x = z+10]

[eqn: z>=1]이므로 [eqn: x = z+10>11]

이 때 [eqn: y = 18]이고 주어진 조건을 만족하므로

[eqn: x``]의 최소값은 [eqn: 11]

[1.5점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 8]	②　[eqn: 9]	③　[eqn: 10]

④　[eqn: 11]	⑤　[eqn: 12]

가로의 길이가 [eqn: 10], 세로의 길이가 [eqn: 6]인 아래 그림

과 같은 직사각형의 내부에서 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원

이 지나간 자리에는 형광 페인트가 칠해진다고 한다.

원의 중심이 그림과 같이 [eqn: rm A`]부터 [eqn: rm B`]까지 화살표 방향의

경로를 따라 움직일 때, 직사각형의 영역 중 형광 페인

트가 칠해지지 않는 부분의 넓이는?

정답 ③

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이

화살표 방향을 따라 이동할

때 지나지 않는 부분은

오른쪽 아래 그림에서

어두운 부분이다.

따라서, 그 넓이는 한 변의

길이가 [eqn: 2]인 정사각형에서

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원을

제외한 부분의 넓이의 [eqn: 2]배와 같다.

[eqn: ∴~2(4-pi ``)]

(단, 경로를 구성하는 모든 선분은 직사각형의 변에

평행하거나 수직이다.)

[2점][1996학년도 수능]

①　[eqn: 0]	②　[eqn: 10`-scale 90 5 over 2 scale 100 pi`]	③　[eqn: 8`-`2`pi`]

④　[eqn: 6`-scale 90 3 over 2 scale 100 pi`]	⑤　[eqn: 4`-`pi`]

아래 그림은 어느 도시의 도로망을 나타낸 것이

다. 정사각형 모양을 이루는 간선도로는 교차로간의

거리가 모두 [eqn: 1]로 일정하고, 도시 순환로는 [eqn: rm O`]를 중심으

로 하는 원의 일부로 되어 있다.

네 개의 대리점 [eqn: rm A,```B,```C,```D]를 소유하고 있는 한 유통

회사에서 순환도로 위의 가, 나, 다, 라, 마 중 한 곳에

물품창고를 세우려고 한다. 이 때 물품창고에서 도로를

따라 대리점 [eqn: rm A,```B,```C,```D]에 이르는 최단거리를 각각

[eqn: a,```b,```c,```d]라 하자. [eqn: a+b+c+d]가 최소가 되는 물품창

고의 위치는?

정답 ①

[eqn: x``]를 나와 [eqn: D`] 사이의 거리, [eqn: y ``]를 [eqn: arch{나다}]의 거리라고 하면

가 에서 [eqn: 3+3+4+1=11]

나 에서 [eqn: 5+2+x+3+x+x``][eqn: = 10+3x >11]

[eqn: left( ∵ 1 over 2 <x <1 right)]

다 에서

[eqn: x+y+4+2+3+x+y][eqn: =9+2(x+y)>11]

[eqn: ( BECAUSE ```x+y>1)]

라 에서

[eqn: x+2y+4+x+2+x+1+x+2][eqn: =9+4x+2y>11]

마 에서 [eqn: 7+3+2+3=15]

따라서, 최소가 되는 물품창고의 위치는 가 이다.

[2점][1996학년도 수능]

①　가	②　나	③　다

④　라	⑤　마

정답과 해설