수리 영역

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2009 1차 시험 해설

수리 영역

1. ⑤	2. ①	3. ④	4. ②	5. ③

6. ④	7. ①	8. ②	9. ④	10. ⑤

11. ⑤	12. ④	13. ③	14. ②	15. ③

16. ③	17. ③	18. ①	19. ⑤	20. ⑤

21. ⑤	22. ②	23. ①	24. ③	25. ④

1. 식과 그 연산

정답 ⑤

다항식 [eqn: f(x)``]를 [eqn: x ^{2} +x-6]으로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라 하면

[eqn: f(x)=(x ^{2} +x-6) BULLETQ(x)+5x-1]

[eqn: =(x-2)(x+3) BULLETQ(x)+5x-1]   ……… ㉠

㉠에 [eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: f(2)=9]

㉠에 [eqn: x=-3]을 대입하면 [eqn: f(-3)=-16]

다항식 [eqn: f(2x+3)``]을 [eqn: 2x+1]로 나눈 몫을 [eqn: Q _{1} (x)], 나머지를 [eqn: R _{1} (x)]라 하면

[eqn: f(2x+3)=(2x+1) BULLET Q _{1} (x)+R _{1} (x)]  ……… ㉡

㉡에 [eqn: x=- {1} over {2}]을 대입하면 [eqn: R _{1} left(- {1} over {2} right)=f(2)=9]

따라서 [eqn: f(2x+3)``]을 [eqn: 2x+1]로 나눈 나머지는 9이다.

❰다른 풀이❱

다항식 [eqn: f(x)``]를 [eqn: x ^{2} +x-6]으로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라 하면

[eqn: f(x)=(x ^{2} +x-6) BULLETQ(x)+5x-1]

[eqn: =(x-2)(x+3) BULLETQ(x)+5x-1]

[eqn: f(2x+3)][eqn: =(2x+1)(2x+6)Q(2x+3)+5(2x+3)-1]

[eqn: =(2x+1)(2x+6)Q(2x+3)+5(2x+1)+10-1]

[eqn: =(2x+1)]{[eqn: (2x+6)Q(2x+3)+5]}[eqn: +9]

따라서 [eqn: f(2x+3)``]을 [eqn: 2x+1]로 나눈 나머지는 9이다.

2. 행렬

정답 ①

[eqn: pmatrix{1&```0#2&```1} =B]라 두면

[eqn: pmatrix{1&```0#2&```1} A= pmatrix{2&```0#0&```2}]이므로 [eqn: BA=2E]

[eqn: THEREFORE ~A ^{-1} = {1} over {2} B]

[eqn: (A ^{-1} ) ^{3} = LEFT ( {1} over {2} B RIGHT ) ^{3} = {1} over {8} B ^{3}]

[eqn: B ^{3} = pmatrix{1&0#2&1} pmatrix{1&0#2&1} pmatrix{1&0#2&1} = pmatrix{1&0#4&1} pmatrix{1&0#2&1} = pmatrix{1&0#6&1}]

따라서 [eqn: (A ^{-1} ) ^{3}]의 모든 성분의 합은

[eqn: {1} over {8} (1+0+6+1)=1]이다.

3. 행렬

정답 ④

행렬 [eqn: pmatrix{x-8````&y#6-y````&x}]의 역행렬이 존재하지 않으므로[eqn: (x-8)x-y(6-y)=0]

[eqn: x ^{2} -8x+y ^{2} -6y=0]

[eqn: (x-4) ^{2} +(y-3) ^{2} =25]

즉, 중심이 [eqn: (4,```3)]이고

반지름이 [eqn: 5]인 원이다.

[eqn: x ^{2}+y^{2}=(x-0)^{2}+(y-0)^{2}]이므로 원점에서 원 위의 점까지의 거리의 제곱이다. 그러므로 원의 지름의 제곱이 최댓값이 된다. 따라서 최댓값은 [eqn: 10^{2}=100]이다.

4. 수열

정답 ②

[eqn: a _{1} =2+(-1) ^{LEFT[ {1} over {2} RIGHT ]}=2+1=3]

[eqn: a _{2} =2+(-1) ^{LEFT [ {2} over {2} RIGHT ]} =2-1=1]

[eqn: a _{3} =2+(-1) ^{LEFT [ {3} over {2} RIGHT ]} =2-1=1]

[eqn: a _{4} =2+(-1) ^{LEFT [ {4} over {2} RIGHT ]} =2+1=3]

[eqn: a _{5} =2+(-1) ^{LEFT [ {5} over {2} RIGHT ]} =2+1=3]

[eqn: VDOTS]

[eqn: n=4k-3,~4k(k=1,``2, CDOTS )]인 경우  [eqn: a _{n`} =3]

[eqn: n=4k-2,~4k-1(k=`1,``2, CDOTS )]인 경우  [eqn: a _{n`} =1]

즉, [eqn: (3,``1,``1,``3)]이 계속 반복된다.

따라서 [eqn: 2009=4 TIMES 502+1]이므로

[eqn: THEREFORE~ sum _{n=1} ^{2009} a _{n} =8 TIMES 502+a _{2009} =4016+3=4019]

5. 지수와 로그

정답 ③

[eqn: log`x+log`3=2log(2x-3y)-logy`]에서

진수 조건에 의하여

[eqn: x>0`,``y>0,``2x-3y>0]

[eqn: log`3x=log {(2x-3y) ^{2}} over {y}]

[eqn: 3x= {(2x-3y) ^{2}} over {y}]

[eqn: 3xy=(2x-3y) ^{2}]

[eqn: =4x ^{2} -12xy+9y ^{2}]

[eqn: 4x ^{2`} -15xy+9y ^{2} =0]

[eqn: (4x-3y)(x-3y)=0]

[eqn: THEREFORE~4x=3y``]또는 [eqn: x=3y]

진수 조건에 의하여 [eqn: 2x>3y]이므로 [eqn: 4x != 3y]

따라서 [eqn: x=3y]이므로 [eqn: {x} over {y} =3]이다.

6. 삼각함수

정답 ④

세 원의 반지름의 길이의

비가 [eqn: 2:`3:`4]이므로

다음 그림과 같이

각 원의 반지름을

[eqn: 2x,``3x,``4x]라 두자.

제이코사인법칙에 의하여

[eqn: cos theta = {(7x) ^{2} +(6x) ^{2} -(5x) ^{2}} over {2 BULLET 7x BULLET 6x} = {5} over {7}]

7. 도형의 방정식

정답 ①

[eqn: {rmO}(0,``0),~{rmA}(1,``0),~{rmB}(x,``y)]라 하면,

[eqn: TRIANGLE{rmOAB}]의 무게중심의 좌표는 [eqn: {rmG}left({ x+1} over {3 },`` { y} over {3 }right)]

[eqn: { x+1} over {3 }=X,~{ y} over {3 }=Y]로 두면,

[eqn: x=3X-1,~y=3Y]

[eqn: {rm B}(x,``y)]는 제 [eqn: 1]사분면에 있는

사분원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]위에서

움직이는 점이므로

[eqn: (3X-1)^2 +(3Y)^2 =1]

[eqn: THEREFORE~left(X- { 1} over {3 }right)^2 +Y^2 = { 1} over {9 }] [eqn: left(단,~X>{1}over{3} ,~Y>0right)]

따라서 [eqn: TRIANGLE{rmOAB}]의 무게중심이 움직여서 그리는 도형의 길이는 반지름이 [eqn: { 1} over {3 }]인 원주의 [eqn: {1} over {4}]이므로 [eqn: { 2} over {3 } pi TIMES { 1} over {4 }= { pi} over {6 }]

❰다른 풀이❱

[eqn: rm O it (0,``0),~ rm A it (1,``0),~ rm B it (cos theta ,``sin theta )]라 하면,

[eqn: TRIANGLE{rmOAB}]의 무게중심의 좌표는 [eqn: rm G it LEFT ( {cos theta +1} over {3} ,`` {sin theta } over {3} RIGHT )]

[eqn: costheta=3x-1,~sintheta=3y]

[eqn: {cos^2}theta+{sin^2}theta=1]이므로

[eqn: (3x-1)^2 +(3y)^2 =1]

[eqn: left(x-{1}over{3}right)^2 +y^2 ={1}over{9}] [eqn: left(단,~x>{1}over{3},~y>0right)]

따라서 [eqn: TRIANGLE{rmOAB}]의 무게중심이 움직여서 그리는 도형의 길이는 반지름이 [eqn: { 1} over {3 }]인 원주의 [eqn: {1} over {4}]이므로 [eqn: { 2} over {3 } pi TIMES { 1} over {4 }= { pi} over {6 }]

8. 수와 연산

정답 ②

주어진 조건 {[eqn: 2,``4,``6]}[eqn: SMALLUNION{C}] = {[eqn: 3,``6]}[eqn: SMALLUNION{C}]를 만족하는 부분집합 [eqn: C]는 [eqn: 2,``3,``4]를 반드시 포함해야 한다. 따라서 [eqn: 2,``3,``4]를 제외한 나머지 원소들의 부분집합의 개수는 [eqn: 2 ^{3} =8](개)이다.

9. 함수

정답 ④

ⅰ) [eqn: c>0]인 경우

[eqn: f(1)=a+c=2]

[eqn: THEREFORE ~a=2-c]

ⅱ) [eqn: c=0]인 경우

[eqn: f(1)=a=2]                         [eqn: THEREFORE ~a=2]

ⅲ) [eqn: c<0]이고, [eqn: □f(0)□=2]인 경우

[eqn: □f(0)□=□`c`□=2]이므로

[eqn: c=-2]

그런데, [eqn: □f(0)□ >= □f(1)□]                이므로 [eqn: 2 >= □a-2□]

[eqn: THEREFORE ~ 0<a<=4]

ⅳ) [eqn: c<0]이고, [eqn: □f(1)□=2]인 경우

[eqn: □f(1)□=□`a+c`□=2]

그런데, [eqn: □f(0)□ <= □f(1)□]                이므로 [eqn: |`c`|<=2]이고

[eqn: a=-c+2]이므로

[eqn: therefore~2 <a <= 4]

따라서 ⅰ)～ⅳ)에 의하여 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 4]이다.

10. 함수

정답 ⑤

두 함수 [eqn: f(x)=5-□`x`□],

[eqn: g(x)=-5+ |`x`|]에 대하여

[eqn: f(g(x))= cases{5-g(x)```&(g(x) >= 0)#5+g(x)&(g(x)<`0)}]

ⅰ) [eqn: g(x)>=0]인 경우 ([eqn: x >= 5~또는~x<=- 5])

[eqn: x>=5]일 때, [eqn: f(g(x))=5-(-5+x)=10-x]

[eqn: x<=-5]일 때, [eqn: f(g(x))=5-(-5-x)=10+x]

ⅱ) [eqn: g(x)<0]인 경우 ([eqn: -5<x<5])

[eqn: -5<x<=0]일 때, [eqn: f(g(x))=5+(-5-x)=-x]

[eqn: 0 <= x<5]일 때, [eqn: f(g(x))=5+(-5+x)=x]

[eqn: THEREFORE ~f(g(x))= cases{10-x````&(x >= 5)#x&(0 <= x<5)#-x&(-5 <x<=0)#10+x&(x<=-5)}]

따라서 부등식 [eqn: 0<=y<=f(g(x))]가 나타내는 영역의 넓이는 [eqn: 10times5times{1}over{2}times2=50]이다.

11. 부등식의 영역

정답 ⑤

[eqn: x^2 -4y^2 =(x+2y)(x-2y)>=0] 에서

ⅰ) [eqn: x+2y>=0,~x-2y>=0]일 때

[eqn: y>=-{1}over{2} x,~y<={1}over{2} x]

ⅱ) [eqn: x+2y<=0,~x-2y<=0]일 때

[eqn: y<=-{1}over{2} x,~y>={1}over{2} x]

이므로

연립부등식 [eqn: cases{``|`x`|+|`y`| <= 1#``x ^{2} -4y ^{2} >= 0}]

가 나타내는 영역은 오른쪽

그림의 어두운 부분과 같다.

[eqn: x ^{2} +2y=k]로 놓으면 [eqn: y=-{1}over{2} x^2 +{1}over{2} k]  ……… ㉠

[eqn: k]의 값은 포물선 ㉠이 직선 [eqn: y=-{1}over{2} x], [eqn: y={1}over{2} x]에 접할 때, 최소가 되므로

[eqn: - {1} over {2} x ^{2} + {1} over {2} k= {1} over {2} x]

[eqn: x ^{2} +x-k=0]

[eqn: D=1+4k=0]

[eqn: THEREFORE~k=- {1} over {4}]

12. 순열과 조합

정답 ④

[eqn: 3]명의 경위가 서로 다른 세 순찰차에 탑승하는 방법의 수는 [eqn: 3! =6](가지)

[eqn: 8]명의 순경이 [eqn: 3]명, [eqn: 3]명, [eqn: 2]명의 세 조로 나뉘어 서로 다른 세 순찰차에 탑승하는 방법의 수는

[eqn: left(`_8{rmC}_3 times`_5{rmC}_3 times`_2{rmC}_2 times{1}over{2!}right)times3! =1680](가지)

따라서 탑승하는 방법의 수는

[eqn: 6times1680=10080](가지)

13. 확률분포와 통계적 추정

정답 ③

조건에서 [eqn: f(1-x)=f(1+x)]이므로 확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에 대하여 대칭이고,

[eqn: -2<=X<=4]이므로 확률밀도함수의 성질에 의해

[eqn: {rmP}(-2<=X<=1)={rmP}(1<=X<=4)={1}over{2}]

그러므로 조건 [eqn: rm P it (1 <= X <= 3)= rm 2P it (3 <= X <= 4)]에 의해 [eqn: {rmP}(1<=X<=3)={1}over{3}]

[eqn: {rmP}(0<=X<=3)={rmP}(0<=X<=1)+{rmP}(1<=X<=3)]

[eqn: ={1}over{4} +{1}over{3}]

[eqn: ={7}over{12}]

14. 확률분포와 통계적 추정

정답 ②

보험회사의 긴급 차량 서비스의 출동 시간을 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rmN}(20,~4^2 )]을 따른다.

크기가 [eqn: 16]인 표본의 표본평균을 [eqn: bar{X}]라고 하면

[eqn: {rmE}(bar{X})=20,~{rmV}(bar{X})={4^2}over{16} =1]

이므로 [eqn: {barX}]는 정규분포 [eqn: {rmN}(20,~1^2 )]을 따른다.

[eqn: {rmP}(18<={barX }``<=21)={rmP}left({18-20}over1}<=Z``<={21-20}over{1}right )]

[eqn: = rm P it (-2 <= Z it `` <= 1)]

[eqn: =0.4772+0.3413]

[eqn: =0.8185]

15. 지수함수와 로그함수

정답 ③

[eqn: y=k BULLET 2 ^{x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a _{k}]만큼 평행이동하면 [eqn: y=2^x]의 그래프와 일치하므로

[eqn: k BULLET2^x-a_k =2^x]

[eqn: THEREFORE`k=2^a_k]

[eqn: THEREFORE`a_k =log_2 k]

따라서 [eqn: a _{2n} =log _{2} 2n]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{2n} = sum _{n=1} ^{10} (log _{2}2 n)]

[eqn: =log _{2} (2times4times6times CDOTStimes20)]

[eqn: =log _{2}"{"2 ^{10} BULLET (1times2times3times CDOTStimes10) ~"}"]

[eqn: =log_2 (2^10 BULLET 10!)]

[eqn: THEREFORE~m=2^10 BULLET 10!]

16. 삼각함수

정답 ③

다음의 [eqn: y= LEFT [ cosx+ {1} over {2} RIGHT ]] 그래프에서

ⅰ) [eqn: x=0]인 경우

[eqn: left[cosx+{1}over{2}right]=1=-k]  [eqn: THEREFORE ~k=-1]

ⅱ) [eqn: 0<x <= {pi } over {3}( image1.05)]인 경우

정수 [eqn: x=1]이므로

[eqn: LEFT [ cosx+ {1} over {2} RIGHT ] =1=1-k]  [eqn: THEREFORE ~k=0]

ⅲ) [eqn: {pi} over {3}(image1.05) < x <= {2 } over {3} pi(image2.11)]인 경우

정수 [eqn: x=2]이므로

[eqn: LEFT [ cosx+ {1} over {2} RIGHT ] =0=2-k]  [eqn: THEREFORE ~k=2]

ⅳ) [eqn: {2} over {3} pi (image2.11)<x <= pi(image3.14)]인 경우

정수 [eqn: x=3]이므로

[eqn: LEFT [ cosx+ {1} over {2} RIGHT ] =-1=3-k]  [eqn: THEREFORE `k=4]

따라서 주어진 방정식의 정수해가 존재하도록 하는 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: -1+0+2+4=5]이다.

17. 수열

정답 ③

[eqn: a_n = a BULLETr^n-1 (a>0,~r>0)]라 두면

[eqn: sum _{ k=1} ^{12 }a_k ={a(r^12 -1)}over{r-1} =100]          ……… ㉠

수열 [eqn: left{{1}over{a_n}right}]은 첫째항이 [eqn: {1}over{a}]이고, 공비가 [eqn: {1}over{r}]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{12} {1} over {a _{k}} = {{1} over {a}left (1- {1} over {r ^{12}}right )} over {1- {1} over {r}} = {r(r ^{12`} -1)} over {ar ^{12} (r-1)} =10] …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면, [eqn: a ^{2`}r^11 =10]

[eqn: THEREFORE~ sum _{ k=1} ^{12 }loga_k =log(a_1 timesa_2 times CDOTStimesa_12 )]

[eqn: =log(a^12 r^{{11times12}over{2}} )=log(a^12 r^66 )]                     [eqn: =log(a^2 r^11 )^6 =log10^6 =6]

18. 수열

정답 ①

[eqn: n^2 a_n+1 =(n+1)^2 a_n +2n+1]의 양변을 [eqn: n^2 (n+1)^2]으로 나누면

[eqn: {1}over{(n+1)^2} a_n+1 ={1}over{n^2} a_n +{2n+1}over{n^2 (n+1) ^2}]

이제, [eqn: b_n ={a_n}over{n^2}]이라 두면

[eqn: b_n+1 =b_n +{2n+1}over{n^2 (n+1)^2]

그러므로 [eqn: b_n =b_1 + sum _{ k=1} ^{n-1 }{2k+1}over{k^2 (k+1)^2]

[eqn: = sum _{k=1} ^{n-1} LEFT { {1} over {k ^{2}} - {1} over {(k+1) ^{2}} RIGHT }][eqn: left( BECAUSE b _{1} = {a _{1}} over {1 ^{2}} =0right)]

[eqn: =1-{1}over{n^2}]

[eqn: ={n^2 -1}over{n^2}]

[eqn: THEREFORE ~a _{n} =n ^{2} b _{n} =n ^{2} -1]

따라서 [eqn: a _{20} =20 ^{2`} -1=399]

19. 지수함수와 로그함수

정답 ⑤

직선 [eqn: l]을 [eqn: y=-x+m]이라 두면

[eqn: rm A it (a,~-a+m),` rm B it (c,~-c+m)]

그러므로 조건에 의해 [eqn: bar{rm AB it} = sqrt {(a-c) ^{2} +(a-c) ^{2}}]

[eqn: sqrt {2(a-c) ^{2}} = sqrt {2}]   [eqn: THEREFORE a-c=-1```( BECAUSE 1<a<c)]

또, 점 [eqn: {rmA}(a,~b)]는 곡선 [eqn: y=log_2 x] 위의 점이고,

점 [eqn: {rmB}(c,~d)]는 곡선 [eqn: y=log_4 (x+2)] 위의 점이므로

[eqn: b=log _{2} a,~d=log _{4} (c+2)]이다.

[eqn: bar {{rmAB}}]의 기울기가 [eqn: -1]이므로

[eqn: {log _{2} a-log _{4} (c+2)} over {a-c} =-1]

[eqn: log _{2`} a- {1} over {2} {rm log}_{2} (c+2)`=1~~~( BECAUSE a-c=-1)]

[eqn: 2log_2 a-log_2 (c+2) =2]

[eqn: log_2 {a^2}over{c+2 }=2]

[eqn: a ^{2} =4(c+2)]

[eqn: a^2 -4a-12=(a-6)(a+2)=0]   [eqn: (BECAUSEc=a+1)]

[eqn: THEREFORE~a=6~~( BECAUSE1<a)]

따라서 [eqn: a+c=6+7=13]이다.

20. 확률

정답 ⑤

[eqn: n]개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수의 최댓값이 5가 되기 위해서는  [eqn: 6]의 눈은 나오지 않아야 하고 [eqn: 5]의 눈은 적어도 하나가 나와야 한다.

[eqn: 6]의 눈이 나오지 않을 확률은 [eqn: {left({5}over{6}right)}^n]

[eqn: 6], [eqn: 5]의 눈이 나오지 않을 확률은 [eqn: {left({4}over{6}right)}^n]

이므로 6의 눈은 나오지 않고, 5의 눈은 적어도 하나가 나올 확률은 [eqn: {rm P} _{n} it = LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{n} - LEFT ( {4} over {6} RIGHT ) ^{n}]이다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF }{ rm P} it _{n} = sum _{n=1} ^{INF } LEFT { LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{n} - LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n} RIGHT }]

[eqn: = {{5} over {6}} over {1- {5} over {6}} - {{2} over {3}} over {1- {2} over {3}}]

[eqn: =5-2]

[eqn: =3]

21. 수열의 극한

정답 ⑤

원소의 개수가 [eqn: k]인 집합 [eqn: X]를 만드는 경우의 수는 [eqn: `_n{rmC}_k]

전체집합의 원소 [eqn: n]개에서 집합 [eqn: X]의 원소 [eqn: k]개를 제외한 [eqn: n-k]개를 이용하여 집합 [eqn: Y]를 만드는 경우의 수는 [eqn: 2^n-k]

그런데, 조건에서 [eqn: n(X SMALLINTERY)=1]이므로 집합 [eqn: X]의 원소 중 하나를 집합 [eqn: Y]에 넣어주면 된다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: sum _{ k=1} ^{n }`_n{rmC}_k BULLET 2^n-k BULLET k](가지)

22. 방정식과 부등식

정답 ②

주어진 이차방정식 [eqn: x^2 +8px-q^2 =0]에서 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: alpha+beta=-8p,~alphabeta=-q^2]

그런데 [eqn: alpha,~beta]가 모두 정수이고, 두 근의 곱이 [eqn: -q^2]이므로

[eqn: alpha,~beta]가 [eqn: q~또는~-q], [eqn: -1~또는~q^2], [eqn: 1~또는~-q^2]인 경우뿐이다.

ⅰ) [eqn: alpha=q,~beta=-q] 일 때

[eqn: alpha+beta=q+(-q)=0] (모순)

ⅱ) [eqn: alpha=-1,~beta=q^2] 일 때

[eqn: alpha + beta =-1+q ^{2} =-8p]

[eqn: p>1]이므로 [eqn: -1+q ^{2`} =-8p<0]

즉, [eqn: q ^{2} <1]

그런데 [eqn: q>1]이므로 [eqn: q ^{2} >1] (모순)

ⅲ) [eqn: alpha=1,~beta=-q^2] 일 때

[eqn: alpha+beta=1-q^2 =-8p]

[eqn: (1-q)(1+q)=-8p]

이를 만족하는 소수는 [eqn: p=3,~q=5] 뿐이다.

따라서 이차방정식 [eqn: x^2 +24x-25=0]의 두 근은

[eqn: 1,~-25]이므로 [eqn: |`alpha-beta`|=26]

[eqn: THEREFORE~ |`alpha-beta`|+p+q=26+3+5]

[eqn: =34]

23. 함수

정답 ①

원의 중심을 [eqn: {rmO}],

[eqn: bar { {rmPT}}]와 원 [eqn: {rmO}]의 접점을 [eqn: {rmH}]라 하면

[eqn: TRIANGLE{rmTHO}]□[eqn: TRIANGLE {rm TSP}]이므로

[eqn: {bar{rmTH}}`:`{bar{rmTS}}={bar{rmOH}}`:`{bar{rmPS}}][eqn: sqrt {LEFT ( a+ {x} over {2} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) ^{2}} `:`(a+x)= {x} over {2} `:`b]

[eqn: {(a+x)x}over{2}=b sqrt { left(a+{x}over{2}right)^2 -left({x}over{2}right)^2}]

[eqn: {(a+x)^2 x^2}over{4} =b^2 (a^2 +ax)=ab^2 (a+x)]

[eqn: (a+x)^2 x^2 -4ab^2 (a+x)=0]

[eqn: (a+x)(x^3 +ax^2 -4ab^2 )=0]

[eqn: THEREFORE~x^3 +ax^2 -4ab^2 =0~~~( BECAUSE~x>0)]

❰다른 풀이❱

원의 중심을 [eqn: {rmO}],

[eqn: bar { {rmPT}}]와 원 [eqn: {rmO}]의 접점을 [eqn: {rmH}]라 하면

[eqn: {bar{rmPH}}={bar{rmPS}}=b], [eqn: bar{rm OS it} = {1} over {2} x]이므로

[eqn: {bar{rm TH } }^{2} = {bar{\TO}}^2 - {bar { \OH}}^2]

[eqn: =left(a+{x}over{2}right)^2 -left({x}over{2}right)^2 =a^2 +ax]

[eqn: THEREFORE~ bar { \TH}= sqrt { a^2 +ax}]

[eqn: TRIANGLE{\PST} =TRIANGLE{\OSP}+TRIANGLE{\OHP}+TRIANGLE{\OHT}]

[eqn: {1} over {2} b(a+x)= {1} over {2} TIMES {x} over {2} TIMES b TIMES2+ { 1} over {2 }times sqrt { a^2 +ax}times{x}over{2}]

[eqn: 2ab=x sqrt { a^2 +ax}]

[eqn: THEREFORE~x^3 +ax^2 -4ab^2 =0]

24. 지수함수와 로그함수

정답 ③

함수 [eqn: f(x)={1}over{2} (3^x -3^-x )]의 역함수 [eqn: g(x)]는

[eqn: x={1}over{2} (3^y -3^-y )]이므로

[eqn: 2x=3^y - {1}over{3^y}]

[eqn: 3^2y -2x BULLET3^y -1=0]

[eqn: 3^y]를 [eqn: t]로 치환하면 [eqn: t^2 -2xt -1=0]

[eqn: t=x +- sqrt { x^2 +1}]

[eqn: THEREFORE~3^y =x+ sqrt { x^2 +1}~~( BECAUSE~3^y >0)]

[eqn: THEREFORE~g(x)=log_3 (x+ sqrt { x^2 +1})]

그런데,

[eqn: g(-x)=log _{3} (-x+ sqrt {x ^{2} +1} )]

[eqn: =log _{3} {(-x+ sqrt {x ^{2} +1} )(x+ sqrt {x ^{2} +1} )} over {x+ sqrt {x ^{2} +1}}]

[eqn: =log_3 {1}over{x+ sqrt { x^2 +1}}]

[eqn: =-log_3 (x+ sqrt { x^2 +1 })=-g(x)] 이므로

[eqn: g(x) BULLETg(-x)=g(x) BULLET"{"-g(x)"}"=-"{"g(x)"}"^2]

따라서 [eqn: sum _{ n=1} ^{INF } "{"g(x) BULLETg(-x)"}"^n = { -"{"g(x)"}"^2} over {1+"{"g(x)"}" ^2}= -{ 1} over {5 }]

[eqn: 5"{"g(x)"}"^2 =1+"{"g(x)"}"^2]

[eqn: g(x)= +-{1}over{2}]

즉, [eqn: g(x)]는 함수 [eqn: f(x)]의 역함수이므로 [eqn: f{left(± {1} over {2}right)=x]의 값을 구하면 된다.

따라서 [eqn: f{left(± {1} over {2}right)=+-{1}over{ sqrt { 3}]이므로 조건을 만족시키는 [eqn: x]의 값 전체의 곱은 [eqn: -{ 1} over { sqrt { 3} }times { 1} over { sqrt { 3} } =-{1}over{3}]이다.

25. 삼각함수

정답 ④

그림에서 [eqn: ANGLE{rm OP _{1`}H}= theta]라고 하면

[eqn: ANGLE {rm P} _{n} {rm P} _{n+1} {rm P} _{n+2} it =2 theta ,] [eqn: sintheta={rmOH}over{rmOP_1} ={1}over{r}]이다.

ㄱ. [eqn: r> sqrt {2 }]이면 [eqn: sin theta ={1}over{r}< {1} over {sqrt {2}}]이므로 [eqn: theta< 45 DEG]

[eqn: therefore~ANGLE rm P _{1} P _{2} P _{3} it =2 theta <90 DEG] (참)

ㄴ. [eqn: r={2 sqrt { 3}}over{3}]이면 [eqn: sin theta = {1} over {r} = {sqrt {3}} over {2}]에서 [eqn: theta =60 DEG]

이므로 [eqn: ANGLE {rm OP} _{n`} {rm P} _{n+1} it =60 DEG ,]

[eqn: ANGLE {rm P} _{n}{rm P} _{n+1}{rm P} _{n+2} it =120 DEG]이다.

따라서 [eqn: r={2 sqrt { 3}}over{3}]이면

한 내각의 크기가 [eqn: 120 DEG]

이므로 정육각형이 된다.

그러므로 그림에서와 같이

[eqn: {rmP_5}]의 좌표는 [eqn: {rmP_2}]의 좌표의

원점 대칭이다.

[eqn: {rm P _{2}} (x,~y) it = LEFT ( {2 sqrt {3}} over {3} rm cos it 60 DEG ,~ {2 sqrt {3}} over {3} rm sin it 60 DEG RIGHT )]

[eqn: =left( {sqrt {3}} over {3} ,~1right)]

[eqn: THEREFORE~ rm P _{5} it LEFT ( - {sqrt {3}} over {3} ,~-1right)]  (거짓)

ㄷ. [eqn: ANGLE rm P _{1} P _{2} P _{3} it =100DEG]이면, [eqn: ANGLE {rm P} _{n} {rmOP} _{n+1} it =80 DEG]이다.

따라서 [eqn: 80timesn=360timesm]인 최소의 양의 정수          [eqn: m,~n]은 각각 [eqn: n=9,~m=2]이다.

그러므로 [eqn: rm P _{1} =P _{10}]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

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2009 1차 시험 해설