	5지선다형

고 3	수학 영역 (A형)

	수학 영역 (A형)	고 3

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2015학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 (A형)

제 2 교시

1. [eqn: `log _{2} 24-log _{2}` 3`]의 값은? [2점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

2. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{``-1``&``1`#````````2&``3`}}], [eqn: B= {pmatrix{``0``&``1``#2&1}}`]에 대하여 행렬 [eqn: A+2B`]의 모든 성분의 합은? [2점]

	①	[eqn: 13]	②	[eqn: 14]	③	[eqn: 15]	④	[eqn: 16]	⑤	[eqn: 17]

3. [eqn: lim _{x `-> `0} {{x^2`+11x} over {x}}]의 값은? [2점]

	①	[eqn: 10]	②	[eqn: 11]	③	[eqn: 12]	④	[eqn: 13]	⑤	[eqn: 14]

4. 두 사건 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여

[eqn: \P(it A)= { 1} over { 4}], [eqn: \P(it A smallinter B)= { 1} over { 6}]

일 때, [eqn: \P(it B `left |A)]의 값은? [3점]

	①	[eqn: { 1} over { 6}]	②	[eqn: { 1} over { 3}]	③	[eqn: { 1} over { 2}]	④	[eqn: { 2} over { 3}]	⑤	[eqn: { 5} over { 6}]

5. 두 수열 [eqn: left {a_n`right}], [eqn: left {b_n`right}]에 대하여 [eqn: lim_{n`->`inf}{a_n`}=5`], [eqn: lim_{n`->`inf}{left(b_n`-4right)=0]
이 성립할 때, [eqn: lim_{n`->`inf}{ `{ a_{n}b_{n}}]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 16]	②	[eqn: 17]	③	[eqn: 18]	④	[eqn: 19]	⑤	[eqn: 20]

6. 수열 [eqn: left{a_n` right}`]의 첫째항부터 제[eqn: `n]항까지의 합 [eqn: S _{n}`]이 [eqn: S _{n} =n+2 ^{n}]
일 때, [eqn: a_6`]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 31]	②	[eqn: 33]	③	[eqn: 35]	④	[eqn: 37]	⑤	[eqn: 39]

7. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: lim _{x` -> `-1-0} {``f LEFT ( x RIGHT ) `+ lim _{x` -> `2+0} {``f LEFT ( x RIGHT )}} `]의 값은? [3점]

	①	[eqn: -2]	②	[eqn: -1]	③	[eqn: 0]	④	[eqn: 1]	⑤	[eqn: 2]

8. [eqn: x,~y`]에 대한 연립일차방정식

[eqn: {pmatrix{a-1&``````a+2#1&```````a+1}}` {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`0`#`0`}}`]

이 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 곱은? [3점]

	①	[eqn: -5]	②	[eqn: -4]	③	[eqn: -3]	④	[eqn: -2]	⑤	[eqn: -1]

9. 다항식 [eqn: ` LEFT ( 1+3x RIGHT ) ^{5} `]의 전개식에서 [eqn: x ^{3} `]의 계수는? [3점]

	①	[eqn: 180]	②	[eqn: 210]	③	[eqn: 240]	④	[eqn: 270]	⑤	[eqn: 300]

10. 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -9x]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]

	①	[eqn: { 77} over { 2}]	②	[eqn: 39]	③	[eqn: { 79} over 2{ }]	④	[eqn: 40]	⑤	[eqn: { 81} over 2{ }]

11. 지수부등식 [eqn: 4 ^{x} -10`‧`2 ^{x} +16 LEQ 0`]을 만족시키는 모든 정수
[eqn: x`]의 값의 합은? [3점]

	①	[eqn: 4]	②	[eqn: 5]	③	[eqn: 6]	④	[eqn: 7]	⑤	[eqn: 8]

12. 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -9x+4-k=0`]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: k`]의 개수는? [3점]

	①	[eqn: 28]	②	[eqn: 31]	③	[eqn: 34]	④	[eqn: 37]	⑤	[eqn: 40]

[13~14] 두 함수 [eqn: boldf(x)=x ^{2} `]과 [eqn: bold{g(x)=- LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +k}] [eqn: bold{(`k>0`)}]에 대하여 13번과 14번의 두 물음에 답하시오.

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: \O]

13. 직선 [eqn: y=k]와 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 만나는 두 점을
[eqn: \A], [eqn: \B]라 하고, 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]의 꼭짓점을 [eqn: \C]라 하자.
세 점 [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RM C]의 [eqn: x`]좌표가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때,
상수 [eqn: k`]의 값은? (단, [eqn: \A]는 제[eqn: 2]사분면 위의 점이다.) [3점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: { 5} over { 4}]	③	[eqn: { 3} over { 2}]	④	[eqn: { 7} over { 4}]	⑤	[eqn: 2]

14. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: \P LEFT (` 1,``1` RIGHT )`]에서의 접선을 [eqn: l]이라 하자.
직선 [eqn: l]에 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]가 접할 때의 접점을 [eqn: \Q], 곡선 [eqn: y=g(x)]와 [eqn: x]축이 만나는 두 점을 각각 [eqn: \R], [eqn: \S]라 할 때, 삼각형 [eqn: \QRS]의 넓이는? [4점]

	①	[eqn: 4]	②	[eqn: 9 over 2]	③	[eqn: 5]	④	[eqn: 11 over2]	⑤	[eqn: 6]

15. 다항함수 [eqn: f(x)`]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{1} ^{x} {f(t)dt`=xf(x)- {3x ^{4}} + 2{x ^{2}}]

을 만족시킬 때, [eqn: f(0)]의 값은? [4점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

16. 총 공기흡인량이 [eqn: V``left( \m^{3}right)]이고 공기 포집 전후 여과지의 질량 차가 [eqn: W``left(㎎ right)]일 때의 공기 중 먼지 농도 [eqn: C``left( ㎍/ \m^{3}right)]는 다음
식을 만족시킨다고 한다.

[eqn: log `C`=` 3-` log`V +`log``W] ([eqn: W>0])

[eqn: \A`]지역에서 총 공기흡인량이 [eqn: V_0]이고 공기 포집 전후 여과지의 질량 차가 [eqn: W_0]일 때의 공기 중 먼지 농도를 [eqn: C_{\A}], [eqn: \B`]지역에서 총 공기흡인량이 [eqn: { 1} over { 9} V_0]이고 공기 포집 전후 여과지의 질량 차가 [eqn: { 1} over { 27}W_0]일 때의 공기 중 먼지 농도를 [eqn: C _{` rm B it}]라 하자. [eqn: C_{\A}`=kC_{`\B}`]를 만족시키는 상수 [eqn: k`]의 값은? (단, [eqn: W_0`>0]) [4점]

	①	[eqn: sqrt { 3}]	②	[eqn: 3]	③	[eqn: 3sqrt { 3}]	④	[eqn: 9]	⑤	[eqn: 9sqrt { 3}]

17. 모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{ a_n right}]은 [eqn: a_1`= { 1} over { 4}]이고

[eqn: left(n+1right)a _{n} `=a _{n+1} left(3n-2a _{n} right)] [eqn: (n ge1)]

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

	주어진 식의 양변을 [eqn: a_{n}a_{n+1}]로 나누면 [eqn: {n+1} over {a _{n+1}} = {3n-2a _{n}} over {a _{n}}] 이다. [eqn: b_{n}= { n} over{ a_{n}}]이라 하면 [eqn: b_{n+1}=3b_{n}+box{``(가)``}] 이고, [eqn: b _{n+1} -1=3left(b _{n} -1 right)]이다. [eqn: b_1`= 4]이므로 [eqn: b _{n} -1=box{``(나)``}] [eqn: b_{n}=box{``(나)``}+1] 이다. 그러므로 [eqn: a_n`= { n} over {box{``(나)``}+1}] ([eqn: n GEQ 1]) 이다.

위의 (가)에 알맞은 값을 [eqn: p], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라
할 때, [eqn: p+ f(3)]의 값은? [4점]

	①	[eqn: 24]	②	[eqn: 25]	③	[eqn: 26]	④	[eqn: 27]	⑤	[eqn: 28]

18. 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]가

[eqn: AB-A=2E`],  [eqn: BA ^{2} -A ^{2} +B=-E`]

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: AB=BA] ㄴ. [eqn: 2A+B=-E`] ㄷ. [eqn: A+E`]의 역행렬이 존재한다.

	①	ㄱ	②	ㄷ	③	ㄱ, ㄴ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. [eqn: -1]이 아닌 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`-x-1&~~ LEFT ( `x` LEQ 0` RIGHT )#``2x+a&~~ LEFT (` x` > `0` RIGHT )}}]

일 때, 함수 [eqn: g(x)=f(x)f(x-1)`]이 실수 전체의 집합에서
연속이 되도록 하는 [eqn: a]의 값은? [4점]

	①	[eqn: -{ 7} over {2 }]	②	[eqn: -3]	③	[eqn: -{ 5} over {2 }]	④	[eqn: -2]	⑤	[eqn: -{3} over {2 }]

20. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 8]인 정삼각형 [eqn: rmABC]가 있다.
세 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmBC], [eqn: rmCA]의 중점을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 하고
두 정삼각형 [eqn: rmBED], [eqn: rmECF]를 그린 후 마름모 [eqn: rmADEF]에 중심이 [eqn: \O]인 원을 내접하도록 그린다. 원과 두 선분 [eqn: rmDE], [eqn: rmEF]의
접점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 할 때, 사각형 [eqn: rmOPEQ]를 그리고
색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에서 새로 그려진 두 개의 정삼각형의 내부에 그림 [eqn: R_1]을 얻은 것과 같은 방법으로 두 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.
그림 [eqn: R _{2}]에서 새로 그려진 네 개의 정삼각형의 내부에 그림 [eqn: R_1]을 얻은 것과 같은 방법으로 네 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{3}]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n} `]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n} ``]이라 할 때, [eqn: lim _{n`->`inf} {S _{n} `}]의 값은? [4점]

[eqn: rm A] [eqn: rm B] [eqn: rm C] [eqn: rm D] [eqn: rm P] [eqn: rm O] [eqn: rm Q] [eqn: rm F] [eqn: \E]			[eqn: CDOTS]
[eqn: R_1]	[eqn: R_2]	[eqn: R_3]	[eqn: CDOTS]

	①	[eqn: {6 sqrt { 3} }]	②	[eqn: { 13} over { 2} sqrt { 3}]	③	[eqn: 7 sqrt { 3}]
	④	[eqn: { 15sqrt { 3}} over { 2}]	⑤	[eqn: 8 sqrt { 3}]

21. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여
함수 [eqn: g(x)= LEFT | f(x) RIGHT |]가 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=`1`]에서 미분가능하고 [eqn: g(1)=g` prime (1)]이다. (나) [eqn: g(x)]는 [eqn: x=-1], [eqn: x=0], [eqn: x=1`]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: g(2)`]의 값은? [4점]

	①	[eqn: 2]	②	[eqn: 4]	③	[eqn: 6]	④	[eqn: 8]	⑤	[eqn: 10]

	단답형

22. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3 ‧ 5 ^{n} +2^n} over {5 ^{n} -2 ^{n}} `} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. 다음 그래프의 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 나타내는 행렬의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

24. 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +5x+6`]에 대하여
[eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 3+h RIGHT ) -f LEFT ( 3 RIGHT )} over {h}} `]의 값을 구하시오. [3점]

25. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {84} over {(2n+1)(2n+3)} `]의 값을 구하시오. [3점]

26. 한 개의 주사위를 [eqn: 4]번 던질 때 [eqn: 6]의 약수의 눈이 [eqn: 2]번 나올
확률을 [eqn: p_1]이라 하고, 한 개의 동전을 [eqn: 3]번 던질 때 동전의 앞면이 [eqn: 2]번 나올 확률을 [eqn: p_2]라 하자. [eqn: {1} over { p_1`p_2}]의 값을 구하시오. [4점]

27. 다음 [eqn: {[]단계[eqn: ]`]에 따라 반지름의 길이가 같은 원들을 외접하도록 그린다.

	[eqn: {[]단계 [eqn: 1`][eqn: ]`] [eqn: 3]개의 원을 외접하게 그려서 [eqn: <]그림 [eqn: 1][eqn: >]을 얻는다. [eqn: {[]단계 [eqn: 2`][eqn: ]`] [eqn: <]그림 [eqn: 1][eqn: >]의 아래에 [eqn: 3]개의 원을 외접하게 그려서 [eqn: <]그림 [eqn: 2][eqn: >]를 얻는다. [eqn: {[]단계 [eqn: 3`][eqn: ]`] [eqn: <]그림 [eqn: 2][eqn: >]의 아래에 [eqn: 4]개의 원을 외접하게 그려서 [eqn: <]그림 [eqn: 3][eqn: >]을 얻는다. [eqn: VDOTS] [eqn: {[]단계 [eqn: m`][eqn: ]`] [eqn: <]그림 [eqn: m-1][eqn: >]의 아래에 [eqn: (m+1)]개의 원을 외접하게 그려서 [eqn: <]그림 [eqn: m][eqn: >]을 얻는다. ([eqn: m GEQ 2])

			[eqn: CDOTS]
[eqn: <]그림 [eqn: 1`][eqn: >]	[eqn: <]그림 [eqn: 2`][eqn: >]	[eqn: <]그림 [eqn: 3`][eqn: >]	[eqn: CDOTS]

[eqn: <]그림 [eqn: n][eqn: >]에 그려진 원의 모든 접점의 개수를 [eqn: a _{n} `]
[eqn: (][eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS][eqn: )]이라 하자. 예를 들어, [eqn: a _{1} =3`], [eqn: a _{2} =9]이다.

[eqn: a _{10`}]의 값을 구하시오. [4점]

28. 그림과 같이 세 로그함수 [eqn: f(x)=k`log``x`], [eqn: g(x)=k ^{2} `log``x`],
[eqn: h(x)=4k ^{2} `log``x]의 그래프가 있다. 점 [eqn: \P it left(`2`,``0`right)]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 두 곡선 [eqn: y=g(x)], [eqn: y=h(x)]와 만나는 점의
[eqn: y]좌표를 각각 [eqn: p], [eqn: q]라 하자. 직선 [eqn: y=p]와 곡선 [eqn: y=f(x)]가
만나는 점을 [eqn: \Q it left(` a`,``p` right)], 직선 [eqn: y=q]와 곡선 [eqn: y=g(x)]가 만나는 점을 [eqn: \R it left(` b`, ``q` right)]라 하자. 세 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R]가 한 직선 위에 있을 때, 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값을 구하시오. [eqn: (]단, [eqn: k>1][eqn: )] [4점]

[eqn: h(x)=4k ^{2} `log``x]

[eqn: g(x)=k ^{2} `log``x`]

[eqn: f(x)=k `log``x`]

[eqn: \O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \P]

[eqn: \Q]

[eqn: \R]

[eqn: p]

[eqn: q]

29. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 다음 조건을 만족시키는 모든
삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: 4m]의 값을 구하시오. [4점]

	(가) [eqn: f(0)=0] (나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( 2-x RIGHT ) =f`' LEFT ( 2+x RIGHT ) `]이다. (다) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) GEQ -3`]이다.

30. 검은 바둑돌 과 흰 바둑돌 을 일렬로 나열하였을 때
이웃한 두 개의 바둑돌의 색이 나타날 수 있는 유형은

	[eqn: <][eqn: \A]형[eqn: >]	[eqn: <][eqn: \B]형[eqn: >]	[eqn: <][eqn: \C]형[eqn: >]	[eqn: <][eqn: \D]형[eqn: >]

으로 [eqn: 4]가지이다.
예를 들어, [eqn: 6]개의 바둑돌을 [eqn: <][eqn: \A]형[eqn: >] [eqn: 2]번, [eqn: <][eqn: \B]형[eqn: >] [eqn: 1]번,
[eqn: <][eqn: \C]형[eqn: >] [eqn: 1]번, [eqn: <][eqn: \D]형[eqn: >] [eqn: 1]번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는 아래와 같이 [eqn: 5]이다.

[eqn: 10]개의 바둑돌을 [eqn: <][eqn: \A]형[eqn: >] [eqn: 4]번, [eqn: <][eqn: \B]형[eqn: >] [eqn: 2]번, [eqn: <][eqn: \C]형[eqn: >] [eqn: 2]번, [eqn: <][eqn: \D]형[eqn: >] [eqn: 1]번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 검은 바둑돌과 흰 바둑돌은 각각 [eqn: 10]개 이상씩 있다.) [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.