고 2	수학 영역 (가형)

	수학 영역 (가형)	고 2

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2017학년도 9월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 (가형)

제 2 교시

5 지 선 다 형

1. [eqn: 2 TIMES LEFT ( 2 ^{{2} over {3}} RIGHT ) ^{3} `]의 값은? [[eqn: 2]점]

	①	[eqn: 2]	②	[eqn: 4]	③	[eqn: 6]	④	[eqn: 8]	⑤	[eqn: 10]

2. 두 집합

[eqn: A`=` LEFT { `1,~3,~5,~7,~9` RIGHT }],  [eqn: B`=` LEFT { `3,~4,~5,~6` RIGHT } `]

에 대하여 [eqn: n LEFT ( A CUP B` RIGHT ) `]의 값은? [[eqn: 2]점]

	①	[eqn: 5]	②	[eqn: 6]	③	[eqn: 7]	④	[eqn: 8]	⑤	[eqn: 9]

3. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {4n} over {sqrt {n ^{2} `+2}} `]의 값은? [[eqn: 2]점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

4. 함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -3x ^{2} `+4`]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) `]의 값은? [[eqn: 3]점]

	①	[eqn: -2]	②	[eqn: -1]	③	[eqn: 0]	④	[eqn: 1]	⑤	[eqn: 2]

5. 첫째항이 [eqn: 2`]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {1} over {2} LEFT ( a _{n} RIGHT ) ` ^{2} +2`]

를 만족시킬 때, [eqn: a _{4} `]의 값은? [[eqn: 3]점]

	①	[eqn: 52]	②	[eqn: 54]	③	[eqn: 56]	④	[eqn: 58]	⑤	[eqn: 60]

6. 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -x+5`]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( a,``f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT ) `]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=3x+b`]일 때, 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? [[eqn: 3]점]

	①	[eqn: -6]	②	[eqn: -3]	③	[eqn: 0]	④	[eqn: 3]	⑤	[eqn: 6]

7. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: RMO]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y]

[eqn: lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT )} `+ lim _{x` -> `2+} {f LEFT ( x RIGHT )} `]의 값은? [[eqn: 3]점]

	①	[eqn: 2]	②	[eqn: 3]	③	[eqn: 4]	④	[eqn: 5]	⑤	[eqn: 6]

8. 자연수 [eqn: k`]에 대한 조건

‘모든 자연수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x>k-5]이다.’

가 참인 명제가 되도록 하는 모든 [eqn: k`]의 값의 합은? [[eqn: 3]점]

	①	[eqn: 13]	②	[eqn: 15]	③	[eqn: 17]	④	[eqn: 19]	⑤	[eqn: 21]

9. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {7n} over {3n+2} RIGHT ) `]이 수렴할 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {LEFT ( 3n+5 RIGHT ) a _{n}} over {n+3}} `]의 값은? [[eqn: 3]점]

	①	[eqn: 5]	②	[eqn: 6]	③	[eqn: 7]	④	[eqn: 8]	⑤	[eqn: 9]

10. 정의역이 [eqn: LEFT { x``|``x` GEQ `-2 RIGHT } `]인 무리함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =`- sqrt {ax+b} +3`]

의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rm-2]

[eqn: 3]

[eqn: rm1]

[eqn: y=f(x)]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 1,``0 RIGHT ) `]을 지날 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]의 곱 [eqn: ab`]의 값은? [[eqn: 3]점]

	①	[eqn: 10]	②	[eqn: 12]	③	[eqn: 14]	④	[eqn: 16]	⑤	[eqn: 18]

11. 두 집합

[eqn: X`=` LEFT { `x``□`-3 LEQ x LEQ 5` RIGHT } `],  [eqn: Y`=` LEFT { `y``□`` LEFT | y RIGHT | LEQ a,```a>0` RIGHT } `]

에 대하여 [eqn: X``]에서 [eqn: Y``]로의 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x+b`]가 일대일 대응이다. 두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a ^{2} +b ^{2} `]의 값은? [[eqn: 3]점]

	①	[eqn: 66]	②	[eqn: 68]	③	[eqn: 70]	④	[eqn: 72]	⑤	[eqn: 74]

12. 첫째항이 [eqn: 1`]이고 공비가 [eqn: r`]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 할 때,

[eqn: {S _{6} -S _{4}} over {3} `=` {a _{6} -a _{4}} over {2}]

가 성립한다. 양수 [eqn: r`]의 값은? [[eqn: 3]점]

	①	[eqn: 2]	②	[eqn: {5} over {2}]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: {7} over {2}]	⑤	[eqn: 4]

13. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2`]에 대하여 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}} `]의 값은?

[[eqn: 3]점]

	①	[eqn: 12]	②	[eqn: 15]	③	[eqn: 18]	④	[eqn: 21]	⑤	[eqn: 24]

14. [eqn: 1`]보다 큰 세 자연수 [eqn: a`], [eqn: `b`], [eqn: c``]에 대하여 세 수

[eqn: log _{`} `a`], [eqn: log`b`], [eqn: log _{`} `c``]

가 이 순서대로 공차가 자연수인 등차수열을 이룬다.
[eqn: log _{`} `abc=15`]일 때, [eqn: log _{`} {ac ^{2}} over {b} `]의 최댓값은? [[eqn: 4]점]

	①	[eqn: 11]	②	[eqn: 12]	③	[eqn: 13]	④	[eqn: 14]	⑤	[eqn: 15]

15. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{2} ^{x} {LEFT ( t-2 RIGHT ) `f` prime } LEFT ( t RIGHT ) `dt]

라 하자. 함수 [eqn: g(x)`]가 [eqn: x=0`]에서만 극값을 가질 때, [eqn: g(0)`]의 값은? [[eqn: 4]점]

	①	[eqn: -2]	②	[eqn: - {5} over {2}]	③	[eqn: -3]	④	[eqn: - {7} over {2}]	⑤	[eqn: -4]

16. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y= {1} over {x} `]과 [eqn: y= sqrt {x}]가 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~1 RIGHT )]에서 만난다. 직선 [eqn: y=t`][eqn: LEFT ( t>1 RIGHT ) `]이 두 곡선 [eqn: y= {1} over {x} `], [eqn: y= sqrt {x}]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rmC`]라 하자. 점 [eqn: rm C`]를 지나고 [eqn: y`]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= {1} over {x} `]과 만나는 점을 [eqn: rmD`]라 하자. 삼각형 [eqn: rm ACB`]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `], 삼각형 [eqn: rm ADC`]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]라 할 때,
[eqn: lim _{t` -> `1+} {} {g LEFT ( t RIGHT )} over {f LEFT ( t RIGHT )} `]의 값은? [[eqn: 4]점]

[eqn: y= sqrt {x}]

[eqn: y= {1} over {x}]

[eqn: rmA]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: rm D]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: y=t]

	①	[eqn: 2]	②	[eqn: {9} over {4}]	③	[eqn: {5} over {2}]	④	[eqn: {11} over {4}]	⑤	[eqn: 3]

17. 원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t`` LEFT ( t`geq0 RIGHT )]에서의 속도가 각각

[eqn: f` LEFT ( t RIGHT ) =t ^{2} -t], [eqn: g` LEFT ( t RIGHT ) =`-3t ^{2} +6t`]

일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4]점]

		<보 기>
	ㄱ. 점 [eqn: rm`P]는 출발 후 운동방향을 [eqn: 1]번 바꾼다. ㄴ. [eqn: t=2`]에서 두 점 [eqn: rm `P,~Q]의 가속도를 각각 [eqn: p,~q`]라 할 때, [eqn: p`q`<0`]이다. ㄷ. [eqn: t=0`]부터 [eqn: t=3`]까지 점 [eqn: rm `Q`]가 움직인 거리는 [eqn: 8`]이다.

	①	ㄱ	②	ㄷ	③	ㄱ, ㄴ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. 다음은 [eqn: 3 `]이 아닌 양수 [eqn: p`]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {p ^{n} +3p ^{n-1} +3 ^{2} p ^{n-2} +` CDOTS `+3 ^{n-1} p+3 ^{n}} over {(p+3) ^{n}} = {p ^{2} +3p+ {BOX{~(다)~}}} over {3p} `]

가 성립함을 보이는 과정이다.

	[eqn: p ^{n} +3p ^{n-1} +3 ^{2} p ^{n-2} +` CDOTS `+3 ^{n-1} p+3 ^{n} `]은 첫째항이 [eqn: p ^{n} `], 공비가 [eqn: box{~(가)~}}`]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: (n+1)`]항까지의 합이고, [eqn: p!=3 `]이므로 [eqn: p ^{n} +3p ^{n-1} +3 ^{2} p ^{n-2} +` CDOTS `+3 ^{n-1} p+3 ^{n} `] [eqn: = {p ^{n+1} -3 ^{n+1}} over {{BOX{~(나)~}}} `] 이다. [eqn: 0< {p} over {p+3} <1`], [eqn: 0< {3} over {p+3} <1`]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {p ^{n} +3p ^{n-1} +3 ^{2} p ^{n-2} +` CDOTS `+3 ^{n-1} p+3 ^{n}} over {(p+3) ^{n}} `] [eqn: = sum _{n=1} ^{INF } {p ^{n+1} -3 ^{n+1}} over {left(`{BOX{~(나)~}}`right) ` TIMES (p+3) ^{n}} `] [eqn: = {1} over {{BOX{~(나)~}}} LEFT { `p` sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {p} over {p+3} RIGHT ) ^{n} -`3 sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {3} over {p+3} RIGHT ) ^{n} ` RIGHT } `] [eqn: = {p ^{2} +3p+ {BOX{~(다)~}}} over {3p} `] 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( `p` RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( `p` RIGHT ) `]라 하고,
(다)에 알맞은 수를 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: f(`k`) TIMES g(`k`)`]의 값은? [[eqn: 4]점]

①	[eqn: 2]	②	[eqn: 4]	③	[eqn: 6]	④	[eqn: 8]	⑤	[eqn: 10]

19. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 두 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =`-f(x)], [eqn: g LEFT ( -x RIGHT ) =`-g(x)]

를 만족시킨다. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {} {f` prime LEFT ( x RIGHT )} over {`x ^{2} ``g` prime LEFT ( x RIGHT ) `} =3`], [eqn: lim _{x` -> `0} {} {`f LEFT ( x RIGHT ) ``g LEFT ( x RIGHT ) `} over {x ^{2}} =`-1`]

일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값은? [[eqn: 4]점]

	①	[eqn: 8]	②	[eqn: 9]	③	[eqn: 10]	④	[eqn: 11]	⑤	[eqn: 12]

20. 그림과 같이 길이가 [eqn: 4`]인 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 [eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rm O`]라 하고, 호 [eqn: rm AB`] 위에 두 점 [eqn: RMP], [eqn: RMQ]를 [eqn: ANGLE rm `POA= ANGLE rm `BOQ=30 DEG]가 되도록 잡는다.
부채꼴 [eqn: rm POQ`]의 내부에서 점 [eqn: rm P`]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rm PO`]를 반지름으로 하는 원의 내부와 점 [eqn: rm Q`]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rm QO`]를 반지름으로 하는 원의 내부의 공통부분을 제외한  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에서 지름의 양 끝점이 선분 [eqn: RMAB] 위에 있고 선분 [eqn: rm PO`]와 선분 [eqn: rm QO`]에 각각 접하는 가장 큰 반원을 그린다. 새로 그려진 [eqn: 2`]개의 반원에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로   모양의 도형을 각각 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n}}]의 값은? [[eqn: 4]점]

[eqn: rmO] [eqn: rm B] [eqn: rm A] [eqn: rm Q] [eqn: rm P]	[eqn: rmO] [eqn: rm B] [eqn: rm A] [eqn: rm Q] [eqn: rm P]
[eqn: R _{1}]	[eqn: R _{2}]
[eqn: rmO] [eqn: rm B] [eqn: rm A] [eqn: rm Q] [eqn: rm P]	[eqn: CDOTS]
[eqn: R _{3}]	[eqn: CDOTS]

	①	[eqn: {15 sqrt {3}} over {7}]	②	[eqn: {16 sqrt {3}} over {7}]	③	[eqn: {17 sqrt {3}} over {7}]
	④	[eqn: {18 sqrt {3}} over {7}]	⑤	[eqn: {19 sqrt {3}} over {7}]

21. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0`]인 삼차함수 [eqn: f(x)`]의 도함수 [eqn: y=f`prime LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f` prime LEFT ( x RIGHT )]

실수 [eqn: k`]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{eqalign{` LEFT ( x-k RIGHT ) +f LEFT ( `k` RIGHT )# }&eqalign{`` LEFT ( x LEQ k RIGHT )# }#`````````````````f(x)&`(x>k)}}]

라 하자. [eqn: x LEQ k`]에서 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: h(k)]라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{7} h(k)]의 값은? (단, [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =1], [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =f` prime LEFT ( 3 RIGHT ) =0]) [[eqn: 4]점]

	①	[eqn: 10]	②	[eqn: 11]	③	[eqn: 12]	④	[eqn: 13]	⑤	[eqn: 14]

단 답 형

22. [eqn: log` _{2} `48-`log _{`2} `3`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

23. [eqn: int _{0} ^{2} {LEFT ( 5x ^{4} -6x ^{2} +1 RIGHT ) `dx} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

24. 일차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 하자.
[eqn: f(14)=3], [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =11`]일 때, [eqn: g(6)`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

25. 전체집합 [eqn: LEFT . U`=` LEFT { ``x`` LEFT | ` RIGHT . x` RIGHT .]는 [eqn: 10] 이하의 자연수[eqn: LEFT . ` RIGHT } `]의 부분집합 [eqn: LEFT . A`=` LEFT { ``x`` LEFT | ` ` x` RIGHT .]는 [eqn: 10`]의 약수[eqn: LEFT . ` RIGHT } `]에 대하여

[eqn: LEFT ( X-A` RIGHT ) SUBSET LEFT ( A-X` RIGHT ) `]

를 만족시키는 [eqn: U`]의 모든 부분집합 [eqn: X`]의 개수를 구하시오.

[[eqn: 3]점]

26. 일차함수 [eqn: f(x)=3x+a`]와 함수

[eqn: g(x)`=` {cases{eqalign{``````````````-x+2# }&eqalign{~(x LEQ `-1)# }#`` lim _{n` -> ` INF } {{``x ^{2n+1} +3``} over {x ^{2n} +1}}&````(x`>`-1)}}]

에 대하여 함수 [eqn: f(x)g(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때,
[eqn: f(11)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [[eqn: 4]점]

27. 곡선 [eqn: y= {2} over {x} `]와 직선 [eqn: y=`-x+k`]가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]라 하자. [eqn: rm ANGLE ABC="90" DEG]인 점 [eqn: rm C`]가 곡선 [eqn: y= {2} over {x}] 위에 있다. [eqn: rm {bar{AC}} `=2 sqrt {5} `]가 되도록 하는 상수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: k` ^{2`}]의 값을 구하시오. [eqn: (]단, [eqn: k>2 sqrt {2} `][eqn: )] [[eqn: 4]점]

28. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]과 [eqn: S _{n} `]이 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: S _{k} `>`S _{k+1} `]을 만족시키는 가장 작은 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: S` _{k} =102`]이다. (나) [eqn: a _{8} =`- {5} over {4} a _{5} `]이고 [eqn: a _{5} ``a _{6} ``a _{7} <0`]이다.

[eqn: a _{2} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

29. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 집합 [eqn: A _{n} `], [eqn: B _{n} `]이

[eqn: A _{n} `=` LEFT { `(x,~y)`left|`(x+n) ^{2} +y ^{2} ` LEQ (n+1) ^{2} RIGHT .], [eqn: x], [eqn: y`]는 정수[eqn: "}"],
[eqn: B _{n} `=` LEFT { `(x,~y)`left|`(x-n) ^{2} +y ^{2} ` LEQ (n+1) ^{2} RIGHT .], [eqn: x], [eqn: y`]는 정수[eqn: }"}"]

일 때, 집합 [eqn: A _{n} SMALLINTER B _{n} `]의 모든 원소의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자.
[eqn: sum _{n=1} ^{18} a _{n} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

30. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f(x)`]와 양수 [eqn: k`]에 대하여
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를

[eqn: g(x)`=` {`f(x)+ LEFT | f(x)-k RIGHT |} over {2}]

라 하자. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]와 [eqn: g(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=0`]에서만 미분가능하지 않다. (나) [eqn: g(0)=g(2)] (다) [eqn: int _{0} ^{2} {LEFT . LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | `dx=8]

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) `+g LEFT ( -1 RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.