• 2교시 수리 영역 •

[가 형]

1	⑤	2	②	3	②	4	②	5	⑤
6	③	7	④	8	①	9	④	10	③
11	⑤	12	③	13	⑤	14	③	15	①
16	④	17	①	18	35	19	8	20	24
21	40	22	21	23	36	24	11	25	64

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 값 구하기

[해설]

(준식)=[eqn: {(2 TIMES 3 ^{3})^2 TIMES ({3} TIMES 7) ^{3}} over {2^2 times 7}}][eqn: = {2 ^{2} TIMES 3 ^{9} TIMES 7 ^{3}} over {2^2 times 7}}][eqn: =3^9 times 7^2]

2. [출제의도] 지수부등식의 해 구하기

[해설] [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-4} >(2 ^{6} ) ^{{1} over {3} TIMES {1} over {2}}],  [eqn: 2 ^{4-x} >2^1]

[eqn: 4-x>1],  [eqn: x<3]  ∴ 정수 [eqn: x]의 최대값은 2

3. [출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

[해설]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {( sqrt {n ^{2} +3n+5} -n)( sqrt {n ^{2} +3n+5} +n)} over {sqrt {n ^{2} +3n+5} +n}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {3n+5} over {sqrt {n ^{2} +3n+5} +n}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {3+ {5} over {n}} over {sqrt {1+ {3} over {n} + {5} over {n ^{2}}} +1}]

[eqn: = {3} over {2}]

4. [출제의도] 분수방정식의 해를 이용하여 값 구하기

[해설] 분모의 최소공배수를 양변에 곱하면,

[eqn: 2(x+2)+4(x-1)= {3} (x-1)(x+2)]

[eqn: 6x =3( x^2 + x -2)],  [eqn: 3(x-2)(x+1)=0]

[eqn: x`=` -1], [eqn: 2] 무연근은 없으므로 모든 근의 합은 [eqn: 1]

5. [출제의도] 정규분포의 성질을 이용하여 평균과 분산 구하기

[해설] [eqn: 1 over 5 X]의 분산 [eqn: rm V left( it 1 over 5 X right) = 1 over 25 rm V( itX)=1]

따라서 [eqn: rm V (it X) = sigma^2 =25]이다.

한편, 정규분포곡선은 직선 [eqn: x=m]에 대하여 대칭이므로 [eqn: m={80+120} over 2 =100]이다.

∴ [eqn: m + sigma ^ 2 = 125]

6. [출제의도]  로그함수의 평행이동 이해하기

[해설] [eqn: rm O]와 [eqn: rm A]가 평행이동한 점을 각각 [eqn: rm O prime], [eqn: rm A prime]이라 하면 [eqn: rm O prime (3, ``2)], [eqn: rm A prime ( 4, ``2)]이다.

[eqn: y= log_ 3 ( x+a)]가 선분 [eqn: rm O prime A prime]과 만나려면

[eqn: log_3 (3 + a)<=2], [eqn: 3+a<=9], [eqn: a<=6]이고

[eqn: log_3 (4 + a)>=2], [eqn: 4+a>=9], [eqn: a>=5]이다.

∴ [eqn: 5 <= a <= 6]

[eqn: a]의 최대값은 [eqn: 6], 최소값은 [eqn: 5]이다.

7. [출제의도] 함수의 합성을 이해하여 경우의 수 구하기

[해설] [eqn: y= f(g(x))=(a-4) left{ (3-b) x + 2 right} + 6]

[eqn: = (a-4)(3-b) x + (2a-2)]

함수의 그래프가 [eqn: x]축과 만나지 않기 위해서는

[eqn: 2a-2!=0]이고 [eqn: (a-4)(3-b)=0]이다.

∴ [eqn: (a,``b)]는 [eqn: (4,``1)], [eqn: (4,``2)], [eqn: (4,``3)], [eqn: (4,``4)], [eqn: (4,``5)],

[eqn: (4,``6)], [eqn: (2,``3)], [eqn: (3,``3)], [eqn: (5,``3)], [eqn: (6,``3)]의 [eqn: 10]가지

8. [출제의도] 행렬의 연산 성질 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: A + B =E] 에서 [eqn: A=E-B]

∴ [eqn: A^2 - B^2 = (E-B)^2 -B^2 =E-2B]

[eqn: = (E-B) -B=A-B] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: A= pmatrix { ```````1&-1` # -1&```````1` }] (거짓)

ㄷ. (반례) [eqn: A= pmatrix { `1&```0` #`0 &```0` }], [eqn: B= pmatrix { `1&```0` #`1 &```0` }] (거짓)

9. [출제의도] 지수방정식을 이용하여 실생활문제 해결하기

[해설] [eqn: r=10^2.7], [eqn: m=1.3]이므로

[eqn: left( {10^2.7 } over { 10 } right)^2 = 100^ {1 over 5 (1.3-M)}], [eqn: 10^3.4 =10^{2 over 5 (1.3-M)}]

[eqn: 3.4= 2 over 5 ( 1.3-M)] ∴ [eqn: 2M = `-14.4]

그러므로 [eqn: M=`-7.2]

10. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수 구하기

[해설] [eqn: log_10` 0.02= -2 + log_10 `2], [eqn: log_10` 200=2 + log_10`2],

[eqn: log_10` 2500=3+ log_10`2.5]

지표의 합은 [eqn: -2+2+ 3=3]

가수의 합은 [eqn: log_10`2 + log_10`2 + log_10` 2.5=1]

11. [출제의도] 도형의 성질을 활용하여 무한급수의 합 구하기

[해설] 그림과 같이 반원 [eqn: rm {D_{it n}], [eqn: rm {D_{it n+1}]의 반지름을 각각 [eqn: r_n], [eqn: r_n+1]라 하면,

[eqn: rmA _{it`n}]

[eqn: rm B]

[eqn: rmC _{it`n}]

[eqn: 2r _{n} -r _{n+1}]

[eqn: r _{n+1}]

[eqn: rm `D _{it `n rm}]

[eqn: rm `D _{it `n+1 rm}]

[eqn: r_n+1 ``:` (2r_n -r_n+1 ) =1``: root2], [eqn: r_n+1 = 2 over { root2 +1 }` r_n]

따라서, [eqn: l_1 = 2 pi], [eqn: l_n+1 = 2 over { root2 +1 } l_n]이므로

[eqn: sum from n=1 to inf `l_n = 2pi over { 1 - 2 over {root2 + 1}} = 2 (3+ 2 root 2 ) pi]

12. [출제의도] 수열의 귀납적 정의와 무한수열 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: 2 a_n+1 + a_n =2]는

[eqn: 2 left( a_n+1 - 2 over 3 right) `=` - left( a_n - 2 over 3 right)]이므로 수열 [eqn: left{ a_n - 2over 3 right}]는 첫째항이 [eqn: 1 over 3], 공비는 [eqn: - 1 over 2]인 등비수열이다. (참)

ㄴ. [eqn: a_n - 2 over 3 = 1 over 3 left( - 1 over 2 right)^n-1],  [eqn: a_n = 1 over 3 left( - 1 over 2 right)^n-1 + 2 over 3]

∴ [eqn: lim from {n`->`inf}`a_n =lim from {n`->`inf} left{ 1over 3 left( - 1 over 2 right)^n-1 + 2 over 3 right}= 2 over 3] (참)

ㄷ. [eqn: lim from {n`->`inf}a_n !=0]이므로 [eqn: sum from {n`=`1} to inf a_n]은 발산한다. (거짓)

13. [출제의도] 등차중항을 이용하여 각의 크기 구하기

[해설] 접선 [eqn: l]과 선분 [eqn: rm AB]가 이루는 예각의 크기가 [eqn: 18°]이므로 [eqn: rm angleAOC=36°]이다.

[eqn: rm angleOAC=alpha], [eqn: rm angleACO=beta]라 하면, [eqn: alpha + beta =144°]이고, 가장 긴 변이 선분 [eqn: rm OA]이므로 가장 큰 각은 [eqn: beta]이다.

(ⅰ) [eqn: 36°], [eqn: alpha], [eqn: beta]의 순서로 등차수열을 이루는 경우

[eqn: 2 alpha = beta + 36°=(144°-alpha) + 36°= 180°- alpha]

∴ [eqn: alpha = 60°], [eqn: beta = 84°]

(ⅱ) [eqn: alpha], [eqn: 36°], [eqn: beta]의 순서로 등차수열을 이루는 경우

[eqn: alpha + beta =72°]가 되므로 모순이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: beta = 84°]

14. [출제의도] 배수의 성질과 순열을 이용하여 문제 해결하기

[해설] [eqn: a_ 1 = 11333], [eqn: a_2 = 12333], [eqn: a_ 3 =13333],

[eqn: a_4 =21333], [eqn: a_ 5 = 22333], [eqn: a_6 = 23333], [eqn: a_ 7 = 31333],

[eqn: a_ 8 =32333], [eqn: a_ 9 = 33333]이므로

[eqn: 3]의 배수는 [eqn: a_2], [eqn: a_4], [eqn: a_9]이다.

15. [출제의도] 수학적귀납법으로 수열의 합 증명하기

[해설] (가) [eqn: 2i+k ^{2} +k-1], (나) [eqn: k^2 + 3k + 1]

16. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 함수의 극한값 구하기

[해설] [eqn: rm bar{OA}]와 [eqn: rm bar PQ]의 교점을 [eqn: rm T], [eqn: rm bar PT =it h], [eqn: rm bar AP]의 중점을 [eqn: rm M]이라고 하면, [eqn: rm S it(r)=hr]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A]

[eqn: rm T]

[eqn: rm M]

[eqn: rm R]

[eqn: rm P]

[eqn: h]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmtriangle OAP = 1 over 2 times bar OA times bar PT = 1 over 2 times bar AP times bar OM]이므로

[eqn: 1 over 2 times 1 times h = 1 over 2 timesr timesroot{ 1- left( r over 2 right)^2}], [eqn: h = r root{ 1- left( r over 2 right)^2}]

∴ [eqn: lim from{ r`->` 2-0 } {rm S it(r) } over root2-r = lim from{ r`->` 2-0 } {r^ 2 root{ 1- left( r over 2 right)^2} }over {root2-r}]

[eqn: = lim from{ r`->` 2-0 } {r^ 2 root{ (2- r )(2+r) }}over{2{root2-r} }=4]

17. [출제의도] 입체도형에서 등비수열의 규칙 찾아 값 구하기

[해설] 분리된 정육면체의 개수와 한 변의 길이는 다음 표와 같다.

	정육면체의 개수	한 변의 길이
[eqn: 1]회 시행 후	[eqn: 2^3]	[eqn: 2]
[eqn: 2]회 시행 후	[eqn: 2^6]	[eqn: 1]
[eqn: 3]회 시행 후	[eqn: 2^9]	[eqn: 1 over 2]
[eqn: 4]회 시행 후	[eqn: 2^12]	[eqn: 1 over 4]
[eqn: 5]회 시행 후	[eqn: 2^15]	[eqn: 1 over 8]

∴ [eqn: 5]회 시행 후 겉넓이의 합은 [eqn: left( 1 over 8 right)^2 times 6 times2^15 =3 times 2^10]

18. [출제의도] 함수의 극한이 수렴할 조건을 이용하여 값 구하기

[해설] [eqn: lim from x->1 {(x-1)( x-a)} over {x^2 - bx +9 } = 3 cdots cdots] ㉠

[eqn: lim from x->1 ({x^2 - bx +9 }) = 0]이므로 [eqn: b=10]

[eqn: b]의 값을 ㉠에 대입하면

[eqn: lim from x->1 {(x-1)( x-a)} over {(x-1)(x-9) }][eqn: =lim from x->1 { x-a} over {x-9 }= 3]

[eqn: a= 25] ∴ [eqn: a+ b =35]

19. [출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 행렬의 성분 구하기

[해설] [eqn: A```-`B= LEFT ( matrix{0&````-3`#12&``````````2`} RIGHT ) ```cdotscdots]㉠

[eqn: 2A+B= pmatrix{`6&````````3`#`9&```````7`} ~```cdotscdots] ㉡

㉠+㉡에서 [eqn: A= pmatrix { `2&``0` #`7 &``3` }], [eqn: B= pmatrix { ```````2&````3` #-5 &````1` }]

따라서 [eqn: A]의 [eqn: (2, ``1)]성분은 [eqn: 7]이고 [eqn: B]의 [eqn: (2,``2)]성분은 [eqn: 1]이므로 합은 [eqn: 8]이다.

20. [출제의도] 연립부등식의 해 구하기

[해설] [eqn: {(x-1) (`x-3)} over {x-5} >= 0]을 풀면, [eqn: 1<= x <=3], [eqn: x>5]

[eqn: (x-2)(x-4)(x-8) <= 0]을 풀면 [eqn: x<=2], [eqn: 4 <= x <=8]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 8]

공통해는 [eqn: 1<= x <=2] 또는 [eqn: 5< x <=8]

따라서 부등식을 만족하는 정수는 [eqn: 1,```2,``6,``7,``8]이므로 정수의 합은 [eqn: 24]이다.

21. [출제의도] 이항분포를 이해하고 분산 구하기

[해설] [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 180, ``1 over 3 RIGHT )]를 따른다.

[eqn: rm V( it X)= 180 times {1} over {3} TIMES {2} over {3} =40]

22. [출제의도] 독립시행의 확률 계산하기

[해설] [eqn: f(1)=f(3)=f(5)=`-1],

[eqn: f(2)=f(4)=f(6)=2]

짝수의 눈이 나온 횟수를 [eqn: X], 홀수의 눈이 나온 횟수를 [eqn: Y]라 하면

던진 횟수는 5이므로 [eqn: X+Y=5 cdotscdots]㉠

[eqn: f(n _{1} )+f(n _{2} )+f(n _{3} )+f(n _{4} )+f(n _{5} )=4]이므로

[eqn: 2X-Y=4 cdots cdots]㉡

㉠과 ㉡을 연립하면 [eqn: X=3], [eqn: Y=2]

[eqn: 5]번 중 주사위의 눈이 짝수가 [eqn: 3]번, 홀수가 [eqn: 2]번 나올 확률은

[eqn: {} _{5} rmC_3 left( 1 over 2 right)^3 left( 1 over 2 right)^2 = 5 over 16]

∴ [eqn: a+b=5+16=21]

23. [출제의도] 실생활 문제에서 경우의 수 구하기

[해설] 머리말과 인적사항의 글꼴들은 모두 다르므로 머리말의 글꼴을 선택하는 경우의 수는 [eqn: 3]가지, 인적사항의 글꼴을 선택하는 경우의 수는 [eqn: 3]가지이다.

제목의 글꼴을 선택하는 경우의 수는 머리말, 인적사항의 글꼴을 제외한 [eqn: 4]가지이므로

전체 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 3 TIMES 4=36]

24. [출제의도] 행렬의 성분 구하기

[해설]  [eqn: a_11 =(3]의 양의 약수의 개수[eqn: )=2]

[eqn: a_12 =(5]의 양의 약수의 개수[eqn: )=2]

[eqn: a_21 =(4]의 양의 약수의 개수[eqn: )=3]

[eqn: a_22 =(6]의 양의 약수의 개수[eqn: )=4]

∴ [eqn: A=` pmatrix{``2~&`2``#``3~&`4``}]이므로 성분의 합은 [eqn: 11]

25. [출제의도] 여러 가지 수열을 활용하여 실생활문제 해결하기

[해설] 첫 번째 - : [eqn: 1]개,  : [eqn: 1]개,  : [eqn: 2]개

두 번째- : [eqn: 2]개,  : [eqn: 3]개,  : [eqn: 5]개

세 번째- : [eqn: 3]개,  : [eqn: 5]개,  : [eqn: 8]개

[eqn: VDOTS]

[eqn: n] 번째- : [eqn: n]개,  : [eqn: 2n-1]개, : [eqn: 3n-1]개

[eqn: n] 번째 후 전체 구슬의 개수는

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k+ sum _{k=1} ^{n} (2k-1)+ sum _{k=1} ^{n} (3k-1)=n(3n+1)]

[eqn: n(3n+1) <= 200]인 최대의 [eqn: n]을 구하면 [eqn: n=8]이다. 또한 [eqn: n=8]까지 꿴 구슬은 모두 [eqn: 200]개이므로 구슬 의 개수는

[eqn: sum _{k=1} ^{8} (2k-1)=2 cdot{8 cdot 9} over {2} -8=64]

[미분과 적분]

26	④	27	⑤	28	①	29	②	30	15

26. [출제의도] 배각공식을 이용하여 삼각함수의 값 구하기

[해설] [eqn: (sin theta +cos theta ) ^{2} =1+2`sin theta` cos theta = {15} over {9} = {5} over {3}]

∴ [eqn: 2`sin`theta `cos theta =sin2 theta = { {2} over {3}]

[eqn: 0<2` theta < {pi } over {2}]이므로 [eqn: cos2 theta >0]이고

∴ [eqn: cos2 theta = sqrt {1-sin ^{2} 2 theta }][eqn: = sqrt {1- {4} over {9}} = {sqrt {5}} over {3}]

27. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리와 합성을 이용하여 삼각함수의 값 구하기

[해설] [eqn: y=cosx-cos LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT )]

[eqn: =cosx- LEFT ( cosx`cos {pi } over {3} -sinx sin pi over 3 right)]

[eqn: = root3 over 2 ` sinx + 1 over 2` cosx= sin left( x + pi over 6 right)]

[eqn: y]는 [eqn: x+ {pi } over {6} = {pi } over {2}]일 때 최대값을 갖는다.

∴ [eqn: alpha = {pi } over {3}],  [eqn: tan alpha =tan {pi } over {3} = sqrt {3}]

(별해)

[eqn: y= cosx-cos LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT )`=`-2sin LEFT ( x+ {pi } over {6} RIGHT ) sin LEFT ( - {pi } over {6} RIGHT )]

[eqn: =sin LEFT ( x+ {pi } over {6} RIGHT )]

28. [출제의도] 삼각부등식의 해 구하기

[해설] [eqn: cos2x-3sinx+1=(1-2sin ^{2} x)-3sinx+1]

[eqn: 2sin ^{2} x+3sinx-2 >= 0], [eqn: (2sinx-1)(sinx+2) >= 0]

[eqn: sinx+2>0]이므로 [eqn: sinx >= {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE ``` {pi } over {6} <= x <= {5} over {6} pi]

29. [출제의도] 도형을 이용하여 반각 공식 증명하기

[해설] (가) [eqn: rm bar{DE}],  (나) [eqn: rm bar{AC} cdot bar{CF}],  (다) [eqn: cos theta]

30. [출제의도] 배각공식을 이용하여 길이 구하기

[해설] [eqn: tan alpha = 1 over2], [eqn: tan 2 alpha = {2 tan alpha} over {1- tan^2 alpha} = 4 over 3]

[eqn: rm bar{AC} = it x], [eqn: rm bar{CD} = it 4 over 3 x], [eqn: rm bar BC = it 8 over 3 x]

[eqn: x^2 + left( 8 over3 x right)^2 =left( 5 root73 right)^2]   ∴ [eqn: x=15]

(별해) [eqn: rm bar{AC} = it x]라 하면 [eqn: rm bar{BC} = sqrt {25 TIMES 73- it x ^{2} rm}]

[eqn: rm bar{CD} = rm bar AC cdot tan 2 alpha = rm bar BC cdot `tan alpha]

[eqn: x`tan2 alpha = sqrt {25 TIMES 73-x ^{2}} rm ``tan alpha]

[eqn: x cdot{2tan alpha } over {1-tan ^{2}alpha} = sqrt {25 TIMES 73-x ^{2}} `` rm tan alpha]

[eqn: {8} over {3} x= sqrt {25 TIMES 73-x ^{2}}]

[eqn: x ^{2} =25 TIMES 9], ∴ [eqn: x=15]

[확률과 통계]

26	②	27	③	28	②	29	④	30	61

26. [출제의도] 상대도수 구하기

[해설] 각 계급의 상대도수는 전체 도수에 대한 그 계급의 도수의 비이다. 전체도수는 [eqn: 27+a]이고

[eqn: 70]시간 이상 ～ [eqn: 80]시간 미만인 계급의 상대도수가 [eqn: 0.3]이므로 [eqn: {9} over {27+a} =0.3], [eqn: THEREFORE ```a=3]

따라서, [eqn: 80]시간 이상 ～ [eqn: 90]시간 미만인 계급의 상대도수는 [eqn: {3} over {30} =0.1]이다.

27. [출제의도] 줄기와 잎 그림 해석하기

[해설] ㄱ. 자료의 최대값은 [eqn: 73]이고 최소값은 [eqn: 16]이므로  범위는 [eqn: 73-16`=`57]이다. (참)

ㄴ. 줄기와 잎 그림에서 [eqn: 41]이 가장 자주 나타나는 값이므로 최빈값이다. (참)

ㄷ. 중앙값은 자료의 중앙에 있는 값이므로 [eqn: 42]이다. (거짓)

28. [출제의도] 가중평균 구하기

[해설] 가중평균 점수를 [eqn: m _{w}]라 하면

[eqn: m _{w} = {80 TIMES 0.15+70 TIMES 0.15+86 TIMES 0.35+94 TIMES 0.35} over {0.15+0.15+0.35+0.35}]

[eqn: =85.5]

29. [출제의도] 평균과 분산 사이의 관계 이해하기

[해설]  [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: CDOTS], [eqn: a _{10}]의 평균을 [eqn: m], 분산을 [eqn: sigma ^{2}]이라 하면

[eqn: m= {a _{1} +a _{2} + ``CDOTS`` +a _{10}} over {10}=8],

[eqn: sigma ^{2} = {(a _{1} -m) ^{2} +(a _{2} -m) ^{2} + ``cdots``+(a _{10} -m) ^{2}} over {10}= 9]

[eqn: LEFT . f(x)=10x ^{2} -2(a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{10} )x+(a _{1} ` ^{2} +a _{2} ` ^{2} + CDOTS +a _{10} ` ^{2} )]

따라서 [eqn: x= {a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{10}} over {10}=m]일 때,  함수 [eqn: f(x)]는 최소값 [eqn: {(a _{1} -m) ^{2} +(a _{2} -m) ^{2} + ``cdots``+(a _{10} -m) ^{2}}]을 갖는다.

[eqn: THEREFORE ```p=8]이고, [eqn: sigma^2 = q over 10 = 9]에서  [eqn: q=90]

[eqn: THEREFORE ```p+q=98]

30. [출제의도] 평균의 정의 이해하기

[해설] 합격자 전체의 점수의 합을 [eqn: a], 불합격자 전체의  점수의 합을 [eqn: b]라 하면 그 평균은 각각 [eqn: {a} over {10}], [eqn: {b} over {100}]이다.

[eqn: {a} over {10} = {a+b} over {110} +10], [eqn: {b} over {100} =50]에서 [eqn: a=610], [eqn: b=5000]

따라서 합격자 전체의 평균 점수는 [eqn: {a} over {10} =61]

[이산수학]

26	④	27	②	28	③	29	⑤	30	240

26. [출제의도] 순열을 이용하여 경우의 수 구하기

[해설] 먼저 [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]를 주어진 조건에 맞게 세운 뒤

나머지 학생들을 세우면 된다.

(ⅰ) [eqn: rm A`□`B`□`□`□]: [eqn: 24]

(ⅱ) [eqn: rm A`□`□`B`□`□]: [eqn: 24]

(ⅲ) [eqn: rm A`□`□`□`B`□]: [eqn: 24]

(ⅳ) [eqn: rm A`□`□`□`□`B]: [eqn: 24]

[eqn: THEREFORE ```4 TIMES 24=96]

27. [출제의도] 실생활에서 경우의 수 구하기

[해설] [eqn: 5]개의 돌 중에 [eqn: 3]개의 돌을 밟는 경우의 수는 [eqn: rm{} _{5} C _{3}} = { 5 cdot4 } over 2 =10]

[eqn: 5]개의 돌 중에 [eqn: 4]개의 돌을 밟는 경우의 수는 [eqn: rm{} _{5} C _{4}} = 5]

따라서 전체 경우의 수는 [eqn: 10+5=15]

28. [출제의도] 실생활에서 경우의 수 이해하기

[해설] [eqn: n]명이 서로 악수하는 경우의 수는 [eqn: n]명 중에서  두 사람을 택하는 경우의 수와 같으므로

[eqn: f(n) = _{n} rm C _{2} ``= it{n(n-1)} over {2}]이다.

ㄱ. [eqn: f(5)= _{5} rm C _{2} = {5 CDOT 4} over {2} =10] (참)

ㄴ.  [eqn: f(n)+n={n(n-1)} over {2} +n]

[eqn: = {n(n+1)} over {2} =f(n+1)] (참)

ㄷ. [eqn: {} _{2} rmC _{2} + _{3} C _{2} + _{4} C _{2}+ CDOTS + _{10} C _{2} ``= 165], [eqn: rm `_{11} C _{2}=55]

(거짓)

29. [출제의도] 조건에 맞는 자연수의 개수 구하기

[해설] 세 자리 자연수를 [eqn: 100a+10b+c]라 하자.

(단, [eqn: 1<= a<=9], [eqn: 0<= b<=9], [eqn: 0<= c<=9]인 정수)

(ⅰ) [eqn: b], [eqn: c] 중 하나가 [eqn: 0]인 경우

나머지 두 수가 같으면 되므로 [eqn: 9 TIMES 2=18](가지)

(ⅱ) [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 [eqn: 0]을 포함하지 않는 경우

㉠ [eqn: a=b+c]인 경우

[eqn: a=2]일 때 [eqn: 1](가지),

[eqn: a=3]일 때 [eqn: 2](가지),

[eqn: a=4]일 때 [eqn: 3](가지),

…

[eqn: a=9]일 때 [eqn: 8](가지)

∴ [eqn: 1+2+` CDOTS +8=36](가지)

㉡ [eqn: b=a+c]와 [eqn: c=a+b]의 경우도 같은 방법으로 구하면 각각 [eqn: 36](가지)이다.

[eqn: THEREFORE ```36 TIMES 3=108](가지)

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: `18+108=126](가지)이다.

30. [출제의도] 순열을 이용하여 경우의 수 구하기

[해설] [eqn: rm A]에서 [eqn: rmB]지점까지 최단거리로 가는 경우는

[eqn: rm A` -> `P` -> `Q` -> `R` -> `S` -> `B]로 가는 경우이다.

[eqn: rm A` -> `P] : [eqn: 2 ! = 2]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

[eqn: rm S]

[eqn: rm P` ->`Q] : [eqn: 1]

[eqn: rmQ` -> `R] : [eqn: {4!} over {2!cdot2!} =6]

[eqn: rm R` -> `S] : [eqn: 1]

[eqn: rm S` -> `B] : [eqn: {6!} over {3!cdot3!} =20]이므로

구하는 경우의 수는

[eqn: 2 TIMES 6 TIMES 20=240](가지)

[나 형]

1	⑤	2	④	3	②	4	⑤	5	②
6	②	7	③	8	①	9	⑤	10	③
11	⑤	12	③	13	⑤	14	④	15	①
16	③	17	①	18	36	19	8	20	90
21	5	22	729	23	16	24	11	25	64
26	①	27	④	28	②	29	③	30	24

1. 수리‘가’형 1번과 같음

2. [출제의도] 로그와 지수의 관계 이해하기

[해설] [eqn: {log _{2`} `a} over {6} = {log _{2} `b} over {8} = {1} over {4}]이므로

[eqn: log _{2} `a= {3} over {2}], [eqn: a=2 ^{{3} over {2}}]

[eqn: log _{2} `b= 2], [eqn: b=2 ^2]이므로 [eqn: a ^{2} b=2 ^{5} =32]이다.

3. 수리‘가’형 3번과 같음

4. [출제의도] 무한수열의 수렴, 발산 판정하기

[해설] ① [eqn: 0]에 수렴한다.  ② [eqn: {1} over {2}]에 수렴한다.

③ [eqn: 0]에 수렴한다.  ④ [eqn: -1]에 수렴한다.

⑤ 수렴하지 않는다.

5. [출제의도] 행렬의 거듭제곱 계산하기

[해설] 근과 계수와의 관계에서 [eqn: alpha + beta =5], [eqn: alpha beta =-1]

[eqn: A ^{2} = pmatrix{`4+ alpha beta ~&`0~#0&4+ alpha beta `}= pmatrix { ``3~&~0` #0 ~&~3` } = 3E] 이므로

[eqn: A ^{4} =9E], [eqn: A ^{5} =9A]이다.

6. [출제의도] 지수법칙 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: a`◎`1=a ^{2}], [eqn: 1`◎`a=1]이므로

[eqn: a`◎`1 != 1`◎`a] (거짓)

ㄴ. [eqn: {1} over {a} `◎`b= a^ -2b], [eqn: {1} over {a`◎`b}= a^-2b]이므로

[eqn: {1} over {a} `◎`b= {1} over {a`◎`b}] (참)

ㄷ. [eqn: a`◎ LEFT ( {1} over {2} b RIGHT ) = a^b], [eqn: {1} over {2} LEFT ( a`◎`b RIGHT )= 1 over 2 a^2b]이므로

[eqn: a`◎` LEFT ( {1} over {2} b RIGHT ) != {1} over {2} LEFT ( a`◎`b RIGHT )] (거짓)

7. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 실수의 대소관계 이해하기

[해설] [eqn: root{ 2 ^ root2}=2^{root2 over 2}], [eqn: (root2`) ^{root2}=2^{root2 over 2}], [eqn: root{2root2}=2 ^ {3over4}]

∴ [eqn: root{ 2 ^ root2}=(root2`) ^{root2} <root{2root2}]

8. 수리‘가’형 8번과 같음

9. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수열의 합 구하기

[해설] [eqn: sum from k=1 to 9 (-1)^k-1 log_10`(1.23 times 10^k+1 )]

[eqn: = sum from k=1 to 9 (-1)^k-1 ( alpha +k+1 )]

[eqn: = (alpha+2) -(alpha + 3) + (alpha+4)-``cdots``+(alpha + 10)]

[eqn: =6+ alpha]

10. 수리‘가’형 10번과 같음

11. 수리‘가’형 11번과 같음

12. 수리‘가’형 12번과 같음

13. 수리‘가’형 13번과 같음

14. [출제의도] 도형을 이용하여 수열의 합 추론하기

[해설] (가) [eqn: 1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} + ``CDOTS``+n ^{3}]

(나) [eqn: n(n+1)], (다) [eqn: LEFT { {n(n+1)} over {2} RIGHT } ^{2}]

15. 수리‘가’형 15번과 같음

16. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기

[해설] [eqn: log_10` x = 1 + alpha``` ( 0 <= alpha <1)]

[eqn: log_10` y = 2 +beta``` ( 0 <= beta<1)]

ㄱ. [eqn: log_10` xy= log_10` x + log_10`y][eqn: =3+ alpha + beta ``]이고 여기에서 [eqn: 0 <= alpha + beta <2]이므로 지표는 3 또는 4이다.

∴ [eqn: xy]는 4자리 또는 5자리 자연수이다. (참)

ㄴ. [eqn: log_10` y= log_10 `10x = 1+ log_10` x= 2 + alpha] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: x=10]일 때, [eqn: 1 over10 =0.1] (거짓)

17. 수리‘가’형 17번과 같음

18. [출제의도] 합의 기호 [eqn: sum]의 성질 이해하기

[해설] (준식)[eqn: = 2sum from k=1 to 10 a_k - sum from k=1 to 10 b_k + 3 times 10=36]

19. 수리‘가’형 19번과 같음

20. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건을 이용하여 값 구하기

[해설] [eqn: rm A= itpmatrix { `a~&~1` # `b~&~c` }]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: ac-b=0]이다.

[eqn: {178} over {121} =1+ {1} over {2+ {1} over {8+ {1} over {7}}}]이므로 [eqn: a=2], [eqn: b=8]

[eqn: 2c-8=0], [eqn: c=4]

[eqn: rm A= it pmatrix{`2~&`1`#`8~&`4`}]이므로 [eqn: rm A^2 = it pmatrix{`12~&`6`#`48~&`24`}]

따라서, 모든 성분의 합은 [eqn: 90]

21. [출제의도] 무한급수의 합 구하기

[해설] [eqn: 2 ^{a} times`3 ^{b} = lim _{n` -> ` INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} `` {1} over {2} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT )]

[eqn: =` lim _{n` -> ` INF } {``} {1} over {2} LEFT ( 1+ {1} over {2} - {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT )]

[eqn: = {3} over {4} ```=`2 ^{-2} times 3 ^{1}]

∴ [eqn: a ^{2} +b ^{2} =5]

22. [출제의도] 등차수열과 등비수열의 일반항 비교하기

[해설] 빨간색이 칠해진 부분에 쓰여진 수 : ([eqn: 4n-3])꼴

파란색이 칠해진 부분에 쓰여진 수  : ([eqn: 3^m])꼴

빨간색과 파란색이 겹쳐 칠해지는 부분에 쓰여진 수

: ([eqn: 9^k])꼴이므로 [eqn: 9], [eqn: 81], [eqn: 729](단, [eqn: k], [eqn: m], [eqn: n]은 자연수)

∴ 가장 큰 수는 [eqn: 729]

23. [출제의도] 연립일차방정식의 해가 무수히 많을 조건과 산술평균, 기하평균 관계 이해하기

[해설] 역행렬이 존재하지 않으므로 [eqn: ab-32=0]

[eqn: a+2b >= 2 sqrt {2ab}]

[eqn: a+2b >= 16]이므로 최소값은 [eqn: 16]이다.

24. 수리‘가’형 24번과 같음

25. 수리‘가’형 25번과 같음

26. [출제의도] 실수의 성질을 이해하고 역행렬 구하기

[해설] [eqn: LEFT | `a-1` RIGHT |`+ `LEFT | `b-2` RIGHT |` =0]에서 [eqn: a=1], [eqn: b=2]

[eqn: A=` pmatrix{```````1~&`2`#-2~&`1`}]이므로 [eqn: A ^{-1} = {1} over {5} pmatrix{1`&-2`#```2~&~~1``}]

27. [출제의도] 알고리즘을 이해하여 인쇄되는 값 구하기

[해설] 순서도에 따라 인쇄되는 [eqn: S]의 값은 [eqn: 31], [eqn: T] 의 값은 [eqn: 21]이다.

[eqn: THEREFORE ```S-T=10]

28. [출제의도] 역행렬의 정의 이해하기

[해설] [eqn: -A ^{2} +4A=3E],  [eqn: - {1} over {3} A(A-4E)=E]

[eqn: THEREFORE ```A ^{-1} =`- {1} over {3} (A-4E``)]

29. [출제의도] 무한급수의 수렴 조건 이해하기

[해설] 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` t_{n}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } ``{t_n}=0]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT { a _{n} - {2+4+6+ CDOTS +2n} over {(2n-1) ^{2}} RIGHT } =0]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} - {n ^{2} +n} over {4n ^{2} -4n+1} RIGHT ) =0]  ∴ [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} = {1} over {4}]

30. [출제의도] 무한등비급수의 합을 이용하여 식의 값 구하기

[해설] 무한등비급수의 공비가 [eqn: sin theta] 이고 [eqn: 0<sin` theta <1]

이므로 무한등비급수는 수렴한다.

[eqn: {cos ^{2} theta } over {1-sin theta } = {18} over {13}],  [eqn: {1- sin ^{2} theta } over {1-sin theta } = {18} over {13}],

[eqn: 1+sin theta = {18} over {13}],  [eqn: sin theta = {5} over {13}]

∴ [eqn: tan theta = {5} over {12}]

그러므로 [eqn: {10} over {tan theta } =10TIMES {12} over {5} =24]