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수학 A형 정답

1	②	2	③	3	①	4	④	5	②
6	⑤	7	①	8	⑤	9	④	10	①
11	⑤	12	②	13	④	14	②	15	①
16	③	17	④	18	⑤	19	③	20	③
21	②	22	26	23	6	24	12	25	61
26	5	27	4	28	64	29	400	30	11

해 설

1. [출제의도] 로그를 계산하여 값을 구한다.

[eqn: {1} over {2} `log _{`2} `8-log` _{`2} ` sqrt {2} `][eqn: = {1} over {2} `log _{`2} 2 ^{3} -log` _{`2} `2 ^{{1} over {2}} `][eqn: = {3} over {2} `- {1} over {2} =1`]

2. [출제의도] 행렬을 계산하여 성분의 합을 구한다.

[eqn: A-2B`][eqn: = {pmatrix{`2&```3`#`1&```2`}} `][eqn: -2 {pmatrix{`-1&```2`#````````3&```1`}} `][eqn: = {pmatrix{```````4&```-1#-5&````````````0`}} `]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: -2`]이다.

3. [출제의도] 수열의 극한을 계산한다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {2n ^{2} +n-3} over {3n ^{2} -1} `][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {2+ {1} over {n} - {3} over {n ^{2}}} over {3- {1} over {n ^{2}}} `][eqn: = {2+0-0} over {3-0} = {2} over {3} `]

4. [출제의도] 정적분의 값을 계산한다.

[eqn: int _{0} ^{1} {} (3x ^{2} -4x+5)dx`][eqn: = LEFT [ x ^{3} -2x ^{2} +5x RIGHT ] _{`0} ^{`1} `][eqn: =4`]

5. [출제의도] 그래프를 나타내는 행렬의 성질을 이해하여 값을 구한다.

그래프를 나타내는 행렬의 각 성분은 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 향하는 대각선에 대하여 대칭이다. 그러므로 [eqn: a`], [eqn: b`]는 행렬 [eqn: M`]의 [eqn: (4,``1)`]성분, [eqn: (2,``5)`]성분과 각각 같다.

∴ [eqn: a=0`], [eqn: b=1`]

따라서 행렬 [eqn: M`]의 모든 성분의 합이 [eqn: 14`]이므로 그래프 [eqn: G`]의 변의 개수는 [eqn: 7`]이다.

6. [출제의도] 이항정리를 이해하고 항의 계수를 구한다.

[eqn: LEFT ( x ^{2} + {1} over {x} RIGHT ) ^{7} `]의 전개식의 일반항은

[eqn: {} _{7} rm C _{it `r rm} it LEFT ( x ^{2} RIGHT ) ^{7-r} LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{r} `][eqn: = _{7} rm C _{it `r rm} ` it x ^{14-3r} `]

[eqn: 14-3r=2`]에서 [eqn: r=4`]

따라서 [eqn: x ^{2} `]의 계수는 [eqn: ` _{7} rm C _{4} `][eqn: =35`]이다.

7. [출제의도] 서로 배반인 두 사건의 확률의 덧셈정리를 이해하고 값을 구한다.

[eqn: LEFT . A ^{C} ` SMALLINTER B ^{C} ``= LEFT ( it `A CUP B`` RIGHT ) ^{C} `` RIGHT .]이므로

[eqn: LEFT . rm P it (A ^{C} ` SMALLINTER B ^{C} ``)`=1- rm P LEFT ( it `A CUP B`` RIGHT ) `= {1} over {4} ` RIGHT .]

∴ [eqn: rm P LEFT ( it `A CUP B`` RIGHT ) `= {3} over {4} `]

두 사건 [eqn: A`], [eqn: B`]가 서로 배반이므로

[eqn: rm P it (A CUP B``)`][eqn: = rm P it (A)+ rm P it (B``)`]이다.

따라서 [eqn: {3} over {4} = rm {1} over {2} + rm P it (B``)`]에서 [eqn: rm P it (B`)= {1} over {4} `]이다.

8. [출제의도] 미분계수의 정의를 이해하고 극한값을 구한다.

[eqn: lim _{x` -> `2} {` LEFT ( x-2 RIGHT ) =0`} `]이므로 [eqn: lim _{x` -> `2} {` LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -1 RIGHT } =0`} `]

∴ [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1`]

[eqn: lim _{x` -> `2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -1} over {x-2} = lim _{x -> 2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2}} ``}][eqn: =f` prime LEFT ( 2 RIGHT )} =2``}]

∴ [eqn: lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2-h RIGHT )} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f(2)} over {h} `+`} lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 2-h RIGHT ) -f(2)} over {-h}} `]

[eqn: =2f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =2 TIMES 2=4`]

9. [출제의도] 로그부등식을 이해하고 그 해를 구한다.

[eqn: 1<log _{`4} ` {x ^{2} -1} over {2} <3`]에서 [eqn: 4< {x ^{2} -1} over {2} <64`]

∴ [eqn: 9<x ^{2} <129`]

따라서 [eqn: x=`±4`], [eqn: ±5], [eqn: ±6], [eqn: ±7], [eqn: ±8], [eqn: ±9], [eqn: ±10], [eqn: ±11] 이므로 구하는 개수는 [eqn: 16]이다.

10. [출제의도] 중복조합을 이해하고 경우의 수를 구한다.

(ⅰ) [eqn: 4`]명의 학생 중에서 선물을 받을 [eqn: 2`]명을 택하는       경우의 수는 [eqn: ` _{4} rm C _{2} `=6`]이다.

(ⅱ) (ⅰ)에서 택한 [eqn: 2`]명에게 [eqn: 4`]개의 선물을 적어도        하나씩 나누어 주는 방법의 수는 각각 하나씩        나누어 주고 남은 [eqn: 2`]개에서 [eqn: 2`]개를 택하는 중복       조합의 수와 같으므로 [eqn: ` rm _{2+2-1} rm C _{`2} =3]이다.

∴ [eqn: ` _{4} rm C _{2}][eqn: TIMES 3=18`]

11. [출제의도] 함수의 극대와 극소를 이해하고 주어진 값을 구한다.

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} -2x-5`][eqn: =(x+1)(3x-5)`]

[eqn: f`prime(x)=0`]에서 [eqn: x=`-1] 또는 [eqn: x= {5} over {3} `]

함수 [eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x`]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -1`]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {5} over {3} `]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`prime(x)`]	[eqn: +`~]	[eqn: 0`]	[eqn: -`]	[eqn: 0`]	[eqn: +`~]
[eqn: f(x)`]	↗	[eqn: f(-1)]	↘	[eqn: f LEFT ( 5 over 3RIGHT )]	↗

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=`-1`]에서 극댓값을 가지므로

[eqn: f(-1)=`-1-1+5+k=20]

∴ [eqn: k=17`]

12. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 실생활과 관련된 문제를 해결한다.

잡음 지수가 [eqn: 5`]이고 주파수 대역이 [eqn: B` _{`1} `]일 때의 수신 가능한 신호의 최소 크기를 [eqn: P _{`1} `]이라 하면

[eqn: P _{`1} =a+5+10`log`B _{`1} `]

잡음 지수가 [eqn: 15`]이고 주파수 대역이 [eqn: B` _{`2}]일 때의 수신 가능한 신호의 최소 크기를 [eqn: P _{`2} `]라 하면

[eqn: P _{`2} =a+15+10`log`B _{`2} `]

[eqn: P _{`1} =P _{`2} `]이므로

[eqn: a+5+10`log`B _{`1} `=a+15+10log`B _{`2} `]

[eqn: log`B _{`2} -log`B _{`1} =`-1`], [eqn: log` {B _{`2}} over {B _{`1}} =`-1`]

∴ [eqn: {B _{`2}} over {B _{`1}} =10 ^{`-1} = {1} over {10} `]

13. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 이해하고 주어진 값을 구한다.

[eqn: rmA(0,``1)`], [eqn: rm B(1,``0)`]이고 선분 [eqn: rmAB`]가 정사각형의 한 변이므로 [eqn: rm C(1,``2)`], [eqn: rm D(2,``1)`]이다.

이때 직선 [eqn: y=`-x+k`]가 점 [eqn: rm C(1,``2)`]를 지나므로

[eqn: 2=`-1+k`]

∴ [eqn: k=3`]

14. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 통해 주어진 이산확률변수의 기댓값을 구한다.

주사위의 눈의 수를 [eqn: n`]이라 하면

[eqn: rm C( it n,``2 ^{`n} )`], [eqn: rm D( it `2 ^{` it n} ,``n)`]이므로

[eqn: bar{rm CD it} = sqrt {(2 ^{`n} -n) ^{2} +(n-2 ^{`n} ) ^{2}} `][eqn: = sqrt {2} LEFT ( 2 ^{`n} -n RIGHT ) `]

[eqn: 1`]부터 [eqn: 6`]까지의 값을 가지는 [eqn: n`]에 대하여 선분 [eqn: rmCD`]의 길이 [eqn: X`]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: n`]	[eqn: 1`]	[eqn: 2`]	[eqn: cdots`]	[eqn: 6`]	계
[eqn: X]	[eqn: sqrt {2} LEFT ( 2 ^{`1} -1 RIGHT ) `]	[eqn: sqrt {2} LEFT ( 2 ^{`2} -2 RIGHT ) `]	[eqn: cdots`]	[eqn: sqrt {2} LEFT ( 2 ^{`6} -6 RIGHT ) `]
[eqn: rm P( itX=x)`]	[eqn: {1} over {6}]	[eqn: {1} over {6}]	[eqn: cdots`]	[eqn: {1} over {6}]	[eqn: 1]

따라서 [eqn: X`]의 기댓값은

[eqn: rm E( it X``)`][eqn: = sum _{n`=1} ^{6} ` sqrt {2} (2 ^{n} -n) TIMES {1} over {6} `]

[eqn: = {sqrt {2}} over {6} ` LEFT { {2(2 ^{6} -1)} over {2-1} - {6 TIMES 7} over {2} RIGHT } `]

[eqn: = {35 sqrt {2}} over {2} `]

15. [출제의도] 수열의 일반항을 추론한다.

[eqn: a _{n+1} = {na _{n} +6} over {n+2} `]의 양변에 [eqn: (n+2)`]를 곱하면

[eqn: (n+2)a _{n+1} =na _{n} +6`]

이다. 다시 양변에 [eqn: (n+1)`]을 곱하면

[eqn: (n+1)(n+2)a _{n+1} =n(n+1)a _{n} +6(n+1)`]

이다. [eqn: b _{n} =n(n+1)`a _{n} `]이라 하면

[eqn: b _{n+1} =b _{n} + BOX{`6(n+1)`}]

이다. [eqn: b _{1} =2`]이고 [eqn: b _{n+1} -b _{n} =6(n+1)`]이므로

[eqn: b _{n} =b _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} 6(k+1)`]

[eqn: =2+6 LEFT { {n(n-1)} over {2} +(n-1) RIGHT }]

[eqn: = BOX{`3n ^{2} +3n-4`} `] ([eqn: n GEQ 1`])

이다. [eqn: n(n+1)a _{n} =3n ^{2} +3n-4`]이므로

[eqn: a _{n} = {BOX{`3n ^{2} +3n-4`}} over {n(n+1)}] ([eqn: n GEQ 1`])

[eqn: f(n)=6(n+1)`], [eqn: g(n)=3n ^{2} +3n-4`]이므로

[eqn: f(4)+g(10)=30+326=356`]

16. [출제의도] 주어진 함수의 그래프에서 극한과 연속을 추측한다.

ㄱ. [eqn: lim _{x` -> `-1-0} {} f(x)+ lim _{x` -> `1+0} {} f(x)=1+(-1)=0`] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `1-0} {} f(-x)`][eqn: = lim _{t` -> `-1+0} {} f(t)=`-1`]

[eqn: lim _{x` -> `1+0} {} f(-x)`][eqn: = lim _{t` -> `-1-0} {} f(t)=1`]

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {} f(-x)`][eqn: != lim _{x` -> `1+0} {} f(-x)`]이므로 함수 [eqn: f(-x)`]는

[eqn: x=1`]에서의 극한값이 존재하지 않는다. (거짓)

ㄷ.  [eqn: f(1)f(-1)][eqn: =1 TIMES (-1)=`-1`]

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {} f(x)f(-x)`][eqn: =1 TIMES (-1)=`-1`]

[eqn: lim _{x` -> `1+0} {} f(x)f(-x)`][eqn: =(-1) TIMES 1=`-1`]

∴ [eqn: lim _{x` -> `1} {} f(x)f(-x)=`-1`]

따라서 [eqn: f(1)f(-1)`][eqn: = lim _{x` -> `1} {} f(x)f(-x)`]이므로 함수

[eqn: f(x)f(-x)]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다. (참)

17. [출제의도] 실생활과 관련하여 모평균에 대한 신뢰구간을 구한다.

딸기의 무게 [eqn: X`]가 평균이 [eqn: m`]이고 표준편차가 [eqn: sigma`]인 정규분포 [eqn: rm N( it `m`,`` sigma ^{2} )`]을 따른다고 하자. 임의추출한 크기가 [eqn: n`]인 표본의 표본평균 [eqn: bar{X``} =20`], 표본표준편차 [eqn: s=5`]의 결과를 이용하여 모평균 [eqn: m`]을 신뢰도 [eqn: 95`]%로 추정한 신뢰구간은

[eqn: LEFT [ 20-1.96 TIMES {5} over {sqrt {n}} `,```20+1.96 TIMES {5} over {sqrt {n}} RIGHT ] `]

조건에서 신뢰구간이 [eqn: LEFT [ `19.02,```a` RIGHT ] `]이므로

[eqn: 20-1.96 TIMES {5} over {sqrt {n}} =19.02`], [eqn: 20+1.96 TIMES {5} over {sqrt {n}} =a`]

위의 식을 풀면 [eqn: n=100`], [eqn: a=20.98`]

∴ [eqn: n+a=120.98`]

18. [출제의도] 주어진 도형을 통해 함수의 극한값을 구한다.

삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이를 [eqn: S`], 원의 중심을 [eqn: rm C`]라 하면

[eqn: bar{rmAB} = sqrt {a ^{2} +9} `], [eqn: S`= rm △COA+△CBO+△CAB`]이므로

[eqn: S``= {3} over {2} a][eqn: `=`r` TIMES {a+3+ sqrt {a ^{2} +9}} over {2} `]

위의 식을 정리하면

[eqn: {r} over {a} = {3} over {a+3+ sqrt {a ^{2} +9}} `]

∴ [eqn: lim _{a` -> `+0} {{r} over {a}} = lim _{a` -> `+0} {} {3} over {a+3+ sqrt {a ^{2} +9}} `][eqn: = {3} over {3+ sqrt {9}} = {1} over {2} `]

19. [출제의도] 주어진 도형에서 무한등비급수의 합을 추측하여 구한다.

[eqn: R _{`1} `]에 있는 원의 반지름의 길이는 [eqn: 2- sqrt {2} `]이므로

[eqn: S _{1} =(2- sqrt {2} ) ^{2} pi`]

[eqn: R _{`2} `]에 있는 작은 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: x`]라 하면

[eqn: bar{rm AC it} `=2 sqrt {2} x+2(2- sqrt {2} )=2 sqrt {2} `]

[eqn: x=2- sqrt {2} `]

[eqn: R _{`1} `]에 있는 원과 [eqn: R _{`2} `]에 있는 작은 원의 넓이의 비는 [eqn: 2 ^{`2} :(2- sqrt {2} ) ^{2}][eqn: =1:left(1- {sqrt {2}} over {2} right) ^{2}]

따라서 [eqn: R _{`n} `]과 [eqn: R _{`n+1} `]에서 각각 새로 그려지는 두 원의 넓이의 비는 [eqn: 1: LEFT ( 1- {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{2}]이고 원의 개수의 비는 [eqn: 1`:`2`]이다.

그러므로 구하는 무한급수의 합은 첫째항이 [eqn: S _{1} =(2- sqrt {2} ) ^{2}pi``]이고, 공비가 [eqn: 2 LEFT ( 1- {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{2} =3-2 sqrt {2} `]인 무한등비급수의 합과 같다.

∴[eqn: lim _{n`-> `inf} {} S _{n} `][eqn: = {(2- sqrt {2} ) ^{2}pi }over {1-(3-2 sqrt {2} )}][eqn: = ( sqrt {2} -1)pi `]

20. [출제의도] 미분계수를 이용하여 접선의 방정식의 성질을 알고 주어진 값을 구한다.

[eqn: f(x)=x ^{`3} +ax`]를 미분하면

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} +a`]

곡선 [eqn: y=f(x)`] 위의 점 [eqn: rmA`]에서의 접선의 기울기는

[eqn: f`prime(-1)=3+a`]

곡선 [eqn: y=f(x)`] 위의 점 [eqn: rmA`]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=(3+a)(x+1)+(-1-a)`]

이 접선이 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 만나는 점을 구하면

[eqn: x ^{3} +ax=(3+a)(x+1)+(-1-a)`]

[eqn: x ^{3} -3x-2=0``], [eqn: (x+1) ^{2} (x-2)=0`]

∴ [eqn: b=2`]

따라서 점 [eqn: rmB`]의 좌표는 [eqn: (2,``8+2 it a)`]이다.

마찬가지로 점 [eqn: rm B`]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=(12+a)(x-2)+(8+2a)`]

이 접선이 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 만나는 점을 구하면

[eqn: x ^{3} +ax=(12+a)(x-2)+(8+2a)`]

[eqn: x ^{3} -12x+16=0``], [eqn: (x-2) ^{2} (x+4)=0`]

∴ [eqn: c=`-4`]

주어진 조건에서

[eqn: f(b)+f(c)`][eqn: =f(2)+f(-4)`][eqn: =8+2a-64-4a`][eqn: =`-80`]

∴ [eqn: a=12`]

[다른 풀이]

점 [eqn: rmA`]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=g(x)`]라 하면

[eqn: f(x)-g(x)=(x+1) ^{2} (x-b)]

[eqn: g(x)`]는 일차식이므로 [eqn: f(x)-g(x)`]는 이차항을 갖지  않는다. 즉, 이차항의 계수는 [eqn: 0`]이므로

[eqn: -b+2=0`] ∴ [eqn: b=2`]

점 [eqn: rmB`]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=h(x)`]라 하면

[eqn: f(x)-h(x)=(x-2) ^{2} (x-c)`]

마찬가지로 이차항의 계수는 [eqn: 0`]이므로

[eqn: -c-4=0`] ∴ [eqn: c=`-4`]

따라서

[eqn: f(b)+f(c)`][eqn: =f(2)+f(-4)`][eqn: =`-56-2a=`-80`]

∴ [eqn: a=12`]

21. [출제의도] 정적분을 이용하여 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 알고 주어진 값을 구한다.

두 점 [eqn: rm A( it 2`,``0)`], [eqn: rm B( it 0`,``3)`]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y=`- {3} over {2} x+3`]

이 직선과 함수 [eqn: y=ax ^{2} `]의 그래프의 교점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: p`]라 하면

[eqn: - {3} over {2} p+3=ap ^{2} `] …… ㉠

[eqn: S _{1} = int _{0} ^{p} {} LEFT { LEFT ( - {3} over {2} x+3 RIGHT ) -ax ^{2} RIGHT } dx``]

[eqn: LEFT . = LEFT [ - {3} over {4} x ^{2} +3x- {1} over {3} ax ^{3} RIGHT ] _{0} ^{p} `]

[eqn: =`- {3} over {4} p ^{2} +3p- {1} over {3} ap ^{3} `]

[eqn: =`- {3} over {4} p ^{2} +3p- {1} over {3} p LEFT ( - {3} over {2} p+3 RIGHT ) `]

[eqn: =`- {1} over {4} p ^{2} +2p`]…… ㉡

한편 [eqn: S _{`1} +S _{`2} = {1} over {2} TIMES 2 TIMES 3=3`]이고 [eqn: S _{1} :S _{2} =13:3`]이므로 [eqn: S _{`1} =3 TIMES {13} over {16} `= {39} over {16} `]…… ㉢

㉡, ㉢에서 [eqn: - {1} over {4} p ^{2} +2p= {39} over {16} `]

[eqn: 4p ^{2} -32p+39=0`]

[eqn: (2p-3)(2p-13)=0`]

따라서 [eqn: p= {3} over {2} `] (∵ [eqn: 0<p<2``])

그러므로 ㉠에서 [eqn: - {9} over {4} +3= {9} over {4} a]

∴ [eqn: a= {1} over {3}]

22. [출제의도] 등차수열의 일반항을 계산한다.

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 공차를 [eqn: d`]라 하면 [eqn: a _{1} =2`]이고

[eqn: a _{4} +a _{10} =28`]

[eqn: (a _{1} +3d)+(a _{1} +9d)=28`]

[eqn: 4+12d=28`] ∴ [eqn: d=2`]

∴ [eqn: a _{13} =a _{1} +12d=2+12 TIMES 2=26`]

23. [출제의도] 연립일차방정식의 해를 이해하고 주어진 값을 구한다.

연립방정식 [eqn: {pmatrix{`t&````2#`6&````t-4`}} {pmatrix{`x`#y}} = {pmatrix{`0`#0}}]이 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 가지므로 행렬 [eqn: {pmatrix{`t&````2#`6&````t-4`}} `]이 역행렬을 갖지 않는다.

[eqn: t(t-4)-2times6=0`]

[eqn: (t+2)(t-6)=0`]

∴ [eqn: t=6`](∵ [eqn: t`>0`])

24. [출제의도] 무한급수의 수렴과 발산을 이해하고 수열의 극한값을 구한다.

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {3-a _{n}} over {2} `]이 수렴하므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{3-a _{n}} over {2} =0`}], [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} =3`]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {{4na _{n} +5} over {n-3} = lim _{n -> INF } {{4a _{n} + {5} over {n}} over {1- {3} over {n}} =}} {4 TIMES 3+0} over {1-0} =12`]

25. [출제의도] 확률의 정의를 이해하고 확률의 값을 구한다.

[eqn: 4`]장의 카드에서 [eqn: 2`]장을 뽑는 방법의 수는 [eqn: {} _{4} rm C it rm _{2} =6]이고 이 중에서 ‘한’과 ‘국’이 적힌 카드를 뽑는 경우의 수는 [eqn: 1`]이다. 따라서 구하는 확률은 [eqn: {1} over {6} `]이다.

∴ [eqn: 10p+q=60+1=61`]

26. [출제의도] 삼차함수의 그래프를 이용하여 미분계수를 구한다.

조건 (가)에서 [eqn: f(a)=f(2)=f(6)=k`]로 놓으면

[eqn: f(a)-k=f(2)-k=f(6)-k=0`]

[eqn: g(x)=f(x)-k`]라 하면

[eqn: g(a)=g(2)=g(6)=0`]

[eqn: g(x)=(x-a)(x-2)(x-6)`]

그러므로 [eqn: f(x)=(x-a)(x-2)(x-6)+k`]

[eqn: f(x)`]를 미분하면

[eqn: f` prime (x)=(x-2)(x-6)+(x-a)(x-6)+(x-a)(x-2)`]

조건 (나)에서 [eqn: f` prime (2)=`-4]이므로

[eqn: -4(2-a)=`-4`] ∴ [eqn: a=1`]

∴ [eqn: f` prime (a)=(a-2)(a-6)=(-1) TIMES (-5)=5`]

27. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 방정식의 해의 개수를 구한다.

양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log`x`]의 가수가 [eqn: f(x)`]이므로 [eqn: f(x)=log`3`]에서 [eqn: log`x`]의 가수는 [eqn: log`3`]이다.

따라서 [eqn: log`x=n+log`3] ([eqn: n`]은 정수) …… ㉠

[eqn: {1} over {100} LEQ x LEQ 100`]일 때, [eqn: -2` LEQ log`x LEQ 2`]

이것을 ㉠에 대입하면

[eqn: -2` LEQ n+log``3 LEQ 2`]

[eqn: -2-log`3 LEQ n LEQ 2-log`3`]

[eqn: 0<log`3<1`]이므로 [eqn: -3<n<2`]

∴ [eqn: n=-2`], [eqn: -1`], [eqn: 0`], [eqn: 1`]

따라서 구하는 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 4`]이다.

[참고]

[eqn: x`]의 값을 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: n=-2`]일 때

[eqn: log`x=-2+log3], [eqn: log`x=log` LEFT ( 3 TIMES 10 ^{-2} RIGHT ) `]

[eqn: x=3 TIMES 10 ^{-2} `= {3} over {100} `]

(ⅱ) [eqn: n=-1`]일 때

[eqn: log`x=-1+log`3`], [eqn: log`x=log` LEFT ( 3 TIMES 10 ^{-1} RIGHT ) `]

[eqn: x=3 TIMES 10 ^{-1} = {3} over {10} `]

(ⅲ) [eqn: n=0`]일 때

[eqn: log`x=log`3`]

[eqn: x=3`]

(ⅳ) [eqn: n=1`]일 때

[eqn: log`x=1+log`3`]

[eqn: x=30`]

따라서 구하는 [eqn: x`]는 [eqn: 3 over 100 `], [eqn: 3 over 10 `], [eqn: 3 `], [eqn: 30 `]이다.

28. [출제의도] 정적분을 이용하여 두 점 사이의 거리의 최댓값을 구한다.

[eqn: f(t)=2t ^{2} -8t`], [eqn: g(t)=t ^{3} -10t ^{2} +24t`]라 하자.

[eqn: x`]초 후의 두 점 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`] 사이의 거리는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: LEFT | int _{0} ^{x} {} f(t)dt`- int _{0} ^{x} {} g(t)dt` RIGHT |][eqn: = LEFT | int _{0} ^{x} {} LEFT { f(t)-g(t) RIGHT } dt` RIGHT |]

[eqn: h(x)= int _{0} ^{x} {} LEFT { f(t)-g(t) RIGHT } dt`]라 하자.

[eqn: h prime (x)][eqn: =f(x)-g(x)`]

[eqn: = LEFT ( 2x ^{2} -8x RIGHT ) - LEFT ( x ^{3} -10x ^{2} +24x RIGHT ) RIGHT .]

[eqn: =`-x ^{3} +12x ^{2} -32x`]

[eqn: =`-x(x-4)(x-8)`]

[eqn: h`prime(x)=0`]에서 [eqn: x=0`], [eqn: 4`], [eqn: 8`]

[eqn: h(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x`]	[eqn: 0`]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 4`]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 8`]
[eqn: h` prime (x)`]	[eqn: 0`]	[eqn: -`]	[eqn: 0`]	[eqn: +`~]	[eqn: 0`]
[eqn: h(x)`]	[eqn: 0`]	↘	[eqn: h(4)]	↗	[eqn: h(8)]

[eqn: h(x)= int _{0} ^{x} {} LEFT { LEFT ( 2t ^{2} -8t RIGHT ) - LEFT ( t ^{3} -10t ^{2} +24t RIGHT ) RIGHT } dt`]

[eqn: = int _{0} ^{x} {} LEFT ( -t ^{3} +12t ^{2} -32t RIGHT ) dt]

[eqn: =`- {1} over {4} x ^{4} +4x ^{3} -16x ^{2}]

[eqn: x=4`]일 때

[eqn: LEFT | `h(x)` RIGHT | `][eqn: = LEFT [ {1} over {4} t ^{4} -4t ^{3} +16t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{4} `][eqn: =64`]

[eqn: x=8`]일 때

[eqn: LEFT | `h(x)` RIGHT | `][eqn: = LEFT [ {1} over {4} t ^{4} -4t ^{3} +16t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{8} `][eqn: =0`]

따라서 [eqn: LEFT | `h(x)` RIGHT | `]는 [eqn: x=4`]에서 최댓값 [eqn: 64`]를 갖는다.

29. [출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 주어진 방정식의 해의 합을 구한다.

(ⅰ) [eqn: 0leq`x<2`]일 때 [eqn: f(x)=5`]에서

[eqn: 3 ^{`x} =5`] ∴ [eqn: x=log` _{3} `5`]

(ⅱ) [eqn: 2leq`x<4`]일 때 [eqn: f(x)=5`]에서

[eqn: 3 ^{-x+4} =5`], [eqn: -x+4=log _{`3} `5`] ∴ [eqn: x=4-log _{`3} `5`]

함수 [eqn: y=f(x)`]는 주기가 [eqn: 4`]인 주기함수이므로 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `0,```40` RIGHT ] `]에서 [eqn: f(x)=5`]인 [eqn: x`]값들을 차례대로 구하면 다음과 같다.

[eqn: log _{`3} `5`], [eqn: 4-log _{`3} `5`], [eqn: 4+log _{`3} `5`], [eqn: 8-log _{`3} `5`], [eqn: 8+log _{`3} `5`], [eqn: 12-log _{`3} `5`], [eqn: 12+log _{`3} `5`], … , [eqn: 40-log _{`3} `5`]

따라서 이들을 모두 더하면

[eqn: LEFT { log _{`3} `5+(4-log _{`3} `5) RIGHT } + LEFT { (4+log _{`3} `5)+(8-log _{`3} `5) RIGHT } ``]

[eqn: LEFT . +`` CDOTS `+ LEFT { (36+log _{`3} `5)+(40-log _{`3} `5) RIGHT } ` RIGHT .]

[eqn: =4+12+20+` CDOTS `+76`]

[eqn: = {10 TIMES (4+76)} over {2} `]

[eqn: =400`]

30. [출제의도] 두 수열의 일반항 사이의 관계를 추측하여 주어진 조건에 맞는 값을 구한다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 일반항은 [eqn: a _{n} =6+(n-1)p`]

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]의 일반항은 [eqn: b _{n} =6`p ^{n-1`}]

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]의 모든 항이 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 항이 되려면 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: 6`p ^{n-1} =6+p(m-1)`]인 자연수 [eqn: m`]이 존재한다.

[eqn: p(m-1)=6p ^{n-1} -6`]

[eqn: m-1= {6`p ^{n-1} -6} over {p} =6`p ^{n-2} - {6} over {p} `]

[eqn: {6} over {p} =6`p ^{n-2} -m+1`]

[eqn: p ^{n-2} `]([eqn: n`ge2`])과 [eqn: m`]은 모두 자연수이므로 [eqn: {6} over {p} `]도 자연수이다. 따라서 [eqn: p`]는 [eqn: 6`]의 약수이다.

∴ [eqn: p=2`], [eqn: 3`], [eqn: 6`] (∵ [eqn: p>1`])

그러므로 모든 자연수 [eqn: p`]의 합은 [eqn: 2+3+6=11`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: a _{m} =b _{2}]인 자연수 [eqn: m`]이 존재하므로

[eqn: 6+(m-1)p=6p]에서

[eqn: m-1= {6(p-1)} over {p} =6- {6} over {p} `]

[eqn: {6} over {p} `]이 자연수이어야 하므로 [eqn: p`]는 [eqn: 6]의 약수이다.

(ⅰ) [eqn: p=2`]일 때

[eqn: a _{m} =4+2m`], [eqn: b _{n} =6`․`2 ^{n-1} `]

(ⅱ) [eqn: p=3`]일 때

[eqn: a _{m} =3+3m`], [eqn: b _{n} =6`․`3 ^{n-1} `]

(ⅲ) [eqn: p=6`]일 때

[eqn: a _{m} =6m`], [eqn: b _{n} =6` ^{n} `]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)의 모든 경우 임의의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: b _{n} =a _{m} `]을 만족시키는 [eqn: m`]이 존재하므로 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]의 모든 항은 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 항이 된다.

∴ [eqn: p=2`], [eqn: 3`], [eqn: 6`]이고 모든 자연수 [eqn: p`]의 합은 [eqn: 11`]이다.

수학 B형 정답

1	③	2	⑤	3	④	4	①	5	①
6	②	7	②	8	③	9	⑤	10	④
11	⑤	12	①	13	③	14	①	15	③
16	②	17	④	18	④	19	②	20	⑤
21	②	22	32	23	21	24	37	25	20
26	73	27	26	28	16	29	150	30	27

해 설

1. [출제의도] 역행렬의 성분의 합을 계산한다.

[eqn: A ^{-1} = {1} over {2 TIMES 1-1 TIMES 3} {pmatrix{```````1&`````-1#-3&```````````2}}][eqn: = {pmatrix{-1&```````````1#``````3&```-2}}]

따라서 모든 성분의 합은 1이다.

2. [출제의도] 도함수를 이용하여 미분계수를 계산한다.

[eqn: f(x)=x lnx]의 도함수는 [eqn: f`'(x)=lnx +1]이다.

∴ [eqn: f` prime (e)=lne+1`][eqn: =2]

3. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 값을 계산한다.

[eqn: cos^2 2x = 1- sin ^{2`} 2x`= 8over9]

[eqn: 0<2x< {pi } over {2}]이므로 [eqn: cos 2x >0]

∴ [eqn: cos`2x`=` sqrt {8over9} `=` {2sqrt2} over {3}]

∴ [eqn: cos ^{2} x`-`sin ^{2} x`=`cos2x`=` {2sqrt2} over {3}]

4. [출제의도] 확률의 덧셈정리를 이용하여 조건부확률을 계산한다.

[eqn: rmP(itA CUP B)=rmP(itA)+rmP(itB)-rmP(itA SMALLINTER B)`]이므로

[eqn: rm P( it A SMALLINTER B)= rm P( it A)+ rm P( it B)- rm P( it A CUP B)`]

[eqn: = {9} over {16} + {1} over {4} - {3} over {4}][eqn: = {1} over {16} `]

∴ [eqn: rm P( it B``|A)= {rm P( it A SMALLINTER B`)} over {rm P( it A)}][eqn: = {{1} over {16}} over {{9} over {16}} = {1} over {9} `]

5. [출제의도] 등차수열의 성질을 이해하고 일반항을 구한다.

[eqn: b_n =na_n]이라 놓으면

[eqn: b_n+1 - b_n = 3]에서 [eqn: b_n =3n-2]이므로

[eqn: a_n = { 3n-2} over {n }]

∴ [eqn: a_6 = 16 over6 = { 8} over { 3}]

6. A형 12번과 같음.

7. [출제의도] 정적분의 성질을 이해하고 함숫값을 구한다.

[eqn: int _{0} ^{0} {} f(t)dt=0]이므로 주어진 식에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: cos0+a`times0 ^{2} +a=0]

∴ [eqn: a=`-1]

[eqn: int _{0} ^{x} {`f(t)`dt`=`cos2x`-x ^{2`} -1}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f(x)`=`-2sin`2x-2x]

∴ [eqn: f LEFT ( ` {pi } over {2} ` RIGHT ) `=`-2sin` pi - pi =`- pi]

8. [출제의도] 중복조합을 이해하고 경우의 수를 구한다.

세 개의 주머니 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C`]에 넣은 공의 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]라 하면 [eqn: a+b+c=5]이므로 가능한 모든 경우의 수는 [eqn: ` _{3} rm H it rm _{5} = _{3+5-1} rm C it rm _{5} = _{7} rm C it rm _{5} =21]

(ⅰ) [eqn: 2]개의 주머니에 다섯 개의 공을 [eqn: 1`]개와 [eqn: 4`]개로 나누어 넣는 경우의 수 [eqn: `_3 {\P}_2 = 6]

(ⅱ) 한 개의 주머니에 다섯 개의 공을 모두 넣는 경  우의 수 [eqn: `_3{\C}_1 =3]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 21-(6+3) =12]이다.

[다른 풀이]

한 주머니에 네 개 이상의 공을 넣을 수 없으므로 세 개의 주머니에 넣는 공의 수에 따라 경우를 나누면

(ⅰ) 한 개의 주머니에 공을 세 개 넣고 다른 주머니에 공을 두 개 넣는 경우는 [eqn: 3], [eqn: 2], [eqn: 0]을 일렬로 나열하는 경우와 같으므로 [eqn: 3!`=`6]

(ⅱ) 한 개의 주머니에 공을 세 개 넣고 나머지 두 개의 주머니에 공을 한 개씩 넣는 경우는 [eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: 1]을 일렬로 나열하는 경우와 같으므로 [eqn: 3!over2!``=`3]

(ⅲ) 한 개의 주머니에 공을 한 개 넣고 나머지 두 개의 주머니에 공을 두 개씩 넣는 경우는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2]를 일렬로 나열하는 경우와 같으므로 [eqn: {3!} over {2!} ``=`3]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 6+3+3=`12]이다.

9. [출제의도] 함수의 극한의 성질을 이해하고 극한값을 구한다.

[eqn: lim _{x -> 0} {{ln LEFT { 1+f(2x) RIGHT }} over {x}} =10]이고, [eqn: lim _{x -> 0} {} ``x=0]이므로

[eqn: lim _{x -> 0} {``ln LEFT { 1+f(2x) RIGHT }} =0]

[eqn: lim _{x -> 0} {``f(2x)} =0]이므로 [eqn: t=f(2x)]로 놓으면

[eqn: lim _{x -> 0} {`` {ln LEFT { 1+f(2x) RIGHT }} over {f(2x)}} = lim _{t -> 0} {`` {ln(1+t)} over {t}}]

[eqn: =` lim _{t -> 0} {```ln(1+t) ^{{1} over {t}}} =lne=1]

따라서 [eqn: x`=`2y]로 놓으면

[eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)} over {x}}][eqn: = lim _{y -> 0} {{f(2y)} over {2y}}]

[eqn: = lim _{y -> 0} {{f(2y)} over {ln` LEFT { 1+f(2y) RIGHT }} `·` {ln LEFT { 1+f(2y) RIGHT }} over {y}} · {1} over {2}]

[eqn: =`1times10times 1over2][eqn: =5]

10. [출제의도] 실생활 관련 문제를 표본평균의 분포를 활용하여 해결한다.

생수 [eqn: 1`]병의 무게를 확률변수 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rmN LEFT ( 500,```10 ^{2} RIGHT ) `]을 따른다.

한 세트를 이루는 생수 [eqn: 4`]병의 무게의 평균을 확률변수 [eqn: bar{X```} `]라 하면 [eqn: rm E LEFT ( it bar{X```} RIGHT ) =500`], [eqn: LEFT . rm V LEFT ( it bar{X```} RIGHT ) = {10 ^{2}} over {4} =25=5 ^{2} ` RIGHT .]이고 [eqn: bar{X```} `]는 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( 500,```5 ^{2} RIGHT ) `]을 따른다.

∴ [eqn: rm P LEFT ( it bar{X```} GEQ {2030} over {4} ` RIGHT ) = rm P LEFT ( it bar{X```} GEQ 507.5 RIGHT )]

[eqn: = rm P LEFT ( it Z GEQ {507.5-500} over {5} RIGHT )]

[eqn: = rm P LEFT ( it Z GEQ 1.5 RIGHT )]

[eqn: =0.5- rm P LEFT ( it 0 LEQ Z LEQ 1.5 RIGHT )]

[eqn: =0.5-0.4332]

[eqn: =0.0668]

11. [출제의도] 행렬의 곱셈을 이용하여 명제의 참, 거짓을 추론한다.

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{`a&```-b`#`b&`````````a`}} {pmatrix{`a&```-b`#`b&`````````a`}} `= {pmatrix{`a ^{2} -b ^{2}&-2ab`#2a`b&````a ^{2} -b ^{2} `}}]

ㄱ. [eqn: A^2 =O`]에서 [eqn: {pmatrix{`a ^{2} -b ^{2}&-2ab`#2a`b&````a ^{2} -b ^{2} `}} `= {pmatrix{`0&````0`#`0&````0`}}]
[eqn: a^2 - b^2 =0`], [eqn: 2ab=0`]에서 [eqn: a=b=0`]
∴ [eqn: A=O] (참)

ㄴ. [eqn: A^2 +E=O`]에서 [eqn: A^2 =`-E`] 즉,
[eqn: {pmatrix{`a ^{2} -b ^{2}&-2ab`#2a`b&````a ^{2} -b ^{2} `}} `= {pmatrix{`-1&```````0`#```````0&`-1``}}]
[eqn: a ^{2} -b ^{2} =`-1`], [eqn: 2ab=0`]에서
[eqn: a= 0], [eqn: b =`-1] 또는 [eqn: a= 0], [eqn: b = 1]
따라서 조건을 만족시키는 행렬 [eqn: A]는
[eqn: A= {pmatrix{````````0&````1`#`-1&```0`}}] 또는 [eqn: A= {pmatrix{`0&```-1`#`1&`````````0`}}]으로 [eqn: 2]개이다. (참)

ㄷ. [eqn: A ^{2} -A=O`]에서 [eqn: A ^{2} =A`]
[eqn: {pmatrix{`a ^{2} -b ^{2}&-2ab`#2a`b&````a ^{2} -b ^{2} `}} `= {pmatrix{`a&````-b`#b&```````````a``}}]
[eqn: a^2 - b^2 = a], [eqn: 2ab = b]
[eqn: b= 0]이면 [eqn: a^2 =a]에서 [eqn: a = 0] 또는 [eqn: a = 1]
[eqn: b!=0]이면 [eqn: a = 1over2]이므로 [eqn: 1over4 -b^2 = 1over2]에서 [eqn: b^2 = `- 1over4]을 만족시키는 실수 [eqn: b]는 존재하지 않는다.
그러므로 조건을 만족시키는 행렬 [eqn: A]는
[eqn: A= {pmatrix{`0&````0`#`0&````0`}}] 또는 [eqn: A= {pmatrix{`1&````0`#`0&````1`}}]로 [eqn: 2]개이다. (참)

12.  A형 15번과 같음.

13. [출제의도] 수열의 성질을 이해하고 수열의 극한값을 구한다.

[eqn: y = 2n over x]에 [eqn: y= `- x over n +3]를 대입하면

[eqn: 2n over x = `- x over n +3]

[eqn: 2n^2 = `-x^2 +3nx]

[eqn: x^2 -3nx +2n^2 =0]

[eqn: (x-n)(x-2n)=0]

∴ [eqn: x=n] 또는 [eqn: x=2n]

즉, [eqn: {\A}_n (n,`` 2)], [eqn: rm B it rm _{n} (2n,``1)]

∴ [eqn: l _{n} = sqrt {(2n-n) ^{2} +(1-2) ^{2}} = sqrt {n ^{2} +1}]

[eqn: lim _{n -> INF } {``LEFT ( l _{n+1} -l _{n} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n -> INF } { LEFT ( sqrt {(n+1) ^{2} +1} - sqrt {n ^{2} +1} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT ( sqrt {n ^{2} +2n+2} - sqrt {n ^{2} +1} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{n ^{2} +2n+2-(n ^{2} +1)} over {sqrt {n ^{2} +2n+2} + sqrt {n ^{2} +1}}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{2n+1} over {sqrt {n ^{2} +2n+2} + sqrt {n ^{2} +1}}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{2+ 1overn} over {sqrt {1+ 2over n + 2over n^2} + sqrt {1+ 1overn^2}}}]

[eqn: =1]

14. [출제의도] 정적분을 이해하고 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구한다.

곡선 [eqn: y= 2n overx`]과 직선 [eqn: y=`- x overn +3`]의 교점이

[eqn: {\A}_n (n,`` 2)], [eqn: rm B it rm _{n} (2n,``1)]

이고, [eqn: n le x le 2n`]에서 [eqn: 2n over x` le - x overn +3]이므로

[eqn: S_n][eqn: = int_n ^2n left{ left(- x overn +3right)- 2n overx right}`dx]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {2n} x ^{2} +3x-2n`ln` LEFT | `x` RIGHT | RIGHT ] _{n} ^{2n}]

[eqn: =left( - 2n +6n-2n ln2n right) -left( - 1over2 n+3n - 2n lnn right)]

[eqn: =n left( 3over2 - 2 ln2 right)]

∴ [eqn: S _{n+1} -S _{n} = {3} over {2} -2ln2]

15. [출제의도] 닮음 도형을 이용하여 정사영 문제를 해결한다.

[eqn: bar{\AC} = sqrt { 3^2 +4^2} = 5], [eqn: bar{\AC} bot bar{\BC}]

이므로 평면 [eqn: \ABC]와 [eqn: xy]평면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: cos theta = 4 over 5]이다.

두 직각삼각형 [eqn: \ABC], [eqn: \PBH]는 서로 닮은 도형이고

[eqn: bar{rm BH it} `:` bar{rm BC it} =][eqn: bar{rm PH it} `:` bar{rm AC it} =3:5]

[eqn: bar{\BH} = 3over5 `bar{\BC} = 3]

∴ [eqn: TRIANGLE rm PBH= {1} over {2} times3times3= {9} over {2}]

따라서 삼각형 [eqn: \PBH]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= TRIANGLE rm PBH``·`cos theta = {9} over {2}times {4} over {5} = {18} over {5}]

[다른 풀이]

점 [eqn: \P]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: \D]라 하자.

[eqn: bar{\PD} bot]([eqn: xy]평면), [eqn: bar{\PH} bot bar{\BC}]이므로 삼수선의 정리에 의해 [eqn: bar{\DH} bot bar{\BC}]이다.

따라서 두 직각삼각형 [eqn: \ABC], [eqn: \PBH]는 서로 닮은 도형이고

[eqn: bar{\AC} = sqrt { 3^2 +4^2} = 5], [eqn: bar{\PH} = 3]

이므로

[eqn: bar{rm BH it} `:` bar{rm BC it} =][eqn: bar{rm PH it} `:` bar{rm AC it} =3:5]

∴ [eqn: bar{\BH} = 3over5 `bar{\BC} = 3]

또, 두 직각삼각형 [eqn: \OBC], [eqn: rm DBH]는 서로 닮은 도형이고

[eqn: bar{rm OC it} =4], [eqn: bar{rm BH it} =3]

이므로

[eqn: bar{rm DH it} `:` bar{rm OC it} =][eqn: bar{rm BH it} `:` bar{rm BC it} =3:5]

∴ [eqn: bar{rm DH it} = {3} over {5} ` bar{rm OC it} = {12} over {5}]

따라서 삼각형 [eqn: \PBH]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영인 삼각형 [eqn: \DBH]의 넓이는

[eqn: 1over2 `·`bar{\BH} `·`bar{\DH} = 1over2 times 3 times 12over5][eqn: = 18over5]

이다.

16. [출제의도] 쌍곡선의 정의를 이해하고 선분의 길이를 구한다.

쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1`]([eqn: a>0], [eqn: b>0])이라 하면 점근선의 방정식이 [eqn: y=2x], [eqn: y =` -2x]이므로

[eqn: b over a = 2], [eqn: b=2a`]

쌍곡선의 또 다른 초점을 점 [eqn: rm F prime `]이라 하면 삼각형 [eqn: \PF' F]에서 점 [eqn: rmO`]는 변 [eqn: rmF'F`]의 중점이고 점 [eqn: rmM`]은 변 [eqn: rmPF`]의 중점이므로

[eqn: rm bar{PF prime } =2` bar{OM} `=12`]

[eqn: rm bar{PF} =2` bar{MF} `=6`]

[eqn: rm LEFT | ` bar{PF prime } `- bar{PF} RIGHT | `=12-6=6= it 2a`]

∴ [eqn: a=3,~b=2a=6`]

∴ [eqn: bar{rm OF it} `= sqrt {a ^{2} +b ^{2}} = sqrt {9+36} =3 sqrt {5}]

17. [출제의도] 함수의 그래프를 추측하여 분수방정식의 해의 개수를 구한다.

[eqn: g(x) LEFT { {g(x)} over {f(x)} -1 RIGHT } =0]

[eqn: g(x) LEFT { g(x)-f(x) RIGHT } =0] (단, [eqn: f(x) != 0])

[eqn: g(x)=0] 또는 [eqn: g(x)=f(x)] (단, [eqn: f(x) != 0])

이때, 조건을 만족시키는 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프의 개형은 다음 두 가지 경우이다.

(ⅰ) [eqn: f(x)]의 이차항의 계수가 양수인 경우

(ⅱ) [eqn: f(x)]의 이차항의 계수가 음수인 경우

(ⅰ), (ⅱ)의 경우 모두 주어진 분수방정식의 서로 다른 실근은 [eqn: 2], [eqn: alpha], [eqn: 5], [eqn: beta]의 [eqn: 4]개이다.

[참고]

[eqn: f(x)=a(x+2)(x-3)],

[eqn: g(x)-f(x)=b(x+2)(x-2)(x-5)]라 하면

[eqn: g(x)=(x+2) LEFT { bx ^{2} +(a-7b)x+(10b-3a) RIGHT }]

이때, [eqn: x=`-2]가 [eqn: bx ^{2} +(a-7b)x+(10b-3a)=0]의 근이면

[eqn: 28b=5a]가 되어 [eqn: ab>0]

조건 (가)를 만족시키지 못하므로 [eqn: x=`-2]는 방정식 [eqn: g(x)=0]의 근이 아니다.

또, 이차방정식 [eqn: bx ^{2} +(a-7b)x+(10b-3a)=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D=(a-7b) ^{2} -4 b(10b-3a)]

[eqn: =a^2 - 2ab+9b^2 =(a-b)^2 +8b^2 >0](∵[eqn: ab<0])

따라서 방정식 [eqn: g(x)=0]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

18. [출제의도] 삼수선의 정리를 이해하고 선분의 길이를 구한다.

점 [eqn: rm `M]에서 모서리 [eqn: RM`CD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm`I]라 하면 삼수선의 정리에 의해서 [eqn: bar{\LD} bot bar{\NI}]이다.

[eqn: rm ` bar{AL} = 3 over 4 bar{\AB} = 15], [eqn: rm ` bar{DI} `=` 1over2 bar{\CD} =10],

[eqn: rm bar{LD} = sqrt {20 ^{2} +15 ^{2}} =25]

이고, 두 삼각형 [eqn: rm ` NDI], [eqn: rm `ALD]는 서로 닮은 도형이므로

[eqn: rm ` bar{N I} `:` bar{AD} `=` bar{DI} `:` bar{LD}]

[eqn: rm ` bar{N I} ```=` {bar{AD} `·` bar{DI}} over {bar{LD}} = {20`times`10} over {25} =8]

삼각형 [eqn: rm M I N]은 직각삼각형이므로

[eqn: rm ` bar{MN} = sqrt {20 ^{2} +8 ^{2}} =4 sqrt {29}]

19. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 삼각함수와 관련된 문제를 해결한다.

점 [eqn: \P]에서 직선 [eqn: \AD]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라 하자. 삼각형 [eqn: rm ADP]의 높이 [eqn: bar{\PH}]는 그림과 같이 점 [eqn: \P]가 직선 [eqn: rmAD]와 평행한 접선의 접점일 때 최대이다.

[eqn: rm ANGLE CDA= ANGLE DAB+ ANGLE DBA= {pi } over {12} + {pi } over {3} = {5} over {12} pi `]이므로

[eqn: rm ANGLE HOD= piover2 - angle {\CDA} ={pi } over {12}]

[eqn: rm ANGLE HOD= ANGLE ODP+ ANGLE OPD=2 theta]

∴ [eqn: 2 theta = pi over 12]

[eqn: sin theta `cos theta = {1} over {2} `sin2 theta = {1} over {2} `sin LEFT ( {pi } over {3} - {pi } over {4} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ({sqrt {3}} over {2} times {sqrt {2}} over {2} - {1} over {2} times {sqrt {2}} over {2} RIGHT )]

[eqn: = {sqrt {6} - sqrt {2}} over {8}]

20. [출제의도] 무한급수와 관련된 문제를 정적분의 정의를 이용하여 해결한다.

[eqn: S_n = sum_k=1^n left{ f left( 2k overn right) -f left( 2k-2 overn right)right} k overn]이라 하면

[eqn: S_n =sum _{ k=1} ^{n }left{ f LEFT ( { 2k} over {n } RIGHT ) - f LEFT ( { 2k-2} over {n } RIGHT ) right} k overn]

[eqn: = {1} over {n} LEFT { f LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) -f(0) RIGHT }][eqn: + {2} over {n} LEFT { f LEFT ( {4} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: + {3} over {n} LEFT { f LEFT ( {6} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {4} over {n} RIGHT ) RIGHT }][eqn: +][eqn: ``CDOTS `]

[eqn: + {n-1} over {n} LEFT { f LEFT ( {2n-2} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {2n-4} over {n} RIGHT ) RIGHT }][eqn: + {n} over {n} LEFT { f LEFT ( {2n} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {2n-2} over {n} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =][eqn: -{1} over {n} `f(0)][eqn: - {1} over {n} `f LEFT ( { 2} over { n} RIGHT )][eqn: - {1} over {n} `f LEFT ( {4} over {n} RIGHT )][eqn: - `CDOTS `]

[eqn: - {1} over {n} `f LEFT ( {2n-2} over {n} RIGHT )][eqn: +`f LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: =f(2)- sum _{k=0} ^{n-1} f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}]

[eqn: k overn =x_k]라 하면 [eqn: {1} over {n} = DELTA x]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=0} ^{n-1} f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=0} ^{n-1}} f(2x _{k`} ) DELTA x= int _{0} ^{1} {f(2x)} dx]

[eqn: =`1over2 int _{ 0} ^{2 } {f(t) dt }][eqn: = {1} over {8}]

[eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n} = lim _{n -> INF } {} LEFT { f(2)- sum _{k=0} ^{n-1} f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n} RIGHT }]

[eqn: =f(2)-][eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=0} ^{n-1} f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}]

[eqn: = 1- 1over8][eqn: = 7over8]

21. [출제의도] 벡터와 관련된 문제를 도형을 이용하여 해결한다.

네 원 [eqn: C_1], [eqn: C_2], [eqn: C _{3}], [eqn: C _{4}]의 중심을 각각

[eqn: \O_1], [eqn: \O_2], [eqn: \O _{3}], [eqn: \O _{4}]

라 하고, 두 원 [eqn: C _{3}], [eqn: C _{4}]의 접점을 [eqn: \B]라 하자.

사각형 [eqn: \O_1 O_2 O_4 O_3]은 네 변의 길이가 모두 [eqn: 2]인 마름모이고, 두 점 [eqn: \A], [eqn: \B]는 각각 변 [eqn: rm O _{1} O _{2}], 변 [eqn: \O_3 O_4]의 중점이다.

∴ [eqn: vec{rm AO _{3} it} + vec{rm AO _{4} it}][eqn: = 2 `vec{rm AB}][eqn: = 2 vec{\O_1 O_3 }]

한편, 벡터 [eqn: vec {\O_4 Q}]를 시점이 [eqn: \O_3]이 되도록 평행이동하였을 때, 그 종점을 [eqn: \Q']이라 하면

[eqn: vec{rm O _{3} P it} + vec{rm O _{4} Q it}][eqn: = vec{rm O _{3} P it} + vec{rm O _{3} Q prime it}]이므로

[eqn: vec{\AP} +vec{\AQ}]

[eqn: = LEFT ( `vec{rm AO _{3} it} + vec{rm O _{3} P it}` RIGHT ) + LEFT ( `vec{rm AO _{4} it} + vec{rm O _{4} Q it} `RIGHT )]

[eqn: = LEFT (` vec{rm AO _{3} it} + vec{rm AO _{4} it} `RIGHT ) + LEFT (` vec{rm O _{3} P it} + vec{rm O _{4} Q it}` RIGHT )]

[eqn: = 2 vec{\O_1 O_3 }][eqn: + vec{rm O _{3} P it} +vec{rm O _{3} Q prime it}]

이때, 벡터 [eqn: vec{\AP} +vec{\AQ}]의 크기가 최대가 되려면 [eqn: vec{\O_1 O_3 }]은 방향과 크기가 일정한 벡터이므로 두 벡터 [eqn: vec{rm O _{3} P it}], [eqn: vec{rm O _{3} Q prime it}]이 [eqn: vec{\O_1 O_3 }]과 방향이 같아야 한다.

∴ [eqn: left|`vec{\AP} +vec{\AQ} ` right| le 3 `left|`vec{\O_1 O_3 } `right| = 6]

22.  [출제의도] 이항정리를 이용하여 값을 계산한다.

[eqn: (1+x) ^{5} =][eqn: `` _{5} {\C} _{0} `+ _{5} {\C} _{1} x+ _{5} `{\C} _{2} x^2 +` _{5} `{\C} _{3} `x^3 + _{5} `{\C} _{4} `x^4 + _{5} `{\C} _{5} `x^5]

양변에 [eqn: x=1`]을 대입하면

[eqn: rm `` _{5} C _{0} `+ _{5} C _{1} + _{5} `C _{2} +` _{5} `C _{3} `+ _{5} `C _{4} `+ _{5} `C _{5} `][eqn: =2 ^{5} =32`]

23. [출제의도] 이항분포를 이해하고 확률변수의 평균을 구한다.

확률변수 [eqn: X`]가 이항분포 [eqn: rm B it LEFT ( n,~ {1} over {7} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: {\E}(X)= {n} over {7} =3]

∴ [eqn: n=21]

24. [출제의도] 합성변환을 이해하고 옮겨진 점의 좌표를 구한다.

합성변환 [eqn: f CIRC g`]를 나타내는 행렬은

[eqn: {pmatrix{1&``````````0#2&```-1}} {pmatrix{1&``````````0#1&```-2}} `= {pmatrix{`1&````0#`1&````2}}]

이다.

[eqn: {pmatrix{`1&````0#`1&````2}} ` {pmatrix{`3`#`2`}} `= {pmatrix{`3`#`7`}}]이므로 점 [eqn: (3,~2)`]는 합성변환 [eqn: f CIRC g`]에 의하여 점 [eqn: (3,~7)`]로 옮겨진다.

[eqn: a=3], [eqn: b=7]이므로 [eqn: 10a+b=30+7=37`]이다.

25. [출제의도] 함수의 연속을 이해하고 함숫값을 구한다.

합성함수 [eqn: (g circf)(x)`]가 실수 전체에서 연속이므로 [eqn: x=2`]에서도 연속이어야 한다.

함수 [eqn: g(x)]는 다항함수이므로 모든 실수에서 연속이다. 그러므로 [eqn: f(x)=t`]라 놓으면

[eqn: lim_x->2-0 g(f(x))=lim_t->-0 g(t)=g(0)]

[eqn: lim_x->2+0 g(f(x))=lim_t->2-0 g(t)=g(2)]

[eqn: g(f(2))=g(1)]

따라서 [eqn: lim _{x -> 2-0} {} g LEFT ( f(x) RIGHT ) = lim _{x -> 2+0} {} g LEFT ( f(x) RIGHT ) =g(f(2))`]에서

[eqn: g(0)=g(2)=g(1)]이고 [eqn: g(0)=10]이므로

[eqn: g(1)+g(2)=10+10=20]

26. [출제의도] 로그의 성질과 등차수열의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

주어진 사각형은 사다리꼴이므로

[eqn: S(2)= {1} over {2} ` TIMES 2` left(log _{2} 2`+log _{2} 4 right)=log _{2} 8]

[eqn: S(4)= {1} over {2} ` TIMES 2` left(log _{2} 4`+log _{2} 6 right)=log _{2} 24]

[eqn: S(a)= {1} over {2} ` TIMES 2`` LEFT { log _{2} a` +log _{2} (a+2)`RIGHT } =log _{2`} a(a+2)]

[eqn: S(2)], [eqn: S(4)], [eqn: S(a)]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: 2S(4)``=`S(2)+S(a)]

[eqn: 2log _{2} 24 =log _{2} 8+log _{2} a(a+2)]

[eqn: 24^2 =8a(a+2)]

[eqn: a ^{2} +2a-72=0]

∴ [eqn: a=`-1+ sqrt {73}] 또는 [eqn: a=`-1- sqrt {73}]

그런데 [eqn: a>1]이므로

[eqn: a= sqrt {73} -1]

∴ [eqn: n=73]

27. [출제의도] 타원의 방정식을 이해하고 교점의 좌표를 구한다.

타원 [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {16} =1`]의 두 초점의 좌표를 각각

[eqn: left( `c,``0 ` right)], [eqn: left( `-c,``0 ` right)] (단, [eqn: c>0`])

이라 하면 [eqn: c ^{``2} =25-16=9`]에서 [eqn: c=3`]

따라서 점 [eqn: rmB`]는 타원의 한 초점이고 다른 한 초점은 [eqn: rmC(-3,```0)`]이다.

[eqn: rm bar{PB} + bar{PC} =10`]이고, [eqn: rmbar{PA}+bar{PB}=10`]이므로 [eqn: rm bar{PA} = bar{PC} `]

타원의 장축의 길이는 [eqn: 10]이므로 점 [eqn: rm `A]의 좌표는 [eqn: (-5,`0)]이다. 즉, 삼각형 [eqn: rm PAC`]는 이등변삼각형이므로 점 [eqn: \P]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -4]이다.

[eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {16} =1`]에서 [eqn: y ^{2} =16 LEFT { 1- {(-4) ^{2}} over {25} RIGHT }]

[eqn: y = 12over5] 또는 [eqn: y = `- 12over5]

[eqn: rmP LEFT ( -4,``` {12} over {5} RIGHT ) `] 또는 [eqn: rmP LEFT ( -4,```- {12} over {5} RIGHT ) `]이므로

[eqn: r= rm bar{PA} it rm = sqrt {LEFT . (-5+4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 0- {12} over {5} RIGHT ) ^{2}} = {13} over {5} `]

∴ [eqn: 10 `r = 26]

28. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 일반항을 추측한다.

[eqn: a _{1} = {1} over {2 ^{3}} `]

[eqn: a _{1} a _{2} =2 ^{1} `]에서 [eqn: a _{2} = 2 over a_1 = 2^4]

[eqn: a _{2} a _{3} =2 ^{2} `]에서 [eqn: a _{3} = 2^2 over a_2 = 1over2^2]

[eqn: a _{3} a _{4} =2 ^{3} `]에서 [eqn: a _{4} = 2^3 over a_3 = 2^5]

[eqn: a _{4} a _{5} =2 ^{4} `]에서 [eqn: a _{5} = {2 ^{4}} over {a _{4}} = {1} over {2}]

[eqn: VDOTS `]

[eqn: LEFT { a _{2n-1} RIGHT } ``:`` {1} over {2 ^{3}} ,``` {1} over {2 ^{2}} ,``` {1} over {2 ^{1}} ,`` CDOTS `]이므로

[eqn: LEFT { {1} over {a _{2n-1}} RIGHT } ``:``2 ^{3} ,```2 ^{2} ,```2 ^{1} ,`` CDOTS `]

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{inf} ` {1} over {a _{2n-1}} = {8} over {1- {1} over {2}} =16`]

[다른 풀이]

[eqn: a_n a_n+1 = 2^n]에서 [eqn: a_n+1 a_n+2 = 2^n+1]

[eqn: { a_n+1 a_n+2} over {a_n a_n+1 }=][eqn: { 2^n+1} over {2^n }], [eqn: {a _{n+2}} over {a _{n}} =2]

[eqn: a_n+2 = 2 a_n]

[eqn: a_1 = 1over8]이므로 [eqn: a_2n-1 = a_1 · `2^n-1][eqn: = 2^n-4]

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{inf} ` {1} over {a _{2n-1}}][eqn: = sum _{ n=1} ^{inf }1over{2^n-4} = { 8} over {1 - 1over2 } = 16]

29. [출제의도] 공간벡터의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

구의 중심 [eqn: \C]에서 두 평면의 교선 [eqn: x = `-y = z]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라 하면 [eqn: rmH(itt,~-t,~t)]이고 [eqn: vec{rm CH it}]는 교선의 방향벡터 [eqn: vecu = (1,``-1,``1)]과 수직이다. 따라서

[eqn: vec{\CH} cdot vec u =][eqn: (t-1,~-t-2,~t-1) CDOT (1,~-1,~1)]

[eqn: =][eqn: (t-1)-(-t-2)+(t-1)]

[eqn: =3t = 0]

[eqn: t=0]이므로 [eqn: vec{\CH} = (-1,``-2,``-1)]

[eqn: ` bar{rm CH it} = sqrt {(-1 ) ^{2} +(-2) ^{2} +(-1) ^{2}} = sqrt {6}]

직각삼각형 [eqn: rmCQH]에서 [eqn: cos (ANGLE rmQCH )= {sqrt {3}} over {sqrt {6}} = {sqrt {2}} over {2}]

∴ [eqn: ANGLE rm QCH= {pi} over {4}]

[eqn: ANGLE rm PCH= ANGLE rm QCH= {pi } over {4}]이므로 [eqn: ANGLE rm QCP= {pi} over {2}]가 되어 삼각형 [eqn: rmCPQ]는 한 변의 길이가 [eqn: sqrt {3}]인 직각이등변삼각형이다.

[eqn: S= {1} over {2} times LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} = {3} over {2}]

∴ [eqn: 100S=150]

30. [출제의도] 미분법을 이용하여 최솟값 문제를 해결한다.

선분 [eqn: rmAP`]의 중점을 [eqn: rmM`], [eqn: anglermBAP` =it theta`][eqn: LEFT ( 0 < theta le piover3 RIGHT )]라 하면

[eqn: bar{rm AP it} = {2} over {cos` theta }`], [eqn: bar{rm AM it} = 1over2 bar{\AP} = {1} over {cos` theta } `], [eqn: bar{rm AQ it} `= {bar{rm AM it}} over {cos theta } = {1} over {cos ^{2} ` theta }]

삼각형 [eqn: rmAQR`]에서 [eqn: bar{rmAM}`][eqn: bot][eqn: bar{rmQR}`]이므로 [eqn: angle rmARQ =it theta`]

∴ [eqn: bar{rm QR it} `= {bar{rm AQ it}} over {sin` theta } = {1} over {cos ^{2} theta `sin theta }][eqn: = { 1} over {sin theta - sin ^3 theta }]

[eqn: sin`theta`=t`]라 하면 [eqn: bar{rm QR it}= {1} over {t -t^3 }]

[eqn: f(t) =][eqn: t - t^3][eqn: LEFT ( 0 < t le { sqrt { 3} } over {2 } RIGHT )]이라 하자.

[eqn: f`'(t) =1-3t^2 =0`]에서 [eqn: t= {sqrt {3}} over {3}] 또는 [eqn: t=` -{sqrt {3}} over {3}]

[eqn: f`(t)`]는 [eqn: t= {sqrt {3}} over {3}]일 때, 최댓값 [eqn: f LEFT ( {sqrt {3}} over {3} RIGHT )]을 가진다.

[eqn: bar{rm QR it} = {1} over {f(t)} GEQ {1} over {f LEFT ( {sqrt {3}} over {3} RIGHT )}][eqn: = {3 sqrt {3}} over {2} `]

∴ [eqn: 4`k ^{2} =4 timesLEFT ( {3 sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2} =27]

[다른 풀이]

[eqn: bar{\AQ} = x]라 하면 [eqn: bar{\AQ} = bar{\QP}][eqn: =x]이므로

[eqn: bar{\BP} = sqrt {x^2 - LEFT ( 2-x RIGHT )^2 } = sqrt { 4x-4}][eqn: = 2 sqrt { x-1}]

∴ [eqn: bar{\AP} = sqrt { 2^2 + (4x-4)} = 2sqrt {x }]

두 직각삼각형 [eqn: \ABP], [eqn: \RAQ]는 서로 닮은 도형이므로

[eqn: bar{rm AQ it} : bar{rm QR it} = bar{rm BP it} : bar{rm PA it}]에서

[eqn: bar{rm QR it} = {bar{rm AQ it} · bar{rm PA it}} over {bar{rm BP it}} = {2x sqrt {x}} over {2 sqrt {x-1}}][eqn: ={ x sqrtx} over { sqrt { x-1} }]

[eqn: {bar{rm QR it}}^2 =f(x)]라 하면 [eqn: f(x)= { x^3} over { x-1}] (단, [eqn: 1<x LEQ 4])

[eqn: f` prime (x)= {3x ^{2} (x-1)-x ^{3}} over {(x-1) ^{2}}][eqn: = {x ^{2} (2x-3)} over {(x-1) ^{2}}]

함수 [eqn: f(x)]의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (1)]	…	[eqn: {3} over {2}]	…	[eqn: 4]
[eqn: f``'(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		↘	[eqn: 27 over 4]	↗	[eqn: 64 over 3]

∴ [eqn: 4k ^{2} ``=4f LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) `=27`]