수학 ‘나’형 정답

1	⑤	2	⑤	3	④	4	④	5	②
6	①	7	②	8	③	9	⑤	10	②
11	③	12	①	13	③	14	②	15	④
16	⑤	17	①	18	①	19	③	20	④
21	②	22	[eqn: 3]	23	[eqn: 7]	24	[eqn: 56]	25	[eqn: 14]
26	[eqn: 27]	27	[eqn: 640]	28	[eqn: 12]	29	[eqn: 8]	30	[eqn: 23]

해 설

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 지수를 계산한다.

[eqn: 3^ {5over2} times3^{- 1over2 }`][eqn: =3^{ 5over2 + LEFT(- 1 over2 RIGHT )}]
[eqn: =3^2]
[eqn: = 9]

2. [출제의도] 다항식의 뺄셈을 계산한다.

두 다항식 [eqn: A=2x ^{2} -y`], [eqn: B= it -x ^{2} +y`]에서

[eqn: A-B`][eqn: = LEFT ( 2x ^{2} -y RIGHT ) - LEFT ( -x ^{2} +y RIGHT )]
[eqn: =2x ^{2} -y+x ^{2} -y]
[eqn: =3x ^{2} -2y]

3. [출제의도] 복소수의 덧셈과 곱셈을 계산한다.

[eqn: LEFT ( 2+i RIGHT ) ^{2} `][eqn: =(2+i)(2+i)`]
[eqn: =4+4i+i `^{2}]
[eqn: =4+4i+ LEFT ( -1 RIGHT ) `]
[eqn: =3+4i`]

4. [출제의도] 선분의 내분점을 계산한다.

두 점 [eqn: rm O(0,``0)], [eqn: rm A(6,``6)`]을

[eqn: 2:1`]로 내분하는 점의 [eqn: x`]좌표는
[eqn: {2 TIMES 6+1 TIMES 0} over {2+1}][eqn: =4]

5. [출제의도] 합성함수의 함숫값을 구한다.

두 함수 [eqn: f(x) = 2x+3], [eqn: g(x) = x-2`]에서

[eqn: (g circ f ) (3)`][eqn: =g(`f(3))]
[eqn: =g(9)]
[eqn: =7]

6. [출제의도] 항등식을 이용하여 상수의 값을 구한다.

[eqn: x^3 -2x^2 -x+14=(x+2)(x^2 -4x+7)`]이므로

[eqn: a=2], [eqn: b=it-4]

따라서 [eqn: a+b=it-2]

[다른 풀이]

[eqn: x^3 -2x^2 -x+14][eqn: =(x+a)(x^2 +bx+7)`]
[eqn: =x^3 + (a+b) x^2 +(ab+7)x +7a`]이므로

이차항의 계수를 비교하면

[eqn: a+b = it-2`]

7. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 나머지를 구한다.

다항식 [eqn: P`(x)`]를 [eqn: x ^{2} -1`]로 나눈 몫이 [eqn: 2x+1`]이고

나머지는 [eqn: 5`]이므로

[eqn: P`(x)][eqn: =(x^2 -1)(2x+1)+5]

[eqn: P`(x)]를 [eqn: x-2`]로 나눈 나머지는 [eqn: P`(2)`]이므로

[eqn: P`(2)][eqn: = (2^2 -1 )(2 times2 +1) + 5 `]
[eqn: =3 times5+5]
[eqn: = 20`]

8. [출제의도] 무리함수의 그래프의 평행이동을 이해하여 상수의 값을 구한다.

함수 [eqn: y= sqrt{2x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼,

[eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 3`]만큼 평행이동하면

[eqn: y=root2(x-1) +3`]

함수 [eqn: y=root2(x-1) +3`]의 그래프가

점 [eqn: (9`,``a)`]를 지나므로

[eqn: a][eqn: =sqrt{2(9-1)} +3 `]
[eqn: =4+3][eqn: =7]

9. [출제의도] 이차함수의 그래프의 대칭성을 이용하여 이차함수의 최솟값을 구한다.

[eqn: f(x)][eqn: =x^2 -6x+k`]
[eqn: =(x-3)^2 +k-9`]이므로

[eqn: 0le x le4`]에서 이차함수 [eqn: f(x)`]의 그래프는

그림과 같다.

따라서 함수 [eqn: f(x)`]는

[eqn: x=3`]에서 최솟값 [eqn: k-9`]를 갖고,

[eqn: x=0`]에서 최댓값 [eqn: k`]를 갖는다.

이차함수 [eqn: f(x)`]의 최댓값이 [eqn: 17`]이므로

[eqn: k=17`]

따라서 이차함수 [eqn: f(x)`]의 최솟값은

[eqn: k-9`][eqn: =17-9]
[eqn: =8`]

10. [출제의도] 연립방정식의 해를 구한다.

연립방정식

[eqn: cases{` 3x-y=0& ``cdotscdots`㉠ #`x^2 +y^2 =90&``cdotscdots`㉡}`]
㉠에서 [eqn: 3x-y=0`]이므로

[eqn: y=3x``cdotscdots`㉢]

㉢을 ㉡에 대입하면

[eqn: x^2 + LEFT(3x RIGHT)^2 =90]

[eqn: 10x^2 =90]

[eqn: x^2 =9]

[eqn: x= +-3]

따라서 연립방정식의 해는

[eqn: x=3`], [eqn: y=9] 또는

[eqn: x=it-3`], [eqn: y=it-9`]이므로

[eqn: a=3`], [eqn: b=9`]일 때

[eqn: ab][eqn: =3 times9][eqn: =27]

[eqn: a=it-3`], [eqn: b=it-9`]일 때

[eqn: ab][eqn: =(-3) times(-9)][eqn: =27]

두 경우 모두 [eqn: ab=27]

11. [출제의도] 조건의 진리집합 사이의 관계를 이해하여 미지수의 최댓값을 구한다.

조건 [eqn: p`:][eqn: LEFT|x-a RIGHT | LEQ1`]의 진리집합은
[eqn: P`=LEFT { `x``□``a-1` LEQ `x` LEQ `a+1` RIGHT }`]

조건 [eqn: q`:] [eqn: x^2 -2x-8>0`]에 대하여

조건 [eqn: SIM q`:`][eqn: x^2 - 2x -8 le 0`]이므로

조건 [eqn: SIM q`]의 진리집합은

[eqn: Q`^C][eqn: =` LEFT {`x``|``x^2 - 2x -8 le 0`RIGHT }]
[eqn: = LEFT { `x``□``-2` LEQ `x` LEQ `4` RIGHT }`]

따라서 [eqn: p `rarrow`～q`]가 참이 되려면

[eqn: P SUBSETQ^C`]이어야 하므로

[eqn: -2`LE a-1], [eqn: a+1`le`4]

[eqn: -1 le a`], [eqn: a le 3`]

[eqn: -1`le `a ` le`3`]

따라서 실수 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 3`]

12. [출제의도] 피타고라스정리와 원과 직선 사이의
관계를 이용하여 문제를 해결한다.

원 [eqn: x^2 +y^2 -2x-4y+k=0`]의 방정식을 변형하면

[eqn: (x-1)^2 +(y-2)^2 =5-k`]

원의 중심을 [eqn: RMC`,] 반지름을 [eqn: r`]라 하면

[eqn: {rmC(1`,``2)}`]이고, [eqn: r^2 =5-k`]이다.

그림과 같이 점 [eqn: rmC`]에서 선분 [eqn: rmAB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMH`]라 하면

[eqn: bar{rmAB }=4`]이므로

[eqn: BAR {rm{AH}} `=`BAR {rmBH} `=`2`]

점 [eqn: rmC`(1`,``2`)`]와 직선 [eqn: 2x-y +5` =0`] 사이의 거리는

[eqn: {bar{rm CH it}}][eqn: ={ LEFT | 2times 1 -2 +5RIGHT | }over{sqrt{2^2 + (-1)^2}}`]
[eqn: = 5 over {sqrt {5}}]
[eqn: = sqrt {5}]

직각삼각형 [eqn: rm CAH`]에서

[eqn: r^2][eqn: = LEFT(root5 RIGHT )^2 +2^2]
[eqn: =5+4]
[eqn: =9]

[eqn: r^2 =5-k`]이므로 [eqn: 9=5-k`]

[eqn: k=it-4`]

13. [출제의도] 함수의 뜻을 이해하여 상수의 최댓값을 구한다.

집합 [eqn: X= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5 RIGHT }]에서

집합 [eqn: Y= LEFT { 0,``2,``4,``6,``8 RIGHT }]로의 함수 [eqn: f`]가

[eqn: f(x)=]([eqn: 2x ^{2}`]의 일의 자리의 숫자)이므로

[eqn: f(1)=2], [eqn: f(2)=8], [eqn: f(3)=8], [eqn: f(4)=2], [eqn: f(5)=0]이며,

함수의 대응을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

함숫값이 [eqn: 2`]인 정의역 [eqn: X`]의 원소는 [eqn: 1`]과 4이므로

[eqn: f(a)=2`]인 [eqn: X`]의 원소 [eqn: a`]는

[eqn: a=1] 또는 [eqn: a=4]

함숫값이 [eqn: 8`]인 정의역 [eqn: X`]의 원소는 [eqn: 2`]와 [eqn: 3`]이므로

[eqn: f(b)=8`]인 [eqn: X`]의 원소 [eqn: b`]는

[eqn: b=2] 또는 [eqn: b=3]

[eqn: a`], [eqn: b`]의 순서쌍 [eqn: (a`,``b)`]로 가능한 것은

[eqn: (1`,``2)`], [eqn: (1`,``3)`], [eqn: (4`,``2)`], [eqn: (4`,``3)`]이므로

[eqn: a+b`]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 7]

따라서 [eqn: a+b`]의 최댓값은 [eqn: 7]

14. [출제의도] 실생활의 소재를 활용하여 집합의 원소의 개수를 구한다.

자원봉사 활동 신청 여부를 조사한 [eqn: 100`]명의 사람의 집합을 전체집합 [eqn: U`], 동계 올림픽 대회의 자원봉사 활동을 신청한 사람의 집합을 [eqn: A`], 동계 패럴림픽 대회의 자원봉사 활동을 신청한 사람의 집합을 [eqn: B``]라 하면 [eqn: n LEFT ( U` RIGHT ) =100`], [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =51`], [eqn: n LEFT ( B `RIGHT ) =42`], [eqn: n LEFT ( `A ^{C} SMALLINTER B`` ^{C} `` RIGHT )` =25`]

[eqn: A ^{C} SMALLINTER B` ^{C}`][eqn: = LEFT(A SMALLUNIONB RIGHT)^ C`]이므로

[eqn: n LEFT ( A CUP B` RIGHT )][eqn: =n LEFT(U `RIGHT )-n LEFT (` A ^{C} SMALLINTER B` ^{C}` ` RIGHT )]
[eqn: =100-25]
[eqn: =75`]

[eqn: n LEFT (` A CUP B` RIGHT ) =n LEFT ( A RIGHT ) +n LEFT ( B` RIGHT ) -n LEFT (` A SMALLINTER B` RIGHT ) ``]에서

[eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )][eqn: =51+42-75]
[eqn: =18`]

집합 [eqn: A`] 또는 집합 [eqn: B`]에만 포함된 사람의 수는

[eqn: n LEFT ( `A CUP B` RIGHT ) -n LEFT (` A SMALLINTER B` RIGHT )][eqn: =75-18]
[eqn: =57`]

따라서 두 대회의 자원봉사 활동 중에서 하나만 신청한 사람의 수는 [eqn: 57`]

[다른 풀이]

두 대회의 자원봉사 활동 중에서 하나만 신청한 사람의 집합은 [eqn: LEFT( A-B` RIGHT) smallunion LEFT(B-A RIGHT) `]

[eqn: n LEFT ( A-B` RIGHT )][eqn: =n LEFT ( `A CUP B` RIGHT ) -n LEFT ( B` RIGHT )]
[eqn: =75-42`]
[eqn: =33`]

[eqn: n LEFT ( B-A RIGHT )][eqn: =n LEFT (` A CUP B` RIGHT ) -n LEFT ( A` RIGHT )]
[eqn: =75-51`]
[eqn: =24`]

두 집합 [eqn: A-B`], [eqn: B-A`]는 서로소이므로

[eqn: n LEFT(LEFT( A-B` RIGHT) smallunion LEFT(B-A RIGHT) RIGHT)][eqn: =n LEFT ( `A-B` RIGHT ) +n LEFT ( B`-A` RIGHT )]
[eqn: =33+24]
[eqn: =57`]

15. [출제의도] [eqn: sum]의 뜻을 이용하여 수열의 항의 값을 구한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {a _{k}} - {1} over {a _{k+1}} RIGHT ) `][eqn: = LEFT ( {1} over {a _{1}} - {1} over {a _{2}} RIGHT ) `+ LEFT ( {1} over {a _{2}} - {1} over {a _{3}} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {a _{n}} - {1} over {a _{n+1}} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {a _{1}} - {1} over {a _{n+1}}]
[eqn: =1- {1} over {a _{n+1}}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {a _{k}} - {1} over {a _{k+1}} RIGHT )` = {2n} over {2n+1} `] ([eqn: n ge1`])에서

[eqn: 1- {1} over {a _{n+1}}][eqn: = {2n} over {2n+1}]
[eqn: =1- {1} over {2n+1}]이므로

[eqn: 1 over {a_n+1} = 1 over 2n+1`]

[eqn: a _{n+1} =2n+1] ([eqn: n ge1`])

[eqn: a_n`= 2n-1] ([eqn: n ge 2`])

[eqn: a_1`=1`]이므로 [eqn: a_n`= 2n-1] ([eqn: n ge1`])

따라서 [eqn: a_10][eqn: =` 20-1]
[eqn: =`19]

16. [출제의도] 유리함수의 그래프와 로그의 성질을
이용하여 문제를 해결한다.

함수 [eqn: y = 1 overx`]의 그래프가 점 [eqn: (root 3 ofa `, ``root b `)`]를 지나므로

[eqn: sqrtb = 1 over {sqrt{3} of a} }]

[eqn: b^{1 over2} = 1 over{a^{1 over3}}]

[eqn: b= a^{- 2over3}]

[eqn: log`_a `b= log`_a `a^{- 2over3}][eqn: = it - 2over3]

[eqn: log`_b `a= 1 over {log_a b`}][eqn: = it- 3over2`]이므로

[eqn: log`_a `b + log`_b `a`][eqn: =it- 2over3 - 3 over2]
[eqn: =it - 13 over6`]

17. [출제의도] 무리함수의 그래프와 도형의 성질을
이용하여 문제를 해결한다.

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: LEFT(a`,``2sqrt {a} `RIGHT)]([eqn: a>0])라 하면

[eqn: rmB(it4a`,`` 2sqrt {a}` )], [eqn: rmC`(ita`,`` sqrt {a}` )]가 된다.

직각이등변삼각형 [eqn: rm ACB`]에서 빗변이 아닌 두 변

[eqn: rm AB]와 [eqn: rm AC`]의 길이가 각각 [eqn: 3a`], [eqn: sqrt {a}`]이고

[eqn: bar{rmAB}` =` bar{rmAC}`]이므로

[eqn: 3a= sqrt {a}]

[eqn: 9a^2 = a]

[eqn: a!=0`]이므로 [eqn: 9a=1]

[eqn: a= {1} over {9}]

따라서 삼각형 [eqn: rm ACB`]의 넓이는

[eqn: 1 over2 times LEFT ( 3a RIGHT )^2][eqn: ={1} over {2} TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: ={1} over {18}]

18. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 명제를 증명한다.

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,
[eqn: (좌변)=1`], [eqn: (우변)=1`]이므로 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{k=1} ^{m} k LEFT { k+(k+1)+` CDOTS `+m RIGHT } = {m(m+1)(m+2)(3m+1)} over {24} ``]
이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} k LEFT { k+(k+1)+` CDOTS `+(m+1) RIGHT }`]
[eqn: = sum_k=1^m k LEFT{k+(k+1)+`cdots`+(m+1) RIGHT } `+`box{`(m+1)^2`}`]
[eqn: = sum_k=1^m k LEFT{k+(k+1)+`cdots`+m RIGHT }`+ LEFT ( m+1 RIGHT )sum_k=1^m`k `+`box{`(m+1)^2`}]
[eqn: =sum _{k=1} ^{m} k LEFT { k+(k+1)+` CDOTS `+m RIGHT } `+`{BOX{`m(m+1)^2 over2`}}`+{BOX{ `(m+1 )^2` }}]
[eqn: ={m(m+1)(m+2)(3m+1)} over {24}+`{BOX{`m(m+1)^2 over2`}}`+{BOX{ `(m+1 )^2` }}]
[eqn: ={m(m+1)(m+2)(3m+1)} over {24}+`{ LEFT ( m+1 RIGHT )^2 LEFT ( m+2RIGHT ) }over2`]
[eqn: = { LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT ) LEFT { m(3m+1) +12(m+1)` RIGHT } }over24`]
[eqn: = { LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT ) LEFT ( 3m^2 + 13m +12` RIGHT ) }over24`]
[eqn: ={(m+1)(m+2)(m+3)(3m+4) }over24 }`]
[eqn: =`{{(m+1) LEFT { (m+1)+1 RIGHT } LEFT { (m+1)+2 RIGHT } LEFT { 3(m+1) +1 RIGHT } } }over24 }`]

따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

(*)이 성립한다.

[eqn: f(m)=(m+1)^2],

[eqn: g(m)={m(m+1)^2 }over2]이므로

[eqn: f(4)= (4+1)^2][eqn: =25],

[eqn: g(2)= {2 (2+1)^2} over2 = 9]

따라서 [eqn: f(4)+g(2)][eqn: = 25+9]
[eqn: =34`]

19. [출제의도] 부등식의 영역을 구하여 필요조건 문제를 해결한다.

진리집합 [eqn: P`= LEFT { (x`,``y) ``|`` LEFT|x RIGHT |-1 LEQy LEQ 1` RIGHT }]에서

[eqn: LEFT|x RIGHT |-1 LEQy`]는 함수 [eqn: y= LEFT|x RIGHT |-1`]의 그래프와 그 윗부분이므로 진리집합 [eqn: P`]는 함수 [eqn: y= LEFT|x RIGHT |-1`]의 그래프와
직선 [eqn: y=1`]로 둘러싸인 영역이다.

진리집합 [eqn: P`]를 좌표평면에 나타내면 다음 그림의
색칠된 삼각형과 그 내부가 된다.

진리집합 [eqn: Q`= LEFT { (x`,``y) ``|`` x ^{2`} +(`y-a) ^{2} LEQ b^2 ` RIGHT }]에서

[eqn: x ^{2`} +(`y-a) ^{2} = b^2 `]은 중심이 [eqn: (0`,``a)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: b`]인 원이므로 진리집합 [eqn: Q`]는 중심이 [eqn: (0`,``a)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: b`]인 원과 그 내부이다.

[eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 필요조건이므로 [eqn: Q subset P`]이다.

즉, 원 [eqn: x ^{2`} +(`y-a) ^{2} = b^2 `]이 함수 [eqn: y= LEFT|x RIGHT |-1`]의 그래프와 직선 [eqn: y=1`]로 둘러싸인 영역에 포함되어야 한다.

따라서 [eqn: -1 <a<1`]

반지름의 길이 [eqn: b`]가 최대가 될 때는

원 [eqn: x ^{2`} +(`y-a) ^{2} = b^2 `]이 그림과 같이 세 직선

[eqn: y=x-1], [eqn: y= it -x-1], [eqn: y=1`]에 동시에 접할 때이다.

원의 중심 [eqn: (0` ,``a)`]와 직선 [eqn: y=x-1`] 사이의 거리는

[eqn: {LEFT| a+1 RIGHT |} over root2 `][eqn: ={a+1}overroot2`]

원의 중심 [eqn: (0` ,``a)]와 직선 [eqn: y=1] 사이의 거리는

[eqn: 1-a`]

[eqn: {a+1}overroot2`]과 [eqn: 1-a`]는 둘 다 원의 반지름의 길이이므로

[eqn: {a+1}overroot2`][eqn: = 1-a`]

[eqn: (a+1) ` = sqrt2 (1-a)`=][eqn: sqrt2 - sqrt2 a`]

[eqn: (sqrt2 +1 ) a = sqrt2 -1`]

[eqn: a][eqn: = {sqrt2 -1} over{sqrt2 +1}][eqn: = (sqrt2 -1 )^2`]
[eqn: = 3 - 2sqrt2`]

따라서 [eqn: b][eqn: =1-a]
[eqn: = 2root2 -2`]

[다른 풀이]

진리집합 [eqn: P`]가 나타내는 영역은
세 점 [eqn: (2`,``1)`], [eqn: (-2`, ``1)`], [eqn: (0`,``-1)`]을 꼭짓점으로 하는 삼각형과 그 내부이다.

반지름의 길이 [eqn: b`]가 최대가 될 때는

원 [eqn: x ^{2`} +(`y-a) ^{2} = b^2 `]이 삼각형에 내접할 때이므로
삼각형의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT + 2 sqrt {2} +4) TIMES b= 1over2 times 4 times 2`]

[eqn: {(4root2 +4)b }over2 = 4]

[eqn: (root2 +1)b=2]

[eqn: b][eqn: = 2over{root2 +1}][eqn: =2left(root2 -1right)]
[eqn: = 2root2 -2`]

20. [출제의도] 이차부등식과 이차함수의 그래프의 관계를 이용하여 명제의 참, 거짓을 판별한다.

[eqn: x ^{2} -9 LEQ 2k(x-a)]

[eqn: (x+3)(x-3) LEQ 2k(x-a)]

ㄱ. [eqn: a=3`]일 때,
[eqn: (x+3)(x-3) LEQ 2k(x-3)]
[eqn: x > 3`]이면 [eqn: x+3 le 2k`], [eqn: x LEQ 2k-3`]
[eqn: x=3`]은 [eqn: k`]의 값에 관계없이 해가 된다.
[eqn: x <3`]이면 [eqn: x+3 ge 2k`], [eqn: x GEQ 2k-3`]
따라서 [eqn: x le3`]이면 부등식의 해가
[eqn: x LEQ 2k-3`]이 아니다. (거짓)

ㄴ. [eqn: a=5`]일 때,
[eqn: (x+3)(x-3) LEQ 2k(x-5)]
[eqn: x ^{2} -2kx+10k-9 LEQ 0`]이므로
부등식 [eqn: x ^{2} -2kx+10k-9 LEQ 0`]의 해가 존재하지
않으려면 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2kx+10k-9 =0`]이
서로 다른 두 허근을 가져야 한다. 따라서 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2kx+10k-9 =0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면
[eqn: {D} over {4} =k ^{2} -10k+9<0`]
[eqn: (k-1)(k-9)<0]
[eqn: 1< k < 9`]
[eqn: 1<k<9`]를 만족시키는 정수 [eqn: k`]는
[eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`], [eqn: 6`], [eqn: 7`], [eqn: 8`]이므로
정수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 7`] (참)

ㄷ. 부등식 [eqn: (x+3)(x-3) LEQ 2k(x-a)`~cdotscdots`(＊)`]의 해는
함수 [eqn: y=(x+3)(x-3)`]의 그래프가
직선 [eqn: y=2k(x-a)`]보다 아래쪽에 있는 부분의
[eqn: x`]의 값의 범위이다.
함수 [eqn: y=(x+3)(x-3)`]의 그래프는 두 점 [eqn: (-3`,``0)`]
과 [eqn: (3`,``0)`]을 지나는 곡선이고,
함수 [eqn: y=2k(x-a)`]의 그래프는 점 [eqn: (a`,``0)`]을 지나고 기울기가 [eqn: 2k`]인 직선이다.
[eqn: -3 LEQ a LEQ 3`]일 때,
[eqn: k GE0`]이면 [eqn: x=3`]이 부등식 [eqn: (＊)]을 만족시키고
[eqn: k<0`]이면 [eqn: x=it-3`]이 부등식 [eqn: (＊)]을 만족시키므로
[eqn: k`]의 값에 관계없이 부등식 [eqn: (＊)]을 만족시키는
정수 [eqn: x]의 값은 항상 존재한다. (참)

따라서 [eqn: ㄱ], [eqn: ㄴ], [eqn: ㄷ`]에서 옳은 것은 [eqn: ㄴ], [eqn: ㄷ`]이다.

21. [출제의도] 조건을 만족시키는 집합에 속하는 원소의 합의 최댓값과 최솟값을 추론한다.

전체집합 [eqn: U= LEFT { `1,``2,``3,``4,``5,``6,``7,``8` RIGHT } `]의 원소 중에서
조건 (다)를 만족시키는 [eqn: a IN A`], [eqn: b `IN B`]를 순서쌍 [eqn: LEFT ( a`,``b RIGHT ) `]로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: LEFT ( 1`,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2`,``5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3`,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4`,``6 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( 5`,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 6`,``7 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 7`,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 8`,``8 RIGHT )]

따라서 [eqn: 1`]과 [eqn: 8`]은 집합 [eqn: A`-B`]의 원소가 아니다.

[eqn: p in A-B`]([eqn: p!=1], [eqn: p!=8`])이면
[eqn: LEFT . (p`,``q)` IN LEFT { (2`,``5 RIGHT ) ,` LEFT ( 3`,``2 RIGHT ) ,` LEFT ( 4`,``6 RIGHT ) `, LEFT ( 5`,``3 RIGHT ) ,` LEFT ( 6`,``7 RIGHT ) ,` LEFT ( 7`,``4 RIGHT ) RIGHT }]인
[eqn: q`]가 집합 [eqn: B`]에 존재한다.
[eqn: q`in B`-A] 또는 [eqn: q` in A capB`]
그런데 [eqn: q` in A capB`]인 경우에는
[eqn: LEFT . (q`,``r)` IN LEFT { (2`,``5 RIGHT ) ,` LEFT ( 3`,``2 RIGHT ) ,` LEFT ( 4`,``6 RIGHT ) `, LEFT ( 5`,``3 RIGHT ) ,` LEFT ( 6`,``7 RIGHT ) ,` LEFT ( 7`,``4 RIGHT ) RIGHT }]인
[eqn: r`]가 집합 [eqn: B`-A`]에 존재하게 된다.
그러므로 [eqn: r!=1`], [eqn: r !=8`]
한편 [eqn: p!=1], [eqn: p!=8`]이므로
[eqn: 1 `]과 [eqn: 8`]은 집합 [eqn: B`-A`]의 원소가 될 수 있다.
따라서 [eqn: n(A`-B) le n(B`-A )]
[eqn: n(A`-B`)=2`], [eqn: n(A`cupB`)=5`]이므로
[eqn: n(B`-A )=2`] 또는 [eqn: n(B`-A )=3`]

(ⅰ) 집합 [eqn: B`-A`]에 속하는 모든 원소의 합의 최댓값을 구하기 위해 [eqn: n(B`- A) =3`]인 경우를 생각하자.
[eqn: 8`]은 집합 [eqn: B`-A`]의 원소가 될 수 있으므로
[eqn: 8 in B`-A`]
[eqn: n(A`-B)=2`], [eqn: n(B`-A)=3`]이고 [eqn: 8` in B`-A]이므로
[eqn: 7`]이 집합 [eqn: B`-A`]의 원소가 되려면 [eqn: 6 in A-B`]이다.
그러므로 [eqn: 7` in B`-A`]이면 [eqn: 6 NOTIN B`-A`]
[eqn: 5`]가 집합 [eqn: B`-A`]의 원소가 되려면 [eqn: 2 in A-B`]이다.
[eqn: A`-B = LEFT { 2`,``6` RIGHT }], [eqn: B`-A = LEFT { 5`,`7`,`8 RIGHT }]일 때, 집합 [eqn: B`-A`]에 속하는 모든 원소의 합이 최대가 된다.
그러므로 최댓값은
[eqn: 5+7+8=20`]

(ⅱ) 집합 [eqn: B`-A`]에 속하는 모든 원소의 합의 최솟값을 구하기 위해 [eqn: n(B`- A) =2`]인 경우를 생각하자.
[eqn: n LEFT ( A` - B ` RIGHT ) =2`], [eqn: n(B`- A) =2`]이므로
[eqn: 1 NOTIN B`-A``]
[eqn: 2`]가 집합 [eqn: B`-A`]의 원소가 되려면 [eqn: 3 in A`]
그러므로 [eqn: 2` in B`-A`]이면 [eqn: 3 NOTIN B`-A`]
[eqn: 4`]가 집합 [eqn: B`-A`]의 원소가 되려면 [eqn: 7 in A`]이다.
[eqn: B`-A`= LEFT{2`,``4 RIGHT }`]일 때, 집합 [eqn: B`-A`]에 속하는 모든 원소의 합이 최소이다.
그러므로 최솟값은
[eqn: 2+4=6`]
실제로 집합 [eqn: B`-A`]에 속하는 모든 원소의 합의 최솟값이 [eqn: 6`]인 경우는 다음 그림의 [eqn: 4`]가지이다.

따라서 [eqn: M``=20`], [eqn: m=6`]이므로

[eqn: M``+m=26`]

22. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그를 계산한다.

[eqn: log _{`2} 8`=log _{`2} 2 ^{3} =3log _{`2} 2=3]

23. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해하여 식의 값을 구한다.

이차방정식 [eqn: x^2 -7x+10=0`]의 근과 계수의 관계에
의해 두 근의 합은 [eqn: 7`]

[다른 풀이]

[eqn: x^2 -7x+10][eqn: =(x-2)(x-5)`]이므로

이차방정식 [eqn: x^2 -7x+10=0`]의 두 근은

[eqn: x=2`] 또는 [eqn: x=5`]

따라서 두 근의 합은
[eqn: 2+5=7]

24. [출제의도] 도형의 대칭이동을 이해하여 원의 중심의 좌표를 구한다.

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +10x-12y+45=0`]은

[eqn: (x+5) ^{2} +(y-6) ^{2} =16`]이므로

중심의 좌표는 [eqn: (-5`,``6)`]이다.

원 [eqn: C `_{1} `]의 중심의 좌표는 점 [eqn: (-5`,``6)`]을 원점에 대하여 대칭이동한 점이므로 [eqn: (`5`,``-6)`]이다.

원 [eqn: C `_{2} `]의 중심의 좌표는 점 [eqn: (`5`,``-6)`]을 [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동한 점이므로 [eqn: (`5`,``6)`]이다.

[eqn: a=5`], [eqn: b=6`]이므로

[eqn: 10a+b][eqn: =50+6]
[eqn: =56`]

25. [출제의도] 유리함수의 그래프를 이해하여 역함수의 함숫값을 구한다.

함수 [eqn: f(x)][eqn: = {4x+9}over x-1]
[eqn: = {4(x-1)+13} over x-1`]
[eqn: = {13 over x-1} +4`]

함수 [eqn: f(x)][eqn: = {4x+9}over x-1]의 그래프의 점근선은

직선 [eqn: x=1`], [eqn: y=4`]이므로 [eqn: a=1`], [eqn: b=4`]

[eqn: a+b = 1 +4 = 5`]이므로

[eqn: f`^-1 (a+b)`][eqn: = f`^-1 (5) = c`]라 하면

[eqn: f(c) = {4c+9}over{c-1}`][eqn: = 5`]

[eqn: 4c+9=5c-5`]

[eqn: c=14]

따라서 [eqn: f`^-1 (a+b)][eqn: = f`^-1 (5)`]
[eqn: = 14`]

26. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 수열의 항의 값을 추론한다.

[eqn: a _{3} =3`]이면 [eqn: a _{2} =3] 또는 [eqn: a _{2} =6`]이다.

[eqn: a _{2} =3`]이면 [eqn: a _{1} =3] 또는 [eqn: a _{1} =6`]이고,

[eqn: a _{2} =6`]이면 [eqn: a _{1} =9] 또는 [eqn: a _{1} =12`]이다.

[eqn: a_1 ge10`]이므로 [eqn: a _{1} =12`]

[eqn: a_2 = 12 over2 =6`]

또, [eqn: a _{3} =3`]이므로 [eqn: a _{4} =a _{5} =3`]이다.

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k}][eqn: =12+6+3+3+3][eqn: =27]

27. [출제의도] 도형의 대칭이동을 이용하여 점과 직선 사이의 거리 문제를 해결한다.

직선 [eqn: rmBC`]를 [eqn: x`]축, 점 [eqn: rmM`]을 원점으로 하면

[eqn: rmA`(-4`,``2)`], [eqn: rmB(-2`,``0)`], [eqn: rmC(2`,``0)`], [eqn: rmD(4`,``2)`]이다.

선분 [eqn: rmAD`]를 [eqn: 1:3`]으로 내분하는 점 [eqn: rmP`]의 좌표는

[eqn: rmP(-2`,``2)`]

선분 [eqn: rmAD`]를 [eqn: 3:1`]로 내분하는 점 [eqn: rmQ`]의 좌표는

[eqn: rmQ(2`,``2)`]

점 [eqn: rmD'`]은 점 [eqn: rmD`]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한
점이므로 점 [eqn: rmD'`]의 좌표는 [eqn: rmD'(2`,``4)`]

점 [eqn: rmA'`]은 점 [eqn: rmD'`]과 [eqn: y`]축에 대하여 대칭인 점이므로 점 [eqn: rmA'`]의 좌표는 [eqn: rmA'(-2`,``4)`]

직선 [eqn: rmA'`M`]의 방정식은 [eqn: 2x+y=0`]이므로

점 [eqn: rmD'(2`,``4)`]와 직선 [eqn: 2x+y=0`] 사이의 거리 [eqn: d`]는

[eqn: d][eqn: ={LEFT |2times2+4 RIGHT |}overroot{2^2 +1^2]
[eqn: = 8 over root5 `]

따라서 [eqn: 50`d`^2][eqn: =50 times 64over5]
[eqn: =640]

28. [출제의도] 약수의 성질과 지수법칙을 이해하여
순서쌍의 개수 문제를 해결한다.

[eqn: 64 ^{{1} over {m}} =k`times`81 ^{{1} over {n}}]에서 양변을 [eqn: 81^{1 overn`}]으로 나누면

[eqn: k][eqn: = {64 ^{{1} over {m}}} over {81 ^{{1} over {n}}} `][eqn: =2 ^{{6} over {m}} times3 ^{- {4} over {n}} `]

두 밑 [eqn: 2 `]와 [eqn: 3`]은 서로소이므로 자연수 [eqn: k`]가 존재하기 위해서는 밑 [eqn: 2`]의 지수 [eqn: {6} over {m} `]과 밑 [eqn: 3`]의 지수 [eqn: - {4} over {n`}]가

모두 자연수가 되어야 한다.

[eqn: m`]은 [eqn: 6`]의 양의 약수인 [eqn: 1`], [eqn: 2], [eqn: `3`], [eqn: 6`]이고,

[eqn: n`]은 [eqn: 4`]의 음의 약수인 [eqn: -1`], [eqn: -2`], [eqn: -4`]이므로

모든 순서쌍 [eqn: (m`,``n)`]은

[eqn: LEFT ( 1`,``-1 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 1`,``-2 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 1`,``-4 RIGHT ) `],

[eqn: LEFT ( 2`,``-1 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 2`,``-2 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 2`,``-4 RIGHT ) `],

[eqn: LEFT ( 3`,``-1 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 3`,``-2 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 3`,``-4 RIGHT ) `],

[eqn: LEFT ( 6`,``-1 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 6`,``-2 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 6`,``-4 RIGHT ) `]

따라서 두 정수 [eqn: m`], [eqn: n`]의 모든 순서쌍 [eqn: (m`,``n)`]의
개수는 [eqn: 12`]

29. [출제의도] 부등식의 영역에서의 최대 · 최소를 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

어느 상점에서 두 향수 [eqn: rm A`]와 [eqn: rmB`]가 한 달 동안 판매되는 향수병의 개수를 각각 [eqn: x`], [eqn: y`]라 하자.

향수 [eqn: rm A`]를 [eqn: 1`]병 생산하는데 필요한 원료의 양은

원료 [eqn: rm P`]가 [eqn: 50`㎖], 원료 [eqn: rm Q`]가 [eqn: 100`㎖]이고

향수 [eqn: rm B`]를 [eqn: 1`]병 생산하는데 필요한 원료의 양은

원료 [eqn: rm P`]가 [eqn: 100`㎖], 원료 [eqn: rm Q`]가 [eqn: 50`㎖]이므로

향수 [eqn: rm A`]와 향수 [eqn: rm B`]를 각각 [eqn: 1`]병씩 생산하는데 필요한 원료의 구입 비용은 각각

[eqn: 0.5 times 1+1 times 2 = 2.5`](만 원),

[eqn: 1 times 1 + 0.5 times 2 = 2`](만 원)이다.

따라서 향수 [eqn: rm A`]와 향수 [eqn: rm B`]를 생산하기 위하여 한 달 동안 구입하게 되는 두 원료 [eqn: rmP`]와 [eqn: rmQ`]의 구입 비용의 합은 [eqn: 2.5x + 2y`]만 원이다.

한 달에 생산할 수 있는 두 향수 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]의 병의 개수의 합이 최대 [eqn: 50`]이고,

한 달에 사용할 수 있는 두 원료 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]의 총 구입

비용이 최대 [eqn: 110`]만 원이므로

다음 식이 성립한다.

[eqn: x ge 0`,``` y ge 0~cdotscdots`㉠`]

[eqn: x+y le 50~cdotscdots`㉡]

[eqn: 2.5x+2y le 110~cdotscdots`㉢]

㉠, ㉡, ㉢을 동시에 만족시키는 영역을 좌표평면에 나타내면 다음 그림의 색칠된 사각형과 그 내부가 된다.

연립방정식
[eqn: cases{``x+y =50`#``2.5x+2y = 110`]
의 해는 [eqn: x=20`], [eqn: y= 30`]이므로 제[eqn: 1]사분면의 사각형의 꼭짓점의 좌표는 [eqn: (20`,``30`)`]이다.

한편 향수 [eqn: rm A`]의 판매 가격이 [eqn: a`]만 원이고,

향수 [eqn: rm B`]의 판매 가격이 [eqn: 9 over 10 a`]만 원이므로

두 향수 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]를 한 달 동안 판매한 금액의 합은 [eqn: a x + 9 over 10 a y`]만 원이다.

[eqn: ax+ 9 over10 ay`][eqn: =k`]([eqn: k`]는 상수)로 놓으면

[eqn: y=it- 10 over9 x + 10k over9a`]는 기울기가 [eqn: - 10 over9`]이고

[eqn: y`]절편이 [eqn: 10k over9a`]인 직선이므로

직선 [eqn: y=it- 10 over9 x + 10k over9a`]의 [eqn: y`]절편 [eqn: 10k over9a`]는

두 직선 [eqn: x+y =50`]과 [eqn: `2.5x+2y = 110`]의 교점 [eqn: LEFT(20`,``30 RIGHT)`]을 지날 때 최대가 된다.

따라서 이 상점에서 두 향수 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]를 한 달 동안
판매한 금액의 합의 최댓값은

[eqn: a TIMES 20+{9} over 10 a times 30 = 47a`](만 원)이므로

[eqn: 47a = 376`]

[eqn: a= 8`](만 원)

30. [출제의도] 다항식의 인수정리와 등차수열의 일반항을 이용하여 수열 문제를 해결한다.

등차수열 [eqn: "{"a_n"}"`]의 첫째항을 [eqn: a`], 공차를 [eqn: d`]라 하자.

[eqn: P`(x)][eqn: =a_m+1 x^m +a_m x^m-1 +`cdots`+a_2 x +a_1`]에서

[eqn: P`(1)][eqn: =a_m+1 +a_m +`cdots`+a_2 +a_1`]이고

이는 등차수열 [eqn: "{"a_n"}"`]의 첫째항부터 제[eqn: LEFT(m+1 RIGHT)`]항까지의 합이므로

[eqn: P(1)`][eqn: ={(m+1)(2a+md)}over2`]

[eqn: P`(-1)][eqn: =a_m+1 (-1)^m +a_m (-1)^m-1 +`cdots`-a_2 +a_1`]

(ⅰ) [eqn: m`]이 홀수일 때

[eqn: P`(-1)][eqn: =it-a_m+1 +a_m -`cdots`-a_2 +a_1]
[eqn: =it-(a_m+1 -a_m )-`cdots`-(a_2 -a_1 ) `]
[eqn: =it - m+1over2 d`]이므로

[eqn: P`(1)=5P`(-1)`]에서

[eqn: {(m+1)(2a+md)}over2`][eqn: =5times LEFT(- m+1 over2 d RIGHT)`]

[eqn: m+`1 !=0]이므로

[eqn: 2a+md = -5d`]

[eqn: a + {m+5}over2 d =0`]

[eqn: m`]은 홀수이므로 [eqn: m+5 over2`]는 자연수이고

[eqn: a + {m+5}over2 d `]는 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]의 제[eqn: LEFT(m+7 over2 RIGHT)`]항이다.

이때 [eqn: a_ {{m+7}over2}][eqn: = a+ LEFT ( m+7 over2 -1 RIGHT )d]
[eqn: = a + {m+5}over2 d][eqn: =0`]

이 되어 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]의 모든 항이 [eqn: 0`]이 아니라는

조건에 모순이다.

따라서 [eqn: P`(1)=5P`(-1)`]을 만족시키는 홀수 [eqn: m`]은

존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: m`]이 짝수일 때

[eqn: P`(-1)][eqn: =a_m+1 -a_m +`cdots`-a_2 +a_1`]
[eqn: =(a_m+1 -a_m )+`cdots`+(a_3 -a_2 )+a`]
[eqn: =a+ m over2 d`][eqn: = {2a+md}over2]

[eqn: P`(1)=5P`(-1)`]에서

[eqn: {(m+1)(2a+md)}over2`][eqn: =5 times {2a+md} over2] [eqn: cdotscdots`(＊)`]

[eqn: m`]은 짝수이므로 [eqn: m over2`]은 자연수이고

[eqn: a + {m}over2 d `]는 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]의 제[eqn: LEFT(m over2 +1 RIGHT)`]항이다.

이때 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]의 모든 항이 [eqn: 0`]이 아니므로

[eqn: a_{m over2 +1 }][eqn: =a+ m over2 d][eqn: = {2a + md} over2 !=0`]

[eqn: (＊)]에서 [eqn: m+1=5`]이므로 [eqn: m=4`]

(ⅰ), (ⅱ)에서 가능한 자연수 [eqn: m`]은 [eqn: 4`]뿐이므로

[eqn: k=4]이다.

다항식 [eqn: a_5 x^4 +a_4 x^3 +a_3 x^2 +a_ 2 x +a_1 `]이 [eqn: x+2`]로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여

[eqn: a_5 LEFT(-2 RIGHT)^4 +a_4 LEFT(-2 RIGHT)^3 +a_3 LEFT(-2 RIGHT)^2 +a_ 2 LEFT(-2 RIGHT) +a_1][eqn: =0]

[eqn: a_n = a+(n-1)d`]이므로

[eqn: (a+4d)(-2)^4 +(a+3d)(-2)^3]

[eqn: +(a+2d)(-2)^2 +(a+d)(-2)+a`]

[eqn: =16 LEFT(a+4d RIGHT)-8(a+3d)+4(a+2d)-2(a+d)+a]

[eqn: =11a+46d`][eqn: =0`]

[eqn: d=it - 11 over46 a]

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n !=0`]이므로

[eqn: a_1 over{a_k+1}][eqn: = a over a_5][eqn: = a overa+4d]
[eqn: = a over{a- 22 over23 a}][eqn: = 1 over{ 1over23}]
[eqn: =23]