[eqn: sin {3} over {2} pi]의 값은? [2점]

2018학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

수학 영역(가형)

수학 영역(가형)

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} +x]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12

[eqn: lim _{x` -> `0} {{ln LEFT ( 1+x RIGHT )} over {4x}}]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: lim _{x` -> `0-} {f LEFT ( x RIGHT )} + lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )}]의 값은? [3점]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

곡선 [eqn: y= it -2x ^{3} +5x] 위의 점 [eqn: LEFT ( `1,``3 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는?

[3점]

① [eqn: -9]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -5]	④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

공비가 [eqn: 3]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n} -2} over {3 ^{n+1} +2a _{n}}} = {2} over {5}]

를 만족시킬 때, 첫째항 [eqn: a _{1}]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

[eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT ( 4x ^{3} +x ^{2} - {1} over {2} x+a RIGHT ) dx} =2]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

그림은 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a cos {pi } over {2b} x+1]의 그래프이다.
두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? [3점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 4]

[eqn: -2]

[eqn: 4]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

① [eqn: {7} over {2}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: {9} over {2}]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: {11} over {2}]

부등식 [eqn: 2-log _{{1} over {2}} LEFT ( x-2 RIGHT ) <log _{2} LEFT ( 3x+4 RIGHT )]를 만족시키는
정수 [eqn: x]의 개수는? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: {d} over {dx} int _{} ^{} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -x ^{2} +4 RIGHT }} dx= int _{} ^{} {{d} over {dx} LEFT { 2f LEFT ( x RIGHT ) -3x+1 RIGHT } dx}]

를 만족시킨다. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =3]일 때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``x ^{3} +ax ^{2} +b _{{}_{`}} ```````&LEFT ( x<2 RIGHT ) _{{}_{`}}#``4x ^{2 ^{{}^{`}}} ```````&LEFT ( x GEQ 2 RIGHT ) ^{{}^{`}}}}]

가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -4x+6]에 대하여 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT )}]의
값은? [3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

두 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} =b _{1} =1]이고
[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =4], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} =2]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} b _{n}]의 값은? [3점]

① [eqn: {6} over {5}]	② [eqn: {7} over {5}]	③ [eqn: {8} over {5}]	④ [eqn: {9} over {5}]	⑤ [eqn: 2]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]([eqn: t GEQ 0])에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =t ^{2} -2t-3]

이다. [eqn: t=0]부터 [eqn: t=4]까지 점 [eqn: rm P]가 움직인 거리는? [4점]

① [eqn: {26} over {3}]	② [eqn: {28} over {3}]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: {32} over {3}]	⑤ [eqn: {34} over {3}]

함수 [eqn: y=log` _{3} `x]의 그래프 위에 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( `a,``1 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( `27,``b RIGHT )]가 있다.
함수 [eqn: y=log` _{3} `x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼
평행이동한 그래프가 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]의 중점을 지날 때,
상수 [eqn: m]의 값은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: 0 LEQ x LEQ pi]일 때, 방정식

[eqn: 2cos ^{2} x+ LEFT ( 2+ sqrt {3} RIGHT ) sinx- LEFT ( 2+ sqrt {3} RIGHT ) =0]

의 모든 해의 합은? [4점]

① [eqn: {3} over {4} pi]	② [eqn: pi]	③ [eqn: {5} over {4} pi]	④ [eqn: {3} over {2} pi]	⑤ [eqn: {7} over {4} pi]

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]에
대하여 방정식 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =0]이 세 실근 [eqn: alpha], [eqn: 0], [eqn: beta]([eqn: alpha <0< beta])를
갖는다.

[eqn: S= int _{alpha } ^{0} {LEFT | f` prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx}], [eqn: T= int _{0} ^{beta } {LEFT | f` prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx}]

라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 극댓값을 갖는다. ㄴ. [eqn: alpha + beta =0]이면 [eqn: S`=T`]이다. ㄷ. [eqn: S`<T`]이고 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =0]이면 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 양의 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: rm P LEFT ( it `t,``t ^{2} RIGHT )]([eqn: 0<t<1])에서의
접선 [eqn: l]이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm Q], 점 [eqn: rm P]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의
발을 [eqn: rm R]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm PQR]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 하자.
또한, 점 [eqn: rm P]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선 [eqn: m]이 곡선 [eqn: y= sqrt {x}]와
만나는 점을 [eqn: rm A]라 할 때, 선분 [eqn: rm PA]를 대각선으로 하는 정사각형
[eqn: rm PCAB]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{t` -> `0+} {{t TIMES g LEFT ( t RIGHT )} over {f LEFT ( t RIGHT )}}]의 값은? [4점]

[eqn: y=x ^{2}]

[eqn: y= sqrt {x}]

[eqn: y]

[eqn: m]

[eqn: l]

[eqn: rmC]

[eqn: rm A]

[eqn: rmB]

[eqn: rm P]

[eqn: rm O]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

[eqn: x]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

양수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2kx ^{3} -3 LEFT ( 3k+1 RIGHT ) x ^{2} +18x-2]가
닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `0,``3 RIGHT ]]에서 최댓값 [eqn: 12]를 가질 때, [eqn: k]의 값을 구하는
과정이다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에서

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =6kx ^{2} -6 LEFT ( 3k+1 RIGHT ) x+18=6 LEFT ( kx-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]

[eqn: LEFT . k= {BOX{```````(가) _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]인 경우를 제외하고 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의
집합에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지므로

(ⅰ) [eqn: LEFT . 0<k LEQ {BOX{```````(가) _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]일 때,
[eqn: 0<x<3]에서 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) >0]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 증가한다.
따라서 닫힌 구간 [eqn: [`0,``3]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은
[eqn: LEFT . {BOX{```````(나) _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]이다. 그러나 [eqn: LEFT . {BOX{```````(나) _{`}^{`} ```````}} RIGHT . `=12]를 만족하는
[eqn: k]의 값은 [eqn: LEFT . 0<k LEQ {BOX{```````(가) _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]에 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: LEFT . k> {BOX{```````(가) _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]일 때,
닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `0,``3 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로
나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {1} over {k}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 3]
[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: NEARROW]	극대	↘

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x= {1} over {k}]에서 극대이면서 최대이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `0,``3 RIGHT ]]에서
최댓값 [eqn: 12]를 가질 때, [eqn: LEFT . k= {BOX{```````(다) _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 하고,
(나)에 알맞은 식을 [eqn: g LEFT ( k RIGHT )]라 할 때, [eqn: {g LEFT ( a RIGHT )} over {b}]의 값은? [4점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]	④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB}} =4], [eqn: rm ANGLE ACB= {pi } over {2}], [eqn: rm ANGLE CBA= theta]인 직각삼각형
[eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAB] 위에 [eqn: rmangleACD=2theta]가 되도록 점 [eqn: rmD]를
잡고, 선분 [eqn: rmBC] 위에 [eqn: rmangleBDE= {pi} over {2}]가 되도록 점 [eqn: rmE]를 잡는다.
삼각형 [eqn: rmCDE]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{S`( theta )} over {theta ^{3}}}]의 값은?
(단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}]) [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rm D]

[eqn: rm B]

[eqn: rm E]

[eqn: rm C]

[eqn: rm theta]

[eqn: rm 2 theta]

① [eqn: 8]	② [eqn: {17} over {2}]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: {19} over {2}]	⑤ [eqn: 10]

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} -24x ^{2} +36x-8k]([eqn: k]는 정수)에 대하여
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} _{{}_{{}_{}}} ``````````&LEFT ( x LEQ a```````````````````````x GEQ b RIGHT ) _{{}_{{}_{}}}#``c ^{{}^{{}^{}}}&LEFT ( a<x<b RIGHT ) ^{{}^{{}^{}}}}}]

또는

라 하자. 어떤 정수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 오직 한 점에서만
미분가능하지 않도록 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 정할 때,
[eqn: k+a+b+c]의 최솟값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

단 답 형

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {LEFT ( 2x+1 RIGHT ) dx`}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]일 때,
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `1,``5 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x-5}]의 최댓값을
구하시오. [3점]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {4} -9 RIGHT ) =6]일 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}}]의 값을 구하시오. [3점]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =cosx-3sinx]에 대하여 [eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( pi +3h RIGHT ) -f LEFT ( pi RIGHT )} over {h}}]의
값을 구하시오. [3점]

두 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2], [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) = it 3], [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =5], [eqn: g` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =2]일 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {n LEFT { f LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) g LEFT ( 1+ {3} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT }}]의 값을 구하시오. [4점]

자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( `4n,``3n RIGHT )]을 중심으로 하고, [eqn: x]축에 접하는
원 [eqn: C _{n}]이 있다. 원 [eqn: C _{n}] 위의 점 [eqn: rm P]에 대하여 선분 [eqn: rm OP]의 길이가
자연수가 되도록 하는 점 [eqn: rm P]의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} a _{k}}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O]는 원점이다.) [4점]

실수 [eqn: t]에 대하여 두 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``-x ^{2} +3kx+2 _{{}_{{}_{}}}&~~(x<0) _{{}_{{}_{}}}#``x ^{2} + {4} over {3k} x-2&~~(x GEQ 0)}}]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x+t]

의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가
[eqn: t= alpha]에서 불연속이 되는 실수 [eqn: alpha]의 개수가 [eqn: 2]가 되도록
양수 [eqn: k]를 정할 때, [eqn: 150k]의 값을 구하시오. [4점]

그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{AC}} =10], [eqn: rm {bar{BC}} =12]인 이등변삼각형 [eqn: rm ABC]가
있다. 선분 [eqn: rm AB] 위에 [eqn: rm ANGLE DCB= theta], [eqn: sin theta = {sqrt {10}} over {10}]이 되도록
점 [eqn: rm D]를 잡고, 선분 [eqn: rm AC] 위에 [eqn: rm ANGLE EBA=2 theta]가 되도록 점 [eqn: rm E]를
잡는다. 선분 [eqn: rm BE]와 선분 [eqn: rm CD]가 만나는 점을 [eqn: rm F],
점 [eqn: rm F]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 할 때,
선분 [eqn: rm FH]의 길이는 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rm D]

[eqn: rm B]

[eqn: rm F]

[eqn: rm H]

[eqn: rm C]

[eqn: rm E]

[eqn: rm theta]

[eqn: rm 2 theta]

[eqn: 3]보다 큰 자연수 [eqn: n]에 대하여 원 [eqn: C] : [eqn: x ^{2} +y ^{2} =n]이 있다.
삼차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x= it -1]에서 극대, [eqn: x=1]에서 극소이고,
두 점 [eqn: LEFT ( -1,``f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT )], [eqn: LEFT ( `1,``f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )]이 모두 원 [eqn: C] 위에 있을 때,
그림과 같이 원 [eqn: C`]의 내부는 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]에 의해 [eqn: 4]개의 영역
[eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S _{3}], [eqn: S_4]로 나누어진다. 각 영역 [eqn: S _{k}]([eqn: k=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4])의
내부의 점들 중 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수를
[eqn: g _{k} LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: g _{1} LEFT ( n RIGHT ) >g _{3} LEFT ( n RIGHT )]을 만족시키는
[eqn: n]의 최솟값은 [eqn: a]이다. [eqn: a+ LEFT { g _{1} LEFT ( a RIGHT ) TIMES g _{3} LEFT ( a RIGHT ) RIGHT }]의 값을 구하시오.
(단, 각 영역은 경계선을 포함하지 않는다.) [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: S _{1}]

[eqn: S _{2}]

[eqn: S _{3}]

[eqn: S _{4}]

[eqn: rmO]

[eqn: C]

※ 확인 사항

답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.