• 수리 영역 •

수리‘가’형 정답

1	④	2	②	3	①	4	②	5	③
6	③	7	④	8	④	9	⑤	10	⑤
11	①	12	②	13	⑤	14	③	15	③
16	①	17	⑤	18	[eqn: 135]	19	[eqn: 12]	20	[eqn: 30]
21	[eqn: 26]	22	[eqn: 23]	23	[eqn: 7]	24	[eqn: 31]	25	[eqn: 576]

해 설

1. [출제의도] 로그 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: ``log`` _{4} `2`+`log`` _{4} `8`=`log _{``4} ``16`=`2]

2. [출제의도] 행렬의 곱셈을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: X=A ^{-1} B= {pmatrix{0``&1#1&0}} {pmatrix{1&`-2#3&```````4}} = {pmatrix{3&``````4#1&`-2}}]

따라서 행렬 [eqn: X]의 모든 성분의 합은 [eqn: 6]이다.

3. [출제의도] 함수의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(주어진 식)[eqn: `= lim _{x` -> ``4} {LEFT ( sqrt {x} +2 RIGHT ) LEFT ( x+4 RIGHT )} ``=32]

4. [출제의도] 삼차함수의 극값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극솟값 [eqn: -1], [eqn: x=1]에서 극댓값 [eqn: 3]을 갖는다. 따라서 구하는 직선의 기울기는 [eqn: 2]이다.

5. [출제의도] 분수부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) [eqn: ```x-3+ {4} over {x+2}][eqn: <= ``0``]∴ [eqn: x< -2], [eqn: -1<=x<=2]

(ⅱ) [eqn: {1} over {x-2} - {1} over {x-k} >0] 에서 자연수인 해를 가지려면

[eqn: 1<k<2]이다.

∴ [eqn: alpha+beta=1+2=3]

6. [출제의도] 연속과 미분가능성을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=+-1]에서 미분가능해야 하므로

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =3+a=-1+b-c], [eqn: f`` prime LEFT ( -1 RIGHT ) =-3]이고

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =-3+d=1+b+c], [eqn: f`` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =-3]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b+c+d=2+0-6-2=-6]

7. [출제의도] 역함수의 성질을 알고 정적분을 이용하여 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{2} + {2} over {3}]이므로

[eqn: A-B=2 int _{0} ^{2} {LEFT ( {1} over {3} x ^{2} + {2} over {3} -x RIGHT )} dx= {4} over {9}]

8. [출제의도] 이차곡선의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: |rm bar{PF} - bar{PF prime } |=10]이므로 [eqn: a=5]이다.

[eqn: y ^{2}=4 TIMES 14(x+c)``]이므로 [eqn: rm bar{AF} ``=14]이다.

[eqn: rm bar{AF prime } ``:`` bar{FF prime } ``=`1``:``6``]이므로 [eqn: rm bar{AF prime } `=2,`` bar{FF prime } ``=`1`2``]이다.

[eqn: c^2 over {a ^{2} -b ^{2} } = 64 over 25-11 = 32 over 7]

9. [출제의도] 공간도형의 성질을 알고 이를 이용하여 선분의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rmbar{ M rm Q}]가 최대가 되려면 점 [eqn: rm B]를 지나야 하므로

(최댓값)[eqn: rm =2 bar{MB} =2 sqrt {3 ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}} =2 sqrt {17}]

10. [출제의도] 함수의 연속성을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 0} {(f CIRC g)(x)} =1], [eqn: (f CIRC g)(0)=0] ∴ 불연속

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 0} {(f CIRC h)(x)} =(f CIRC h)(0)=1] ∴ 연속

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 0} {(h CIRC f)(x)} =][eqn: (h CIRC f)(0)= {1} over {4}] ∴ 연속

11. [출제의도] 벡터의 내적에 관한 성질을 알고 선분의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {x} over {2} =-y=- {z} over {2} =t]로 놓고 평면의 방정식에 대입하면 [eqn: t=-1] ∴ [eqn: rm A][eqn: (-4,`2,`4)]

[eqn: rm vec{OA} BULLET vec{OP} `= vec{OP} BULLET vec{OP}]에서 [eqn: rm vec{OP} ` BULLET vec{AP} =0]이다.

따라서 점 [eqn: rm P]는 선분 [eqn: rm OA]를 지름으로 하는 구 위의 점이고, 이 구의 중심의 좌표는 [eqn: (-2,`1,`2)], 반지름의 길이는 [eqn: 3]이므로 구하는 최댓값은

[eqn: {LEFT | -2+1+2-2 RIGHT |} over {sqrt {3}} +3=3+ {sqrt {3}} over {3}]

12. [출제의도] 상용로그의 가수의 뜻을 이해하고 이를 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: log`ab-log`b``]의 가수가 [eqn: 0``]이므로 [eqn: f``(a)`=`0``](참)

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: a`=`b``]를 대입하면 [eqn: f``(a)`=`0``]이므로

[eqn: a`=`10``]으로 [eqn: 1``]개이다. (참)

ㄷ. [eqn: f``(ab)`=`0``]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a`,``b)``]는

[eqn: (10`,``10)], [eqn: (20`,``50)`,``(25`,``40)`,``(40`,``25)`,``(50`,``20)``]으로 [eqn: 5`]개이다. (거짓)

13. [출제의도] 조합의 성질을 이용하여 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{ k=1} ^{n } k(k+1)(k+2)(k+3)`][eqn: =`sum _{ k=1} ^{n } {(k+3)`!}over{(k`-`1)`!`],

[eqn: 4! left{4! over {4!0!} + 5! over {4!1!} + cdots + (n+3)! over {4!(n-1)!}` right}`][eqn: =`4`!` sum _{ k=1} ^{ n}``_{k+3}{\C}_{4}`],

[eqn: `_4 {rmC}_4 + `_5 {rmC}_4 + cdots + `_n+3 {rmC}_4 =`_{n+4}{\C}_{5}``]

14. [출제의도] 로그함수와 등차수열을 이해하고 이를 활용하여 공차를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

등차수열 [eqn: p`,``q`,``r`,``s``]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: beta`=`3`alpha`]에서 [eqn: 3 ^{2d} =3], [eqn: d`= 1over2] ∴ [eqn: s`-`p`=`3`d`= 3over2``]

15. [출제의도] 행렬의 곱셈에 대한 성질과 역행렬의 존재성을 이해하고 옳은 성질을 찾는 문제이다.

ㄱ. [eqn: A ^{3} `=`E``] ∴ [eqn: d`(A)`=`3``] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: A`=` pmatrix { `1``&`1` #`0`` &`1` }``]일 때 [eqn: A^{n}`=` pmatrix { `1``&`n` #`0`` &`1` }`]이므로

[eqn: A ^{n} `!=`E``] [eqn: THEREFORE ``][eqn: d`(A)`=`0``](거짓)

ㄷ. [eqn: AB`=`BA`]이므로 [eqn: (AB)^{6}`=`A^{6}`B^{6}`=`E`]이고,

[eqn: (A`B`) ^{n} `` != E```(n=1,``2,``3,``4,``5)```]이다.

∴ [eqn: d`(AB)`=`6``] (참)

16. [출제의도] 도형의 넓이를 무한등비급수의 합으로 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

정육각형 [eqn: {\H}_{n}``]의 한 변의 길이를 [eqn: a_{n}``]이라 하면

[eqn: a_{n+1`}`^{2}`=`{a_{n}`^{2}}over{2}``+`{a_{n}`^{2}}over{2}``-`2`left({root{2}}over{2}`a_{n}right)left({root{2}}over{2}`a_{n}right)cos`30°`]

[eqn: a_{n+1}`^{2}`=`left(1`-`{root{3}}over{2}`right)a_{n}`^{2}``] ∴ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``S _{n} `=`` {2 sqrt {3}} over {3} `S _{1} ``]

17. [출제의도] 주어진 수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: <10`,``1>`+`<10`,``10>`=`2``] (참)

ㄴ. [eqn: <n`+`1,``2>`+`<n`+`1`,``n>`=`2n`]이므로

[eqn: <11`,``2>`+`<11`,``10>`=`20``](참)

ㄷ. 제 [eqn: n`]행의 수의 합을 [eqn: S_{n}``]라 하면 [eqn: S_{n+1}`=`2`S_{n}``]

∴ [eqn: <12`,``3>`+`<12`,``4>`+`cdots`+`<12`,``10>`]

[eqn: =`2^{11}`-`2`-`22`=`2024] (참)

18. [출제의도] 이항정리를 이해하고 이를 활용하여 이항계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: ` _{6} {rm C} it _r ``x ^{6`-`r}} ` LEFT ( - {3} over {x} RIGHT ) ^{r} `=`` _{6}{ rm C} it _{r} ` `(-3) ^{r} ` `x ^{6`-`2r} `]이므로

[eqn: x ^{2}]의 계수는 [eqn: `_{6}{\C}_{2}`(-3)^{2}`=`135``]이다.

19. [출제의도] 벡터의 내적을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm vec{AD} - vec{AE} = vec{rm ED it}]이므로 [eqn: LEFT | rm vec{ED} RIGHT | ^{2} = LEFT | vec{AD} - vec{AE} RIGHT | ^{2} =4]

따라서 [eqn: rm LEFT | vec{AD} RIGHT | ^{2} -2 vec{AD} BULLET vec{AE} + LEFT | vec{AE} RIGHT | ^{2}=4]이므로

[eqn: rm vec{AD} BULLET vec{AE} =12]

20. [출제의도] 분수방정식을 이용하여 실생활과 관련된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {24} over {2a} + {6} over {a} - LEFT ( {24} over {2a+20} + {6} over {a+10} RIGHT ) = {9} over {60}]

∴ [eqn: a=30]([eqn: rmkm]/시)

21. [출제의도] 회전체의 부피를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

접선의 방정식은 [eqn: y=± LEFT ( x-1 RIGHT )]이고, 두 접점 [eqn: rmP], [eqn: rm Q]의 좌표는 각각 [eqn: LEFT ( 4,`3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,`-3 RIGHT )]이다.

이때, 점 [eqn: rm A], [eqn: rm P], [eqn: rm Q]를 지나는 원의 방정식은

[eqn: LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =9]이다.

[eqn: V= pi int _{2} ^{4} {LEFT ( {3} over {4} x ^{2} -3 RIGHT ) dx} +18pi = 26pi]

∴ [eqn: {V} over {pi } =26]

22. [출제의도] 정규분포를 이해하고 이를 활용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

사건 [eqn: A]가 일어나는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( `1200`,`` {1} over {4} ` RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rm E it (X)`=`300], [eqn: rm V it (X)`=225]

이때 시행횟수가 충분히 크므로 [eqn: X]는 근사적으로 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( 300`,``15 ^{2} ` RIGHT )]을 따른다.

[eqn: p=][eqn: rm P it ` LEFT ( X` <= `270 RIGHT ) `][eqn: = rm P it (Z <= -2)=0.023]

∴ [eqn: 1000p=23]

23. [출제의도] 확률의 곱셈정리와 조건부확률을 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: \A``]팀이 우승하였을 때 (가)에서 이겼을 확률은

[eqn: {{3} over {16}} over {1over 8 + 1over 16 + {1} over {16}} `=` {3} over {4} ``] ∴ [eqn: p`+`q`=`4`+`3`=`7``]

24. [출제의도] 공간도형의 성질을 이용하여 두 구의 중심 사이의 거리를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림과 같이 세 평면과 두 구의 평면 [eqn: pi] 위로의 정사영을 생각하자. 오른쪽 그림에서

[eqn: rm ANGLE OAD= ANGLE OBE=30 DEG]이므로 [eqn: rm bar{OD} = {sqrt {3}} over {3}], [eqn: rm bar{OE} = {2 sqrt {3}} over {3}]이다.

따라서 [eqn: rm bar{DE} = bar{BC} = {sqrt {3}} over {3}]이므로 [eqn: rm bar{AB} = {2 sqrt {21}} over {3}]이다.

[eqn: d= sqrt {1+ {28} over {3}} = sqrt {{31} over{3}}]이므로 [eqn: 3`d ^{``2} =31]이다.

25. [출제의도] 순열의 뜻을 이해하여 조건에 맞는 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

맨 위 가로줄에 모자를 거는 방법의 수는 [eqn: 4`!`]이다.

맨 위에 [eqn: rm A`B`C`D`]의 순서로 배열할 때 [eqn: \A`]의 아래에 [eqn: rm B`]가 오는 경우는 다음과 같이 [eqn: 3``]가지 경우가 있다.

맨 위	[eqn: \A`]	[eqn: \B`]	[eqn: \C`]	[eqn: \D`]
가운데	[eqn: \B`]	[eqn: \A`]	[eqn: \D`]	[eqn: \C`]
	[eqn: \B`]	[eqn: \C`]	[eqn: \D`]	[eqn: \A`]
	[eqn: \B`]	[eqn: \D`]	[eqn: \A`]	[eqn: \C`]

위의 경우 중에서

맨 위	[eqn: \A`]	[eqn: \B`]	[eqn: \C`]	[eqn: \D`]
가운데	[eqn: \B`]	[eqn: \A`]	[eqn: \D`]	[eqn: \C`]

인 경우 맨 아래 줄에 배열하는 방법이 [eqn: 4]가지이고, 나머지 경우는 각각 [eqn: 2]가지씩 있으므로 구하는 방법의 수는 [eqn: 4`!` TIMES `3` TIMES 8`=`576``]이다.

[미분과 적분]

26	③	27	①	28	②	29	④	30	[eqn: 6]

26. [출제의도] 삼각함수의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(주어진 식)[eqn: =][eqn: lim_x->0 {1- {1-cosx } over {x}} over {1+ {sinx} over {x}}][eqn: = 1-0 over 1+1 = 1over2]

27. [출제의도] 정적분을 이용하여 두 곡선 사이의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: int _{0} ^{e-1} {} LEFT { ln(x+1)-a`` RIGHT } dx`=0]  ∴ [eqn: a= 1 over e-1]

28. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm bar AB = it a]라 하면 [eqn: rm bar AE = { it a}over { cos LEFT ( 45^circ + theta RIGHT ) } = { root2 it a } over { cos theta -sin theta }]

[eqn: rm bar AD ={ it a }over { cos LEFT ( 45^circ - theta RIGHT ) } = { {root2 it a }over { cos theta + sin theta }]

[eqn: 2 rm sin^2 theta +sin theta -1 = 0]이므로 [eqn: sin theta = 1 over 2]

29. [출제의도] 미분과 적분을 이용하여 속도, 가속도, 운동거리를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: vec v = LEFT ( dx over dt , dy over dt RIGHT ) =LEFT ( {e ^{t} -e ^{-t}} over {2}, {e ^{t} +e ^{-t}} over {2} RIGHT )]

[eqn: t=1]일 때 [eqn: vec{v} CDOT vec{p}] [eqn: =` {`e ^{2} -`e ^{-2`}} over {2}][eqn: neq 0] (거짓)

ㄴ. [eqn: vec{a} = LEFT ( {d ^{2} x} over {dt ^{2`}}, {d ^{2} y} over {dt ^{2}} RIGHT ) = LEFT ( {e ^{t} +e ^{-t}} over {2} , {e ^{t} -e ^{-t}} over {2} RIGHT )][eqn: = vec p] (참)

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{1} {sqrt {LEFT ( {dx} over {dt} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {dy} over {dt} RIGHT ) ^{2}} dt}]

[eqn: =int _{0} ^{1} {sqrt {{e ^{2t} +e ^{-2t}} over {2}} dt][eqn: >= int _{0} ^{1} {1dt} =1] (참)

30. [출제의도] 미분을 이용하여 속력을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: t]초 후에 [eqn: rm P][eqn: (10 t + cos t ,`` sin t)]이고, 직선의 방정식은

[eqn: y = { sin t } over { cos t } (x- 10t )]이므로 점 [eqn: \ Q]의 [eqn: x``]좌표는

[eqn: x = 10 t + 2cot ``t]

∴ [eqn: dx over dt = 10 - 2cosec ^2 t]  ∴ [eqn: left[ dx over dt right]_{ t = 3 over 4 pi } = 6]

[확률과 통계]

26	④	27	①	28	③	29	②	30	[eqn: 13]

26. [출제의도] 줄기와 잎 그림을 이해하고 대푯값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a=8]이므로 중앙값은 [eqn: 26+28over 2 = 27]이다.

27. [출제의도] 독립시행의 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: k >= 4]이고, 이때 한 번의 시행에서 사건 [eqn: A``]가 일어날 확률은 [eqn: {1} over {2}]이므로 [eqn: ` _{6} rm C it _{2} ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} `=` {15} over {64} ``]

28. [출제의도] 배반사건과 독립사건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. (반례) 표본공간이 [eqn: S=][eqn: "{"1,`` 2,`` 3,`` 4"}"]일 때,

[eqn: A="{"1, 2"}"], [eqn: B="{"3"}"], [eqn: C="{"1, 4"}"]

ㄴ. (반례) 표본공간이 [eqn: S=][eqn: "{"1,`` 2,`` 3,`` 4"}"]일 때,

[eqn: A="{"1, 2"}"], [eqn: B="{"2, 3"}"], [eqn: C="{"3, 4"}"]

ㄷ. [eqn: A,~C]는 배반이므로 [eqn: A,~C] 는 종속이다. (참)

29. [출제의도] 모비율을 추정할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: p(1-p) over n = 0.25times0.75 over 300 = 0.025^2]에서 표본비율 [eqn: hat p]는 정규분포 [eqn: \ N left( rm 0.25 ,~ 0.025 ^2 right)]를 따른다. [eqn: alpha over 100 = beta]라 하면

[eqn: {rm P} left(hat p >= alpha over 100 right)=][eqn: rm P it left( hatp >= beta right) = rm P it left( Z>= {beta-0.25} over 0.025 right)]

[eqn: =0.5-0.4772=0.0228] [eqn: THEREFORE ``][eqn: alpha = 100 beta =30]

30. [출제의도] 이산확률변수의 평균을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm E( it X)=0 TIMES {1} over {4} +1 TIMES {1} over {3} +2 TIMES {5} over {18} +3 TIMES {1} over {9} +4 TIMES {1} over {36} = {4} over {3} ``]

[eqn: rm E( it 3X+9)=3{rm E} (X)+9 = 3 TIMES {4} over {3} +9=13`]

[이산수학]

26	②	27	④	28	⑤	29	①	30	[eqn: 36]

26. [출제의도] 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

빨간색, 파란색 구슬을 각각 [eqn: a], [eqn: b]개씩 택한다고 하면

[eqn: a=1], [eqn: b= 3]일 때 [eqn: 3],  [eqn: a=1], [eqn: b= 4]일 때 [eqn: 2]

[eqn: a=1], [eqn: b= 5]일 때 [eqn: 1],  [eqn: a=3], [eqn: b= 3]일 때 [eqn: 1]

따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: 3+2+1+1=7](가지)

27. [출제의도] 그래프와 인접행렬을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 그래프 [eqn: G]는 그림과 같으므로

평면그래프이다. (참)

ㄴ. 그래프 [eqn: G]의 변의 수가 [eqn: 7]이므로 [eqn: 3]개의 변을 추가해야한다. (거짓)

ㄷ. 구하는 합은 각 꼭짓점의 차수의 합과 같다. (참)

28. [출제의도] 생성수형도를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

내부의 변을 [eqn: 2]개 삭제하는 경우 : [eqn: 6] (개)

내부의 변을 [eqn: 1]개 삭제하는 경우 : [eqn: 16] (개)

내부의 변을 삭제하지 않는 경우 : [eqn: 8] (개)

∴ [eqn: 6+16+8=30] (개)

29. [출제의도] 선거에 대한 영향력을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A _{10} -A _{6} = {1} over {3} - {1} over {3} =0]

30. [출제의도] 평면그래프를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: LEFT { F _{n} RIGHT }] [eqn: :] [eqn: 9], [eqn: 12], [eqn: 15], [eqn: cdots]이므로 [eqn: F _{10} =9+9 TIMES 3=36]