2006 공군사관학교 시험 해설	언어 영역

정답 및 해설	수리 영역(문과)

수리 영역(문과)

1. ④	2. ②	3. ①	4. ②	5. ④

6. ⑤	7. ⑤	8. ①	9. ④	10. ②

11. ⑤	12. ③	13. ③	14. ④	15. ②

16. ⑤	17. ③	18. ③	19. ②	20. ⑤

21. ④	22. ⑤	23. ③	24. ①	25. 20

26. 37	27. 13	28. 33	29. 200	30. 72

1. 수열

정답 ④

수열 [eqn: left{ a_n right}]이 등차수열이므로 [eqn: a_7`]은 [eqn: a_6`], [eqn: a_8`]의 등차중항이다.

[eqn: a_6 +a_8 =2a_7]

∴ [eqn: a_6 -a_7 +a_8 =2a_7 -a_7 =a_7`]

∴ [eqn: a_7 =2007]

2. 수와 식

정답 ②

(주어진 식)

[eqn: = {left{(root10 +3)^{1 over 2} +(root10 -3)^{1 over 2} right}^2} over {left{(root10 +1)^{1 over 2} right}^2}]

[eqn: = {(root10 +3) +(root10 -3)+2left{(root10 +3)(root10 -3)right}^{1 over 2}} over {root10 +1}]

[eqn: = {2root10 +2⋅1^{1 over 2}} over {root10 +1}]

[eqn: = {2(root10 +1)} over {root10 +1}]

[eqn: = 2]

3. 확률

정답 ①

[eqn: \P(C`)][eqn: = \P(A∪B`)]

[eqn: = \P(A)+ \P(B`)- \P(A∩B`)]

[eqn: = 1 over 4 + 2 over 3 - 1 over 6]

[eqn: = 3+8-2 over 12]

[eqn: = 9 over 12]

[eqn: = 3 over 4]

[eqn: \P(B∣C`)][eqn: = {\P(B∩C`)} over {\P(C)} = {\P(B∩(A∪B`))} over {\P(C`)}]

[eqn: = {\P(B`)} over {\P(C`)} = {2 over 3} over {3 over 4}][eqn: = 8 over 9]

4. 지수와 로그

정답 ②

[eqn: (17.8)^n`]의 정수 부분이 9자리의 자연수가 되려면 [eqn: log(17.8)^n`]의 지표가 8이어야 한다.
[eqn: log(17.8)^n = n`log`17.8]

[eqn: =n log(10`×`1.78)]

[eqn: =n (log`10+log`1.78)]

[eqn: =n (1+0.25)]

[eqn: =1.25n = 5 over 4 n]

[eqn: 8≦ 5 over 4 n ＜9]

[eqn: 8`× 4 over 5 ≦ n ＜9`× 4 over 5]

[eqn: 32 over 5 ≦ n ＜ 36 over 5]

따라서 자연수 [eqn: n`]의 값은 7이다.

5. 수열의 극한

정답 ④

[eqn: a_n = SUM from k=1 to n ck = c SUM from k=1 to n k = c⋅ n(n+1) over 2]

[eqn: SUM from n=1 to inf 1 over a_n = SUM from n=1 to inf 2 over cn(n+1)]

[eqn: = 2 over c SUM from n=1 to inf left(1 over n - 1 over n+1 right)]

[eqn: = 2 over c lim from {n`→`inf} left{ left(1- 1 over 2 right) + left(1 over 2 - 1 over 3 right) +…]

[eqn: +left(1 over n-1 - 1 over n right) +left(1 over n - 1 over n+1 right) right}]

[eqn: = 2 over c lim from {n`→`inf} left(1- 1 over n+1 right)][eqn: = 2 over c]

따라서 [eqn: 2 over c = 1 over 2]이므로 [eqn: c=4`]이다.

6. 확률

정답 ⑤

X	0	1	2	3
P(X )	[eqn: 4 over 16]	[eqn: 6 over 16]	[eqn: 4 over 16]	[eqn: 2 over 16]

∴ [eqn: \E(X)=0`× 4 over 16 +1`× 6 over 16 +2`× 4 over 16 + 3`× 2 over 16]

[eqn: = 20 over 16 = 5 over 4]

7. 행렬

정답 ⑤

ㄱ. 거짓

[반례] [eqn: A= left(0 atop 0 1 atop 0 right)]이라 하면

[eqn: C_1 =A^2 = left(0 atop 0 1 atop 0 right)left(0 atop 0 1 atop 0 right) = left(0 atop 0 0 atop 0 right)]

따라서 [eqn: C_1 =O`]이지만 [eqn: A≠O`]이다.

ㄴ. 참

[eqn: C_2 =AB], [eqn: C_3 =BA], [eqn: C_4 =AB`]에서

[eqn: C_2 =C_3`]이면 [eqn: AB=BA`]이므로

[eqn: D_2 =C_2 C_3 =(AB`)(BA)=(AB`)(AB`)]

[eqn: =ABAB]

[eqn: D_3 =C_3 C_4 =(BA)(AB)=(AB`)(AB`)]

[eqn: =ABAB]

∴ [eqn: D_2 =D_3]

ㄷ. 참

[eqn: D_2 =ABBA=E`]이면

[eqn: (AB`)^-1 =BA], [eqn: (BA)^-1 =AB`]이므로

[eqn: D_3 =BAAB=(AB)^-1 AB=E`]

그러므로 항상 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

8. 확률분포와 통계적 추정

정답 ①

[eqn: X``]가 [eqn: rm N (600, ~144^2 )]을 따를 때 [eqn: bar X``]는 [eqn: rm N left (600, ~144^2 over 36 right )]을 따른다. 즉, [eqn: bar X``]는 [eqn: rm N (600, ~24^2 )]을 따른다.

∴ P[eqn: (576≦ bar X ≦636)]

[eqn: = \P left(576-600 over 24 ≦Z≦ 636-600 over 24 right)]

[eqn: = \P (-1 ≦Z≦ 1.5)=0.3413+0.4332]

[eqn: = 0.7745]

9. 확률분포와 통계적 추정

정답 ④

[eqn: 1 over 2 pi r^2 =1]에서 [eqn: r= root {2 over pi}]

[eqn: 1 over {root 2pi} = 1 over 2 root {2 over pi } = 1 over 2 r]

[eqn: x``]좌표가 [eqn: 1 over 2 r``]인 반원 위의 점을 [eqn: \A]라 하면 동경 [eqn: rm OA]가 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기 [eqn: theta``]는 [eqn: 1 over 3 pi]이다.

∴ P[eqn: left(X ≧ 1 over {root 2pi} right) = 1 over 2 r^2 theta- 1 over 4 r^2 `sin theta]

[eqn: = 1 over 3 - root3 over 4pi]

10. 행렬

정답 ②

ㄱ. 참

[eqn: A^2 -A-2E=O]

[eqn: A^2 =A+2E]

[eqn: (A+E`)^2 =A^2 +2A+E]

[eqn: =A+2E+2A+E]

[eqn: =3(A+E`)]

ㄴ. 참

[eqn: A^2 -A-2E=O`]에서 [eqn: A(A-E`)=2E`]이므로

[eqn: A^-1 = A-E over 2]

[eqn: AB=AC`]이면 [eqn: A^-1 AB` =A^-1 AC]

∴ [eqn: B=C]

ㄷ. 거짓

[eqn: A-E = 2A^-1]이므로

[eqn: 2A^-1 left(x atop y right) = left(0 atop 0 right)]

∴ [eqn: left(x atop y right) = 1 over 2 A left(0 atop 0 right)=left(0 atop 0 right)]

따라서 [eqn: x=y=0] 이외의 다른 해를 가질 수 없다.

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

11. 확률

정답 ⑤

갑이 당첨될 확률 P[eqn: (A)= 2 over 5]

을이 당첨될 확률

∙ 갑이 당첨됐을 경우

P[eqn: (A∩B`)= 2 over 5 × 1 over 4 = 1 over 10]

∙ 갑이 당첨되지 않았을 경우

P[eqn: (A^C ∩B`)= 3 over 5 × 2 over 4 = 3 over 10]

∴ P[eqn: (B`)= 1 over 10 + 3 over 10 = 2 over 5]

ㄱ. 참

[eqn: \P(A)= \P(B`)= 2 over 5]

ㄴ. 거짓

[eqn: \P(B`|A)= {\P(A∩B`)} over {\P(A)}= {1 over 10} over {2 over 5} = 1 over 4]

[eqn: \P(B`|A^C )= {\P(A^C ∩B`)} over {\P(A^C )}= {3 over 10} over {3 over 5} = 1 over 2]

∴ [eqn: \P(B`|A)＜ \P(B`|A^C `)]

ㄷ. 참

[eqn: \P(B`|A)= {\P(A∩B`)} over {\P(A`)}]

[eqn: \P(A|B`)= {\P(A∩B`)} over {\P(B)}]

[eqn: \P(A)= \P(B`)]이므로 [eqn: \P(B`|A)= \P(A|B`)]

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

12. 확률

정답 ③

(ⅰ) 빨간 공 2개, 노란 공 2개, 서로 다른 색의 공 2개의 순서일 때

[eqn: {`_3 \C_2```} over {`_7 \C_2```} × {`_4 \C_2```} over {`_5 \C_2```} × {`_1 \C_1 ×`_2 \C_1```} over {`_3 \C_2```} = 1 over 7 × 6 over 10 × 2 over 3 = 2 over 35]

(ⅱ) 노란 공 2개, 빨간 공 2개, 서로 다른 색의 공 2개의 순서일 때

[eqn: {`_4 \C_2```} over {`_7 \C_2```} × {`_3 \C_2```} over {`_5 \C_2```} × {`_2 \C_1`×`_1 \C_1```} over {`_3 \C_2```} = 2 over 7 × 3 over 10 × 2 over 3 = 2 over 35]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: 2 over 35 + 2 over 35 = 4 over 35]

13. 수열

정답 ③

[eqn: B=A^-1 = 1 over 2 left( { 2} atop -1 0 atop 1 right)]

[eqn: B^2 = 1 over 2 left( { 2} atop -1 0 atop 1 right) cdot 1 over 2 left( { 2} atop -1 0 atop 1 right) = 1 over 2^2 left( { 2^2} atop -3 0 atop 1 right)]

[eqn: B^3 = 1 over 2^2 left( { 2^2} atop -3 0 atop 1 right) cdot 1 over 2 left( { 2} atop -1 0 atop 1 right) = 1 over 2^3 left( { 2^3} atop -7 0 atop 1 right)]

[eqn: ⋮]

[eqn: B^n = 1 over 2^n left( {2^n} atop {-2^n +1} 0 atop 1 right)]

[eqn: a_n = {-2^n +1} over 2^n]

∴ [eqn: SUM from k=1 to 10 a_k = - SUM from k=1 to 10 1 + SUM from k=1 to 10 1 over 2^k]

[eqn: =-10 + {1 over 2 left(1- 1 over 2^10 right)} over {1- 1 over 2}]

[eqn: =-10 + 1 - 1 over 2^10]

[eqn: =-9 - 1 over 2^10]

14. 수열의 극한

정답 ④

모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: {x} over {2+x} < sqrt {1+x} -1< {x} over {2}]가 성립한다.

자연수 [eqn: k,~n`]([eqn: k`≦`n`])에 대하여 [eqn: x= {k} over {n ^{2}} ``]를 위 등식에 대입하여 정리하면

[eqn: {k} over {2n ^{2} +k}` < sqrt {1+ {k} over {n ^{2}}} -1< {k} over {2n ^{2}} ``]

이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {k} over {2n ^{2} +k} <S _{n} < {1} over {2n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} k``]

이다. 이 때,

[eqn: lim from {n`→`inf} 1 over 2n^2 SUM from k=1 to n k ``= lim from {n`→`inf} 1 over 2n^2 × n(n+1) over 2]

[eqn: = lim from {n`→`inf} {n^2 +n} over 4n^2 = 1 over 4]

이고[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT { {1} over {2n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} k- sum _{k=1} ^{n} {k} over {2n ^{2} +k} RIGHT }]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} {k ^{`2}} over {2n ^{2} (2n ^{2} +k)}]

[eqn: ≦lim from n->inf sum _{k=1} ^{n} {k ^{`2}} over {4n ^{4}}]

[eqn: = lim from {n`→`inf} 1 over 4n^4 × {n(n+1)(2n+1)} over 6 =0]

이므로  [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n} =``][eqn: 1 over 4 - 0 = 1 over 4]이다.

15. 확률분포와 통계적 추정

정답 ②

[eqn: X``]가 [eqn: rm N (5, ~3^2 )]을 따르므로 [eqn: \P(|Z|≦1)=0.6826]

∴ [eqn: \P(0≦Z≦1)= 1 over 2 ×0.6826=0.3413]

∴ [eqn: \P(Y≧17)= \P(2X+1≧17)]

[eqn: = \P(X≧8)]

[eqn: = \P(Z≧1)]

[eqn: = 0.5- \P(0≦Z≦1)]

[eqn: =0.5-0.3413]

[eqn: =0.1587]

16. 수열

정답 ⑤

주어진 네 부등식을 모두 만족하는 영역은 다음과 같다. (경계 불포함)

이 영역에 있는 점 중에서 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 자연수인 점의 개수는 [eqn: N(k)=k^2 `]이다.

∴ [eqn: SUM from k=1 to 10 N(k) = SUM from k=1 to 10 k^2 = 385`]

17. 수열

정답 ③

가장 큰 수의 수열 3, 5, 8, 12, …

[eqn: a_1 =3]

계차수열 2, 3, 4, 5, …

[eqn: b_n =n+1]

[eqn: a_n =a_1 + SUM from k=1 to n-1 b_k]

[eqn: =a_1 + SUM from k=1 to n-1 (k+1)]

[eqn: = a_1 + n(n-1) over 2 +n-1]

∴ [eqn: a_38 = 3+ 38×37 over 2 +38-1=743]

18. 수열

정답 ③

[eqn: f`(1)=f`(f`(4))=f`(2)=f`(f`(5))=f`(3)]

[eqn: =f`(f`(6))=f`(4)=2]

[eqn: f`(1)=f`(2)=f`(3)=2]

[eqn: SUM from k=1 to 20 f`(k)= SUM from k=1 to 3 2+ SUM from k=4 to 20 (k-2) =6+SUM from k=1 to 17 (k+1)]

[eqn: =6+ 17×18 over 2 +17=176]

19. 수열

정답 ②

제 [eqn: n`]행의 수의 개수는 [eqn: 2^(n-1)]개이므로 10행의 수의 개수는 [eqn: 2^9]개이다.

10행의 맨 왼쪽의 수는 [eqn: 2 cdot 10-1=19]이므로 ([eqn: 2^8 +1])번째 수는 17이고 그 위의 수는 [eqn: 17-2 = 15]이므로 ([eqn: 2^8 +2])번째 수는 [eqn: 1 over 15]이다.

20. 수열

정답 ⑤

[eqn: a=a], [eqn: b=ar], [eqn: c=ar^2]

ㄱ. 참

[eqn: a+c=a+ar^2 ≧2root{a^2 r^2 `}=2ar=2b]

ㄴ. 참

[eqn: 1 over {f`(5)} =]log5[eqn: a], [eqn: 1 over {g`(5)} =]log5[eqn: ar],

[eqn: 1 over {h(5)} =]log5[eqn: ar^2]

log5[eqn: ar-]log5[eqn: a =]log5[eqn: r]

log5[eqn: ar^2 -]log5[eqn: ar =]log5[eqn: r]

따라서 공차가 log5[eqn: r`]인 등차수열이다.

ㄷ. 참

[eqn: f`(x_1 ) = g(x_2 )=h(x_3 )=5]

[eqn: x_1 =a^5], [eqn: x_2 =a^5 r^5], [eqn: x_3 =a^5 r^10]

따라서 첫째항은 [eqn: a^5]이고 공비가 [eqn: r^5 `]인 등비수열이다.

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

21. 수열의 극한

정답 ④

[eqn: n`]이 한없이 커지게 되면 [eqn: \P_n`]과 [eqn: \Q_n`]은 선분 AB 위에 놓이게 된다.

[eqn: \P_n (t`], [eqn: 1-t`)]이라 하면 [eqn: \Q_n`]은 [eqn: bar \BP_n`]의 중점이므로

[eqn: \Q_n left(t+1 over 2], [eqn: 1-t over 2 right)]

[eqn: \P_n+1 left(t+1 over 4], [eqn: 3-t over 4 right)]

[eqn: lim from {n`→`inf} \P_n ``= lim from {n`→`inf} \P_n+1]이므로 [eqn: t= t+1 over 4]

[eqn: t+1=4t]

∴ [eqn: t = 1 over 3], [eqn: 1-t= 2 over 3]

∴ [eqn: \P_n left(1 over 3], [eqn: 2 over 3 right)]

22. 순열과 조합

정답 ⑤

[eqn: A= "{" 1,~2,~3,~4,~6,~12 "}"]

(i) 두 수의 곱이 6인 경우 (2, 3), (1, 6)

[eqn: `_2 \P_2 `×`2`×`2=2`×`2`×`2=8]가지

(ii) 두 수의 곱이 12인 경우 (1, 12), (2, 6), (3, 4)

[eqn: `_3 \P_2 `×`2`×`2=6`×`2`×`2=24]가지

(iii) 두 수의 곱이 24인 경우 (2, 12), (4, 6)

[eqn: `_2 \P_2 `×`2`×`2=2`×`2`×`2=8]가지

∴ [eqn: 8+24+8=40`]가지

23. 지수와 로그

정답 ③

[eqn: n(x_1 ) = 1 over 2 n_0]에서 [eqn: log n(x_1 ) =log n_0 - log`2]이므로

[eqn: log n_0 - kx_1 =log n_0 - log`2]

∴ [eqn: kx_1 =0.3]

[eqn: n(x_2 ) = 1 over 1000 n_0]에서 [eqn: log n(x_2 ) =log n_0 - 3]이므로

[eqn: log n_0 - kx_2 =log n_0 - 3]

∴ [eqn: kx_2 =3]

∴ [eqn: x_2 over x_1 = {kx_2} over {kx_1} = 3 over 0.3 = 10]

24. 수열의 극한

정답 ①

[eqn: n`]번째 도형에서 작은 원 [eqn: 1]개의 넓이는 [eqn: left (1 over 2^n right )^2 pi= 1 over 4^n pi]

[eqn: n`]번째 도형에서 작은 원의 개수는 [eqn: 2^n -1]

[eqn: S_n = {2^n -1} over 4^n pi][eqn: = left( 1 over 2^n - 1 over 4^n right) pi]

∴ [eqn: SUM from n=1 to inf S_n = left({1 over 2} over {1- 1 over 2} - {1 over 4} over {1- 1 over 4} right) pi]

[eqn: = left( 1- 1 over 3 right) pi = 2 over 3 pi]

25. 수열의 극한

정답 20

(i) [eqn: n=1`]일 경우

[eqn: root1+3 =2]

[eqn: a_1 =2-2=0]

(ii) [eqn: n=2`]일 경우

[eqn: root4+6 =3.×××], [eqn: a_2 = root10 -3]

(iii) [eqn: n=k`]일 경우

[eqn: a_k = root{k^2 +3k}-(k+1)]

[eqn: 10 over a_k][eqn: ={10"{"root{k^2 +3k}+(k+1)"}"} over {"{"root{k^2 +3k}-(k+1)"}{"root{k^2 +3k}+(k+1)"}"}]

[eqn: ={10(root{k^2 +3k}+k+1)} over {k^2 +3k-(k^2 +2k+1)}]

[eqn: ={10(root{k^2 +3k}+k+1)} over k-1]

[eqn: lim from {n`→`inf } 10 over a_n = lim from {n`→`inf} {10 left( root {n^2 + 3n} +n+1 right)} over n-1]

[eqn: = lim from {n`→`inf} {10 left( root {1+ 3 over n} +1+ 1 over n right)} over {1- 1 over n }]

[eqn: =10 (1+1)=20]

26. 수열

정답 37

(i) [eqn: 1≦n＜4]일 때

[eqn: left[ n over 4 right] =0]이므로 [eqn: SUM from n=1 to 3 n=6]

(ii) [eqn: 4≦n＜8]일 때

[eqn: left[ n over 4 right] =1]이므로 [eqn: SUM from n=4 to 7 (n-4)=SUM from n=1 to 4 (n-1) =6]

(iii) [eqn: 8≦n＜12]일 때

[eqn: left[ n over 4 right] =2]이므로 [eqn: SUM from n=8 to 11 (n-8)=SUM from n=1 to 4 (n-1) =6]

이런 식으로 계속하게 되면

[eqn: 12≦n＜16]일 때, [eqn: 16≦n＜20]일 때, [eqn: 20≦n＜24]일 때도 모두 [eqn: 6]이고, [eqn: 24≦n≦25]일 때 [eqn: 0+1=1]이므로

[eqn: SUM from n=1 to 25 a_n =6`×`6+1=37]

27. 행렬

정답 13

[eqn: A^2 =left({ 1} atop -1 { 3} atop -2 right)left({ 1} atop -1 { 3} atop -2 right)=left( -2 atop { 1} -3 atop { 1} right)]

[eqn: A^3 =left( -2 atop { 1} -3 atop { 1} right) left({ 1} atop -1 { 3} atop -2 right)=left(1 atop 0 0 atop 1 right)=E]

[eqn: A^11 left( x atop y right) =(A^3 )^3 cdot A^2 left( x atop y right) =A^2 left( x atop y right)]

[eqn: = left(-2 atop { 1} -3 atop { 1}right) left(x atop y right)][eqn: = left(18 atop 13 right)]

∴ [eqn: x+y=13]

28. 확률

정답 33

전체 학생의 수를 [eqn: x`]라 하면

처음 유럽을 선택한 학생의 수는 [eqn: 0.3x`]

처음 미국을 선택한 학생의 수는 [eqn: 0.5x`]

처음 아시아를 선택한 학생의 수는 [eqn: 0.2x`]

유럽에서 변경한 학생의 수는 [eqn: 0.3x`×`0.15=0.045x]

미국에서 변경한 학생의 수는 [eqn: 0.5x`×`0.05=0.025x]

아시아에서 변경한 학생의 수는 [eqn: 0.2x`×`0.35=0.07x]

지역을 변경한 총 학생의 수는 [eqn: 0.14x`]

미국에서 변경한 학생의 수

지역을 변경한 총 학생의 수

[eqn: = 0.025x over 0.14x = 25 over 140 = 5 over 28]

∴ [eqn: p+q=28+5=33]

29. 지수와 로그

정답 200

[eqn: v(0)=a=1000]

[eqn: v left(1 over 100 right) =1000 ⋅b=50]에서 [eqn: b= 1 over 20]

[eqn: 100root5 =1000⋅b^100p]에서 [eqn: b^100p = root5 over 10]

[eqn: 100p log 1 over 20 = log root{1 over 20 }]에서 [eqn: 100p = 1 over 2]

∴ [eqn: 1 over p =200]

30. 순열과 조합

정답 72

㈎ 일대일 대응이다.

㈏ 정의역의 1은 공역의 1과 대응되지 않는다.

㈐ 정의역의 1은 공역의 2와 대응되지 않는다.

㈏, ㈐에서 1은 3, 4, 5로만 갈 수 있고, 나머지는 순열로 계산하면 [eqn: 3`×`4! =72]이다.

정답 및 해설	수리 영역(자연)

수리 영역(자연)

1. ④	2. ②	3. ③	4. ②	5. ①

6. ⑤	7. ⑤	8. ③	9. ④	10. ②

11. ⑤	12. ⑤	13. ③	14. ④	15. ③

16. ④	17. ①	18. ②	19. ②	20. ⑤

21. ④	22. ②	23. ③	24. ①	25. 16

26. 37	27. 30	28. 26	29. 200	30. 72

1. 수열

정답 ④

수열 [eqn: left{ a_n right}]이 등차수열이므로 [eqn: a_7`]은 [eqn: a_6`], [eqn: a_8`]의 등차중항이다.

[eqn: a_6 +a_8 =2a_7]

∴ [eqn: a_6 -a_7 +a_8 =2a_7 -a_7 =a_7`]

∴ [eqn: a_7 =2007]

2. 수와 식

정답 ②

(주어진 식)

[eqn: = {left{(root10 +3)^{1 over 2} +(root10 -3)^{1 over 2} right}^2} over {left{(root10 +1)^{1 over 2} right}^2}]

[eqn: = {(root10 +3) +(root10 -3)+2left{(root10 +3)(root10 -3)right}^{1 over 2}} over {root10 +1}]

[eqn: = {2root10 +2⋅1^{1 over 2}} over {root10 +1}]

[eqn: = {2(root10 +1)} over {root10 +1}]

[eqn: = 2]

3. 다항함수의 미분법

정답 ③

[eqn: g`(x)=x^4 +2kx^2 +k^2]

[eqn: g`'(x)=4x^3 +4kx]

[eqn: g`'(1)=4+4k=16]

∴ [eqn: k=3]

4. 함수의 극한과 연속성

정답 ②

[eqn: alpha^3 +1=alpha]에서 [eqn: alpha^3 -alpha+1=0]

[eqn: f`(alpha)=alpha^3 -alpha+1]이라 하면

[eqn: f`(-2)=(-2)^3 -(-2)+1=-5]

[eqn: f`(-1)=(-1)^3 -(-1)+1=1]

이므로 중간값 정리에 의하여 [eqn: f`(alpha)=0]을 만족하는 [eqn: alpha``]가 구간 (-2, -1)에서 존재한다.

5. 방정식과 부등식

정답 ①

[eqn: f`(x)=a(x-1)(x-3)]

[eqn: f`(x-2)=a(x-3)(x-5)]

[eqn: {f`(x-2)} over {f`(x)} = {(x-3)(x-5)} over {(x-1)(x-3)} ≦0]

[eqn: (x-1)(x-3)^2 (x-5)≦0], [eqn: x≠1], [eqn: x≠3]

∴ [eqn: 1<x≦5``(x≠3)]

∴ [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=4] 또는 [eqn: x=5]

따라서 [eqn: x``]의 값의 합은 [eqn: 2+4+5=11]이다.

6. 벡터

정답 ⑤

점 [eqn: \A]를 원점으로 하고 직선 [eqn: \AB]를 [eqn: x``]축으로 하는 좌표평면을 생각하면

[eqn: vec \AC ⋅vec \AD = left ( 1 over 2 , ~root 3 over 2 right ) cdot left ( 1+ root 3 over 2 , ~1 over 2 right )]

[eqn: = 1 over 2 + root 3 over 4 + root 3 over 4]

[eqn: = 1 over 2 + root 3 over 2][eqn: = {1 + root 3} over 2]

7. 행렬

정답 ⑤

ㄱ. 거짓

[반례] [eqn: A= left(0 atop 0 1 atop 0 right)]이라 하면

[eqn: C_1 =A^2 = left(0 atop 0 1 atop 0 right)left(0 atop 0 1 atop 0 right) = left(0 atop 0 0 atop 0 right)]

따라서 [eqn: C_1 =O`]이지만 [eqn: A≠O`]이다.

ㄴ. 참

[eqn: C_2 =AB], [eqn: C_3 =BA], [eqn: C_4 =AB`]에서

[eqn: C_2 =C_3`]이면 [eqn: AB=BA`]이므로

[eqn: D_2 =C_2 C_3 =(AB`)(BA)=(AB`)(AB`)]

[eqn: =ABAB]

[eqn: D_3 =C_3 C_4 =(BA)(AB)=(AB`)(AB`)]

[eqn: =ABAB]

∴ [eqn: D_2 =D_3]

ㄷ. 참

[eqn: D_2 =ABBA=E`]이면

[eqn: (AB`)^-1 =BA], [eqn: (BA)^-1 =AB`]이므로

[eqn: D_3 =BAAB=(AB)^-1 AB=E`]

그러므로 항상 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

8. 함수의 극한과 연속성

정답 ③

ㄱ. [eqn: -1≦sin 1 over x ≦1]이므로 [eqn: lim from {x`→`0} left (x^2 ``sin 1 over x right ) =0]이다.

ㄴ. 유리수인 경우 (좌극한)=(우극한)=0

ㄷ. (좌극한)=0, (우극한)=1

그러므로 [eqn: lim from {x`→`0} f`` (x)]의 값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄴ이다.

9. 확률분포와 통계적 추정

정답 ④

[eqn: 1 over 2 pi r^2 =1]에서 [eqn: r= root {2 over pi}]

[eqn: 1 over {root 2pi} = 1 over 2 root {2 over pi } = 1 over 2 r]

[eqn: x``]좌표가 [eqn: 1 over 2 r``]인 반원 위의 점을 [eqn: \A]라 하면 동경 [eqn: rm OA]가 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기 [eqn: theta``]는 [eqn: 1 over 3 pi]이다.

∴ P[eqn: left(X ≧ 1 over {root 2pi} right) = 1 over 2 r^2 theta- 1 over 4 r^2 `sin theta]

[eqn: = 1 over 3 - root3 over 4pi]

10. 다항함수의 미분법

정답 ②

[eqn: f`(1)+f`(1)+12=0]

∴ [eqn: f`(1)=-6]

[eqn: lim from {x`→`1} {f`(x^2 ) +f`(x)+12} over x-1]

[eqn: =lim from {x`→`1} left{ {f`(x^2 )+6} over {x-1} + {f`(x)+6} over x-1 right}]

[eqn: =lim from {x`→`1} left{ {"{"f`(x^2 )-f`(1)"}"(x+1)} over {(x-1)(x+1)} + {f`(x)-f`(1)} over x-1 right}]

[eqn: =lim from {x`→`1} left{ {"{"f`(x^2 )-f`(1)"}"(x+1)} over {x^2 -1} + {f`(x)-f`(1)} over x-1 right}]

[eqn: =2f`'(1)+f`'(1)]

[eqn: =3f`'(1)=12]

∴ [eqn: f`'(1)=4]

따라서 접선의 방정식이 [eqn: y=4(x-1)-6=4x-10]이므로 [eqn: y``]절편은 [eqn: -10]이다.

11. 확률

정답 ⑤

갑이 당첨될 확률 P[eqn: (A)= 2 over 5]

을이 당첨될 확률

∙ 갑이 당첨됐을 경우

P[eqn: (A∩B`)= 2 over 5 × 1 over 4 = 1 over 10]

∙ 갑이 당첨되지 않았을 경우

P[eqn: (A^C ∩B`)= 3 over 5 × 2 over 4 = 3 over 10]

∴ P[eqn: (B`)= 1 over 10 + 3 over 10 = 2 over 5]

ㄱ. 참

[eqn: \P(A)= \P(B`)= 2 over 5]

ㄴ. 거짓

[eqn: \P(B`|A)= {\P(A∩B`)} over {\P(A)}= {1 over 10} over {2 over 5} = 1 over 4]

[eqn: \P(B`|A^C )= {\P(A^C ∩B`)} over {\P(A^C )}= {3 over 10} over {3 over 5} = 1 over 2]

∴ [eqn: \P(B`|A)＜ \P(B`|A^C `)]

ㄷ. 참

[eqn: \P(B`|A)= {\P(A∩B`)} over {\P(A`)}]

[eqn: \P(A|B`)= {\P(A∩B`)} over {\P(B)}]

[eqn: \P(A)= \P(B`)]이므로 [eqn: \P(B`|A)= \P(A|B`)]

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

12. 벡터

정답 ⑤

[eqn: rm ∠POQ = theta``]라 할 때

ㄱ. 참

[eqn: |vec \OP + vec \OQ | = root{1^2 +1^2 -2cos(pi - theta)}]

[eqn: = root{1^2 +1^2 +2cos theta} ≧root2]

ㄴ. 참

[eqn: |vec \OP - vec \OQ | = root{1^2 +1^2 -2cos theta`} ≦root2]

ㄷ. 참

[eqn: vec \OP ⋅ vec \OQ = cos theta `≦1]

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

13. 수열

정답 ③

[eqn: B=A^-1 = 1 over 2 left( { 2} atop -1 0 atop 1 right)]

[eqn: B^2 = 1 over 2 left( { 2} atop -1 0 atop 1 right) cdot 1 over 2 left( { 2} atop -1 0 atop 1 right) = 1 over 2^2 left( { 2^2} atop -3 0 atop 1 right)]

[eqn: B^3 = 1 over 2^2 left( { 2^2} atop -3 0 atop 1 right) cdot 1 over 2 left( { 2} atop -1 0 atop 1 right) = 1 over 2^3 left( { 2^3} atop -7 0 atop 1 right)]

[eqn: ⋮]

[eqn: B^n = 1 over 2^n left( {2^n} atop {-2^n +1} 0 atop 1 right)]

[eqn: a_n = {-2^n +1} over 2^n]

∴ [eqn: SUM from k=1 to 10 a_k = - SUM from k=1 to 10 1 + SUM from k=1 to 10 1 over 2^k][eqn: =-10 + {1 over 2 left(1- 1 over 2^10 right)} over {1- 1 over 2}]

[eqn: =-10 + 1 - 1 over 2^10]

[eqn: =-9 - 1 over 2^10]

14. 수열의 극한

정답 ④

모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: {x} over {2+x} < sqrt {1+x} -1< {x} over {2}]가 성립한다.

자연수 [eqn: k,~n`]([eqn: k`≦`n`])에 대하여 [eqn: x= {k} over {n ^{2}} ``]를 위 등식에 대입하여 정리하면

[eqn: {k} over {2n ^{2} +k}` < sqrt {1+ {k} over {n ^{2}}} -1< {k} over {2n ^{2}} ``]

이므로 [eqn: sum _{k=1} ^{n} {k} over {2n ^{2} +k} <S _{n} < {1} over {2n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} k``]

이다. 이 때,

[eqn: lim from {n`→`inf} 1 over 2n^2 SUM from k=1 to n k ``= lim from {n`→`inf} 1 over 2n^2 × n(n+1) over 2]

[eqn: = lim from {n`→`inf} {n^2 +n} over 4n^2 = 1 over 4]

이고[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT { {1} over {2n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} k- sum _{k=1} ^{n} {k} over {2n ^{2} +k} RIGHT }]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} {k ^{`2}} over {2n ^{2} (2n ^{2} +k)}]

[eqn: ≦lim from n->inf sum _{k=1} ^{n} {k ^{`2}} over {4n ^{4}}]

[eqn: = lim from {n`→`inf} 1 over 4n^4 × {n(n+1)(2n+1)} over 6 =0]

이므로  [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n} =``][eqn: 1 over 4 - 0 = 1 over 4]이다.

15. 다항함수의 적분법

정답 ③

ㄱ. 참

[eqn: f`(x)]는 [eqn: g`(x)]의 도함수이므로 (+)에서 (-)부호로 바뀌는 곳이 극대값이다.

따라서 [eqn: x=1]과 [eqn: x=5]에서 극대값을 갖는다.

ㄴ. 거짓

[eqn: g`(x)]는 [eqn: x=1]에서 극대값을 갖는다.

ㄷ. 참

[eqn: g`(1)- left| int from 1 to 3 f`(t`)dt` right| + left| int from 3 to 5 f`(t`)dt` right|]

[eqn: =int from 0 to 1 f`(t`)dt + int from 1 to 3 f`(t`)dt + int from 3 to 5 f`(t`)dt]

[eqn: =int from 0 to 5 f`(t`)dt =g`(5)]

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

16. 공간도형과 공간좌표

정답 ④

[eqn: \P(1], [eqn: p], [eqn: 0)]이라 하면

직선 [eqn: \AP]의 방정식은 [eqn: x over 1 = y over p = z-1 over -1], 평면의 방정식은 [eqn: y=z]이므로 직선의 방정식과 평면의 방정식을 연립하여 풀면 [eqn: x= 1 over p+1], [eqn: y= p over p+1], [eqn: z= p over p+1]

[eqn: \P`]가 처음 [eqn: \B`]에 있을 때

[eqn: rm Q=B(1], 0, 0)

[eqn: y`]축의 양의 방향으로 한없이 움직이므로 [eqn: p`→`inf]이다.

[eqn: \Q left( 1 over p+1], [eqn: p over p+1], [eqn: p over p+1 right)] 가 (0, 1, 1)로 수렴하므로

[eqn: \Q`]의 자취의 길이는 [eqn: root{(-1)^2 +1^2 +1^2 `} =root3]이다.

17. 이차곡선

정답 ①

쌍곡선의 접선의 방정식이 [eqn: ax-by=1]이므로

[eqn: y=0]일 때, [eqn: x= 1 over a]

∴ [eqn: bar \OA = 1 over a]

또한 점근선의 방정식이 [eqn: y=x`]이므로

[eqn: ax-bx=1]에서 [eqn: (a-b)x=1]

∴ [eqn: \B left( 1 over a-b], [eqn: 1 over a-b right)]

[eqn: \P (a,~b)]가 쌍곡선 위의 점이므로

[eqn: a^2 -b^2 =1]에서 [eqn: b^2 =a^2 -1]

∴ [eqn: b = root { a^2 -1}`` (∵``b>0)]

[eqn: S(a)= 1 over 2 × 1 over a × 1 over a-b}]

[eqn: = 1 over 2 × 1 over a × 1 over {a-root{a^2 -1}}]

[eqn: = {a+root{a^2 -1}} over 2a]

∴ [eqn: lim from {a`→`inf} {a+root{a^2 -1}} over 2a = lim from {a`→`inf} {1+root{1 - 1 over a^2 }} over 2]

[eqn: = 1+1 over 2]

[eqn: =1]

18. 이차곡선

정답 ②

[eqn: bar \CP - bar \AP =( bar \CP + bar \PB )-(bar \AP + bar \PB )]

[eqn: rm =( bar AB + bar BC + bar CD ) - ( bar AB + bar BC )]

[eqn: rm = bar CD = bar AB]

[eqn: = 8]

19. 수열

정답 ②

제 [eqn: n`]행의 수의 개수는 [eqn: 2^(n-1)]개이므로 10행의 수의 개수는 [eqn: 2^9]개이다.

10행의 맨 왼쪽의 수는 [eqn: 2 cdot 10-1=19]이므로 ([eqn: 2^8 +1])번째 수는 17이고 그 위의 수는 [eqn: 17-2 = 15]이므로 ([eqn: 2^8 +2])번째 수는 [eqn: 1 over 15]이다.

20. 수열

정답 ⑤

[eqn: a=a], [eqn: b=ar], [eqn: c=ar^2]

ㄱ. 참

[eqn: a+c=a+ar^2]

[eqn: ≧2root{a^2 r^2 `}]

[eqn: =2ar=2b]

ㄴ. 참

[eqn: 1 over {f`(5)} =]log5[eqn: a], [eqn: 1 over {g`(5)} =]log5[eqn: ar],

[eqn: 1 over {h(5)} =]log5[eqn: ar^2]

log5[eqn: ar-]log5[eqn: a =]log5[eqn: r]

log5[eqn: ar^2 -]log5[eqn: ar =]log5[eqn: r]

따라서 공차가 log5[eqn: r`]인 등차수열이다.

ㄷ. 참

[eqn: f`(x_1 ) = g(x_2 )=h(x_3 )=5]

[eqn: x_1 =a^5], [eqn: x_2 =a^5 r^5], [eqn: x_3 =a^5 r^10]

따라서 첫째항은 [eqn: a^5]이고 공비가 [eqn: r^5 `]인 등비수열이다.

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

21. 수열의 극한

정답 ④

[eqn: n`]이 한없이 커지게 되면 [eqn: \P_n`]과 [eqn: \Q_n`]은 선분 AB 위에 놓이게 된다.

[eqn: \P_n (t`], [eqn: 1-t`)]이라 하면 [eqn: \Q_n`]은 [eqn: bar \BP_n`]의 중점이므로

[eqn: \Q_n left(t+1 over 2], [eqn: 1-t over 2 right)]

[eqn: \P_n+1 left(t+1 over 4], [eqn: 3-t over 4 right)]

[eqn: lim from {n`→`inf} \P_n ``= lim from {n`→`inf} \P_n+1]이므로 [eqn: t= t+1 over 4]

[eqn: t+1=4t]

∴ [eqn: t = 1 over 3], [eqn: 1-t= 2 over 3]

∴ [eqn: \P_n left(1 over 3], [eqn: 2 over 3 right)]

22. 공간도형과 공간좌표

정답 ②

(i) 태양광선과 밑면이 접하는 쪽의 반원의 정사영의 넓이는 [eqn: 6^2 pi `× 1 over 2 = 18 pi]

(ii) 태양광선과 구면이 접하는 쪽의 나머지 부분의 정사영의 넓이는 [eqn: 6^2 pi `× 1 over 2 × 1 over cos30° =12root3 pi]

(i), (ii)에서 [eqn: 18pi +12 root 3 pi=6(3+2root3 )pi]

23. 지수와 로그

정답 ③

[eqn: n(x_1 ) = 1 over 2 n_0]에서 [eqn: log n(x_1 ) =log n_0 - log`2]이므로

[eqn: log n_0 - kx_1 =log n_0 - log`2]

∴ [eqn: kx_1 =0.3]

[eqn: n(x_2 ) = 1 over 1000 n_0]에서 [eqn: log n(x_2 ) =log n_0 - 3]이므로

[eqn: log n_0 - kx_2 =log n_0 - 3]

∴ [eqn: kx_2 =3]

∴ [eqn: x_2 over x_1 = {kx_2} over {kx_1} = 3 over 0.3 = 10]

24. 수열의 극한

정답 ①

[eqn: n`]번째 도형에서 작은 원 [eqn: 1]개의 넓이는 [eqn: left (1 over 2^n right )^2 pi= 1 over 4^n pi]

[eqn: n`]번째 도형에서 작은 원의 개수는 [eqn: 2^n -1]

[eqn: S_n = {2^n -1} over 4^n pi][eqn: = left( 1 over 2^n - 1 over 4^n right) pi]

∴ [eqn: SUM from n=1 to inf S_n = left({1 over 2} over {1- 1 over 2} - {1 over 4} over {1- 1 over 4} right) pi]

[eqn: = left( 1- 1 over 3 right) pi = 2 over 3 pi]

25. 다항함수의 적분법

정답 16

[eqn: f`'(x)=-12(x-a)-12x=-24x+12a]

[eqn: f`'(0)+f`'(2)=12a-48+12a]

[eqn: =24a-48=0]

∴ [eqn: a=2]

[eqn: int from 0 to a f`(x)dx = int from 0 to 2 "{"-12x`(x-2)"}"dx]

[eqn: = int from 0 to 2 (-12x^2 +24x)dx]

[eqn: =[-4x^3 +12x^2 ]_0^2]

[eqn: =-32+48]=16

26. 수열

정답 37

(i) [eqn: 1≦n＜4]일 때 [eqn: left[ n over 4 right] =0]이므로

[eqn: SUM from n=1 to 3 n=6]

(ii) [eqn: 4≦n＜8]일 때 [eqn: left[ n over 4 right] =1]이므로

[eqn: SUM from n=4 to 7 (n-4)=SUM from n=1 to 4 (n-1) =6]

(iii) [eqn: 8≦n＜12]일 때 [eqn: left[ n over 4 right] =2]이므로

[eqn: SUM from n=8 to 11 (n-8)=SUM from n=1 to 4 (n-1) =6]

이런 식으로 계속하게 되면

[eqn: 12≦n＜16]일 때, [eqn: 16≦n＜20]일 때, [eqn: 20≦n＜24]일 때도 모두 [eqn: 6]이고, [eqn: 24≦n≦25]일 때 [eqn: 0+1=1]이므로

[eqn: SUM from n=1 to 25 a_n =6`×`6+1=37]

27. 공간도형과 공간좌표

정답 30

[eqn: \D_1 =(1], 2, 5)

[eqn: \D_2 =(1], 4, 5)

[eqn: \D_n =left (1, ~4+1+ 1 over 2 + 1 over 2^2 +… + 1 over 2^n , ~5 right)]

[eqn: lim from {n`→`inf} \D_n = left(1, ~5+ {1 over 2 } over {1- 1 over 2} ,~5 right) = (1,~6,~5)]

∴ [eqn: abc=30]

28. 다항함수의 미분법

정답 26

㈎ [eqn: f`(1)=-1], [eqn: f`'(1)=0]

㈏ [eqn: f``(-1)=1], [eqn: f`'(-1)=0]

[eqn: f`'(x)=a(x-1)(x+1)]이므로

[eqn: f`(x)=a left(1 over 3 x^3 -x right)+C]

[eqn: f`(1)= - 2 over 3 a +C=-1] ……………………… ㉠

[eqn: f`(-1)= 2 over 3 a+C=1] ………………………… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: C=0], [eqn: a= 3 over 2]

∴ [eqn: f`(x)= 3 over 2 left(1 over 3 x^3 -x right)= 1 over 2 x^3 - 3 over 2 x]

∴ [eqn: f`(4)=32-6=26]

29. 지수와 로그

정답 200

[eqn: v(0)=a=1000]

[eqn: v left(1 over 100 right) =1000 ⋅b=50]에서 [eqn: b= 1 over 20]

[eqn: 100root5 =1000⋅b^100p]에서 [eqn: b^100p = root5 over 10]

[eqn: 100p log 1 over 20 = log root{1 over 20 }]에서 [eqn: 100p = 1 over 2]

∴ [eqn: 1 over p =200]

30. 순열과 조합

정답 72

㈎ 일대일 대응이다.

㈏ 정의역의 1은 공역의 1과 대응되지 않는다.

㈐ 정의역의 1은 공역의 2와 대응되지 않는다.

㈏, ㈐에서 1은 3, 4, 5로만 갈 수 있고, 나머지는 순열로 계산하면 [eqn: 3`×`4! =72]이다.

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