나 형	수리 영역

	수리 영역	나 형

나    형

제 2 교시

1

성명

수험 번호

10

대전광역시교육청 주관

2010학년도 대학수학능력시험 10월 모의평가 문제지

수리 영역

[eqn: 8 ^{- {1} over {2}} TIMES sqrt {{2} ^{``5}}`]의 값은? [2점]

① [eqn: {sqrt {2}} over {4}]	② [eqn: { sqrt { 2} } over { 2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4]

두 이차정사각행렬 [eqn: A,`~`B``]에 대하여
[eqn: A-B````=``` pmatrix{~~3&```5`#-4&```2`} `,`````2A+B`=` pmatrix{6&```-2`#1&``````````4`} ``]
를 만족할 때, 행렬 [eqn: B``]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: lim _{n -> INF } {} ``n`left( sqrt {n ^{2} +1} -n`right)`]의 값은? [2점]

① [eqn: 0]	② [eqn: { 1} over {4 }]	③ [eqn: { 1} over {2 }]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

두 함수 [eqn: f(x)=3 ^{`x} `], [eqn: rm g it (x)=log _{2} `x`]에 대하여 부등식                                [eqn: 0`` <= `( rm g it CIRC f)(x)``<`7``]
을 만족하는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

첫째항이 [eqn: 1`]이고 모든 항이 양수인 등비수열[eqn: `` LEFT { a _{n} RIGHT } `]에서 [eqn: log _{`2} `a _{8} `-`log _{`2} `a _{5} `=`6`]이 성립할 때, [eqn: a _{2} `+a _{ 4} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 48]	④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 68]

[eqn: {1} over {2} `log _{`2} {8} over {5} +log _{`2} sqrt {5}`]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: sqrt {5}]	④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]

[eqn: 1<b<a`]에 대하여  두 함수
[eqn: f(x)=a ^{`x} ,````````` rm g it (x)= LEFT ( {1} over {b} RIGHT ) ^{`x} `]
가 있다.  [eqn: y=k```(k>1)`]가 두 함수 [eqn: f(x),`` rm `g it (x)`]의 그래프와 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: alpha ,``` beta `]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) - rm g it LEFT ( - sqrt {3} RIGHT ) ```>`0] ㄴ. [eqn: LEFT | `beta `` RIGHT | `a ^{alpha } `- LEFT | `alpha ` RIGHT | ` LEFT ( {1} over {b} RIGHT ) ^{beta } ```>`` LEFT | `beta `` RIGHT | `- LEFT | `alpha ` RIGHT | `] ㄷ. [eqn: rm g it LEFT ( ` {1} over {3} alpha + {2} over {3} beta RIGHT ) ```>` {1} over {3} ` rm g it ( alpha )+ {2} over {3} rm g it ( beta )`]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: RMA`]고등학교의 학생들은 점심 식사를 하기 위하여 학생증이나 주민등록번호 중 하나의 인증도구를 이용하여 컴퓨터에 연결된 인증시스템을 거쳐야 한다. 어느 날 점심 식사를 마친 학생 [eqn: 1200`]명에 대한 인증도구별 인원 현황은 다음과 같다.

인증도구 학년	학생증(명)	주민등록번호(명)
[eqn: 1`]학년	[eqn: 386]	[eqn: 14]
[eqn: 2`]학년	[eqn: 358]	[eqn: 42]
[eqn: 3`]학년	[eqn: 316]	[eqn: 84]

점심 식사를 마친 [eqn: 1200`]명의 학생 중에서 임의로 한 명을 택하였더니 주민등록번호로 인증을 받아 점심 식사를 한 학생이었다. 이 때, 그 학생이 [eqn: 3`]학년일 확률은? [3점]

①  [eqn: {1} over {10}]	②  [eqn: {3} over {10}]	③  [eqn: {2} over {5}]

④  [eqn: {3} over {5}]	⑤  [eqn: {7} over {10}]

함수 [eqn: y=log _{`2} (x+1)`]의 역함수를 [eqn: y= rm g it (`x)`]라 하자.          [eqn: 0`<`a`<`b`<`1`]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: rm g(`4)=15``] ㄴ. [eqn: rm g it (`ab)`=` rm g it (`a)+ rm g it (`b)+1``] ㄷ. [eqn: LEFT ( {b+1} over {a+1} RIGHT ) ^{{1} over {b-a}} `<`2``]

[eqn: y=log _{`2} (x+1)]

[eqn: y=x]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \ O]

[eqn: 1]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

모든 항이 양수인 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT }``], [eqn: LEFT { b _{n} ` RIGHT }``]이                                         [eqn: sum _{k=1} ^{n} ``a _{k} = sum _{k=1} ^{n} `b _{k}``]                         를 만족할 때, 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{n} `` {a _{k} ` ^{2}} over {a _{k} +b _{k}} >= `][eqn: ` sum _{k=1} ^{n} `a _{k}]

(다)

이 성립함을 증명한 것이다.

<증명>

절대부등식 [eqn: LEFT ( x+y RIGHT ) ^{2} >=`4xy``]을 이용하면
[eqn: sum _{k=1} ^{n} ` {a _{k} b _{k}} over {a _{k} +b _{k}} ` <= ` sum _{k=1} ^{n} `] [eqn: = {1} over {2} ` sum _{k=1} ^{n} `a _{k} ``]

(가)

이 성립한다.
[eqn: sum _{k=1} ^{n} ` { a _{k} ` ^{2}} over {a _{k} +b _{k}}] [eqn: = sum _{k=1} ^{n} `] [eqn: - sum _{k=1} ^{n} `` {a _{k} `b _{k}} over {a _{k} +b _{k}}]
[eqn: >= `][eqn: ` sum _{k=1} ^{n} `a _{k}]

(나)

(다)

따라서, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{n} `` { a _{k} ` ^{2}} over {a _{k} +b _{k}} >= `][eqn: ` sum _{k=1} ^{n} `a _{k}`]이 성립한다.
(단, 등호는 [eqn: a _{k} =b _{k}] [eqn: LEFT ( k=1,~2,~···,~n RIGHT )``]일 때 성립한다.)

(다)

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: {1} over {4} ` LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT )]	[eqn: `a _{k}]	[eqn: {1} over {2}]
②	[eqn: {1} over {2} ` LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT )]	[eqn: `a _{k}]	[eqn: {1} over {2}]
③	[eqn: {1} over {4} ` LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT )]	[eqn: `a _{k}]	[eqn: {1} over {4}]
④	[eqn: {1} over {2} ` LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT )]	[eqn: `a _{k} ` ^{2}]	[eqn: {1} over {4}]
⑤	[eqn: {1} over {4} ` LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT )]	[eqn: `a _{k} ` ^{2}]	[eqn: {1} over {4}]

[eqn: LEFT ( x ^{2} + {1} over {x ^{ 3} } RIGHT ) ^{n} ``]의 전개식에서                                어떤 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: {1} over {x ^{2}} ``]의 항이 존재한다.  [eqn: n`]이 최소일 때, [eqn: {1} over {x ^{2}} `]의 계수는? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

복소수 [eqn: z=a+bi``(`a,~b`]는 실수)에 대하여 행렬 [eqn: M LEFT ( z RIGHT ) `]를
[eqn: M`(z)= pmatrix{a&``-b#b&````````a} ``]                         로 정의하자. 예를 들어, [eqn: z=3+4i`]에 대하여 [eqn: M`(z)= pmatrix{`3```&-4#4```&```````3} `]이다. 이 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이고, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [4점]

	<보 기>
ㄱ. 두 복소수 [eqn: z _{1} ,~z _{2}]에 대하여 [eqn: M LEFT ( z _{1} +z _{2} RIGHT ) =M LEFT ( z _{1} RIGHT ) +M LEFT ( z _{2} RIGHT ) `]이다. ㄴ. 두 복소수 [eqn: z _{1} ,~z _{2}]에 대하여 [eqn: M LEFT ( z _{1} z _{2} RIGHT ) =M LEFT ( z _{1} RIGHT ) M LEFT ( z _{2} RIGHT ) ``]이다. ㄷ. [eqn: "{"M(z)"}"` ^{3} =E``]를 만족하는 허수 [eqn: z``]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

등변사다리꼴 [eqn: rm ABCD`]에서 두 대각선 [eqn: rm bar{AC}`]와 [eqn: rm bar{BD}`]의 교점을 [eqn: rm P _{1} `]이라 하고, [eqn: rm P _{1} `]에서 [eqn: rm bar{BC}`]에 평행인 선을 그어 [eqn: rm bar{CD}`]와 만나는 점을 [eqn: rm Q _{1} `]이라 하자. 마찬가지 방법으로, [eqn: rm bar{AQ _{1}}`]과 [eqn: rm bar{BD}`]의 교점을 [eqn: rm P _{2} ``]라 하고, [eqn: rm P _{2} ``]에서 [eqn: rm bar{BC}`]에 평행인 선을 그어 [eqn: rm bar{CD}`]와 만나는 점을 [eqn: rm Q _{2} `]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 점 [eqn: rm P _{1} ,``Q _{1} ,``P _{2} ,``Q _{2}, ``` CDOTS ,``P _{it n rm} ,``Q _{it n rm} ,`` CDOTS ``]을 얻는다. [eqn: rm bar{P _{it n rm} Q _{it n rm}} ``=`` it x _{it n}`]이라 할 때,  [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `x _{n} ․`x _{n+1}`]의 값은? [3점]

[eqn: 3]

[eqn: \ A]

[eqn: \ D]

[eqn: \ B]

[eqn: \C]

[eqn: rm `Q _{2}]

[eqn: rm `Q _{1}]

[eqn: rm `P _{2}]

[eqn: rm `P _{1}]

[eqn: 2]

[eqn: bold{VDOTS }]

[eqn: rm `P _{itn}]

[eqn: rm Q _{itn}]

① [eqn: { 12} over {5 }]	② [eqn: { 18} over {5 }]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: { 25} over {6 }]	⑤ [eqn: { 9} over {2 }]

반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: rmO`]가 있다.
원 [eqn: rmO`]의 중심에서 서로 외접하고 원 [eqn: rmO`]에 내접하는 두 원 [eqn: A _{1} ,````A _{1} prime `]을 그린 후, 두 원 [eqn: A_1 `]과 [eqn: A_1 '`]에 외접하며 원 [eqn: rmO`]에 내접하는 두 원 [eqn: B _{1} ,`````B _{1} prime]을 그려서 얻은 그림을 [eqn: {R} _{1}`]이라 하자. 새로 그려진 네 원 [eqn: A _{1} ,``A _{1} prime ,`` B _{1} ,``B _{1} prime `]의 내부에 그림 [eqn: {R} _{1}`]의 제작 과정을 반복하여 얻은 그림을 [eqn: {R} _{2}`]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻어진 그림을 [eqn: {R} _{itn}`]이라 하자.
또한, 그림 [eqn: {R} _{1}, ``{R} _{2}, `` CDOTS,``{R} _{n}, ``CDOTS] 각각에 아래와 같이 어둡게 색칠을 하자. 그림 [eqn: {R} _{itn}`]의 어두운 부분의 넓이의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 할 때, [eqn: Sum_n=1^inf S_n `]의 값은? [4점]

[eqn: {R} _{1}`]

[eqn: A_1]

[eqn: A_1 ']

[eqn: B_1]

[eqn: `B_{1} prime]

[eqn: \O]

[eqn: {R} _{2}`]

[eqn: {R} _{3}`]

① [eqn: pi `]	② [eqn: {9} over {5}pi`]	③ [eqn: {13} over {5}pi`]	④ [eqn: {17} over {5}pi`]	⑤ [eqn: {21} over {5}pi`]

그림과 같이 주머니 속에 서로 다른 색이 칠해져 있는 [eqn: 7`]개의 공이 들어 있다. 각각의 공에는 색에 따라 아래와 같이 숫자가 적혀 있다.

색	빨강	주황	노랑	초록	파랑	남색	보라
숫자	[eqn: 1]	[eqn: 5]	[eqn: 9]	[eqn: 11]	[eqn: 13]	[eqn: 19]	[eqn: 25]

주머니 속에서 임의로 하나의 공을 꺼내어 색과 숫자를 확인하고 다시 넣는 작업을 반복하면서 다음과 같은 방법으로 계산한다.
『이전에 나왔던 공들과 다른 색의 공이 나오면 공에 적혀 있는 수를 더하고, 이전에 나왔던 공들과 같은 색의 공이 나오면 나온 횟수가 홀수 번째일 경우 적혀 있는 수를 더하고 짝수 번째일 경우에는 적혀 있는 수를 뺀다.』
예를 들어, <빨강→주황→빨강→파랑→파랑→빨강〉의 순서로 공이 나왔다면 계산의 결과는 [eqn: 1+5-1+13-13+1=6`]이다.

[eqn: 9`]번의 반복된 작업을 통해 다음에 적힌 순서대로 공이 나왔다.

빨강

주황

노랑

초록

파랑

남색

보라

파랑, 주황, (   ), 노랑, (   ), 파랑, (   ), 초록, 파랑

계산 결과가 [eqn: 57`]일 때, 세 괄호 안에 공이 배열되는 경우의 수는?                                                         [4점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

[eqn: rm A`,``B`,``C`,``D`,``E`,``F`]가 각각 적힌 [eqn: 6`]개의 상자가 있다. 이들 상자에 서로 다른 [eqn: 10`]개의 공을 임의로 넣을 때, [eqn: rm A,``B,``C``] 세 상자에 들어가는 공의 개수의 합이 [eqn: 4`]일 확률은? (단, 각 상자에 들어가는 공의 개수에는 제한이 없다.) [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

① [eqn: {45} over {256}]	② [eqn: {105} over {512}]	③ [eqn: {15} over {64}]	④ [eqn: {135} over {512}]	⑤ [eqn: {75} over {256}]

[eqn: z]	[eqn: rm P LEFT ( it 0<=Z<=z RIGHT )]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.341]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.433]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.477]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.494]
[eqn: 3.0]	[eqn: 0.499]

어느 회사에서 생산되는 비누의 무게는 정규분포를 따르며, 무게가 [eqn: 100 rm `g`]미만인 것은 불량품으로 판정한다. 회사에서는 판매 촉진을 위해 비누를 [eqn: 4`]개씩 포장하여 만든 세트상품을 판매하기로 하였다.
각 세트상품은 그 안에 들어있는 비누 무게의 평균이 [eqn: 100 rm `g`]미만인 경우에 불량품으로 판정된다고 할 때, 상품 [eqn: 1000`]세트 중 [eqn: 1`]세트의 비율로 불량품이 생긴다고 한다. 회사에서 생산된 비누 [eqn: 1`]개를 검사할 때, 불량품으로 판정될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?
(단, 포장지의 무게는 무시한다.) [4점]

① [eqn: 0.001]	② [eqn: 0.006]	③ [eqn: 0.023]

④ [eqn: 0.067]	⑤ [eqn: 0.159]

단 답 형

로그함수 [eqn: y=log _{`2} ``(x+3)``]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( a,~6 RIGHT )`]을 지나고, 점근선의 방정식은 [eqn: x=b`]이다. 이 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.                                                        [3점]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
수열 [eqn: LEFT { 2a _{n} -`a _{n+1} `` RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: 8``], 공비가 [eqn: -2`]인 등비수열을 이룬다. 이 때, [eqn: a _{5} `]의 값을 구하시오. [3점]

두 이차정사각행렬 [eqn: A,~B``]에 대하여 [eqn: A+B=2E,````AB=E``]이고，[eqn: pmatrix{1``&``2#2&``1} `A`]의 모든 성분의 합이 [eqn: 27`]일 때,
[eqn: A^3`]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,`` LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여  [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} +3 RIGHT ) =4], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `b _{n} =`-3``]일 때,
[eqn: lim _{ n rarrow INF } ` { 24a _{ n}+2b _{ n} ^{``2}} over {2a _{ n}-{b_n}^{``2} }]의 값을 구하시오. [3점]

주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: m,~n`]이라 하고 [eqn: x ^{3} =1`]의 한 허근을 [eqn: omega `]라 하자.
[eqn: omega ^{m`} + omega ^{`n} +1`]이 실수가 될 확률이 [eqn: {b} over {a} `]일 때, [eqn: a^{2}+b ^{2 } `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,~b``]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[eqn: 5`]이하의 자연수 중에서 중복을 허락하여 차례대로 뽑은 수 [eqn: a _{1} ,~a _{2} ,~a _{3} ,~a _{4} ,~a _{5} `]를 각각 [eqn: xy`]평면 위의 점
[eqn: left(1,``a` _{1} right),~left(2,``a _{2} right),~left(3,``a _{3} right),~left(4,``a _{4} right ),~left(5,``a _{5} right)`]
에 대응시키는 시행을 한다.
이 때, 대응된 [eqn: 5`]개의 점 [eqn: LEFT ( `k,````a _{k} ` RIGHT ) `][eqn: (k=1,~2,~ 3,~4,~5`)`]가 모두 영역 [eqn: cases{``y<x+1#``y>log`x} `]에 속할 확률은 [eqn: {b} over {a} `]이다. 이 때, [eqn: a +b ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,~b`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

수열 [eqn: "{"a _{n} "}"]이
[eqn: a _{1} =0,````a _{n} =m ^{2}] (단, [eqn: 2 ^{m} <= n<2 ^{m+1} ,````m=1,``2,``3,`` CDOTS )]
으로 주어질 때, [eqn: a _{n} +a _{2n} >= 100`]이 성립하는 최소의 자연수 [eqn: n`]의 값을 구하시오. [4점]

자연수 [eqn: N``]에 대하여 [eqn: N^{`2} `]이 [eqn: 7`]자리 수이고, [eqn: log`N`]의 가수는 [eqn: log 1 over N `]의 가수의 [eqn: {1} over {4} `]이다. [eqn: log`N= {q} over {p } `]일 때, [eqn: p + q `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: log` N `]의 가수는 [eqn: 0`]이 아니고, [eqn: p,~q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

5 지 선 다 형

서로 독립인 두 사건 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여
[eqn: rm P( it A`)= {1`} over {2`} ``], [eqn: rm P(itA CUP B`)= {2` } over {3`} `]일 때,  [eqn: rm P left(itB ^{C } `right)`]의 값은?
(단, [eqn: B ^{C} `]는 [eqn: B`]의 여사건이다.) [3점]

① [eqn: {1`} over {6`}]	② [eqn: {1`}} over {4`}]	③ [eqn: {1`} over {3`}]	④ [eqn: {2`} over {3`}]	⑤ [eqn: {3`} over {4`}]

[eqn: X`]는 [eqn: 0,~1,~2,~`cdots,~n`]의 값을 가지는 확률변수이고 [eqn: X`]의 확률분포는
[eqn: rm P( it X=r)``=`` _{n} {rm C} _{it r} ```p ^{r} ```(1-p) ^{n-r}]  [eqn: (r=0,~1,~2,~cdots,~n)]
이다. [eqn: X`]의 평균과 분산이 각각 [eqn: E(X)=90,``V(X)=36]일 때, [eqn: n over p]의 값은? [3점]

① [eqn: 180]	② [eqn: 250]	③ [eqn: 320]	④ [eqn: 360`]	⑤ [eqn: 400]

[eqn: x,~y``]에 대한 연립일차방정식
[eqn: pmatrix{```2 ^{k} +1```&````````2 ^{k+3} -16#2&`````````````2 ^{k} -1} pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{`x`#`y`} ``]
가 [eqn: x=y=0`]이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤  [eqn: 5`]

새 차의 가격을 [eqn: `P`],  [eqn: t`]년 후의 중고차의 가격을 [eqn: `W`], 연평균 감가상각비율을 [eqn: r`]라 할 때, 다음과 같은 식이 성립한다고 알려져 있다.
[eqn: log(1-r)= {1} over {t} `log {W} over {P}]
새 차의 가격이 [eqn: 2000`]만원이고 연평균 감가상각비율이 [eqn: 0.15`]일 때,  [eqn: 5`]년 후의 중고차의 가격은? [4점]
(단, [eqn: log`2=0.30,````log`8.5=0.93,````log`8.9=0.95`]로 계산한다.)

① [eqn: 850]만원	② [eqn: 870]만원	③ [eqn: 890]만원

④ [eqn: 930]만원	⑤ [eqn: 950]만원

단 답 형

확률변수 [eqn: X``]는 [eqn: 1,``2,``3,``4,``5`]의 값을 갖고 [eqn: X <= `k```(k=1,``2,``3,``4,``5)]일 확률이
[eqn: rm{P}it(X <= k)`=`ak ^{2`} `]([eqn: a``]는 상수)
이다. 확률변수 [eqn: X`]의 기댓값이 [eqn: m`]일 때, [eqn: 20m `]의 값을 구하시오.                                                         [4점]

* 확인 사항

◦  답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오..

‘나’형 정답

1	③	2	①	3	③	4	③	5	⑤
6	②	7	②	8	④	9	①	10	①
11	②	12	⑤	13	①	14	③	15	④
16	②	17	④	18	58	19	32	20	23
21	12	22	10	23	649	24	128	25	21
26	④	27	②	28	⑤	29	③	30	76

해 설

1. 가형 1번과 동일

2. 가형 2번과 동일

3. [출제의도] 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} `n LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} -n RIGHT ) & = lim _{n -> INF } {} {n(n ^{2} +1-n ^{2} )} over {sqrt {n ^{2} +1} +n} & = {1} over {2}]

4. [출제의도] 지수 [eqn: cdot]로그부등식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: ( rm g it CIRC f)(x)= rm g it (f(x))=log _{2} 3 ^{x}]
[eqn: 0 <= `log _{2} 3 ^{x} <7]
[eqn: RARROW ````log _{2} 1``` <= ```log _{2} 3 ^{x} ```<```log _{2} 2 ^{7}] [eqn: RARROW] [eqn: 1``` <= ``3 ^{x} ``<2 ^{7} =128]
[eqn: RARROW ```0 <= x <= log _{3} 128]
∴ 정수 [eqn: x`]는 [eqn: 0,~1,~2,~3,~4`]이므로 [eqn: 5`]개다.

5. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 등비수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: 6 & =log _{2} {a _{8}} over {a _{5}} =log _{2} {r ^{7}} over {r ^{4}} =log _{2} r ^{3}] [eqn: THEREFORE ````r ^{3} =2 ^{6} ```` RARROW ````r=4]
[eqn: a _{2} +a _{4} =4+4 ^{3} =68]

6. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 주어진 식을 계산할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: {1} over {2} `log _{2} {8} over {5} +log _{2} sqrt {5} & =log _{2} LEFT ( {8} over {5} RIGHT ) ^{{1} over {2}} TIMES 5 ^{{1} over {2}} & =log _{2} 2 ^{{3} over {2}} = {3} over {2}]

7. 가형 7번과 동일

8. 가형 8번과 동일

9. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하는 문제이다.

[eqn: rm g it rm ^{} it (x)=2 ^{x} -1]이므로
ㄱ. [eqn: rm g it (4)=2 ^{4} -1=15]	∴ 참
ㄴ. [eqn: rm g it (a)+ rm g it (b)+1 & =(2 ^{a} -1)+(2 ^{b} -1)+1 & =(2 ^{a} +2 ^{b} )-1]
[eqn: rm g it (ab)=2 ^{ab} -1]이므로 거짓
ㄷ. [eqn: rm A it (a,```log _{2} (a+1)),```` rm B it (b,```log _{2} (b+1))]라 하면 직선 [eqn: rm AB`]의 기울기는 [eqn: {log_2 (b+1 )- log_2 (a+1 )} over b-a]이다.
①　(직선 [eqn: rm AB`]의 기울기)  <  1일 때
[eqn: RARROW] [eqn: {log_2 (b+1 )- log_2 (a+1 )} over b-a ``< ``1]
[eqn: RARROW] [eqn: log _{2} LEFT ( {b+1} over {a+1} RIGHT ) ^{b-a} <1] [eqn: RARROW]　[eqn: left( b+1 over a+1 right)^b-a < 2]
② (직선 [eqn: rm AB`]의 기울기)  >  1일 때,
[eqn: RARROW]　 [eqn: left( (b+1) over (a+1) right)^b-a > 2]

따라서, [eqn: rm AB`]의 기울기에 따라 다르다  [eqn: Therefore ~] 거짓

10. 가형 10번과 동일

11. [출제의도] 이항정리를 이용하여 계수를 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: LEFT ( x ^{2} + {1} over {x ^{ 3} } RIGHT ) ^{n} ``]의 일반항은 [eqn: `_n \C _ { itr} it left(x^2 right)^n-r left( 1 over x^3 right)^r =`_n \C _ { itr} it ``x^2n-5r]
[eqn: 1 over x^2]항이 존재하기 위해서는 [eqn: 2n-5r=-2]인 [eqn: n,~r`]이 존재하여야 한다. 즉, [eqn: 2n +2= 5r]이다. 이 때, [eqn: n`]이 최소가 되는 경우는 [eqn: n=4,`r=2`]일 때이다. 따라서 계수는 [eqn: `_4 \C_2 =6]이다.

12. 가형 12번과 동일

13. 가형 13번과 동일

14. 가형 14번과 동일

15. 가형 15번과 동일

16. 가형 16번과 동일

17. 가형 17번과 동일

18. [출제의도] 로그함수의 그래프에서 점근선에 대한 이해를 묻는 문제이다.

[eqn: y= log_2 (x+3)]에 [eqn: (a,~6)]을 대입하면
[eqn: 6= log_2 (a+3)] [eqn: RARROW] [eqn: a+3=64~~ THEREFORE ````a=61].
점근선의 방정식이 [eqn: x=-3]이므로 [eqn: b=-3]이다. 따라서
[eqn: a+b= 58]이다.

19. [출제의도] 등비수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{n} =ar ^{n-1}]이라 하면
[eqn: 2a _{n} -a _{n+1} & =```2ar ^{n-1} -ar ^{n}# & =```ar ^{n-1} (2-r)# & =```8 CDOT (-2) ^{n-1}]
에서 [eqn: r=-2]이다. [eqn: a(2-r)=8]에서 [eqn: a=2] 이므로
[eqn: a_5 = 2 cdot (-2)^4 = 32]이다.

20. [출제의도] 행렬의 연산을 묻는 문제이다.

[eqn: A= {pmatrix{a&``b#c``&d}}]라 하면 [eqn: pmatrix{1``&2#2``&1} A= pmatrix{1``&2#2``&1} pmatrix{a``&b#c&`d`} = pmatrix{a+2c```&b+2d#2a+c```&2b+d}]
모든 성분의 합이 27이므로 [eqn: 3(a+b+c+d)=27]이다.
또, [eqn: A+B=2E````]이므로 [eqn: B=2E-A]를 [eqn: AB=E]에 대입하면
[eqn: AB=A(2E-A)=2A-A ^{2} =E]
[eqn: A^2 = 2A-E].
양변에 [eqn: A]를 곱하면
[eqn: A ^{3} & =2A ^{2} -A=2(2A-E)-A# & =3A-2E=3 {pmatrix{a``&b#c``&d}} -2 {pmatrix{1``&0#0``&1}}# & = {pmatrix{3a-2````&3b#3c&`````````3d-2}}]
따라서, 모든 성분의 합은 [eqn: 3(a +b+c+d) -4 =23]

21. [출제의도] 무한급수의 성질을 이용하여 수열의 극한값을 구하는 문제이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `(a _{n}+3)], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `b _{n}]이 존재하므로
[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} =-3,` lim _{n-> INF } {} b _{n} =0]이다.
따라서, [eqn: lim _{ n rarrow INF } ` { 24a _n +2b_n ^{``2}} over {2a_n - b_n^{``2} }} ~= 24 over 2 = 12]이다.

22. [출제의도] [eqn: x^3 =1]의 허근 [eqn: w`]의 성질을 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주사위를 두 번 던질 때, 나온 눈의 순서쌍을 [eqn: LEFT ( m,~n RIGHT ) ``]이라 하자 순서쌍 [eqn: LEFT ( m,~n RIGHT ) ``]의 개수는 [eqn: 36`]이다. [eqn: omega ^{m} + omega ^{n} +1``]이 실수가 되기 위해서는 [eqn: omega ^{m} + omega ^{n} `]이 실수이어야 한다. [eqn: omega ^{m} + omega ^{n} `]이 실수가 되기 위해서는 [eqn: m+n`]이 [eqn: 3`]의 배수가 되어야 한다. 따라서 구하는 순서쌍은
[eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT ) ,~ LEFT ( 1,~5 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~1 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~4 RIGHT ) ,~ LEFT ( 3,~3 RIGHT ) ,~ LEFT ( 3,~6 RIGHT ) ,# # LEFT ( 4,~2 RIGHT ) ,~ LEFT ( 4,~5 RIGHT ) ,~ LEFT ( 5,~1 RIGHT ) ,~ LEFT ( 5,~4 RIGHT ) ,~ LEFT ( 6,~3 RIGHT ) ,~ LEFT ( 6,~6 RIGHT )]
이고, 순서쌍의 개수는 모두 [eqn: 12`]개다.
따라서 구하는 확률은 [eqn: {12} over {36} = {1} over {3}]이다. [eqn: a=3,~b=1`]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =10`]이다.

23. 가형 23번과 동일

24. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2 ^{m} <= n<m+1]에서 [eqn: 2 ^{m+1} <= 2n<2 ^{m+2}]이므로
[eqn: a _{2n} =(m+1) ^{2}]
[eqn: a _{n} +a _{2n} =m ^{2} +(m+1) ^{2} =2m ^{2} +2m+1 >= 100]이므로
[eqn: m(m+1) >= {99} over {2}]이다. 따라서 [eqn: m >= 7`]이고 [eqn: n`]의 최솟값은  [eqn: 2 ^{7} =128`]이다.

25. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: N^2]이 7자리수이므로 [eqn: logN ^{2} =6+ alpha `(0< alpha <1)]이라 하면
[eqn: logN = 3+ alpha over 2]
[eqn: log 1 over N = - log N = -4+ left( 1- alpha over 2 right)]
[eqn: alpha over 2 = 1 over 4 left( 1 - alpha over 2 right)] ⇒ [eqn: alpha = 2 over 5]
[eqn: THEREFORE ````logN=3+ {1} over {5} = {16} over {5}]
[eqn: p+q=5+16=21]

26. [출제의도] 서로 독립인 두 사건에 대하여 성립하는 성질을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm P(B)= it x]라 하자. 두 사건 [eqn: rm`A,`~`B``]가 독립이므로
[eqn: rm P(A` cap B) =P(A)P(B)]
[eqn: rm P(A cup B)&=P(A)+P(B)-P(A cap B)]
[eqn: 2 over 3 = 1 over 2 + x - 1 over 2 x]
[eqn: THEREFORE ~ x= rm P(B)= 1 over 3]
[eqn: THEREFORE ~ rm P(B^c ) = 1- P(B) = 2 over 3]

27. [출제의도] 이항분포임을 이해하여 평균과 분산을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

확률변수 [eqn: X]는 [eqn: B(n,p)]의 이항분포를 이루므로
[eqn: E(X)=np=90, ~ V(X)=np(1-p)=36]
이므로 연립하면 [eqn: n=150, ~ p = 3 over 5]이다.
따라서,
[eqn: n over p = 150 times 5 over 3 = 250]

28. [출제의도] 역행렬을 이용한 연립방정식의 해에 대한 이해를 묻는 문항이다.

[eqn: pmatrix{```2 ^{k} +1```&```````` 2 ^{k+3} -16# 2 &````2 ^{k} -1} pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{`x`#`y`} ``]

[eqn: pmatrix{```2 ^{k} ```&```````` 8 cdot2 ^{k} -16# 2 &````2 ^{k} -2} pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{`0`#`0`} ``]
[eqn: x=y=0]이외의 해를 갖기 위해서는 위 행렬의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.
[eqn: 2^k ( 2^k -2 )- 2 ( 8 cdot 2^k -16 )=0]
[eqn: 2^k =t]로 치환하면
[eqn: t^2 - 18t + 32=0]
[eqn: (t-2)(t-16)=0]
[eqn: t=2 ^{k} =2,`16]
[eqn: THEREFORE ````k=1,````4]
따라서 두 근의 합은 5이다.

29. [출제의도] 상용로그의 외적문제해결력을 묻는 문제이다.

새 차의 가격 [eqn: P=2 TIMES 10 ^{7} ,````t=5,````r=0.15]를 주어진 식에 대입하면
[eqn: log 0.85 = 1 over 5 left( logW - log ( 2 times 10^7 ))]
[eqn: log`W=5log`0.85+log`(2 TIMES 10 ^{7} )]
[eqn: logW & =5 TIMES bar{1} .93+0.3+7=6.95 & =log(8.9 TIMES 10 ^{6} )]
[eqn: W=8.9 TIMES 10 ^{6} =890만원]

30. [출제의도] 확률분포를 이해하고 확률변수의 기댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: rm P it (X=k) & = rm P it (x <= k)- rm P it (x <= k-1) & =ak ^{2} -a(k-1) ^{2} & =a(2k-1)]
[eqn: 1 & = sum _{k=1} ^{5} rm P it (X=k)= sum _{k=1} ^{5} a(2k-1) & =a TIMES 25]    [eqn: THEREFORE ~a= {1} over {25}]
[eqn: E(X) & = {1} over {25} sum _{k=1} ^{5} "{"k CDOT (2k-1)"} "& = {1} over {25} sum _{k=1} ^{5} (2k ^{2} -k)= {19} over {5}]
[eqn: THEREFORE ````20E(X)=20 TIMES {19} over {5} =76]