수리 영역(문과)

1. ②	2. ④	3. ②	4. ①	5. ②

6. ①	7. ②	8. ⑤	9. ②	10. ③

11. ③	12. ③	13. ④	14. ②	15. ③

16. ①	17. ⑤	18. ④	19. ⑤	20. ④

21. ⑤	22. ③	23. ①	24. ④	25. 16

26. 256	27. 228	28. 11	29. 142	30. 59

1. 수열의 극한

정답 ②

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n} -3 RIGHT ) `=7`]이므로 [eqn: lim _{n~ -> ` INF `} {} LEFT ( {a _{n}} over {n} -3 RIGHT ) `=0`]

[eqn: therefore~][eqn: lim _{n~ -> ~ INF `} {} {a _{n}} over {n} `=3`]

주어진 식의 분모, 분자를 각각 [eqn: n]으로 나누면

[eqn: lim _{n -> INF } {` {2a _{n} +3n-1} over {`a _{n} -1}} `][eqn: = lim _{n -> INF } {} {` {2a _{n}} over {n} +3- {1} over {n}} over {{a _{n}} over {n} - {1} over {n}} `]

[eqn: = {2 CDOT 3+3} over {3} `][eqn: =3`]

2. 확률

정답 ④

[eqn: {\P}(A cup B`)={\P}(A)+{\P}(B `)-{\P}(A capB `)`]에서

[eqn: {\P}(A cap B`)`][eqn: ={\P}(A )+{\P}(B` )-{\P}(A cup B` )`]

[eqn: =0.4+0.5-0.8`][eqn: =0.1]

[eqn: {\P}(A^C `` |` B` )`][eqn: ={{{\P}(A^C` cap B`)}over{{\P}( B` )`]

[eqn: ={{{\P}(B` )-{\P}(A cap B`)}over{{\P}( B`` )}}`]

[eqn: ={0.5-0.1}over{0.5}`][eqn: =0.8`]

[eqn: {\P}(A` |` B^C `` )`][eqn: ={{{\P}(A` cap B^C``)}over{{\P}( B^C`` )}`]

[eqn: ={{{\P}(A )-{\P}(A cap B`)}over{1-{\P}( B`` )}}`]

[eqn: ={0.4-0.1}over{1-0.5}`][eqn: =0.6`]

[eqn: therefore~][eqn: {\P}(A^C``|B`)+{\P}(A`|B^C``)`][eqn: =0.8+0.6`][eqn: =1.4`]

3. 행렬과 그래프

정답 ②

[eqn: A ^{3} =A`], [eqn: A ^{4} =E`]이므로

[eqn: A ^{4}][eqn: =A^3 A`][eqn: =AA`][eqn: =A^2 `][eqn: =E]

[eqn: A ^{2} `][eqn: = pmatrix{`a`&`-2`#`1`&```````b`} ` pmatrix{`a`&`-2`#`1`&```````b`} `]

[eqn: = pmatrix{`a ^{2} -2`&`````-2a-2b`#`a+b`&```````-2+b ^{2} `} `][eqn: = pmatrix{`1`&```````0`#`0`&```````1`} `]

[eqn: a ^{2} -2=1`]에서 [eqn: a^2 =3][eqn: ~~cdotscdots㉠]

[eqn: -2a-2b=0`]에서 [eqn: a+b=0`][eqn: ~~ CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: -2a+b^2 =1`]에서 [eqn: b^2 =3`][eqn: ~~ CDOTS CDOTS ㉢]

㉠, ㉡, ㉢을 [eqn: (a+b)^2 =a^2 +2ab+b^2 `]에 대입하면

[eqn: 0=3+2ab+3`], [eqn: 2ab=`-6]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: ab=`-3``]

4. 지수함수와 로그함수

정답 ①

[eqn: 10^0.76 `]에 상용로그를 취하면

[eqn: log`10^0.76 = 0.76]

그런데 [eqn: log``5`][eqn: =1-log``2`][eqn: =0.6990`],

[eqn: log``6`][eqn: =log``2`+log``3`][eqn: =0.7781`]이므로

[eqn: log``5<log``10^0.76 <log``6]

[eqn: therefore~][eqn: 5<10^0.76 <6]

따라서 [eqn: 10^0.76 `]의 정수부분은 [eqn: 5`]이다.

5. 수열

정답 ②

[eqn: f(n)=cases{{``2}&&(n이````짝수)#{``1}&&(n이````홀수)]

[eqn: sum _{n=1} ^{2011} (-1)` ^{n} `f(n)`]

[eqn: =`-f(1)+f(2)-f(3)+f(4)-…`]

[eqn: -f(2009)+f(2010)-f(2011)`]

[eqn: =(`-1+2)+(`-1+2)+…+(`-1+2)+(`-1)`]

[eqn: =1×1005-1`]

[eqn: =1004]

6. 수열

정답 ①

등비수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항을 [eqn: a`], 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: sum _{k=1} ^{10} `a _{k} `][eqn: = {a`(r` ^{10} -1)} over {r-1} `][eqn: =256`][eqn: ~~cdotscdots㉠]

[eqn: a _{n} `=ar ^{n-1} `]에 대하여 [eqn: {1} over {a _{n} `} `= {1} over {a} LEFT ( {1} over {r} RIGHT ) ^{n-1} `]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{10} `{1over a _{k} } `][eqn: ={{1} over {a} LEFT ( 1- {1} over {r ^{10}} ` RIGHT )} over {1- {1} over {r}} `]

[eqn: ={{r^10 -1}over{ar^9 (r-1)}}`][eqn: =4`][eqn: ~~cdotscdots㉡]

㉠에서 [eqn: {{r^10 -1}over{r-1}}`][eqn: ={256 over a}`]

이를 ㉡에 대입하면

[eqn: {1} over {ar` ^{9} `} CDOT {256} over {a} `][eqn: =4`], [eqn: a ^{2} `r ^{9} `][eqn: =64`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: a _{1} `a _{10} `][eqn: =a CDOT ar ^{9} `][eqn: =a ^{2} `r ^{9} `][eqn: =64`]

7. 수열

정답 ②

[eqn: a_n+1 `=a_n +2(n-1)`]에서 [eqn: a _{n+1} -a _{n} =2n-2`]이므로

수열 [eqn: left{a _{n}right}`]의 계차수열을 [eqn: left{b_n right}`]이라 하면

[eqn: b_n =2n-2]

[eqn: therefore~][eqn: a_n `][eqn: =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} (2k-2)`]

[eqn: =a_1 +2cdot{{n(n-1)}over2}-2(n-1)`]

[eqn: =a_1 +n^2 -3n+2`]

이때, [eqn: a_10 `=100`]이므로

[eqn: a_10 `][eqn: =a_1 +10^2 -30+2`]

[eqn: =a_1 +72`][eqn: =100`]

[eqn: therefore~][eqn: a_1 `=28]

8. 지수함수와 로그함수

정답 ⑤

지수함수 [eqn: y=a` ^{x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: b`]만큼

평행이동시킨 그래프를 나타내는 함수의 식은

[eqn: y`=f(x)`=a ^{x-b}`]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: 2`], 공비가 [eqn: 3`]인 등비수열이므로

[eqn: a _{n} `=2` TIMES 3 ^{n-1} `]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( n`,``2` TIMES 3 ^{n-1} ) RIGHT .]은 함수

[eqn: y=a ^{x-b`}`]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: 2×3^n-1 `][eqn: =a^n-b `][eqn: =a^{n-1+(1-b) }`=a^{1-b}×a^{n-1} `]

따라서 [eqn: a^{1-b}=2`], [eqn: a `=3`]이어야 한다.

이때, [eqn: 3^{1-b}=2`]의 양변에 밑이 [eqn: 3`]인 로그를 취하면

[eqn: 1-b =log_3``2`], [eqn: b=1-log_3``2`]

[eqn: therefore~][eqn: a+b`=3+(1-log_3``2 )`][eqn: =4-log_3``2]

9. 지수함수와 로그함수

정답 ②

[eqn: 2`^4x +a cdot2`^{2x-1} +10>{3over4}a`]

[eqn: ⇔~4`^{2x} +{a over 2} cdot4`^{x} +10 -{3over4}a>0]

[eqn: 4` ^{x} `=t`][eqn: (t>0)`]로 치환하면

[eqn: t` ^{2} + {a} over {2} `t`+10- {3} over {4} a`>0`]

[eqn: LRARROW ``` LEFT ( t+` {a} over {4} RIGHT ) ^{2} +10- {3} over {4} a- {a ^{2}} over {16} >0`]

[eqn: f`(`t)`= LEFT ( t+` {a} over {4} RIGHT ) ^{2} +10- {3} over {4} a- {a ^{2}} over {16} `]이라 하면

[eqn: a`]가 자연수이므로 이차함수 [eqn: y=f(t)`]의 그래프의 대칭축

[eqn: t`=- {a} over {4} `<0]이다. 따라서 모든 양수 [eqn: t`]에 대하여 부등식

[eqn: f(t)>0`]이 성립하려면 [eqn: f`(`0`)` GEQ 0`]이어야 한다.

[eqn: f(0)`][eqn: =10- {3} over {4} a` GEQ 0`]

[eqn: therefore~][eqn: a LEQ {40} over {3} `][eqn: =13. TIMES ×]

따라서 자연수 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 13`]이다.

10. 확률

정답 ③

두 사격선수 [eqn: \A`], [eqn: \B`]가 한 번의 사격에서 [eqn: 10`]점을 얻는

사건을 각각 [eqn: A`], [eqn: B`]라 하면

[eqn: {\P}(A)`={3over4}], [eqn: {\P}(B`)`={2over3}]

두 선수가 각각 한 번씩 사격하였을 때, 먼저 사격한 선수만

[eqn: 10`]점을 얻는 사건을 [eqn: E`]라 하면

(ⅰ) [eqn: \A`]가 먼저 사격했을 경우

[eqn: {{\P}(A cap E`)`][eqn: ={3over4}×{1over3}`][eqn: ={1over4}]

(ⅱ) [eqn: \B`]가 먼저 사격했을 경우

[eqn: {{\P}(B`` cap E`)`][eqn: ={2over3}×{1over4}`][eqn: ={1over6}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은

[eqn: {\P}(A`|`E`)`][eqn: ={{{\P}(A cap E`)}over{{\P}(E`)}}`][eqn: ={{1over4}over{{1over4}+{1over6}}}`][eqn: ={3over5]

11. 확률

정답 ③

안경 착용 여부를 조사한 결과, 각 경우에 해당하는 학생

수는 다음 표와 같다.

	남학생	여학생	계
안경을 쓴 학생	[eqn: n]	[eqn: 100]	[eqn: n+100]
안경을 안 쓴 학생	[eqn: 180]	[eqn: n+3]	[eqn: n+210]
계	[eqn: n+180]	[eqn: n+130]	[eqn: 2n+310]

위의 표에서 전체 학생 수는 [eqn: (2n+310)`]이므로

[eqn: {\P}(A)`][eqn: ={{n+180}over{2n+310}}`], [eqn: {\P}(B`)`][eqn: ={{n+100}over{2n+310}}`]

[eqn: {\P}(A cap B`)`][eqn: ={{n}over{2n+310}}]

두 사건 [eqn: A`], [eqn: B`]가 서로 독립이므로

[eqn: {\P}(A capB`)`][eqn: ={\P}(A){\P(B`)`]에서

[eqn: {{n}over{2n+310}}][eqn: ={{n+180}over{2n+310}}`][eqn: cdot{{n+100}over{2n+310}}`]

[eqn: n ^{2} +30n-18000=0`], [eqn: (n+150)(n-120)`=0`]

[eqn: therefore~][eqn: n`=120] ([eqn: because~][eqn: n]은 자연수)

12. 통계

정답 ③

확률변수 [eqn: X`]가 정규분포 [eqn: {\N}(m,``sigma^2 `)`]을 따르고, 확률변수

[eqn: Z`]가 정규분포 [eqn: {\N}(0,``1)`]을 따르므로

[eqn: rm P LEFT ( it X GEQ 58 RIGHT ) `][eqn: ={\P}left(Z geq{{58-m}over{sigma}} right)`][eqn: = rm P LEFT ( it Z geq -1 RIGHT )]

에서 [eqn: {58-m} over {sigma } =`-1`]

[eqn: therefore~][eqn: m- sigma =58][eqn: ~~cdotscdots㉠]

[eqn: rm P LEFT ( it X LEQ 55 RIGHT ) `][eqn: ={\P}left(Z leq{{55-m}over{sigma}} right)`]

[eqn: = rm P LEFT ( it Z geq2 RIGHT )][eqn: ={\P}(Z leq-2)]

에서 [eqn: {55-m} over {sigma } =`-2`]

[eqn: therefore~][eqn: m-2 sigma =55][eqn: ~~cdotscdots㉡]

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: m=61], [eqn: sigma =3]

[eqn: therefore~][eqn: m+ sigma`=64]

13. 지수함수와 로그함수

정답 ④

이 기계가 작동하기 시작한 순간의 정확도가 [eqn: 100`]이므로

[eqn: 100`=a`log``7+b`][eqn: ~~cdotscdots㉠]

이 기계가 작동하기 시작하여 [eqn: 28`]시간이 되는 순간의

정확도가 [eqn: 79`]이므로

[eqn: 79`=a`log``35`+b`][eqn: ~~cdotscdots㉡]

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: 21`=a(log``7-log``35)`][eqn: =a log``{1over5}]

[eqn: a` log``5`=a(1-log``2)`][eqn: =a(1-0.3)`][eqn: =`-21]

[eqn: 0.7a`=`-21]

[eqn: therefore~][eqn: a=`-30`], [eqn: b`=100+30`log``7`]

따라서 이 기계가 작동하기 시작하여 [eqn: 63`]시간이 되는

순간의 정확도 [eqn: I]는

[eqn: I```=a`log`(63+7)+b]

[eqn: =`-30` log``70+100+30`log``7`]

[eqn: =30(log``7`-log``70)+100`]

[eqn: =`-30+100]

[eqn: =70]

14. 지수함수와 로그함수

정답 ②

[eqn: 3` LEFT | `x` RIGHT | +1` GEQ 1`]이므로 [eqn: log`(3` LEFT | `x` RIGHT | +1)` GEQ 0]이다.

(ⅰ) [eqn: 0 LEQ log`(3` LEFT | `x` RIGHT | +1)`<1`]일 때

[eqn: 1` LEQ `3` LEFT | `x` RIGHT | +1`<10`], [eqn: 0` LEQ LEFT | x` RIGHT | `<3`]

따라서 [eqn: -3<x<3]이고,

[eqn: g(3`|`x`|+1)`][eqn: =log``(3`|`x`|+1)`]

[eqn: =cases{{log``(3x+1)}&&{(0<x <3)}#{log``(-3x+1)}&&{(-3<x<0)}}]

(ⅱ) [eqn: 1 LEQ log``(3` LEFT | `x` RIGHT | +1)`<2`]일 때

[eqn: 10` LEQ `3` LEFT | `x` RIGHT | +1`<100], [eqn: 3` LEQ LEFT | x` RIGHT | `<33`]

따라서 [eqn: 3` LEQx<33`] 또는 [eqn: -33<x leq-3]이고,

[eqn: g(3`|`x`|+1)`]

[eqn: =log``(3`|`x`|+1)-1`]

[eqn: =cases{{log``(3x+1)-1}&&{(3<x<33)}#{log``(-3x+1)-1}&&{(-33<x<`-3)}}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 함수 [eqn: y`=g(3`|`x`|+1)`]의 그래프는 다음과

같다.

함수 [eqn: y=`m`x+1`]의 그래프는 점 [eqn: (0,``1)`]을 항상 지나는

직선이므로 두 함수의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날

때, 실수 [eqn: m`]이 최대가 되려면 위의 그림과 같이 직선

[eqn: y=`m`x+1`]이 점 [eqn: (`-3`,``0)`]을 지나야 한다.

따라서 실수 [eqn: m`]의 최댓값은 [eqn: {1} over {3} `]이다.

15. 수열

정답 ③

(ⅰ) [eqn: n=2`]일 때,

[eqn: {13over6 }`]

(좌변)[eqn: `=S _{2} `][eqn: ={{1cdot2}over{2+1}}`+{{2cdot3}over{2+2}}`][eqn: =]

(우변)[eqn: `= {(2+1) ^{2}} over {4} `][eqn: ={9over4}`]

이때, [eqn: {13over6}<{9over4}`]이므로 (*)은 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m``(`m=2,``3,``4,` CDOTS `)]일 때 (*)이 성립한다고

가정하자.

[eqn: S _{m} = {1cdot2} over {m+1} `+ {2cdot3} over {m+2} `+ {3cdot4} over {m+3} +` CDOTS `]

[eqn: + {m(m+1)} over {m+m} `]

이고,

[eqn: S _{m+1} = {1cdot2} over {(m+1)+1}` + {2cdot3} over {(m+1)+2}` +` CDOTS `]

[eqn: + {(m+1)(m+2)} over {(m+1)+m+1} `]

이므로

[eqn: S _{m+1} -S _{m} `]

[eqn: =`- {2} over {m+1} `- {4} over {m+2} `- {6} over {m+3}` -`cdots`]

[eqn: -`{2m over2m}`+{m(m+1) over{(m+1)+m}}` +{{(m+1)(m+2)}over{(m+1)+m+1}}`]

[eqn: =`-2` LEFT ( {1} over {m+1} + {2} over {m+2} +{3} over {m+3}+` CDOTS`+{m} over {2m} RIGHT ) `]

[eqn: {m(m+1) over{2m+1} }]

[eqn: +]              [eqn: +{m+2 overm}`]

한편,

[eqn: {1} over {m+1} `+ {2} over {m+2} `+` CDOTS `+ {m} over {2m} `]

[eqn: > {1} over {m+m} `+ {2} over {m+m} `+` CDOTS` + {m} over {2m} `]

[eqn: `=`{1over2m}(1+2+`cdots`+m)`]

[eqn: ={1over2m} cdot {m(m+1)over2}`]

[eqn: m+1 over4]

[eqn: =]

이고 [eqn: {m(m+1)} over {2m+1} < {2m+1} over {4} `]이므로

[eqn: S _{m+1} -S _{m} < {2m+3} over {4} `]이다.

[eqn: therefore~][eqn: a`={13over6 }`], [eqn: f(m)`={m(m+1) over{2m+1} }`], [eqn: g(m)`={m+1 over4}`]

[eqn: therefore~][eqn: af(3)g(3)`=][eqn: {13over6}cdot{12over7} cdot1`][eqn: ={26over7}`]

16. 수열의 극한

정답 ①

위의 그림에서 [eqn: bar{rm BE it} `=1`]이므로 직각삼각형 [eqn: rm ABE]에서

[eqn: bar{rm AE it} `][eqn: = sqrt {3} `]이고, [단계 [eqn: n]]에서 그려진 원의 반지름의

길이를 [eqn: r _{n}`]이라 하면 삼각형 [eqn: \ABF`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} LEFT ( sqrt {2} + {sqrt {3}} over {2} + {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) `r_1`= {1} over {2} CDOT sqrt {2} CDOT {1} over {2} `]

[eqn: therefore~][eqn: r_1`][eqn: = {1} over {sqrt {6} +2`} `][eqn: = {sqrt {6} -2} over {2} `]

[eqn: therefore~][eqn: S _{1} `][eqn: =2 CDOT pi `r_1` ^{2} `]

[eqn: =2 CDOT pi CDOT LEFT ( {sqrt {6} -2} over {2} RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: = pi `(5-2 sqrt {6} `)`]

또, [단계 [eqn: n]]과 [단계 [eqn: (n+1)]]에서 그려진 직사각형들의

닮음비가 [eqn: sqrt {2} `:`1`]이므로 [단계 [eqn: n]]과 [단계 [eqn: (n+1)]]에서

각각 그려진 원의 반지름의 길이 [eqn: r_n], [eqn: r _{n+1}] 사이의 닮음비도

[eqn: r _{n} `:`r _{n+1} `= sqrt {2} `:`1`]이고 [eqn: S _{n} `:`S _{n+1} `=2`:`1`]이다.

따라서 수열 [eqn: left{S_n right}]은 첫째항이 [eqn: pi `(5-2 sqrt {6} `)`]이고

공비가 [eqn: 1over2]인 무한등비수열이다.

[eqn: THEREFORE `][eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} `][eqn: = {pi `(5-2 sqrt {6} `)} over {1- {1} over {2}} `]

[eqn: =2` pi `(5-2 sqrt {6} `)`]

17. 수열

정답 ⑤

점 [eqn: \P`]가 원점을 출발하여 점 [eqn: (0,``n)`]에 도착할 때까지의

이동 횟수를 [eqn: {a_n} `]이라 하면

[eqn: a_1 `=3]

[eqn: a_2 `=3+11`=14]

[eqn: a_3 `=3+11+19`=33]

[eqn: a_4 `=3+11+19+27`=60]

[eqn: VDOTS]

이때, 수열 [eqn: left{a_n right}`]의 계차수열을 [eqn: left{b_n right}`]이라 하면

[eqn: left{b_n right}`~:`~11,~19,~27,~cdots]

[eqn: b_n`=11+(n-1)cdot8`=8n+3]

[eqn: therefore~][eqn: a_n `][eqn: =a_1 + sum _{ k=1} ^{n-1 }`{(8k+3)}`]

[eqn: =3+8cdot{n(n-1) over2 }`+3(n-1)`]

[eqn: =4n^2 `-n]

따라서 점 [eqn: (0,``10)`]에 도착할 때까지의 이동 횟수 [eqn: k]는

[eqn: k`=a_10 `]

[eqn: =4cdot10^2 `-10 `]

[eqn: =390`]

18. 확률

정답 ④

[eqn: 5]개의 과일을 [eqn: 4]명에게 나누어 주면 어느 한 명은 반드시

과일을 [eqn: 2`]개 받게 되므로, 나누어 주는 방법의 수는

[eqn: ` _{5} rm C it _{2} TIMES ` _{3} rm C it _{1} TIMES ` _{2} rm C it _{1} TIMES ` _{1} rm C it _{1} TIMES {1} over {3!} TIMES 4!`=240`](가지)

(ⅰ) 한 학생이 사과를 [eqn: 2`]개 받을 경우

학생을 고르는 방법의 수는 [eqn: 4](가지)

사과 [eqn: 2`]개를 고르는 방법의 수는 [eqn: `_3`{\C}_2 `=3`](가지)

나머지 세 학생에게 과일을 나누어 주는 방법의 수는

[eqn: 3!`=6`](가지)

[eqn: therefore~][eqn: 4times3times6`=72`](가지)

(ⅱ) 한 학생이 복숭아를 [eqn: 2`]개 받을 경우

학생을 고르는 방법의 수는 [eqn: 4](가지)

복숭아 [eqn: 2`]개를 고르는 방법의 수는 [eqn: `_2`{\C}_2 `=1`](가지)

나머지 세 학생에게 과일을 나누어 주는 방법의 수는

[eqn: 3!`=6`](가지)

[eqn: therefore~][eqn: 4times1times6`=24`](가지)

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은

[eqn: {72 over 240}`+{24over240}`={2over5}`]

19. 순열과 조합

정답 ⑤

조건 (가)에서 함수 [eqn: f]는 일대일함수이다.

또, 조건 (나)에서 합성함수 [eqn: f CIRCf`]가 정의되려면 함수

[eqn: f`]의 치역이 함수 [eqn: f`]의 정의역과 같아야 하므로

함수 [eqn: f`]의 치역은 [eqn: left{1,``2,``3,``4,``5 right}`]이다.

조건 (다)에서 [eqn: (`f circf)(1)`=1]이므로

(ⅰ) [eqn: f(1)`=1]인 경우

정의역의 남은 [eqn: 4]개의 원소를 치역의 각 원소에 대응

시키는 방법의 수는 [eqn: 4!`=24`](가지)

(ⅱ) [eqn: f(1)=a`][eqn: (a!=1)]인 경우

조건 (나)에 의해 [eqn: f(a)=1`]이므로 정의역의 남은

[eqn: 3]개의 원소를 치역의 각 원소에 대응시키는 방법의

수는 [eqn: 3!`=6`](가지)

이때, [eqn: a`]가 될 수 있는 원소는 [eqn: 4]가지가 있으므로

[eqn: 4×6`=24`](가지)

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 함수 [eqn: f`]의 개수는

[eqn: 24+24`=48`](가지)

20. 수열의 극한

정답 ④

ㄱ. (참) [eqn: 0<a _{n} <b _{n} `]이고,  [eqn: lim _{n -> INF } {``b _{n} `= INF } `]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {`` {1} over {b _{n}}} `=0]

[eqn: THEREFORE `][eqn: lim _{n -> INF } {``{a _{n}} over {b _{n} ^{````2}}} `][eqn: =lim _{n -> INF } {`left( {1} over {b _{n}} ` TIMES {a _{n}} over {b _{n}}right)}][eqn: =0`]

ㄴ. (거짓) 【반례】[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `:`1`,``0`,``1`,``0`,``1,``0`,``…``]

[eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `:`0`,``1`,``0`,``1`,``0`,``1`,``…``]

이면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 발산하고 수열 [eqn: LEFT { a _{n} `b _{n} RIGHT } `]은 수렴

하지만 [eqn: lim _{n -> INF } {```b _{n}} `]은 발산한다.

ㄷ. (참) [eqn: a _{n} <b _{n} <c _{n} `][eqn: (`n=1,``2,``3, ``CDOTS `)] 이고

[eqn: lim _{n -> INF } {` (n+1)`a _{n} }`= lim _{n -> INF } {` (n-1)`c _{n}}` =1`]이므로

[eqn: a _{n} `= {1} over {n+a} `], [eqn: c _{n} `= {1} over {n+b} `]([eqn: a>b])꼴이다.

따라서 [eqn: {1} over {n+a} `<`b _{n} `<` {1} over {n+b} `]([eqn: a>b`])에서

[eqn: {n} over {n+a}<nb _{n} <{n} over {n+b} `]이므로

[eqn: 1`= lim _{n -> INF } {` {n} over {n+a}} LEQ lim _{n -> INF } {`nb _{n}} ` LEQ lim _{n -> INF } {` {n} over {n+b}} `=1`]

[eqn: THEREFORE `][eqn: lim _{n -> INF } { `n`b _{n}}` =1`]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

21. 행렬과 그래프

정답 ⑤

ㄱ. (거짓) 【반례】 [eqn: X`= pmatrix{`0&``1`#`0&``0`} `]이라 하면

[eqn: X ^{2} `][eqn: = pmatrix{`0&``1`#`0&``0`} ` pmatrix{`0&``1`#`0&``0`} `][eqn: = pmatrix{`0&``0`#`0&``0`} `=O`]

[eqn: X ^{4} `=X ^{2} =O`]이므로 [eqn: X ^{2} ` IN M`]이지만

[eqn: X ^{2} ` != X`]이므로 [eqn: X` NOTINM`]이다.

ㄴ. (참) [eqn: X` IN `M``]이므로 [eqn: X ^{2} `=X``]

[eqn: (E-X`) ^{2} `][eqn: =E-2X+X ^{2} `]

[eqn: =E-2X+X`]

[eqn: =E-X`]

[eqn: THEREFORE`][eqn: E``-X`][eqn: IN `M`]

ㄷ. (참) (ⅰ) [eqn: X` IN M`]이면 [eqn: X ^{2} `=X`]

[eqn: X ^{`3}`=X^{`2} `X`=X^{`2}`=X]

[eqn: VDOTS]

[eqn: X^{`m}`=X] (단, [eqn: m]은 자연수)

(ⅱ) [eqn: Y` IN M`]이면 [eqn: Y ^{``2} `=Y`]

[eqn: Y ^{`3}`=Y ^{`2} `Y `=Y ^{`2}`=Y]

[eqn: VDOTS]

[eqn: Y ^{`n} `=Y] (단, [eqn: n]은 자연수)

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: (X^{`m} +Y^{`n})^2 `][eqn: =(X+Y`)^{`2} `]

[eqn: =X^{`2} +XY+YX+Y^{`2} `]

[eqn: =X+(-YX)+YX+Y]

[eqn: =X+Y`][eqn: =X^{`m} +Y^{`n}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: X ^{`m} +Y ^{`n} ` IN M`]

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

22. 지수함수와 로그함수

정답 ③

[eqn: bar{\PA}`=bar{\AB}`]이고, [eqn: bar{\PB}`={2over3}`]이므로

[eqn: bar{\PA}`=bar{\AB}`][eqn: ={1over3}`]

점 [eqn: \B`]의 좌표를 [eqn: (t,``0)`]이라 하면

[eqn: bar{rm PB it} `: bar{rm AB it} `=log_{`a}``t`:log_{`b}``t=2`:1]

[eqn: THEREFORE~][eqn: b=a ^{2} `]

따라서 [eqn: bar{\CD}`:bar{\QD}`=2`:1`]이므로

[eqn: bar{\CQ}`=bar{\QD}`={2over3}`]

이때, 사각형 [eqn: \PAQC`]의 넓이가 [eqn: 1`]이므로

[eqn: □{\PAQC}`= {1over2}left({{1} over {3} + {2} over {3}} right)} TIMES bar{\BD} `=1]

[eqn: THEREFORE `][eqn: bar{\BD}`=2`][eqn: ~~cdotscdots㉠]

그런데 [eqn: bar{\BD}`=bar{\PQ}`]이고 점 [eqn: {\P}left(t,``{2over3 right)`]가 곡선 [eqn: y=log_{`a}``x]

위의 점이므로

[eqn: {2over3}`=log_{`a}``t`] [eqn: ⇔] [eqn: t=a^{2over3}`]

점 [eqn: {\C}]의 좌표를 [eqn: left(s,``{4over3} right)`]라 하면 점 [eqn: \C]도 곡선 [eqn: y=log_{`a}``x]

위의 점이므로

[eqn: {4over3}`=log_{`a}``s`] [eqn: ⇔] [eqn: s=a^{4over3}`]

㉠에서 [eqn: bar{\BD}`=s-t`][eqn: =a ^{{4} over {3}} -a ^{{2} over {3}} =2`]

[eqn: a ^{{2over3}}`=X`][eqn: (X>0)`]라 치환하면

[eqn: X^{`2} -X-2`=0], [eqn: (X-2)(X+1)`=0]

[eqn: THEREFORE `][eqn: X`=a ^{{2over3}}`=2`], [eqn: a`=2^{3over2}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: ab`=a ^{3} `=2 ^{{9} over {2}} `=16 sqrt {2} `]

23. 순열과 조합

정답 ①

(ⅰ) 점 [eqn: \P`](또는 [eqn: \P'`])를 지나는 경우

[eqn: {4!} over {2!2!}`times1`=6`](가지)

[eqn: THEREFORE `][eqn: 6times2`=12`](가지)

(ⅱ) 점 [eqn: \Q`](또는 [eqn: \Q'`])를 지나는 경우

최단경로는 각각 [eqn: 1]가지뿐이므로

[eqn: 1times2`=2`](가지)

(ⅲ) 점 [eqn: \R`](또는 [eqn: \R'`])를 지나는 경우

[eqn: {3!}over{2! 1!}`=3`](가지)

[eqn: THEREFORE `][eqn: 3times2`=6`](가지)

(ⅳ) 점 [eqn: \S`](또는 [eqn: \S'`])를 지나는 경우

[eqn: {3!}over{2! 1!}`=3`](가지)

[eqn: THEREFORE `][eqn: 3times2`=6`](가지)

(ⅴ) 점 [eqn: \C`]를 지나는 경우

[eqn: 2times2`=4`](가지)

(ⅰ)∼(ⅴ)에서 구하는 최단경로의 개수는

[eqn: 12+2+6+6+4`=30`](가지)

24. 통계

정답 ④

확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: {\N}(100,``0.6^{`2} `)]을 따르므로

크기가 [eqn: 9`]인 표본을 임의추출하였을 때의 표본평균 [eqn: bar{X``}]는

정규분포 [eqn: {\N}(100,``0.2^{`2} `)]을 따른다.

이때, 모평균을 [eqn: m`]이라 하고, [eqn: |`bar{X``}`-m``|geq c`]이면 부품의

제조과정에 대한 전면적인 조사를 하게 되므로 전면적인

조사를 하게 될 확률이 [eqn: 5``%] 이하가 되게 하려면

[eqn: {\P}(`|`bar{X``}`-m``|geq c`)leq0.05`][eqn: ~~cdotscdots㉠]

를 만족하여야 한다. [eqn: Z``={bar{X``}-m}over{0.2}}`]이라 하면

[eqn: {\P}(`|`bar{X``}`-m``|geq c`)`={\P}left(`{{|`bar{X``}`-m}``|}over0.2} geq {c over0.2}`right)]

[eqn: ={\P}left(`|`Z```| geq{c over 0.2 } right)`]

[eqn: =1-2`{\P}left(0 leq`Z``leq{c over 0.2 } right)`]

이를 ㉠에 대입하면

[eqn: 1-2`{\P}left(0 leq`Z``leq{c over 0.2 } right)`leq0.05]

[eqn: {\P}left(0 leq`Z``leq{c over 0.2 } right)`geq0.475`][eqn: ={\P}(0leqZ``` leq1.96)`]

[eqn: {c over 0.2}geq1.96], [eqn: c geq0.392`]

따라서 상수 [eqn: c`]의 최솟값은 [eqn: 0.392`]이다.

25. 행렬과 그래프

정답 16

[eqn: pmatrix{`-b````&`a`-5`#`2a`&`2b`} pmatrix{`x`#`y`} `= pmatrix{`x+3y`#`-2y`} `]

[eqn: LRARROW] [eqn: pmatrix{`-b````&`a`-5`#`2a`&`2b`} pmatrix{`x`#`y`} `= pmatrix{`1&`````````3`#`0`&`-2`} pmatrix{`x`#`y`}]

[eqn: LRARROW] [eqn: pmatrix{`-b-1````&`a`-8#`2a`&`2b+2`} pmatrix{`x`#`y`} `= pmatrix{`0`#`0`} `]

이 연립일차방정식이 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 가지려면

[eqn: (-b-1)(2b+2)-(a-8)cdot2a`=0][eqn: ~~cdotscdots㉠]

을 만족하여야 한다. ㉠을 정리하면

[eqn: (a-4)^2 +(b+1)^2 `=16]

따라서 좌표평면에서 점 [eqn: (a,``b)`]가 나타내는 도형은 중심이

[eqn: (4,``-1)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 4`]인 원이므로 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S``=picdot4^2`=16pi`]

[eqn: therefore~][eqn: {S over pi }`={16pi overpi}`=16`]

26. 지수함수와 로그함수

정답 256

조건 (가)에서 [eqn: 0<alpha<{1over2}`]이므로 [eqn: {1} over {2} `<`1- alpha `<`1`]

[eqn: {1} over {2} `<`log` _{4} `n``<`1`]에서 [eqn: 2`<`n`<`4`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: n`=3`][eqn: ~~cdotscdots㉠]

이를 조건 (나)에 대입하면

[eqn: log _{`4} ``3`=1- alpha `]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: alpha`=1-log_{`4}``3`=log_{`4}``{4over3}`][eqn: ~~cdotscdots㉡]

㉠, ㉡을 주어진 등식에 대입하면

[eqn: log _{`2} ``m ^{2} `][eqn: =3+log` _{4} `` {4} over {3} `][eqn: =log _{`4} `` {4 ^{4}} over {3} `]

[eqn: log _{`4} ``m ^{4} `][eqn: =log _{`4} `` {4 ^{4}} over {3} `], [eqn: m ^{4} `= {4 ^{4}} over {3} `]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: 3m ^{4} `][eqn: =4 ^{4} `=256`]

27. 순열과 조합

정답 228

순서쌍 [eqn: (a,``b,``c,``d)`]를 만드는 방법의 수는

[eqn: `_5{\P}_2 times`_4{\P}_2`=20 times12`=240`](가지)

이때, 네 수 [eqn: a,``b,``c,``d`]가 모두 홀수이면 네 수의 곱

[eqn: abcd`]가 홀수이므로, 홀수인 것의 개수는

[eqn: `_3`{\P}_2 times`_2`{\P}_2 `=12`](가지)

따라서 네 수의 곱 [eqn: abcd`]가 짝수인 것의 개수는 순서쌍

전체의 개수에서 홀수인 것의 개수를 뺀 것과 같으므로

[eqn: 240-12`=228`](가지)

28. 수열의 극한

정답 11

[eqn: {{2n+3}over{n(n+1)(n+2)}}]를 변형하면

[eqn: {{2n+3}over{n(n+1)(n+2)}}`={{a}over{n(n+1)}}-{{b}over{(n+1)(n+2)}}]

위의 항등식을 풀면

[eqn: a={3over2}`], [eqn: b=`-{1over2}`]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: sum _{ n=1} ^{inf }`{{2n+3}over{n(n+1)(n+2)}}`]

[eqn: ={1over2}`sum _{n=1 } ^{ inf}`left{{3over{n(n+1)}}+{1over{(n+1)(n+2)}} right}]

[eqn: ={3over2}`sum _{n=1 } ^{ inf}`left({1overn}-{1over{n+1}} right)+{1over2}`sum _{n=1 } ^{ inf}`left({1over{n+1}-{1overn+2} right)`]

[eqn: = {3} over {2}` lim _{n -> INF } {` LEFT { LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: + {1} over {2} ` lim _{n -> INF } {` LEFT { LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: ={3over2}` lim _{ n->inf} {`left(1-{1over{n+1}} right) `+ {1over2}` lim _{ n->inf} {left(`1over2} -{1over{n+2}} right) }]

[eqn: ={3over2}cdot1`+{1over2}cdot{1over2}`]

[eqn: ={7over4}`={q over p}`]

[eqn: therefore~][eqn: p+q`=4+7`=11`]

29. 수열

정답 142

(ⅰ) [eqn: 198`]이 적힌 흰색 바둑돌의 개수

[eqn: 198`=3times66`]이므로

제[eqn: `198`]행에 놓인 흰색의 바둑돌의 개수는

[eqn: 2times66`=132`](개)

따라서 [eqn: 198`]이 적힌 흰색의 바둑돌의 개수는 [eqn: 132`](개)

이다.

(ⅱ) [eqn: 198`]이 적힌 검은색 바둑돌의 개수

제[eqn: `n`]행의 검은색의 바둑돌에 [eqn: 198`]이 적혀있다고 하면

[eqn: 198`]은 [eqn: 4`]개 또는 [eqn: 6`]개의 흰색의 바둑돌에 적힌 숫자의

합이다.

[eqn: ①] [eqn: 4`]개의 흰색의 바둑돌에 적힌 숫자의 합이 [eqn: 198`]일

경우

[eqn: n-1+n+2(n+1)=198], [eqn: 4n`=197`]

이를 만족하는 자연수 [eqn: n`]은 존재하지 않는다.

[eqn: ②] [eqn: 6`]개의 흰색의 바둑돌에 적힌 숫자의 합이 [eqn: 198`]일

경우

[eqn: 2(n-1)+2n+2(n+1)=198], [eqn: 6n`=198`]

[eqn: therefore~][eqn: n= 33]

그런데 [eqn: 33`=3times11`]이므로 제[eqn: `33`]행에는 검은색의

바둑돌이 [eqn: 12`]개 있다. 이때, 양 끝에 놓인 검은색의

바둑돌에 적힌 수는 [eqn: 4`]개의 흰색의 바둑돌에 적힌

숫자의 합과 같으므로 이를 제외하면 [eqn: 198`]이 적힌

검은색의 바둑돌의 개수는 [eqn: 10](개)이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: 198`]이 적힌 바둑돌의 개수는

[eqn: 132+10`][eqn: =142`](개)

30. 통계

정답 59

확률변수 [eqn: X`]는 [eqn: 3,``4,``5`]의 값을 취할 수 있다.

(ⅰ) [eqn: X`=3`]일 때

빨간 공을 [eqn: 3]개 꺼내는 경우 : [eqn: {`_5{\C}_3 times`_5{\C}_2 }over{`_10{\C}_5 }`={25 over 63}`]

파란 공을 [eqn: 3]개 꺼내는 경우 : [eqn: {`_5{\C}_2 times`_5{\C}_3 }over{`_10{\C}_5 }`={25 over 63}`]

[eqn: therefore~][eqn: {\P}(X=3)`={25over63}+{25over63}`={50over63}]

(ⅱ) [eqn: X`=4`]일 때

빨간 공을 [eqn: 4]개 꺼내는 경우 : [eqn: {`_5`{\C}_4 times`_5`{\C}_1 }over{`_10`{\C}_5 }`={25 over 252}`]

파란 공을 [eqn: 4]개 꺼내는 경우 : [eqn: {`_5`{\C}_1 times`_5`{\C}_4 }over{`_10`{\C}_5 }`={25 over 252}`]

[eqn: therefore~][eqn: {\P}(X=4)`={25over252}+{25over252}`={25over126}]

(ⅲ) [eqn: X`=5]일 때

빨간 공을 [eqn: 5]개 꺼내는 경우 : [eqn: {`_5`{\C}_5 times`_5`{\C}_0 }over{`_10`{\C}_5 }`={1 over 252}`]

파란 공을 [eqn: 5]개 꺼내는 경우 : [eqn: {`_5`{\C}_0 times`_5`{\C}_5 }over{`_10`{\C}_5 }`={1 over 252}`]

[eqn: therefore~][eqn: {\P}(X=5)`={1over252}+{1over252}`={1over126}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 확률변수 [eqn: X`]의 확률분포표는 다음과

같다.

[eqn: X]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	계
[eqn: {\P}(X`=x)]	[eqn: 50 over 63]	[eqn: 25 over 126]	[eqn: 1over 126]	[eqn: 1]

이때, 확률변수 [eqn: X`]의 평균 [eqn: {\E}(X`)`]는

[eqn: {\E}(X`)`=3times{50over63}`+4times{25over126}`+5times{1over126}][eqn: ={45over14}]

따라서 확률변수 [eqn: Y`=14X+14]의 평균 [eqn: {\E}(Y``)`]는

[eqn: {\E}(Y``)`][eqn: ={\E}(14X`+14)`]

[eqn: =14`{\E}(X`)+14`]

[eqn: =14times{45over14}` +14`]

[eqn: =59`]