• 2교시 수학 영역 •

[나형]

1	④	2	③	3	②	4	①	5	⑤
6	③	7	⑤	8	④	9	⑤	10	②
11	②	12	①	13	④	14	①	15	⑤
16	④	17	③	18	①	19	③	20	②
21	①	22	2	23	21	24	6	25	10
26	16	27	8	28	13	29	192	30	48

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 9 ^{{3} over {2}}][eqn: = LEFT ( 3 ^{2} RIGHT ) ^{{3} over {2}}][eqn: =3 ^{3}][eqn: =27]

2. [출제의도] 등차수열 계산하기

수열 [eqn: LEFT { `a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 1]이고 공차가 [eqn: 4]인 등차수열
이므로 일반항은
[eqn: a _{n}][eqn: =1+4 LEFT ( n-1 RIGHT )][eqn: =4n-3]

따라서 [eqn: a _{3}=9]

3. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `0} {{x LEFT ( x+2 RIGHT )} over {x}}][eqn: = lim _{x` -> `0} {LEFT ( x+2 RIGHT )}][eqn: =2]

4. [출제의도] 미분계수 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +7x+6]에서 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =2x+7]

따라서 [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT ) =11]

5. [출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {3}], [eqn: 0 LEQ 3x LEQ pi]에서 [eqn: sin {pi } over {2} =1]

[eqn: sin3x=1]에서 [eqn: 3x={pi}over {2}]

따라서 [eqn: x={pi} over {6}]

6. [출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

[eqn: lim _{x` -> `2} {2f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: =2 TIMES lim _{x` -> `2} {f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: =2]이므로

[eqn: lim _{x` -> `2} {g LEFT ( x RIGHT )}][eqn: = lim _{x` -> `2} {LEFT { 2f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) -2f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }}]
[eqn: = lim _{x` -> `2} {LEFT { 2f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} - lim _{x` -> `2} {2f LEFT ( x RIGHT )}]
[eqn: =8-2][eqn: =6]

7. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) + lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: =1+1][eqn: =2]

8. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 추론하기

[eqn: a _{n+1} +a _{n} =n+3]에서 [eqn: a _{n+1} =n+3-a _{n}]

[eqn: n=1]일 때, [eqn: a _{1} =1]이므로 [eqn: a _{2}][eqn: =1+3-a _{1}][eqn: =3]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: a _{3}][eqn: =2+3-a _{2}][eqn: =2]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: a _{4}][eqn: =3+3-a _{3}][eqn: =4]

9. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{3} -4x+a RIGHT )]에서

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{3} -4x+a RIGHT ) + LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( 3x ^{2} -4 RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = LEFT ( a-3 RIGHT ) +1][eqn: =6]

따라서 [eqn: a=8]

10. [출제의도] 코사인법칙 이해하기

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: rm "C"]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: sqrt {11}]

[eqn: theta]

[eqn: cos theta][eqn: = {4 ^{2} +5 ^{2} - LEFT ( sqrt {11} RIGHT ) ^{2}} over {2 TIMES 4 TIMES 5}][eqn: = {30} over {40}][eqn: = {3} over {4}]

11. [출제의도] 지수함수를 활용하여 문제해결하기

두 점 [eqn: rm A], [eqn: rmB]의 좌표를 각각 [eqn: LEFT ( `a,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `b,``4 RIGHT )]라 하자.
[eqn: {2 ^{`a}} over {3} =1], [eqn: {2 ^{`b}} over {3} =4]이므로 [eqn: 2 ^{`a} =3], [eqn: 2 ^{`b} =12]

[eqn: 2 ^{`b-a}][eqn: = {2 ^{`b}} over {2 ^{`a}}][eqn: = {12} over {3}][eqn: =4]에서 [eqn: b-a=2]

따라서 직선 [eqn: rm AB]의 기울기는

[eqn: {4-1} over {b-a} = {3} over {2}]

[다른 풀이]

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표를 각각 [eqn: LEFT (` a,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `b,``4 RIGHT )]라 하자.
[eqn: y= {2 ^{`x}} over {3}]에서 [eqn: 3y=2 ^{`x}], [eqn: x=log _{`2`} 3y]이므로

[eqn: a=log _{`2`} LEFT ( 3 TIMES 1 RIGHT )][eqn: =log _{`2`} 3]

[eqn: b=log _{`2`} LEFT ( 3 TIMES 4 RIGHT )][eqn: =log _{`2`} 12]

[eqn: b-a][eqn: =log _{`2`} 12-log _{`2`} 3][eqn: =log _{`2`} 4][eqn: =2]

따라서 직선 [eqn: rm AB]의 기울기는

[eqn: {4-1} over {b-a} = {3} over {2}]

12. [출제의도] 다항함수의 미분 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `1} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1} }=5]이고 [eqn: lim _{x`-> `1} {LEFT ( x-1 RIGHT ) }=0]이므로

[eqn: lim _{x` -> `1} {f LEFT ( x RIGHT ) }=0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +ax+b]에서

[eqn: lim _{x` -> `1} {f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: =f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2+a+b][eqn: =0]

[eqn: lim _{x` -> `1} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}}][eqn: = lim _{x` -> `1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}][eqn: =f` prime LEFT ( 1 RIGHT )]이고

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =4x+a]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =4+a][eqn: =5]에서 [eqn: a=1]
[eqn: 2+a+b=0]에서 [eqn: b= it -3]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +x-3]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =7]

13. [출제의도] 미분가능성 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하므로 [eqn: x=1]에서
연속이다. 즉, [eqn: lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: = lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: =f LEFT ( 1 RIGHT )]
[eqn: lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )} =2+b],

[eqn: lim _{x `->` 1-} {f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: =f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1-a+b]이므로

[eqn: 2+b=1-a+b]에서 [eqn: a= it -1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{x` -> `1-} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}} = lim _{x` -> `1+} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}]

[eqn: lim _{x` -> `1-} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}}][eqn: =3-2a+b][eqn: =5+b]

[eqn: lim _{x` -> `1+} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}} =2]

[eqn: 5+b=2]에서 [eqn: b= it -3]

따라서 [eqn: a TIMES b=3]

14. [출제의도] 등차수열과 등비수열 이해하기

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: 6]이 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: 2b=a+6] … ㉠

[eqn: a], [eqn: 6], [eqn: b]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: 6 ^{2} =ab] … ㉡

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: LEFT ( 2b-6 RIGHT ) b=36]
[eqn: b ^{2} -3b-18][eqn: =(b-6)(b+3)][eqn: =0]

[eqn: b=6] 또는 [eqn: b= it -3]

㉠에서 [eqn: b=6]일 때 [eqn: a=6]이므로 조건에 맞지 않는다.

[eqn: b= it -3]일 때 [eqn: a= it -12]

따라서 [eqn: a+b][eqn: = it -12-3][eqn: = it -15]

15. [출제의도] 삼각함수의 뜻 이해하기

[eqn: rm `A]

[eqn: rm `B]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: rm `C]

[eqn: rm `O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=2]

[eqn: it-1]

[eqn: it - sqrt {5}]

직선 [eqn: y=2]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =5]와 제[eqn: 2]사분면에서
만나는 점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: LEFT ( -1,``2 RIGHT )]이고
[eqn: rm {bar{OA}} = sqrt {5}]이므로 [eqn: sin alpha = {2} over {sqrt {5}}]

직선 [eqn: y=2]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =9]와 제[eqn: 2]사분면에서
만나는 점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: LEFT ( - sqrt {5} ,``2 RIGHT )]이고
[eqn: rm {bar{OB}} =3]이므로 [eqn: cos beta =it- {sqrt {5}} over {3}]

따라서 [eqn: sin alpha TIMES cos beta][eqn: = {2} over {sqrt {5}} TIMES LEFT ( - {sqrt {5}} over {3} RIGHT )][eqn: = it -{2} over {3}]

16. [출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

[eqn: rm A it LEFT ( `t,` sqrt {t} RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( `t+4,` sqrt {t+4} RIGHT )], [eqn: rm C it LEFT ( `t+4,` sqrt {t} RIGHT )]이므로

[eqn: {bar{rm AC it}} =4], [eqn: {bar{rm BC it}} = sqrt {t+4} - sqrt {t}]

삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는

[eqn: S` LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} TIMES 4 TIMES LEFT ( sqrt {t+4} - sqrt {t} RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( sqrt {t+4} - sqrt {t} RIGHT )]

[eqn: lim _{t` -> ` INF } {{sqrt {t} TIMES S` LEFT ( t RIGHT )} over {2}}]

[eqn: = lim _{t` -> ` INF } {sqrt {t} TIMES LEFT ( sqrt {t+4} - sqrt {t} RIGHT )}]
[eqn: = lim _{t` -> ` INF } {{sqrt {t} TIMES LEFT ( sqrt {t+4} - sqrt {t} RIGHT ) LEFT ( sqrt {t+4} + sqrt {t} RIGHT )} over {sqrt {t+4} + sqrt {t}}}]
[eqn: = lim _{t` -> ` INF } {{4 sqrt {t}} over {sqrt {t+4} + sqrt {t}}}]
[eqn: = lim _{t` -> ` INF } {{4} over {sqrt {1+ {4} over {t}} +1}}]
[eqn: = {4} over {1+1}][eqn: =2]

17. [출제의도] 등비수열 이해하기

등비수열 [eqn: LEFT { `a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{2} `a _{6} =ar TIMES ar ^{5} =a ^{2} r ^{6} =1] … ㉠

[eqn: S _{3} =3a _{3}]이고 [eqn: r<0]이므로 [eqn: {a LEFT ( 1-r ^{3} RIGHT )} over {1-r} =3ar ^{2}]
[eqn: r ^{2} +r+1=3r ^{2}], [eqn: LEFT ( 2r+1 RIGHT ) LEFT ( r-1 RIGHT ) =0]에서 [eqn: r=it- {1} over {2}]

[eqn: a>0]이고 ㉠에서 [eqn: a ^{2} =64]이므로 [eqn: a=8]

따라서 [eqn: a _{7} =8 TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{6} = {1} over {8}]

18. [출제의도] 지수방정식을 이용하여 추론하기

	[eqn: l _{4}]	[eqn: l _{5}]	[eqn: l _{6}]
[eqn: l _{1}]	[eqn: 4 ^{`a}]	[eqn: p]	[eqn: -2 ^{`a+1}]	[eqn: S _{1}]
[eqn: l _{2}]	[eqn: q]	[eqn: 2 ^{`a+3} -16]	[eqn: r]	[eqn: S _{2}]
[eqn: l _{3}]	[eqn: -2 ^{`a+1}]	[eqn: 2 ^{`a+3} -16]	[eqn: s]	[eqn: S _{3}]
	[eqn: S _{4}]	[eqn: S _{5}]	[eqn: S _{6}]

그림과 같이 빈 칸에 들어갈 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r], [eqn: s]라
하자.

[eqn: S _{1} =S _{4}]이므로 [eqn: q=p]

[eqn: S _{3} =S _{6}]이므로 [eqn: r=2 ^{`a+3} -16]

[eqn: S _{3} =S _{4}]이므로 [eqn: s][eqn: =4 ^{`a} -2 ^{`a+3} +16+p]

	[eqn: l _{4}]	[eqn: l _{5}]	[eqn: l _{6}]
[eqn: l _{1}]	[eqn: 4 ^{`a}]	[eqn: p]	[eqn: -2 ^{`a+1}]	[eqn: S _{1}]
[eqn: l _{2}]	[eqn: p]	[eqn: 2 ^{`a+3} -16]	[eqn: 2 ^{`a+3} -16]	[eqn: S _{2}]
[eqn: l _{3}]	[eqn: -2 ^{`a+1}]	[eqn: 2 ^{`a+3} -16]	[eqn: 4 ^{`a} -2 ^{`a+3} +16+p]	[eqn: S _{3}]
	[eqn: S _{4}]	[eqn: S _{5}]	[eqn: S _{6}]

[eqn: S _{1}][eqn: =S _{3}][eqn: =S _{4}][eqn: =S _{6}][eqn: =4 ^{`a} -2 ^{`a+1} +p]

[eqn: S _{2}][eqn: =S _{5}][eqn: =2 ^{`a+4} -32+p]이므로

[eqn: 4 ^{`a} -2 ^{`a+1} +p=2 ^{`a+4} -32+p]

[eqn: LEFT ( 2 ^{`a} RIGHT ) ^{2} -18 TIMES 2 ^{`a} +32=0]

[eqn: LEFT ( 2 ^{`a} -2 RIGHT ) LEFT ( 2 ^{`a} -16 RIGHT ) =0]

[eqn: 2 ^{`a} =2] 또는 [eqn: 2 ^{`a} =16]

[eqn: a=1] 또는 [eqn: a=4]

따라서 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 5]

19. [출제의도] 수열을 이용하여 추론하기

세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: d]는 [eqn: 2b=a+d]를 만족시키므로
이 순서대로 등차수열을 이룬다.

이 등차수열의 공차가 될 수 있는 가장 작은 값은 [eqn: 2],
가장 큰 값은 [eqn: LEFT . {BOX{```````10 _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]이다.
이 등차수열의 공차를 [eqn: k][eqn: LEFT ( 2 LEQ k LEQ LEFT . {BOX{```````10 _{`}^{`} ```````}} RIGHT . ` RIGHT )]이라 하면
[eqn: 1 LEQ a<a+k<c<a+2k LEQ 21]이므로

[eqn: c]가 될 수 있는 모든 자연수의 개수는 [eqn: k-1]이고
[eqn: a]가 될 수 있는 모든 자연수의 개수는
[eqn: LEFT . {BOX{```````21-2k _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]이다.

따라서 구하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( `a,``b,``c,``d RIGHT )]의 개수는
[eqn: sum _{k=2} ^{{}_{`} {BOX{```10 _{`}^{`} ```}} _{`}} LEFT { LEFT ( ` LEFT . k-1 RIGHT . ` RIGHT ) TIMES LEFT ( LEFT . {BOX{```````21-2k _{`}^{`} ```````}} RIGHT .` RIGHT ) RIGHT } `]

[eqn: = sum _{k=2} ^{10} LEFT ( -2k ^{2} +23k-21 RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( -2k ^{2} +23k-21 RIGHT ) `-` LEFT ( -2 TIMES 1 ^{2} +23 TIMES 1-21 RIGHT )]

[eqn: = it -2 TIMES {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} +23 TIMES {10 TIMES 11} over {2} -21 TIMES 10]

[eqn: = LEFT . {BOX{``````` _{`}^{`} 285 _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]

따라서 [eqn: p=10], [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =21-2k], [eqn: q=285]이므로

[eqn: p+q+f LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =10+285+15=310]

20. [출제의도] 로그함수를 이용하여 추론하기

[eqn: LEFT | log _{`2`} x-n RIGHT | =1]에서

[eqn: log _{`2`} x-n= it 1] 또는 [eqn: log _{`2`} x-n= it -1]

[eqn: x=2 ^{`n+1}] 또는 [eqn: x=2 ^{`n-1}]
[eqn: LEFT | log _{`2`} x-n RIGHT | =2]에서

[eqn: log _{`2`} x-n= it 2] 또는 [eqn: log _{`2`} x-n= it -2]

[eqn: x=2 ^{`n+2}] 또는 [eqn: x=2 ^{`n-2}]

ㄱ. [eqn: {bar{rm A it rm _{1} rm B it rm _{1}}} =2 ^{`2} -2 ^{`0} =3] (참)

ㄴ. [eqn: {bar{rm A it rm _{n} rm B it rm _{n}}} =2 ^{`n+1} -2 ^{`n-1} =2 ^{`n} (2-2 ^{-1} )][eqn: = {3} over {2} TIMES 2 ^{`n}]
[eqn: {bar{rm C it rm _{n} rm D it rm _{n}}} =2 ^{`n+2} -2 ^{`n-2} =2 ^{`n} (2 ^{`2} -2 ^{-2} )= {15} over {4} times2 ^{`n}]
따라서 [eqn: {bar{rm A it rm _{n} rm B it rm _{n}}} : {bar{rm C it rm _{n} rm D it rm _{n}}} = {3} over {2} : {15} over {4} =2:5] (참)

ㄷ. [eqn: S _{n}][eqn: = {1} over {2} LEFT ( {bar{rm A it rm _{n} rm B it rm _{n} it}} + {bar{rm C it rm _{n} rm D it rm _{n} it}} RIGHT ) = {1} over {2} LEFT ( {bar{rm A it rm _{n} rm B it rm _{n} it}} + {5} over {2} {bar{rm A it rm _{n} rm B it rm _{n} it}} RIGHT )]
[eqn: = {7} over {4} {bar{rm A it rm _{n} rm B it rm _{n} it}} = {21} over {8} TIMES 2 ^{`n}]

따라서 [eqn: S _{n} =21 TIMES 2 ^{`n-3}]
[eqn: 21 LEQ 21 TIMES 2 ^{`k-3} LEQ 210]
[eqn: 1 LEQ 2 ^{`k-3} LEQ 10]을 만족하는 자연수 [eqn: k`]의 값은
[eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]
모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 18] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

21. [출제의도] 로그를 이용하여 추론하기

[eqn: log _{`a`} b= {q} over {p}]([eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수)라 하면
서로 다른 유리수 [eqn: {q} over {p}]의 개수는
서로 다른 순서쌍 [eqn: LEFT ( `p,``q RIGHT )]의 개수와 같다.

[eqn: log _{`a`} b= {q} over {p}]이므로 [eqn: b=a ^{{q} over {p}}], [eqn: a ^{`q} =b ^{`p}]

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: p], [eqn: q]가 모두 자연수이므로, 어떤 자연수 [eqn: c]에
대하여 [eqn: a=c ^{`p}], [eqn: b=c ^{`q}]이다.

[eqn: 4<a<b<200]이므로 [eqn: 4<c ^{`p} <c ^{`q} <200]이다.

(ⅰ) [eqn: c=2]일 때

[eqn: 4<2 ^{`p} <2 ^{`q} <200]이고 이를 만족시키는

[eqn: p], [eqn: q]의 순서쌍을 구하면 [eqn: LEFT ( `p,``q RIGHT )]는

[eqn: LEFT ( `3,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `3,``5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `3,``7 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `4,``5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `4,``7 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `5,``6 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( `5,``7 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `6,``7 RIGHT )]이므로 [eqn: 8`]개

(ⅱ) [eqn: c=3]일 때

[eqn: 4<3 ^{`p} <3 ^{`q} <200]이고 이를 만족시키는

[eqn: p], [eqn: q]의 순서쌍을 구하면 [eqn: LEFT ( `p,``q RIGHT )]는

[eqn: LEFT ( `2,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `3,``4 RIGHT )]이므로 [eqn: 2`]개

(ⅲ) [eqn: c=4]일 때

[eqn: 4<4 ^{`p} <4 ^{`q} <200]이고 이를 만족시키는

[eqn: p], [eqn: q]의 순서쌍을 구하면 [eqn: LEFT ( `p,``q RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( `2,``3 RIGHT )]이므로 [eqn: 1`]개

(ⅳ) [eqn: c=5]일 때

[eqn: 4<5^p <5^q <200]이고 이를 만족시키는

[eqn: p], [eqn: q]의 순서쌍을 구하면 [eqn: LEFT ( `p,``q RIGHT )]는

[eqn: LEFT ( `1,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `1,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``3 RIGHT )]이므로 [eqn: 3`]개

(ⅴ) [eqn: 6 LEQ c LEQ 14]일 때

[eqn: 4<c ^{``p} <c ^{`q} <200]이고 이를 만족시키는

[eqn: p], [eqn: q]의 순서쌍을 구하면 [eqn: LEFT ( `p,``q RIGHT )]는

[eqn: LEFT ( `1,``2 RIGHT )]뿐이므로 모두 (ⅳ)의 경우에 포함된다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서
[eqn: LEFT ( `2,``3 RIGHT )]이 세 번, [eqn: LEFT ( `3,``4 RIGHT )]가 두 번 중복되었으므로

서로 다른 순서쌍 [eqn: LEFT ( `p,``q RIGHT )]의 개수는
[eqn: LEFT ( 8+2+1+3 RIGHT ) -2-1=11]

따라서 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =11]

[다른 풀이]

[eqn: log _{`a`} b= {q} over {p}]([eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수)라 하면
[eqn: b=a ^{{q} over {p}}]이고 [eqn: n LEFT ( A RIGHT )]는 서로 다른 [eqn: {q} over {p}]의 개수와 같다.
(ⅰ) [eqn: p=1]일 때

[eqn: a]는 [eqn: 4<a<200]을 만족하는 자연수이고

[eqn: 4]보다 큰 자연수 중 가장 작은 수는 [eqn: 5]이므로

[eqn: 4<a<a ^{q} <200]을 만족하는 모든 자연수 [eqn: q]는

[eqn: 4<5<5 ^{q} <200]을 만족한다.

따라서 [eqn: {q} over {p}]는 [eqn: 2], [eqn: 3]이다.

(ⅱ) [eqn: p GEQ 2]일 때

[eqn: a ^{{q} over {p}} `]이 자연수이므로 [eqn: a ^{{1} over {p}}]은 자연수이다.

따라서 [eqn: a]가 될 수 있는 가장 작은 자연수는 [eqn: 2 ^{`p}]

(단, [eqn: p=2]일 때 [eqn: 4<a]에서 [eqn: a=3 ^{2}])

따라서 [eqn: 4<a<200]이고 [eqn: a ^{{1} over {p}}]이 자연수인 모든

자연수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 4<a<a ^{{q} over {p}} <200]을 만족하는
모든 자연수 [eqn: q]는 [eqn: 4<2 ^{p} < LEFT ( 2 ^{p} RIGHT ) ^{{q} over {p}} <200]을 만족한다.

따라서 서로 다른 유리수 [eqn: {q} over {p}]의 개수는
[eqn: 4<2 ^{p} <2 ^{q} <200]을 만족시키는 [eqn: {q} over {p}]의 개수와 같다.

ⅰ) [eqn: p=2]일 때
[eqn: 4<3 ^{`2} <3 ^{`q} <200]을 만족하는
[eqn: p]와 서로소인 자연수 [eqn: q]는 [eqn: 3]이다.
따라서 [eqn: {q} over {p}]는 [eqn: {3} over {2}]이다.

ⅱ) [eqn: p=3]일 때
[eqn: 4<2 ^{`3} <2 ^{`q} <200]을 만족하는
[eqn: p]와 서로소인 자연수 [eqn: q]는 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 7]이다.
따라서 [eqn: {q} over {p}]는 [eqn: {4} over {3}], [eqn: {5} over {3}], [eqn: {7} over {3}]이다.

ⅲ) [eqn: p=4]일 때
[eqn: 4<2 ^{`4} <2 ^{`q} <200]을 만족하는
[eqn: p]와 서로소인 자연수 [eqn: q]는 [eqn: 5], [eqn: 7]이다.
따라서 [eqn: {q} over {p}]는 [eqn: {5} over {4}], [eqn: {7} over {4}]이다.

ⅳ) [eqn: p=5]일 때
[eqn: 4<2 ^{`5} <2 ^{`q} <200]을 만족하는
[eqn: p]와 서로소인 자연수 [eqn: q]는 [eqn: 6], [eqn: 7]이다.
따라서 [eqn: {q} over {p}]는 [eqn: {6} over {5}], [eqn: {7} over {5}]이다.

ⅴ) [eqn: p=6]일 때
[eqn: 4<2 ^{`6} <2 ^{`q} <200]을 만족하는
[eqn: p]와 서로소인 자연수 [eqn: q]는 [eqn: 7]이다.
따라서 [eqn: {q} over {p}]는 [eqn: {7} over {6}]이다.

[eqn: 4<2 ^{`7} <200<2 ^{`8}]이므로 [eqn: p GEQ 7]일 때 조건을
만족하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: {q} over {p}]의 개수는 [eqn: 11]이다.
따라서 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =11]

22. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log _{`3`} 18-log _{`3`} 2][eqn: =log _{`3`} {18} over {2}][eqn: =log _{`3`} 3 ^{2}][eqn: =2]

23. [출제의도] 미분계수 이해하기

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 4+h RIGHT ) -f LEFT ( 4 RIGHT )} over {3h}}][eqn: = {1} over {3} TIMES lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 4+h RIGHT ) -f LEFT ( 4 RIGHT )} over {h}}]
[eqn: = {1} over {3} f` prime LEFT ( 4 RIGHT ) =7]

따라서 [eqn: f` prime LEFT ( 4 RIGHT ) =3 TIMES 7=21]

24. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 성질 이해하기

함수 [eqn: y=3 ^{`x} +2]의 그래프의 점근선의 방정식은
[eqn: y=2]

함수 [eqn: y=log` _{3} ` LEFT ( x-4 RIGHT )]의 그래프의 점근선의 방정식은
[eqn: x=4]

따라서 두 점근선이 만나는 점의 좌표는
[eqn: LEFT ( `4,``2 RIGHT )]이므로 [eqn: a+b]의 값은 [eqn: 6]

25. [출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기

삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: cos theta = {sqrt {5}} over {3}]이므로
[eqn: sin theta][eqn: = sqrt {1-cos ^{2} theta }][eqn: = sqrt {1- LEFT ( {sqrt {5}} over {3} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = {2} over {3}]

[eqn: {bar{rm AB it}} =15]이고 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 50]이므로

[eqn: 50][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm AB it}} TIMES {bar{rm BC it}} TIMES `sin theta]
[eqn: = {1} over {2} TIMES 15 TIMES rm {bar{BC}} TIMES {2} over {3}]
[eqn: =5 TIMES {bar{rm BC it}}]

따라서 [eqn: rm {bar{BC}} =10]

26. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax+b]라
하면 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =2x+a]
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 2f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) f` prime LEFT ( x RIGHT )]이므로

[eqn: 2 LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 2x+a RIGHT )]

등식 [eqn: 2x ^{2} +2ax+2b][eqn: =2x ^{2} + LEFT ( a+2 RIGHT ) x+a]는
항등식이므로

[eqn: 2a=a+2], [eqn: 2b=a]에서 [eqn: a=2], [eqn: b=1]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} +2x+1]이므로 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =16]

27. [출제의도] 삼각함수 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3`sin {pi (x+a)} over {2} +b]에서

최댓값은 [eqn: 3+b=5]이고
최솟값은 [eqn: -3+b=it-1]이므로 [eqn: b=2]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3sin {pi } over {2} LEFT ( x+a RIGHT ) +2]의 그래프는
함수 [eqn: y=3sin {pi } over {2} x+2]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로
[eqn: -a]만큼 평행이동한 것이다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+p RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]를 만족하는
최소의 양수 [eqn: p]가 [eqn: 4]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 주기는
[eqn: 4]이다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 함수 [eqn: y=3sin {pi } over {2} x+2]의
그래프와 일치하고 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 주기는 [eqn: 4]이므로
[eqn: a=4k]([eqn: k]는 정수)이다.

[eqn: a]가 양수일 때 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 4]이므로
[eqn: a TIMES b]의 최솟값은 [eqn: 8]

28. [출제의도] 수열의 합을 활용하여 문제해결하기

조건 (가)에서 [eqn: LEFT | a _{5} RIGHT | + LEFT | a _{6} RIGHT | = LEFT | a _{5} +a _{6} RIGHT | +2]이고
공차가 음수이므로 [eqn: a _{5} >0], [eqn: a _{6} <0]이다.

이 수열의 공차를 [eqn: d]라 하면
[eqn: LEFT ( a _{1} +4d RIGHT ) - LEFT ( a _{1} +5d RIGHT ) = LEFT | 2a _{1} +9d RIGHT | +2]

[eqn: LEFT | 2a _{1} +9d RIGHT | =it-d-2]이므로
[eqn: 2a _{1} +9d=d+2], [eqn: a _{1} +4d=1] … ㉠

또는 [eqn: 2a _{1} +9d=it-d-2], [eqn: a _{1} +5d= it -1] … ㉡

조건 (나)에서

[eqn: sum _{n=1} ^{6} LEFT | a _{n} RIGHT |][eqn: = it sum _{n=1} ^{5} a _{n} `-a _{6}]
[eqn: = {5 LEFT ( 2a _{1} +4d RIGHT )} over {2} -a _{1} -5d=37]에서

[eqn: 4a _{1} +5d=37] … ㉢

㉠, ㉢에서 [eqn: a _{1} =13]

㉡, ㉢에서 [eqn: a _{1} = {38} over {3}]은 자연수가 아니다.
따라서 [eqn: a _{1} =13]

29. [출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기

삼각형 [eqn: rmABD]에서 [eqn: angle rmADB =alpha]라 할 때,

삼각형 [eqn: rmABD]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 6]이므로
[eqn: {{bar{rm AB it}}} over {sin alpha} = 12]
[eqn: sin alpha = {3 sqrt {3}} over {12} = {sqrt {3}} over {4}]이므로
[eqn: cos alpha = sqrt{1- left( sqrt3 over4 right)^2} = sqrt13 over4]

[eqn: rmbar{AB} = bar{CD}]이므로 [eqn: ANGLE rm ADB= angle rm CBD]

선분 [eqn: rmAD]와 선분 [eqn: rmBC]는 평행하므로
사각형 [eqn: rmABCD]는 등변사다리꼴이다.

[eqn: alpha]

[eqn: rm H_2]

[eqn: rm H_1]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmAD]에 내린 수선의 발을 각각
[eqn: rmH_1], [eqn: rmH_2]라 할 때,
[eqn: rmbar{rmDH_1}=bar{rmBD}cos alpha][eqn: =8sqrt2 times sqrt13 over4][eqn: =2sqrt26]

[eqn: rmbar{rmBH_1}=bar{rmBD}sin alpha][eqn: =8 sqrt {2} TIMES {sqrt3} over {4}][eqn: =2 sqrt {6}]

[eqn: rmbar{rmAH_1}=rmbar{rmDH_2}]이므로 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이

[eqn: S`][eqn: = {1} over {2} TIMES ( {bar{rm AD it}} + {bar{rm BC it}} ) TIMES {bar{rm BH _{1} it}}]
[eqn: = 1over2 times left{ left( bar{rmDH_1}+bar{rmAH_1} right)+ left( bar{rmDH_1}-bar{rmDH_2}right)right}times bar{rmBH_1}]
[eqn: =bar{rmDH_1}timesbar{rmBH_1}]
[eqn: =2 sqrt {26} TIMES 2 sqrt {6}][eqn: =8sqrt39]

따라서 [eqn: {S ^{2}} over {13} =192]

30. [출제의도] 함수의 연속을 이용하여 추론하기

정의역이 [eqn: LEFT { `x` LEFT | `x GEQ m RIGHT } RIGHT .]인 함수 [eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]의
그래프가 직선 [eqn: y=mx]와 만나는 점의 개수를
[eqn: h _{1} LEFT ( m RIGHT )]이라 하고

정의역이 [eqn: LEFT { `x` LEFT | `x<m RIGHT } RIGHT .]인 함수 [eqn: y=x ^{2} +ax+b]의
그래프가 직선 [eqn: y=mx]와 만나는 점의 개수를
[eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT )]이라 하면 [eqn: g LEFT ( m RIGHT ) =h _{1} LEFT ( m RIGHT ) +h _{2} LEFT ( m RIGHT )]이다.

함수 [eqn: g LEFT ( m RIGHT )]이 [eqn: m=0]에서 연속이므로

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = lim _{m` -> `0+} {g LEFT ( m RIGHT )}][eqn: = lim _{m` -> `0-} {g LEFT ( m RIGHT )}]이고

함수 [eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]의 그래프는 [eqn: x=3]에서 [eqn: x]축에
접하므로

[eqn: lim _{m` -> `0+} {h _{1} LEFT ( m RIGHT )} =2], [eqn: lim _{m` -> `0-} {h _{1} LEFT ( m RIGHT )} =0], [eqn: h _{1} LEFT ( 0 RIGHT ) =1]

[eqn: lim _{m` -> `0+} {g LEFT ( m RIGHT )}][eqn: = lim _{m` -> `0+} {LEFT { h _{1} LEFT ( m RIGHT ) +h _{2} LEFT ( m RIGHT ) RIGHT }}]
[eqn: =2+ lim _{m` -> `0+} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )}]

[eqn: lim _{m` -> `0-} {g LEFT ( m RIGHT )}][eqn: = lim _{m` -> `0-} {LEFT { h _{1} LEFT ( m RIGHT ) +h _{2} LEFT ( m RIGHT ) RIGHT }}]
[eqn: =0+ lim _{m` -> `0-} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )}]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =h _{1} LEFT ( 0 RIGHT ) +h _{2} LEFT ( 0 RIGHT ) =1+h _{2} LEFT ( 0 RIGHT )]

따라서 [eqn: 2+ lim _{m` -> `0+} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )}][eqn: =0+ lim _{m `->` 0-} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )}][eqn: =1+h _{2} LEFT ( 0 RIGHT )]

이때, [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =0] 또는 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =1] 또는 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =2]
이므로

[eqn: h _{2} LEFT ( 0 RIGHT ) =0]일 때

[eqn: 2+ lim _{m` -> `0+} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )}][eqn: =1+h _{2} LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1], [eqn: lim _{m` -> `0+} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )} = it -1]

이므로 성립하지 않는다.

[eqn: h _{2} LEFT ( 0 RIGHT ) =2]일 때

[eqn: 0+ lim _{m` -> `0-} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )}][eqn: =1+h _{2} LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =3],
[eqn: lim _{m` -> `0-} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )} = 3]이므로 성립하지 않는다.

따라서 [eqn: h _{2} LEFT ( 0 RIGHT ) =1]
[eqn: lim _{m` -> `0-} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )} =2], [eqn: lim _{m` -> `0+} {h _{2} LEFT ( m RIGHT )} =0]이므로
[eqn: y=x ^{2} +ax+b]의 그래프는 [eqn: x<0]에서 [eqn: x]축에
접한다.

따라서 [eqn: a>0], [eqn: b= {a ^{2}} over {4}], [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =2]

(ⅰ) 직선 [eqn: y=mx]와 곡선 [eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]의
위치관계를 확인하면
[eqn: mx= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: x ^{2} - LEFT ( 4m+6 RIGHT ) x+9=0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면
[eqn: D= LEFT ( 4m+6 RIGHT ) ^{2} -4 TIMES 9=16m LEFT ( m+3 RIGHT )]
함수 [eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx]는
[eqn: -3<m<0]에서 만나지 않고
[eqn: m=0], [eqn: m= it -3]에서 한 점에서 만나고
[eqn: m< it -3] 또는 [eqn: m>0]에서 두 점에서 만난다.
[eqn: x=m]일 때 직선 [eqn: y=mx]와
곡선 [eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]의 [eqn: y]좌표의 대소관계를 확인하면
[eqn: {1} over {4} LEFT ( m-3 RIGHT ) ^{2} -m ^{2}][eqn: = it - {3} over {4} LEFT ( m+3 RIGHT ) LEFT ( m-1 RIGHT )]이므로

[eqn: m<0]에서
[eqn: -3<m<0]일 때 [eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]의 [eqn: y]좌표가 더 크고
[eqn: m< -3]일 때 [eqn: y=mx]의 [eqn: y]좌표가 더 크다.

직선 [eqn: y=mx]와 함수 [eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]의 그래프의
교점의 개수는 다음과 같다.

ⅰ) [eqn: m<it-3]일 때
[eqn: x GEQ m]에서 교점의 개수 [eqn: h _{1} LEFT ( m RIGHT ) =1]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: m]

[eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: y=mx]

ⅱ) [eqn: m=it-3]일 때
[eqn: x GEQ m]에서 교점의 개수 [eqn: h _{1} LEFT ( m RIGHT ) =1]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: m]

[eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: y=mx]

ⅲ) [eqn: -3<m<0]일 때
[eqn: x GEQ m]에서 교점의 개수 [eqn: h _{1} LEFT ( m RIGHT ) =0]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: m]

[eqn: y= {1} over {4} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: y=mx]

[eqn: g LEFT ( m RIGHT )]은 [eqn: m LEQ 0]에서 연속이고 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =2]이므로
[eqn: m<it-3]일 때 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =1]
[eqn: m=it-3]일 때 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =1]
[eqn: -3<m<0]일 때 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =2]

(ⅱ) 직선 [eqn: y=mx]와 곡선 [eqn: y=x ^{2} +ax+ {a ^{2}} over {4}]의
위치관계를 확인하면
[eqn: x=m]일 때

[eqn: m ^{2} +am+ {a ^{2}} over {4} -m TIMES m=a LEFT ( m+ {a} over {4} RIGHT )]이므로
[eqn: m=it- {a} over {4}]일 때 함수 [eqn: y=x ^{2} +ax+ {a ^{2}} over {4}]의 그래프와
직선 [eqn: y=mx]는 [eqn: x=m]에서 만난다.

ⅰ) [eqn: m< - {a} over {4}]일 때
[eqn: x<m]에서 교점의 개수 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =1]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: - {a} over {4}]

[eqn: y=x ^{2} +ax+b]

[eqn: y=mx]

ⅱ) [eqn: m= it - {a} over {4}]일 때
[eqn: x<m]에서 교점의 개수 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =1]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: - {a} over {4}]

[eqn: y=x ^{2} +ax+b]

[eqn: y=mx]

ⅲ) [eqn: - {a} over {4} <m<0]일 때
[eqn: x<m]에서 교점의 개수 [eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT ) =2]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: - {a} over {4}]

[eqn: y=x ^{2} +ax+b]

[eqn: y=mx]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: h _{2} LEFT ( m RIGHT )]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
(ⅰ)	[eqn: m< -3]	[eqn: m=it-3]	[eqn: -3<m<0]
(ⅱ)	[eqn: m< -{a over4]	[eqn: m= it - {a} over {4}]	[eqn: - {a} over {4} <m<0]

[eqn: m LEQ 0]에서 함수 [eqn: g LEFT ( m RIGHT )]이 연속이 되려면

[eqn: - {a} over {4} =it-3], [eqn: a=12]
[eqn: b= {a ^{2}} over {4}]이므로 [eqn: b=36]

따라서 [eqn: a+b=48]