제2교시 수리영역

[정답]

1.	④	2.	③	3.	①	4.	④	5.	④	6.	⑤	7.	③	8.	②
9.	②	10.	②	11.	①	12.	③	13.	④	14.	④	15.	③	16.	④
17.	③	18.	⑤	19.	⑤	20.	①	21.	③	22.	⑤	23.	①	24.	②
25.	5	26.	-16	27.	11	28.	10	29.	13	30.	2.75

1. [출제의도] 무리식의 계산을 할 수 있다.

[eqn: 2 over {root5 +1} + 2 over {root5 -1} `][eqn: ={2(root5 -1)+2(root5 +1)}over{(root5 +1)(root5 -1)}]

[eqn: = {4root5} over{5-1}][eqn: =root5]

2. [출제의도] 식의 값을 계산할 수 있다.

[eqn: x+y=3`], [eqn: 1over x + 1 over y =3 `]에서

[eqn: x+y over xy = 3over xy =3]이므로 [eqn: xy=1]

3. [출제의도] 이차부등식의 해를 구할 수 있다.

이차항의 계수가 1이고 해가 [eqn: -4`<`x`<`b `]인 이차부등식은

[eqn: (x+4)(x-b)<0]

∴ [eqn: x^2 +(4-b)x-4b`<`0]

이 부등식이 [eqn: x^2 +2x+a`<`0 `]과 같으므로

[eqn: 4-b=2`,``-4b=a]

∴ [eqn: a=-8`,``b=2]

∴ [eqn: a+b=-6]

4. [출제의도] 표준편차를 구할 수 있다.

(분산)[eqn: ={(-2)^2 +2^2 +0^2 +(-1)^2 +1^2}over5 =2]

∴ (표준편차)[eqn: =root2](점)

5. [출제의도] 다항식의 최대공약수를 구할 수 있다.

[eqn: x^3 +2x^2 -x-2 =x^2 (x+2) -(x+2)]

[eqn: =(x+2)(x^2 -1)]

[eqn: =(x+2)(x+1)(x-1)]

[eqn: x^3 -x^2 -4x+4 =x^2 (x-1)-4(x-1)]

[eqn: =(x-1)(x^2 -4)]

[eqn: =(x-1)(x+2)(x-2)]

따라서, 두 다항식의 최대공약수는 [eqn: (x-1)(x+2)=x^2 +x-2] 이다.

6. [출제의도] 비례식을 이해할 수 있다.

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: a]

[eqn: a-c]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

그림에서 △ADE ∽ △ABC이므로

[eqn: (a-c)` ：c`=a：b]

[eqn: ac=b(a-c)] , [eqn: (a+b)c=a b]

∴ [eqn: c= ab over a+b]

7. [출제의도] 이차함수 그래프의 대칭성을 이해할 수 있다.

[eqn: f``(x)=x^2 +ax+b`]에서 [eqn: f``(-4)=f``(2)``]이므로

[eqn: y=f``(x)`]의 그래프에서 대칭축은 [eqn: x= (-4)+2over2 =-1]

따라서, [eqn: f``(x)`]의 최소값은 [eqn: f``(-1)]이다.

8. [출제의도] 표준편차를 이해할 수 있다.

표준편차는 자료가 평균을 중심으로 흩어져 있을수록 크므로 [eqn: A`,``B`]의 표준편차는 같고 [eqn: C`]의 표준편차는 [eqn: A`]보다 크다.

즉, [eqn: a=b``<``c``]이다.

9. [출제의도] 항등식을 이해할 수 있다.

[eqn: x=0`]을 대입하면, [eqn: -4=-2a]  ∴ [eqn: a=2]

[eqn: x=-1`]을 대입하면, [eqn: 4-3-4=3b]  ∴[eqn: b=-1]

[eqn: x=2`]를 대입하면, [eqn: 16+6-4=6c]  ∴ [eqn: c=3]

∴[eqn: abc=-6`]

10. [출제의도] 복소수의 연산을 이용하여 추론할 수 있다.

[eqn: z_2 `,``z_3 `,``z_4 `,``z_5 `,``cdots``]를 차례로 구해보면

[eqn: z_2 = bar z_1 +(1+i`)`=1-2i +(1+i`)=2-i]

[eqn: z_3 = bar z_2 +(1+i`)`=2+i +(1+i`)=3+2i]

[eqn: z_4 = bar z_3 +(1+i`)`=3-2i +(1+i`)=4-i]

[eqn: z_5 = bar z_4 +(1+i`)`=4+i +(1+i`)=5+2i]

[eqn: cdots cdotscdotscdotscdots]

실수부분은 [eqn: 2,3,4,5,cdots]로 나타나고,

허수부분은 [eqn: -1`,``2``]가 반복되어 나타난다.

∴ [eqn: z_100 =100-i``]

11. [출제의도] 삼차방정식을 풀 수 있다.

[eqn: x=1`]이 주어진 방정식의 근이므로 대입하면

[eqn: 1-a+3+2=0]  ∴ [eqn: a=6]

주어진 방정식은

[eqn: x^3 -6x^2 +3x+2=0`], [eqn: (x-1)(x^2 -5x-2)=0`]

따라서, [eqn: alpha `,`` beta `]는 방정식 [eqn: x^2 -5x-2=0`]의 두 근이다.

∴ [eqn: alpha + beta =5`], [eqn: alpha beta =-2`]

∴ [eqn: alpha^2 + beta^2 =(alpha+beta)^2 -2alpha beta `][eqn: =25-2(-2)][eqn: =29`]

12. [출제의도] 함수의 그래프를 이해할 수 있다.

주어진 일차함수의 그래프에서 기울기와 [eqn: y`]절편을 조사하면

[eqn: a`>`0`,``b`<`0`,``c`<`0``]임을 알 수 있다. 따라서, 이차함수의 그래프는

[eqn: rm O`]

[eqn: y`]

[eqn: x`]

(ⅰ) 이차항의 계수: [eqn: a`>`0]

(ⅱ) 대칭축: [eqn: x= - b over 2a `>`0]

(ⅲ) [eqn: y``]절편: [eqn: c`<`0]

이므로 이차함수 [eqn: y=ax^2 +bx+c`]의

그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같다.

13. [출제의도] 복소수의 연산을 이해할 수 있다.

ㄱ. [eqn: left( 1over2 right)^2 +left( 1over2 right)^2 = 1over2 !=1]이므로 [eqn: 1over2 + 1over2 i `not in`A]

ㄴ. [eqn: z= a+bi`in `A]라 하면 [eqn: bar z =a-bi`]

[eqn: a^2 +(-b)^2 =a^2 +b^2 =1]

∴ [eqn: barz`in`A]

ㄷ. [eqn: z bar z = (a+bi)(a-bi)][eqn: =a^2 +b^2 =1]

∴ [eqn: z barz`=`1]

따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

14. [출제의도] 방정식을 이해하고 문제를 해결할 수 있다.

ㄱ. [eqn: a=1`,``b=1`,``c=2`]이면 주어진 방정식은

[eqn: (x-1)(x+1)(x-2)=(x+1)(x-1)(x+2)]

이므로 [eqn: x=1`,``-1]인 실근을 갖는다. 따라서 거짓이다.

ㄴ. [eqn: a=0]이면 [eqn: x(x+b)(x-c)=x(x-b)(x+c)]이므로

[eqn: x=0]인 실근을  갖는다.

[eqn: b=0`,``c=0`]일 때도 같은 방법으로 [eqn: x=0`]인 실근을 갖는다.

따라서, 참이다.

ㄷ. [eqn: abc!=0`]이고 [eqn: a=b=c`]이면 주어진 방정식은

[eqn: (x-a)^2 (x+a)=(x+a)^2 (x-a)]

[eqn: 2a(x-a)(x+a)=0]

[eqn: a!=0`]이므로 [eqn: x= a`,``-a`]의 두 실근을 갖는다. 따라서, 참이다.

그러므로, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

15. [출제의도] 원과 직선을 이해하고 문제를 해결할 수 있다.

[eqn: x^2 +y^2 -4x-6y=0`]에서 원은 원점 [eqn: rm O]를 지나고

[eqn: (x-2)^2 +(y-3)^2 =13`]이므로

중심이 [eqn: (2,3)]이고 반지름의 길이가 [eqn: root13`]인 원이다.

오른쪽 그림에서

원에 내접하는 직사각형 [eqn: rmOABC`]의

[eqn: (2,3)]

A

C

B

[eqn: y]

[eqn: x]

O

대각선 [eqn: rmOB`]는 원의 중심을 지나므로

직선 [eqn: rmOB`]의 기울기는

두 점 [eqn: (0,0)], [eqn: (2,3)]을 지나는

직선의 기울기와 같다.

∴(직선[eqn: rmOB]의 기울기)[eqn: = 3over2]

16. [출제의도] 자연수의 성질을 추론할 수 있다.

칸 안의 수로 나누어 떨어지는 경우에만 오른쪽으로 이동하고 그 이외에는 아래쪽으로 이동하므로 [eqn: rmA_3 `]에 도착할 수 있는 카드는 오른쪽으로 이동한 횟수가 2번뿐인 카드이다. 즉, 카드에 적힌 수는 [eqn: 1`]을 제외하고 두 수로만 나누어 떨어지는 수이다.

[eqn: 1]부터 [eqn: 100]까지의 자연수 중에서 [eqn: 1`]을 제외하고 두 수로만 나누어떨어지는 수는 [eqn: 1]을 제외한 약수의 개수가 2개인 수이므로 [eqn: p^2 ``(p]는 소수)의 형태이다. 따라서, [eqn: rmA_3 `]에 도착할 수 있는 카드는 [eqn: 2^2 `,``3^2 `,``5^2 `,``7^2 `]  즉, [eqn: 4`,``9`,``25`,``49`]가 적힌 4장뿐이다.

17. [출제의도] 정수의 성질을 이용하여 증명할 수 있다.

[eqn: a= 2m+1], [eqn: b=2n+1] ([eqn: m,n]은 정수)라 하면

[eqn: A= {ab-1}over2 =][eqn: +m+n]  --------------------(가)

[eqn: 2mn]

[eqn: B= {a-1}over2 + {b-1}over2][eqn: =m+n]

∴ [eqn: A-B=]  ----------------------------(가)

[eqn: 2mn]

따라서,  이다. --(나)

[eqn: A,B`]는 모두 짝수이거나 모두 홀수

18. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 증명할 수 있다.

점 C를 중심으로 시계방향으로 삼각형 ABP를 [eqn: 60°] 회전이동한 것을 삼각형 BOQ라 하자. 이 때, ∠BPC의 크기는 호 BC에 대한 중심각이 [eqn: 60°]이므로  원주각의 성질에 의하여 ∠BPC[eqn: =]이다. 또,[eqn: rm barCP = barCQ`],[eqn: rm ANGLE PCQ`]=[eqn: 60°] 이므로 삼각형 CPQ는 이다.

•

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: 150°`]

정삼각형

따라서, 삼각형 QBP는 직각삼각형이므로

[eqn: rm barBQ `^2 =barPB `^2 +barPQ `^2 `]이 성립한다.

그런데, [eqn: rm barBQ = barPA`], [eqn: rm barPQ = barPC`] 이므로 [eqn: rm barPA `^2 =barPB `^2 +barPC `^2 `] 이다.

19. [출제의도] 부분집합의 개수를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

집합 [eqn: A_1`], [eqn: A_2`], …[eqn: A_31`] 중에서

(ⅰ) 최소인 원소가 [eqn: 1]인 집합은

[eqn: 1]만 속하는 집합이므로 부분집합의 개수는 [eqn: 2^0 =1`](개)

(ⅱ) 최소인 원소가 [eqn: 1 over 2`]인 집합은

[eqn: 1 over 2`]은 속하고 [eqn: 1 over 2^2`], [eqn: 1 over 2^3`], [eqn: 1 over 2^4`]은 속하지 않는 집합

이므로 부분집합의 개수는 [eqn: 2^1 =2 `](개)

(ⅲ) 최소인 원소가 [eqn: 1 over 2^2`]인 집합은

[eqn: 1 over 2^2`]은 속하고 [eqn: 1 over 2^3`], [eqn: 1 over 2^4`]은 속하지 않는 집합

이므로 부분집합의 개수는 [eqn: 2^2 =4 `](개)

(ⅳ) 최소인 원소가 [eqn: 1 over 2^3`]인 집합은

[eqn: 1 over 2^3`]은 속하고 [eqn: 1 over 2^4`]은 속하지 않는 집합

이므로 부분집합의 개수는 [eqn: 2^3 =8 `](개)

(ⅴ) 최소인 원소가 [eqn: 1 over 2^4`]인 집합은

[eqn: 1 over 2^4`]이 속하는 집합이므로 부분집합의 개수는 [eqn: 2^4 =16 `](개)

따라서, 최소인 원소들의 합은

[eqn: 1 ×1+ 1 over 2 × 2 + 1 over 2^2 ×4 + 1 over 2^3 ×8 + 1 over 2^4 × 16 = 5`]

20. [출제의도] 이차방정식을 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

삼각형 [eqn: rmAPQ`]는 정삼각형이므로 [eqn: rm barAP = barPQ`]이고,

[eqn: rm barAB =1]이므로 [eqn: rm bar BP = it x`]라 하면 [eqn: rm bar CP =bar CQ = it 1-x] 이다.

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: 1]

[eqn: 1-x]

[eqn: 1-x]

[eqn: x]

[eqn: rm barAP `^2 = barPQ `^2] 에서

[eqn: 1+x^2 =(1-x)^2 +(1-x)^2 `]

[eqn: x^2 -4x+1=0]

∴ [eqn: x=2- root3 ~(∵0<x<1)]

21. [출제의도] 정수의 성질을 이용하여 추론할 수 있다.

주어진 성질에 따라 [eqn: a^2 `,``b^2`]을 [eqn: 4]로 나눈 나머지는 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1]이다.

따라서, [eqn: a^2 +b^2`]을 [eqn: 4]로 나눈 나머지는 [eqn: 0`,``1`,``2`] 중의 하나이다.

보기 중에서 [eqn: 4]로 나눈 나머지가 [eqn: 0`,``1`,``2`]가 아닌 수는

[eqn: 295 = 4 cdot 73+3]

이므로 [eqn: 295]는 [eqn: a^2 +b^2`]의 값이 될 수 없다.

[참고]  [eqn: 116=4^2 +10^2]

[eqn: 202=9^2 +11^2]

[eqn: 369=12^2 +15^2]

[eqn: 421=14^2 +15^2]

22. [출제의도] 도형을 이용하여 외적문제를 해결할 수 있다.

매점이 A와 B만 있다고 가정하면 오른쪽 그림과 같이 현 AB의 수직이등분선을 경계로 A, B를 이용하는 사람들이 갈라진다. 이런 원리를 생각하면 매점 D를 A와 C 사이(B가 없는 쪽)에 세울 때, D에 오는 사람들은 최대가 됨이 분명하다. (A, C사이의 어느 지점이든 상관없다.)

오른쪽 그림에서 D에 오는 사람들은 어두운 부분에 해당되고 그 비율은 [eqn: 300 over 1000 = 3 over 10`]에서 30%이다.

23. [출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 외적문제를 해결할

수 있다.

식품A의 양을 [eqn: x`](kg), 식품B의 양을 [eqn: y`](kg)라 하면 단백질과 철분의 양은 각각 [eqn: 300x+200y`,``12x+36y`]이다.

따라서 주어진 조건에 의해 [eqn: x`≧` 0,~y`≧` 0``]이고

[eqn: cases{ 300x + 200y `≧` 100 # 12x + 36y `≧`12}`]

[eqn: 2000x + 2500y =k`]라 놓으면

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: rmO]

[eqn: 2000x+2500y=k`]

[eqn: 300x+200y=100]

[eqn: 12x+36y=12]

[eqn: LEFT ( 1over7 , 2over7 RIGHT )]

위 그림에서 두 직선의 교점을 지날 때, 최소가 된다.

교점의 좌표는 [eqn: left( 1 over 7 , 2 over 7 right)`] 이므로 최소비용은 1000원이다.

24. [출제의도] 주어진 상황을 수학적으로 분석하여 외적문제를 해결할 수 있다.

각 작업명령시각과 시간에 따른 처리과정을 수직선 위에 나타내면 그림과 같다.

그림에서 보듯이 제일 먼저 작업 A가 처리된다. 그동안 작업 B와 작업 C의 작업명령이 들어오고, 작업 A가 끝난 후 처리시간이 짧은 작업 C가 먼저 처리된다.

작업 C가 끝난 후 남아 있는 작업은 작업 B 하나 뿐이므로 작업 B가 처리된다. 작업 B 처리 중 두 개의 작업 D, E가 들어와 있고, 작업 B가 끝난 후 작업시간이 짧은 작업 E가 처리되고 마지막으로 작업 D가 처리된다.

따라서, 작업처리순서는 A→C→B→E→D 이다.

25. [출제의도] 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.

두 점 [eqn: rmA(7,2)], [eqn: rmB(3,5)]사이의 거리는

[eqn: rm bar AB = sqrt {(3-7)^2 + (5-2)^2 }]

[eqn: = sqrt {16+9}]

[eqn: =5]

26. [출제의도] 평행이동과 대칭이동을 이해할 수 있다.

점 [eqn: rmA(-1,3)]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: b`]만큼 평행이동하면 [eqn: (-1+a,`3+b)`]가 되고 다시 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동하면 [eqn: ( 3+b,`-1+a)]가 된다.

[eqn: ( 3+b,`-1+a)=(-1,3)`]

[eqn: 3+b=-1], [eqn: -1+a=3]

[eqn: a=4, b=-4`]

∴ [eqn: ab= -16`]

27. [출제의도] 역함수의 성질을 이해할 수 있다.

[eqn: f``^-1 (15)=2`]에서 [eqn: f``(2)=15`]이므로

[eqn: f``(2)=2a+b =15`]

[eqn: f``(-1) =-a+b=3`]

연립하여 풀면

[eqn: a=4`], [eqn: b=7`]

∴ [eqn: a+b=11`]

28. [출제의도] 이차방정식을 이용하여 이차함수의 최소값을

구할 수 있다.

[eqn: a`]가 실수이고, 방정식 [eqn: x^2 - 2ax +15- 2a^2 =0`]이 실근을 가지므로

[eqn: D over 4 =& a^2 - ( 15-2a^2 )`]

[eqn: = 3a^2 - 15 `≧`0]

[eqn: ∴``` a^2 `≧` 5`]  … ㉠

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =2a, ~ alpha beta = 15-2a^2 `] … ㉡

㉠, ㉡ 으로부터

[eqn: alpha^2 + beta^2 = left(alpha + beta right)^2 - 2 alpha beta]

[eqn: = 4 a^2 - 30 + 4 a^2 ~(∵㉡)]

[eqn: = 8 a^2 - 30][eqn: ≧` 10 ~( ∵㉠)`]

(단, 등호는 [eqn: a^2 =5`]일 때 성립)

따라서, [eqn: alpha^2 + beta^2`]의 최소값은 [eqn: 10``]이다.

29. [출제의도] 정수의 성질을 이용하여 외적문제를 해결할 수 있다.

[eqn: x`,``y`,``z`]를 각각 1점 슛, 2점 슛, 3점 슛의 성공 횟수라고 하자.

그러면 다음과 같은 등식이 성립한다.

[eqn: cases{x+y+z = 25# x+ 2y + 3z =51 }`]

이 식을 이용하면 [eqn: x=z-1`], [eqn: y=26-2z`]을 얻는다. [eqn: x,y,z`]는 음이 아닌 정수이므로 [eqn: z`]는 1부터 13까지의 값을 갖는다. 이것을 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x`]	[eqn: y`]	[eqn: z`]
0	24	1
1	22	2
2	20	3
3	18	4
4	16	5
5	14	6
6	12	7
7	10	8
8	8	9
9	6	10
10	4	11
11	2	12
12	0	13

따라서 모두 [eqn: 13``]가지의 방법이 있다.

30. [출제의도] 내분점의 좌표를 구할 수 있다.

△OCD와 △BCD의 넓이가 같으므로 [eqn: rm bar OC ``:``bar BC =1` : `1]

즉, 점 C는 선분 OB의 중점이므로,

[eqn: rm C` left(` 3over2 ,``0 `right)]

또, △OAD와 △OCD의 넓이가 같으므로

[eqn: y]

[eqn: x]

A

O

B

D

C

[eqn: rm bar CD ``：`bar AD `=1：1]

즉, 점 D는 선분 AC의 중점이므로

[eqn: rm D`left(` 7over4 `,``1 right)]

따라서, 점 D의 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표의 합은

[eqn: 7over4 +1 = 11over4 =2.75]