• 수학 영역 •

수학 가형 정답

1	④	2	⑤	3	①	4	④	5	④
6	①	7	⑤	8	⑤	9	①	10	④
11	⑤	12	②	13	③	14	①	15	③
16	⑤	17	③	18	②	19	②	20	②
21	③	22	[eqn: 80]	23	[eqn: 6]	24	[eqn: 3]	25	[eqn: 120]
26	[eqn: 20]	27	[eqn: 47]	28	[eqn: 25]	29	[eqn: 24]	30	[eqn: 243]

해 설

1. [출제의도] 벡터의 합을 계산한다.

[eqn: {vec{a}} + {vec{b}}][eqn: =(-1,``2)+(2,``-3)]
[eqn: =(-1+2,``2+(-3))][eqn: =(1,``-1)]

2. [출제의도] 일반각의 삼각함수 값을 계산한다.

[eqn: cos` LEFT ( theta + {pi } over {2} RIGHT )][eqn: = it -sin theta][eqn: =it- {1} over {3}]

3. [출제의도] 중복조합의 값을 계산한다.

[eqn: {}_{3} rm H _{5}][eqn: = _{3+5-1} rm C _{5}][eqn: = _{7} rm C _{5}][eqn: = _{7} rm C _{2}][eqn: = {7 TIMES 6} over {2!}][eqn: =21]

4. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이해하여 삼각함수의 정적분 값을 구한다.

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {3}} {} tanx`cosx`dx][eqn: = int _{0} ^{{pi } over {3}} {} sinx`dx]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} -cosx` RIGHT ] _{``0}^{{pi } over {3}}][eqn: = LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) -(-1)][eqn: = {1} over {2}]

5. [출제의도] 독립사건을 이해하여 확률을 구한다.

두 사건 [eqn: A], [eqn: B`]가 서로 독립이므로
[eqn: rm P( it A SMALLINTER B`)][eqn: = rm P( it A`)` rm P( it B`)][eqn: = {1} over {2} rm `P( it B`)= {3} over {16}]

[eqn: rm P( it B`)= {3} over {8}]이므로 [eqn: LEFT . rm P LEFT ( it B ^{C} ` RIGHT ) = {5} over {8} RIGHT .]

6. [출제의도] 매개변수로 나타내어진 함수의 미분계수를 구한다.

[eqn: x=2sin theta -1], [eqn: y=4cos theta + sqrt {3}}}]에서

[eqn: dx over{d theta}=2costheta], [eqn: {dy} over {d theta } =it -4sin theta `]이므로

[eqn: dy overdx ={dy over{d theta}}over{dx over{d theta}}][eqn: = {-4sintheta}over{2costheta}][eqn: =it- 2tan theta]

따라서 [eqn: theta= pi over3`]일 때, [eqn: dy overdx]의 값은

[eqn: -2tan pi over3 = it-2root3]

7. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 점과 직선 사이의 거리를 구한다.

점 [eqn: rm D`]에서 직선 [eqn: rm BC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하면 점 [eqn: rm D`]와 직선 [eqn: rm BC] 사이의 거리는 [eqn: {bar{rm DH}} `]의 길이와 같다.

[eqn: {bar{rm CD it}}`=1]이므로

[eqn: {bar{rm DH it}} `][eqn: = rm {bar{CD}} it TIMES sin( ANGLE rm DCH)]
[eqn: =sin LEFT ( pi - LEFT ( {pi } over {3} + {pi } over {4} RIGHT ) RIGHT )][eqn: =sin LEFT ( {pi } over {3} + {pi } over {4} RIGHT )]
[eqn: =sin {pi } over {3} `cos {pi } over {4} +cos` {pi } over {3} `sin {pi } over {4} `]
[eqn: = {sqrt {6} + sqrt {2}} over {4}]

따라서 구하는 거리는 [eqn: {sqrt {6} + sqrt {2}} over {4}]

8. [출제의도] 조건부확률을 이해하여 확률을 구한다.

[eqn: rm A], [eqn: rm B`]가 주문한 것이 서로 다른 사건을 [eqn: X``],
[eqn: rm A], [eqn: rm B`]가 주문한 것이 모두 아이스크림인 사건을 [eqn: Y``]라 하자.

[eqn: rm P( it X``)= {{}_{5} rm C _{1} ` TIMES ` _{4} C _{1} it} over {{}_{5} rm C _{1} ` TIMES ` _{5} C _{1} it} `=` {4} over {5}]

[eqn: rm P( it X` SMALLINTER Y`)= {{}_{2} rm C _{1} TIMES _{1} C _{1} it} over {{}_{5} rm C _{1} TIMES _{5} C _{1} it} = {2} over {25}]

구하는 확률 [eqn: rm P( it Y``|`X`)`]는

[eqn: rm P( it Y``|`X`)= {rm P( it X SMALLINTER Y`)} over {rm P( it X`)} `][eqn: rm = {{2} over {25}} over {{4} over {5}} = {1} over {10}]

9. [출제의도] 정규분포를 이해하여 확률을 구한다.

[eqn: 1`]인당 수하물 무게를 확률변수 [eqn: X `]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rm { N}`(15`,``4 ^{`2} )`]을 따른다. 이때, 크기가 [eqn: 16`]인 표본의 표본평균 [eqn: bar{X``}`]는 정규분포 [eqn: rm { N}`(15`,``1 ^{`2} )`]을 따른다.

[eqn: rm P LEFT ( it {bar{X``}} ` GEQ 17 RIGHT ) `][eqn: = rm P LEFT ( it Z` GEQ {17-15} over {1} RIGHT ) `][eqn: = rm P( it {Z} ` GEQ 2)`]
[eqn: = 0.5 - rm P( it 0 le{Z} ` le 2)`]
[eqn: = 0.5- 0.4772 `][eqn: = 0.0228`]

10. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

신호 전송 범위 [eqn: d`]와 수신 신호 강도 [eqn: R] 사이의 관계를 나타낸 그래프에서

[eqn: d=1`]일 때 [eqn: R=it-35]이므로

[eqn: -35=k-10`log`1 ^{n}], [eqn: k=it-35`]

[eqn: d=10`]일 때 [eqn: R=it-55`]이므로

[eqn: -55 =it-35-10`log10^{`n}], [eqn: n=2]

수신 신호 강도가 [eqn: -65`]일 때

[eqn: -65= it -35-10`log`d ^{`2`}]

따라서 신호 전송 범위는 [eqn: 10 ^{{3} over {2}}]

11. [출제의도] 평면의 방정식의 성질을 이해하여 두 평면이 이루는 각의 크기를 구한다.

두 평면의 법선 벡터를 각각

[eqn: LEFT ( 1,`` sqrt {2} ,``-1 RIGHT )], [eqn: left(0,``0,``1 right)]이라 하면

두 평면이 이루는 각의 크기 [eqn: theta`]에 대하여

[eqn: cos theta][eqn: = {LEFT | LEFT ( 1,`` sqrt {2} ,``-1 RIGHT ) BULLET LEFT ( 0,``0,``1 RIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{2} +(-1) ^{2}} sqrt {0 ^{2} +0 ^{2} +1 ^{2}}}][eqn: = {LEFT | -1 RIGHT |} over {2} = {1} over {2}]

따라서 [eqn: sin theta = root{1-cos^2 theta}=root3 over2]

12. [출제의도] 모비율의 신뢰구간을 이해하여 실생활과 관련된 문제를 해결한다.

표본비율 [eqn: hat p `][eqn: = 80 over 100`][eqn: = 4 over 5`]이고 표본의 크기는 [eqn: 100`]이므로 출근 소요 시간이 [eqn: 60`]분 이상 [eqn: 120`]분 미만인 직원의 비율 [eqn: p`]에 대한 신뢰도 [eqn: 95`]%의 신뢰구간은

[eqn: 4 over 5 `- 1.96 times root{ { 4 over 5 times 1 over 5}over 100} le p le 4 over 5 `+ 1.96 times root{ { 4 over 5 times 1 over 5}over 100} `]

[eqn: 5000(b-a)`][eqn: = 5000 times 2 times 1.96 times root{ { 4 over 5 times 1 over 5}over 100}]
[eqn: = 5000 times 2 times 1.96 times 4 over 100 `]
[eqn: = 784`]

13. [출제의도] 도함수의 성질을 이해하여 함수가 감소하는 구간을 구한다.

함수 [eqn: f(x)`]의 도함수 [eqn: f`'(x)`]는

[eqn: f` prime (x)][eqn: =e ^{x+1} (x ^{2} +3x+1)+e ^{x+1} (2x+3)]
[eqn: =e^x+1 (x^2 +5x+4)]

함수 [eqn: f(x)`]가 감소하려면 [eqn: f`'(x)<0]

[eqn: e^x+1 (x^2 +5x+4) <0]에서

[eqn: e ^{x+1} >0`]이므로 [eqn: x^2 +5x+4 <0`]

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: -4<x<it-1`]에서 감소한다.

따라서 [eqn: b-a`]의 최댓값은 [eqn: 3`]이다.

14. [출제의도] 음함수의 미분법을 이해하여 삼각형의 넓이를 구한다.

[eqn: x ^{2} +5xy-2y ^{2}+11 =0`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: 2x+ 5y+5x {dy} over {dx} -4y {dy} over {dx} =0`]

[eqn: (5x-4y) {dy} over {dx} =it-2x-5y]

점 [eqn: (1,``4)`]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 2`]이므로

접선의 방정식 [eqn: y=2x+2]의

[eqn: x`]절편은 [eqn: -1], [eqn: y`]절편은 [eqn: 2`]이다.

따라서 구하는 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 2timesleft|`-1right|=1]

15. [출제의도] 삼수선의 정리를 이해하여 공간도형의 문제를 해결한다.

점 [eqn: rm A`]를 지나고 두 직선 [eqn: rm AB], [eqn: rm BC`]에 수직인 직선 [eqn: l`]은 평면 [eqn: rm ABC`]에 수직이고, [eqn: rm C`]가 구 위의 점이므로 [eqn: ANGLE rm BCA= {pi } over {2}`] 즉, [eqn: rm {bar{AC}} BOT {bar{BC}}]

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: rm {bar{DC}} BOT {bar{BC}}]이므로

[eqn: rm {bar{BC}} it = sqrt {{bar{rm BD it}} ^{2} - {bar{rm CD it}} ^{2}}][eqn: = sqrt {6 ^{2} -4 ^{2}} =2 sqrt {5}]

따라서 구하는 선분 [eqn: rm`AC]의 길이는

[eqn: rm {bar{AC}} = sqrt {{bar{rm AB it}} ^{2} - {bar{rm BC it}} ^{2}} `][eqn: rm = sqrt {5 ^{2} -left(2 sqrt {5} right) ^{2}} = sqrt {5}]

16. [출제의도] 지수방정식을 이용하여 그래프의 성질을 추론한다.

점 [eqn: (2a-p,``a-q)`]가 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점이므로

[eqn: f(p)=q], [eqn: f(2a-p)=a-q`]에서

[eqn: {3 ^{2a-p}} over {3 ^{2a-p} +3} =a-q][eqn: =a- {BOX{~ {3 ^{p}} over {3 ^{p} +3} ~}}]   [eqn: cdotscdots] ㉠

이다. ㉠은 실수 [eqn: p`]의 값에 관계없이 항상 성립하므로

[eqn: p=0`]일 때, [eqn: {3 ^{2a}} over {3 ^{2a} +3} =a- {1} over {4}]       [eqn: cdotscdots] ㉡

이고,

[eqn: p=1`]일 때, [eqn: {3 ^{2a}} over {3 ^{2a} + {BOX{~9~}}} =a- {1} over {2}]     [eqn: cdotscdots] ㉢

이다. ㉡, ㉢에서 ㉡[eqn: -]㉢을 정리하면

[eqn: {6 TIMES 3 ^{2a}} over {(3 ^{2a} +3)(3 ^{2a} +9)} = {1} over {4}]에서

[eqn: LEFT ( 3 ^{2a} +3 RIGHT ) LEFT ( 3 ^{2a} +9 RIGHT ) =24 TIMES 3 ^{2a}]

이므로 [eqn: 3 ^{2a} =X`]([eqn: X>0])이라 하면

[eqn: (X+3)(X+9)=24X]

[eqn: X ^{2} -12X+27=0]

[eqn: X=3] 또는 [eqn: X=9]

[eqn: 3 ^{2a} =3] 또는 [eqn: 3 ^{2a} =9]

[eqn: a= {1} over {2}] 또는 [eqn: a=box{~1~}]

이다. 이때, ㉢에서 좌변이 양수이므로 [eqn: a> {1} over {2} `]이다.

따라서 [eqn: a=1`]이다.

그러므로 [eqn: g(p)][eqn: = {3 ^{p}} over {3 ^{p} +3}], [eqn: m=9], [eqn: n=1]

따라서 [eqn: (m-n) TIMES g LEFT ( 2 RIGHT ) =(9-1) TIMES {3 ^{2}} over {3 ^{2} +3}][eqn: =6]

17. [출제의도] 조합을 이해하여 확률을 구한다.

오각기둥의 [eqn: 10`]개의 꼭짓점 중 임의로 [eqn: 3`]개를 택하여 삼각형을 만드는 경우의 수는
[eqn: {}_{10} rm C _{3}][eqn: = {10 TIMES 9 TIMES 8} over {3!} =120]이다.

ⅰ) 면 [eqn: rm ABCDE`]에서 [eqn: 1`]개, 면 [eqn: rm FGHIJ`]에서 [eqn: 2`]개의 꼭짓점을 택하는 경우
면 [eqn: rm ABCDE`]에서 [eqn: 1`]개의 꼭짓점을 택하는 경우의 수는 [eqn: 5`]이고, 그 각각의 경우에 대하여 면 [eqn: rm FGHIJ`]에서 [eqn: 2`]개의 꼭짓점을 택하는 경우의 수는 [eqn: 3`]이므로 곱의 법칙에 의하여
[eqn: 5 TIMES 3=15]

ⅱ) 면 [eqn: rm FGHIJ`]에서 [eqn: 1`]개, 면 [eqn: rm ABCDE`]에서 [eqn: 2`]개의 꼭짓점을 택하는 경우
면 [eqn: rmFGHIJ`]에서 [eqn: 1`]개의 꼭짓점을 택하는 경우의 수는 [eqn: 5`]이고, 그 각각의 경우에 대하여 면 [eqn: rm ABCDE`]에서 [eqn: 2`]개의 꼭짓점을 택하는 경우의 수는 [eqn: 3`]이므로 곱의 법칙에 의하여
[eqn: 5 TIMES 3=15]

ⅰ), ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 [eqn: 15+15=30]

따라서 구하는 확률은 [eqn: 30 over120][eqn: = 1over4`]이다.

18. [출제의도] 벡터의 기하학적인 성질을 이용하여 두 벡터의 합의 크기의 최댓값을 추론한다.

[eqn: LEFT | rm {vec{EG}} + {vec{rm HP}} RIGHT | = LEFT | rm {vec{BH}} + {vec{rm HP}} RIGHT | =left| {vec{rm BP}}right |`]이므로

[eqn: left|rm vec { EG}+} vec { rm HP}right|`]의 최댓값은 [eqn: left|rm vec {BP }right|`]의 최댓값과 같다.

즉, 원 밖의 한 점 [eqn: rm B`]에서 원 위의 점 [eqn: rm P`]에 이르는 거리의 최댓값이다.

따라서 원의 중심을 [eqn: rm O`]라 하면 [eqn: left|rm vec { BP }right|`]의 최댓값은

[eqn: bar { rm BO }+2][eqn: = sqrt {6^{2}+2 ^{2}} } +2][eqn: =2root10 +2]

19. [출제의도] 치환적분을 이용하여 정적분의 값을 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: f(2a-x)=f(x)`]이므로

[eqn: int _{0} ^{a} {} LEFT { f(2x)+f(2a-x) RIGHT } `dx]

[eqn: = int _{0} ^{a} {} f(2x)`dx+ int _{0} ^{a} {} f(x)`dx]

[eqn: int _{0} ^{a} {} f(2x)`dx`]에서 [eqn: 2x=t`]로 치환하면

[eqn: int _{0} ^{a} {} f(2x)`dx][eqn: = int _{0} ^{2a} {f(t) {1} over {2} `dt}]
[eqn: = {1} over {2} int _{0} ^{2a} {f(t)`dt}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES 2 int _{0} ^{a} {} f(t)`dt`][eqn: =8]

[eqn: int _{0} ^{a} {f(2x)`dx+ int _{0} ^{a} {} f(x)} `dx][eqn: =8+8=16]

20. [출제의도] 타원의 성질을 이용하여 타원의 장축의 길이를 구하는 문제를 해결한다.

접선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm A`]라 하면 [eqn: rm ANGLE OAP= {pi } over {6} `]이고, 직선 [eqn: rm OP`]는 접선과 수직이므로 [eqn: rm ANGLE POF= {pi } over {3}]

삼각형 [eqn: rm POF`]는 정삼각형이므로

[eqn: ANGLE rm PFO= {pi } over {3}], [eqn: rm {bar{PF}} =6]

선분 [eqn: rm F prime F`]는 지름이므로 직각삼각형 [eqn: \FPF'`]에서

[eqn: rm {bar{PF prime }} = barPF times tan pi over3 = 6root3]

따라서 두 점 [eqn: rmF], [eqn: rmF'`]은 타원의 초점이므로 타원의 정의에 의해 장축의 길이는 [eqn: rm {bar{PF}} + {bar{PF prime }} =6+6 sqrt {3}]

21. [출제의도] 미분의 성질을 이용하여 그래프의 개형을 추론한다.

ㄱ. [eqn: g(-x)= {sinf(-x)} over {-x} = {sinf(x)} over {-x} = it -g(x)`]
이므로 모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: g(-x)= it -g(x)`]이다. (참)

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]가 미분가능하므로
조건 (다)에서 [eqn: lim _{x` -> `0} {} `f(x)=f(0)=0`]이고,
조건 (가)에서 [eqn: f` prime (x)= it-f` prime (-x)`]이므로
[eqn: f` prime (0)=0`]이다.

[eqn: lim _{x` -> `0} {} `g(x)][eqn: = lim _{x` -> `0} {} ` {sinf(x)} over {x} `]
[eqn: = lim _{x` -> `0} {} ` LEFT ( {sinf(x)} over {f(x)} TIMES {f(x)} over {x} RIGHT ) `]
[eqn: =1 TIMES f`'(0)=0] (참)

ㄷ. [eqn: g( alpha )= {sinf( alpha )} over {alpha } = {1} over {alpha } >0]이고,
[eqn: lim _{x` -> `0} `g(x)=0`]이므로 [eqn: 0<x< alpha `]에서
함수 [eqn: g(x)`]가 증가하는 구간이 있다.
[eqn: g` prime (x)= {xf` prime (x)cosf(x)-sinf(x)} over {x ^{2}} `]에서
[eqn: g` prime ( alpha )= {alpha f` prime ( alpha )cosf( alpha )-sinf( alpha )} over {alpha ^{2}} = it - {1} over {alpha ^{2}} <0]
그러므로 함수 [eqn: g(x)`]는 구간 [eqn: (0,`` alpha )`]에서 [eqn: {1} over {alpha }`]보다
큰 극댓값을 갖는다.
따라서 방정식 [eqn: g(x)= {1} over {alpha } `]은 [eqn: 0<x LEQ alpha `]에서
적어도 [eqn: 2`]개의 서로 다른 실근을 갖는다.
[eqn: g(-x)= it -g(x)`]이므로 방정식 [eqn: g(x)=it- {1} over {alpha } `]은
구간 [eqn: - alpha LEQ x<0]에서 적어도 [eqn: 2`]개의 서로 다른
실근을 가지므로 방정식 [eqn: LEFT | g(x) RIGHT | = {1} over {alpha } `]은 적어도
[eqn: 4`]개의 서로 다른 실근을 갖는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

22. [출제의도] 이항분포를 따르는 확률변수의 분산을 계산한다.

[eqn: rm V( it X`)=10 TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {3} = {20} over {9} `]

[eqn: rm V(6 it X`)=36` rm V( it X``)][eqn: =36times 20 over9 =80]

23. [출제의도] 치환적분을 계산한다.

[eqn: sinx=t]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dx} =cosx]이고

[eqn: x= {pi} over {6}`]일 때 [eqn: t= {1} over {2}], [eqn: x= {pi} over {2}`]일 때 [eqn: t=1`]이므로

[eqn: int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {2}} {} f` prime (sinx)cosx`dx][eqn: = int _{{1} over {2}} ^{1} {} f` prime (t)`dt][eqn: =f(1)-f` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =6]

24. [출제의도] 역함수의 미분법을 이해하여 미분계수를 구한다.

함수 [eqn: f(x)=e ^{x-1} `]에서 [eqn: e` ^{x-1} =1`]일 때 [eqn: x=1]

즉, [eqn: g(1)=1`]이다.

따라서 [eqn: f` prime (x)=e ^{x-1} `]이므로

[eqn: lim _{h` -> `0} {` {g(1+h)-g(1-2h)} over {h}}]

[eqn: =3g` prime (1)][eqn: = {3} over {f` prime (1)} = {3} over {e ^{1-1}} =3]

25. [출제의도] 벡터의 성질을 이해하여 내적을 구한다.

점 [eqn: rm I`]에서 변 [eqn: rmAB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm E`]라 하면

[eqn: rm {bar{BE}} = {bar{BD}} =8`]이므로

[eqn: rm {vec{BA}} BULLET rm {vec{BI}}][eqn: = LEFT | {vec{rm BA it}} RIGHT | LEFT | {vec{rmBI}} RIGHT | cos( ANGLE rm EBI`)]

[eqn: rm = rm LEFT | {vec{BA}} RIGHT | LEFT | rm {vec{BE}} RIGHT |][eqn: =15 TIMES 8=120]

26. [출제의도] 합의 법칙을 이해하여 경우의 수를 구한다.

ⅰ) 꽃병 [eqn: rmA`]에 장미를 꽂은 경우
꽃병 [eqn: rmB`]에 꽂을 꽃 [eqn: 9`]송이 중 카네이션이 [eqn: a`]송이, 백합이 [eqn: b`]송이라 하면 [eqn: (a,``b)`]로 가능한 경우의 수는 [eqn: (1,``8)], [eqn: (2,``7)], [eqn: (3,``6)], [eqn: (4,``5)], [eqn: (5,``4)], [eqn: (6,``3)`]의 [eqn: 6`]이다.

ⅱ) 꽃병 [eqn: rmA`]에 카네이션을 꽂은 경우
꽃병 [eqn: rmB`]에 꽂을 꽃 [eqn: 9`]송이 중 장미가 [eqn: a`]송이, 백합이 [eqn: b`]송이라 하면 [eqn: (a,``b)`]로 가능한 경우의 수는 [eqn: (1,``8)], [eqn: (2,``7)], [eqn: (3,``6)], [eqn: (4,``5)], [eqn: (5,``4)], [eqn: (6,``3)], [eqn: (7,``2)], [eqn: (8,``1)]의 [eqn: 8`]이다.

ⅲ) 꽃병 [eqn: rmA`]에 백합을 꽂은 경우
꽃병 [eqn: rmB`]에 꽂을 꽃 [eqn: 9`]송이 중 카네이션이 [eqn: a`]송이, 장미가 [eqn: b`]송이라 하면 [eqn: (a,``b)`]로 가능한 경우의 수는 [eqn: (1,``8)], [eqn: (2,``7)], [eqn: (3,``6)], [eqn: (4,``5)], [eqn: (5,``4)], [eqn: (6,``3)`]의 [eqn: 6`]이다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 6+8+6=20]

27. [출제의도] 정사영의 성질을 이용하여 두 평면이 이루는 각을 구한다.

점 [eqn: rmP`]가 선분 [eqn: rmBC`]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점이므로

[eqn: rm TRIANGLEABP= {1} over {3} TIMES triangleABC = 1over3 times 27][eqn: =9]

점 [eqn: rmQ`]가 선분 [eqn: rmAP`]를 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABQ= {2} over {3} TIMES triangleABP = 2over3 times 9][eqn: =6]

점 [eqn: rmQ`]가 선분 [eqn: rmBH`]의 중점이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABH][eqn: rm =2times TRIANGLE ABQ][eqn: =2times6 = 12]

삼각형 [eqn: rmABD`]의 평면 [eqn: alpha`]로의 정사영이

삼각형 [eqn: rmABH`]이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABD timescos theta = rm TRIANGLE ABH]에서 [eqn: rm cos theta = {12} over {35}]

따라서 [eqn: p+q=47]

28. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 함수의 극한값을 추론한다.

선분 [eqn: rmAD`]의 중점 [eqn: rm O`]는 원의 중심이고, 점 [eqn: rmO`]에서 선분 [eqn: rmBC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하면

[eqn: rm {bar{AB}} = {bar{BH}} =cos theta]이므로 [eqn: rm {bar{CH}} =1-cos theta]

[eqn: rm {bar{CA}} =sin theta]이고 [eqn: rm {bar{CH}} ^{2} = {bar{CA}} timesbar{CD}`]이므로

[eqn: (1-costheta)^2 = sintheta timesbar\CD], [eqn: rm {bar{CD}} = {(1-cos theta ) ^{2}} over {sin theta }]

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {} {rm {bar{CD}} it} over {theta ^{3}}][eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {} {rm {(1-cos theta ) ^{2}} over {sin theta } it} over {theta ^{3}}]
[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {} {(1-cos theta ) ^{2} (1+cos theta ) ^{2}} over {theta ^{3} sin theta (1+cos theta ) ^{2}}]
[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {} {(1-cos^2 theta ) ^{2} } over {theta ^{3} sin theta (1+cos theta ) ^{2}}]
[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {} LEFT ( {sin ^{3} theta } over {theta ^{3}} TIMES {1} over {(1+cos theta ) ^{2}} RIGHT )][eqn: = {1} over {4}]

따라서 [eqn: k= {1} over {4}`]이므로 [eqn: 100k=25]

29. [출제의도] 공간벡터의 성질을 이용하여 두 벡터의 내적의 최댓값을 구하는 문제를 해결한다.

두 벡터 [eqn: rmvecOP`]와 [eqn: vec\AQ`]의 크기가 일정하므로

[eqn: rm {vec{OP}} BULLET {vec{AQ}} `]는 두 벡터가 이루는 각이 최소일 때 최댓값을 갖는다. 다섯 개의 점 [eqn: rm O], [eqn: rmA], [eqn: \B], [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]가 한 평면에 있도록 그림으로 나타내면 다음과 같고  [eqn: rm {vec{OP}} BULLET {vec{AQ}} `]는 [eqn: left| rm {vec{OP}right|`]와 선분 [eqn: rm AQ`]의 [eqn: xy`]평면으로의 정사영의 길이의 곱과 같다.

그림에서 [eqn: rm angle BAO = alpha], [eqn: rm ANGLE QAB=beta], [eqn: xy`]평면과 직선 [eqn: rm {{AQ}}`]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 하면

[eqn: cos theta =cos left( piover2 - alpha-betaright) = sin left( alpha+ beta right)]이므로 선분 [eqn: rm AQ`]의 [eqn: xy`]평면으로의 정사영의 길이는 [eqn: left|rm vec AQ right| sin (alpha +beta)`]이다.

[eqn: rm {bar{AB}} = sqrt {2 ^{2} +4 ^{2} +(-4) ^{2}} =6], [eqn: rm {bar{BQ}} =2]이므로

[eqn: rm {bar{AQ}} =2 sqrt {10}]

그러므로 [eqn: sin beta = {sqrt {10}} over {10}], [eqn: cos beta = {3 sqrt {10}} over {10}]

방향벡터가 [eqn: (2,``4,``-4)`]이고 점 [eqn: rm A(0,``0,``2)`]를 지나는 직선 [eqn: rmAB`]의 방정식은 [eqn: {x} over {2} = {y} over {4} = {z-2} over {-4}`]이다.

이 직선과 [eqn: xy`]평면과의 교점을 [eqn: \R`]라 하면 직선 [eqn: rmAB`]의 방정식에서 [eqn: z=0`]일 때이므로

점 [eqn: \R`]의 좌표는 [eqn: (1,``2,``0)`]이다.

[eqn: rm barAR = sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} =3], [eqn: rm {bar{AO}}=2]이므로 [eqn: rm {bar{OR}} = sqrt {5}]

그러므로 [eqn: sin alpha = root5over3], [eqn: cos alpha = 2over3]

따라서

[eqn: left|rm vec AQ right| sin (alpha +beta)]

[eqn: =`2 sqrt {10} TIMES LEFT ( {sqrt {5}} over {3} TIMES {3root10}over 10} + {2} over {3} TIMES root10over10 RIGHT )]

[eqn: = {6 sqrt {5} +4} over {3}]

[eqn: rm {vec{OP}}bullet {vec{AQ}}][eqn: = left| vec\OP right| left| vec AQ right| cos theta]
[eqn: = left| vec\OP right| left| vec AQ right| sin (alpha +beta)]
[eqn: =3times {6 sqrt {5} +4} over {3}][eqn: =6 sqrt {5} `+4]

따라서 [eqn: a=4], [eqn: b=6`]이므로 [eqn: ab=][eqn: 4times 6 =24]

30. [출제의도] 이항정리를 이용하여 경우의 수를 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: a_p+1`]부터 [eqn: a_9`]까지의 [eqn: (9-p)`]개의 수 중에서 최솟값은 [eqn: a_q], 즉 [eqn: a_q =1], [eqn: 9`]는 [eqn: a _{p} =8`]보다 큰 수이므로 최댓값은 [eqn: a _{9} =9`]이다.

ⅰ) 첫 번째와 [eqn: p`]번째 사이의 공을 꺼내는 경우의 수는 [eqn: a_1 =2], [eqn: a_p =8], [eqn: a_q =1], [eqn: a_9 =9`]가 적힌 공을 제외한 [eqn: 5`]개의 공 중에서 [eqn: (p-2)`]개의 공을 꺼내는 조합의 수이므로 [eqn: {}_{5} rm C _{it p-2 rm}`]이다.

ⅱ) ⅰ)에서 남아 있는 공 중 [eqn: p`]번째와 [eqn: q`]번째 사이의 공을 꺼내는 경우의 수는 [eqn: a_q =1], [eqn: a_9 =9`]가 적힌 공을 제외한 [eqn: (9-p-2)=(7-p)`]개의 공 중에서 [eqn: (q-p-1)`]개의 공을 꺼내는 조합의 수이므로 [eqn: {}_{7-p} rm C it rm _{it q-p-1 rm }`]이다.

ⅲ) ⅰ)과 ⅱ)의 과정을 거치면 [eqn: q `]번째와 [eqn: 9 `]번째 사이의 공은 정해진다.

이때, [eqn: p`]가 정해지면 [eqn: q`]가 취할 수 있는 값은 [eqn: p+1`]부터 [eqn: 8`]까지이므로 ⅱ)에 의해 [eqn: sum _{q=p+1} ^{8} ` _{7-p} rm C _{it q-p-1 rm} it `]

[eqn: q-p-1=k `]로 놓으면

[eqn: q=p+1`]일 때 [eqn: k=0`]이고,

[eqn: q=8`]일 때 [eqn: k=7-p`]이므로

[eqn: sum _{q=p+1} ^{8} ` _{7-p} rm C _{it q-p-1 rm}][eqn: = sum _{k=0} ^{7-p} ` _{7-p} rm C _{it k rm}][eqn: =(1+1) ^{7-p}][eqn: =2 ^{7-p}]

[eqn: p`]의 값은 [eqn: 2`]부터 [eqn: 7`]까지 취할 수 있다.

그러므로 구하는 값은 ⅰ)에 의해 [eqn: sum _{p=2} ^{7} ` _{5} rm C it rm _{it p-2 rm } 2 ^{7-p}]

따라서 [eqn: p-2=r`]로 놓으면

[eqn: p=2`]일 때 [eqn: r=0`]이고, [eqn: p=7`]일 때 [eqn: r=5`]이므로

[eqn: sum _{p=2} ^{7} ` _{5} rm C it rm _{it p-2 rm } 2 ^{7-p}][eqn: = sum _{r=0} ^{5} ` _{5} rm C it rm _{it r rm } 2 ^{5-r}][eqn: =(2+1) ^{5}][eqn: =243]

[다른 풀이]

구하는 경우의 수는 [eqn: a_1 =2], [eqn: a_p =8], [eqn: a_q =1], [eqn: a_9 =9`]가 적힌 [eqn: 4]개의 공을 제외한 [eqn: 5`]개의 공을 첫 번째와 [eqn: p`]번째 사이, [eqn: p`]번째와 [eqn: q]번째 사이, [eqn: q]번째와 [eqn: 9]번째 사이로 나누는 경우의 수와 같다. 그러므로

[eqn: ` _{5} rm C _{it 0 rm} it `` TIMES (` _{5} rm C _{it 0 rm} CDOT rm _{5} rm C _{5} +` _{5} rm C _{it 1 rm} CDOT rm _{4} rm C _{it 4 rm} +` _{5} rm C _{it 2 rm} CDOT rm _{3} rm C _{it 3 rm}]

[eqn: +` _{5} rm C _{it 3 rm} CDOT rm _{2} rm C _{it 2 rm} + _{5} rm C _{it 4 rm} CDOT rm _{1} rm C _{it 1 rm} +` _{5} rm C _{it 5 rm} CDOT 1)][eqn: + _{5} rm C _{it 1 rm} it `` TIMES (` _{4} rm C _{it 0 rm} CDOT rm _{4} rm C _{4} `+` _{4} rm C _{it 1 rm} CDOT _{3} rm C _{3} `+` _{4} rm C _{it 2 rm} CDOT _{2} rm C _{2} `]

[eqn: `+` _{4} rm C _{it 3 rm} CDOT _{1} rm C _{1} `+` _{4} rm C _{it 4 rm} CDOT 1)][eqn: + _{5} rm C _{it 2 rm} it `` TIMES (` _{3} rm C _{it 0 rm} CDOT _{3} rm C _{it 3 rm} +` _{3} rm C _{it 1 rm} CDOT _{2} rm C _{it 2 rm} +` _{3} rm C _{it 2 rm} CDOT _{1} rm C _{it 1 rm} +` _{3} rm C _{it 3 rm} CDOT 1)]

[eqn: + _{5} rm C _{it 3 rm} it `` TIMES (` _{2} rm C _{it 0 rm} CDOT _{2} rm C _{2} +` _{2} rm C _{it 1 rm} CDOT _{1} rm C _{it 1 rm} +` _{2} rm C _{it 2 rm} CDOT 1)]

[eqn: + _{5} rm C _{it 4 rm} it `` TIMES (` _{1} rm C _{it 0 rm} CDOT _{1} rm C _{it 1 rm} +` _{1} rm C _{it 1 rm} cdot1)]

[eqn: + _{5} rm C _{it 5 rm} it `` TIMES (1cdot1)=243]

[다른 풀이]

[eqn: a_p+1`]부터 [eqn: a_9`]까지의 [eqn: (9-p)`]개의 수 중에서 최솟값은 [eqn: a_q], 즉 [eqn: a_q =1], [eqn: 9`]는 [eqn: a _{p} =8`]보다 큰 수이므로 최댓값은 [eqn: a _{9} =9`]이다. [eqn: 3`]이 적힌 공을 꺼내는 경우는 첫 번째와 [eqn: p`]번째 사이, [eqn: p`]번째와 [eqn: q`]번째 사이, [eqn: q`]번째와 [eqn: 9`]번째 사이 중 하나이므로 그 경우의 수는 [eqn: 3`]이다. [eqn: 4,``5,``6,``7`]이 적힌 공을 꺼내는 경우의 수도 같은 방법으로 생각하면 각각 [eqn: 3`]이다. 따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 ^{5} =243`]이다.