나형 정답

1	②	2	③	3	③	4	①	5	⑤
6	①	7	①	8	④	9	⑤	10	④
11	①	12	②	13	④	14	③	15	③
16	④	17	⑤	18	②	19	⑤	20	②
21	①	22	[eqn: 5]	23	[eqn: 16]	24	[eqn: 4]	25	[eqn: 32]
26	[eqn: 28]	27	[eqn: 12]	28	[eqn: 747]	29	[eqn: 512]	30	[eqn: 40]

해 설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 3 TIMES 9 ^{{1} over {2}} = 3 TIMES LEFT ( 3 ^2 RIGHT )^ {{1} over {2}} =3times 3 = 9]

2. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

[eqn: A^C = LEFT { 1,~9 RIGHT } `]이므로

[eqn: A^C `]의 모든 원소의 합은 [eqn: 1+ 9 = 10`]

3. [출제의도] 함수의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{x` ->` 4} {{LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )} over {x-4}} = lim _{x` -> `4} {LEFT ( x+2 RIGHT )} =6`]

4. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{`7`} `49+log _{`7`} {1} over {7} =log _{7} LEFT ( 49 TIMES {1} over {7} RIGHT ) =log _{7} 7=1]

5. [출제의도] 합성함수 이해하기

[eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 3 RIGHT ) =5`]

6. [출제의도] 절대부등식 이해하기

[eqn: x>0`], [eqn: {9} over {x} >0`]이므로 [eqn: x+ {9} over {x} GEQ 2 sqrt {x TIMES {9} over {x}} =6`]

(단, 등호는 [eqn: x=3`]일 때 성립한다.)

따라서 [eqn: x+ {9} over {x}`]의 최솟값은 [eqn: 6]

7. [출제의도] 충분조건을 이용하여 수학 내적
문제 해결하기

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 하면

[eqn: P= LEFT { x` |`LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) <0 RIGHT }], [eqn: Q= LEFT { x` LEFT □ `x GEQ alpha` RIGHT } ` RIGHT .]
[eqn: p`]는 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이므로 [eqn: P SUBSET Q`]

[eqn: alpha]

[eqn: -2]

[eqn: Q]

[eqn: P]

[eqn: 1]

[eqn: alpha LEQ-2`]이므로 정수 [eqn: alpha`]의 최댓값은 [eqn: -2]

8. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `0+} {f(x)} `=1`], [eqn: lim _{x` -> `2-} {f(x)} `=3`]이므로

[eqn: lim _{x` -> `0+} {f(x)} `+ lim _{x` -> `2-} {f(x)} `=1+3=4`]

9. [출제의도] 수열의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{n -> INF } {{2 ^{n} +a TIMES 5 ^{n+1}} over {5 ^{n}} =` lim _{n -> INF } {LEFT { LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{n} +5a RIGHT } `=`5}} a]

[eqn: 5a=3`]이므로 [eqn: a= {3} over {5} `]

10. [출제의도] 연속함수의 정의 이해하기

함수 [eqn: f(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로
함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

[eqn: lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT ) `= lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT ) `=f LEFT ( 1 RIGHT )} `}]

[eqn: lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT ) `= lim _{x` -> `1-} {LEFT ( 2x ^{2} +ax+1 RIGHT )}} `=a+3`],

[eqn: lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT ) `= lim _{x` -> `1+} {LEFT ( -3x+b RIGHT )}} `=`-3+b`],

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) `=7`]이므로 [eqn: a+3=`-3+b=7`]

[eqn: a=4`], [eqn: b=10]

따라서 [eqn: a+b = 4+10 =14]

11. [출제의도] 미분계수 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=x^2 + 4x-2`]에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =3`]이고

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = 2x +4`]이므로 [eqn: f`prime LEFT ( 1 RIGHT )= 6`]

[eqn: lim _{h` -> 0} {{f LEFT ( 1+2h RIGHT ) -3} over {h}} `][eqn: = lim _{h` -> 0} {{f LEFT ( 1+2h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) } over {2h}}times2 `]
[eqn: =2f `primeLEFT ( 1 RIGHT ) `= 2 times 6 = 12`]

12. [출제의도] 유리함수의 성질 이해하기

함수 [eqn: y= {ax+1} over {bx+1}]의 그래프가
점 [eqn: LEFT ( 2,```3 RIGHT ) `]을 지나므로 [eqn: { 2a+1} over { 2b+1}=3`]   [eqn: CDOTS `]㉠

함수 [eqn: y= {ax+1} over {bx+1}]의 그래프의 한 점근선이
직선 [eqn: y=2`]이므로

[eqn: y= {ax+1} over {bx+1} = {a LEFT ( x+ {1} over {b} RIGHT ) - {a} over {b} +1} over {b LEFT ( x+ {1} over {b} RIGHT )} = {- {a} over {b} +1} over {b LEFT ( x+ {1} over {b} RIGHT )} + {a} over {b} `]에서 [eqn: { a} over { b}=2`]   [eqn: CDOTS `]㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: a=3b+1], [eqn: a=2b]

따라서 [eqn: a=`-2`,~b=`-1`]이므로 [eqn: a^2 +b^2 =5`]

13. [출제의도] 급수와 일반항 사이의 관계
이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 2a _{n} -5b _{n} RIGHT )`]이 수렴하므로

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( 2a _{n} -5b _{n} RIGHT ) =0`} `]

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} =5} `]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n} =2}]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n} LEFT ( a _{n} +2b _{n} RIGHT )} =2 TIMES LEFT ( 5+4 RIGHT ) =18`]

14. [출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 수학
내적 문제 해결하기

[eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: x ^{3} -ax+b`]를 [eqn: x-1`]로 나눈
나머지가 [eqn: 57`]이므로

나머지 정리에 의하여

[eqn: 1-a+b=57`]
[eqn: b=`a+56]	[eqn: CDOTS `]㉠

[eqn: 1`], [eqn: a`], [eqn: b`]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: a^2 = b`]	[eqn: CDOTS `]㉡

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: a ^{2} =`a+56]

[eqn: a ^{2} -a-56= LEFT ( a+7 RIGHT ) LEFT ( a-8 RIGHT ) =0`]

[eqn: a=`-7`] 또는 [eqn: 8]

공비는 [eqn: a`]이고 양수이므로 [eqn: a=8`], [eqn: b= a^2 = 64`]

따라서 [eqn: {b} over {a} = {64} over {8} =8`]

15. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수학
내적 문제 해결하기

[eqn: log _{a} a ^{2} b ^{3} =log _{a} a ^{2} +log _{a} b ^{3} =2+3log _{a} b=3]

이므로 [eqn: log _{a} b= {1} over {3}]

따라서 [eqn: `log _{`b} `a= {1} over {log _{a} b} =3]

16. [출제의도] 수열의 합을 이용하여 수학 내적
문제 해결하기

직선 [eqn: x=n`]이

두 곡선 [eqn: y=rootx`], [eqn: y=`- root {x+1}`]과 만나는 점은 각각 [eqn: {rm A} it _{n} LEFT (` n,~ sqrt {n}` RIGHT ) `], [eqn: rm B it rm _{n} LEFT (` n,~- sqrt {n+1}` RIGHT )]

[eqn: T_n = {1} over {2} `n` LEFT ( sqrt { n} + sqrt { n+1} ` RIGHT ) `]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{24} {n} over {T _{n}} ` = sum _{n=1} ^{24} {2} over { sqrt {n} + sqrt {n+1} }]

[eqn: =2 sum _{n=1} ^{24} LEFT ( sqrt { n+1}- sqrt { n} RIGHT )]

[eqn: =2 times LEFT (5-1 RIGHT )=8]

17. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 수학 내적
문제 해결하기

[eqn: 2 ^{{4} over {a}} =100`]에서 [eqn: 2^4 = 100^a`]이므로 [eqn: 2^{ 4}= 10^2a]

[eqn: 25 ^{{2} over {b}} =10`]에서 [eqn: 25^2 = 10^b``]이므로 [eqn: 5^{ 4}=10 ^{ b}]

지수법칙에 의하여

[eqn: 10^{2a+ b} = 10^2a times 10^b][eqn: = 2^4 times 5^4 = 10^4`]

따라서 [eqn: 2a+b = 4]

18. [출제의도] 여러 가지 수열의 합을 이용하여
추론하기

	[eqn: 1·2n+3· LEFT ( 2n-2 RIGHT ) +5· LEFT ( 2n-4 RIGHT )] [eqn: +` CDOTS `+(2n-1)·2] [eqn: LEFT . = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( ` {BOX{``2k-1``}} ` RIGHT ) LEFT { 2n- LEFT ( 2k-2 RIGHT ) RIGHT }] [eqn: LEFT . LEFT . = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( ` {BOX{``2k-1``}} ` RIGHT ) LEFT { 2 LEFT ( n+1 RIGHT ) -2k RIGHT } RIGHT . RIGHT .] [eqn: LEFT . LEFT . =2 LEFT ( n+1 RIGHT ) sum _{k=1} ^{n} LEFT ( ` {BOX{``2k-1``}} ` RIGHT ) -2 sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 2k ^{2} -k RIGHT ) RIGHT . RIGHT .] [eqn: LEFT . LEFT . =2 LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT { n LEFT ( n+1 RIGHT ) -n RIGHT } RIGHT . RIGHT .] [eqn: -LEFT . `2 LEFT { {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {{BOX{```3```}}} `- {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} RIGHT } RIGHT .] [eqn: =2 LEFT ( n+1 RIGHT ) n ^{2} - { 1} over {3 } n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( ` {BOX{```` 4n-1 ````}} ` RIGHT )] [eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {3}] 이다.

[eqn: f(k)`=2k-1`], [eqn: a=3`], [eqn: g(n)=4n-1`]

그러므로 [eqn: f(3) TIMES g(3)`=5 TIMES 11=55]

19. [출제의도] 함수의 미분가능성 이해하기

ㄱ. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) `= {1} over {2} LEQ 1`]이므로 [eqn: g(1)=f(1)= { 1} over {2 }]

ㄴ. (i) [eqn: f(x) LEQ x`]인 경우 [eqn: g(x)=f(x) LEQ x]
(ii) [eqn: f(x)>x`]인 경우 [eqn: g(x)=x]
(i), (ii)에 의하여
모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g(x) LEQ x]

ㄷ. 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x<0`], [eqn: 0<x<2`], [eqn: x>2`]에서
미분가능하므로 [eqn: x=0`], [eqn: x=2`]에서의 미분가능성을
조사해보면

(i) [eqn: x=0`]일 때,
[eqn: lim _{h` -> `0-} {{g LEFT ( 0+h RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {h}} `][eqn: = lim _{h` -> `0-} {{h-0} over {h}} `][eqn: =1`]
[eqn: lim _{h` -> `0+} {{g LEFT ( 0+h RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {h}} `][eqn: = lim _{h` -> `0+} {{{1} over {2} h ^{2} -0} over {h}} `][eqn: =0`]
이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=0`]에서 미분가능하지
않다.

(ii) [eqn: x=2`]일 때,

[eqn: lim _{h` -> `0-} {{g LEFT ( 2+h RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT )} over {h}} `][eqn: = lim _{h` -> `0-} {{{1} over {2} LEFT ( 2+h RIGHT ) ^{2} -2} over {h}} `]
[eqn: =2]
[eqn: lim _{h` -> `0+} {{g LEFT ( 2+h RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT )} over {h}} `][eqn: = lim _{h` -> `0+} {{LEFT ( 2+h RIGHT ) -2} over {h}} `]
[eqn: =1`]
이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=2`]에서 미분가능하지
않다.

따라서 실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 2`]이다.

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. [출제의도] 등비급수를 활용하여 수학 내적
문제 해결하기

다음은 그림 [eqn: R_1`]이다.

[eqn: rmA]

[eqn: rmD]

[eqn: rmC]

[eqn: rmB]

[eqn: rmM]

[eqn: rmO]

[eqn: r]

두 부채꼴의 호 [eqn: rm MA `], 호 [eqn: rm D} M `]과 선분 [eqn: rm A D `]에
모두 접하는 원의 중심을 [eqn: rmO`], 반지름의 길이를
[eqn: r`]라 하자.
[eqn: {bar{rm BO it}} ^{2} = {bar{rm BM it}} ^{2} + {bar{rm O M it}} ^{2}`]이므로

[eqn: LEFT ( 1+r RIGHT ) ^{2} =1 ^{2} + LEFT ( 1-r RIGHT ) ^{2}]

[eqn: r = {1} over {4}], [eqn: S _{1} = LEFT ( 1 over4 RIGHT ) ^2 pi = {pi} over {16}]

다음은 그림 [eqn: R _{n+1}`]의 일부이다. [eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT )]

[eqn: rm A _{it n}]

[eqn: rmB]

[eqn: rmM_{it n}]

[eqn: rmO_{it n}]

[eqn: rmA_{it n+1}]

[eqn: rmD_{it n+1}]

[eqn: rmC_{it n+1}]

[eqn: rmO_{it n+1}]

[eqn: rmM _{it n+1}]

[eqn: it r _{it n}]

[eqn: it r _{it n+1}]

[eqn: rm C _{it n}]

[eqn: rm D _{it n}]

그림 [eqn: R _{n}`]에서 새로 그려진 각 부채꼴에 내접하는
직사각형 중 한 꼭짓점을 [eqn: rmB`]로 하는 직사각형을
[eqn: rmA _{itn} BC _{itn} D _{itn}`]이라 하고, 직사각형 [eqn: rmA _{itn} BC _{itn} D _{itn}`]내부의
두 부채꼴의 호와 선분 [eqn: rmA _{it n} D _{it n}]에 모두 접하는
원의 중심을 [eqn: rmO _{it n}`], 반지름의 길이를 [eqn: r _{it n}`],
선분 [eqn: rmBC _{itn}`]의 중점을 [eqn: rmM _{itn}`]이라 하자.

[eqn: {bar{rm A _{it n+1} B it}} `=l`]이라 하면
[eqn: {bar{rm A _{it n+1} B it}} `:` {bar{rm BC _{it n+1} it}} `=`1`:`2`]이므로
[eqn: {bar{rm BC _{it n+1} it}} `=2l`], [eqn: {bar{rm BD _{it n+1} it}} `= sqrt {5} l`]

또한, [eqn: {bar{rm BD _{it n+1} ` it}} = {bar{rm BM _{it n} it}} `= sqrt {5} l`]이고

삼각형 [eqn: rmO _{it n+1} BM _{it n+1}`]과 삼각형 [eqn: rm O _{it n} BM _{it n}`]은
닮음이므로 [eqn: {bar{rm BM _{it n+1} it}} `: {bar{rm BM _{it n} it}} ``=` {bar{rm BO _{it n+1} it}} `:` {bar{rm BO _{it n} it}}]
[eqn: l:` sqrt {5} l= LEFT ( `l+r _{n+1} ` RIGHT ) `: LEFT ( ` sqrt {5} l+r _{n} ` RIGHT ) `]

[eqn: r _{n+1} = {1} over {sqrt {5}} r _{n}]

그림 [eqn: R _{n}`]에서 새로 그려진 원 한 개의 넓이를
[eqn: a _{n}`]이라 하면 [eqn: a _{n+1} = {1} over {5} a _{n}]
그림 [eqn: R _{n+1}]에서 새로 그려진 원의 개수는
그림 [eqn: R _{n}]에서 새로 그려진 원의 개수의 [eqn: 2]배이므로
[eqn: S _{n}`]은 첫째항이 [eqn: {pi} over {16}`]이고 공비가 [eqn: {2} over {5}`]인
등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이다.

따라서 [eqn: lim _{n-> INF } {S _{n} = {{pi} over {16}} over {1- {2} over {5}} = {5} over {48} pi}]

21. [출제의도] 수열의 합을 이용하여 추론하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]의 첫째항을 [eqn: a`], 공차를 [eqn: d`]라 하면

조건 (가)에 의하여

[eqn: {``a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{2n-1}+a _{2n} ``} over {a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{n-1}+a _{n}} `=p`]([eqn: p]는 상수)

이고,

[eqn: {```` {2n LEFT { 2a+(2n-1)d RIGHT }} over {2} ````} over {{n LEFT { 2a+(n-1)d RIGHT }} over {2}} `=p`]

[eqn: 4a+4dn-2d=2ap+dnp-dp`]

[eqn: LEFT ( 4d-dp RIGHT ) n+ LEFT ( 4a-2d-2ap+dp RIGHT ) =0`]   [eqn: cdots](★)

(★)이 자연수 [eqn: n`]에 대한 항등식이므로

[eqn: 4d-dp=0], [eqn: 4a-2d-2ap+dp=0`]

[eqn: d != 0`]이므로 [eqn: p=4`], [eqn: d=2a`]

[eqn: a _{n} =a+(n-1) TIMES 2a=a(2n-1)`]

조건 (나)에서

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {2} over {(2n+1)a _{n}} = sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a} LEFT ( {1} over {2n-1} `- {1} over {2n+1} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {a} lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {2k-1} `- {1} over {2k+1} RIGHT )}]

[eqn: = {1} over {a}]

[eqn: {1} over {a} = {1} over {10}`]이므로 [eqn: a=10`], [eqn: d=20`]

따라서 [eqn: a _{n} =20n-10`]이므로 [eqn: a _{10} =190]

22. [출제의도] 수열의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{`10n ^{2} -3n} over {2n ^{2} +1} `= lim _{n` -> ` INF } {{`10- {3} over {n} `} over {2+ {1} over {n ^{2}}} `=5}} `]

23. [출제의도] 부분집합의 성질 이해하기

집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~6 RIGHT } `]이므로 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =4]

따라서 집합 [eqn: A`]의 모든 부분집합의 개수는

[eqn: 2 ^{4} =16]

24. [출제의도] 역함수 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = 3x-7`]에서

[eqn: f` ^{-1} LEFT ( 5 RIGHT ) `=k`]라 하면

역함수의 성질에 의하여

[eqn: f LEFT ( k RIGHT ) = 3k-7 = 5`]이므로 [eqn: k=4`]

따라서 [eqn: f` ^{-1} LEFT ( 5 RIGHT ) `=4`]

25. [출제의도] 등비수열 이해하기

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 공비를 [eqn: r`][eqn: LEFT ( r>0 RIGHT )`]이라 하면

[eqn: a _{3} TIMES a _{4} =a _{5} `]에서 [eqn: {1} over {2} r ^{2} TIMES {1} over {2} r ^{3} = {1} over {2} r ^{4}`]

[eqn: r=2`]이므로 [eqn: `a _{7} = {1} over {2} times2 ^{6} =32`]

26. [출제의도] 곱의 미분법을 이용하여 수학
내적 문제 해결하기

[eqn: lim _{x` -> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -2} over {x-1}}= 12`]에서 극한값이 존재하고

[eqn: x` -> `1`]일 때, (분모)[eqn: -> `0`]이므로 (분자)[eqn: -> `0]

[eqn: lim _{x` -> 1} { LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -2 RIGHT } }=0`]에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2`]이다.

[eqn: lim _{x` -> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -2} over {x-1}} = lim _{x` -> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}} =f` prime LEFT ( 1 RIGHT )` =12`]

[eqn: g` prime (x)` = 2xf LEFT (x RIGHT ) + LEFT ( x^2 +1 RIGHT )f` prime (x)`]이므로

[eqn: g` prime (1)`][eqn: = 2f LEFT ( 1 RIGHT ) + 2f` prime (1)`]
[eqn: = 2times 2 + 2times 12`][eqn: = 4+24 = 28`]

27. [출제의도] 거듭제곱근의 성질 이해하기

[eqn: LEFT ( sqrt {2 root {3} of {4}} RIGHT ) ^{n} ``=2 ^{{5n} over {6}} `]이 자연수가 되도록 하는
자연수 [eqn: n`]은 [eqn: 6]의 배수이다.

[eqn: n=6`]일 때, [eqn: 2 ^{5} =32`]

[eqn: n=12`]일 때, [eqn: LEFT ( 2 ^{5} RIGHT ) ^{2} =2 ^{10} =1024`]

[eqn: n=18`]일 때, [eqn: LEFT ( 2 ^{5} RIGHT ) ^{3} =2 ^{15} =32768`]

[eqn: VDOTS]

[eqn: LEFT ( sqrt {2 root {3} of {4}} RIGHT ) ^{n} ``=2 ^{{5n} over {6}} `]이 네 자리 자연수가 되어야
하므로 [eqn: n=12]

28. [출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을
이용하여 추론하기

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]은

[eqn: a _{1} =88 GEQ 65`]
[eqn: a _{n} GEQ65`]인 경우 [eqn: a _{n+1} =a _{n} -3`]이므로
[eqn: a _{n} =`-3n+91 GEQ 65`]에서 [eqn: n LEQ {26} over {3} =8.666 CDOTS]

[eqn: n GEQ 9`]일 때,

[eqn: {cases{`&`#eqalign{`# `}&`}}]	[eqn: a _{9} =a _{8} -3=67-3=64]
	[eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} `] [eqn: LEFT ( n GEQ 9 RIGHT )]

[eqn: sum _{n=1} ^{15} a _{n} = sum _{n=1} ^{8} a _{n} + sum _{n=9} ^{15} a _{n}]

[eqn: = {8 TIMES LEFT ( a _{1} +a _{8} RIGHT )} over {2} + {a _{9} TIMES LEFT ( 1- {1} over {2 ^{7}} RIGHT )} over {1- {1} over {2}}]

[eqn: = {8 TIMES LEFT ( 88+67 RIGHT )} over {2} + {64 TIMES LEFT ( 1- {1} over {2 ^{7}} RIGHT )} over {1- {1} over {2}}]

[eqn: =620+127=747]

29. [출제의도] 함수의 극한을 이용하여 수학
내적 문제 해결하기

점 [eqn: rm C`]는 선분 [eqn: rm AB`]의 중점이므로 [eqn: rm C LEFT ( {3} over {2} it t,``` {sqrt {2}} over {2}it t RIGHT ) `]

직선 [eqn: rm AB`]의 기울기가 [eqn: - sqrt {2} `]이므로 점 [eqn: rmC`]를

지나고 직선 [eqn: rmAB`]에 수직인 직선을 [eqn: l`]이라 하면

직선 [eqn: l`]의 방정식은
[eqn: y= {sqrt {2}} over {2} LEFT ( x- {3} over {2} t RIGHT ) + {sqrt {2}} over {2} t`]

점 [eqn: rm D`]는 직선 [eqn: l`]과 직선 [eqn: x=2t`]의 교점이므로

점 [eqn: rm D`]의 좌표는 [eqn: rm D LEFT (it 2t,``` {3 sqrt {2}} over {4} t RIGHT )`]

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `= {bar{rm CD it}} = sqrt {LEFT ( 2t- {3} over {2} t RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {3 sqrt {2}} over {4} t- {sqrt {2}} over {2} t RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: = {sqrt {6}} over {4} t]

[eqn: lim _{t` -> `4} {{t ^{2} -16} over {f LEFT ( t RIGHT ) `- sqrt {6}} =`} lim _{t` -> `4} {{t ^{2} -4 ^{2}} over {{sqrt {6}} over {4} t- sqrt {6}}}]
[eqn: = lim _{t`-> `4} {{4 LEFT ( t-4 RIGHT ) LEFT ( t+4 RIGHT )} over {sqrt {6} LEFT ( t-4 RIGHT )}}]
[eqn: = lim _{t` -> `4} {{4(t+4)} over {sqrt {6}}}]

[eqn: = {16 sqrt {6}} over {3}]

[eqn: k={16 sqrt {6}} over {3} `]이므로 [eqn: 3k ^{2} =512]

30. [출제의도] 함수의 연속성을 활용하여 수학
내적 문제 해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 곡선 [eqn: y=ax ^{2} +bx`]에 따라 다음과
같이 [eqn: 6`]가지의 그래프의 개형을 갖는다.

① [eqn: x] [eqn: y] [eqn: RMO] [eqn: y=3] [eqn: y=4]	② [eqn: y] [eqn: RMO] [eqn: x] [eqn: y=4] [eqn: y=3]
③ [eqn: y] [eqn: y=3] [eqn: y=4] [eqn: RMO] [eqn: x]	④ [eqn: y] [eqn: y=3] [eqn: y=4] [eqn: RMO] [eqn: x]
⑤ [eqn: y] [eqn: y=3] [eqn: y=4] [eqn: RMO] [eqn: x]	⑥ [eqn: y] [eqn: y=3] [eqn: y=4] [eqn: RMO] [eqn: x]

조건 (가)를 만족시키는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의
개형은 ⑤가 유일하다.

(i) 곡선 [eqn: y=ax ^{2} +bx`]의 꼭짓점의 [eqn: y`]좌표는
[eqn: -4`]이므로
[eqn: y=ax ^{2} +bx`=a LEFT ( x+ {b} over {2a} RIGHT ) ^{2} - {b ^{2}} over {4a} `]에서
[eqn: - {b ^{2}} over {4a} `=`-4]	[eqn: CDOTS]㉠

(ii) 조건 (나)에 의하여
곡선 [eqn: y=ax ^{2} +bx`]는 점 [eqn: LEFT ( { 2} over { 3} ,````-3 RIGHT ) `]을 지나고,
꼭짓점의 [eqn: x`]좌표 [eqn: - {b} over {2a}]는 [eqn: { 2} over {3 } `]보다 크다.
[eqn: 4a+6b=`-27]	[eqn: CDOTS]㉡
[eqn: - {b} over {2a}> { 2} over { 3} `]	[eqn: CDOTS]㉢

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: b ^{2} +24b+108= LEFT ( b+6 RIGHT ) LEFT ( b+18 RIGHT ) =0]

[eqn: {cases{`a= { 9} over {4 } #`b=`-6`}}] 또는 [eqn: {cases{`a= { 81} over {4 } #`b=`-18`}}]

㉢에 의하여 [eqn: a= { 9} over { 4}], [eqn: b=`-6]이고 [eqn: - {b} over {2a} = {4} over {3}]

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=]	[eqn: {cases{`&`#eqalign{`# `}&`}}]	[eqn: -3x LEFT ( x+2 RIGHT )]	[eqn: LEFT ( x<0 RIGHT )]
		[eqn: LEFT. LEFT | { 9} over {4 } x ^{2} -6x RIGHT . RIGHT |]	[eqn: LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )]

[eqn: {2} over {3}]

[eqn: {4} over {3}]

[eqn: y]

[eqn: RMO]

[eqn: -1]

[eqn: x]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )=4`]인 [eqn: x_1 `]은 [eqn: 4 over3`]이므로 [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT )= 4 over3 `]

[eqn: 30 TIMES g(4)=30 TIMES {4} over {3} =40`]