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2006학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 문제지

수리 영역

1. 4   × 8  의 값은? [2점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

2. 행렬 [eqn: A= pmatrix { 3` & 1 ``# 5 & 2`` }]에 대하여 행렬 [eqn: A-A^-1`]의 모든 성분의

합은? [2점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

3. 지수부등식 [eqn: 2 ``````＠` 4 cdot 2~`]의 해가 [eqn: alpha `＠` x `＠` beta``]일 때,

[eqn: alpha `+`beta`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

4. 수열 [eqn: left{ a_n `right}]에서 [eqn: a_n = 2^n + (-1)^n `]일 때,

[eqn: a_1 + a_2 + a_3 + ``cdots`` + a_9``]의 값은? [3점]

① [eqn: 2^10 -3]	② [eqn: 2^10 -1]	③ [eqn: 2^10]

④ [eqn: 2^10 +1]	⑤ [eqn: 2^10 + 3]

5. 두 사건 [eqn: A`]와 [eqn: B``]가 독립이고

수리 영역

[eqn: \P`(B`) = {3_`} over {5^`}], [eqn: \P `(A cap B`) = {1_`} over {5^`}]

일 때, [eqn: \P`(A cup B `)]의 값은? [3점]

① [eqn: {2_`} over {3^`}]	② [eqn: {11_`} over {15^`}]	③ [eqn: {4_`} over {5^`}]	④ [eqn: {13_`} over {15^`}]	⑤ [eqn: {14_`} over {15^`}]

6. 다항식 [eqn: (1+2x)^6 (1-x) `]의 전개식에서 [eqn: x`^4 `]의 계수는? [3점]

① [eqn: 40]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 60]	④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 80]

7. 두 실수 [eqn: x,``y``]에 대하여 행렬 [eqn: A= left ( matrix { x+y & -x`` # y & x+y`` } right ) `]의 역행렬이

존재하지 않고, 복소수 [eqn: z=x+y-3+x`y`i ``]의 제곱이 음의

실수일 때, [eqn: xy``]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt -1_`]이다.) [3점]

① [eqn: -11]    ② [eqn: -9]	③ [eqn: -7]	④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -3]

8. 집합 [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3`]은 다음과 같다.

[eqn: S_1 = LEFT { 1, ```2 RIGHT }]

[eqn: S_2 = LEFT { 1,``` 2,```3,``` 4 RIGHT }]

[eqn: S_3 = LEFT { 1,``` 2, ```3,``` 4,```5, ```6 RIGHT }]

집합 [eqn: S_1]에서 한 개의 원소를 선택하여 백의 자리의 수,

집합 [eqn: S_2]에서 한 개의 원소를 선택하여 십의 자리의 수,

집합 [eqn: S_3]에서 한 개의 원소를 선택하여 일의 자리의 수로 하는 세 자리의 수를 만들 때, 각 자리의 수가 모두 다른 세 자리의 수의 개수는? [3점]

① [eqn: 8]　	② [eqn: 12]　	③ [eqn: 16]　	④ [eqn: 20]　	⑤ [eqn: 24]

9. 순환소수로 이루어진 수열 [eqn: \{a_n \}`]의 각 항이

수리 영역

[eqn: a_1 `=`0 .dot 1^`]

[eqn: a_2`=`0.dot1^` dot 0^`]

[eqn: a_3`=`0.dot1^`0` dot 0^`]

[eqn: DOTSVERT]

[eqn: a_n`=`0.dot 1^` 0^` 0^` ``CDOTS`` 0 `dot 0^`]

[eqn: DOTSVERT]

일 때, [eqn: SUM from { n=1}^` to {`inf_`} ` LEFT( {` 1_`} over {a_n+1 } - {`1_` } over { a_n} RIGHT)`]의 값은? [4점]

① [eqn: {2_`} over {3^` }]	② [eqn: 1]	③ [eqn: { 4_`} over {3^` }]	④ [eqn: { 5_`} over { 3^`}]	⑤ [eqn: 2]

10. 이차정사각행렬 [eqn: A,```B``]가 역행렬을 가질 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.)

[4점]

	<보 기>
□. [eqn: (A+B`)`A^-1 ` (A-B`)=(A-B`)`A^-1 `(A+B`)] □. [eqn: AB`^2 `=`E``]이면 [eqn: B^-1 A^-1 `=`B``]이다. □. [eqn: AB`^2 `=`B`^2 A`]이면 [eqn: AB ``=`BA`]이다.

① □	② □	③ □, □

④ □, □	⑤ □, □, □

11. 다음은 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: log_2`n`]이 유리수이면 [eqn: n]을 [eqn: n=2^k`] (단, [eqn: k`]는 [eqn: k `□`0`]인 정수)

의 꼴로 나타낼 수 있음을 증명한 것이다.

<증명>

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: log_2 `n`]이 유리수라고 하자.

[eqn: n`]이 자연수이므로

[eqn: n= 2^k cdot m`]

을 만족시키는 [eqn: k `□` 0`]인 정수 [eqn: k``]와 홀수인 자연수 [eqn: m`]이

존재한다. 그러면

[eqn: log_2 `n=]

따라서 [eqn: log_2 `n`]이 유리수이면 [eqn: log_2 `m`]도 유리수이어야

하므로

[eqn: log_2 `m = "`q"_` over p`] (단, [eqn: p`]는 자연수이고 [eqn: q`]는 정수)

로 놓을 수 있다. 그러면

[eqn: m`]이 홀수이므로 [eqn: m^p`]은 홀수이다.

따라서 [eqn: 2^q`]도 홀수이어야 하므로

이고 [eqn: m=1`]이다. 따라서 [eqn: n`]을

[eqn: n= 2^k`] (단, [eqn: k``]는 [eqn: k `□`0`]인 정수)

의 꼴로 나타낼 수 있다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)             (나)	(다)

①	[eqn: k` log_2 `m`]	[eqn: m^q =2^p]	[eqn: q= 1`]

②	[eqn: k ` log_2 `m`]	[eqn: m^p =2^q]	[eqn: q= 1`]

③	[eqn: k + log_2 `m`]	[eqn: m^q =2^p]	[eqn: q= 0`]

④	[eqn: k + log_2 `m`]	[eqn: m^p =2^q]	[eqn: q= 1`]

⑤	[eqn: k + log_2 `m`]	[eqn: m^p =2^q]	[eqn: q= 0`]

12. 중심이 [eqn: (a, ```b`)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: r``]인 원에 대응되는

수리 영역

행렬을 [eqn: pmatrix{a&b`` # 1&r``}]라 하자.

원 [eqn: (x+c-1)^2 + y^2 = c^2`]에 대응되는 행렬이 [eqn: A`]이고,

원 [eqn: (x-1)^2 + y^2 = k^2`]에 대응되는 행렬이 [eqn: A^2`]일 때,

[eqn: c` + k`]의 값은? (단, [eqn: c `Ｂ`0`]이고 [eqn: k ``Ｂ`0`]이다.) [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

13. [eqn: 2`]개의 당첨제비가 포함되어 있는 [eqn: 10`]개의 제비 중에서

임의로 [eqn: 3`]개의 제비를 동시에 뽑을 때, 적어도 한 개가 당첨제비일 확률은? [3점]

① [eqn: {2_`} over {15^`}]	② [eqn: { 4_` } over { 15^` }]	③ [eqn: { 2_` } over { 5^` }]	④ [eqn: { 8_` } over { 15^` }]	⑤ [eqn: { 2_` } over { 3^` }]

14. 수열 [eqn: \{a_n \}`]에 대하여 첫째항부터 제 [eqn: n``]항까지의 합을  [eqn: S_n]이라 하자. (단, [eqn: a_1 `＠` a_2 `＠ `a_3` ＠ … ＠ `a_n` ＠…`]이다.)

[eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 = 3]

[eqn: (S_n+1 - S_n-1 `)^2 = 4a_n `a_n+1 + `4] [eqn: (n=2,``3,``4,…`)]

일 때, [eqn: a_20 `]의 값은? [3점]

① [eqn: 39`]	② [eqn: 43`]	③ [eqn: 47`]	④ [eqn: 51`]	⑤ [eqn: 55`]

15. [eqn: a`Ｂ`1]일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

[4점]

	<보 기>
□. 함수 [eqn: y`=`a^x-1`]의 그래프와 함수 [eqn: y`=`1+log_a ``x``]의 그래프는 직선 [eqn: y`=`x``]에 대하여 대칭이다. □. 함수 [eqn: y = -a^x`]의 그래프와 함수 [eqn: y `=` log_{1over a} `x``]의 그래프는 만난다. □. 함수 [eqn: y `=` k`a^x `]의 그래프와 함수 [eqn: y `=` log_a ``x``]의 그래프가 만나도록 하는 양의 실수 [eqn: k``]가 존재한다.

① □	② □, □	③ □, □

④ □, □　	⑤ □, □, □

16. 세 확률변수 [eqn: X,``Y,``W```]는 각각 다음과 같다.

[eqn: X``]는 이항분포	[eqn: \B` left(`100,`` 1 over 5 right)`]을 따른다.

[eqn: Y``]는 이항분포	[eqn: \B` left(`225,`` 1 over 5 right)`]을 따른다.

[eqn: W```]는 이항분포	[eqn: \B` left(`400,`` 1 over 5 right)`]을 따른다.

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>
□. [eqn: \P` LEFT ( LEFT | {X} over {100} - {1} over {5} RIGHT | `＠` 1 over 10 RIGHT ) ````＠``` \P` LEFT ( LEFT | {W} over {400} - {1} over {5} RIGHT | `＠` 1 over 10 RIGHT )] □. [eqn: \P` LEFT ( LEFT | {X} over {100} - {1} over {5} RIGHT | `＠` 1 over 10 RIGHT ) ````＠``` \P` LEFT ( LEFT | {Y} over {225} - {1} over {5} RIGHT | `＠` 1 over 25 RIGHT )] □. [eqn: \P` LEFT ( LEFT | {Y} over {225} - {1} over {5} RIGHT | `＠` 1 over 25 RIGHT ) ````＠``` \P` LEFT ( LEFT | {W} over {400} - {1} over {5} RIGHT | `＠` 1 over 25 RIGHT )]

① □	② □	③ □, □

④ □, □	⑤ □, □, □

17. 그림과 같이 원점을 지나고 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는

수리 영역

각의 크기가 [eqn: theta`]인 직선 [eqn: l``]이 있다.

점 [eqn: \P_1 (1,```0)]을 지나고 직선 [eqn: l``]과 평행한 직선 위에 선분의

길이가 [eqn: rm{overlineOP_1 ^`} = overline{P_1 `Q_1}^`]이 되는 점 [eqn: \Q_1]을 선택하자.

점 [eqn: \Q_1]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \P_2`]라 하고, 점 [eqn: \P_2]를 지나고 직선 [eqn: l``]에 평행한 직선 위에 선분의 길이가

[eqn: rm overline{P_1 `P_2}^` = overline{P_2 `Q_2}^` `]가 되는 점 [eqn: \Q_2]를 선택하자.

점 [eqn: \Q_2]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \P_3]이라 하고, 점 [eqn: \P_3]을 지나고 직선 [eqn: l``]에 평행한 직선 위에 선분의 길이가

[eqn: rm overline{P_2 `P_3}^` = overline{P_3 `Q_3}^` `]이 되는 점 [eqn: \Q_3]을 선택하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n``]번째 얻은 두 점 [eqn: \P_n ,```\Q_n]에

대하여 선분 [eqn: \P_n \Q_n`]의 길이를 [eqn: a_n]이라 하자.

[eqn: SUM from {n=1^`} to {`inf_`} a_n =4]일 때, [eqn: cos theta`]의 값은?	[4점]

① [eqn: {1_`} over {4 ^`}]	② [eqn: {1_`} over {2 ^`}]	③ [eqn: {root {2_``}} over {2^`}]	④ [eqn: {3_`} over {4^`}]	⑤ [eqn: {root{3_``}} over {2^`}]

단 답 형

18. 첫째항이 [eqn: 2`]인 등차수열 [eqn: \{`a_n \}`]에서 [eqn: SUM from { {n }=1}^`^` to {`10_`_`} a_n `=`200]일 때,

[eqn: a_11`]의 값을 구하시오. [3점]

19. [eqn: lim from { n `->` inf }`left (sqrt{n^2 +15n +13}^` -sqrt{n^2 -13n}^` `right )`]의 값을 구하시오.	[3점]

20. 두 실수 [eqn: a,```b`]가

수리 영역

[eqn: a`` log_3 ``2 `=` 4]

[eqn: log_3` b ``=` 1-log_3 (log_2 ``3`)}`]

을 만족시킬 때, [eqn: ab`]의 값을 구하시오. [3점]

21. 두 자연수 [eqn: m``]과 [eqn: n``]의 최대공약수를 [eqn: p`],

[그림 [eqn: 1]]

최소공배수를 [eqn: q ``]라 할 때, 이런 관계를

만족시키는 수를 [그림 [eqn: 1]]과 같이

나타내기로 하자.

[그림 [eqn: 2]]는 [그림 [eqn: 1]]의 관계를 만족시키도록 수를 연결하여 나타낸 것이다. 세 자연수 [eqn: e`], [eqn: 12`], [eqn: f``]가

이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: e`+f``]의 값을 구하시오.

[4점]

[그림 [eqn: 2]]

22. 각 면에 [eqn: 1, ```1, ```2, ```2, ```2, ```4`]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 상자가 있다. 이 상자를 던졌을 때, 윗면에 적힌 수를 확률변수 [eqn: X` `]라 하자. 확률변수 [eqn: 5X+3]의 평균을 구하시오. [3점]

23. 네 학생 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C], [eqn: \D`]가 각각 자신의 수학 교과서를

한 권씩 꺼내어 [eqn: 4`]권을 섞어 놓고, 한 권씩 임의로 선택하기로 하였다. [eqn: \D`]가 먼저 [eqn: \A`]의 교과서를 선택하였을 때, 나머지

세 학생이 아무도 자신의 교과서를 선택하지 못할 확률은

[eqn: "`q"_` over p]이다. [eqn: 10(`p`+`q`)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p``]와 [eqn: q``]는 서로소인

자연수이다.) [4점]

24. 한 변의 길이가 [eqn: 70 rm cm`]인

수리 영역

정육면체 모양의 상자에 한 변의 길이가 [eqn: 10 rm cm`]인 정육면체 모양의 나무 블록을 다음 규칙에 따라 빈틈없이 가득 채우려고 한다.

[eqn: n``]번째에 넣는 나무 블록의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때,

(가) [eqn: a_1 = 10]

(나) [eqn: a_n+1 = left[ a_n over 2 right] +3],   [eqn: n=1,```2,```3, ``cdots]

(단, [eqn: [x]]는 [eqn: x`]를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

(다) 상자를 가득 채우면 나무 블록 넣기를 멈춘다.

[eqn: k``]번째에 상자를 가득 채웠다고 할 때, [eqn: k``]의 값을 구하시오. (단, 상자의 두께는 무시한다.) [4점]

25. 자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: f``(n)= sum from { k=1 }^`^` to { n _`_`} ```` ""_{ 2k } \C_1 +_{ 2k } \C_3 +_{ 2k } \C_5 +` `CDOTS ``+_{ 2k } \C_2k-1]

일 때, [eqn: f``(5)`]의 값을 구하시오. [4점]

5 지 선 다 형

26. 좌표평면에서 직선 [eqn: x-3y+3 =0] 위에 있는 점 중에서

[eqn: x``]좌표와 [eqn: y``]좌표가 자연수인 모든 점의 좌표를 각각

[eqn: (a _1 ,```b _1 `),```(a _2 ,```b _2 `),`` CDOTS ,```(a _n` ,```b _n `), ``CDOTS]

이라 할 때, 무한급수 [eqn: sum from {n=1}^` to {`inf_`} {1_`} over {a _n ` b _n}^`]의 값은?

(단, [eqn: a_1 `＠`a_ 2 `＠`` CDOTS ``＠`a_ n `＠`` CDOTS] 이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: { 1_` } over { 2`` }]	③ [eqn: { 1_` } over { 3`` }]	④ [eqn: { 1_` } over { 4`` }]	⑤ [eqn: { 1_` } over { 5`` }]

27. 이산확률변수 [eqn: X ``]의 확률분포표는 다음과 같다.

X	0	1	2	3	계
P( X = x )	p	[eqn: { 1 } over { 4 }]	q	[eqn: { 1 } over { 12 }]	1

[eqn: X``]의 분산이 [eqn: 1`]이 되는 [eqn: p``]와 [eqn: q``]에 대하여 [eqn: 3p+ q``]의 값은? [4점]

① [eqn: { 1_` } over { 2^` }]	② [eqn: { 3_` } over { 4^` }]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: { 3_` } over { 2^` }]	⑤ [eqn: 2]

28. 두 함수 [eqn: f``(`x`)` = log `x `], [eqn: g`(`x`)`=10^x`]과 실수의 부분집합

수리 영역

[eqn: C`]에 대하여 두 집합 [eqn: A,`B``]를 각각

[eqn: A= `left{ `x ```|` f``(`x`) `in` C`` right}`], [eqn: B= `left{ `x ```|` g`(`x`) `in` C`` right}``]

라고 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>
□. [eqn: C`= `left { { 1 } over { 10 } ,```1,```10` `right }`]이면 [eqn: B`=left{-1, ```0, ```1 `right}`]이다. □. 집합 [eqn: C` `]가 자연수 전체의 집합이면 집합 [eqn: B``]는 곱셈에 대하여 닫혀있다. □. 집합 [eqn: C` `]가 공집합이 아니면 [eqn: left{`g``(`x`)` `left | `x ``IN C` right}`=A`]이다.

① □	② □, □	③ □, □

④ □, □	⑤ □, □, □

29. 어느 나라의 기상청에서는 기온이 [eqn: T``](℃)이고 풍속이

[eqn: v``](km/시간)일 때, 체감온도 [eqn: B`](℃)를 다음과 같이 계산하여 발표한다.

[eqn: B `=14+` 0.6T `+` (0.4T -12 ) ``v`^0.16]

기온이 [eqn: -15]℃이고 풍속이 [eqn: x``](km/시간)인 경우,

이 기상청에서 체감온도가 [eqn: -25]℃라고 발표하였을 때, [eqn: x``]의 값은? (단, 다음 로그표를 사용하고, 계산은 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림한다.) [4점]

[eqn: x``]	2.0	2.2	2.4	2.6	2.8	3.0
[eqn: log`x]	0.30	0.34	0.38	0.42	0.45	0.48

① [eqn: 20]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 28]	④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 36]

단 답 형

30. 어느 회사에서는 신입사원 [eqn: 300`]명에게 연수를 실시하고

[eqn: z]	[eqn: \P(`0 `□` Z` □` z`)]
1.0	0.34
1.1	0.36
1.2	0.38
1.3	0.40

연수 점수에 따라 상위 [eqn: 36`]명을 뽑아 해외 연수의 기회를 제공하고자 한다. 신입사원 전체의 연수 점수가 평균 [eqn: 83`]점, 표준편차 [eqn: 5`]점인 정규분포를 따른다고 할 때, 해외 연수의 기회를 얻기 위한 최소 점수를 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오. (단, 연수 점수는 최소 [eqn: 0`]점에서 최대 [eqn: 100`]점 사이의 정수이다.) [4점]

* 확인 사항

□ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.