◦ 자신이 선택한 유형(‘A’형/‘B’형)의 문제지인지 확인하시오.

2012학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수학 영역

성명			수험 번호						2

A 형

수학 영역

A 형

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수학 영역

A 형

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◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. [eqn: 2 ^{`-1} ` TIMES `36 ^{{1} over {2}} `]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {3} `]	② [eqn: {1} over {2} `]	③ [eqn: 2`]	④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 4`]

12

2. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`-3`&`1`#````````2`&`4`}} `], [eqn: B= {pmatrix{`2`&`````````3`#`4`&``-1`}} `]에 대하여 행렬 [eqn: 2A+B`]는?

[2점]

① [eqn: {pmatrix{`-4`&`5`#````````8`&`7`}} `]	② [eqn: {pmatrix{`-1`&`5`#````````6`&`7`}} `]	③ [eqn: {pmatrix{`-4`&`4`#````````8`&`3`}} `]

④ [eqn: {pmatrix{`-1`&`4`#````````6`&`3`}} `]	⑤ [eqn: {pmatrix{`-2`&`5`#````````6`&`2`}} `]

3. 세 행렬 [eqn: A= {pmatrix{````````4&`3`#`-2`&`1`}} `], [eqn: B= {pmatrix{`1`&``2`#`6`&``0`}} `], [eqn: C= {pmatrix{````````2`&```0`#`-7`&```3`}} `]에 대하여 행렬 [eqn: A(B+C``)`]는? [2점]

① [eqn: {pmatrix{`-9``&```-17#```````7`&``````````````1`}} `]	② [eqn: {pmatrix{`-9``&```17#-7`&`````1`}} `]	③ [eqn: {pmatrix{`-9``&```17#```````7`&`-1`}} `]

④ [eqn: {pmatrix{`9``&```17#7`&`````1`}} `]	⑤ [eqn: {pmatrix{````````9``&```17#-7`&`-1`}} `]

4. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{-1`&`a`#```````a`&`1`}} `]에 대하여 [eqn: A ^{2} = {pmatrix{`4`&`0`#`0`&`4`}} `]일 때, [eqn: a ^{2} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 5`]	⑤ [eqn: 6`]

5. 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여 [eqn: 4 ^{`x} =32`], [eqn: 8 ^{`y} =16`]일 때, [eqn: 2x+3y`]의 값은?

[3점]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 7`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 9`]

6. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`3`&`a`#`1`&`4`}} `], [eqn: B= {pmatrix{`-3`&`````````5`#````````1`&``-2`}} `]가 [eqn: A+B ^{-1} =E`]를 만족시킬 때, 실수 [eqn: a`]의 값은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: -3`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 5`]

7. [eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: {pmatrix{`5-k`&`4`#`3`&`3`}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`0`#`0`}} `]이 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 갖도록 하는 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

8. [eqn: 1`]이 아닌 양수 [eqn: a`]에 대하여 등식 [eqn: sqrt {a} TIMES {root {3} of {a ^{`2}}} over {a} = root {n``} of {a} `]가 성립할 때, 자연수 [eqn: n`]의 값은? [3점]

① [eqn: 3`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 6`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 9`]

9. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`-2`&```3`#`-1`&```2`}} `]에 대하여 등식 [eqn: A ^{2012} ` {pmatrix{`p`#`q`}} = {pmatrix{`-2`#````````3`}} `]이 성립할 때, 두 실수 [eqn: p`], [eqn: q`]의 합 [eqn: p+q`]의 값은? [3점]

① [eqn: -5`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 5`]

10. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{```````0&`````1`#-1&`````0`}} `]일 때, 집합 [eqn: S`]를 [eqn: S= LEFT { A ^{n} `|``n` RIGHT .]은 자연수[eqn: LEFT . RIGHT } `]라 하자. 집합 [eqn: S`]의 원소의 개수는? [3점]

① [eqn: 3`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 5`]	④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 8`]

11. [eqn: a=3`], [eqn: b= root {3} of {9} `]일 때, 세 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: a ^{`b} `]의 대소 관계로 옳은 것은? [4점]

① [eqn: a<b<a ^{`b} `]	② [eqn: a<a ^{`b} <b`]	③ [eqn: b<a<a ^{`b} `]

④ [eqn: b<a ^{`b} <a`]	⑤ [eqn: a ^{`b} <b<a`]

12. 두 함수 [eqn: f(x)=x-1`], [eqn: g(x)=3 ^{`|`x`|} `]에 대하여 합성함수 [eqn: y=(`g CIRC f`)(x)`]의 그래프의 개형은? [4점]

①		②
③		④
⑤

13. 그림은 생태계에서 먹이 사슬 관계에 있는 생물들을 서로 연결하여 나타낸 것이다.

참새

풀무치

사마귀

풀

애벌레

위 그림의 각 생물을 꼭짓점으로 하고 연결선을 변으로 하는 그래프를 나타내는 행렬이 다음과 같다. [eqn: RMD]는 어떤 생물인가?

[3점]

	[eqn: RMA```][eqn: RMB```][eqn: RMC```][eqn: RMD```][eqn: RME```]
[eqn: RMA``] [eqn: RMB``] [eqn: RMC``] [eqn: RMD``] [eqn: RME``]	[eqn: {pmatrix{``0``&``1``&``1``&``1``&``0``#``1``&``0``&``1``&``0``&``1``#``1``&``1``&``0``&``0``&``1``#``1``&``0``&``0``&``0``&``1``#``0``&``1``&``1``&``1``&``0``}}]

① 풀	② 참새	③ 풀무치	④ 사마귀	⑤ 애벌레

14. 모든 성분이 실수인 이차정사각행렬을 원소로 갖는 두 집합 [eqn: S`], [eqn: T``]가

[eqn: S```= LEFT { A`` | ````A ^{2} =O`` RIGHT }],

[eqn: T```= LEFT { A`` left |]어떤 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: LEFT. A ^{n} =O`` RIGHT }]

일 때, 다음은 [eqn: S=T``]임을 증명한 것이다. (단, [eqn: O`]는 영행렬이다.)

<증명>

[eqn: A= {pmatrix{`a&```b`#`c&```d`}} `]를 [eqn: T``]의 원소라 하면 어떤 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: A ^{n} =O`] [eqn: CDOTS `](*)

이다.

(ⅰ) [eqn: n LEQ 2`]일 때, [eqn: A IN S`]이다.

(ⅱ) [eqn: n GEQ 3`]일 때, [eqn: A`]가 역행렬을 갖는다고 하자.

(*)의 양변에 [eqn: LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{n-1} `]을 곱하면 [eqn: A=O`]

이것은 모순이므로 이다.

(가)

이때, [eqn: A` ^{2}][eqn: = {pmatrix{`a&```b`#`c&```d`}} ` {pmatrix{`a&```b`#`c&```d`}} `]

[eqn: = {pmatrix{`a ^{2} +bc&```ab+bd``#`ac+cd&```bc+d ^{`2} `}} `]

[eqn: =(a+d) {pmatrix{`a&```b`#`c&```d`}} `]

[eqn: =(a+d)A`]

그러므로 [eqn: A ^{n} =`][eqn: `A`]이고 [eqn: A ^{n} =O`]에서 [eqn: a+d=0`]이다.

(나)

따라서 [eqn: A ^{2} =O`]이므로 [eqn: A IN S`]이다.

∴ [eqn: T SUBSET S`]

한편, [eqn: S`]의 원소는 모두 [eqn: T``]의 원소이므로 [eqn: S SUBSET T``]이다.

∴ [eqn: S```=T``]

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?

[3점]

① [eqn: ad-bc=0`], [eqn: (b+c) ^{n-1} `]

② [eqn: ad-bc != 0`], [eqn: (b+c) ^{n-1} `]

③ [eqn: ad-bc=0`], [eqn: (a+d) ^{n-1} `]

④ [eqn: ad-bc != 0`], [eqn: (a+d) ^{n-1} `]

⑤ [eqn: ad-bc=0`], [eqn: (b+c) ^{n} `]

15. 행렬 [eqn: P= {pmatrix{```````1&`````````0`#-2&``-1`}} `]일 때, 집합 [eqn: S`]를

[eqn: S= LEFT { A``|`AP=PA` RIGHT .], [eqn: A`]는 이차정사각행렬[eqn: right}]

이라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A IN S`], [eqn: B` IN S``]이면 [eqn: AB` IN S``]이다. ㄴ. [eqn: {pmatrix{`a&``b`#`c&``d`}} IN S`]이면 [eqn: b=0`]이다. ㄷ. [eqn: A IN S`], [eqn: B` IN S``]이면 [eqn: AB```=BA`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. 두 함수 [eqn: y=k`]·[eqn: `2 ^{`x} `]과 [eqn: y=x`]의 그래프가 그림과 같이 서로 다른 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]에서 만나고, 점 [eqn: rmA`]가 선분 [eqn: rm OB`]의 중점일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [4점]

① [eqn: {1} over {6} `]	② [eqn: {1} over {3} `]	③ [eqn: {1} over {2} `]	④ [eqn: {2} over {3} `]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

17. 번호가 부여된 [eqn: 4`]개의 키 워드와 이 키 워드 중 일부를 포함하고 있는 [eqn: 4`]권의 책이 다음 표와 같다.

번호	키 워드		책번호	포함하고 있는 키 워드
[eqn: 1]	기초		[eqn: 1]	기초, 이론
[eqn: 2]	수학		[eqn: 2]	기초, 수학, 이론
[eqn: 3]	심화		[eqn: 3]	심화
[eqn: 4]	이론		[eqn: 4]	수학, 심화

행렬 [eqn: A`]의 [eqn: (i`], [eqn: j)`]성분 [eqn: a _{ij} `]를

[eqn: a _{ij} = {cases{1``&`(`i`번~책이~j`번~키``워드를~포함한다.)#0&`(`i`번~책이~j`번~키``워드를~포함하지~않는다.)}} ``]

([eqn: i=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: j=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4`])

로 정의하자. 행렬 [eqn: A`]는? [3점]

① [eqn: LEFT ( ` {matrix{`1`&`0`&`0`&`1`#`1`&`1`&`0`&`1`#`0`&`0`&`1`&`0`#`0`&`1`&`1`&`0`}} ` RIGHT ) `]	② [eqn: LEFT ( ` {matrix{`0`&`1`&`1`&`0`#`0`&`0`&`1`&`0`#`1`&`1`&`0`&`1`#`1`&`0`&`0`&`1`}} ` RIGHT ) `]	③ [eqn: LEFT ( ` {matrix{`1`&`0`&`0`&`1`#`0`&`1`&`1`&`0`#`0`&`0`&`1`&`0`#`1`&`1`&`0`&`1`}} ` RIGHT ) `]

④ [eqn: LEFT ( ` {matrix{`0`&`0`&`1`&`1`#`1`&`0`&`1`&`0`#`1`&`0`&`0`&`0`#`0`&`1`&`1`&`1`}} ` RIGHT ) `]	⑤ [eqn: LEFT ( ` {matrix{`1`&`1`&`0`&`0`#`0`&`1`&`0`&`1`#`0`&`1`&`1`&`1`#`1`&`0`&`0`&`0`}} ` RIGHT ) `]

18. 어느 회사에서 두 종류의 제품 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`]를 생산하고 있다. [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`]를 각각 한 개씩 생산할 때 사용되는 금과 은의 양은 다음과 같다.

(단위: g)

소재 제품	금	은
[eqn: rm P`]	[eqn: 4`]	[eqn: 1`]
[eqn: rm Q`]	[eqn: 2`]	[eqn: 3`]

이 회사에서 금 [eqn: 130`]g과 은 [eqn: 145`]g을 모두 사용하여 [eqn: rm P`], [eqn: rmQ`]를 각각 [eqn: x`]개, [eqn: y`]개 만들었다. 이때, 등식 [eqn: {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{````````a`&`-1`#`-1`&````````b`}} {pmatrix{`13`#`29`}} `]가 성립한다. 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값은? [4점]

① [eqn: -1`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 5`]	⑤ [eqn: 7`]

19. [eqn: 1 LEQ x LEQ 5`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 행렬 [eqn: {pmatrix{`x&``2x-k`#`3&``x-2`}} `]의 역행렬이 존재하도록 하는 [eqn: 10`] 이하의 자연수 [eqn: k`]의 개수는? [4점]

① [eqn: 6`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

20. 실수 [eqn: x`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)`]를

[eqn: f(x)=`](등식 [eqn: t ^{4} =x ^{2} -4`]를 만족시키는 서로 다른 실수 [eqn: t`]의 개수)

로 정의하자. 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는? [4점]

①		②
③		④
⑤

21. 표는 국악에서 사용하는 한 옥타브의 [eqn: 12`]음계에 해당하는 율명에 차례로 번호를 붙인 것이다.

번호	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]
율명	황종	대려	태주	협종	고선	중려

번호	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]	[eqn: 10]	[eqn: 11]	[eqn: 12]
율명	유빈	임종	이칙	남려	무역	응종

번호가 [eqn: n`]([eqn: n`=1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: CDOTS `], [eqn: 12`])인 율명의 진동수를 [eqn: f(n)`]이라 하면, 등식 [eqn: f(n)=C``․``2 ^{` {n-1} over {12}} `]이 성립한다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: C`]는 상수이고, 진동수의 단위는 ㎐이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: {f(4)} over {f(3)} =2 ^{{1} over {12}} `] ㄴ. ‘고선’의 진동수가 [eqn: a`]일 때, ‘무역’의 진동수는 [eqn: sqrt {2} `a`]이다. ㄷ. ‘대려’의 진동수가 [eqn: b]일 때, ‘협종’과 ‘중려’의 진동수의 곱은 [eqn: 2`b ^{`2} `]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

22. 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`10&``-b`#`3&``a-b`}} `], [eqn: B= {pmatrix{`2a`&``a-15`#`3`&```-5`}} `]에 대하여 [eqn: A=B`]가 성립할 때, 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 곱 [eqn: ab`]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: a= root {3} of {2} `], [eqn: b= root {4} of {3} `]일 때, 등식 [eqn: 6=a ^{`x} ``b ^{`y} `]이 성립한다. 두 유리수 [eqn: x`], [eqn: y`]의 합 [eqn: x+y`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`-1&`````````a`#`````````0&``-1`}} `]에 대하여 행렬 [eqn: A ^{3} `]의 모든 성분의 합이 [eqn: 91`]일 때, 실수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

25. [eqn: 5`]개의 꼭짓점이 [eqn: RMA`], [eqn: RMB`], [eqn: RMC`], [eqn: RMD`], [eqn: rm E`]인 어느 그래프의 연결 관계를 다음과 같이 행렬로 나타내었다. 꼭짓점 [eqn: rmA`]에서 출발하여 모든 꼭짓점을 오직 한 번씩만 지나 꼭짓점 [eqn: rm A`]로 되돌아오는 경로의 수를 구하시오. [3점]

	[eqn: RMA```][eqn: RMB```][eqn: RMC```][eqn: rm D```][eqn: RME```]
[eqn: RMA```] [eqn: RMB```] [eqn: RMC```] [eqn: RMD```] [eqn: RME```]	[eqn: {pmatrix{``0``&``1``&``0``&``0``&``1``#``1``&``0``&``1``&``1``&``0``#``0``&``1``&``0``&``1``&``1``#``0``&``1``&``1``&``0``&``1``#``1``&``0``&``1``&``1``&``0``}} ``]

26. 그림과 같이 직선 [eqn: x=a`]([eqn: a>0`])가 두 함수 [eqn: y=3 ^{`x}], [eqn: y= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{`x}]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A`], [eqn: RMB`]라 하자. 선분 [eqn: rm AB`]의 중점의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: sqrt {5} `]일 때, 선분 [eqn: rm AB`]의 길이를 [eqn: l`]이라 하자. [eqn: l ^{`2} `]의 값을 구하시오. [4점]

27. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`a`&`b`#`c`&`d`}} `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: A+E`]의 역행렬은 [eqn: A+2E`]이다.

(나) [eqn: (A+3E) {pmatrix{````````1`#`-3`}} = {pmatrix{`-1#````````2}} `]

[eqn: a ^{`2} +d ^{``2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

28. 두 집합

[eqn: A= LEFT { x`□`x ^{2} -(a+b)x+ab<0 RIGHT } `],

[eqn: B= LEFT { x`□`2 ^{`2x+2} -9`․`2 ^{`x} +2<0 RIGHT } `]

에 대하여 [eqn: A SUBSET B`]일 때, [eqn: b-a`]의 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: a<b`]이다.) [4점]

29. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=3` ^{x} `]과 [eqn: y=a ^{`x} `]([eqn: 0<a<1`])의 교점을 [eqn: rm `P`]라 하고, 직선 [eqn: y=3`]이 두 곡선 [eqn: y=3` ^{x} `], [eqn: y=a ^{`x}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm`Q`], [eqn: rm`R`]라 하자. [eqn: rm ANGLE RPQ=90°`]일 때, [eqn: LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) ^{16} `]의 값을 구하시오. [4점]

30. [eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: {pmatrix{`5&``2`#`2&``5`}} {pmatrix{`x`#`y`}} =k {pmatrix{`x`#`y`}} `]가 해 [eqn: x= alpha `], [eqn: y= beta `] 를 갖는다고 하자. [eqn: alpha ` beta >0`]일 때의 [eqn: k`]의 값은 [eqn: p`]이고, [eqn: alpha ` beta <0`]일 때의 [eqn: k`]의 값은 [eqn: q`]이다. [eqn: 10`p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수이다.) [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.