수학 영역(나형)

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수학 영역(나형)

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2017학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: 3 ^{`-1} TIMES 9]의 값은? [2점]

12

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

2. 두 집합

[eqn: A= LEFT { `1,``2,```3,``4` RIGHT }], [eqn: B= LEFT { `1,``3,``5` RIGHT }]

에 대하여 [eqn: n LEFT ( A CUP B` RIGHT ) `]의 값은? [2점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

3. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {4 ^{`n+2} -2 ^{`n}} over {4 ^{`n} +1`} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

4. 두 사건 [eqn: A`]와 [eqn: B``]는 서로 독립이고

[eqn: rm P it left(A SMALLINTER B`right)= {1} over {4}], [eqn: rm P it LEFT ( A SMALLINTER B ^{`C} `` RIGHT ) = {1} over {3}]

일 때, [eqn: rm P it (B`)`]의 값은? (단, [eqn: B ^{`C} `]은 [eqn: B`]의 여사건이다.) [3점]

① [eqn: {3} over {14}]	② [eqn: {2} over {7}]	③ [eqn: {5} over {14}]	④ [eqn: {3} over {7}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

5. 그림은 두 함수 [eqn: f`:`X`` -> `Z`], [eqn: g`:`Y`` -> `Z`]를 나타낸 것이다.

[eqn: LEFT ( `f ^{`-1} CIRC g` RIGHT ) (3)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

6. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]에 대하여 세 수 [eqn: a _{`1}], [eqn: a _{`1} +a _{`2}], [eqn: a _{`2} +a _{`3} `]이

이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: {a` _{3}} over {a _{`2}} `]의 값은? (단, [eqn: a _{`1} != 0])

[3점]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

7. 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x` -> `-1-} {f(x)+ lim _{x` -> `1+} {f(x)`}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

8. 실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건

[eqn: p`:`x ^{`2} -a ^{`2} LEQ 0]

[eqn: q`:` LEFT | `x-2` RIGHT | LEQ 5`]

에 대하여 명제 [eqn: p`` -> ``q`]가 참이 되도록 하는 양수 [eqn: a`]의 최댓값은?

[3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

9. 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) `dt} `=`x ^{`3} +ax ^{`2} -3x+1]

을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

10. 어느 고등학교에서 [eqn: 3`]학년 학생 [eqn: 90`]명의 대학 탐방 활동을 계획했다. 아래 표는 해당 대학 A, B에 대한 학생들의 희망을 조사한 결과이다.

(단위: 명)

반	성별	대학		합계
		[eqn: rmA]	[eqn: rmB]
[eqn: 1]반	남	[eqn: 9]	[eqn: 6]	[eqn: 15]	[eqn: 30]
	여	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 15]
[eqn: 2]반	남	[eqn: 12]	[eqn: 8]	[eqn: 20]	[eqn: 30]
	여	[eqn: 6]	[eqn: 4]	[eqn: 10]
[eqn: 3]반	남	[eqn: 5]	[eqn: 5]	[eqn: 10]	[eqn: 30]
	여	[eqn: 11]	[eqn: 9]	[eqn: 20]
합계		[eqn: 50]	[eqn: 40]	[eqn: 90]

이 [eqn: 90`]명의 학생 중에서 임의로 선택한 한 학생이 A 대학의 탐방을 희망한 학생일 때, 이 학생이 [eqn: 3`]반 여학생일 확률은? [3점]

① [eqn: {3} over {25}]	② [eqn: {7} over {50}]	③ [eqn: {9} over {50}]	④ [eqn: {11} over {50}]	⑤ [eqn: {6} over {25}]

11. A, B를 포함한 [eqn: 8`]명의 요리 동아리 회원 중에서 요리 박람회에 참가할 [eqn: 5`]명의 회원을 임의로 뽑을 때, A 또는 B가 뽑힐 확률은? [3점]

① [eqn: {17} over {28}]	② [eqn: {19} over {28}]	③ [eqn: {3} over {4}]	④ [eqn: {23} over {28}]	⑤ [eqn: {25} over {28}]

12. 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]의 시각 [eqn: t`][eqn: LEFT ( t GEQ 0 RIGHT ) `]에서의

속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = it -t ^{`2} +10t]

이다. [eqn: t=a`]에서의 점 [eqn: rm P`]의 가속도가 [eqn: 0`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

[3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

13. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }]이 [eqn: a _{`3} =5], [eqn: a _{`6} =11]일 때,

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {sqrt {n} LEFT ( sqrt {a _{`n+1}} - sqrt {a _{`n}} RIGHT ) `]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2]

14. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=` {bx} over {ax+1} `]의 정의역과 치역이 같다.
곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 두 점근선의 교점이 직선 [eqn: y`=`2x+3] 위에 있을 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 [eqn: 0`]이 아닌 상수이다.) [4점]

① [eqn: - {2} over {3}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

15. 어느 모집단의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: -2]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	계
[eqn: rm P( it X=x)]	[eqn: {1} over {3}]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: a]	[eqn: 1]

이 모집단에서 크기가 [eqn: 16`]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: {bar{X``}} `]라 할 때, [eqn: rm V it LEFT ( {bar{X``}} RIGHT ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: {5} over {64}]	② [eqn: {7} over {64}]	③ [eqn: {9} over {64}]	④ [eqn: {11} over {64}]	⑤ [eqn: {13} over {64}]

16. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`````````````2x+2` _{{}_{{}_{}}} `````&` LEFT ( x<0 RIGHT ) _{{}_{{}_{}}}#`-x ^{2} +2x+2 _{{}_{{}_{}}}^{{}^{{}^{}}}&` LEFT ( x GEQ 0 RIGHT ) _{{}_{{}_{}}}^{{}^{{}^{}}}}}]

라 하자.

양의 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: int _{-a} ^{a} {f LEFT ( x RIGHT ) ``dx} `]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: {16} over {3}]	③ [eqn: {17} over {3}]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: {19} over {3}]

17. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가

[eqn: lim _{x` -> `0} {` LEFT | x RIGHT | LEFT { f LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) -f LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) RIGHT }} =a`], [eqn: lim _{x` -> ` INF } {`f LEFT ( {1} over {x} RIGHT )} =3`]

을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

18. 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {3} `]인 원 [eqn: O`]가 있다. 그림과 같이 원 [eqn: O] 위의 한 점 [eqn: rm A`]에 대하여 정삼각형 [eqn: rm ABC`]를 높이가 원 [eqn: O`]의 반지름의 길이와 같고 선분 [eqn: rm BC`]의 중점이 원 [eqn: O] 위의 점이 되도록 그린다. 그리고 정삼각형 [eqn: rm ABC`]와 합동인 정삼각형 [eqn: rm DEF`]를 점 [eqn: rm D`]가 원 [eqn: O] 위에 있고 네 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmE], [eqn: rmF`]가 한 직선 위에 있도록 그린다. 원 [eqn: O`]의 내부와 정삼각형 [eqn: rm ABC`]의 내부의 공통부분인  모양의 도형과 원 [eqn: O`]의 내부와 정삼각형 [eqn: rm DEF`]의 내부의 공통부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`1} `]이라 하자.

그림 [eqn: R _{`1} `]에서 두 선분 [eqn: rm AC], [eqn: rm DE`]에 동시에 접하고 원 [eqn: O`]에 내접하는 원을 그린 후, 새로 그려진 원에 그림 [eqn: R _{`1} `]을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는   모양의 도형과  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`2} `]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{`n} `]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{`n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`S _{`n}} `]의 값은? [4점]

[eqn: R _{`1}]	[eqn: R _{`2}]
	[eqn: Cdots]
[eqn: R _{`3}]	[eqn: Cdots]

① [eqn: 2pi- sqrt {3}]	② [eqn: {4 pi - sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {6 pi -3 sqrt {3}} over {4}]

④ [eqn: {16 pi -4 sqrt {3}} over {7}]	⑤ [eqn: {18 pi -9 sqrt {3}} over {10}]

19. 점 [eqn: rm P`]가 수직선 위의 원점에 놓여 있다. 한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수가 [eqn: 6`]의 약수이면 점 [eqn: rm P`]를 양의 방향으로 [eqn: 2`]만큼, [eqn: 6`]의 약수가 아니면 음의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 움직이는 시행을 반복한다. 점 [eqn: rm P`]의 좌표가 [eqn: 9] 이상 또는 [eqn: -4] 이하가 되거나 시행 횟수가 [eqn: 6`]회가 되면 위 시행을 멈춘다고 할 때,
점 [eqn: rm P`]의 최종 위치의 좌표를 확률변수 [eqn: X`]라 하자.
다음은 확률변수 [eqn: X`]의 평균 [eqn: rm E( it X`)`]를 구하는 과정이다.

위의 시행을 [eqn: 5`]회 이하로 하게 되는 경우는 [eqn: 6`]의 약수인 눈이 처음부터 연속으로 [eqn: 5`]회 나오거나 [eqn: 6`]의 약수가 아닌 눈이 처음부터 연속으로 [eqn: 4`]회 나오는 경우뿐이다.
확률변수 [eqn: X`]가 가질 수 있는 값의 최솟값은 [eqn: -4`]이고 최댓값은 [eqn: {BOX{``(`가) _{}^{} ``}}]이다.

[eqn: rm P( it X=it-4)=][eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4}]

[eqn: rm P( it X=it-3)=][eqn: {BOX{``(`나)``}}][eqn: TIMES LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{`1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{5}]

[eqn: rm P( it X=0)=][eqn: LEFT ( {} _{6} rm C _{2} -1 RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4}]

[eqn: rm P( it X=3)=][eqn: {}_{6`} rm C _{`3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: rm P( it X=6)=][eqn: {}_{6`} rm C _{`4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: rm P( it X=9)=][eqn: {BOX{``(`다)``}}][eqn: TIMES LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{5} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1}]

[eqn: rm P( it X=][eqn: {BOX{`(`가)``}}][eqn: rm )=][eqn: LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{5}]

따라서 [eqn: rm E( it X`)= {1420} over {243}]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]라 할 때, [eqn: a+b+c`]의 값은? [4점]

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

20. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f` prime LEFT ( {11} over {3} RIGHT ) <0`~]

(나) 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=2`]에서 극댓값 [eqn: 35`]를 갖는다.

(다) 방정식 [eqn: f(x)=f(4)`]는 서로 다른 두 실근을 갖는다.

[eqn: f(0)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

21. 자연수 [eqn: n`]과 두 함수 [eqn: f(x)= {1} over {x-n} +n`], [eqn: g(x)= sqrt {x+n} `]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 점 [eqn: rm P LEFT ( it a,``b RIGHT ) `]의 개수를 [eqn: A _{`n}]이라 하자.

(가) 두 수 [eqn: a], [eqn: b`]는 자연수이다.

(나) [eqn: n<a LEQ 3n], [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) <b<f LEFT ( a RIGHT )]

[eqn: n LEQ A _{`n} LEQ 3n``]을 만족시키는 모든 [eqn: A _{`n}]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: 22]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 28]	④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 34]

단답형

22. [eqn: {}_{n`} rm P _{`2} =110`]을 만족시키는 자연수 [eqn: n``]의 값을 구하시오. [3점]

23. 함수 [eqn: f(x)=4x ^{4} +7x ^{2} +1`]에 대하여 [eqn: f` prime (1)`]의 값을 구하시오.

[3점]

24. 전체집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B`]가

[eqn: A ^{`C} SMALLINTER B ^{`C} = LEFT { `1` RIGHT }], [eqn: B ^{`C} = LEFT { `1,``5,``7` RIGHT }]

을 만족시킬 때, 집합 [eqn: A-B`]의 모든 원소의 합을 구하시오.

[3점]

25. 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{`k} =log _{`2} (n ^{`2} +n)]

일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{15} a _{`2n+1} `]의 값을 구하시오. [3점]

26. 함수 [eqn: y=x ^{`3} +2`]의 그래프와 직선 [eqn: y=kx`]가 만나는 교점의 개수를 [eqn: f(k)`]라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{6} f(k)`]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: z]	[eqn: rm P(it 0≤Z≤z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

27. 확률변수 [eqn: X`]는 평균이 [eqn: m`], 표준편차가 [eqn: sigma `]인 정규분포를 따르고 [eqn: F`(x)= rm P LEFT ( it `X LEQ x RIGHT ) `]라 하자.

[eqn: m]이 자연수이고

[eqn: 0.5 LEQ F`` LEFT ( it {11} over {2} RIGHT ) LEQ 0.6915`], [eqn: it F`` LEFT ( {13} over {2} RIGHT ) =0.8413`]

일 때, [eqn: F` LEFT ( k RIGHT ) =0.9772`]를 만족시키는 상수 [eqn: k`]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오. [4점]

28. 다음 조건을 만족시키는 세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c)`]의 개수를 구하시오. [4점]

(가) [eqn: abc=180]

(나) [eqn: (a-b)(b-c)(c-a) != 0`]

29. 자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: rm P _{it `n rm} `]의 좌표를 [eqn: LEFT ( n,``an-a RIGHT ) `]라 하자. 두 점 [eqn: rm Q _{it n rm}], [eqn: rm Q _{it n+1 rm}]에 대하여 점 [eqn: rm P _{it n rm}]이 삼각형 [eqn: rm Q it rm _{` it n} rm `Q it rm _{` it n+1} ` rm Q it rm _{` it n+2}]의 무게중심이 되도록 점 [eqn: rm Q _{it n+2 rm}]를 정한다. 두 점 [eqn: rm Q _{`1}], [eqn: rm Q _{`2} `]의 좌표가 각각 [eqn: LEFT ( 0,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,``-1 RIGHT ) `]이고 점 [eqn: rm Q it rm _{10}]의 좌표가 [eqn: LEFT ( 9,``90 RIGHT ) `]이다. 점 [eqn: rmQ _{`13}]의 좌표를 [eqn: LEFT ( p,``q RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a>1]) [4점]

30. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | 3x-9 RIGHT | `]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]는

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{` {3} over {2} f LEFT ( x+k RIGHT ) ` _{{}_{{}_{}}} `````&` LEFT ( x<0 RIGHT ) _{{}_{{}_{}}}#````````````f LEFT ( x RIGHT ) _{{}_{{}_{}}}^{{}^{{}^{}}}&` LEFT ( x GEQ 0 RIGHT ) _{{}_{{}_{}}}^{{}^{{}^{}}}}}]

이다. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킬 때, 모든 [eqn: h LEFT ( k RIGHT ) `]의 값의 합을 구하시오. (단, [eqn: k>0])

[4점]

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `h LEFT ( x RIGHT ) `]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) [eqn: h` prime LEFT ( 3 RIGHT ) =15]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.