수학 가형 정답

1	⑤	2	④	3	②	4	③	5	②
6	①	7	⑤	8	④	9	③	10	②
11	①	12	④	13	⑤	14	③	15	①
16	①	17	③	18	②	19	⑤	20	④
21	①	22	7	23	5	24	13	25	4
26	150	27	12	28	32	29	128	30	71

수학 영역

가형 해설

1. [출제의도] 벡터의 성분의 합 계산하기

[eqn: 2 vec{a} + vec{b} `=2(2`,```3)+(-1`,```5)=(3`,```11)]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 3+11=14]

2. [출제의도] 삼각함수의 값 계산하기

[eqn: sin {7} over {6} pi =sin LEFT ( pi + {pi } over {6} RIGHT ) =-sin {pi } over {6} =- {1} over {2}]

3. [출제의도] 좌표공간에서 선분의 길이 계산하기

[eqn: rmbar AB = root{3^2 + 1^2 +(-3)^2} = root19]

4. [출제의도] 사건의 독립 이해하기

두 사건 [eqn: A`], [eqn: B`]가 서로 독립이므로

[eqn: rm P it (`A SMALLINTER B`)= rm P it (A) rm P it (B`)= {1} over {2} TIMES rm P it (B`)= {1} over {6}]

따라서 [eqn: rm P it (B`)= {1} over {3}]

5. [출제의도] 여러 가지 함수의 정적분 이해하기

[eqn: int _{ 0} ^{4 } {left(5x-3 right)rootx dx }`][eqn: = int _{0} ^{4} {` LEFT ( 5x _{` _{`}} ^{{3} over {2}} -3x _{`} ^{{1} over {2}} RIGHT )} dx][eqn: = LEFT [ 2x _{`} ^{{5} over {2}} -2x ^{{3} over {2}} RIGHT ] _{0} ^{4} `][eqn: =48]

6. [출제의도] 함수의 연속 이해하기

함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 연속이어야 하므로

[eqn: lim _{x -> 0} {f(x)}][eqn: = f(0) =2][eqn: lim _{x -> 0-} {} {e ^{ax} -1} over {3x} = lim _{x -> 0-} {} {e ^{ax} -1} over {ax} TIMES {a} over {3} = {a} over {3}]

[eqn: lim _{x -> 0+} LEFT ( {x ^{2}+`3x`+2} RIGHT ) = 2]

따라서 [eqn: a=6]

7. [출제의도] 쌍곡선의 정의 이해하기

[eqn: 13=7^2 - a^2 `]이므로 [eqn: a=6]

따라서 [eqn: LEFT | {bar{rm PF it}} - {bar{rm PF prime it}} RIGHT | =2a=2 TIMES 6=12]

8. [출제의도] 중복순열 이해하기

세 자리 자연수가 홀수이려면 일의 자리의 숫자는 홀수이어야 한다.

일의 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 [eqn: {} _{3} rm C _{1} `]

백의 자리와 십의 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 [eqn: {} _{5} SMALLPROD _{2}`]

따라서 세 자리 자연수가 홀수인 경우의 수는

[eqn: {} _{3} rm C _{1} ` TIMES _{5} SMALLPROD _{2} =3 TIMES 5 ^2 =75]

9. [출제의도] 매개변수로 나타내어진 함수의 미분 이해하기

[eqn: {dx} over {dt} =1+ {1} over {2roott}], [eqn: {dy} over {dt} =3t ^{2} - 1 over t^2`]이므로

[eqn: {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {3t ^{2} - {1} over {t ^{2}}} over {1+ {1} over {2 sqrt {t}}}]

따라서 [eqn: t=1`]일 때, [eqn: {dy} over {dx} `= 4 over3]

10. [출제의도] 독립시행의 확률 이해하기

앞면이 나오는 횟수를 [eqn: a`],

뒷면이 나오는 횟수를 [eqn: b`]라 하면

[eqn: {cases{a+b`=`7~cdotscdots㉠#a-b`=`3~cdotscdots ㉡}}]

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: a=5,~b=2]

따라서 [eqn: {} _{7} rm C _{5} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = _{7} rm C _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{7} `=` {21} over {128}]

11. [출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기

[eqn: LEFT ( sin x + cos x RIGHT ) ^2 = root3 rmsin itx +1`]에서

[eqn: 1+ 2 sin x cosx = root3 rmsin itx +1][eqn: sin x left (2cos x - root3 ) =0`]

[eqn: 0 LEQx LEQpi `]이므로

[eqn: sin x = 0`]일 때, [eqn: x=0`] 또는 [eqn: x=pi`]

[eqn: cos x = root3 over2 `]일 때, [eqn: x= pi over6]

따라서 모든 실근의 합은 [eqn: 0+pi + pi over6 = 7 over6 pi]

12. [출제의도] 정규분포를 활용하여 문제해결하기

이 양계장에서 생산하는 계란 [eqn: 1`]개의 무게를

확률변수 [eqn: X`]라 하면 확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rm N` LEFT ( `52`,``8 ^{2} ` RIGHT ) `]을 따른다.

[eqn: Z= {X-52} over {8} `]라 하면 확률변수 [eqn: Z`]는 표준정규분포 [eqn: rm N`(`0`,``1)`]을 따르므로

[eqn: rm P it (60 LEQ X LEQ 68)]

[eqn: = {rmP }left( 60-52 over 8 le Z le {68 -52} over 8 right)]

[eqn: = rm P it (`1 LEQ Z LEQ 2)]

[eqn: = rm P it (`0 LEQ Z LEQ 2)- rm P it (`0 LEQ Z LEQ 1)]

[eqn: =0.4772-0.3413=0.1359]

13. [출제의도] 조건부확률을 이용하여 문제해결하기

이 고등학교의 전체 학생 중

임의로 선택한 한 학생이 여학생일 사건을 [eqn: A`], 생활복 도입에 찬성한 학생일 사건을 [eqn: B`]라 하면

[eqn: {rmP}left(A^C SMALLINTERB right)][eqn: = rm P it LEFT ( B RIGHT ) rm P it LEFT ( A ^{C} `|B RIGHT )]
[eqn: =0.8 TIMES 0.7=0.56]

[eqn: rm P it left(A SMALLINTER B right)][eqn: = rm P it left(B right)- rm P it left(A ^{C } SMALLINTER B right)][eqn: = 0.8-0.56=0.24]

따라서 [eqn: {rm P}left(B`` |``A right) = {{rmP}left(A SMALLINTERB right)}over{{rmP}left(A right) }= 0.24 over0.4 = 3 over5]

14. [출제의도] 정사영 이해하기

선분 [eqn: rmCD]의 중점을 [eqn: rmR]라 하자.

두 평면 [eqn: rmOAB], [eqn: rmOCD]가 이루는 예각 [eqn: theta]는

[eqn: theta = rm ANGLE QOR]이다.

[eqn: {bar{rm OQ it}} = {bar{rm OR it}} = {bar{rm QR it}} =4]이므로

삼각형 [eqn: rmQOR]는 정삼각형이다.

그러므로 [eqn: cos theta = {1} over {2}]

점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rm OA]의 중점이므로

삼각형 [eqn: rmOPQ]의 넓이를 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S``=][eqn: {1} over {2} times](삼각형 [eqn: rm OAQ]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} times4=2]

삼각형 [eqn: rmOPQ]의 평면 [eqn: rm OCD] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S`` prime `]라 하면

[eqn: S`` prime `=S``cos` theta `=`2 TIMES {1} over {2} =1]

15. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

직선 [eqn: x=t`(1 LEQ t LEQ 2)`]를 포함하고 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 [eqn: S(t)`]라 하면

[eqn: S(t)=root3 over4 LEFT ( 3t+ {2} over {t} RIGHT ) ^{2} =root3 over4 LEFT ( 9t ^{2} +12+ {4} over {t ^{2}} RIGHT )]  따라서 구하는 부피 [eqn: V`]는

[eqn: V`][eqn: =int _{1} ^{2} {eqalign{S(t)dt }} `][eqn: =` int _{1} ^{2} {root3 over4LEFT ( 9t ^{2} +12+ {4} over {t ^{2}} RIGHT ) dt}][eqn: = root3 over4 LEFT [ 3t ^{3} +12t- {4} over {t} RIGHT ] _{1} ^{2} ={35 root3 }over4]

16. [출제의도] 역함수의 미분법 이해하기

[eqn: g(x)`]가 함수 [eqn: f(x)`]의 역함수이므로

[eqn: g(1)=t`]라 하면 [eqn: f(t)=1]

[eqn: tan ^3 t =1`]에서 [eqn: tan t =1]

[eqn: - pi over2 < t < pi over2`]에서 [eqn: t= pi over4]

그러므로 [eqn: g(1) = pi over4]

[eqn: f` prime (x)=3tan ^{2} x`sec ^{2} x]

따라서 점 [eqn: left(1,~ g(1)right)`]에서의 접선의 기울기는

[eqn: g` prime LEFT ( 1 RIGHT ) = {1} over {f` prime LEFT ( g(1) RIGHT )} = {1} over {LEFT . f` prime LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) RIGHT .} =` {1} over {6}]

17. [출제의도] 미분법을 활용하여 함수의 성질 이해하기

함수 [eqn: f(x)`]가 열린 구간 [eqn: (`0`,```inf`)`]에서 증가해야 하므로 [eqn: f` prime (x)=x-3+ {k} over {x ^{2}} GEQ 0]

[eqn: x ^{2} >0`]이므로 양변에 [eqn: x^2 `]을 곱하면

[eqn: k GEQ -x ^{3} +3x ^{2}]

함수 [eqn: g(x)=-x ^{3} +3x ^{2}`]이라 하면

열린 구간 [eqn: (`0`,```inf`)`]에서 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=2`]에서 극대이면서 최대이므로 최댓값은 [eqn: 4`]이다.

따라서 [eqn: k GEQ 4`]이므로 만족시키는 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: 4]

세 수 [eqn: x_1`], [eqn: x_2`], [eqn: x_3`]을 순서쌍 [eqn: (`x _{1} `,``x _{2} `,``x _{3} `)`]과 같이 나타내자.

[eqn: x_1`], [eqn: x_2`], [eqn: x_3`] 중에서 최댓값을 [eqn: p`], 최솟값을 [eqn: q`], 나머지 수를 [eqn: r`], [eqn: p-q =k] [eqn: (k`=`0, `1, cdots, `5`)]라 하면 순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` )`]의 개수는 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r`]를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같다.

⑴ [eqn: k=0`]일 때

세 수가 모두 같으므로
순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` )`]의 개수는 [eqn: {BOX{``6``}}]이고,
[eqn: rm P it ( it X=0)= {1} over {6 ^{3}} TIMES {BOX{``6``}}]

⑵ [eqn: k ne 0`]일 때 [eqn: (`1 LEQ k` LEQ `5`)]

순서쌍 [eqn: (`p,``q`)`]의 개수는 각각의 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: 6-k`]이고

ⅰ) [eqn: k=1`]일 때
순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` ) `]의 개수는
[eqn: 5` TIMES ` LEFT ( {3!} over {2!} + {3!} over {2!} RIGHT ) `]

ⅱ) [eqn: 2 LEQ k` LEQ 5]일 때

① [eqn: r=p`] 또는 [eqn: r=q`]인 경우
[eqn: p`], [eqn: p`], [eqn: q`]와 [eqn: p`], [eqn: q`], [eqn: q`]를 일렬로 나열하는 방법의 수는 [eqn: 3! over 2! + 3!over2!]
② [eqn: r!= p`]이고 [eqn: r!=q`]인 경우
[eqn: r`]의 개수는 각각의 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: k-1 `]이고
[eqn: p`], [eqn: r`], [eqn: q`]를 일렬로 나열하는 방법의 수는
[eqn: {}_3 rm P_3 = 3!]이므로 [eqn: (k-1)`times`3!]

①, ②에 의하여
순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` )`]의 개수는
[eqn: (6-k)` TIMES ` LEFT { {3!} over {2!} `+` {3!} over {2!} + LEFT ( `k-1` RIGHT ) ` TIMES `3! RIGHT }]

그러므로 [eqn: 1 LEQ k LEQ 5`]일 때,

순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` )`]의 개수는

[eqn: (6-k)` TIMES ` LEFT { {3!} over {2!} `+` {3!} over {2!} + LEFT ( ` {BOX{``k-1``}} ` RIGHT ) ` TIMES `3! RIGHT }]

(예를 들어)

[eqn: k=3 `]인 경우

[eqn: (`p,`r,`q`)`]는 [eqn: (`4,`r,`1)`], [eqn: (`5,`r,`2)`], [eqn: (`6,`r,`3)`]
이므로 개수는 [eqn: 3`]

[eqn: (`p,`r,`q)]가 [eqn: (`4`,`r,`1)`]일 때

① [eqn: r=4] 또는 [eqn: r=1`]인 경우
[eqn: 4`], [eqn: 4`], [eqn: 1`]과 [eqn: 4`], [eqn: 1`], [eqn: 1`]을 일렬로 나열하는
방법의 수는 [eqn: {3!} over {2!} + 3! over2!]

② [eqn: r!=4]이고 [eqn: r!=1`]인 경우

[eqn: r]는 [eqn: 3] 또는 [eqn: 2`]이므로 [eqn: r]의 개수는 [eqn: 2`]
[eqn: p`], [eqn: r`], [eqn: q`]를 일렬로 나열하는 방법의 수는

[eqn: {}_3 rm P_3 = 3!]이므로 [eqn: 2`times`3!]
①, ②에 의하여
[eqn: 4], [eqn: r], [eqn: 1]을 일렬로 나열하는 방법의 수는

[eqn: ` {3!} over {2!} + {3!} over {2!} +2 TIMES 3!]

[eqn: (`5,`r,`2)`], [eqn: (`6,`r,`3)`]일 때에도 같은 방법으로
구하면 각각 [eqn: {3!} over {2!} + {3!} over {2!} +2 TIMES 3!]
그러므로 [eqn: k=3`]인 경우

순서쌍 [eqn: (x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3} )`]의 개수는
[eqn: 3` TIMES ` LEFT ( {3!} over {2!} + {3!} over {2!} +2times3! RIGHT )]

그러므로

[eqn: rm P( it X=k)]

[eqn: = {1} over {6 ^{3}} TIMES (6-k) TIMES LEFT { {3!} over {2!} + {3!} over {2!} + left(`{BOX{``k-1``}`right)} TIMES 3! RIGHT }]

⑴, ⑵에 의하여 확률변수 [eqn: X`]의 평균 [eqn: rm E (it X`)`]는 다음과 같다.

[eqn: rm E( it X`)`=` sum _{k=0} ^{5} LEFT { k` TIMES ` rm P it (X=k) RIGHT }]

[eqn: =` {1} over {6 ^{2}} sum _{k=1} ^{5} LEFT ( ` BOX{``6k^2 - k^3``} ` RIGHT ) `][eqn: =` 35 over 12]

18. [출제의도] 확률변수의 평균을 구하는 과정 추론하기

[eqn: a = 6`], [eqn: f(k) = k-1`], [eqn: g(k) = 6k^2 - k^3]

따라서 [eqn: {f(5) timesg(3)} overa = {4 times 27} over6 =18]

19. [출제의도] 평면운동의 성질 추론하기

점 [eqn: rm P]의 속도 [eqn: vecv `]는 [eqn: vecv =(1-2sint`,``` sqrt {3} `rmcos it`t)]

ㄱ. [eqn: t= pi over2`]일 때, 점 [eqn: rm P]의 속도는 [eqn: (-1`,```0)`]이다.(참)

ㄴ. 속도의 크기 [eqn: LEFT | vecv RIGHT |`]는

[eqn: LEFT | vecv RIGHT |][eqn: = sqrt {sin ^{2} t-4sint+4}][eqn: = sqrt {LEFT ( sint-2 RIGHT ) ^{2} }][eqn: = LEFT | sint-2 RIGHT | =2-sin`t`]

[eqn: t= pi over2`]일 때, [eqn: LEFT | vecv RIGHT |`]의 최솟값은 [eqn: 1`]이다.(참)

ㄷ. 점 [eqn: rm P]가 [eqn: t=pi`]에서 [eqn: t=2pi `]까지 움직인 거리는

[eqn: int _{pi } ^{2 pi } {LEFT | vecv RIGHT | dt}`][eqn: = int _{pi} ^{2 pi } {LEFT ( 2-sint RIGHT ) dt}]

[eqn: = LEFT [ 2t+cost RIGHT ] _{pi } ^{2pi }][eqn: =2 pi +2](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. [출제의도] 정적분으로 나타내어진 함수 추론하기

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT )= x over{f LEFT ( x RIGHT ) }`], [eqn: g prime LEFT ( -x RIGHT ) =-g' LEFT ( x RIGHT )`]이므로

[eqn: f left(-x right) = f left (x right)`]이다.

[eqn: f(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수이므로

[eqn: f(x) =x^2 +k`] (단, [eqn: k]는 상수이다.)

점 [eqn: LEFT ( 1,~g(1) RIGHT )`]은 곡선 [eqn: y=g(x)`]의 변곡점이므로

[eqn: g '' LEFT ( x RIGHT )` = {f(x)-xf prime LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}}]

[eqn: g '' LEFT ( 1 RIGHT ) `= {f(1)-f prime LEFT ( 1 RIGHT )} over {LEFT { f(1) RIGHT } ^{2}} = {1+k-2} over {(1+k) ^{2}} =0]

[eqn: `k=1`]이므로 [eqn: f(x)=x^2 +1]

따라서 [eqn: g(1)`][eqn: =int _{ 0} ^{1 } { t over{t^2 +1}}dt]	[eqn: = 1 over2 LEFT [ ln LEFT ( t^2 + 1 RIGHT ) RIGHT ]_0 ^1][eqn: = 1 over2 rmln2]

21. [출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

선분 [eqn: rm AC]가 원의 지름이므로 [eqn: ANGLE rm APC it = {pi } over {2} `]이다.

[eqn: {bar{rm AP it}} =a`,~ {bar{rm AQ it}} =b`]라 하자.

두 삼각형 [eqn: rm APC`]와 [eqn: rm CPB`]는 직각삼각형이므로

[eqn: a`tan theta = {bar{rm CP it}} =(2-a)tan2 theta]

[eqn: a= {2tan2 theta } over {tan theta +tan2 theta }]

삼각형 [eqn: rm ABC`]와 삼각형 [eqn: rm APQ`]는 닮음이므로

[eqn: rm {bar{AP}} : {bar{AB}} = {bar{AQ}} : {bar{AC}}]

[eqn: a:2 = b:a sectheta]

[eqn: b= 1 over2 a^2 sectheta]

삼각형 [eqn: rm APQ`]의 넓이를 [eqn: S( theta )`]라 할 때,

[eqn: S(theta)][eqn: = {1} over {2} TIMES a TIMES {1} over {2} a ^{2} sec theta TIMES `sin theta][eqn: = {1} over {4} TIMES a ^{3} TIMES tan theta]
[eqn: = {1} over {4} TIMES LEFT ( {2tan2 theta } over {tan theta +tan2 theta } RIGHT ) ^{3} TIMES tan theta `]

따라서

[eqn: lim _{theta -> 0+} {{S( theta )} over {theta }}][eqn: = lim _{theta -> 0+} {LEFT { {1} over {4} TIMES LEFT ( {{2tan2 theta } over {2 theta } TIMES 2} over {{tan theta } over {theta } + {tan2 theta } over {2 theta } TIMES 2} RIGHT ) ^{3} TIMES {tan theta } over {theta } RIGHT } = {16} over {27}}]

22. [출제의도] 지수방정식 계산하기

[eqn: LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{5-x} =5 ^{x-5} =5 ^{2}]

따라서 [eqn: x=7]

23. [출제의도] 중복조합 계산하기

[eqn: {} _{it 3} rm H _{it n rm} = _{it n+2 rm} rm C _{it n rm} = _{it n+2 rm} rm C _{it 2 rm} = {it (n+2)(n+1) rm} over {2}`]이므로

[eqn: n ^{2} +3n-40=0]

[eqn: (n-5)(n+8)=0]

[eqn: n`]이 자연수이므로 [eqn: n=5]

24. [출제의도] 로그함수의 그래프 이해하기

점근선이 [eqn: x=5`]이므로 [eqn: a=5]

[eqn: f(11)=log _{6} (11-5)+b=9]이므로 [eqn: b=8]

따라서 [eqn: a+b=13]

25. [출제의도] 합성함수의 미분법 이해하기

두 함수 [eqn: f(x) = kx^2 -2x`], [eqn: g(x) = e^3x +1`]에서

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = 2kx -2], [eqn: g'LEFT ( x RIGHT )= 3 e^3x]

[eqn: f' LEFT ( 2 RIGHT ) = 4k -2], [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) = 2], [eqn: g'LEFT ( 0 RIGHT ) = 3]

함수 [eqn: h(x)= left (f CIRC g right)(x) `]에서

[eqn: h` prime (x)][eqn: =f` prime left(g(x)right)g prime (x)]

[eqn: h` prime (0)][eqn: =f` prime left(g(0)right)g prime (0)][eqn: =f' LEFT ( 2 RIGHT ) times 3][eqn: = LEFT ( 4k-2RIGHT )times 3 = 42`]

따라서 [eqn: k=4]

26. [출제의도] 집합의 분할을 활용하여 문제해결하기

서로 다른 종류의 인형 [eqn: 5`]개를 [eqn: 3`]개의 가방 [eqn: rmA`], [eqn: rmB], [eqn: rm C]에 적어도 [eqn: 1`]개 이상 넣는 방법은 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: 3`]개, [eqn: 1`]개, [eqn: 1`]개로 나누어 넣는 경우
[eqn: rm LEFT ( {} _{5} C _{3} TIMES _{2} C _{1} TIMES _{1} C _{1} TIMES {1} over {2!} RIGHT ) TIMES 3!`=60]

(ⅱ) [eqn: 2`]개, [eqn: 2`]개, [eqn: 1`]개로 나누어 넣는 경우
[eqn: rm LEFT ( rm _{5} C _{2} TIMES _{3} C _{2} TIMES _{1} C _{1} times {1} over {2!} RIGHT ) TIMES 3!`=90]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 [eqn: 60+90 = 150]

27. [출제의도] 여러 가지 함수의 정적분을 활용하여 문제해결하기

[eqn: int _{0} ^{1} {t`f(t)dt} =a`]라 하면 [eqn: f(x)=e ^{x} `+a]

[eqn: a= int _{0} ^{1} {t` LEFT ( e ^{t} +a RIGHT ) dt}`]에서

[eqn: u` primeleft (t right)=e ^{t} +a`,~v left(t right )=t`]라 하면

[eqn: u left (t right)`=e ^{t} +a`t `,~v` prime left (t right)=1`]이므로

[eqn: a`][eqn: = int _{0} ^{1} {t` LEFT ( e ^{t} +a RIGHT ) dt}][eqn: = LEFT [ t LEFT ( e ^{t} +a``t RIGHT ) RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {LEFT ( e ^{t} +a`t RIGHT ) dt}][eqn: =e+a- LEFT [ e ^{t} + {1} over {2} at ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1}][eqn: = {1} over {2} a+1]

[eqn: a=2`]이므로 [eqn: f(x)=e ^{x} `+2]

따라서 [eqn: f left (ln10 right)=12]

28. [출제의도] 포물선의 정의를 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmA`]의 좌표를 [eqn: LEFT ( x_1 ,~ y_1 RIGHT )`], 점 [eqn: rmA`]에서 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자.

[eqn: bar{ rm AB} = 2bar{ rm AF}`], [eqn: bar{ rm AF} = bar{ rm AH}`]이므로 [eqn: bar{rm AH}`: bar{rm AB}=1 : 2]

점 [eqn: rmA`]에서의 접선의 기울기는 [eqn: bar{rmBH} over bar{rmAH } = root3 over1 = root3]

[eqn: y^2 = 12x`]에서 [eqn: 2y dy over dx = 12]

[eqn: dy overdx = 6 overy`]이므로 [eqn: {6} over {y_1} = sqrt {3}]

그러므로 [eqn: rm A left(1,~2root3 right)`]이다.

[eqn: bar {rm AF}][eqn: =x _{1`}+ 3=4 `], [eqn: bar {rm AB}= 2bar{ rm AF}=8]

따라서 [eqn: bar{ rm AB} times bar{ rm AF}][eqn: = 32]

29. [출제의도] 평면벡터의 내적을 활용하여 문제해결하기

그림과 같이 좌표평면 위의 점 [eqn: rmA`]를 [eqn: rm A` LEFT ( 0,~0RIGHT )],

점 [eqn: rm B`]를 [eqn: rm B` LEFT ( 24,~0RIGHT )], 원 [eqn: C`]의 중심을 [eqn: rm R LEFT ( 12,~5 RIGHT ) `]라 하자.

[eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm AQ it} `][eqn: = vec{rm AP it} BULLET LEFT ( vec{rm AR it} + vec{rm RQ it} RIGHT )]	[eqn: = vec{rm AP it} BULLET vec{rm AR it} + vec{rm AP it} BULLET vec{rm RQ it}]

[eqn: LEFT | rm vec{AP} RIGHT | =5`], [eqn: LEFT | rm vec { AR} RIGHT |=13`], [eqn: LEFT | rm vec{RQ} RIGHT | =13`]이다.

[eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm AR it} `]가 최대인 경우를 구하면

(ⅰ) [eqn: cos theta =1`]일 때,
점 [eqn: rm P`]가 선분 [eqn: rm AB`]위에 있으므로
[eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm AR it} `][eqn: =LEFT | rm vec{AP} RIGHT |times LEFT | rm vec{AR} RIGHT |times cos rm{ LEFT ( anglePAR RIGHT ) }]
[eqn: =5 TIMES 13 TIMES {12} over {13} =60]

(ⅱ) [eqn: 0<cos theta <1`]일 때,
[eqn: rm angle P_1 AB = angle P_2 AB= theta`]인 제[eqn: 1`]사분면 위의 점을 [eqn: rmP_1`], 제[eqn: 4`]사분면 위의 점을 [eqn: rm P_2`]라 하자.
[eqn: rm angle P_1 AR < angle P_2 AR]이므로
[eqn: vec{rm AP_1 it} BULLET vec{rm AR it} `][eqn: >vec{rm AP_2 it} BULLET vec{rm AR it} `]
그러므로 제[eqn: 1`]사분면 위의 점 [eqn: rm P`]만 고려하면 된다.
[eqn: angle rm{RAP} = alpha`], [eqn: angle rm{RAB}=beta`]라 하면 [eqn: cosbeta = 12 over 13`]이고, [eqn: 5cos theta`]가 자연수이므로 [eqn: cosbeta >cos theta `]

따라서 [eqn: beta < theta `]이고 [eqn: cos theta `]의 값이 [eqn: 4 over 5`]일 때, [eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm AR it} `]가 최댓값을 갖는다.
[eqn: alpha = theta - beta`]이므로
[eqn: cos alpha][eqn: = cos LEFT ( theta - beta RIGHT )][eqn: =cos theta cos beta + sin theta sin beta][eqn: = 4over 5 times 12 over13 + 3 over 5 times 5 over13][eqn: = 63 over65]

[eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm AR it} `][eqn: = LEFT | rm vec{AP} RIGHT | TIMES LEFT | rm vec{AR} RIGHT | TIMES cos rm alpha]
[eqn: =5 TIMES 13 TIMES {63} over {65} =63]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm AR it} `]가 최대가 되는

[eqn: {vec{rm AP it}} `]에 대하여 [eqn: vec{rm AP it}`]와 [eqn: vec{rm RQ it}`]가 같은 방향일 때, [eqn: {vec{rm AP it}} BULLET {vec{rm RQ it}} `]의 값이 최대이므로 [eqn: {vec{rm AP it}} BULLET {vec{rm RQ it}} `]의 최댓값은 [eqn: 65`]이다. 그러므로

[eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm AQ it} `][eqn: = vec{rm AP it} BULLET vec{rm AR it} + vec{rm AP it} BULLET vec{rm RQ it}][eqn: le 63+65 = 128`]

따라서 [eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm AQ it} `]의 최댓값은 [eqn: 128]

30. [출제의도] 미분을 활용하여 함수 추론하기

[eqn: f(x)=a(x-m) ^{2} +n`]이라 하자.

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )=2a LEFT ( x-m RIGHT )`]이고 [eqn: f`'' LEFT ( x RIGHT )=2a`]이다.

두 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y= LEFT | f` prime (x) RIGHT |`]는 각각

직선 [eqn: x=m`]에 대하여 대칭이므로

함수 [eqn: g(x)= LEFT | f` prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | e ^{f(x)}]의 그래프도

직선 [eqn: x=m`]에 대하여 대칭이다.

(ⅰ) [eqn: x>m`]인 경우
[eqn: a>0`]이면 함수 [eqn: y=f` prime left (x right )e ^{f(x)}`]는
실수 전체에서 증가하므로 함수 [eqn: g(x)`]의 최댓값이 존재하지 않는다.
그러므로 조건 (나)에 의하여 [eqn: a<0`]이다.
[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: =- LEFT ( f` prime LEFT ( x RIGHT ) e ^{f(x)} RIGHT ) prime `]	[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: =- LEFT [ f` '' LEFT ( x RIGHT ) + LEFT { f` prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} RIGHT ] `e ^{f(x)}]
[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: = LEFT { -4a ^{2} (x-m) ^{2} -2a RIGHT } `e ^{f(x)}]
방정식 [eqn: g `prime LEFT ( x RIGHT )=0`]을 만족하는 [eqn: x`]는 한 개이고
그 값을 [eqn: p`][eqn: LEFT ( p>m RIGHT )`]이라 하자.
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 [eqn: x=p`]에서 극댓값을 갖고,
그 값이 최댓값이다.

(ⅱ) [eqn: x<m`]인 경우
함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프는
직선 [eqn: x=m`]에 대하여 대칭이므로
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 [eqn: x=2m-p`]에서 극댓값을 갖고,
그 값이 최댓값이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g(m)`=0`]이고, 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=2`]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: m=2`]이다.

함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=p`]에서 최댓값이 [eqn: 4 sqrt {e}`]이므로

[eqn: g(p)= LEFT | f` prime LEFT ( p RIGHT ) RIGHT | e ^{f(p)} =4 sqrt {e} `]이다.

상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수이므로

[eqn: f` prime LEFT ( p RIGHT )` =2a(p-2)=-4]	…… ㉠

[eqn: f(p)=a LEFT ( p-2 RIGHT ) ^{2} +n= {1} over {2}]	…… ㉡

또한 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=p`]에서 극댓값을 가지므로

[eqn: g` prime LEFT ( p RIGHT ) =0]에서 [eqn: 2a(p-2) ^{2} +1=0]	…… ㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의하여 [eqn: n=1`], [eqn: p= 9 over4`]이므로

[eqn: a=-8]

[eqn: f(x)=a(x-m) ^{2} +n=`-8(x-2) ^{2} +1]

따라서 [eqn: LEFT | f(-1) RIGHT | =71]