• 2교시 수학 영역 •

[가형]

1	⑤	2	④	3	①	4	⑤	5	③
6	④	7	⑤	8	④	9	②	10	②
11	③	12	①	13	②	14	④	15	①
16	③	17	③	18	②	19	②	20	③
21	①	22	4	23	10	24	11	25	22
26	5	27	64	28	192	29	61	30	7

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산하기

[eqn: 2 ^{3} TIMES 4 ^{{1} over {2}} =2 ^{3} TIMES LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{{1} over {2}} =8 TIMES 2=16]

2. [출제의도] 삼각함수의 뜻과 그래프 이해하기

[eqn: tan` {7} over {6} pi =tan` LEFT ( pi + {pi } over {6} RIGHT ) =tan` {pi } over {6} = {sqrt {3}} over {3}]

3. [출제의도] 미분계수 이해하기

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 4+h RIGHT ) -f LEFT ( 4 RIGHT )} over {3h}}][eqn: = {1} over {3} TIMES lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 4+h RIGHT ) -f LEFT ( 4 RIGHT )} over {h}}]
[eqn: = {1} over {3} f` prime LEFT ( 4 RIGHT ) =7]

따라서 [eqn: f` prime LEFT ( 4 RIGHT ) =3 TIMES 7=21]

4. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) + lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: =1+1][eqn: =2]

5. [출제의도] 삼각함수의 성질 이해하기

[eqn: LEFT ( sin` theta +cos` theta RIGHT ) ^{2}][eqn: =sin ^{2} ` theta +2sin` theta cos` theta +cos ^{2} ` theta]
[eqn: =1+2sin` theta cos` theta = {3} over {2}]

따라서 [eqn: `sin` theta cos` theta = {1} over {4}]

6. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log _{`9} `a ^{3} b][eqn: =log _{`9} `9+log _{`9} ` LEFT ( ab RIGHT ) ^{2}]

[eqn: log _{`9} `a ^{3} b][eqn: =log _{`9} `9a ^{2} b ^{2}]

[eqn: a ^{3} b=9a ^{2} b ^{2}]에서 [eqn: {a} over {b} =9]

7. [출제의도] 수열의 귀납적 정의 이해하기

[eqn: a _{1} =1],

[eqn: a _{2} =a _{1} +3=1+3=4],

[eqn: a _{3} =2a _{2} -1=2 TIMES 4-1=7],

[eqn: a _{4} =a _{3} +3=7+3=10],

[eqn: a _{5} =2a _{4} -1=2 TIMES 10-1=19]

8. [출제의도] 일반각과 호도법 이해하기

각 [eqn: theta]를 나타내는 동경과 각 [eqn: 6 theta]를 나타내는
동경이 일치하므로

[eqn: 6 theta - theta =2n pi] ([eqn: n]은 정수), [eqn: theta = {2n} over {5} pi]

[eqn: {pi } over {2} < theta < pi]이므로 [eqn: n=2]일 때, [eqn: theta = {4} over {5} pi]

9. [출제의도] 상용로그 이해하기

[eqn: log _{`} `10 ^{n} =n], [eqn: log`10 ^{n+1} =n+1]

[eqn: log`24 ^{10}][eqn: =10log`24]
[eqn: =10 LEFT ( 3log`2+log`3 RIGHT )]
[eqn: =13.801]

[eqn: n<13.801<n+1]이므로 [eqn: n=13]

10. [출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기

부채꼴 [eqn: rm OAB]의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: pi =r TIMES {pi } over {3}]에서 [eqn: r=3]

따라서 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 3 ^{2} TIMES sin` {pi } over {3} = {9 sqrt {3}} over {4}]

11. [출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3 ^{x}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =3 ^{2-x} +a]의 그래프가
만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 2]이므로
[eqn: 3 ^{2} =3 ^{2-2} +a], [eqn: a=8]
따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =8 TIMES 3 ^{x} +9]는
닫힌구간 [eqn: LEFT [ 1,``3 RIGHT ]]에서 [eqn: x=1]일 때, 최솟값 [eqn: 33]을 갖는다.

12. [출제의도] 함수의 연속 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`` {x ^{3} +ax+b} over {x-1} _{{}_{`}}&``````` LEFT ( x != 1 RIGHT ) _{{}_{`}}#``4 ^{{}^{`}}&``````` LEFT ( x=1 RIGHT ) ^{{}^{`}}}}]이고
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로
[eqn: x=1]에서 연속이다.
[eqn: lim _{x` -> `1} {{x ^{3} +ax+b} over {x-1} =4}]에서 [eqn: lim _{x` -> `1} {LEFT ( x-1 RIGHT ) =0}]이므로
[eqn: lim _{x` -> `1} {LEFT ( x ^{3} +ax+b RIGHT )} =1+a+b=0], [eqn: b= it -a-1]

[eqn: lim _{x` -> `1} {` {x ^{3} +ax-a-1} over {x-1}}][eqn: = lim _{x` -> `1} {{LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+a+1 RIGHT )} over {x-1}}]
[eqn: = lim _{x` -> `1} {LEFT ( x ^{2} +x+a+1 RIGHT )}]
[eqn: =3+a][eqn: =4]

따라서 [eqn: a=1], [eqn: b=it-2]이므로 [eqn: a TIMES b= it -2]

13. [출제의도] 로그함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

[eqn: log _{`2} ` LEFT ( x+4 RIGHT ) =0]에서 [eqn: x= it -3]이므로 [eqn: rm A LEFT ( `-3,``0 RIGHT )]

[eqn: log _{`2} `x+1`=0]에서 [eqn: x= {1} over {2}]이므로 [eqn: rm B LEFT ( ` {1} over {2} ,``0 RIGHT )]
[eqn: log _{`2} ` LEFT ( x+4 RIGHT ) =log _{`2} `x+1]에서 [eqn: x=4]이므로 [eqn: rm C LEFT ( `4,``3 RIGHT )]
따라서 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES {7} over {2} TIMES 3= {21} over {4}]

14. [출제의도] 수열의 합 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{24} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k} a _{k}]

[eqn: = it -a _{1} +a _{2} -a _{3} +a _{4} - it CDOTS it -a _{23} +a _{24}]
[eqn: = LEFT ( a _{1} +a _{2} +a _{3} + it CDOTS it +a _{24} RIGHT ) -2 LEFT ( a _{1} +a _{3} +a _{5} + it CDOTS it +a _{23} RIGHT )]
[eqn: = sum _{k=1} ^{24} a _{k} -2 sum _{k=1} ^{12} a _{2k-1}]
[eqn: = LEFT ( 6 TIMES 12 ^{2} +12 RIGHT ) -2 TIMES LEFT ( 3 TIMES 12 ^{2} -12 RIGHT )]

[eqn: =36]

15. [출제의도] 수열의 합을 활용하여 문제해결하기

[eqn: a ^{x} -1=n]에서 [eqn: x=log _{`a} ` LEFT ( n+1 RIGHT )],
[eqn: a ^{x} -1=n+1]에서 [eqn: x=log _{`a} ` LEFT ( n+2 RIGHT )]이므로
선분 [eqn: rm A _{it n} rm A _{it n+1}]을 대각선으로 하는 직사각형의
넓이 [eqn: S_n]은

[eqn: S _{n}][eqn: =log _{`a} ` LEFT ( n+2 RIGHT ) -log _{`a} ` LEFT ( n+1 RIGHT )]
[eqn: =log _{`a} ` {n+2} over {n+1}]

[eqn: sum _{n=1} ^{14} S _{n}][eqn: = sum _{n=1} ^{14} log _{`a} ` {n+2} over {n+1}]
[eqn: =log _{`a} ` {3} over {2} +log _{`a} ` {4} over {3} +log _{`a} ` {5} over {4} +` CDOTS `+log _{`a} ` {16} over {15}]
[eqn: =log _{`a} ` LEFT ( {3} over {2} TIMES {4} over {3} TIMES {5} over {4} TIMES ` CDOTS ` TIMES {16} over {15} RIGHT )]
[eqn: =log _{`a} `8]

[eqn: sum _{n=1} ^{14} S _{n} =6]에서 [eqn: log _{`a} `8=6], [eqn: a ^{6} =8]

따라서 [eqn: a>1]이므로 [eqn: a= sqrt {2}]

16. [출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 추론하기

함수 [eqn: y=sin` {pi } over {2} x]의 치역은 [eqn: LEFT { `y``|`-1 LEQ y LEQ 1 RIGHT }]이고,
주기가 [eqn: 4]이다.

따라서 [eqn: 0 LEQ x LEQ 4]에서 함수 [eqn: y=sin` {pi } over {2} x]의 그래프가
직선 [eqn: y=k]와 두 점에서 만나려면
[eqn: -1<k<1]이어야 한다.
[eqn: 0 LEQ x LEQ 4]에서 함수 [eqn: y=sin` {pi } over {2} x]의 그래프가
직선 [eqn: y=k]와 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를
각각 [eqn: alpha], [eqn: beta] [eqn: LEFT ( alpha < beta RIGHT )]라 하면
[eqn: beta - alpha >1]일 때,
[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =2]를 만족시키는 [eqn: t]의 값은 존재하지 않고,
[eqn: beta - alpha <1]일 때,
[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =2]를 만족시키는 [eqn: t]의 값이 유일하지 않다.
[eqn: beta - alpha =1]일 때,
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]이므로 [eqn: alpha = {1} over {2}], [eqn: beta= {3} over {2}]

[eqn: 0 LEQ t< {1} over {2}], [eqn: {1} over {2} <t LEQ {3} over {2}]일 때, [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =1]
[eqn: t= {1} over {2}]일 때, [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =2]
[eqn: {3} over {2} <t LEQ 3]일 때, [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: a= {1} over {2}], [eqn: b= {3} over {2}], [eqn: k= {sqrt {2}} over {2}]이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} +k ^{2} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{2} =3]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: {3} over {2}]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y= {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: y=sin` {pi} over {2} x]

[eqn: rmO]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

17. [출제의도] 수열을 이용하여 추론하기

세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: d]는 [eqn: 2b=a+d]를 만족시키므로
이 순서대로 등차수열을 이룬다.

이 등차수열의 공차가 될 수 있는 가장 작은 값은 [eqn: 2],
가장 큰 값은 [eqn: LEFT . {BOX{```````10 _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]이다.
이 등차수열의 공차를 [eqn: k][eqn: LEFT ( 2 LEQ k LEQ LEFT . {BOX{```````10 _{`}^{`} ```````}} RIGHT . ` RIGHT )]이라 하면
[eqn: 1 LEQ a<a+k<c<a+2k LEQ 21]이므로

[eqn: c]가 될 수 있는 모든 자연수의 개수는 [eqn: k-1]이고
[eqn: a]가 될 수 있는 모든 자연수의 개수는
[eqn: LEFT . {BOX{```````21-2k _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]이다.

따라서 구하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( `a,``b,``c,``d RIGHT )]의 개수는
[eqn: sum _{k=2} ^{{}_{`} {BOX{```10 _{`}^{`} ```}} _{`}} LEFT { LEFT ( ` LEFT . k-1 RIGHT . ` RIGHT ) TIMES LEFT ( LEFT . {BOX{```````21-2k _{`}^{`} ```````}} RIGHT . ` RIGHT ) RIGHT } `]

[eqn: = sum _{k=2} ^{10} LEFT ( -2k ^{2} +23k-21 RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( -2k ^{2} +23k-21 RIGHT ) `-` LEFT ( -2 TIMES 1 ^{2} +23 TIMES 1-21 RIGHT )]

[eqn: = it -2 TIMES {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} +23 TIMES {10 TIMES 11} over {2} -21 TIMES 10]

[eqn: = LEFT . {BOX{``````` _{`}^{`} 285 _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]

따라서 [eqn: p=10], [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =21-2k], [eqn: q=285]이므로

[eqn: p+q+f LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =10+285+15=310]

18. [출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a cos`bx+c]의 최댓값이 [eqn: 3],
최솟값이 [eqn: -1]이고 [eqn: a]가 양수이므로 [eqn: a=2], [eqn: c=1]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2`cos`bx+1]의 주기가 [eqn: {2pi} over {b}]이므로
[eqn: {bar{rm AB it}} = {2 pi } over {b}]

[eqn: 0 LEQ x LEQ {2 pi } over {b}]에서 방정식 [eqn: 2cos`bx+1=0]의 해는
[eqn: x= {2 pi } over {3b}], [eqn: x= {4 pi } over {3b}]이므로 [eqn: {bar{rm CD it}} = {2 pi } over {3b}]
사각형 [eqn: rmACDB]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( it {2 pi } over {3b} + rm {2 pi } over {it b rm} RIGHT ) TIMES 3][eqn: =6 pi]

이므로 [eqn: b= {2} over {3}]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2cos` {2} over {3} x+1]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 4 pi]에서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2]의 모든 해는
[eqn: {pi } over {2}], [eqn: {5} over {2} pi], [eqn: {7} over {2} pi]이므로 합은 [eqn: {13} over {2} pi]

19. [출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

[eqn: rm A]

[eqn: rm O]

[eqn: rmH _{1}]

[eqn: rm H _{2}]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

그림과 같이 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rmQ]에서 직선 [eqn: rm AB]에 내린
수선의 발을 각각 [eqn: rm H _{1}], [eqn: rm H _{2}]라 하자.

직각삼각형 [eqn: rm APB]에서 [eqn: {bar{rm AP it}} = sqrt {4-t ^{2}}]이고

직각삼각형 [eqn: rmOH _{1} P]에서 [eqn: {bar{rm OH _{1} it}} ^{`2} + {bar{rm PH _{1} it}} ^{`2} =1]이므로

직각삼각형 [eqn: rmAH _{1} P]에서

[eqn: {bar{rm AP it}} ^{`2} = LEFT ( 1+ {bar{rm OH _{1} it}} RIGHT ) ^{2} + {bar{rm PH _{1} it}} ^{`2}], [eqn: 4-t ^{2}][eqn: =2+2{bar{rm OH _{1} it}}]

따라서 [eqn: {bar{rm OH _{1} it}} =1- {t ^{2}} over {2}]

[eqn: {bar{rm PH _{1} it}} = sqrt {1- {bar{rm OH _{1} it}} ^{`2}} = {t} over {2} sqrt {4-t ^{2}}]

[eqn: {bar{rm BH _{2} it}} = {bar{rm OH _{1} it}}], [eqn: {bar{rm QH _{2} it}} = {bar{rm PH _{1} it}}]이므로
직각삼각형 [eqn: rmAH _{2}Q]에서

[eqn: {bar{rm AQ it}}][eqn: = sqrt {LEFT ( 2+ {bar{rm BH _{2} it}} RIGHT ) ^{2} + {bar{rm QH _{2} it}} ^{`2}}]
[eqn: = sqrt {LEFT ( 2+ {bar{rm OH _{1} it}} RIGHT ) ^{2} + {bar{rm PH _{1} it}} ^{`2}}]
[eqn: = sqrt {LEFT { 2+ LEFT ( 1- {t ^{2}} over {2} RIGHT ) RIGHT } ^{2} + {t ^{2}} over {4} LEFT ( 4-t ^{2} RIGHT )}]
[eqn: = sqrt {9-2t ^{2}}]

따라서

[eqn: lim _{t` -> `0+} {{3- {bar{rm AQ it}}} over {t ^{2}}}][eqn: = lim _{t` -> `0+} {{3- sqrt {9-2t ^{2}}} over {t ^{2}}}]
[eqn: = lim _{t` -> `0+} {{9- LEFT ( 9-2t ^{2} RIGHT )} over {t ^{2} LEFT ( 3+ sqrt {9-2t ^{2}} RIGHT )}}]
[eqn: = lim _{t` -> `0+} {{2} over {3+ sqrt {9-2t ^{2}}}}]
[eqn: = {1} over {3}]

20. [출제의도] 함수의 미분가능성 추론하기

[eqn: rm O]

[eqn: itx]

[eqn: it y]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rmB]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: y=4]

[eqn: 2]

[eqn: y=it-x+4]

그림과 같이 선분 [eqn: rmBC]의 수직이등분선 [eqn: y=4]는
함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] [eqn: LEFT ( x<0 RIGHT )]의 그래프와 점 [eqn: LEFT ( `-2,``4 RIGHT )]에서
만나고, 선분 [eqn: rmAC]의 수직이등분선 [eqn: y=it-x+4]는
함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] [eqn: LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )]의 그래프와 점 [eqn: LEFT ( `2,``2 RIGHT )]에서
만난다.

점 [eqn: rm P LEFT ( ` it x,``f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]에 대하여
[eqn: {bar{rm PQ it}} ^{`2}]의 값이 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rmQ]는
[eqn: x< it -2]일 때 점 [eqn: rm B LEFT ( `1,``3 RIGHT )],

[eqn: -2 LEQ x<2]일 때 점 [eqn: rm C LEFT ( `1,``5 RIGHT )],

[eqn: x GEQ 2]일 때 점 [eqn: rm A LEFT ( `-1,``3 RIGHT )]이다.

(ⅰ) [eqn: x< it -2]일 때
점 [eqn: rm P LEFT ( ` it x,``x ^{2} RIGHT )]에 대하여 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {bar{rm PB it}} ^{`2}]이므로
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( x ^{2} -3 RIGHT ) ^{2} =x ^{4} -5x ^{2} -2x+10]

(ⅱ) [eqn: -2 LEQ x<0]일 때
점 [eqn: rm P LEFT ( it `x,``x ^{2} RIGHT )]에 대하여 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {bar{rm PC it}} ^{`2}]이므로
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( x ^{2} -5 RIGHT ) ^{2} =x ^{4} -9x ^{2} -2x+26]

(ⅲ) [eqn: 0 LEQ x<2]일 때
점 [eqn: rm P LEFT ( ` it x,``x RIGHT )]에 대하여 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {bar{rm PC it}} ^{`2}]이므로
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( x-5 RIGHT ) ^{2} =2x ^{2} -12x+26]

(ⅳ) [eqn: x GEQ 2]일 때
점 [eqn: rm P LEFT ( ` it x,``x RIGHT )]에 대하여 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {bar{rm PA it}} ^{`2}]이므로
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} =2x ^{2} -4x+10]

(ⅰ) ~ (ⅳ)에 의하여

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``x ^{4} -5x ^{2} -2x+10 _{{}_{`}} ```````&LEFT ( x< it -2 RIGHT ) _{{}_{`}}#``x ^{4} -9x ^{2} -2x+26 _{{}_{`}}^{{}^{`}}&LEFT ( -2 LEQ x<0 RIGHT ) _{{}_{`}}^{{}^{`}}#``2x ^{2} -12x+26 _{{}_{`}}^{{}^{`}}&LEFT ( 0 LEQ x<2 RIGHT ) _{{}_{`}}^{{}^{`}}#``2x ^{2} -4x+10 ^{{}^{`}}&LEFT ( x GEQ 2 RIGHT ) ^{{}^{`}}}}]

ㄱ. [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =26] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `2-} {g LEFT ( x RIGHT )}][eqn: = lim _{x` -> `2-} {LEFT ( 2x ^{2} -12x+26 RIGHT ) =10}],
[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) = lim _{x` -> `2+} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `2+} {LEFT ( 2x ^{2} -4x+10 RIGHT )} =10]
이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2]에서 연속이다.
[eqn: 0 LEQ x LEQ 2]에서 함수 [eqn: y=2 LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +8]은
[eqn: x=2]일 때 최솟값 [eqn: 10]을 갖고,
[eqn: 2 LEQ x LEQ 3]에서 함수 [eqn: y=2 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +8]은
[eqn: x=2]일 때 최솟값 [eqn: 10]을 가지므로
닫힌구간 [eqn: LEFT [ `0,``3 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의
최솟값은 [eqn: 10]이다. (참)

ㄷ. [eqn: lim _{x` -> `-2-} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( -2 RIGHT )} over {x- LEFT ( -2 RIGHT )}}]
[eqn: = lim _{x` -> `-2-} {{x ^{4} -5x ^{2} -2x+10-10} over {x+2}} = it -14]
[eqn: lim _{x` -> `-2+} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( -2 RIGHT )} over {x- LEFT ( -2 RIGHT )}}]
[eqn: = lim_{x` -> `-2+} {{x ^{4} -9x ^{2} -2x+26-10} over {x+2}} =2]이므로
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=it-2]에서 미분가능하지 않다.
[eqn: lim _{x` -> `0-} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x}}]
[eqn: = lim _{x` -> `0-} {{x ^{4} -9x ^{2} -2x+26-26} over {x}} = it -2]
[eqn: lim _{x` -> `0+} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x}}]
[eqn: = lim _{x` -> `0+} {{2x ^{2} -12x+26-26} over {x}} = it -12]이므로
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하지 않다.
[eqn: lim _{x` -> `2-} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2}}]
[eqn: = lim _{x` -> `2-} {{2x ^{2} -12x+26-10} over {x-2}} = it -4]
[eqn: lim _{x` -> `2+} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2}}]
[eqn: = lim _{x` -> `2+} {{2x ^{2} -4x+10-10} over {x-2}} =4]이므로
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2]에서 미분가능하지 않다.
따라서 미분가능하지 않은 모든 [eqn: a]의 값의 합은
[eqn: -2+0+2=0]이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

21. [출제의도] 함수의 연속을 이용하여 추론하기

함수 [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로
[eqn: lim _{x` -> `0-} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = lim _{x` -> `0-} {LEFT | 2x+a RIGHT |} = LEFT | a RIGHT |],
[eqn: LEFT | f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT | = lim _{x` -> `0+} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = lim _{x` -> `0+} {LEFT | x ^{2} +bx+c RIGHT | = LEFT | c RIGHT |}]에서
[eqn: a=c] 또는 [eqn: a= it -c]

조건 (가)에서
[eqn: 4]가 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 치역의 원소 중 하나이므로
함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y=t]가 서로 다른
네 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: t]가 존재해야 한다.

그러므로 직선 [eqn: y=t]가
[eqn: x<0]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와
서로 다른 두 점에서 만나도록 하고,
[eqn: x GEQ 0]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와
서로 다른 두 점에서 만나도록 하는
실수 [eqn: t]가 존재해야 한다.

따라서 [eqn: a>0], [eqn: b<0], [eqn: c=a]이고
함수 [eqn: y=x ^{2} +bx+c] [eqn: LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: 0]보다
작아야 한다.

함수 [eqn: y=x ^{2} +bx+c] [eqn: LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )]의 최솟값을 [eqn: k]라 하자.

(ⅰ) [eqn: -a<k<0]일 때
함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은
그림과 같으므로 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의
치역은 [eqn: LEFT { `1,``2,``3,``4 RIGHT }]이다.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: a]

[eqn: -a]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: k]

함수 [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프의 개형과
함수 [eqn: y=h LEFT ( t RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: y=a]

[eqn: y=it-k]

[eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]

[eqn: rm O]

[eqn: t]

[eqn: y]

[eqn: 5]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: y=h(t)]

[eqn: -k]

[eqn: a]

[eqn: 6]

(ⅱ) [eqn: k< it -a]일 때
함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은
그림과 같으므로 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의
치역은 [eqn: LEFT { `1,``2,``3,``4 RIGHT }]이다.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: a]

[eqn: -a]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: k]

함수 [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프의 개형과
함수 [eqn: y=h LEFT ( t RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: y=it-k]

[eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]

[eqn: y=a]

[eqn: rm O]

[eqn: t]

[eqn: y]

[eqn: 5]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: y=h(t)]

[eqn: a]

[eqn: -k]

[eqn: 6]

(ⅲ) [eqn: k= it -a]일 때
함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은
그림과 같으므로 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의
치역은 [eqn: LEFT { `1,``2,``3,``4 RIGHT }]이다.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: a]

[eqn: -a]

[eqn: y=f(x)]

함수 [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프의 개형과
함수 [eqn: y=h LEFT ( t RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y=a]

[eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]

[eqn: t]

[eqn: y]

[eqn: y=h(t)]

[eqn: rm O]

[eqn: 6]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: a]

(ⅰ) ~ (ⅲ)에 의하여
[eqn: k=it-a]일 때, 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 조건 (나)를 만족시키므로
[eqn: a=2]이고 [eqn: c=2], [eqn: k= it -2]
[eqn: x ^{2} +bx+2][eqn: = LEFT ( x+ {b} over {2} RIGHT ) ^{2} +2- {b ^{2}} over {4}]이므로
[eqn: 2- {b ^{2}} over {4} = it -2], [eqn: b= it -4] [eqn: LEFT ( b<0 RIGHT )]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``- LEFT | 2x+2 RIGHT | _{{}_{`}}&``````` LEFT ( x<0 RIGHT ) _{{}_{{}_{`}}}#``x ^{2} -4x+2 ^{{}^{{}^{`}}}&``````` LEFT ( x GEQ 0 RIGHT ) ^{{}^{{}^{`}}}}}]

따라서 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) +f LEFT ( 6 RIGHT ) = it -2+14=12]

22. [출제의도] 도함수 계산하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2x-1]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =3+2-1=4]

23. [출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

[eqn: 4 ^{x-2} LEQ 32]에서 [eqn: 2 ^{2x-4} LEQ 2 ^{5}]

[eqn: 2x-4 LEQ 5], [eqn: x LEQ {9} over {2}]

따라서 구하는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합은
[eqn: 1+2+3+4=10]

24. [출제의도] 수열의 합 이해하기

[eqn: a _{1} =S _{1} =3],

[eqn: a _{4} =S _{4} -S _{3}][eqn: = LEFT ( 4 ^{2} +4+1 RIGHT ) - LEFT ( 3 ^{2} +3+1 RIGHT ) =8]

따라서 [eqn: a _{1} +a _{4} =11]

25. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}}} =2]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +ax+b] ([eqn: a], [eqn: b]는 상수)라 하자.

[eqn: lim _{x` -> `2} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x-2}} =7]에서 [eqn: lim _{x` -> `2} {LEFT ( x-2 RIGHT )} =0]이므로
[eqn: lim _{x` -> `2} {`f LEFT ( x RIGHT )} =f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]

[eqn: 8+2a+b=0], [eqn: b= it -2 LEFT ( a+4 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( 2x+a+4 RIGHT )]이므로

[eqn: lim _{x` -> `2} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x-2}}][eqn: = lim _{x` -> `2} {{LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( 2x+a+4 RIGHT )} over {x-2}}]
[eqn: =a+8][eqn: =7]

에서 [eqn: a=it-1], [eqn: b= it -6]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} -x-6]이므로
[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =32-4-6=22]

26. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

곡선 [eqn: y=3 ^{x} +1]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여
대칭이동하면 곡선 [eqn: y=log _{`3} ` LEFT ( x-1 RIGHT )]이고,
곡선 [eqn: y=log _{`3} ` LEFT ( x-1 RIGHT )]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼,
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 곡선이
[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =log _{`3} ` LEFT ( x-a-1 RIGHT ) +b]
곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 점근선이 [eqn: x=5]이므로
[eqn: a+1=5], [eqn: a=4]
곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 곡선 [eqn: y=3 ^{x} +1]의 점근선 [eqn: y=1]과
만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 6]이므로 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]는
점 [eqn: LEFT ( `6,``1 RIGHT )]을 지난다.
[eqn: 1=log _{`3} `LEFT ( 6-5 RIGHT ) +b], [eqn: b=1]
따라서 [eqn: a+b=5]

27. [출제의도] 등비수열을 활용하여 문제해결하기

[eqn: 1over4], [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: CDOTS], [eqn: a _{n}], [eqn: 16]이
공비가 양수 [eqn: r]인 등비수열을 이루므로

[eqn: 16= {1} over {4} r ^{n+1}], [eqn: r ^{n+1} =64] [eqn: CDOTS] ㉠

주어진 등비수열의 모든 항의 곱이 [eqn: 1024]이므로

[eqn: {1} over {4} TIMES a _{1} TIMES a _{2} TIMES ` CDOTS ` TIMES a _{n} TIMES 16][eqn: = {1} over {4} TIMES {1} over {4} r TIMES {1} over {4} r ^{2} TIMES ` CDOTS ` TIMES {1} over {4} r ^{n} TIMES 16]

[eqn: = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n+1} TIMES 16 TIMES r ^{1+2+` CDOTS `+n}]

[eqn: =2 ^{-2n-2} TIMES 2 ^{4} TIMES r ^{{n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2}}]

[eqn: =2 ^{-2n+2} TIMES LEFT ( r ^{n+1} RIGHT ) ^{{n} over {2}} =1024] [eqn: cdots] ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면
[eqn: 2 ^{-2n+2} TIMES LEFT ( 2 ^{6} RIGHT ) ^{{n} over {2}} =1024], [eqn: 2 ^{n+2} =2 ^{10}]이므로 [eqn: n=8]

따라서 [eqn: n=8]을 ㉠에 대입하면 [eqn: r ^{9} =64]

28. [출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기

삼각형 [eqn: rmABD]에서 [eqn: angle rmADB =alpha]라 할 때,

삼각형 [eqn: rmABD]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 6]이므로
[eqn: {{bar{rm AB it}}} over {sin alpha} = 12]
[eqn: sin alpha = {3 sqrt {3}} over {12} = {sqrt {3}} over {4}]이므로
[eqn: cos alpha = sqrt{1- left( sqrt3 over4 right)^2} = sqrt13 over4]

[eqn: rmbar{AB} = bar{CD}]이므로 [eqn: ANGLE rm ADB= angle rm CBD]

선분 [eqn: rmAD]와 선분 [eqn: rmBC]는 평행하므로
사각형 [eqn: rmABCD]는 등변사다리꼴이다.

[eqn: alpha]

[eqn: rm H_2]

[eqn: rm H_1]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmAD]에 내린 수선의 발을
각각 [eqn: rmH_1], [eqn: rmH_2]라 할 때,
[eqn: rmbar{rmDH_1}=bar{rmBD}cos alpha][eqn: =8sqrt2 times sqrt13 over4][eqn: =2sqrt26]

[eqn: rmbar{rmBH_1}=bar{rmBD}sin alpha][eqn: =8 sqrt {2} TIMES {sqrt3} over {4}][eqn: =2 sqrt {6}]

[eqn: rmbar{rmAH_1}=rmbar{rmDH_2}]이므로 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이

[eqn: S`][eqn: = {1} over {2} TIMES ( {bar{rm AD it}} + {bar{rm BC it}} ) TIMES {bar{rm BH _{1} it}}]
[eqn: = 1over2 times left{ left( bar{rmDH_1}+bar{rmAH_1} right)+ left( bar{rmDH_1}-bar{rmDH_2}right)right}times bar{rmBH_1}]
[eqn: =bar{rmDH_1}timesbar{rmBH_1}]
[eqn: =2 sqrt {26} TIMES 2 sqrt {6}][eqn: =8sqrt39]

따라서 [eqn: {S ^{2}} over {13} =192]

29. [출제의도] 도함수를 이용하여 추론하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +bx+c] ([eqn: b], [eqn: c]는 상수)라 하자.

조건 (가)에서

[eqn: lim _{x` -> `1} {{g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}}][eqn: = lim _{x` -> `1} {{LEFT ( x ^{2} -x+a RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}}]
[eqn: = lim _{x` -> `1} {{LEFT ( x ^{2} -x+a-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}} =0]

[eqn: lim _{x` -> `1} {LEFT ( x-1 RIGHT )} =0]이므로

[eqn: lim _{x` -> `1} {LEFT ( x ^{2} -x+a-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )} = LEFT ( a-1 RIGHT ) f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: a=1] 또는 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

[eqn: a != 1]이라 하면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이어야 하므로
[eqn: c=it-b-1], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+b+1 RIGHT )]

[eqn: lim _{x` -> `1} {{g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}}]
[eqn: = lim _{x` -> `1} {{LEFT ( x ^{2} -x+a-1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+b+1 RIGHT )} over {x-1}}]
[eqn: = LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( b+2 RIGHT ) =0]

이므로 [eqn: b=it-2], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2x-1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( x ^{2} -x+a RIGHT ) LEFT ( 2x-2 RIGHT )]에서
[eqn: g` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) != 0]이라 하면 [eqn: a=1]이고

[eqn: lim _{x` -> `1} {{g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}}][eqn: = lim _{x` -> `1} {{x LEFT ( x-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}}][eqn: =f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]

이므로 모순이다.

따라서 [eqn: a=1]이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이며 [eqn: b != it-2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+b+1 RIGHT )]에서 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =2x+b]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )]에서

[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2x-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) + LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) f` prime LEFT ( x RIGHT )]

조건 (다)에서

[eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =f` prime LEFT ( alpha RIGHT )]이므로
[eqn: LEFT ( alpha -1 RIGHT ) LEFT ( alpha +b+1 RIGHT ) =2 alpha +b] [eqn: CDOTS] ㉠

[eqn: g` prime LEFT ( alpha RIGHT ) = LEFT ( 2 alpha -1 RIGHT ) f LEFT ( alpha RIGHT ) + LEFT ( alpha ^{2} - alpha +1 RIGHT ) f` prime LEFT ( alpha RIGHT ) =2f` prime LEFT ( alpha RIGHT )]

[eqn: LEFT ( 2 alpha -1 RIGHT ) f`' LEFT ( alpha RIGHT ) + LEFT ( alpha ^{2} - alpha +1 RIGHT ) f`' LEFT ( alpha RIGHT ) =2f`' LEFT ( alpha RIGHT )]

[eqn: LEFT ( alpha ^{2} + alpha -2 RIGHT ) f`' LEFT ( alpha RIGHT ) =0]

[eqn: LEFT ( alpha +2 RIGHT ) LEFT ( alpha -1 RIGHT ) LEFT ( 2 alpha +b RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: alpha = it -2] 또는 [eqn: alpha=1] 또는 [eqn: alpha =it- {b} over {2}]

[eqn: alpha=1] 또는 [eqn: alpha =it- {b} over {2}]일 때

㉠에서 [eqn: b=it-2]이므로 [eqn: b != it-2]인 것에 모순이다.

[eqn: alpha = it -2]이므로 ㉠에서 [eqn: b= {7} over {4}]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+ {11} over {4} RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( alpha +4 RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT ) =3 TIMES 1 TIMES {19} over {4} = {57} over {4}]

따라서 [eqn: p=4], [eqn: q=57]이므로 [eqn: p+q=61]

30. [출제의도] 등차수열을 이용하여 추론하기

[eqn: a _{n} +b _{n} =2+ LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( l+m RIGHT )]이므로

수열 [eqn: LEFT { a _{n} +b _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2]이고
공차가 정수 [eqn: l+m]인 등차수열이다.

[eqn: l+m GEQ 0]이라 하면 수열 [eqn: LEFT { LEFT | a _{n} +b _{n} RIGHT | RIGHT }]은
첫째항이 [eqn: 2]이고 공차가 [eqn: l+m]인 등차수열이다.
공차 [eqn: l+m]이 정수이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT | a _{k} +b _{k} RIGHT | = {10 LEFT { 2 TIMES 2+9 LEFT ( l+m RIGHT ) RIGHT }} over {2} =31]에서
[eqn: l+m= {11} over {45}]을 만족시키는
두 정수 [eqn: l], [eqn: m]은 존재하지 않는다.

[eqn: l+m LEQ it -2]라 하면 수열 [eqn: LEFT { LEFT | a _{n} +b _{n} RIGHT | RIGHT }]은
첫째항과 제[eqn: 2]항이 각각 [eqn: 2], [eqn: LEFT | a _{2} +b _{2} RIGHT |]이고,
제[eqn: 2]항부터 공차가 [eqn: LEFT | l+m RIGHT |]인 등차수열이다.

공차 [eqn: LEFT | l+m RIGHT |]이 정수이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT | a _{k} +b _{k} RIGHT | =2+ {9 LEFT ( 2 LEFT | a _{2} +b _{2} RIGHT | +8 LEFT | l+m RIGHT | RIGHT )} over {2} =31]에서
[eqn: LEFT | a _{2} +b _{2} RIGHT | +4 LEFT | l+m RIGHT | = {29} over {9}]를 만족시키는
두 정수 [eqn: l], [eqn: m]은 존재하지 않는다.

[eqn: l+m=it-1]이라 하면 수열 [eqn: LEFT { LEFT | a _{n} +b _{n} RIGHT | RIGHT }]은
첫째항, 제[eqn: 2]항, 제[eqn: 3]항이 각각 [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 0]이고,
제[eqn: 3]항부터 공차가 [eqn: 1]인 등차수열이다.

이때 [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT | a _{k} +b _{k} RIGHT | =2+1+ {8 TIMES LEFT ( 2 TIMES 0+7 TIMES 1 RIGHT )} over {2} =31]

따라서 [eqn: l+m= it -1]

[eqn: m=it-l-1]에서 [eqn: b _{n} =it-10+ LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( -l-1 RIGHT )]

[eqn: LEFT | a _{3} RIGHT | = LEFT | 12+2l RIGHT |], [eqn: LEFT | b _{3} RIGHT | = LEFT | -12-2l RIGHT |]이므로
두 정수 [eqn: l], [eqn: m]에 관계없이 [eqn: LEFT | a _{3} RIGHT | = LEFT | b _{3} RIGHT |]이 성립한다.

(ⅰ) [eqn: l GEQ 0]일 때
[eqn: m<0]이고
모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a _{k} >0], [eqn: b _{k} <0]이다.
[eqn: LEFT | a _{k} RIGHT | - LEFT | b _{k} RIGHT | =a _{k} +b _{k}][eqn: =3-k]이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( LEFT | a _{k} RIGHT | - LEFT | b _{k} RIGHT | RIGHT ) = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 3-k RIGHT ) = it -25]

(ⅱ) [eqn: -4 LEQ l LEQ it -1]일 때

(a) [eqn: l=it-1]인 경우
[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( LEFT | a _{k} RIGHT | - LEFT | b _{k} RIGHT | RIGHT )]
[eqn: =2+1+0+ LEFT ( -1 RIGHT ) + LEFT ( -2 RIGHT ) + LEFT ( -3 RIGHT ) + LEFT ( -4 RIGHT )]
[eqn: + LEFT ( -5 RIGHT ) + LEFT ( -6 RIGHT ) + LEFT ( -7 RIGHT )]
[eqn: = it -25]

(b) [eqn: l= it -2]인 경우
[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( LEFT | a _{k} RIGHT | - LEFT | b _{k} RIGHT | RIGHT )]
[eqn: =2+1+0+ LEFT ( -1 RIGHT ) + LEFT ( -2 RIGHT ) + LEFT ( -3 RIGHT ) + LEFT ( -4 RIGHT )]
[eqn: + LEFT ( -1 RIGHT ) +2+5]
[eqn: = it -1]

(c) [eqn: l= it -3]인 경우
[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( LEFT | a _{k} RIGHT | - LEFT | b _{k} RIGHT | RIGHT )]
[eqn: =2+1+0+ LEFT ( -1 RIGHT ) + LEFT ( -2 RIGHT ) +3+4+5+6+7]
[eqn: =25]

(d) [eqn: l= it -4]인 경우
[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( LEFT | a _{k} RIGHT | - LEFT | b _{k} RIGHT | RIGHT )][eqn: =2+1+0+ LEFT ( -1 RIGHT ) +2+3+4+5+6+7]
[eqn: =29]

(ⅲ) [eqn: -11 LEQ l LEQ it -5]일 때
[eqn: LEFT | a _{1} RIGHT | - LEFT | b _{1} RIGHT | =2],
[eqn: LEFT | a _{2} RIGHT | - LEFT | b _{2} RIGHT | = LEFT ( 12+l RIGHT ) - LEFT ( 11+l RIGHT ) =1]이고,
[eqn: k GEQ 3]인 자연수 [eqn: k]에 대하여
[eqn: LEFT | a _{k} RIGHT | - LEFT | b _{k} RIGHT |]
[eqn: = it LEFT { -12- LEFT ( k-1 RIGHT ) l RIGHT } + LEFT { 10+ LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( l+1 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =k-3][eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( LEFT | a _{k} RIGHT | - LEFT | b _{k} RIGHT | RIGHT ) =2+1+ sum _{k=3} ^{10} LEFT ( k-3 RIGHT ) =31]

(ⅳ) [eqn: l LEQ it-12]일 때
[eqn: LEFT | a _{1} RIGHT | - LEFT | b _{1} RIGHT | =2], [eqn: LEFT | a _{2} RIGHT | - LEFT | b _{2} RIGHT | = LEFT ( it -12-l RIGHT ) - LEFT ( -11-l RIGHT ) = it -1]이고,
[eqn: k GEQ 3]인 자연수 [eqn: k]에 대하여
[eqn: LEFT | a _{k} RIGHT | - LEFT | b _{k} RIGHT |][eqn: = it LEFT { -12- LEFT ( k-1 RIGHT ) l RIGHT } - LEFT { -10- LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( l+1 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =k-3]
이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( LEFT | a _{k} RIGHT | - LEFT | b _{k} RIGHT | RIGHT ) =2+ LEFT ( -1 RIGHT ) + sum _{k=3} ^{10} LEFT ( k-3 RIGHT )][eqn: = it 29]

(ⅰ) ~ (ⅳ)에서

구하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( `l,``m RIGHT )]은

[eqn: LEFT ( `-11,``10 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `-10,``9 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `-9,``8 RIGHT )], [eqn: cdots], [eqn: LEFT ( `-5,``4 RIGHT )]

이므로 개수는 [eqn: 7]이다.