5지선다형

고 2	수학 영역 (가형)

	수학 영역 (가형)	고 2

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2018학년도 9월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 (가형)

제 2 교시

1. [eqn: 2 ^{5} TIMES 2 ^{-3} `]의 값은? [[eqn: 2`]점]

	①	[eqn: 2]	②	[eqn: 4]	③	[eqn: 6]	④	[eqn: 8]	⑤	[eqn: 10]

2. 두 집합

[eqn: LEFT . A`=` LEFT { 2,```4,```6,```8,```10 RIGHT } ` RIGHT .], [eqn: LEFT . B`=` LEFT { 2,```3,```4,```5,```6 RIGHT } RIGHT . `]

에 대하여 [eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) `]의 값은? [[eqn: 2`]점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

3. 공비가 [eqn: 2]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{2} =6`]일 때, [eqn: a _{4} `]의 값은?

[[eqn: 2`]점]

	①	[eqn: 16]	②	[eqn: 18]	③	[eqn: 20]	④	[eqn: 22]	⑤	[eqn: 24]

4. 그림은 두 함수 [eqn: f:`X``` -> `Y``], [eqn: g:`Y``` -> `Z``]를 나타낸 것이다.

[eqn: X]

[eqn: 3]

[eqn: 5]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 5]

[eqn: f]

[eqn: g]

[eqn: Y]

[eqn: Y]

[eqn: Z]

[eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) (1)`]의 값은? [[eqn: 3`]점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

5. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm 1]

[eqn: rm 2]

[eqn: rm -1]

[eqn: rm -1]

[eqn: 1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: lim _{x` -> `-1-} {f LEFT ( x RIGHT )} `+` lim _{x` -> ``0+} {f LEFT ( x RIGHT )} `]의 값은? [[eqn: 3`]점]

	①	[eqn: -1]	②	[eqn: 0]	③	[eqn: 1]	④	[eqn: 2]	⑤	[eqn: 3]

6. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =n ^{2} +5n`]을
만족시킬 때, [eqn: a _{6} `]의 값은? [[eqn: 3`]점]

	①	[eqn: 8]	②	[eqn: 12]	③	[eqn: 16]	④	[eqn: 20]	⑤	[eqn: 24]

7. 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =]	[eqn: {cases{`&eqalign{`# `}#``&`}}]	[eqn: 2x ^{2} +ax]	[eqn: LEFT ( x<2 RIGHT )]
		[eqn: 4x+b]	[eqn: LEFT ( x GEQ 2 RIGHT )]

가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: ab`]의 값은?
[eqn: (]단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 상수이다.[eqn: )] [[eqn: 3`]점]

	①	[eqn: 24]	②	[eqn: 26]	③	[eqn: 28]	④	[eqn: 30]	⑤	[eqn: 32]

8. 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 정의역이 [eqn: LEFT. LEFT { `x` LEFT | `2 LEQ x LEQ a RIGHT . RIGHT . RIGHT } `]인
함수 [eqn: y= {3} over {x-1} -2`]의 치역이 [eqn: LEFT { `y` LEFT | `-1 LEQ y LEQ b right } `]일 때,
[eqn: a+b`]의 값은? [eqn: (]단, [eqn: a>2`], [eqn: LEFT . b>-1 RIGHT )] [[eqn: 3`]점]

	①	[eqn: 5]	②	[eqn: 6]	③	[eqn: 7]	④	[eqn: 8]	⑤	[eqn: 9]

9. [eqn: lim _{x` -> `3} {{2x ^{2} +ax+b} over {x ^{2} -9}} =3`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은?
[eqn: (]단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 상수이다.[eqn: )] [[eqn: 3`]점]

	①	[eqn: -33]	②	[eqn: -30`]	③	[eqn: -27]	④	[eqn: -24]	⑤	[eqn: -21]

10. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) `]에서 [eqn: x`]의 값이 [eqn: -2`]에서 [eqn: 0`]까지 변할 때의 평균변화율과 [eqn: x`]의 값이 [eqn: 0`]에서 [eqn: a`]까지 변할 때의
평균변화율이 서로 같을 때, 양수 [eqn: a`]의 값은? [[eqn: 3`]점]

	①	[eqn: 1]	②	[eqn: 2]	③	[eqn: 3]	④	[eqn: 4]	⑤	[eqn: 5]

11. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n} +1 RIGHT ) `]이 수렴할 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{na _{n} +3n ^{2}} over {n ^{2} +1}} `]의 값은? [[eqn: 3`]점]

	①	[eqn: {1} over {2}]	②	[eqn: 1]	③	[eqn: {3} over {2}]	④	[eqn: 2]	⑤	[eqn: {5} over {2}]

12. 두 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x-5`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =3x+1`]

에 대하여 [eqn: LEFT ( `f CIRC g` ^{-1} ` RIGHT ) LEFT ( k RIGHT ) =7]을 만족시키는 실수 [eqn: k`]의 값은?

[[eqn: 3`]점]

	①	[eqn: 4]	②	[eqn: 7]	③	[eqn: 10]	④	[eqn: 13]	⑤	[eqn: 16]

13. 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT ) -f(1)=x ^{3} +13x ^{2} +26x`]

를 만족시킬 때, [eqn: f` prime (1)`]의 값은? [[eqn: 3`]점]

	①	[eqn: 26]	②	[eqn: 30]	③	[eqn: 34]	④	[eqn: 38]	⑤	[eqn: 42]

14. 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]의 시각 [eqn: t`][eqn: LEFT ( t GEQ 0 RIGHT ) `]에서의
속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) `]가

[eqn: v(t)=12-3t ^{2} `]

이다. [eqn: t=0`]부터 [eqn: t=4`]까지 점 [eqn: rm P`]가 움직인 거리는? [[eqn: 4`]점]

	①	[eqn: 44]	②	[eqn: 48]	③	[eqn: 52]	④	[eqn: 56]	⑤	[eqn: 60]

15. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이

[eqn: ` sum _{k=1} ^{15} a _{k} =165`], [eqn: sum _{k=1} ^{21} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k} a _{k} =`-20`]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{21} `]의 값은? [[eqn: 4`]점]

	①	[eqn: 45]	②	[eqn: 50]	③	[eqn: 55]	④	[eqn: 60]	⑤	[eqn: 65]

16. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +1`]에 대하여

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT { sqrt {f LEFT ( -x RIGHT )} `- sqrt {f LEFT ( x RIGHT )} ` RIGHT }} =6]

일 때, 양수 [eqn: a`]의 값은? [[eqn: 4`]점]

	①	[eqn: 3]	②	[eqn: 5]	③	[eqn: 7]	④	[eqn: 9]	⑤	[eqn: 11]

17. 첫째항이 [eqn: 3`]이고 공비가 [eqn: r` LEFT ( r>1 RIGHT ) `]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여
수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]의 각 항이

[eqn: b _{1} =log _{`a _{1}} a _{2}]

[eqn: b _{2} = LEFT ( log _{`a _{1}} a _{2} RIGHT ) ` TIMES ` LEFT ( log _{`a _{2}} a _{3} RIGHT ) `]

[eqn: b _{3} = LEFT ( log _{`a _{1}} a _{2} RIGHT ) ` TIMES ` LEFT ( log _{`a _{2}} a _{3} RIGHT ) ` TIMES ` LEFT ( log _{`a _{3}} a _{4} RIGHT )]

[eqn: VDOTS]

[eqn: b _{n} = LEFT ( log _{`a _{1}} a _{2} RIGHT ) ` TIMES ` LEFT ( log _{`a _{2}} a _{3} RIGHT ) ` TIMES ` LEFT ( log _{`a _{3}} a _{4} RIGHT ) ` TIMES ` CDOTS ` TIMES ` LEFT ( log _{`a _{n}} a _{n+1} RIGHT )]

[eqn: VDOTS]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} =120`]이다. [eqn: log` _{3} `r`]의 값은? [[eqn: 4`]점]

	①	[eqn: {1} over {2}]	②	[eqn: 1]	③	[eqn: {3} over {2}]	④	[eqn: 2]	⑤	[eqn: {5} over {2}]

18. 다음은

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1 ^{4} +2 ^{4} +3 ^{4} +` CDOTS `+n ^{4}} over {LEFT ( 1+2+3+` CDOTS `+n ^{`} RIGHT ) LEFT ( 1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} +` CDOTS `+n ^{2} RIGHT )}}]

의 값을 구하는 과정의 일부이다.

	[eqn: S _{n} =][eqn: {1 ^{4} +2 ^{4} +3 ^{4} +` CDOTS `+n ^{4}} over {LEFT ( 1+2+3+` CDOTS `+n ^{`} RIGHT ) LEFT ( 1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} +` CDOTS `+n ^{2} RIGHT )}] 이라 하면 [eqn: S _{n} `][eqn: = {{BOX{{}^{``} ``(가)`` _{``}^{``}}} ` TIMES sum _{k=1} ^{n} k ^{4}} over {n ^{2} ` LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} ` LEFT ( 2n+1 RIGHT )}] [eqn: = {BOX{{}^{``} ``(가)`` _{``}^{``}}} ` TIMES {{BOX{````(`나) _{`} ` ^{````}}}} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} ` LEFT ( 2n+1 RIGHT )} TIMES sum _{k=1} ^{n} ` {k ^{4}} over {n ^{5}}] 이다. 따라서 [eqn: lim _{n`-> INF } {S _{n}}][eqn: =6` lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT { LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{4} {1} over {n} RIGHT }}] 이므로 정적분의 정의에 의하여 [eqn: lim _{n`-> INF } {S _{n}}][eqn: =6 int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) `} dx= {BOX{````(`다) _{`} ` ^{````}}}] 이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p`], [eqn: q`]라 하고 (나)에
알맞은 식을 [eqn: g(n)`]이라 할 때, [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) + {p} over {q}]의 값은? [[eqn: 4`]점]

	①	[eqn: 18]	②	[eqn: 21]	③	[eqn: 24]	④	[eqn: 27]	⑤	[eqn: 30]

19. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면 위의 두 원

[eqn: C _{1} `:`][eqn: x ^{2} +y ^{2} =(n-1) ^{2} `],

[eqn: C _{2} `:`][eqn: (x-n) ^{2} +y ^{2} =n ^{2}]

이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rm P _{itn} `], [eqn: rm Q _{it n} `]이라 할 때,

	[eqn: {{{bar{rm `P _{it n} Q _{it n} it}}} over {n} `}]	의 값은? [[eqn: 4`]점]
[eqn: lim _{n` -> ` INF }]

	① [eqn: {sqrt {3}} over {3}] ② [eqn: {sqrt {2}} over {2}] ③ [eqn: 1] ④ [eqn: sqrt {2}] ⑤ [eqn: sqrt {3}]

20. 그림과 같이 길이가 [eqn: 8`]인 선분 [eqn: rm AB _{1} `]을 지름으로 하는 반원을 그리고 호 [eqn: rm B _{1} A`] 위에 [eqn: rm ANGLE B _{1} AC _{1} =30 DEG]가 되도록 점 [eqn: rm C _{1} `]을
잡는다. 선분 [eqn: rm AC _{1} `]을 지름으로 하는 반원이 선분 [eqn: rm AB _{1} `]과
만나는 점 중 점 [eqn: rmA`]가 아닌 점을 [eqn: rm B _{2} `]라 할 때, 선분 [eqn: rm B _{2} B _{1} `],
호 [eqn: rm B _{1} C _{1} `]과 호 [eqn: rm C _{1} B _{2} `]로 둘러싸인 도형의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1} `]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1} `]에서 선분 [eqn: rm AB _{2} `]를 지름으로 하는 반원을 그리고
호 [eqn: rm B _{2} A] 위에 [eqn: rm ANGLE B _{2} AC _{2} =30 DEG]가 되도록 점 [eqn: rm C _{2} `]를 잡는다.
선분 [eqn: rm AC _{2} `]를 지름으로 하는 반원이 선분 [eqn: rm AB _{2} `]와 만나는 점 중 점 [eqn: rmA`]가 아닌 점을 [eqn: rm B _{3} `]이라 할 때, 선분 [eqn: rm B _{3} B _{2} `], 호 [eqn: rm B _{2} C _{2} `]와
호 [eqn: rm C _{2} B _{3} `]으로 둘러싸인 도형의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2} `]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림을 [eqn: R _{n} `]이라 할 때, 그림 [eqn: R _{n} `]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n} `]이라 하자.
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n} } = {q} over {p} LEFT ( 2 pi +3 sqrt {3} RIGHT ) `]일 때, [eqn: p+q`]의 값은? [eqn: (]단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.[eqn: )] [[eqn: 4`]점]

[eqn: rm A] [eqn: rm B _{1}] [eqn: rm C _{1}] [eqn: rm 30 DEG] [eqn: rm B _{2}]	[eqn: rm A] [eqn: rm B _{1}] [eqn: rm C _{1}] [eqn: rm 30 DEG] [eqn: rm B _{2}] [eqn: rm B _{3}] [eqn: rm C _{2}]
[eqn: R _{1}]	[eqn: R _{2}]
[eqn: rm A] [eqn: rm B _{1}] [eqn: rm C _{1}] [eqn: rm 30 DEG] [eqn: rm B _{2}] [eqn: rm B _{3}] [eqn: rm C _{2}] [eqn: rm C _{3}] [eqn: rm B _{4}]	[eqn: CDOTS]
[eqn: R _{3}]	[eqn: CDOTS]

	①	[eqn: 31]	②	[eqn: 33]	③	[eqn: 35]	④	[eqn: 37]	⑤	[eqn: 39]

21. 양수 [eqn: t`]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{3t} ^{x} {LEFT ( s ^{2} -4ts+3t ^{2} RIGHT ) `ds}]

라 할 때, 닫힌 구간 [eqn: left[ 0,~2 right]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최댓값을
[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[[eqn: 4`]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-t RIGHT ) LEFT ( x-3t RIGHT ) `] ㄴ. [eqn: t>2`]일 때, [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {2} over {3} LEFT ( 3t-2 RIGHT ) ^{2} `]이다. ㄷ. [eqn: t>0`]에서 정의된 함수 [eqn: g(t)`]는 [eqn: t= {1} over {2} `]에서만 미분가능하지 않다.

	①	ㄱ	②	ㄷ	③	ㄱ, ㄴ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

단 답 형

22. [eqn: log _{`5`} 50+log _{`5} {1} over {2} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

23. 자연수 전체의 집합의 두 부분집합

[eqn: A= LEFT { 1,~2a RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { it x` RIGHT . left| `x`]는 [eqn: 8`]의 약수[eqn: LEFT. ` RIGHT } `]

에 대하여 [eqn: A SUBSET B`]를 만족시키는 모든 자연수 [eqn: a`]의 값의 합을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

24. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{`} ^{`} {LEFT ( 3x ^{2} +2 RIGHT ) `dx`}]

이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1`]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

25. 실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건

[eqn: p`:`x ^{2} -4x+3 LEQ 0`],

[eqn: q`:`x LEQ a]

에 대하여 [eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되도록 하는
실수 [eqn: a`]의 최솟값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

26. [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: x ^{3} -ax+b`]를 [eqn: x-1`]로 나눈 나머지가 [eqn: 57`]
이다. 세 수 [eqn: 1`], [eqn: a`], [eqn: b`]가 이 순서대로 공비가 양수인 등비수열을
이룰 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [eqn: (`]단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 상수이다.[eqn: `)]

[[eqn: 4`]점]

27. 직선 [eqn: y= sqrt {2} x] 위의 점 [eqn: rm A LEFT ( it t,~sqrt {2} t RIGHT ) `][eqn: LEFT ( t>0 RIGHT ) `]과 [eqn: x`]축 위의
점 [eqn: rm B LEFT ( 2 it t,~0 RIGHT ) `]이 있다. 선분 [eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rm C`]라 하고, 점 [eqn: rm C`]를 지나고 선분 [eqn: rm AB`]에 수직인 직선이 직선 [eqn: x=2t`]와 만나는 점을 [eqn: rmD`]라 하자. 선분 [eqn: rm CD`]의 길이를 [eqn: f(t)`]라 할 때,
[eqn: lim _{t` -> `4} {{t ^{2} -16} over {f(t)- sqrt {6}} =a} `]이다. [eqn: 3a ^{2} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

[eqn: x]

[eqn: x=2t]

[eqn: rm D]

[eqn: rmA]

[eqn: y= sqrt {2} x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rmC rm]

[eqn: rm B rm]

28. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을
만족시킨다.

	(가) 모든 정수 [eqn: m`]에 대하여 [eqn: int _{m} ^{m+2} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx`} =4`]이다. (나) [eqn: 0 LEQ x LEQ 2`]에서 [eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} +8x`]이다.

[eqn: 4 int _{1} ^{10} {f(x)`dx} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

29. 좌표평면에서 두 곡선  [eqn: y=2 sqrt {x} `], [eqn: y=`- sqrt {x} +6`]과
직선 [eqn: x=k`]로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점의 개수가 [eqn: 59`]가 되도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [eqn: (]단, [eqn: k>4`][eqn: )] [[eqn: 4`]점]

[eqn: y=2 sqrt {x}]

[eqn: y=`- sqrt {x} +6]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O rm]

[eqn: rm 4]

[eqn: it x=k]

[eqn: rm 6]

30. 최고차항의 계수의 부호가 서로 다른 두 삼차다항식
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가

[eqn: LEFT | {}^{`} f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =]	[eqn: {cases{`&`#eqalign{`# `}&`}}]	[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: -4x-26]	[eqn: LEFT ( `x LEQ a` RIGHT )]
		[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: +][eqn: `2x ^{3} -14x ^{2} +12x+6]	[eqn: LEFT ( `x>a` RIGHT )]

를 만족시킬 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +a LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2} `=0]이 서로 다른
세 실근을 갖도록 하는 모든 자연수 [eqn: k`]의 값의 합을 구하시오.
[eqn: (`]단, [eqn: a`]는 상수이다.[eqn: `)] [[eqn: 4`]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.