• 2교시 수학 영역 •

[가형]

1	⑤	2	④	3	②	4	④	5	③
6	①	7	③	8	④	9	②	10	①
11	③	12	③	13	④	14	⑤	15	②
16	①	17	②	18	⑤	19	①	20	⑤
21	⑤	22	25	23	6	24	9	25	16
26	63	27	325	28	54	29	209	30	49

1. [출제의도] 지수함수의 극한 계산하기

[eqn: lim _{x` -> `0} {{e ^{3x} -1} over {2x} } = {3} over {2} TIMES lim _{x` -> `0} {{e ^{3x} -1} over {3x} } = {3} over {2}]

2. [출제의도] 호도법 이해하기

부채꼴의 호의 길이는 [eqn: 4 TIMES {pi } over {4} =pi]

3. [출제의도] 쌍곡선의 방정식 이해하기

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {5 ^{2}} - {y ^{2}} over {2 ^{2}} =1]의 점근선의 방정식은
[eqn: y= it {2} over {5} x], [eqn: y=it- {2} over {5} x]이므로 [eqn: k= {2} over {5}]

4. [출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

[eqn: 0< {1} over {2} <1]이므로 지수함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-2}]은
닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `2,``4 RIGHT ]]에서 [eqn: x=4]일 때 최솟값을 갖는다.
따라서 최솟값은 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) = {1} over {4}]

5. [출제의도] 여러 가지 적분법 이해하기

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {6}} {cos3x} dx= LEFT [ {1} over {3} `sin3x RIGHT ] _{`0}^{{pi } over {6}} = {1} over {3}]

6. [출제의도] 도함수의 활용 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x`lnx]라 하면

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =2x- LEFT ( 2lnx+2 RIGHT )], [eqn: f`'' LEFT ( x RIGHT ) =2- {2} over {x}]

[eqn: f` '' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=1]

[eqn: 0<x<1]일 때 [eqn: f`'' LEFT ( x RIGHT ) <0]

[eqn: x>1]일 때 [eqn: f` '' LEFT ( x RIGHT ) >0]

따라서 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1]

7. [출제의도] 자연수의 분할 이해하기

[eqn: 5][eqn: =3+2]
[eqn: =3+1+1]
[eqn: =2+2+1]
[eqn: =2+1+1+1]
[eqn: =1+1+1+1+1]

따라서 구하는 분할의 수는 [eqn: 5]

8. [출제의도] 음함수의 미분법 이해하기

[eqn: x ^{3} +xy-y ^{2} =0]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 3x ^{2} +y+x {dy} over {dx} -2y {dy} over {dx} =0]

[eqn: {dy} over {dx} = {3x ^{2} +y} over {-x+2y}] ([eqn: x!=2y])

따라서 점 [eqn: LEFT ( `2,``4 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: {8} over {3}]

9. [출제의도] 삼각함수 이해하기

[eqn: y= sinx]

[eqn: 11 over 6 pi]

[eqn: y = it- 1 over 2]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: 7 over 6 pi]

[eqn: 2sinx+1<0]의 해는 [eqn: {7} over {6} pi <x< {11} over {6} pi]

[eqn: therefore] [eqn: alpha = {7} over {6} pi], [eqn: beta = {11} over {6} pi]

따라서 [eqn: cos LEFT ( beta - alpha RIGHT ) =cos` {2} over {3} pi= it - {1} over {2}]

10. [출제의도] 이항정리 이해하기

[eqn: LEFT ( {x} over {2} + {a} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식의 일반항은

[eqn: {}_{6} rm C it rm _{r} LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) ^{r} LEFT ( {a} over {x} RIGHT ) ^{6-r}][eqn: = _{6} rm C it rm _{r} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{r} a ^{6-r} x ^{2r-6}]

[eqn: x ^{2r-6} =x ^{2}]에서 [eqn: r=4]이므로 [eqn: x ^{2}]의 계수는

[eqn: {}_{6} rm C _{it 4 rm} TIMES it LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} TIMES a ^{2} = {15} over {16} TIMES a ^{2} =15]

따라서 [eqn: a=4]

11. [출제의도] 여러 가지 미분법 이해하기

[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) =f` prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) timesf` prime LEFT ( x RIGHT )], [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} +2cosx]

[eqn: f LEFT ( pi RIGHT ) = {pi} over {2}], [eqn: f` prime LEFT ( pi RIGHT ) =it- {3} over {2}], [eqn: f` prime LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) = it {1} over {2}]이므로

[eqn: g` prime LEFT ( pi RIGHT )][eqn: =f` prime LEFT ( f LEFT ( pi RIGHT ) RIGHT ) timesf` prime LEFT ( pi RIGHT )]
[eqn: =f` prime LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) TIMES f` prime LEFT ( pi RIGHT ) = {1} over {2} TIMES LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) = it - {3} over {4}]

12. [출제의도] 타원의 정의를 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmA LEFT ( `0,``1 RIGHT )]을 지나는 타원 [eqn: C`]의 방정식을
[eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} +y ^{2} =1]([eqn: a>0])이라 하자.

[eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} +y ^{2} =1]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: rmF']

[eqn: rm F]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AF it}} + {bar{rm AF prime it}} = {bar{rm BF it}} + {bar{rm BF prime it}} =2a]이고, 삼각형
[eqn: rmABF]의 둘레의 길이가 [eqn: 16]이므로 [eqn: 4a=16], [eqn: a=4]

[eqn: therefore] [eqn: c ^{2} =16-1=15]

따라서 선분 [eqn: rmFF']의 길이는 [eqn: 2 sqrt {15}]

13. [출제의도] 여러 가지 적분법 이해하기

함수 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]를 적분하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{```x ^{2} +3x+C _{1 _{{}_{{}_{}}}} ````````````&LEFT ( x<1 RIGHT ) _{{}_{{}_{}}}#```x`lnx-x+C _{2}&LEFT ( x>1 RIGHT )}}]

(단, [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}]는 적분상수)

[eqn: f LEFT ( e RIGHT ) =e`lne-e+C _{2} =2]이므로 [eqn: C _{2} =2]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT )} =f LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )} =1], [eqn: lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT )} =1+3+C _{1}]

[eqn: 1=1+3+C _{1}]이므로 [eqn: C _{1} = it -3]

[eqn: therefore] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{```x ^{2} +3x-3 _{{}_{{}_{{}_{}}}} ````````````&LEFT ( x leq1 RIGHT ) _{{}_{{}_{}}}#```x`lnx-x+2&LEFT ( x>1 RIGHT )}}]

따라서 [eqn: f LEFT ( -6 RIGHT ) =36-18-3= it 15]

14. [출제의도] 로그함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

곡선 [eqn: y=a`log _{`2} ` LEFT ( x-a+1 RIGHT )]이 [eqn: x]축과 만나므로

[eqn: a`log _{`2} ` LEFT ( x-a+1 RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=a]

곡선 [eqn: y=2 ^{x-a} -1]이 [eqn: x]축과 만나므로

[eqn: 2 ^{x-a} -1=0]에서 [eqn: x=a]

[eqn: therefore] [eqn: rm A LEFT ( it `a,``0 RIGHT )]

점 [eqn: rm B]의 [eqn: y]좌표를 [eqn: k]([eqn: k>0])라 하면

삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm OA it}} TIMES k= {1} over {2} TIMES it a TIMES k= {7} over {2} it a]이므로 [eqn: k=7]

[eqn: 2 ^{x-a} -1=7]이므로 [eqn: x=a+3]

[eqn: therefore] [eqn: rm B LEFT ( it `a+3,``7 RIGHT )]

점 [eqn: rmB]는 곡선 [eqn: y=a`log _{`2} ` LEFT ( x-a+1 RIGHT )] 위의 점이므로

[eqn: a`log _{`2} ` LEFT ( a+3-a+1 RIGHT ) =7]에서 [eqn: a= {7} over {2}]

[eqn: therefore] [eqn: rm A LEFT ( ` {7} over {2} ,``0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( ` {13} over {2} ,``7 RIGHT )]

선분 [eqn: rmAB]의 중점 [eqn: rmM]의 좌표는 [eqn: rm LEFT ( `5,`` {7} over {2} RIGHT )]이므로

[eqn: p=5], [eqn: q= {7} over {2}]

따라서 [eqn: p+q= {17} over {2}]

15. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

곡선 [eqn: y= {1} over {x}]과 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=2] 및 [eqn: x]축으로
둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: S= int _{1} ^{2} {{1} over {x} dx} =ln2]

곡선 [eqn: y = 1 over x]과 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=a] 및 [eqn: x]축으로
둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 2S=2ln2]이므로

(ⅰ) [eqn: a>1]일 때, [eqn: int _{1} ^{a} {{1} over {x} dx} =lna=2ln2]
[eqn: therefore] [eqn: a=4]

(ⅱ) [eqn: 0<a<1]일 때, [eqn: int _{a} ^{1} {{1} over {x} dx} = it -lna=2ln2]
[eqn: therefore] [eqn: a= {1} over {4}]

따라서 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 4+ {1} over {4} = {17} over {4}]

16. [출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: y'=e ^{x}]이므로 곡선 [eqn: y=e ^{x}] 위의
두 점 [eqn: rm A LEFT ( it `t,``e ^{t} RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it -t,``e ^{-t} RIGHT )]에서의
접선 [eqn: l], [eqn: m]의 기울기는 각각 [eqn: e ^{t}], [eqn: e ^{-t}]이다.

[eqn: rm`O]

[eqn: y=e^x]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: beta]

[eqn: alpha]

[eqn: l]

[eqn: m]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: {pi} over {4}]

두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는
각의 크기를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면

[eqn: tan alpha =e ^{t}], [eqn: tan beta =e ^{-t}]

[eqn: tan {pi } over {4}][eqn: =tan LEFT ( alpha - beta RIGHT )]
[eqn: = {tan alpha -tan beta } over {1+tan alpha tan beta }]
[eqn: = {e ^{t} -e ^{-t}} over {1+e ^{t} e ^{-t}} =1]

[eqn: e ^{t} -e ^{-t} =2]

[eqn: LEFT ( e ^{t} RIGHT ) ^{2} -2e ^{t} -1=0]

[eqn: e ^{t} >0]이므로 [eqn: e ^{t} =1+ sqrt {2}]

[eqn: therefore] [eqn: t=ln LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT )]

따라서 직선 [eqn: rmAB]의 기울기는

[eqn: {e ^{t} -e ^{-t}} over {t- LEFT ( -t RIGHT )}][eqn: = {1} over {ln LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT )}]

17. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 극한 추론하기

두 곡선 [eqn: y=e ^{x-1}]과 [eqn: y=a ^{x}]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표는

방정식 [eqn: e ^{x-1} =a ^{x}]의 해이다.

양변에 [eqn: {e} over {a ^{x}}]를 곱하면 [eqn: LEFT ( {e} over {a} RIGHT ) ^{x} =e]

[eqn: x= {1} over {ln {e} over {a}}]이므로 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) = {1} over {ln {e} over {a}}]

[eqn: a-e=t]라 하면 [eqn: a=t+e]이고,

[eqn: a` -> `e+]일 때 [eqn: t` -> `0+]이므로

[eqn: lim _{a` -> `e+} {{1} over {LEFT ( e-a RIGHT ) f LEFT ( a RIGHT )}}][eqn: = lim _{a` -> `e+} {{ln {e} over {a}} over {LEFT ( e-a RIGHT )}}][eqn: =][eqn: lim _{t` -> `0+} {{ln {e} over {t+e}} over {-t}}]
[eqn: = lim _{t` -> `0+} {ln LEFT ( 1+ {t} over {e} RIGHT ) ^{{1} over {t}} }]
[eqn: = lim _{t` -> `0+} {ln LEFT { LEFT ( 1+ {t} over {e} RIGHT ) ^{{e} over {t}} RIGHT } ^{{1} over {e}} =} {1} over {e}]

18. [출제의도] 포물선의 접선을 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rm A]에서 포물선에 그은 기울기가 양수인 접선과
포물선이 만나는 점을 [eqn: rm B LEFT ( it `x _{1} ,``y _{1} RIGHT ) `]이라 하면

점 [eqn: rm B]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y= {8} over {y _{1}} LEFT ( x+x _{1} RIGHT )]

포물선의 준선의 방정식이 [eqn: x=it-4]이므로
[eqn: rm A it LEFT ( -4,`` {8} over {y _{1}} LEFT ( x _{1} -4 RIGHT ) RIGHT )], [eqn: rm H LEFT ( -4,`` it y _{1} RIGHT )]

점 [eqn: rmA]가 제[eqn: 3]사분면 위의 점이므로 [eqn: {bar{rm AC it}} = {8} over {y _{1}} LEFT ( 4-x _{1} RIGHT )]

[eqn: {bar{rm AC it}} TIMES {bar{rm CH it}} = {8} over {y _{1}} LEFT ( 4-x _{1} RIGHT ) TIMES y _{1} =8]

[eqn: therefore] [eqn: x _{1} =3], [eqn: y _{1} =4 sqrt {3}]

[eqn: rm A LEFT ( -4,`- {2 sqrt {3}} over {3} RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( `3,``4 sqrt {3} RIGHT )], [eqn: rm H LEFT ( -4,``4 sqrt {3} RIGHT )]

따라서 삼각형 [eqn: rm ABH]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 7 TIMES {14} over {3} sqrt {3} = {49} over {3} sqrt {3}]

19. [출제의도] 순열과 조합 추론하기

[eqn: n]개의 공이 들어 있는 주머니에서 꺼낸 세 개의
공에 적혀 있는 세 수 중 어느 두 수도 연속되지
않는 경우는 ‘(ⅰ) 주머니에서 세 개의 공을 꺼내는
경우’에서 ‘(ⅱ) 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀
있는 세 수가 모두 연속되는 경우’와
‘(ⅲ) 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는
세 수 중 두 수만 연속되는 경우’를 제외하면 된다.

(ⅰ)의 경우 :

[eqn: n]개의 공이 들어 있는 주머니에서 세 개의 공을
꺼내는 경우의 수는 [eqn: {}_{n} rm C _{3}]이다.

(ⅱ)의 경우 :

주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수가

모두 연속되는 경우의 수는 [eqn: LEFT ( n-2 RIGHT )]이다.

(ⅲ)의 경우 :

연속되는 두 수 중 하나가 [eqn: 1]인 경우는 [eqn: 2]는 반드시

포함되어야 하고 [eqn: 3]은 포함되지 않아야 하므로

경우의 수는 [eqn: LEFT . {BOX{```````n-3 _{`}^{`} ```````}} RIGHT . `]이고, 마찬가지로 연속되는

두 수 중 하나가 [eqn: n]인 경우의 수도 [eqn: LEFT . {BOX{```````n-3 _{`}^{`} ```````}} RIGHT . `]이다.

또한
연속되는 두 수가 [eqn: k], [eqn: k+1]([eqn: k=2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS], [eqn: n-2])라
하면 이 경우의 수는 [eqn: LEFT ( n-3 RIGHT )]이고,
각각의 경우에 [eqn: k], [eqn: k+1]과 연속되지 않는 수가
적혀 있는 하나의 공을 더 선택하는
경우의 수는 [eqn: LEFT ( n-4 RIGHT )]이므로
연속되는 두 수 중 어느 하나도 [eqn: 1]과 [eqn: n]이 아닌
경우의 수는 [eqn: LEFT . {BOX{``````` LEFT ( n-3 RIGHT ) LEFT ( n-4 RIGHT ) _{`}^{`} ```````}} RIGHT . `]이다.

따라서 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는
세 수 중 두 수만 연속되는 경우의 수는

[eqn: 2 TIMES LEFT ( ` LEFT . {BOX{```````n-3 _{`}^{`} ```````}} RIGHT . ` RIGHT )+ LEFT . {BOX{``````` LEFT ( n-3 RIGHT ) LEFT ( n-4 RIGHT ) _{`}^{`} ```````}} RIGHT . `]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 [eqn: n]개의 공이 들어 있는
주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중
어느 두 수도 연속되지 않는 경우의 수는

[eqn: {n LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( n-2 RIGHT )} over {6} - LEFT ( n-2 RIGHT ) - LEFT { 2 LEFT ( n-3 RIGHT ) + LEFT ( n-3 RIGHT ) LEFT ( n-4 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =LEFT . {BOX{``````` {LEFT ( n-2 RIGHT ) LEFT ( n-3 RIGHT ) LEFT ( n-4 RIGHT ) ^{{}^{{}^{{}^{}}}}} over {6 _{`}^{`}} ```````}} RIGHT . `]이다.

[eqn: therefore] [eqn: p LEFT ( n RIGHT ) =n-3], [eqn: q LEFT ( n RIGHT ) = LEFT ( n-3 RIGHT ) LEFT ( n-4 RIGHT )],
[eqn: r LEFT ( n RIGHT ) =][eqn: {LEFT ( n-2 RIGHT ) LEFT ( n-3 RIGHT ) LEFT ( n-4 RIGHT )} over {6} `]

따라서 [eqn: {p LEFT ( 18 RIGHT ) TIMES q LEFT ( 17 RIGHT )} over {r LEFT ( 16 RIGHT )} = {15 TIMES (14 TIMES 13)} over {{14 TIMES 13 TIMES 12} over {6}} = {15} over {2}]

20. [출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

[eqn: rm`O]

[eqn: rm`A]

[eqn: rm` Q]

[eqn: rm`4]

[eqn: rmP]

[eqn: rm`R]

[eqn: rmB]

[eqn: theta]

[eqn: 4 cos 2 theta]

[eqn: 2]

[eqn: 2 theta]

[eqn: theta]

부채꼴 [eqn: rm OPQ]는 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고
중심각의 크기가 [eqn: 2 theta]이므로 부채꼴 [eqn: rm OPQ]의 넓이는
[eqn: 1 over 2 times 2^2 times 2 theta = 4 theta]

직각삼각형 [eqn: rm ABQ]에서 [eqn: bar {rm AQ } = 4 cos 2 theta]

삼각형 [eqn: rm AOQ]에서 [eqn: {bar{rm AO it}} =][eqn: {bar{rm OQ it}} =2], [eqn: {bar{rm RQ it}} =2- {bar{rm OR it}}]
선분 [eqn: rmAR]는 각 [eqn: rm QAO]의 이등분선이므로
[eqn: {bar{rm AO it}} : {bar{rm AQ it}} = {bar{rm OR it}} : {bar{rm RQ it}}]

[eqn: 2:4cos2 theta = {bar{rm OR it}} : LEFT ( 2- {bar{rmOR}} RIGHT )]

[eqn: {bar{rmOR}} = {2} over {2cos2 theta +1}]

삼각형 [eqn: rmOPR]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm OP it}} TIMES {bar{rm OR it}} TIMES sin2 theta = {2sin2 theta } over {2cos2 theta +1}]

호 [eqn: rm PQ]와 두 선분 [eqn: rm QR], [eqn: rm RP]로 둘러싸인 부분은
부채꼴 [eqn: rmOPQ]에서 삼각형 [eqn: rmOPR]를 제외한 부분이므로

[eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) =4 theta - {2sin2 theta } over {2cos2 theta +1}]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }}][eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {LEFT { 4- {2sin2 theta } over {theta LEFT ( 2cos2 theta +1 RIGHT )} RIGHT }}]
[eqn: =4-4 TIMES {1} over {3} = {8} over {3}]

21. [출제의도] 여러 가지 적분법을 활용하여 추론하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수가 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =x]
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2]이므로 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =1]

주어진 식에서

[eqn: f` prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )][eqn: = {1- LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} LEFT { f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) RIGHT } ^{3}} over {LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} LEFT { f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) RIGHT } ^{2}}]
[eqn: = {1-x ^{3} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} over {x ^{2} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3}} = {1} over {g prime LEFT ( x RIGHT )}]이므로

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) = {x ^{2} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3}} over {1-x ^{3} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}}] [eqn: CDOTS] (＊)
ㄱ. 식 (＊)에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: g prime LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: = {2 ^{2} TIMES LEFT { g LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT } ^{3}} over {1-2 ^{3} TIMES LEFT { g LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT } ^{2}}]
[eqn: = {2 ^{2} } over {1-2 ^{3}} =it- {4} over {7}] [eqn: therefore](참)

ㄴ. 식 (＊)을 정리하면
[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} g prime LEFT ( x RIGHT ) +x ^{2} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3}]
[eqn: =x ^{2} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} LEFT { xg prime LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }]
양변을 [eqn: x]에 대하여 적분하면
[eqn: xg` prime LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT { xg LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } prime]이므로
[eqn: int _{} ^{} {g prime LEFT ( x RIGHT ) dx} `= int _{} ^{} {LEFT { xg LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} LEFT { xg LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } prime } dx]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} x ^{3} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} +C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)
[eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: 1= {8} over {3} +C`]이므로 [eqn: C= it - {5} over {3}]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} x ^{3} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} - {5} over {3}] [eqn: CDOTS] (**) [eqn: therefore](참)

ㄷ. 식 (**)에 [eqn: x=1]을 대입하여 정리하면
[eqn: LEFT { g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT } ^{3} -3g LEFT ( 1 RIGHT ) -5=0]
함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =t ^{3} -3t-5], [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = alpha]라 하면
[eqn: h prime LEFT ( t RIGHT ) =3 LEFT ( t+1 RIGHT ) LEFT ( t-1 RIGHT )]
[eqn: t=it-1]에서 극댓값 [eqn: -3], [eqn: t=1]에서 극솟값 [eqn: -7]을
가지므로 방정식 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =0]은 하나의 실근 [eqn: alpha]를 갖는다.
[eqn: h LEFT ( 2 RIGHT ) =8-6-5=it-3<0],
[eqn: h LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) = {125} over {8} - {15} over {2} -5= {25} over {8} >0]이므로
사이값 정리에 의해 [eqn: 2< alpha < {5} over {2}]
[eqn: 2<g LEFT ( 1 RIGHT ) < {5} over {2}] [eqn: therefore](참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

22. [출제의도] 로그방정식 계산하기

[eqn: log _{`3} ` LEFT ( x+2 RIGHT ) =3]에서 [eqn: x+2=3 ^{3}]

따라서 [eqn: x=25]

23. [출제의도] 여러 가지 함수의 미분법 이해하기

[eqn: f` prime (x)= {3} over {2} sqrt {x}]이므로 [eqn: f`'(16)= {3} over {2} TIMES 4=6]

24. [출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기

곡선 [eqn: y=4sin LEFT ( {pi } over {2} x RIGHT )]([eqn: 0 LEQ x LEQ 2])는 그림과 같다.

[eqn: rm`O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=4sin LEFT ( {pi } over {2} x RIGHT )]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 2]

따라서 [eqn: y]좌표가 정수인 점의 개수는 [eqn: 9]

25. [출제의도] 여러 가지 미분법 이해하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {LEFT ( x ^{2} +x+8 RIGHT ) -x LEFT ( 2x+1 RIGHT )} over {LEFT ( x ^{2} +x+8 RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: = {-x ^{2} +8} over {LEFT ( x ^{2} +x+8 RIGHT ) ^{2}} >0]

[eqn: LEFT ( x ^{2} +x+8 RIGHT ) ^{2} >0]이므로

[eqn: -x ^{2} +8>0]

[eqn: -2 sqrt {2} <x<2 sqrt {2}]

[eqn: therefore] [eqn: alpha =it-2 sqrt {2}], [eqn: beta =2 sqrt {2}]

따라서 [eqn: alpha ^{2} + beta ` ^{2} =16]

26. [출제의도] 중복조합 이해하기

두 수 [eqn: 2], [eqn: 4]에서 중복을 허락하여 두 개를 선택하는
경우의 수는 [eqn: {}_{2} rm H _{2} = _{3} C _{2} =3]

세 수 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 선택하는
경우의 수는 [eqn: {}_{3} rm H _{5} = _{7} C _{5} =21]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 3times21=63]

27. [출제의도] 여러 가지 적분법을 활용하여 문제해결하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{1} ^{x} {{n-lnt} over {t} dt}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여
미분하면 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = {n-lnx} over {x}]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=e ^{n}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: e ^{n}]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=e ^{n}]에서 최댓값을 가지므로
[eqn: g LEFT ( n RIGHT ) =f LEFT ( e ^{n} RIGHT ) = int _{1} ^{e ^{n}} {{n-ln`t} over {t}} dt]

[eqn: n-lnt=s]라 하면 [eqn: {ds} over {dt} = it - {1} over {t}]이고,

[eqn: t=1]일 때 [eqn: s=n], [eqn: t=e ^{n}]일 때 [eqn: s=0]이므로

[eqn: g LEFT ( n RIGHT )][eqn: = int _{n} ^{0} {(-s)ds}]
[eqn: = LEFT [ - {1} over {2} s ^{2} RIGHT ] _{n}^{0}]
[eqn: = it {1} over {2} n ^{2}]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{12} g LEFT ( n RIGHT ) = it sum _{n=1} ^{12} {n ^{2}} over {2} = it 325]

28. [출제의도] 쌍곡선의 방정식을 활용하여 추론하기

쌍곡선의 주축의 길이가 [eqn: 6]이므로 [eqn: a ^{2} =9]

점 [eqn: rmP]가 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] 위의 점이므로

[eqn: {bar{rm PF prime it}} - {bar{rm PF it}} =6]

[eqn: {bar{rm PQ it}} + {bar{rm PF prime it}} = {bar{rm PQ it}} + LEFT ( {bar{rm PF it}} +6 RIGHT )][eqn: = LEFT ( {bar{rm PQ it}} + {bar{rm PF it}} RIGHT ) +6]

[eqn: {bar{rm PQ it}} + {bar{rm PF it}}]는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 선분 [eqn: rmAF] 위의 점일 때
최소이다.

[eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]

[eqn: rm F]

[eqn: rm Q]

[eqn: rmP]

[eqn: rm A]

[eqn: C]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: rm F']

[eqn: rmP']

[eqn: rm Q']

그림과 같이 선분 [eqn: rmAF]가 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]과
원 [eqn: C`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP'], [eqn: rmQ']이라 하면

[eqn: {bar{rm PQ it}} + {bar{rm PF' it}}][eqn: GEQ LEFT ( {bar{rm P prime Q prime it}} + {bar{rm P prime F it}} RIGHT ) +6]
[eqn: = LEFT ( {bar{rm AF it}} -1 RIGHT ) +6]
[eqn: = sqrt {c ^{2} +25} +5]

[eqn: {bar{rm PQ it}} + {bar{rm PF prime it}}]의 최솟값이 [eqn: 12]이므로 [eqn: sqrt {c ^{2} +25} +5=12]

[eqn: c ^{2} =24]

[eqn: THEREFORE] [eqn: b ^{2} =c ^{2} -a ^{2} =24-9=15]

따라서 [eqn: a ^{2} +3b ^{2} =9+3times15=54]

29. [출제의도] 순열과 조합을 활용하여 문제해결하기

집합 [eqn: Y`]의 원소들을 [eqn: 3]으로 나누었을 때의 나머지가
같은 수들을 원소로 하는 집합 [eqn: Y`]의 부분집합을
각각 [eqn: A= LEFT { `1,``4 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { `2,``5 RIGHT }], [eqn: C= LEFT { `3 RIGHT }]이라 하자.

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =3]인 경우

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) =3k]([eqn: k]는 자연수)이므로
집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C`]의 원소 중에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의
값으로 선택할 수 있는 원소의 개수와 각 경우의
함수의 개수는 표와 같다.

[eqn: A]	[eqn: B]	[eqn: C]	함수의 개수
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 3!times2 TIMES 2=24]
[eqn: 3]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: 2 ^{3} =8]
[eqn: 0]	[eqn: 3]	[eqn: 0]	[eqn: 2 ^{3} =8]
[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: 3]	[eqn: 1 ^{3} =1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 24+8+8+1=41]

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =1] 또는 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =4]인 경우

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) =3k+1]([eqn: k]는 자연수)이므로
집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C`]의 원소 중에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의
값으로 선택할 수 있는 원소의 개수와 각 경우의
함수의 개수는 표와 같다.

[eqn: A]	[eqn: B]	[eqn: C]	함수의 개수
[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 3times2=6]
[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 3times2 ^{2} times2=24]
[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 3times2 ^{2} =12]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 2 TIMES LEFT ( 6+24+12 RIGHT ) =84]

(ⅲ) [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =2] 또는 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =5]인 경우

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) =3k+2]([eqn: k]는 자연수)이므로
집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C`]의 원소 중에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의
값으로 선택할 수 있는 원소의 개수와 각 경우의
함수의 개수는 표와 같다.

[eqn: A]	[eqn: B]	[eqn: C]	함수의 개수
[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 0]	[eqn: 3times2 ^{2} times2=24]
[eqn: 2]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 3times2 ^{2} =12]
[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3times2=6]

[eqn: therefore] [eqn: `2 TIMES LEFT ( 24+12+6 RIGHT ) =84]

따라서 구하는 함수의 개수는 [eqn: 41+84+84=209]

【 다른 풀이 】

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =3]인 경우

집합 [eqn: Y`]의 원소 중 중복을 허락하여 선택한 세 수들의
합을 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 0]이 되는 수들의 순서쌍은
[eqn: LEFT ( `1,``1,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``2,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `3,``3,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `4,``4,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `5,``5,``5 RIGHT )]와
[eqn: LEFT ( `1,``1,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `1,``4,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``2,``5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``5,``5 RIGHT )]와
[eqn: LEFT ( `1,``2,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `1,``3,``5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``3,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `3,``4,``5 RIGHT )]이고,
각 순서쌍을 이루는 수들을 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]이
되도록 나열하는 방법의 수는
[eqn: 5 TIMES {3!} over {3!} +4 TIMES {3!} over {2!} +4 TIMES 3 ! = 41]

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =1] 또는 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =4]인 경우

집합 [eqn: Y`]의 원소 중 중복을 허락하여 선택한 세 수들의
합을 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 1]이 되는 수들의 순서쌍은
[eqn: LEFT ( `1,``1,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `1,``1,``5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `1,``3,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``2,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``4,``4 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( `3,``3,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `3,``5,``5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `4,``4,``5 RIGHT )]와
[eqn: LEFT ( `1,``2,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `1,``4,``5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``3,``5 RIGHT )]이고,
각 순서쌍을 이루는 수들을
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]이 되도록 나열하는 방법의 수는
[eqn: 8 TIMES {3!} over {2!} +3 TIMES 3 ! = 42]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 42 TIMES 2=84]

(ⅲ) [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =2] 또는 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =5]인 경우

집합 [eqn: Y`]의 원소 중 중복을 허락하여 선택한 세 수들의
합을 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2]가 되는 수들의 순서쌍은
[eqn: LEFT ( `1,``1,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `1,``2,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `1,``5,``5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``2,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``3,``3 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( `3,``3,``5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `3,``4,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `4,``5,``5 RIGHT )]와
[eqn: LEFT ( `1,``2,``5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `1,``3,``4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``4,``5 RIGHT )]이고,
각 순서쌍을 이루는 수들을
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]이 되도록 나열하는 방법의 수는
[eqn: 8 TIMES {3!} over {2!} +3 TIMES 3 ! = 42]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 42 TIMES 2=84]

따라서 구하는 함수의 개수는 [eqn: 41+84+84=209]

30. [출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} LEFT ( ax ^{3} +bx ^{2} RIGHT ) =x ^{2} e ^{x} LEFT ( ax+b RIGHT )]

[eqn: f` prime (x)=xe ^{x} LEFT { ax ^{2} +(3a+b)x+2b RIGHT }]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는
[eqn: x=0]에서 [eqn: x]축에 접하고,

조건 (가)에서 [eqn: M` LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( t RIGHT )]에 의하여

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x>0]에서 증가하므로 [eqn: a>0]

또한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: x>0]에서 [eqn: x]축과
만나지 않고 [eqn: f LEFT ( - {b} over {a} RIGHT ) =0]이므로 [eqn: - {b} over {a} <0]

[eqn: therefore] [eqn: b>0]

[eqn: f` prime (x)=xe ^{x} LEFT { ax ^{2} +(3a+b)x+2b RIGHT }]에서

이차방정식 [eqn: ax ^{2} +(3a+b)x+2b=0]의 판별식을
[eqn: D`]라 하면

[eqn: D=(3a+b) ^{2} -8ab=(a-b) ^{2} +8a ^{2} >0]이므로
이차방정식은 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta]([eqn: alpha < beta])를
갖는다.

[eqn: alpha + beta = it - {3a+b} over {a} <0], [eqn: alpha beta = {2b} over {a} >0]이므로
[eqn: alpha < beta <0]이다.

[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=alpha], [eqn: x=beta], [eqn: x=0]
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: alpha]	[eqn: CDOTS]	[eqn: beta]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	[eqn: 0]	[eqn: NEARROW]

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {f(x)} = INF], [eqn: lim _{x` -> `- INF } {f(x)} =0]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: - b over a]

[eqn: beta]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: alpha]

따라서 [eqn: m LEFT ( t RIGHT ) = {cases{``0&``` LEFT ( 0<t< {b} over {a} RIGHT )#`f LEFT ( -t RIGHT )&``` LEFT ( {b} over {a} LEQ t LEQ it - alpha RIGHT )#`f LEFT ( alpha RIGHT )&```(t> it - alpha )}}]

[eqn: t]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y = m LEFT ( t RIGHT )]

[eqn: -alpha]

[eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )]

[eqn: { b} over { a}]

조건 (나)에서 양수 [eqn: k]에 대하여

닫힌 구간 [eqn: [`k,``k+2]]에 있는 임의의 실수 [eqn: t]에

대해서만 [eqn: m LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( -t RIGHT )]가 성립하므로

[eqn: {b} over {a} =k], [eqn: - alpha =k+2]

[eqn: f`' LEFT ( alpha RIGHT ) =f` prime LEFT ( -k-2 RIGHT ) =0]

[eqn: {-k-2} over {e ^{k+2}} LEFT { a LEFT ( -k-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3a+ak RIGHT ) LEFT ( -k-2 RIGHT ) +2ak RIGHT } =0]

[eqn: {-k-2} over {e ^{k+2}} != 0]이므로

[eqn: a LEFT ( -k-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3a+ak RIGHT ) LEFT ( -k-2 RIGHT ) +2ak=0]

[eqn: a LEFT ( k-2 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k=2], [eqn: alpha=it-4]
따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ae ^{x} LEFT ( x ^{3} +2x ^{2} RIGHT )]이고,

[eqn: m LEFT ( t RIGHT ) = {cases{````0&``` LEFT ( 0<t<2 RIGHT )#`ae ^{-t} LEFT ( -t ^{3} +2t ^{2} RIGHT )&``` LEFT ( 2 LEQ t LEQ it 4 RIGHT )#`- {32a} over {e ^{4}}&```(t> it 4)}}]

조건 (다)에 의하여

[eqn: int _{1} ^{5} {LEFT { e ^{t} TIMES m LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } dt}][eqn: = int _{2} ^{4} {LEFT ( -at ^{3} +2at ^{2} RIGHT ) dt} + int _{4} ^{5} {LEFT ( - {32a} over {e ^{4}} e ^{t} RIGHT ) dt}]
[eqn: = LEFT [ - {a} over {4} t ^{4} + {2a} over {3} t ^{3} RIGHT ] _{2}^{4} + LEFT [ - {32a} over {e ^{4}} e ^{t} RIGHT ] _{4}^{5}]

[eqn: = {28a} over {3} -32ae= {7} over {3} -8e]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a= {1} over {4}]

따라서 [eqn: f LEFT ( k+1 RIGHT ) =f LEFT ( 3 RIGHT ) = {45} over {4} e ^{3}]이고, [eqn: p+q=49]