• 제 2 교시 •

수리 영역

정 답

1	②	2	①	3	③	4	④	5	⑤	6	④	7	⑤	8	④
9	③	10	②	11	③	12	①	13	⑤	14	②	15	④	16	①
17	④	18	②	19	⑤	20	①	21	③			22	16
23	11			24	20			25	-14			26	21
27	52			28	15			29	3			30	12.56

해 설

1.[출제의도] 이중근호를 정리하여 계산할 수 있다.

[eqn: root{3+root8}-root{3-root8}`=`root{3+2root2}-root{3-2root2}``]

[eqn: =(root2`+1)-(root2`-1)``]

[eqn: =2``]

2.[출제의도] 삼각함수의 상호관계를 이해할 수 있다.

(주어진 식)[eqn: `=` cos^2` theta ``sec^2` theta `=`1``]

3.[출제의도] 나머지정리를 이용하여 나머지를 구할 수 있다.

[eqn: f``(x)=x^22`+x^11`+22x+11``]이라고 하면

[eqn: f`(-1)=1+(-1)+(-22)+11``]

[eqn: =-11``]

4.[출제의도] 자료의 평균과 표준편차를 구할 수 있다.

평균 [eqn: m={8+10+11+12+14}over5`=11``]

분산

[eqn: s^2`={(8-11)^2`+(10-11)^2`+(11-11)^2`+(12-11)^2`+(14-11)^2`}over5``]

[eqn: ={9+1+0+1+9}over5`=4``]

표준편차 [eqn: s=2``]

따라서 [eqn: m+s=11+2=13``]

5.[출제의도] 역함수의 정의를 이해하고 함수값을 구할 수 있다.

[eqn: f``^-1`(1)`=`2`]에서 [eqn: f``(2)`=`3 cdot 2 + k`=`1`]

∴ [eqn: k`=`-5`]

∴ [eqn: f``(1)`=` 3 cdot 1 -5`=`-2`]

6.[출제의도] 필요조건과 집합의 포함관계를 이해할 수 있다.

[eqn: p``]가 [eqn: q``]이기 위한 필요조건이므로 [eqn: Q``SUBSET `P``]이다.

∴ [eqn: a`≦`-1``]

따라서, [eqn: a``]의 최대값은 [eqn: -1``]

7.[출제의도] 연립부등식을 풀 수 있다.

[eqn: cases {~x^2 -2x-3`≧`0&`````` cdots~㉠ #~|``x``|`<`2```````&~`` cdots~㉡}``]

㉠에서 [eqn: (x+1)(x-3)``≧``0``]

⇔ [eqn: x``≦``-1` ~또는~x``≧`3`]

㉡에서 [eqn: -2`<`x`<`2]

㉠과 ㉡의 공통범위를 나타내면 아래와 같다.

㉡

㉠

[eqn: x]

-2

2

-1

3

㉠

∴ [eqn: -2`<`x``≦``-1]

8.[출제의도] 대칭이동을 이해하고 두 원의 중심거리를 구할 수 있다.

원 [eqn: (x-1)^2`+`(y-3)^2`=`4`]를 직선 [eqn: y`=`x`]에 대하여 대칭이동시킨 원의 방정식은[eqn: (x-3)^2`+`(y-1)^2`=`4`]이고, 이 원의 중심은 [eqn: (3`,``1`)``]이다. 두 원의 중심거리는 두 점 [eqn: (1`,``3)`,``(3`,``1)`]사이의 거리와 같으므로 [eqn: root{(1-3)^2 `+`(3-1)^2 }`=`2root2`]

9.[출제의도]   역함수의 성질을 이해할 수 있다.

ㄱ. [eqn: x``≧``0`]일 때 [eqn: f``(x)`=`x`]이므로 [eqn: f``(f``(10))`=`f``(10)`=`10``]  ∴ 참

ㄴ. [eqn: f``(-1)=-2``]이므로 [eqn: f`^-1``(-2)`=`-1``]    ∴ 참

ㄷ. [eqn: f``^-1`(x)`=`cases{x ~~~~(x``≧``0`)`#1 over 2 x~~(x``≦``0`)`}] 이므로

[eqn: y`=`f``(x)`]의 그래프와 [eqn: y`=`f`^-1`(x)`]의 그래프는 [eqn: x``≧``0`]인 구간에서 일치 하므로 교점은 무수히 많다.  ∴ 거짓

10.[출제의도] 중점의 좌표를 구하고 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.

점 [eqn: rmM``]의 좌표를 [eqn: (a,b)]라 하면

H

3

O

[eqn: y``]

[eqn: x``]

1

D

M

A

B

C

4

-2

[eqn: a={-2+4}over{2}=1``], [eqn: b={2+6}over2`=4``]

이므로[eqn: rmM(1,4)``]

또한 [eqn: rm B(1,-2)``], [eqn: rmM(1,4)``]이므로

선분 [eqn: rmBM``]은[eqn: y]축과 평행이다.

점 [eqn: rmC``]에서 선분 [eqn: rm BM``]에 내린 수선의 발을

[eqn: rmH``]라 하면[eqn: rm bar BM =6, bar CH = 3-1=2``]

[eqn: rm therefore triangleBCM = 1 over 2 cdot bar BM cdot bar CH = 1 over 2 cdot 6 cdot 2``]

[eqn: =`6``]

11.[출제의도] 수선의 방정식을 구할 수 있다.

[eqn: rm∠AOB`=`90°]이고 [eqn: rm∠ABO`=`∠BCO``]이므로  [eqn: rm∠ABC`=`90°]이다.

두 직선 [eqn: l_1``]과 [eqn: l_2``]는 서로 수직이고, 직선 [eqn: l_1``]의 기울기가 [eqn: 3over2``]이므로 직선 [eqn: l_2``]의 기울기는 [eqn: -`2over3``]이다.

따라서, 직선 [eqn: l_2``]의 방정식은 [eqn: y=-`2over3`x+3``]이므로 [eqn: 2`x+3`y-9`=`0`] 이다.

12.[출제의도] 분산을 계산할 수 있다.

자료 [eqn: A]의 평균과 분산을 각각 [eqn: m_A` , v_A]라 하면

[eqn: m_A` =` { a cdot 2 + 2a cdot 1 + 3a cdot 2 } over 5 ` =` 2a]

[eqn: v_A` =` { ( a -2a)^2 cdot 2 + ( 2a-2a)^2 cdot 1 + (3a-2a)^2 cdot 2 } over 5]

[eqn: = 4over5 a^2]

자료 [eqn: B]의 평균과 분산을 각각 [eqn: m_B` , v_B]라 하면

[eqn: m_B` =` { b cdot 4 + 2 b cdot 2 + 3 b cdot 4 } over 10 ` =` 2b]

[eqn: v_B` =` { left( b - 2b right)^2 cdot 4 + left( 2b - 2b right)^2 cdot 2 + left( 3 b - 2b right)^2 cdot 4 } over 10]

[eqn: = 4over 5 b^2]

[eqn: v_A = v_B] 이므로 [eqn: 4over 5 a^2 = 4over 5 b^2]

[eqn: a=b``] (∵ [eqn: a``]와 [eqn: b``]는 모두 양수)

따라서 [eqn: {a}over{b}=1``]

13.[출제의도] 정수의 성질을 이용한 증명 과정을 이해할 수 있다.

[eqn: root n(n+1)``]이 유리수라면

[eqn: root n(n+1) = a over b``]([eqn: a,b]는 서로 소인 자연수 )로 놓을 수 있다.

양변을 제곱하면[eqn: n(n+1) = a^2 over b^2``]    ․․․․․․㉠

그런데 이 식의 좌변은 자연수이므로 우변도 자연수이어야 한다.

[eqn: a``]와 [eqn: b``]는 서로소이므로 [eqn: b^2`=`]

[eqn: 1``]

․․․․․․㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 [eqn: n(n+1)=a^2]

양변에 [eqn: 4``]를 곱하여 정리하면

[eqn: 4n^2`+4n=4a^2``]

[eqn: (2n+1)^2 -4a^2 =]

[eqn: 1``]

[eqn: (2n+1+2a)(2n+1-2a)=]

[eqn: 1``]

따라서 [eqn: 2n+1+2a``,``2n+1-2a``]는

모두 [eqn: 1``]이거나 모두 [eqn: -1``]이다.

이 때, 어느 경우에나 모순이므로 [eqn: root{n(n+1)^`}``]은 유리수가 아니다.

14.[출제의도] 도형에 대한 증명 과정을 이해할 수 있다.

두 직선 AP, EF의 교점을 G라 하면

[eqn: rmbarAD ``//``barGF`],[eqn: rmbarAC `=`barCD`]이므로 [eqn: rm bar{G E}=bar{EF}``]

또[eqn: rmbarEF`=]

[eqn: rmbarAE`]

이므로[eqn: rmbar {G E}`=``]

[eqn: rmbarAE`]

따라서,[eqn: rm△EGA`]는 이등변삼각형이므로

[eqn: rm∠EGA=∠EAG``]이고

[eqn: rm∠EGA+∠EAG=∠AEF``],

[eqn: rm∠AEO`=`∠OEF`]이므로

[eqn: rm∠EGA`=`]

[eqn: rm∠OEF`]

(동위각)이므로

[eqn: rmbarPA``//``barOE`]

같은 방법으로 [eqn: rmbarPB``//``barOF`]

∴ [eqn: rm∠APB `=`]

[eqn: rm∠EOF`]

[eqn: rm=` 1 over 3 `∠AOB`]

∴ [eqn: rm∠AOB`=`3`∠APB`]

15.[출제의도] 근의 성질을 이해할 수 있다.

[eqn: (x-1)(x^2 +x+1)=0``]이므로

[eqn: omega^3`=1``], [eqn: omega^2`+omega+1=0``]이다.

[eqn: omega+`omega^3 +omega^5 +omega^7`+omega^9`+omega^11`+omega^13`+omega^15``]

[eqn: =`(omega+1+`omega^2 `)+(omega+1+`omega^2 `)+omega+1``]

[eqn: =omega+1``]

[eqn: =-omega^2``]

16.[출제의도] 점의 좌표를 이용하여 직선의 방정식을 구할 수 있다.

[eqn: rm {bar PA} = sqrt{ 3^2 + 1^2 } = bar PB``]이므로 점 [eqn: rm P``]는 [eqn: rm {bar AB}``]의 수직이등분선 위에 있다. 또한, [eqn: rm {bar AB}``]의 수직이등분선은 그림의 어두운 부분의 넓이를 이등분하므로 구하는 직선은 [eqn: rm {bar AB}``]의 이등분선이고 그 방정식은

[eqn: y-3 = - 1 over 2 (x-2)``] (∵[eqn: rm {bar AB}``]의 중점은 [eqn: (2,``3)``]이고, [eqn: rm {bar AB}``]의 기울기는 [eqn: 2``]이다.)

위 식을 정리하면 [eqn: x+2y=8``]이다.

17.[출제의도] 합성함수가 갖는 규칙성을 찾을 수 있다.

[eqn: f`(x)`=`{x}over{x+1}``]

[eqn: f``^2`(x)`=`f`(f`(x))`=`{{x}over{x+1}}over{{x}over{x+1}+1}`=`{x}over{2x+1}``]

[eqn: f``^3`(x)`=`f`(f`^2`(x))`=`{{x}over{2x+1}}over{{x}over{2x+1}+1}`=`{x}over{3x+1}``]

[eqn: cdots][eqn: cdots]

[eqn: f`^10`(x)`=``{x}over{10x+1}``]으로 추정할 수 있다.

따라서, [eqn: f`^10 (1)`=`1over11``]

<다른풀이>

[eqn: f`(1)`=`{1}over{2}``]

[eqn: f``^2`(1)`=f``(f``(1))`=`f`left(1over2right)=`1over3``]

[eqn: f``^3`(1)`=f``(f``^2`(1))`=`f`left(1over3right)=`1over4``]

[eqn: cdots][eqn: cdots]

[eqn: f`^10`(1)`=`1over11``]

18.[출제의도] 이차부등식의 성질을 이해할 수 있다.

임의의 실수[eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x^2`+2ax+2b-b^2`≧``0`]이므로

[eqn: D over 4`=`a^2 `-`(2b`-`b^2 )``≦``0`],

[eqn: a^2 `+`b^2`-`2b``≦``0]

∴ [eqn: a^2`+`(b-1)^2``≦``1`]

이것을 좌표평면에 나타내면 ②번이다.

19.[출제의도] 산술평균, 기하평균의 관계를 이용하여 최소값을 찾을 수 있다.

창고의 가로의 길이를 [eqn: a``](m), 세로의 길이를 [eqn: b``](m)로 놓으면

창고의 넓이 [eqn: ab=35``](m2)	[eqn: cdots] ㉠

또 벽을 쌓는데 [eqn: 10a+10b``](만원), 칸막이를 쌓는데 [eqn: 4b``](만원)이 필요하므로

창고를 만드는데 필요한 경비는 [eqn: 10a+14b``](만원)이다.

따라서 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

[eqn: 10a+14b`≧`2root{10a․14b}=4root35ab``]	[eqn: cdots] ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: 10a+14b`≧`4root{35․35}=140``](단, 등호는 [eqn: 10a=14b``]일 때 성립)

따라서, 창고를 만들 때의 최소비용은 [eqn: 140``](만원)이다.

20.[출제의도] 함수값을 그래프로 나타낼 수 있다.

햇빛이 지면과 [eqn: 45°``]를 이루므로 평지에서 그림자의 길이는 키의 길이와 같고, 그림자가 계단에 걸칠 때에도  그림처럼 그림자의 길이는 항상 키의 길이와 같음을 알 수 있다.

21.[출제의도] 일차부등식을 이용하여 최대값을 구할 수 있다.

제품 A, B를 각각 [eqn: x``]개, [eqn: y``]개 만든다고 하면

[eqn: x``≧``0``], [eqn: y``≧``0``], [eqn: x + 2y``≦``40``], [eqn: 3x + 2 y``≦``80``]

x

y

40

20

O

P(20,10)

㉠

이므로 이 연립부등식의 영역은 그림의 어두운 부분이다.

이익을 [eqn: k`](만원)이라고 하면

[eqn: 20x`+`30y`=`k``] [eqn: cdots] ㉠

이고 [eqn: k`]가 최대가 되는 경우는 직선 ㉠이 교점[eqn: {rmP}(20`,```10)`]을 지날 때이다.

따라서 [eqn: x`=`20`,~y`=`10`]일 때

최대 이익 [eqn: k`=`20 cdot20`+`30 cdot10`=`700`](만원)

22.[출제의도] 부분집합의 개수를 구할 수 있다.

[eqn: 5`]를 원소로 갖는 [eqn: A`]의 부분집합의 개수는 집합 {1, 2, 3, 4}의 부분집합의 개수와 같으므로

구하는 개수는 [eqn: 2^4`=`16`](개)이다.

23.[출제의도] 복소수가 서로 같을 조건을 이해할 수 있다.

[eqn: (x+y)+(x-y)i=4+2i``]에서

[eqn: x+y=4,``x-y=2`]

연립하여 풀면 [eqn: x=3,``y=1`]

따라서 [eqn: 3x+2y=3cdot3 + 2cdot1 = 11``]

24.[출제의도] 근과 계수의 관계를 이해할 수 있다.

근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha + beta `=`4`],    [eqn: alpha ` beta `=`2`]

∴ [eqn: {alpha^2}over{beta}+{beta^2}over{alpha}`=`{ alpha ^3 + beta ^3} over { alpha ` beta }`][eqn: `=`{( alpha + beta )^3 - 3` alpha ` beta `( alpha + beta )} over { alpha ` beta }`]

[eqn: `=`{4^3 - 3 cdot 2 cdot 4} over 2`][eqn: `=`20`]

25.[출제의도] 원의 방정식을 구할 수 있다.

[eqn: rm angle AOB=90DEG``]이므로 선분 [eqn: rmAB``]는 외접원의 지름이다.

[eqn: rm bar AB =10``]이고 원의 중심은 [eqn: rmC(4,3)``]이므로

x

y

O

A

B

C

(4,3)

원의 방정식은

[eqn: (x-4)^2 +(y-3)^2 =5^2``]

이 식을 정리하면

[eqn: x^2 +y^2 -8x -6y=0``]

∴ [eqn: a+b+c=(-8)+(-6)+0=-14``]

26.[출제의도]  제한변역이 있는 경우 이차함수의 최대값을 구할 수 있다.

[eqn: x^2`-5x+4``=`0`]에서 [eqn: (x`-`1)(x`-`4)`=`0`]이므로 [eqn: x`=`1`,``4`]

∴ [eqn: rmA(0`,``4)`,~B(1`,``0)`,~C(4`,``0)`]

점[eqn: {rmP}(a`,``b)`]는 곡선 위의 점이므로 [eqn: b`=`a^2`-`5a`+`4`]를 대입하면

[eqn: 5a+b+1=5a+a^2`-5a+4+1``][eqn: =a^2`+5``]

[eqn: 0`≦`a`≦`4``]이므로 구하는 최대값은 [eqn: a=4] 일 때  [eqn: 21``] 이다.

27.[출제의도] 연립방정식을 세우고 풀 수 있다.

볼록렌즈, 오목렌즈, 도수가 없는 렌즈의 개수를 각각 [eqn: x,~ y,~ z] 라 하면

[eqn: x+y+z`=`240``]	[eqn: cdots] ㉠

[eqn: y=x+20``]	[eqn: cdots] ㉡

[eqn: 2500x+2000y+1000z=470000``]	[eqn: cdots] ㉢

㉢을 간단히 하면 [eqn: 5x+4y+2z=940``]  [eqn: cdots] ㉣

㉡을 ㉠에 대입하면 [eqn: 2x+z=220``]	[eqn: cdots] ㉤

㉡을 ㉣에 대입하면 [eqn: 9x+2z=860``]	[eqn: cdots] ㉥

㉤과 ㉥을 연립하여 풀면 [eqn: x=84``]

∴ [eqn: y=104``], [eqn: z=52``]

따라서 도수가 없는 렌즈의 개수는 [eqn: 52``]개

28.[출제의도] 연립방정식을 세우고 풀 수 있다.

[eqn: rmA,``B,``AB,``O``]형인 학생의 수를 각각 [eqn: x``], [eqn: y``], [eqn: z``], [eqn: w``]라 하면

[eqn: y+w=25``]	[eqn: cdots] ㉠

[eqn: x+w=20``]	[eqn: cdots] ㉡

[eqn: z+w=20``]	[eqn: cdots] ㉢

[eqn: x+y+z+w=35``]	[eqn: cdots] ㉣

㉠+㉡+㉢에서 [eqn: (x+y+z+w)+2w=65``]

㉣을 이 식에 대입하면 [eqn: 2w=30``]

∴ [eqn: w=15``]

따라서 O형인 학생의 수는 [eqn: 15``]명이다.

29.[출제의도] 평행이동을 이해하고 두 직선 사이의 거리를 구할 수 있다.

두 정사각형의 한 변의 길이는 1이므로

그림과 같이 두 꼭지점 C와 R은 각각 직선

[eqn: 4(x-1)-3(y+1)+11=0``]

[eqn: 4(x+1)-3(y-1)-18=0``]

즉, [eqn: 4x-3y+4=0``]과 [eqn: 4x-3y-11=0``]위를 움직이게 된다. 이때, 구하는 최소거리는 두 평행한 직선[eqn: 4x-3y+4=0``]과

[eqn: 4x-3y-11=0``] 사이의 거리와 같다.

따라서, 구하는 거리는 직선 [eqn: 4x-3y+4=0``]위의 점 [eqn: (-1`,``0`)``]에서 직선 [eqn: 4x-3y-11=0``]까지의 거리 [eqn: d`]와 같으므로

[eqn: d`=`{ vert -4-11 vert } over {root{4^2 + (-3)^2}} `=`3``]

30.[출제의도] 삼각방정식을 풀 수 있다.

[eqn: 2cos {x}over3`=`1``]에서 [eqn: cos {x}over3`=`1over2``]이므로

[eqn: {x}over3`={pi}over{3}``] 또는 [eqn: {5pi}over{3}``]

∴ [eqn: x`=`pi``] 또는 [eqn: 5pi``]

따라서,

[eqn: rmbarPQ `=`5pi-pi=4pi=4×3.14``]

[eqn: =12.56``]