• 2교시 수리 영역 •

‘가’형 정답

1	③	2	①	3	⑤	4	④	5	③
6	②	7	②	8	④	9	①	10	①
11	③	12	⑤	13	①	14	③	15	④
16	②	17	④	18	25	19	13	20	80
21	14	22	8	23	649	24	3	25	35
미분과적분
26	③	27	①	28	⑤	29	①	30	9
확률과통계
26	③	27	④	28	①	29	⑤	30	110
이산수학
26	③	27	⑤	28	①	29	④	30	32

해 설

1. [출제의도] 주어진 지수 식을 간단히 계산 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 8 ^{- {1} over {2}} TIMES sqrt {2 ^{5}} & =(2 ^{3} ) ^{- {1} over {2}} TIMES 2 ^{{5} over {2}} & =2 ^{- {3} over {2} + {5} over {2}} & =2]

2. [출제의도] 행렬의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A-B````=``` {pmatrix{3&```5#-4&```2}} ~~ CDOTS ~~①], [eqn: 2A+B`=` {pmatrix{6&```-2#1&``````4}} ```````` CDOTS ```````②]
①+②를 하면
[eqn: 3A= {pmatrix{`````9````&`3#-3```````&6}}], [eqn: THEREFORE ~`A= {pmatrix{3``&1#-1`````````&`2}}]
[eqn: B= {pmatrix{```3``&`1#-1```````&`2}} - {pmatrix{````````3``&``5#-4``&``2}} = {pmatrix{0````&-4#3```&``````0}} `]
따라서 행렬 [eqn: B`]의 모든 성분의 합은 [eqn: -1`]이다.

3. [출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f` prime (0) & = & lim _{h -> 0} {} ` {f(h)-f(0)} over {h} = lim _{h -> 0} {} ` {2h+h ^{2} sin {1} over {h}} over {h}# # & = & lim _{h -> 0} {`} LEFT ( 2+h`sin {1} over {h} RIGHT ) =2]

4. [출제의도] 분수방정식에서 무연근의 의미를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 분수방정식에서 양변에 [eqn: x ^{2`} -1~]곱하여 정리하면 이차방정식 [eqn: x^2 +kx-k-3=0]을 얻는다. 이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지므로 그 중 한 근은 무연근이어야 한다.
(ⅰ) [eqn: x=1]일 때;
[eqn: x=1]을 이차방정식에 대입하면 [eqn: 1+k-k-3=0], [eqn: -2 !=0]이므로 성립하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: x=-1]일 때;
[eqn: x=-1]을 이차방정식에 대입하면  [eqn: 1-k-k-3=0]이다. 따라서 [eqn: k=-1]이다,
[eqn: k=-1]을 이차방정식 [eqn: x^2 +kx-k-3=0]에 대입하면 방정식  [eqn: x^2 -x-2=0]을 얻고  [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=2]의 해를 갖는다. [eqn: therefore][eqn: alpha=2]
(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: k+alpha=(-1)+2][eqn: =1]이다.

5. [출제의도] 주어진 분수부등식의 해를 그래프를 이용하여 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: {f(x)} over {x ^{2} -x-2} <= 0`] ⇔ [eqn: {f(x)} over {(x-1)(x+2)} <= 0`]

(i) [eqn: f(x) >= 0], [eqn: (x+1)(x-2)<0`]
[eqn: f(x) >= 0``RARROW `x <= - 9 over 2 ,``- 1 over 2 ` <= x <= ` 1 over 2 ,``x >= ` 9 over 2 ```cdots```①]
[eqn: (x+1)(x-2)<0```` RARROW ````-1<x<2`cdots②]
①，②를 동시에 만족시키는 [eqn: x`]의 범위는 [eqn: -{1 } over {2 } <=x <= 1 over 2]
∴ 정수해는 [eqn: 0]이다.   ∴ [eqn: 1]개.
(ii) [eqn: f(x) <= 0,~(x+1)(x-2)>0]
[eqn: f(x)<=0``` RARROW ``- {9} over {2} <=x<=- {1} over {2} ,``` {1} over {2} <=x<=` {9} over {2} ``` CDOTS ```③]
[eqn: (x+1)(x-2)>0```` RARROW ````x<`-1,```x>2``cdots④]
③, ④의 공통부분의 범위는 [eqn: - {9} over {2} <= x<`-1,```2< x <= {9} over {2}]
∴ 정수의 해는 [eqn: -4,`-3,`-2,`3,`4`]이다. ∴ [eqn: 5`]개
i), ii)에 의해 정수해의 개수는 [eqn: 6`]개이다.

6. [출제의도] 타원의 임의의 접선의 방정식과 타원의 두 초점까지의 거리의 곱은 항상 일정함을 확인하는 문제이다.

(ⅰ) 점 [eqn: \P]가 [eqn: x`]축 위에 있을 때 ;
[eqn: alpha beta = LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {2} +1 RIGHT ) =1]
(ⅱ) 점 [eqn: \P]가 [eqn: x`]축 위에 있지 않을 때 ;
타원 위의 점 [eqn: \P]에서 접선의 기울기를 [eqn: m]이라고 하면 타원의 접선의 방정식은 [eqn: y=mx+- root {2m^2 +1}]이다. 두 초점 [eqn: (-1,``0)], [eqn: (1,``0)]에서 접선까지의 거리를 각각 구하면
[eqn: alpha `= {LEFT | -m+- sqrt {2m ^{2} +1} RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}}], [eqn: beta `= {LEFT | m+- sqrt {2m ^{2} +1} RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}}]
이때, [eqn: alpha`beta][eqn: `= {LEFT | -m+- sqrt {2m ^{2} +1} RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}}][eqn: {LEFT | m+- sqrt {2m ^{2} +1} RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}}][eqn: =1]이다.
따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: beta `=`1 over alpha]의 관계를 나타나는 그래프의 개형은 ②이다.

7. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm A(0,1)], [eqn: rm B it left( alpha ,``a ^{alpha } right)], [eqn: rm C left( it beta ,``b ^{- beta } right)]라 하면
ㄱ. [eqn: f( sqrt {3} )> rm g(- sqrt {3} )]이므로 성립              ∴ 참
ㄴ. AB의 기울기: [eqn: { a^alpha -1 }over alpha], AC의 기울기 : [eqn: {b^-beta -1 } over beta]
그런데, [eqn: {dmatrix{{a ^{alpha } -1} over {alpha }}} ```>`` {dmatrix{{b ^{- beta } -1} over {beta }}}]
[eqn: RARROW ```` {a ^{alpha } -1} over { vert alpha vert }} ```>`` { b^{- beta } -1} over { vert beta vert }]
[eqn: RARROW ```` LEFT | ` beta ` RIGHT | LEFT ( a ^{alpha } -1 RIGHT ) ```>`` LEFT ( b ^{- beta } -1 RIGHT ) LEFT | ` alpha ` RIGHT |]
[eqn: RARROW ```````` LEFT | `beta `` RIGHT | `a ^{alpha } `- LEFT | `alpha ` RIGHT | ` LEFT ( {1} over {b} RIGHT ) ^{beta } ```>` LEFT | `beta `` RIGHT | `- LEFT | `alpha ` RIGHT | `]        ∴ 참
ㄷ. [eqn: 1 over 3` alpha + {2} over {3} ` beta `]는 두 점 [eqn: ( alpha ,``0),`( beta ,``0)]를 [eqn: 2`:`1]로 내분하는 점의 [eqn: x`]좌표이다.

그림에서 [eqn: rm bar{PQ} < bar{PR} `]이므로
[eqn: rm g` left ( it {1} over {3} alpha ``+ {2} over {3} beta right )``<` {1} over {3} rm g it ( alpha )+ {2} over {3} rm g it ( beta )`]
∴ 거짓

[eqn: y= rm g it LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rm A` LEFT ( 0,``1 RIGHT )]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f it LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: y=k]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: sqrt {3}]

[eqn: - sqrt {3}]

[eqn: y= rm g it LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm R]

[eqn: rm Q]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: t]

[eqn: 2t]

[eqn: rm P]

8. [출제의도] 조건부확률의 개념을 이해하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주민등록번호로 인증을 받아 점심식사를 한 학생은 [eqn: 140`]명이고 이 중에서 [eqn: 3`]학년 학생은 [eqn: 84`]명이므로 구하는 확률은 [eqn: {84} over {140} = {3} over {5}]이다.

9. [출제의도] 함수의 연속에 관한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. ① [eqn: lim _{x -> 1+0} {`` rm g it LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}][eqn: = lim _{t -> `1-0} {`` rm g it LEFT ( `t RIGHT ) `}][eqn: =-2]
② [eqn: lim _{x -> 1-0} {`` rm g it LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}][eqn: = lim _{t -> `-1+0} {`` rm g it LEFT ( `t RIGHT ) `}][eqn: =-2]
[eqn: lim _{x -> 1+0} {`` rm g it LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}][eqn: = lim _{x -> 1-0} {`` rm g it LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}]이므로 [eqn: x=1] 에서
극한값이 존재한다.                     ∴ 참
ㄴ. ①[eqn: lim _{x -> +0} {``f LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}][eqn: = lim _{t -> 1-0} {``f LEFT ( `t RIGHT ) `} =-1],
②[eqn: lim _{x -> -0} {``f LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}][eqn: = lim _{t -> -1+0} {``f LEFT ( `t RIGHT ) `} =0] 이므로,

[eqn: x=0]에서 극한값이 존재하지 않으므로 불연속이다.
[eqn: therefore] 거짓
ㄷ. (반례)
①[eqn: lim _{x -> - {1} over {2} +0} {``f LEFT ( ` rm g LEFT ( it x RIGHT ) ` RIGHT ) `}][eqn: = lim _{t -> +0} {``f LEFT ( `t RIGHT ) `} =1]
②[eqn: lim _{x -> -{1} over {2} -0} {``f LEFT ( ` rm g it LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}][eqn: = lim _{t -> -0} {``f LEFT ( `t RIGHT ) `} =-1]
[eqn: therefore] [eqn: lim _{x -> -{1} over {2} +0} {``f LEFT ( ` rm g it LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}][eqn: != lim _{x -> - {1} over {2} -0} {``f LEFT ( ` rm g it LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT ) `}]
[eqn: x=- {1} over {2}]에서 불연속이다.               [eqn: therefore] 거짓

10. [출제의도] 절대부등식의 성질을 이용하여 연역적인 추론을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 실수 [eqn: x,~y`]에 대하여 [eqn: xy <= {1} over {4} LEFT ( x+y RIGHT ) ^{2} `]이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k} `b _{k}} over {a _{k} +b _{k}} <= sum _{k=1} ^{n} {{1} over {4} LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT ) ^{2}} over {a _{k} +b _{k}} = {1} over {4} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT ) = {1} over {2} sum _{k=1} ^{n} a _{k}]
이므로 (가) [eqn: {1} over {4} ` LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT )]   (나) [eqn: `a _{k}]  (다) [eqn: {1} over {2}]

11. [출제의도] 도함수의 정의를 이용하여 도함수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ.  [eqn: f` prime (x) & = lim _{h -> 0} {} {f(x+h)-f(x)} over {h} = lim _{h -> 0} {} {-f(-x-h)+f(-x)} over {h}# # & = lim _{h -> 0} {} {f(-x-h)-f(-x)} over {-h} =f` prime (-x)~~~~~~~~ THEREFORE ``참]
ㄴ. [eqn: |f(0)|<=M cdot 0^2 =0]에서 [eqn: f(0)=0]이다. 따라서,
[eqn: | f prime (0) | & = & lim _{h -> 0} {} LEFT | {f(h)-f(0)} over {h} RIGHT | = lim _{h -> 0} {} LEFT | {f(h)} over {h} RIGHT |# # & <= & lim _{h -> 0} {} {M``h ^{2}} over {|h|} = lim _{h -> 0} {} M``|h|=0]
[eqn: THEREFORE ````f` prime (0)=0`]                                   [eqn: THEREFORE] 참
ㄷ. (반례) [eqn: f(x)= cases{x+1&(x>0)#0&(x=0)#x-1&(x<0)}]는
[eqn: lim _{h` -> `0} {} LEFT { {f(0+h)+f(0-h)-2f(0)} over {h} RIGHT } =0]
이지만 [eqn: x=0]에서 불연속이므로 미분가능하지 않다.
[eqn: THEREFORE ````거짓]

12. [출제의도] 주어진 정의를 이해하고 복소수의 연산과 행렬의 곱셈에 대한 성질을 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

복소수 [eqn: z _{1} =a+bi,`z _{2} =c+di`(a,~b,~c,````d``]는 실수)라 하면
[eqn: z_1 + z_2 = (a+c)+(b+d)i], [eqn: z_1 z_2 = (ac -bd)+(ad+bc)i]이므로
ㄱ. [eqn: M(z _{1} +z _{2} )= {pmatrix{a+c&```-(b+d)#b+d&``````````a+c}}]
[eqn: M(z _{1} )+M(z _{2} ) & = pmatrix{a&``-b#b``&``````a} + pmatrix{c```&-d#d&````c} & = pmatrix{a+c```&-(b+d)#b+d&``````a+c}]
이므로 [eqn: M LEFT ( z _{1} RIGHT ) +M LEFT ( z _{2} RIGHT ) =M(z _{1} +z _{2} )]이다.        ∴ 참
ㄴ.  [eqn: M(z _{1} )M(z _{2} ) & = pmatrix{a&``-b#b``&``````a} pmatrix{c```&-d#d&````c} = pmatrix{ac-bd```&`````-(ad+bc)#ad+bc&```````````ac-bd}# # & =M(z _{1} z _{2} )~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ THEREFORE 참]
ㄷ. [eqn: "{"M(z)"} " ^{3} =M LEFT ( z ^{3} RIGHT ) =E`]을 만족하는 복소수 [eqn: z`]는 [eqn: z^3 =1]인 [eqn: z]를 구하면 된다.
[eqn: z^3 -1 = (z-1)(z^2 +z+1)=0]
이므로 [eqn: z=1,````z= {-1± sqrt {3} i} over {2}]이다.
따라서 허수 [eqn: z= {-1± sqrt {3} i} over {2}]이 존재한다.    [eqn: THEREFORE ~]참

13. [출제의도] 도형의 닮음비를 이용하여 점화관계를 찾아 해결하는 문제이다.

[eqn: rm TRIANGLE P _{1} AD∾� TRIANGLE P _{1} CB]이고 닮음비가 [eqn: 2``:``3`]이므로
[eqn: rm bar DP_1 ``: `bar {P_1 B }= 2``:``3]이고 [eqn: rm bar { P_1 Q_1 } ⫽ barBC]이므로
[eqn: rm bar P_1 Q_1 } ``:`` bar BC = bar{DP_1 } ``:``bar DB ~ ```RARROW ```it`x_1 ``:``3``=``2``:``5] [eqn: THEREFORE ``x_1 = 6 over 5]

[eqn: x _{n+1} ``:``x _{n} ``=`` rm bar{DP _{it n+1 rm}} ``:`` bar{DP _{it n rm}} ` it =2``:``(2+x _{n} )]
[eqn: 2x _{n} =x _{n+1} (2+x _{n} )``` RARROW ```x _{n+1} CDOT x _{n} =2(x _{n} -x _{n+1} )]
[eqn: S_n = Sum_k=1^n x_k x_k+1 = 2 Sum_k=1^n (x_k - x_ k+1 )=2 (x_1 - x_n+1 )]
[eqn: Sum_n=1^inf x_n x_n+1 = lim_n->inf S_n = 2 x_1 = 2 times 6 over 5 = 12 over 5]

[eqn: rm A]

[eqn: rm D]

[eqn: rmQ_{it n}]

[eqn: rmP_{it n}]

[eqn: rmP_{it n+1}]

[eqn: rm Q_{it n+1}]

[eqn: x_n]

[eqn: x_n+1]

[eqn: 2]

14. [출제의도] 무한등비급수의 합 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm O]

[eqn: 1-r]

[eqn: 1over 2 +r]

[eqn: 1over 2]

원 [eqn: rm O,] [eqn: A _{1} ,~B _{1} ``]의 중심을 각각 [eqn: rm O,~ A,~B``]라 하면 [eqn: R_1]의 내부의 큰 원의 반지름은 [eqn: 1 over 2]이고, 작은 원의 반지름을 [eqn: r]이라 하면
[eqn: left( 1 over 2 +r right)^2 = left( 1over 2 right)^2 + (1-r)^2]
이므로 [eqn: r = 1 over 3]이다. 작은 원의 반지름의 길이가 [eqn: 1 over 3]이다. 따라서 [eqn: R_1]의 어두운 부분의 넓이는 [eqn: {13} over {18} pi `]이다. 넓이의 합 [eqn: S _{n} ``]은 공비가 [eqn: 13 over 18]인 등비수열이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {{13} over {18} pi } over {1- {13} over {18}} = {13} over {5} pi]이다.

15. [출제의도] 주어진 상황을 이해하고 순열을 이용하여 경우의 수를 구하는 문제이다.

(  )를 제외한 나머지의 공의 색에 새겨진 수를 주어진 규칙에 따라 계산해 보면 [eqn: 13+5+9-13+11+13=38]이다. (  )부분과의 합이 [eqn: 57`]이 되기 위해서는 [eqn: 19``]를 더해야 된다. [eqn: 3`]개의 (  )안의 수를 계산하면 [eqn: 19`]가 되어야 한다. 이와 같은 결과를 얻기 위해서는 같은 공이 두 번 나오고 나머지 하나의 공이 남색 공이 나와야 한다.
①　남색 공이 아닌 공이 두 번 나오고 남색 공이 한　번     나오는 경우 : [eqn: {} _{6} rm C _{1} TIMES {3!} over {2!} =18] (가지)
②　남색 공이 세　번 나오는 경우 : [eqn: 1`](가지)

③ 남색이 나오지 않는 경우 : [eqn: 0](가지)
따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 18+1=19`](가지)이다.

16. [출제의도] 독립시행의 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

한 번의 시행에서 한 개의 공이 [eqn: rm A,~B,~C`] [eqn: 3`]개의 상자 중 어느 하나에 들어가는 사건 [eqn: X`]가 일어날 확률은  [eqn: {1} over {2} `]이다. [eqn: 10``]회의 독립시행에서 사건 [eqn: X`]가 [eqn: 4`]회 일어날 확률은 [eqn: rm _{10} {rmC} _{4} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} = {210} over {2 ^{10}} = {105} over {512}]이다.

17. [출제의도] 표본평균 [eqn: bar{X``} `]의 분포와 [eqn: X`]의 분포의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

비누 [eqn: 1``]개의 무게에 대한 확률변수 [eqn: X`]가 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( it m,~ sigma ^{2} RIGHT ) `]을 따른다고 하자. 비누를 [eqn: 4`]개씩 묶은 제품의 무게의 평균 [eqn: bar{X it ``} `]는 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( it m,~ LEFT ( {sigma } over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT ) `]을 따른다. 따라서 [eqn: rm P LEFT ( it bar{X``} <100 RIGHT ) =0.001`]이므로
[eqn: rm P LEFT ( it bar{X``} <100 RIGHT ) & = & rm P LEFT ( it Z< {100-m} over {{sigma } over {2}} RIGHT ) = rm P LEFT ( it Z< {2 LEFT ( 100-m RIGHT )} over {sigma } RIGHT )# & = & 0.5- rm P LEFT ( it 0<Z<`- {2 LEFT ( 100-m RIGHT )} over {sigma } RIGHT ) =0.001``]
이다. 따라서 [eqn: rm P LEFT ( it 0<Z<`- {2 LEFT ( 100-m RIGHT )} over {sigma } RIGHT ) =0.499`]이므로
[eqn: - {2 LEFT ( 100-m RIGHT )} over {sigma } =3]이다. 즉, [eqn: {100-m} over {sigma } =-1.5`]이다. 그러므로 비누 [eqn: 1`]개를 검사했을 때 불량품으로 판정될 확률은 다음과 같다.
[eqn: rm P LEFT ( it X<100 RIGHT ) & = & rm P LEFT ( it Z< {100-m} over {sigma } RIGHT ) = rm P LEFT ( it Z<`-1.5 RIGHT )# & = & 0.5- rm P LEFT ( it 0<Z<1.5 RIGHT ) =0.5-0.433# & `= & 0.067`]
따라서 구하는 확률은 [eqn: 0.067`]이다.

18. [출제의도] 정적분의 정의를 이용하여 주기함수의 적분을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{`n -> ` INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 10+ {2k} over {n} RIGHT ) & = & {1} over {2} int _{10} ^{12} {} f(x)dx & = & {1} over {2} int _{-1} ^{````1} {} f(x)dx]
[eqn: ```````( BECAUSE ````f(x+2)=f(x))]에서 구하는 값은 다음과 같다.
[eqn: {1} over {2} int _{-1} ^{````1} {} (30x ^{2} +15)dx= int _{0} ^{1} {LEFT ( 30x ^{2} +15 RIGHT ) dx} =25]

19. [출제의도] 평행이동시킨 벡터를 찾아 벡터의 내적계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: \AD]의 중점을 [eqn: \S]라 하자.
[eqn: vec{rm `NM it} = vec {rm SP}]이고, [eqn: triangle][eqn: rmSPQ]는
정삼각형이므로
[eqn: LEFT | vec{rm PQ it} + {1} over {2} vec{rm `NM it} RIGHT | ^{2}]
[eqn: = LEFT | vec{rm PQ it} + {1} over {2} vec{rm `SP it} RIGHT | ^{2}]
[eqn: = LEFT | vec{rm PQ it} RIGHT | ^{2} + LEFT | vec{rm PQ it} RIGHT | LEFT | vec{rm SP it} RIGHT | cos120DEG+ {1} over {4} LEFT | vec{rm SP it} RIGHT | ^{2}]
[eqn: =( sqrt {3} ) ^{2} + sqrt {3} CDOT sqrt {3} ` CDOT LEFT ( - {1} over {2} ` RIGHT ) + {1} over {4} ( sqrt {3} ) ^{2}][eqn: = 9 over4]
따라서 [eqn: LEFT | vec{rm PQ it} + {1} over {2} vec{rm `SP it} RIGHT | ^{} =][eqn: {3} over {2}]이므로 [eqn: a^2 +b^2 =13]이다.

20. [출제의도] 두 곡선으로 둘러싸인 부분을 회전시킨 회전체의 부피를 묻는 문제이다.

두 원 [eqn: x ^{2} +(y-2) ^{2} =4,~(x-2) ^{2} +y ^{2} =4]으로 둘러싸인 어두운 부분은 [eqn: y=2- sqrt {4-x ^{2}}], [eqn: y= sqrt {4-(x-2) ^{2}}]으로 둘러싸인 부분과 같으므로
[eqn: & & int _{0} ^{2} {} pi LEFT { (-x ^{2} +4x)-(-x ^{2} +8-4 sqrt {4-x ^{2}} ) RIGHT } dx# & = & pi int _{0} ^{2} {} LEFT { 4x-8+4 sqrt {4-x ^{2}} RIGHT } dx# & = & pi LEFT { int _{0} ^{2} {(4x-8)dx} +4 int _{0} ^{2} {sqrt {4-x ^{2}} dx} RIGHT } =`-8 pi +4 pi ^{2}]
따라서 [eqn: p=-8,``q=4]에서 [eqn: p ^{2} +q ^{2} =80]이다.

21. [출제의도] 법선벡터가 정해진 평면과 공간도형이 교점이 가지는 경우를 이해할 수 있는지 문제이다.

평면 [eqn: alpha]가 각 꼭짓점과 만나기 위한 [eqn: k]의 값을 구하자.
[eqn: f(x,y,z)=2x+y-z-k]라 하면
[eqn: f( rm P it )=-k-1=0]	[eqn: THEREFORE ````k=-1]
[eqn: f( rm A) it =-k-5=0`]	[eqn: THEREFORE ````k=-5]
[eqn: f( rm B it )=-k+2=0]	[eqn: THEREFORE ````k=2]
[eqn: f( rm C it )=-k+9=0]	[eqn: THEREFORE ````k=9]
[eqn: f( rm D it )=-k-2=0]	[eqn: THEREFORE ````k=-2]
이다. 따라서 사각뿔 [eqn: rm P-ABCD]와 평면 [eqn: alpha `]가 이 만나기 위한 [eqn: k]의 범위를 구하면 [eqn: -5 <= `k` <= 9]이므로
[eqn: b-a=9-(-5)=14]이다.

22. [출제의도] 구에서 접선의 길이를 이용하여 쌍곡선의 정의를 유도할 수 있는지를 묻는 문제이다.

[eqn: \F_1]과 [eqn: \Q]는 구의 밖의 한 점 [eqn: \P]에서 그은 접점이므로
[eqn: rm bar{ PF} _{1} =bar{PQ}]
이다. 마찬가지로
[eqn: rm bar{PF} _{2} =bar{PR}]
이므로,
[eqn: rm ` LEFT | bar{PF _{1}} - bar{PF _{2}} RIGHT | `` rm & = & rm ` LEFT | bar{PQ} - bar{PR} RIGHT | ` rm & = & bar{QR}]
이다. 따라서
[eqn: {1} over {2} rm bar{QR} ``:3=8:6]
이므로 [eqn: rm `barQR =8]이다.

23 [출제의도] 로그함수의 그래프를 이해하고 격자점의 개수를 이용하여 확률을 구하는 문제이다.

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[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

주어진 영역 안에 있는 격자점의 개수는 15개이다.
[eqn: (k,````a _{k} )]의 모든 점이 영역 안에 존재하려면
[eqn: k=1]일 때는 5개의 점 중에서 1가지
[eqn: k=2]일 때는 5개의 점 중에서 2가지
⋮
[eqn: k=5]일 때는 5개의 점 중에서 5가지
이다. [eqn: (k,````a _{k} )]의 점이 영역 안에 들어가기 위한 각각의 경우에 대한 확률은
[eqn: rm P LEFT ( it k=m RIGHT ) = {m} over {5}]  ([eqn: m=1,~2,~3,~4,~5])
이다. 따라서 구하는 확률은 [eqn: {5} over {5} TIMES {4} over {5} TIMES {3} over {5} TIMES {2} over {5} TIMES {1} over {5} = {24} over {625}]이므로 [eqn: a+b=625+24=649]이다.

24. [출제의도] 구의 내접 외접 성질과 코사인제이법칙을 이용하여 공간도형에서의 정사영 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm A,~B,~C`]를 평면 [eqn: alpha] 위로 정사영시킨 점을 각각 [eqn: rm A prime ,~B prime ,~C prime `]라 하자. 또한, 점 [eqn: rm A]를 선분 [eqn: rm BB`` prime], 선분[eqn: rm CC`` prime]위로 정사영시킨 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm R]이라 하고, 점 [eqn: rm B]를 선분 [eqn: rm CC`` prime]위로 정사영시킨 점을 [eqn: rm Q]라고 할 때, 세 개의 구가 서로 외접하므로
[eqn: AB=2+4=6],
[eqn: BC=4+8 =12],
[eqn: CA=8+2=10]

이다. 세 구가 평면 [eqn: alpha]위에 있으므로
[eqn: rm BP=4-2=2],
[eqn: rm CQ=8-4=4],
[eqn: rm CR=8-2=6]
이다. 피타고라스 정리에 의해
[eqn: rm A prime B`` prime =AP= sqrt {6 ^{2} -2 ^{2}} =4 sqrt {2}]
[eqn: rm B` prime C`` prime =BQ= sqrt {12 ^{2} -4 ^{2}} =8 sqrt {2}]
[eqn: rm C`` prime A` prime =RA= sqrt {10 ^{2} -6 ^{2}} =8]

이다. 제이코사인법칙에 의해
[eqn: cos rm B= {6 ^{2} +12 ^{2} -10 & ^{2}} over {2 CDOT 6 CDOT 12} = {5} over {9}]
[eqn: cos rm B`` prime = {(4 sqrt {2} ) ^{2} +(8 sqrt {2} ) ^{2} -8 ^{2}} over {2 CDOT (4 sqrt {2} ) CDOT (8 sqrt {2} )} =][eqn: 3 over4]
[eqn: rm TRIANGLE ABC= {1} over {2} CDOT 6 CDOT 12 CDOT sqrt {1- LEFT ( {5} over {9} RIGHT ) ^{2}} =8 sqrt {14}]
[eqn: rm TRIANGLE A'B'C'= {1} over {2} CDOT (4 sqrt {2} ) CDOT (8 sqrt {2} ) CDOT sqrt {1- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2}} =8 sqrt {7}]
[eqn: therefore] [eqn: cos theta = {8 root7} over {8 root 14} = 1 over2 root2]
따라서 [eqn: a=1 ,``` b=2]이므로 [eqn: a+b=3]이다.

25. [출제의도] 공간에서 직선, 평면, 구 사이의 관계를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다

[eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm BQ it}``][eqn: =][eqn: LEFT | vec{rm AP it} RIGHT | LEFT | vec{rm BQ it} ` RIGHT | `cos theta]이고, [eqn: LEFT | vec{rm AP it} RIGHT | =][eqn: 3 over2], [eqn: LEFT | vec{rm BQ it} RIGHT | =][eqn: {3root3} over2]
이므로 두 벡터가 이루는 각 [eqn: theta]에 의하여 최댓값과 최솟값이 결정된다. 최댓값은 원 [eqn: S``]에서 [eqn: \P]와 [eqn: rm Q]가 서로 만날 때, 최솟값은 원 [eqn: S``]에의 지름의 양끝 점에서 두 벡터의 종점이 위치할 때의 값이다. 두 구의 중심 [eqn: \A]와 [eqn: \B]사이의 거리는[eqn: root {(3-2)^2 + (3-1)^2 +(1+1)^2 }=3]이고
[eqn: rm | vec{AP} |= {3} over {2}], [eqn: rm | vec{BQ} |= {3 sqrt {3}} over {2}]
이므로, 내적의 최댓값은
두 벡터가 이루는 각의 크기가 [eqn: {pi } over {2}]일 때로 [eqn: 0`]이고, 내적의 최솟값은 두 벡터가 이루는 각의 크기가 [eqn: {5} over {6} pi]일 때로
[eqn: vec{rm AP it} BULLET vec{rm BQ it} `` & = & LEFT | vec{rm AP it} RIGHT | LEFT | vec{rm BQ it} ` RIGHT | `cos theta # # &=& {3} over {2} CDOT {3 sqrt {3}} over {2} CDOT LEFT ( - {sqrt {3}} over {2} RIGHT )# # & = & - {27} over {8}]
이므로 [eqn: M-m=0- LEFT ( - {27} over {8} RIGHT ) = {27} over {8} `]이다. [eqn: THEREFORE `a+b=35]

(미분과적분)

26. [출제의도] 삼각방정식의 특수해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2(1-sin ^{2} `2x)-1 & = & 2cos ^{2} `2x-1 & = & 2sinx`cosx & = & sin2x]
에서
[eqn: sin2x=`-1] 또는 [eqn: 1over 2].
[eqn: sin2x=`-1]에서 [eqn: x= pi - {pi } over {4}]
[eqn: sin2x= 1 over2]에서 [eqn: x= {pi } over {12} ,~ {pi } over {2} - {pi } over {12}].
이므로 모든 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: {5} over {4} pi]이다.

27. [출제의도] 적분과 미분 사이의 관계를 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S(t)= int _{0} ^{t} {} 2x LEFT { f(t)-f(x) RIGHT } dx# ```````````````=f(t) int _{0} ^{t} {} 2xdx- int _{0} ^{t} {} 2xf(x)dx]
에서

[eqn: S`` prime (t)=t ^{2} f` prime (t)`+2t`f(t)-2t`f(t)=t ^{2} `f` prime (t)]
한편, [eqn: f` prime (x)=e ^{x} sin {pi } over {2} x+ {pi } over {2} e ^{x} cos {pi } over {2} x`]이므로
[eqn: S`prime(2)=4 f`prime(2)=-2pi e^2]

28. [출제의도] 도함수와 운동하는 물체 사이의 관계를 파악할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: t=a _{3},~a_9]에서 원점을 지난다.             [eqn: THEREFORE ````참]

ㄴ. [eqn: x`prime(t)]의 부호가 바뀌는 시각은 [eqn: t=a_2 ,~a_4 ,~a_6 ,~a_8]로      운동방향은 4번 바뀐다.                   [eqn: THEREFORE ````참]

ㄷ. 속도 [eqn: x`prime(t)]가 증가하려면 [eqn: x`primeprime(t)>0]이어야 한다.        따라서 속도가 증가하는 구간은
[eqn: LEFT ( a _{1} ,~a _{2} RIGHT ) ,~ LEFT ( a _{2} ,~a _{3} RIGHT ) ,~ LEFT ( a _{5} ,~a _{6} RIGHT ) ,~ LEFT ( a _{6} ,~a _{7} RIGHT ) ,~ LEFT ( a _{9} ,~a _{10} RIGHT )]
이므로 구하는 구간의 개수는 5개이다.     [eqn: THEREFORE ````참]

29. [출제의도] 삼각형의 넓이를 삼각함수를 이용하여 표현하고 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S( theta )= {1} over {2} `cot theta + {1} over {2} `cos theta `]이므로
[eqn: lim_{theta-> {pi over 2 -0}} { 1 over 2 (cot theta +cos theta)} over{theta- piover2} =-1]

30. [출제의도] 매개변수로 표시된 곡선의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {dx} over {dt} =-9sint+9sin9t,`````` {dy} over {dt} =9cost-9cos9t`]이므로
[eqn: sqrt {LEFT ( {dx} over {dt} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {dy} over {dt} RIGHT ) ^{2}} & = & 18 sqrt {{1-cos8t} over {2}} & = & 18sin4t]
따라서,

[eqn: s= int_0^{pi over8} 18 sin4t ` dt = 9 over2]. [eqn: therefore~ 2s=9]

(확률과 통계)

26. [출제의도] 줄기 잎 그림을 이용한 자료해석을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 자료의 개수가 짝수([eqn: N`])개일 때의 중앙값은 [eqn: {N} over {2} `]번째 수와 [eqn: {N+1} over {2} `]번째 수의 평균을 나타낸다. 주어진 자료의 수가 [eqn: 30`]개이므로 [eqn: 15`]번째 자료 [eqn: 27`]과 [eqn: 16`]번째 자료 [eqn: 29`]의 평균이 [eqn: 28`]이므로 중앙값은 [eqn: 28`]이다.  ∴ 참
ㄴ. 최빈값은 [eqn: 36`]이므로 그 개수는 [eqn: 4`]이다.  ∴ 거짓
ㄷ. 이메일을 하루 동안 [eqn: 40`]분 이상 이용하는 사람은 [eqn: 6`]명이므로 구하는 확률은 [eqn: {6} over {30} = {1} over {5} `]이다.     ∴ 참

27. [출제의도] 가중치평균의 정의를 알고 구하는 문제이다.

구하고자 하는 가중치평균을 [eqn: m`]이라 하면
[eqn: m & = & {80 TIMES 4+85 TIMES 6+70 TIMES 6+90 TIMES 3+83 TIMES 2+92+90+100} over {4+6+6+3+2+1+1+1}# # & = & {1968} over {24} =82~(점)]

28. [출제의도] 이항계수의 성질을 이용하여 2개의 조로 분할하는 방법의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

선택된 [eqn: k`` LEFT ( 1<k<n RIGHT ) `]개의 공을 하나의 원기둥에 넣는 순서는 정해져 있으므로 그 방법의 수는 [eqn: 1`]가지이다. 따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: n`]개의 공을 [eqn: 2`]개조 [eqn: rm A,~B`]로 나누는 방법의 수와 같다. 즉,
[eqn: {} _{n} rm C _{1} + it rm _{it n} rm C _{2} +` CDOTS `+ it it rm _{it n} rm C _{it n-1 rm} = it 2 ^{n} -2]
이므로 [eqn: 2 ^{n} -2=254`]가 되기 위한 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 8`]이다.

29. [출제의도] 표본비율의 분포를 통해 집단의 분포의 이해를 묻는 문제이다.

표본비율 [eqn: hat{p} = {4} over {5} =0.8``]이고, [eqn: n hat{p} =80 >= 5,~n hat{q} =20 >= 5``]이므로 표본비율 [eqn: hat{p} ``]의 분포는 근사적으로 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( it 0.8,~ LEFT ( 0.04 RIGHT ) ^{2} RIGHT ) ``]을 따른다. 따라서 구하는 확률은 다음과 같다.
[eqn: rm P LEFT ( it hat{p} >= 0.85 RIGHT ) & = & rm P LEFT ( it Z >= {0.85-0.8} over {0.04} RIGHT ) =P LEFT ( it Z >= 1.25 RIGHT )# & = & 0.5- rm P LEFT ( 0 <= it Z <= 1.25 RIGHT ) =0.5-0.05# & = & 0.45]

30. [출제의도] 모비율의 개념을 알고 정규분포를 이용하여 신뢰구간을 추정할 수 있는가를 묻는 문제이다.

표본비율 [eqn: hat{p} =0.4`]이고, [eqn: n hat{p} =200 GEQ 5,~n hat{q} =300 GEQ 5`]이므로 표본비율 [eqn: hat{p} `]의 분포는 근사적으로 정규분포를 따른다. 따라서 모비율 [eqn: p`]에 대한 신뢰도 [eqn: 99`%`]의 신뢰구간의 양끝 값을 구하면 다음과 같다.
[eqn: hat{p} -2.5 sqrt {{hat{p} hat{q}} over {n}} =0.4-2.5 sqrt {{0.4 TIMES 0.6} over {500}} =0.345]
[eqn: hat{p} +2.5 sqrt {{hat{p} hat{q}} over {n}} =0.4+2.5 sqrt {{0.4 TIMES 0.6} over {500}} =0.455]
따라서 구하는 신뢰구간은 [eqn: LEFT [ 0.345,~0.455 RIGHT ] ``]이다. 따라서 구하는 신뢰구간의 길이 [eqn: l`]은
[eqn: l=0.455-0.345=0.110]
이므로 [eqn: 1000l=110]이다.

(이산수학)

26. [출제의도] 수의 분할을 활용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

같은 종류의 과일 8개를 같은 종류의 3상자에 나누어 넣는 경우이고 빈 상자가 생기는 것을 허용함으로, 8을 3개 이내의 수의 합으로 분할하는 방법의 수와 같다. 실제로,
[eqn: (8)], [eqn: (1,7)], [eqn: (2,6)], [eqn: (3,5)], [eqn: (4,4)],
[eqn: (1,1,6)], [eqn: (1,2,4)],[eqn: (1,3,4)],[eqn: (2,2,4)],[eqn: (2,3,3)]
의 [eqn: 10]가지가 있다.

27. [출제의도] 여러 가지 그래프의 성질을 이해할 수 있는지를 묻는 문제이다.

ㄱ. 주어진 그래프 임의의 두 변을 선택하더라도 꼭짓점에서만 만나도록 그릴 수 있으므로 평면그래프이다. ∴ 참
ㄴ. 각 꼭짓점을 모두 한 번씩만 거쳐 다시 돌아오는 회로가 존재한다. ∴ 참
ㄷ. 수형도는 꼭짓점의 개수보다 변의 개수가 1만큼 적다. 꼭짓점이 7개이므로 수형도가 되려면 변이 6개  있어야 하는 데 그래프의 변이 12개이므로 6개의 변을 제거해야 한다. ∴ 참

28. [출제의도] 최적화 알고리즘을 이해하여 문제를 해결할 수 있는 지를 묻는 문제이다.

작업	A	B	C	D	E	F	G
일수	1	4	2	7	6	3	4
선행	없음	A	B	B	C,D	D	E,F

주어진 표를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

A→G로 가는 모든 경로에 대해 작업 시간을 조사하면 다음과 같다.

* [eqn: rm A `rarrow`B` rarrow`C` rarrow`E` rarrow`G : `` 17]
* [eqn: rm A `rarrow`B` rarrow`D` rarrow`E` rarrow`G : ``22]
* [eqn: rm A `rarrow`B` rarrow`D` rarrow`F` rarrow`G : `` 19]
따라서 모든 작업을 완료하는 데 필요한 최소 시간은 22시간이다.

29. [출제의도] 그래프에서 생성수형도의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

B영역

A영역

e

주어진 그래프는 10개의 꼭짓점을 가지고 있으므로 수형도가 되려면 변이 9개 필요하다. 그러므로 13개의 변 중 9개의 변을 택하면 된다.
여기서, 변 e는 반드시 택해져야 하므로 나머지 12개의 변 중 8개가 선택되어야 한다. 따라서 구하고자 하는 생성수형도의 개수는
[eqn: ` _{12} rm C _{8}]-(4개의 변을 제거할 때, 성립하지 않는 경우의 수)
이다. 4개의 변을 제거하여 생성수형도가 되지 않는 경우는 제거하는 변의 개수에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.
(ⅰ) A에서 0개, B에서 4개 : [eqn: ` _{9} rm C _{4} =126]
(ⅱ) A에서 1개, B에서 3개 :
[eqn: 3 TIMES (7+7+7+6+6+10)=129]
변 4개의 변을 제거해야 한다.
(ⅲ) A에서 2개, B에서 2개 : [eqn: `3 TIMES _9 rmC_2 =108]
(ⅳ) A에서 3개, B에서 1개 : [eqn: `1 TIMES 9=9]
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서의 총합은 [eqn: 372]개이다.
∴ [eqn: ` _{12} rmC _{8} -372=495-372=123]

30. [출제의도] 점화관계를 파악하여 일반항을 구할 수 있는지를 묻는 문제이다.

평면 위에 있는 [eqn: n]개의 원에 대하여 어떤 두 원을 택하더라도 교점이 [eqn: 2`]개이므로,

[eqn: a _{1} =2]       [eqn: a _{2} =a_1 +2]       [eqn: a _{3} =a_2 +4]

이 되고, 일반적으로 [eqn: a _{n+1} =a_n +2n]이 성립한다. 따라서,         [eqn: a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} 2k=2+2 {n(n-1)} over {2} =n ^{2} -n+2]
이므로 [eqn: a _{6`} =32] 이다.

‘나’형 정답

1	③	2	①	3	③	4	③	5	⑤
6	②	7	②	8	④	9	①	10	①
11	②	12	⑤	13	①	14	③	15	④
16	②	17	④	18	58	19	32	20	23
21	12	22	10	23	649	24	128	25	21
26	④	27	②	28	⑤	29	③	30	76

해 설

1. 가형 1번과 동일

2. 가형 2번과 동일

3. [출제의도] 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} `n LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} -n RIGHT ) & = lim _{n -> INF } {} {n(n ^{2} +1-n ^{2} )} over {sqrt {n ^{2} +1} +n} & = {1} over {2}]

4. [출제의도] 지수 [eqn: cdot]로그부등식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: ( rm g it CIRC f)(x)= rm g it (f(x))=log _{2} 3 ^{x}]
[eqn: 0 <= `log _{2} 3 ^{x} <7]
[eqn: RARROW ````log _{2} 1``` <= ```log _{2} 3 ^{x} ```<```log _{2} 2 ^{7}] [eqn: RARROW] [eqn: 1``` <= ``3 ^{x} ``<2 ^{7} =128]
[eqn: RARROW ```0 <= x <= log _{3} 128]
∴ 정수 [eqn: x`]는 [eqn: 0,~1,~2,~3,~4`]이므로 [eqn: 5`]개다.

5. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 등비수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: 6 & =log _{2} {a _{8}} over {a _{5}} =log _{2} {r ^{7}} over {r ^{4}} =log _{2} r ^{3}] [eqn: THEREFORE ````r ^{3} =2 ^{6} ```` RARROW ````r=4]
[eqn: a _{2} +a _{4} =4+4 ^{3} =68]

6. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 주어진 식을 계산할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: {1} over {2} `log _{2} {8} over {5} +log _{2} sqrt {5} & =log _{2} LEFT ( {8} over {5} RIGHT ) ^{{1} over {2}} TIMES 5 ^{{1} over {2}} & =log _{2} 2 ^{{3} over {2}} = {3} over {2}]

7. 가형 7번과 동일

8. 가형 8번과 동일

9. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하는 문제이다.

[eqn: rm g it rm ^{} it (x)=2 ^{x} -1]이므로
ㄱ. [eqn: rm g it (4)=2 ^{4} -1=15]	∴ 참
ㄴ. [eqn: rm g it (a)+ rm g it (b)+1 & =(2 ^{a} -1)+(2 ^{b} -1)+1 & =(2 ^{a} +2 ^{b} )-1]
[eqn: rm g it (ab)=2 ^{ab} -1]이므로 거짓
ㄷ. [eqn: rm A it (a,```log _{2} (a+1)),```` rm B it (b,```log _{2} (b+1))]라 하면 직선 [eqn: rm AB`]의 기울기는 [eqn: {log_2 (b+1 )- log_2 (a+1 )} over b-a]이다.
①　(직선 [eqn: rm AB`]의 기울기)  <  1일 때
[eqn: RARROW] [eqn: {log_2 (b+1 )- log_2 (a+1 )} over b-a ``< ``1]
[eqn: RARROW] [eqn: log _{2} LEFT ( {b+1} over {a+1} RIGHT ) ^{b-a} <1] [eqn: RARROW]　[eqn: left( b+1 over a+1 right)^b-a < 2]
② (직선 [eqn: rm AB`]의 기울기)  >  1일 때,
[eqn: RARROW]　 [eqn: left( (b+1) over (a+1) right)^b-a > 2]

따라서, [eqn: rm AB`]의 기울기에 따라 다르다  [eqn: Therefore ~] 거짓

10. 가형 10번과 동일

11. [출제의도] 이항정리를 이용하여 계수를 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: LEFT ( x ^{2} + {1} over {x ^{ 3} } RIGHT ) ^{n} ``]의 일반항은 [eqn: `_n \C _ { itr} it left(x^2 right)^n-r left( 1 over x^3 right)^r =`_n \C _ { itr} it ``x^2n-5r]
[eqn: 1 over x^2]항이 존재하기 위해서는 [eqn: 2n-5r=-2]인 [eqn: n,~r`]이 존재하여야 한다. 즉, [eqn: 2n +2= 5r]이다. 이 때, [eqn: n`]이 최소가 되는 경우는 [eqn: n=4,`r=2`]일 때이다. 따라서 계수는 [eqn: `_4 \C_2 =6]이다.

12. 가형 12번과 동일

13. 가형 13번과 동일

14. 가형 14번과 동일

15. 가형 15번과 동일

16. 가형 16번과 동일

17. 가형 17번과 동일

18. [출제의도] 로그함수의 그래프에서 점근선에 대한 이해를 묻는 문제이다.

[eqn: y= log_2 (x+3)]에 [eqn: (a,~6)]을 대입하면
[eqn: 6= log_2 (a+3)] [eqn: RARROW] [eqn: a+3=64~~ THEREFORE ````a=61].
점근선의 방정식이 [eqn: x=-3]이므로 [eqn: b=-3]이다. 따라서
[eqn: a+b= 58]이다.

19. [출제의도] 등비수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{n} =ar ^{n-1}]이라 하면
[eqn: 2a _{n} -a _{n+1} & =```2ar ^{n-1} -ar ^{n}# & =```ar ^{n-1} (2-r)# & =```8 CDOT (-2) ^{n-1}]
에서 [eqn: r=-2]이다. [eqn: a(2-r)=8]에서 [eqn: a=2] 이므로
[eqn: a_5 = 2 cdot (-2)^4 = 32]이다.

20. [출제의도] 행렬의 연산을 묻는 문제이다.

[eqn: A= {pmatrix{a&``b#c``&d}}]라 하면 [eqn: pmatrix{1``&2#2``&1} A= pmatrix{1``&2#2``&1} pmatrix{a``&b#c&`d`} = pmatrix{a+2c```&b+2d#2a+c```&2b+d}]
모든 성분의 합이 27이므로 [eqn: 3(a+b+c+d)=27]이다.
또, [eqn: A+B=2E````]이므로 [eqn: B=2E-A]를 [eqn: AB=E]에 대입하면
[eqn: AB=A(2E-A)=2A-A ^{2} =E]
[eqn: A^2 = 2A-E].
양변에 [eqn: A]를 곱하면
[eqn: A ^{3} & =2A ^{2} -A=2(2A-E)-A# & =3A-2E=3 {pmatrix{a``&b#c``&d}} -2 {pmatrix{1``&0#0``&1}}# & = {pmatrix{3a-2````&3b#3c&`````````3d-2}}]
따라서, 모든 성분의 합은 [eqn: 3(a +b+c+d) -4 =23]

21. [출제의도] 무한급수의 성질을 이용하여 수열의 극한값을 구하는 문제이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `(a _{n}+3)], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `b _{n}]이 존재하므로
[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} =-3,` lim _{n-> INF } {} b _{n} =0]이다.
따라서, [eqn: lim _{ n rarrow INF } ` { 24a _n +2b_n ^{``2}} over {2a_n - b_n^{``2} }} ~= 24 over 2 = 12]이다.

22. [출제의도] [eqn: x^3 =1]의 허근 [eqn: w`]의 성질을 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주사위를 두 번 던질 때, 나온 눈의 순서쌍을 [eqn: LEFT ( m,~n RIGHT ) ``]이라 하자 순서쌍 [eqn: LEFT ( m,~n RIGHT ) ``]의 개수는 [eqn: 36`]이다. [eqn: omega ^{m} + omega ^{n} +1``]이 실수가 되기 위해서는 [eqn: omega ^{m} + omega ^{n} `]이 실수이어야 한다. [eqn: omega ^{m} + omega ^{n} `]이 실수가 되기 위해서는 [eqn: m+n`]이 [eqn: 3`]의 배수가 되어야 한다. 따라서 구하는 순서쌍은
[eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT ) ,~ LEFT ( 1,~5 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~1 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~4 RIGHT ) ,~ LEFT ( 3,~3 RIGHT ) ,~ LEFT ( 3,~6 RIGHT ) ,# # LEFT ( 4,~2 RIGHT ) ,~ LEFT ( 4,~5 RIGHT ) ,~ LEFT ( 5,~1 RIGHT ) ,~ LEFT ( 5,~4 RIGHT ) ,~ LEFT ( 6,~3 RIGHT ) ,~ LEFT ( 6,~6 RIGHT )]
이고, 순서쌍의 개수는 모두 [eqn: 12`]개다.
따라서 구하는 확률은 [eqn: {12} over {36} = {1} over {3}]이다. [eqn: a=3,~b=1`]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =10`]이다.

23. 가형 23번과 동일

24. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2 ^{m} <= n<m+1]에서 [eqn: 2 ^{m+1} <= 2n<2 ^{m+2}]이므로
[eqn: a _{2n} =(m+1) ^{2}]
[eqn: a _{n} +a _{2n} =m ^{2} +(m+1) ^{2} =2m ^{2} +2m+1 >= 100]이므로
[eqn: m(m+1) >= {99} over {2}]이다. 따라서 [eqn: m >= 7`]이고 [eqn: n`]의 최솟값은  [eqn: 2 ^{7} =128`]이다.

25. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: N^2]이 7자리수이므로 [eqn: logN ^{2} =6+ alpha `(0< alpha <1)]이라 하면
[eqn: logN = 3+ alpha over 2]
[eqn: log 1 over N = - log N = -4+ left( 1- alpha over 2 right)]
[eqn: alpha over 2 = 1 over 4 left( 1 - alpha over 2 right)] ⇒ [eqn: alpha = 2 over 5]
[eqn: THEREFORE ````logN=3+ {1} over {5} = {16} over {5}]
[eqn: p+q=5+16=21]

26. [출제의도] 서로 독립인 두 사건에 대하여 성립하는 성질을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm P(B)= it x]라 하자. 두 사건 [eqn: rm`A,`~`B``]가 독립이므로
[eqn: rm P(A` cap B) =P(A)P(B)]
[eqn: rm P(A cup B)&=P(A)+P(B)-P(A cap B)]
[eqn: 2 over 3 = 1 over 2 + x - 1 over 2 x]
[eqn: THEREFORE ~ x= rm P(B)= 1 over 3]
[eqn: THEREFORE ~ rm P(B^c ) = 1- P(B) = 2 over 3]

27. [출제의도] 이항분포임을 이해하여 평균과 분산을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

확률변수 [eqn: X]는 [eqn: B(n,p)]의 이항분포를 이루므로
[eqn: E(X)=np=90, ~ V(X)=np(1-p)=36]
이므로 연립하면 [eqn: n=150, ~ p = 3 over 5]이다.
따라서,
[eqn: n over p = 150 times 5 over 3 = 250]

28. [출제의도] 역행렬을 이용한 연립방정식의 해에 대한 이해를 묻는 문항이다.

[eqn: pmatrix{```2 ^{k} +1```&```````` 2 ^{k+3} -16# 2 &````2 ^{k} -1} pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{`x`#`y`} ``]

[eqn: pmatrix{```2 ^{k} ```&```````` 8 cdot2 ^{k} -16# 2 &````2 ^{k} -2} pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{`0`#`0`} ``]
[eqn: x=y=0]이외의 해를 갖기 위해서는 위 행렬의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.
[eqn: 2^k ( 2^k -2 )- 2 ( 8 cdot 2^k -16 )=0]
[eqn: 2^k =t]로 치환하면
[eqn: t^2 - 18t + 32=0]
[eqn: (t-2)(t-16)=0]
[eqn: t=2 ^{k} =2,`16]
[eqn: THEREFORE ````k=1,````4]
따라서 두 근의 합은 5이다.

29. [출제의도] 상용로그의 외적문제해결력을 묻는 문제이다.

새 차의 가격 [eqn: P=2 TIMES 10 ^{7} ,````t=5,````r=0.15]를 주어진 식에 대입하면
[eqn: log 0.85 = 1 over 5 left( logW - log ( 2 times 10^7 ))]
[eqn: log`W=5log`0.85+log`(2 TIMES 10 ^{7} )]
[eqn: logW & =5 TIMES bar{1} .93+0.3+7=6.95 & =log(8.9 TIMES 10 ^{6} )]
[eqn: W=8.9 TIMES 10 ^{6} =890만원]

30. [출제의도] 확률분포를 이해하고 확률변수의 기댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문항이다.

[eqn: rm P it (X=k) & = rm P it (x <= k)- rm P it (x <= k-1) & =ak ^{2} -a(k-1) ^{2} & =a(2k-1)]
[eqn: 1 & = sum _{k=1} ^{5} rm P it (X=k)= sum _{k=1} ^{5} a(2k-1) & =a TIMES 25]    [eqn: THEREFORE ~a= {1} over {25}]
[eqn: E(X) & = {1} over {25} sum _{k=1} ^{5} "{"k CDOT (2k-1)"} "& = {1} over {25} sum _{k=1} ^{5} (2k ^{2} -k)= {19} over {5}]
[eqn: THEREFORE ````20E(X)=20 TIMES {19} over {5} =76]